procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
|
|
- Pavlína Macháčková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze praskova@karli.mff.cui.cz
2 limití Outlie limití
3 limití efiice: Řekeme, že stacioárí posloupost {X t, t Z} se středí hodotou µ je ergodická podle (kvadratického) středu, eboli splňuje záko velkých v L 2 (Ω, A, P), jestliže pro X t µ podle kvadratického středu. () Jestliže {X t, t Z} je posloupost, která je ergodická podle kvadratického středu, platí i X t P µ, tj. je splě slabý záko velkých pro stacioárí posloupost.
4 limití Věta 38: Stacioárí áhodá posloupost {X t, t Z} se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R je ergodická podle kvadratického středu právě tehdy, když R(t) 0 pro. (2) ůkaz: BÚNO: µ = 0 (jiak položíme X t := X t µ). Uvažujme spektrálí rozklad X t = π π e itλ dz(λ), kde {Z λ, λ [ π, π]} je proces s ortogoálími přírůstky a přírůstkovou distribučí fukcí F, která je totožá se spektrálí distribučí fukcí poslouposti {X t, t Z}.
5 limití Potom X t = kde = π π h (λ) = ( π ále uvažujme fukci π h (λ)dz(λ), ) π e itλ dz(λ) = π( e itλ = h(λ) = e itλ) dz(λ) { e iλ ( e iλ ), e iλ λ 0,, λ = 0. { 0, λ 0,, λ = 0 a defiujme áhodou veličiu Z 0 = π π h(λ)dz(λ).
6 limití Zřejmě h (λ) h(λ) pro každé λ [ π, π]. Zároveň platí, že h h v L 2 (F ), eboť h (λ) h(λ) 2 4 a podle Lebesgueovy π π h (λ) h(λ) 2 df (λ) 0. Proto pro X t = podle středu. π π h (λ)dz(λ) π π h(λ)dz(λ) = Z 0
7 limití Nyí stačí ukázat, že Z 0 = 0 s. j. R(t) 0 pro. (3) Z 26 plye, že EZ 0 = 0; tedy Z 0 = 0 s. j. právě tehdy, když E Z 0 2 = 0. Z 26 dále plye, že E Z 0 2 = E π π h(λ)dz(λ) 2 = π π h(λ) 2 df (λ). Ze spektrálího rozkladu autokovariačí fukce = R(t) = π π [ π k= h (λ)df (λ) π π ] π e itλ df (λ) = π ůkaz potom plye z (3) a (4). h(λ)df (λ) = π( π π e itλ) df (λ) h(λ) 2 df (λ) (4)
8 limití Příklad: Uvažujme posloupost AR(), X t = ϕx t + Y t, Y t WN(0, σ 2 ), ϕ <.. Víme, že {X t, t Z} má autokovariačí fukci R X (t) = σ2 ϕ 2 ϕ t. Zřejmě platí R X (t) = σ2 ϕ 2 ϕ t = σ 2 ϕ( ϕ ) ϕ 2 0 ϕ pro, z čehož plye, že {X t, t Z} je ergodická podle středu.
9 limití Příklad: Nechť {X t, t Z} je stacioárí ergodická posloupost se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R X. efiujme áhodou posloupost {Z t, t Z} předpisem Z t = X t + Y, t Z, kde EY = 0, vary = σ 2 (0, ), a EX t Y = 0 t Z. Potom EZ t = EX t + EY = µ pro každé t Z a E(Z s+t µ)(z t µ) = R X (s) + σ 2 := R Z (s), z čehož plye, že posloupost {Z t, t Z} je slabě stacioárí. Neí ale ergodická podle středu, eboť pro R Z (t) = R X (t) + σ 2 σ 2 > 0.
10 limití Věta 39: Nechť {X t, t Z} je reálá stacioárí posloupost se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R, pro kterou t= R(t) <. Potom pro ůkaz:. k= X = k= X t µ podle kvadratického středu, (5) var X k= R(k). (6) R(k) < R(k) 0 pro k, tedy i R(k) 0 pro a tvrzeí (5) plye z 38.
11 limití 2. ( var X = var k= ) X k k= = [ 2 var X k + ] cov (X j, X k ) j k = ] [R(0) ( j)r(j) j= j= = [ ( R(0) + 2 j ) ] R(j) = j= + ( j ) R(j). (7) (pro reálou posloupost je R(k) = R( k).)
12 limití Tedy varx = j= + R(j) 2 jr(j). j= Tvrzeí (6) plye ihed z předpokladu a Kroeckerova lemmatu. efiice: Řekeme, že stacioárí proces {X t, t R} se středí hodotou µ a spojitý podle (kvadratického) středu je ergodický podle kvadratického středu, eboli splňuje záko velkých v L 2 (Ω, A, P), jestliže pro τ τ τ 0 X t dt µ podle kvadratického středu.
13 limití Věta 40: Stacioárí proces {X t, t R} spojitý podle středu je ergodický podle středu právě tehdy, když pro jeho autokovariačí fukci platí τ τ 0 R(t)dt 0 pro τ. Věta 4: Nechť {X t, t R} je reálý stacioárí proces spojitý podle středu, se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R, pro kterou R(t) dt <. Potom pro τ X τ = τ τ 0 X t dt µ podle kvadratického středu, (8) τ var X τ R(t)dt. (9)
14 limití Příklad: {X t, t R} - stacioárí cetrovaý áhodý proces s autokovariačí fukcí R(t) = ce α t, t R, α > 0, c > 0. Teto proces je spojitý podle středu (proč?) τ R(t)dt = c τ e αt dt = c e ατ τ 0 τ 0 τ α 0 pro τ, proces {X t, t R} je ergodický podle středu a τ var X τ 2c α.
15 limití Pomocé asymptotické výsledky Věta 42 (Cramérova-Sluckého věta): Nechť {X, N}, {Y, N} jsou poslouposti áhodých veliči a X je áhodá veličia taková, že pro platí P X X, Y 0. Potom X + Y X pro. Věta 43: Nechť {ξ, N}, {S k, N, k N}, {ψ k, k N} a ψ jsou áhodé veličiy, pro které platí S k ψ k,, pro každé k =, 2,..., 2 ψ k ψ, k, 3 lim k lim P( ξ S k > ɛ) = 0 pro každé ɛ > 0. Potom ξ ψ pro. ůkaz: Brockwell, avis (99), tvrzeí
16 limití Věta 44 (Lévyho-Lidebergova CLV): Nechť {Y t, t Z} je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči se středí hodotou µ a koečým kladým rozptylem σ 2. Nechť Y = j= Y j. Potom pro Y µ σ N (0, ). (0) Věta 45( Cramérova-Woldova věta): Nechť X, X, X 2,..., jsou k-rozměré áhodé vektory. Potom X X pro právě tehdy, když pro každé c R k c X c X pro.
17 limití Věta 46: Nechť {X t, t Z} je áhodá posloupost defiovaá předpisem m X t = µ + b j Y t j, kde µ R, {Y t, t Z} je striktí bílý šum, tj. posloupost ezávislých stejě rozděleých (iid) áhodých veliči s ulovou středí hodotou a koečým kladým rozptylem σ 2. Nechť b 0 = a b,..., b m jsou reálé kostaty takové, že m j=0 b j 0. Potom pro j=0 (X t µ) N(0, 2 ), () kde 2 = σ 2 ( m j=0 b j) 2.
18 limití ůkaz: (X t µ) = = = + bm Y t + b ( m ) b j Y t j j=0 Y t + + bm Y t + b ( ) Y t + Y 0 Y +... ( Y t + ( m ) = b j j=0 0 k= m+ Y k Y t + ξ, j= m+ Y j ) Y t m
19 limití kde ξ = m ( m ) m ( Y s b j Y s s= j=s s=0 m j=s+ b j ) je koečá lieárí kombiace iid veliči Y 0, Y,..., Y m+, Y, Y,..., Y m+ s ulovou středí hodotou a rozptylem σ 2. Podle 44 Y t N (0, σ 2 ) pro. Odtud ( m j=0 b j ) Y t N (0, 2 ), kde 2 = σ 2( m j=0 Podle 42 yí stačí dokázat, že P ξ b j ) 2. (2) P 0 pro : ( ) ξ > ɛ ( ) ɛ 2 E ξ2 = σ 2 kost ɛ 2 0.
20 limití Věta 47: Nechť {X t, t Z} je áhodá posloupost, pro kterou X t = µ + b j Y t j, j=0 kde µ R, {Y t, t Z} je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči s ulovou středí hodotou a koečým kladým rozptylem σ 2. Nechť b j, j N 0, jsou reálé kostaty, pro které j=0 b j <, j=0 b j 0 a b 0 =. Potom pro (X t µ) N (0, 2 ), kde 2 = σ 2 ( j=0 b j) 2.
21 limití ůkaz: Zvolme k N. Potom k X t µ = b j Y t j + tedy j=0 (X t µ) = j=k+ Ozačíme-li ξ = (X t µ), S k = máme b j Y t j =: U kt + V kt, U kt + ξ = S k + k. Podle 46 platí pro a každé k N S k kde ψ k N (0, 2 k ), 2 k = σ2 ( k j=0 b j) 2. V kt. U kt, k = V kt, ψ k, (3)
22 limití ále z předpokladů plye, že pro k k 2 k = σ2 2 σ 2 b j b j j=0 j=0 2 = 2 a pro k ψ k Podle Čebyševovy erovosti je N (0, 2 ). (4) P( ξ S k > ɛ) = P( k > ɛ) ɛ 2 var k ( ) = ɛ 2 var V kt.
23 limití Z předpokladu j=0 b j < a 33 plye, že pro každé k N je {V kt, t Z} cetrovaá stacioárí posloupost s autokovariačí fukcí R V (t) = σ 2 j=k+ b jb j+ t. S přihlédutím k vzorci (7) tedy můžeme dále psát
24 limití P( ξ S k > ɛ) ɛ 2 var ( = ɛ 2 j= + ) V kt ( R V (j) j ) ɛ 2 = ] [R ɛ 2 V (0) + 2 R V (j) = σ2 ɛ 2 [ σ2 ɛ 2 [ σ2 ɛ 2 [ j=k+ j=k+ j=k+ j= bj j= bj b j ν=k+ j= ν=k+ ν=k+ j= + b ν b ν+j ] ] b ν b ν+j b ν j= R V (j) ] b ν+j = σ2 ( ɛ 2 j=k+ b j ) 2,
25 limití takže lim lim P( ξ σ 2 S k > ɛ) lim k k ɛ 2 j=k+ b j 2 = 0 (5) pro každé ɛ > 0. Odtud podle (3) a (4) a z 43 vyplývá, že pro ξ = (X t µ) N (0, 2 ).
26 limití Příklad: Uvažujme posloupost {X t, t Z}, která je defiováa předpisem X t = µ + Z t, Z t = az t + Y t, kde µ R, a < a {Y t, t Z} je striktí bílý šum s koečým rozptylem σ 2 > 0. Z podmíky a < plye, že j=0 a j <, tedy X t = µ + a j Y t j, t Z. j=0 Protože j=0 aj 0, platí pro (X t µ) N (0, 2 ), 2 = σ 2 ( a) 2. Pro velká je X N ( µ, σ 2 ( a) 2 ).
27 limití efiice: Řekeme, že áhodé veličiy poslouposti {X t, t Z} jsou m-závislé, kde m N 0 je daé číslo, jestliže pro každé t Z jsou áhodé vektory (..., X t, X t ) a (X t+m+, X t+m+2,... ) ezávislé. Příklad: Posloupost MA(m) geerovaá pomocí gaussovského bílého šumu je posloupost m-závislých áhodých veliči. Příklad: Nechť {Y t, t Z} je striktí bílý šum. efiujme {X t, t Z} předpisem X t = Y t Y t+m, t Z, pro ějaké m N. Potom X t jsou m-závislé, EX t = E(Y t Y t+m ) = 0, EX s X t = E(Y t Y t+m Y s Y s+m ) = 0 pro t s. X t jsou vzájemě ekorelovaé, ikoliv však ezávislé.
28 limití Věta 48: Nechť {X t, t Z} je reálá striktě stacioárí cetrovaá posloupost m-závislých áhodých veliči s koečými druhými momety a autokovariačí fukcí R, pro kterou m 2 m = R(k) 0. Potom pro k= m varx 2 m, (6) X t N (0, 2 m). (7) ůkaz:. Posloupost {X t, t Z} je striktě stacioárí s koečými druhými momety, tedy i slabě stacioárí. Z m-závislosti plye, že R(k) = 0 pro k > m. Podle 39 platí m lim varx = R(k) = R(k) = 2 m. k= k= m
29 limití 2. Nechť k > 2m a = k r, kde k N, r N. Potom (X,..., X ) = (U, V, U 2, V 2,..., U r, V r ), U j = (X (j )k+,..., X jk m ), j =,..., r, V j = (X jk m+,..., X jk ), j =,..., r. U,..., U r jsou vzájemě ezávislé (z m-závislosti a k > 2m) a stejě rozděleé (ze striktí stacioarity). Podobě V,..., V r jsou iid. Je tedy X t = r r S j + T j, j= j= S j, j =,..., r, jsou iid (S j je součet prvků vektoru U j,) T j, j =,..., r, jsou iid (součet prvků vektorů V j ). Pro k > 2m platí ES = 0, ET = 0 a var S = var (X + + X k m ) = m (k m ν )R(ν) = 2 mk. ν= m
30 limití Podobě s využitím striktí stacioarity var T = var (X k m+ + + X k ) = var (X + + X m ) = m ν= m+ Nyí můžeme psát (m ν )R(ν) = δ 2 m. X t := ξ = S k + k, (8) kde S k = /k S j = r k j= r S j, (9) j= k = /k T j = r k j= r T j. (20) j=
31 limití Podle Lévyho-Lidebergovy pro r r r j= S j N (0, 2 mk ). Pro pevé k a r také, takže ( kde ψ k má rozděleí N S k 0, 2 mk k ψ k, (2) ). Protože pro k 2 mk k m R(j) = 2 m, j= m ψ k N (0, 2 m), k (22)
32 limití Podle Čebyševovy erovosti Tedy P( ξ S k > ɛ) = P( k > ɛ) ɛ 2 ( r ) var T j = ɛ 2 k var T = ɛ 2 k δ2 m. j= lim lim P( ξ S k > ɛ) = 0 (23) k a důkaz plye z (2), (22), (23) a 43.
33 Příklad: Nechť X t = µ + Y t + a Y t + a 2 Y t 2, t Z, limití kde Y t jsou iid, EY t = 0, vary t = σ 2 > 0. {X t, t Z} je striktě stacioárí a X t jsou m-závislé, m = 2. Autokovariačí fukce {X t, t Z} : R(0) = σ 2 ( + a 2 + a2), 2 R() = σ 2 (a + a a 2 ) = R( ), R(2) = σ 2 a 2 = R( 2), R(k) = 0, k > 2. Potom 2 m = m k= m R(k) = R(0) + 2R() + 2R(2) = σ 2 ( + a + a 2 ) 2. Podle předchozí (X t µ) N (0, 2 m), pokud 2 m 0.
34 limití Příklad: Nechť {Y t, t Z} je posloupost iid, EY t = 0, vary t = σ 2, EYt 4 <. okažte, že pro každé k > 0 a pro platí (Y 2 t σ 2 ) N (0, τ 2 ), Y t Y t+k N (0, σ 4 ), k Y t Y t+k N (0, σ 4 ), X t N k (0, σ 4 I), kde τ 2 = var Y 2, X t = (Y t Y t+,..., Y t Y t+k ) a I je jedotková matice řádu k.
35 limití. Y 2 t jsou iid, EY 2 t = σ 2, var Y 2 t = τ 2. věta (věta 44) (Y 2 t σ 2 ) N (0, τ 2 ). Řešeí. 2. Ozačme X t := Y t Y t+k pro k > 0. Posloupost {X t, t Z} je striktě stacioárí, EX t = 0, EXt 2 = σ 4, X t jsou vzájemě ekorelovaé, ale k-závislé. Podle 48 X t kde 2 k = k j= k R X (j) = σ 4. N (0, 2 k ),
36 limití 3. k Y t Y t+k = Podle 2. Y t Y t+k Y t Y t+k N (0, σ 4 ) Podle Čebyševovy erovosti ( ) P Y t Y t+k > ɛ = P ɛ 2 E ( t= k+ t= k+ X t ) 2 = ɛ 2 t= k+ ( t= k+ t= k+ EX 2 t = ɛ 2 k σ 4 Y t Y t+k. X t > ɛ ) 0 pro a pevé k.
37 limití 4. efiujme Z t := c X t, t Z, c R k. Náhodé vektory X t mají ulovou středí hodotu a variačí matici σ 4 I a jsou vzájemě ekorelovaé. Náhodé veličiy Z t jsou cetrovaé, s rozptylem σ 4 c Ic, jsou ekorelovaé a k-závislé {Z t, t Z} je striktě stacioárí. Podle 48 Z t N (0, 2 k ), kde 2 k = k j= k R Z (j) = σ 4 c Ic. Podle 45 a z vlastostí ormálího rozděleí odtud plye posledí tvrzeí.
jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce
Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceAnalýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály
Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
VícePravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy
Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceStochastické modely časových řad
Stochastické modely časových řad RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecká fakulta Masarykovy uiverzity Bro Podzimí semestr šk. roku 11/1 1 KAPITOLA 1 Teoretické základy
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceNMSA331 Matematická statistika 1
NMSA331 Matematická statistika 1 POZNÁMKY K PŘEDNÁŠCE Naposledy upraveo de 29. prosice 2018. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VícePoznÁmky k přednášce
NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceTestujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:
Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.
Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky:
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceSP NV Normalita-vlastnosti
SP - - NV Normala-vlasos Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí Charakerscká fukce Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa -rozměré ormálí rozděleí -rozměré ormálí rozděleí Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceLWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. Predikce
ne ve Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 23.4.-7.5. 2010 ne ve 1 ne Outline 2 ve ne ve Definice: Nechť H je Hilbertův
VíceBeveridgeův Nelsonův rozklad a jeho aplikace
Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Štěpá Masák Beveridgeův Nelsoův rozklad a jeho aplikace Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce:
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceKombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM
Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi 13 1 016 Obsah 1 O čem to
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VíceKatedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti
Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
VíceU. Jestliže lineární zobrazení Df x n n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VíceTesty homoskedasticity v lineárním modelu
Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ja Vávra Testy homoskedasticity v lieárím modelu Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí
Více