procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze"

Transkript

1 limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze

2 limití Outlie limití

3 limití efiice: Řekeme, že stacioárí posloupost {X t, t Z} se středí hodotou µ je ergodická podle (kvadratického) středu, eboli splňuje záko velkých v L 2 (Ω, A, P), jestliže pro X t µ podle kvadratického středu. () Jestliže {X t, t Z} je posloupost, která je ergodická podle kvadratického středu, platí i X t P µ, tj. je splě slabý záko velkých pro stacioárí posloupost.

4 limití Věta 38: Stacioárí áhodá posloupost {X t, t Z} se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R je ergodická podle kvadratického středu právě tehdy, když R(t) 0 pro. (2) ůkaz: BÚNO: µ = 0 (jiak položíme X t := X t µ). Uvažujme spektrálí rozklad X t = π π e itλ dz(λ), kde {Z λ, λ [ π, π]} je proces s ortogoálími přírůstky a přírůstkovou distribučí fukcí F, která je totožá se spektrálí distribučí fukcí poslouposti {X t, t Z}.

5 limití Potom X t = kde = π π h (λ) = ( π ále uvažujme fukci π h (λ)dz(λ), ) π e itλ dz(λ) = π( e itλ = h(λ) = e itλ) dz(λ) { e iλ ( e iλ ), e iλ λ 0,, λ = 0. { 0, λ 0,, λ = 0 a defiujme áhodou veličiu Z 0 = π π h(λ)dz(λ).

6 limití Zřejmě h (λ) h(λ) pro každé λ [ π, π]. Zároveň platí, že h h v L 2 (F ), eboť h (λ) h(λ) 2 4 a podle Lebesgueovy π π h (λ) h(λ) 2 df (λ) 0. Proto pro X t = podle středu. π π h (λ)dz(λ) π π h(λ)dz(λ) = Z 0

7 limití Nyí stačí ukázat, že Z 0 = 0 s. j. R(t) 0 pro. (3) Z 26 plye, že EZ 0 = 0; tedy Z 0 = 0 s. j. právě tehdy, když E Z 0 2 = 0. Z 26 dále plye, že E Z 0 2 = E π π h(λ)dz(λ) 2 = π π h(λ) 2 df (λ). Ze spektrálího rozkladu autokovariačí fukce = R(t) = π π [ π k= h (λ)df (λ) π π ] π e itλ df (λ) = π ůkaz potom plye z (3) a (4). h(λ)df (λ) = π( π π e itλ) df (λ) h(λ) 2 df (λ) (4)

8 limití Příklad: Uvažujme posloupost AR(), X t = ϕx t + Y t, Y t WN(0, σ 2 ), ϕ <.. Víme, že {X t, t Z} má autokovariačí fukci R X (t) = σ2 ϕ 2 ϕ t. Zřejmě platí R X (t) = σ2 ϕ 2 ϕ t = σ 2 ϕ( ϕ ) ϕ 2 0 ϕ pro, z čehož plye, že {X t, t Z} je ergodická podle středu.

9 limití Příklad: Nechť {X t, t Z} je stacioárí ergodická posloupost se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R X. efiujme áhodou posloupost {Z t, t Z} předpisem Z t = X t + Y, t Z, kde EY = 0, vary = σ 2 (0, ), a EX t Y = 0 t Z. Potom EZ t = EX t + EY = µ pro každé t Z a E(Z s+t µ)(z t µ) = R X (s) + σ 2 := R Z (s), z čehož plye, že posloupost {Z t, t Z} je slabě stacioárí. Neí ale ergodická podle středu, eboť pro R Z (t) = R X (t) + σ 2 σ 2 > 0.

10 limití Věta 39: Nechť {X t, t Z} je reálá stacioárí posloupost se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R, pro kterou t= R(t) <. Potom pro ůkaz:. k= X = k= X t µ podle kvadratického středu, (5) var X k= R(k). (6) R(k) < R(k) 0 pro k, tedy i R(k) 0 pro a tvrzeí (5) plye z 38.

11 limití 2. ( var X = var k= ) X k k= = [ 2 var X k + ] cov (X j, X k ) j k = ] [R(0) ( j)r(j) j= j= = [ ( R(0) + 2 j ) ] R(j) = j= + ( j ) R(j). (7) (pro reálou posloupost je R(k) = R( k).)

12 limití Tedy varx = j= + R(j) 2 jr(j). j= Tvrzeí (6) plye ihed z předpokladu a Kroeckerova lemmatu. efiice: Řekeme, že stacioárí proces {X t, t R} se středí hodotou µ a spojitý podle (kvadratického) středu je ergodický podle kvadratického středu, eboli splňuje záko velkých v L 2 (Ω, A, P), jestliže pro τ τ τ 0 X t dt µ podle kvadratického středu.

13 limití Věta 40: Stacioárí proces {X t, t R} spojitý podle středu je ergodický podle středu právě tehdy, když pro jeho autokovariačí fukci platí τ τ 0 R(t)dt 0 pro τ. Věta 4: Nechť {X t, t R} je reálý stacioárí proces spojitý podle středu, se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R, pro kterou R(t) dt <. Potom pro τ X τ = τ τ 0 X t dt µ podle kvadratického středu, (8) τ var X τ R(t)dt. (9)

14 limití Příklad: {X t, t R} - stacioárí cetrovaý áhodý proces s autokovariačí fukcí R(t) = ce α t, t R, α > 0, c > 0. Teto proces je spojitý podle středu (proč?) τ R(t)dt = c τ e αt dt = c e ατ τ 0 τ 0 τ α 0 pro τ, proces {X t, t R} je ergodický podle středu a τ var X τ 2c α.

15 limití Pomocé asymptotické výsledky Věta 42 (Cramérova-Sluckého věta): Nechť {X, N}, {Y, N} jsou poslouposti áhodých veliči a X je áhodá veličia taková, že pro platí P X X, Y 0. Potom X + Y X pro. Věta 43: Nechť {ξ, N}, {S k, N, k N}, {ψ k, k N} a ψ jsou áhodé veličiy, pro které platí S k ψ k,, pro každé k =, 2,..., 2 ψ k ψ, k, 3 lim k lim P( ξ S k > ɛ) = 0 pro každé ɛ > 0. Potom ξ ψ pro. ůkaz: Brockwell, avis (99), tvrzeí

16 limití Věta 44 (Lévyho-Lidebergova CLV): Nechť {Y t, t Z} je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči se středí hodotou µ a koečým kladým rozptylem σ 2. Nechť Y = j= Y j. Potom pro Y µ σ N (0, ). (0) Věta 45( Cramérova-Woldova věta): Nechť X, X, X 2,..., jsou k-rozměré áhodé vektory. Potom X X pro právě tehdy, když pro každé c R k c X c X pro.

17 limití Věta 46: Nechť {X t, t Z} je áhodá posloupost defiovaá předpisem m X t = µ + b j Y t j, kde µ R, {Y t, t Z} je striktí bílý šum, tj. posloupost ezávislých stejě rozděleých (iid) áhodých veliči s ulovou středí hodotou a koečým kladým rozptylem σ 2. Nechť b 0 = a b,..., b m jsou reálé kostaty takové, že m j=0 b j 0. Potom pro j=0 (X t µ) N(0, 2 ), () kde 2 = σ 2 ( m j=0 b j) 2.

18 limití ůkaz: (X t µ) = = = + bm Y t + b ( m ) b j Y t j j=0 Y t + + bm Y t + b ( ) Y t + Y 0 Y +... ( Y t + ( m ) = b j j=0 0 k= m+ Y k Y t + ξ, j= m+ Y j ) Y t m

19 limití kde ξ = m ( m ) m ( Y s b j Y s s= j=s s=0 m j=s+ b j ) je koečá lieárí kombiace iid veliči Y 0, Y,..., Y m+, Y, Y,..., Y m+ s ulovou středí hodotou a rozptylem σ 2. Podle 44 Y t N (0, σ 2 ) pro. Odtud ( m j=0 b j ) Y t N (0, 2 ), kde 2 = σ 2( m j=0 Podle 42 yí stačí dokázat, že P ξ b j ) 2. (2) P 0 pro : ( ) ξ > ɛ ( ) ɛ 2 E ξ2 = σ 2 kost ɛ 2 0.

20 limití Věta 47: Nechť {X t, t Z} je áhodá posloupost, pro kterou X t = µ + b j Y t j, j=0 kde µ R, {Y t, t Z} je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči s ulovou středí hodotou a koečým kladým rozptylem σ 2. Nechť b j, j N 0, jsou reálé kostaty, pro které j=0 b j <, j=0 b j 0 a b 0 =. Potom pro (X t µ) N (0, 2 ), kde 2 = σ 2 ( j=0 b j) 2.

21 limití ůkaz: Zvolme k N. Potom k X t µ = b j Y t j + tedy j=0 (X t µ) = j=k+ Ozačíme-li ξ = (X t µ), S k = máme b j Y t j =: U kt + V kt, U kt + ξ = S k + k. Podle 46 platí pro a každé k N S k kde ψ k N (0, 2 k ), 2 k = σ2 ( k j=0 b j) 2. V kt. U kt, k = V kt, ψ k, (3)

22 limití ále z předpokladů plye, že pro k k 2 k = σ2 2 σ 2 b j b j j=0 j=0 2 = 2 a pro k ψ k Podle Čebyševovy erovosti je N (0, 2 ). (4) P( ξ S k > ɛ) = P( k > ɛ) ɛ 2 var k ( ) = ɛ 2 var V kt.

23 limití Z předpokladu j=0 b j < a 33 plye, že pro každé k N je {V kt, t Z} cetrovaá stacioárí posloupost s autokovariačí fukcí R V (t) = σ 2 j=k+ b jb j+ t. S přihlédutím k vzorci (7) tedy můžeme dále psát

24 limití P( ξ S k > ɛ) ɛ 2 var ( = ɛ 2 j= + ) V kt ( R V (j) j ) ɛ 2 = ] [R ɛ 2 V (0) + 2 R V (j) = σ2 ɛ 2 [ σ2 ɛ 2 [ σ2 ɛ 2 [ j=k+ j=k+ j=k+ j= bj j= bj b j ν=k+ j= ν=k+ ν=k+ j= + b ν b ν+j ] ] b ν b ν+j b ν j= R V (j) ] b ν+j = σ2 ( ɛ 2 j=k+ b j ) 2,

25 limití takže lim lim P( ξ σ 2 S k > ɛ) lim k k ɛ 2 j=k+ b j 2 = 0 (5) pro každé ɛ > 0. Odtud podle (3) a (4) a z 43 vyplývá, že pro ξ = (X t µ) N (0, 2 ).

26 limití Příklad: Uvažujme posloupost {X t, t Z}, která je defiováa předpisem X t = µ + Z t, Z t = az t + Y t, kde µ R, a < a {Y t, t Z} je striktí bílý šum s koečým rozptylem σ 2 > 0. Z podmíky a < plye, že j=0 a j <, tedy X t = µ + a j Y t j, t Z. j=0 Protože j=0 aj 0, platí pro (X t µ) N (0, 2 ), 2 = σ 2 ( a) 2. Pro velká je X N ( µ, σ 2 ( a) 2 ).

27 limití efiice: Řekeme, že áhodé veličiy poslouposti {X t, t Z} jsou m-závislé, kde m N 0 je daé číslo, jestliže pro každé t Z jsou áhodé vektory (..., X t, X t ) a (X t+m+, X t+m+2,... ) ezávislé. Příklad: Posloupost MA(m) geerovaá pomocí gaussovského bílého šumu je posloupost m-závislých áhodých veliči. Příklad: Nechť {Y t, t Z} je striktí bílý šum. efiujme {X t, t Z} předpisem X t = Y t Y t+m, t Z, pro ějaké m N. Potom X t jsou m-závislé, EX t = E(Y t Y t+m ) = 0, EX s X t = E(Y t Y t+m Y s Y s+m ) = 0 pro t s. X t jsou vzájemě ekorelovaé, ikoliv však ezávislé.

28 limití Věta 48: Nechť {X t, t Z} je reálá striktě stacioárí cetrovaá posloupost m-závislých áhodých veliči s koečými druhými momety a autokovariačí fukcí R, pro kterou m 2 m = R(k) 0. Potom pro k= m varx 2 m, (6) X t N (0, 2 m). (7) ůkaz:. Posloupost {X t, t Z} je striktě stacioárí s koečými druhými momety, tedy i slabě stacioárí. Z m-závislosti plye, že R(k) = 0 pro k > m. Podle 39 platí m lim varx = R(k) = R(k) = 2 m. k= k= m

29 limití 2. Nechť k > 2m a = k r, kde k N, r N. Potom (X,..., X ) = (U, V, U 2, V 2,..., U r, V r ), U j = (X (j )k+,..., X jk m ), j =,..., r, V j = (X jk m+,..., X jk ), j =,..., r. U,..., U r jsou vzájemě ezávislé (z m-závislosti a k > 2m) a stejě rozděleé (ze striktí stacioarity). Podobě V,..., V r jsou iid. Je tedy X t = r r S j + T j, j= j= S j, j =,..., r, jsou iid (S j je součet prvků vektoru U j,) T j, j =,..., r, jsou iid (součet prvků vektorů V j ). Pro k > 2m platí ES = 0, ET = 0 a var S = var (X + + X k m ) = m (k m ν )R(ν) = 2 mk. ν= m

30 limití Podobě s využitím striktí stacioarity var T = var (X k m+ + + X k ) = var (X + + X m ) = m ν= m+ Nyí můžeme psát (m ν )R(ν) = δ 2 m. X t := ξ = S k + k, (8) kde S k = /k S j = r k j= r S j, (9) j= k = /k T j = r k j= r T j. (20) j=

31 limití Podle Lévyho-Lidebergovy pro r r r j= S j N (0, 2 mk ). Pro pevé k a r také, takže ( kde ψ k má rozděleí N S k 0, 2 mk k ψ k, (2) ). Protože pro k 2 mk k m R(j) = 2 m, j= m ψ k N (0, 2 m), k (22)

32 limití Podle Čebyševovy erovosti Tedy P( ξ S k > ɛ) = P( k > ɛ) ɛ 2 ( r ) var T j = ɛ 2 k var T = ɛ 2 k δ2 m. j= lim lim P( ξ S k > ɛ) = 0 (23) k a důkaz plye z (2), (22), (23) a 43.

33 Příklad: Nechť X t = µ + Y t + a Y t + a 2 Y t 2, t Z, limití kde Y t jsou iid, EY t = 0, vary t = σ 2 > 0. {X t, t Z} je striktě stacioárí a X t jsou m-závislé, m = 2. Autokovariačí fukce {X t, t Z} : R(0) = σ 2 ( + a 2 + a2), 2 R() = σ 2 (a + a a 2 ) = R( ), R(2) = σ 2 a 2 = R( 2), R(k) = 0, k > 2. Potom 2 m = m k= m R(k) = R(0) + 2R() + 2R(2) = σ 2 ( + a + a 2 ) 2. Podle předchozí (X t µ) N (0, 2 m), pokud 2 m 0.

34 limití Příklad: Nechť {Y t, t Z} je posloupost iid, EY t = 0, vary t = σ 2, EYt 4 <. okažte, že pro každé k > 0 a pro platí (Y 2 t σ 2 ) N (0, τ 2 ), Y t Y t+k N (0, σ 4 ), k Y t Y t+k N (0, σ 4 ), X t N k (0, σ 4 I), kde τ 2 = var Y 2, X t = (Y t Y t+,..., Y t Y t+k ) a I je jedotková matice řádu k.

35 limití. Y 2 t jsou iid, EY 2 t = σ 2, var Y 2 t = τ 2. věta (věta 44) (Y 2 t σ 2 ) N (0, τ 2 ). Řešeí. 2. Ozačme X t := Y t Y t+k pro k > 0. Posloupost {X t, t Z} je striktě stacioárí, EX t = 0, EXt 2 = σ 4, X t jsou vzájemě ekorelovaé, ale k-závislé. Podle 48 X t kde 2 k = k j= k R X (j) = σ 4. N (0, 2 k ),

36 limití 3. k Y t Y t+k = Podle 2. Y t Y t+k Y t Y t+k N (0, σ 4 ) Podle Čebyševovy erovosti ( ) P Y t Y t+k > ɛ = P ɛ 2 E ( t= k+ t= k+ X t ) 2 = ɛ 2 t= k+ ( t= k+ t= k+ EX 2 t = ɛ 2 k σ 4 Y t Y t+k. X t > ɛ ) 0 pro a pevé k.

37 limití 4. efiujme Z t := c X t, t Z, c R k. Náhodé vektory X t mají ulovou středí hodotu a variačí matici σ 4 I a jsou vzájemě ekorelovaé. Náhodé veličiy Z t jsou cetrovaé, s rozptylem σ 4 c Ic, jsou ekorelovaé a k-závislé {Z t, t Z} je striktě stacioárí. Podle 48 Z t N (0, 2 k ), kde 2 k = k j= k R Z (j) = σ 4 c Ic. Podle 45 a z vlastostí ormálího rozděleí odtud plye posledí tvrzeí.

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. funkce Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

O Jensenově nerovnosti

O Jensenově nerovnosti O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Stochastické modely časových řad

Stochastické modely časových řad Stochastické modely časových řad RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecká fakulta Masarykovy uiverzity Bro Podzimí semestr šk. roku 11/1 1 KAPITOLA 1 Teoretické základy

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019 Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

NMSA331 Matematická statistika 1

NMSA331 Matematická statistika 1 NMSA331 Matematická statistika 1 POZNÁMKY K PŘEDNÁŠCE Naposledy upraveo de 29. prosice 2018. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

PoznÁmky k přednášce

PoznÁmky k přednášce NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky:

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

SP NV Normalita-vlastnosti

SP NV Normalita-vlastnosti SP - - NV Normala-vlasos Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí Charakerscká fukce Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa -rozměré ormálí rozděleí -rozměré ormálí rozděleí Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

LWS při heteroskedasticitě

LWS při heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. Predikce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. Predikce ne ve Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 23.4.-7.5. 2010 ne ve 1 ne Outline 2 ve ne ve Definice: Nechť H je Hilbertův

Více

Beveridgeův Nelsonův rozklad a jeho aplikace

Beveridgeův Nelsonův rozklad a jeho aplikace Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Štěpá Masák Beveridgeův Nelsoův rozklad a jeho aplikace Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi 13 1 016 Obsah 1 O čem to

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

Testy homoskedasticity v lineárním modelu

Testy homoskedasticity v lineárním modelu Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ja Vávra Testy homoskedasticity v lieárím modelu Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí

Více