Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Transkript

1 Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T OZNAČENÍ Možiu všech matic typu m, ad tělesem T budeme začit T m,. Nechť A T m,, i, j {, 2,, m} {, 2,, }. Místo Ai, j budeme psát a ij. Dále píšeme a 2 a A=a a 2 a 22 a 2 a m a m2 a m, A=a ij DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Každou matici z T, azýváme čtvercová matice -tého stupě. Nechť A T m,. Matice A se azývá ulová, pokud a ij = pro všecha i {,, m}, j {,, }. Nulovou matici budeme začit O. O= ( sloupců, m řádků) DEFINICE Uvažujme ásledující podmíky týkající se matice: () Všechy ulové řádky (tj. řádky sestávající z ul) jsou dole. (2) Každý eulový řádek začíá ěkolika ulami ásledovaými jedičkou Tato se azývá vedoucí daého řádku. (3) Pozice vedoucí jedičky v řádku s vyšším idexem je více vpravo ež pozice vedoucí jedičky v řádku s ižším idexem (4) Každý prvek pod vedoucí jedičkou je ula. (5) Každý prvek ad vedoucí jedičkou je ula. Matice, která splňuje prví čtyři podmíky, se azývá matice v řádkovém stupňovitém tvaru. Matice, která splňuje všech pět podmíek, se azývá matice v redukovaém řádkovém stupňovitém tvaru PŘÍKLAD A= B= 7 7 C= D= E= 7 = F 7

2 A je v řádkovém stupňovitém tvaru, eí však v redukovaém řádkovém stupňovitém tvaru - podmíka (5) eí splěa. B je v redukovaém řádkovém stupňovitém tvaru. C eí v řádkovém stupňovitém tvaru eí splěa podmíka (). D eí v řádkovém stupňovitém tvaru eí splěa podmíka (2). E eí v řádkovém stupňovitém tvaru eí splěa podmíka (3). F eí v řádkovém stupňovitém tvaru eí splěa podmíka (3), ai podmíka (4) DEFINICE Nechť T je těleso, N, A T,. Matice A se azývá diagoálí, pokud a ij = pro všecha i, j {,, }, i j. A=a a 22 a DEFINICE Nechť T je těleso, N, A T,. Matice A se azývá jedotkovou, pokud a ij = pro všecha i, j {,, }, i j, a a ii = pro všecha i {,, }. A=. Jedotkovou matici -tého stupě budeme začit E (případě E, chceme-li zdůrazit její stupeň) DEFINICE Nechť T je těleso, N, A T,. Matice A se azává horí trojúhelíková, pokud a ij = pro všecha i, j {,, }, i j. a 2 a 3 a A=a a 22 a 23 a 2 a DEFINICE Nechť T je těleso, N, A T,. Matice A se azývá symetrická, pokud a ij =a ji pro všecha i, j {,, } Operace s maticemi DEFINICE Nechť T je těleso, m, N, A, B,C T m,. Matice C je součtem matic A, B, jestliže c ij =a ij b ij pro všecha i {,, m}, j {,, }. Ozačeí: C= AB. a a2 a b b2 b ab a2b2 ab a 2 a 22 a 2 b 2 b 22 b 2 a 2 b 2 a 22 b 22 a 2 b 2 a m a m2 a m b m b m2 b m= a m b m a m2 b m2 a m b m

3 DEFINICE Nechť T je těleso, m, N, A, B T m,, c T. Matice B je skalárím ásobkem ( c-ásobkem) matice A, jestliže b ij =c a ij pro všecha i {,, m}, j {,, }. Ozačeí: B=c A. a a 2 a c a2 c a a c 2 a 22 a 2 2 c a 22 c a 2 a m a m2 a m=c a m c a m2 c a m DEFINICE Nechť T je těleso, m,, p N, A T m, p, B T p,, C T m,. Matice C je součiem matic A, B, jestliže c ij =a i b j a i2 b 2j a ip b pj a ik b kj pro všecha i {,, m}, j {,, }. Ozačeí C= A B DEFINICE Nechť T je těleso, m, N, A T m,, B T,m. Matice B je matice traspoovaá k matici A, jestliže b ji =a ij pro všecha i {,, m}, j {,, }. Ozačeí B=A T. a a2 a a 2 a m a 2 a 22 a 2 =a a 2 a 22 a m2 a m a m2 a mt a a 2 a m VĚTA Nechť T je těleso, m,, p, q N. Platí: (I) Pro všecha A T m,, B T, p, C T p,q A B C = A B C. (II) Pro všecha A, B T m,, C T, p AB C =A C B C. (III) Pro všecha A T m,, B, C T, p A BC= A B A C. (IV) Pro všecha, T, A T m, A= A. (V) Pro všecha T, A T m,, B T, p A B= A B. (VI) Pro všecha A T m, E m A= A, A E = A. (VII) Pro všecha A T m, A T T = A. (VIII) Pro všecha A, B T m, AB T = A T B T. (IX) Pro všecha T, pro všecha A T m, A T = A T (X) Pro všecha A T m,, B T, p A B T =B T A T p

4 Důkaz: (I) Ozačme U =B C, V =A B, L=A U, P=V C. Je U T, q, V T m, p, L T m, q, P T m, q. Zvolme libovolě i {,, m}, j {,, q}. Chceme: l ij = p ij. Počítejme: l ij p p ij l= a ik u kj p v il c lj l= a ik p l= p b kl c lj = l = p a ik b kl c lj l = p a ik b kl c = lj a ik b kl c lj =l ij. l = p a ik b kl c lj a ik b kl c lj, l = (II) Ozačme U = AB, V =A C, W =B C, L=U C, P=V W. Je U T m,, V T m, p, W T m, p, L T m, p, P T m, p. Zvolme libovolě i {,, m}, j {,, p}. Chceme: l i j = p i j. Počítejme: l ij u ik c kj a ik b ik c kj (III) Postupujeme obdobě jako v části (II). (IV) Důkaz přeecháváme čteáři a ik c kj b ik c kj a ik c kj b ik c kj =v ij w ij = p ij. (V) Nechť U = A B, V = A, L= U, P=V B. Je U T m, p, V T m,, L T m, p, P T m, p. Zvolme libovolě i {,, m}, j {,, p}. Chceme: l ij = p ij. Počítejme: l ij = u ij = a ik b kj = a ik b kj a ik b kj v ik b kj = p ij. (VI) Nechť L=E m A. Je L T m,. Zvolme libovolě i {,, m}, j {,, }. Chceme: l ij =a ij. Počítejme: m l ij e ik a kj = a j a i, j a ij a i, j a mj =a ij. Druhá rovost se dokáže obdobě. (VII) Důkaz přeecháváme čteáři. (VIII) Důkaz přeecháváme čteáři. (IX) Důkaz přeecháváme čteáři. (X) Nechť U = A B, V =B T, W = A T, L=U T, P=V W. Je U T m, p, V T p,, W T, m, L T p, m, P T p,m. Zvolme libovolě i {,, p}, j {,, m}. Chceme: l ij = p ij. Počítejme: l ij =u ji 5.3. Hodost matice a jk b ki w kj v ik v ik w kj = p ij OZNAČENÍ Nechť T je těleso, m, N, A T m,. Pak klademe a =a, a 2,, a a 2 =a 2, a 22,, a 2 a m =a m, a m2,, a m DEFINICE Nechť T je těleso, m, N, A T m,. Hodost matice A začíme ha a defiujeme ji

5 takto h A=dim {a, a 2,, a m } TVRZENÍ Nechť T je těleso, m, N, A T m,. Platí: h A mi {m, }. Důkaz: ( ) Poěvadž a,, a m T, je {a,, a m } podprostor v T, takže h A=dim {a,, a m } dim T =. ( ) Víme, že z každé koečé možiy geerátorů vektorového prostoru lze vybrat bázi (viz 3..3 (a)), tedy z vektorů a,, a m lze vybrat bázi podprostoru {a,, a m }, což zameá, že ha=dim {a,, a m } m. Z ( ) a ( ) plye h A mi {m, } VĚTA Nechť T je těleso, m, N, A, A' T m,. Nechť matice A ' vzikla z matice A užitím koečého počtu ásledujících úprav: ) ahrazeím řádku tímto řádkem plus jiý řádek vyásobeý ějakým prvkem tělesa T 2) výměou dvou řádků 3) vyásobeím řádku ějakým eulovým prvkem tělesa T. Pak {a, a 2,, a m } = {a ', a 2 ',, a m ' }. Specielě, h A=h A'. Důkaz: (I) Nechť i, j {,, m}, i j, c T, a i '=a i c a j, a k ' =a k pro k {,, m}, k i. Ukážeme, že {a, a 2,, a m } = {a ', a 2 ',, a m ' }. : Pro k {,, m}, k i, je a k =a k ' {a ',, a m ' }. Dále, a i =a i ' c a j =a i ' c a j ' {a ',, a m ' }. Tudíž {a,, a m } {a ',, a m ' }, odkud již sado plye požadovaá ikluze. : Pro k {,, m}, k i, je a k ' =a k {a,, a m }. Dále a i '=a i c a j {a,, a m }. Tudíž {a ',, a m ' } {a,, a m }, odkud již sado plye požadovaá ikluze. (II) Nechť i, j {,, m}, i j, a i '=a j, a j '=a i, a k ' =a k pro k {,, m}, k i, k j. Pak {a,, a i, a i, a i,, a j, a j, a j,, a m } = {a ',, a i ',a j ',a i ',, a j ', a i ', a j ',, a m ' } = {a ',, a i ',a i ',a i ',, a j ', a j ', a j ',, a m ' } (III) Nechť i {,, m}, c T, c, a i '=c a i, a k =a k ' pro k {,, m}, k i. Ukážeme, že {a,, a m } = {a ',, a m ' }. : Pro k {,, m}, k i, je a k =a k ' {a ',, a m ' }. Dále, a i = c a i' {a ',, a m ' }. Tudíž {a,, a m } {a ',, a m ' }, odkud již sado plye požadovaá ikluze. : Pro k {,, m}, k i, je a k ' =a k {a,, a m }. Dále a i '=c a i {a,, a m }. Tudíž {a ',, a m ' } {a,, a m }, odkud již sado plye požadovaá ikluze Tvrzeí věty yí vyplývají z (I), (II) a (III) VĚTA Nechť T je těleso, m, N, A T m,. Platí: h A T =h A. Důkaz: Pokud A=O, je h A=, h A T = a tvrzeí platí. Nechť A O. Stačí ukázat: h A T h A. Pak totiž ha=h A T T ha T, takže ha T =h A. Nechť h A=k, ha T =l. Je k {,, m}, l {,, }. Ozačme b =a, a 2,, a m, b 2 =a 2, a 22,, a m2,, b =a, a 2,, a m.

6 Existují i,, i k {, m} tak, že {a i,, a ik } je báze prostoru {a,, a m }. Existují j,, j l {,, } tak, že { b j,, b jl } je báze prostoru { b,, b }. Ozačme u =a i j, a i2 j,, a ik j, u 2 =a i j 2, a i2 j 2,, a ik j 2,, u l =a i j l, a i2 j l,, a ik j l. Ukážeme, že vektory u,, u l jsou lieárě ezávislé. Nechť c,, c l T, c u c l u l =. Chceme: c =c 2 = =c l =. Ukážeme: c b j c 2 b j2 c l b jl =. K tomu stačí ukázat,že c a i j c 2 a i j2 c l a i jl = pro každé i {,, m} {i,, i k }. Buď i {,, m} {i,, i k }. {a i,, a ik } je báze prostoru {a,, a m }, a proto existují d,, d k T tak, že a i =d a i d 2 a i2 d k a ik. k Pak a ij d p a i p j, a ij2 d p a i p j 2,, a ijl p= k p= c a i j c 2 a i j2 c l a i jl =c p= k k d p a i p j c 2 p= k p= d p a i p j l. Potom d p a i p j 2 c l d p a i p j l = d c a i j c 2 a i j 2 c l a i j l d 2 c a i 2 j c 2 a i2 j 2 c l a i2 j l d k c a i k j c 2 a ik j 2 c l a ik j l =d d 2 d k =. Protože vektory b j,, b jl jsou lieárě ezávislé, jsou c =c 2 = =c l =. Takže: u,, u l jsou lieárě ezávislé vektory v prostoru T K. Z toho plye, že l k VĚTA Nechť T je těleso, m,, p N, A T m,, B T, p. Platí: h A B mi {h A, h B}. Důkaz: Ozačme C= A B. Nechť i {,, m}. S ohledem a defiici ásobeí matic platí: c i =a i b a i 2 b 2 a i b, tedy c i { b,, b }. Proto {c,, c m } { b,, b }, tedy hc=h A B h B. Použitím již dokázaého a souči B T A T dostáváme hb T A T h A T, což podle zameá ha B h A (uvědomme si, že B T A T = A B T ). Celkem h A B mi {h A, h B} Gaussův-Jordaův elimiačí algoritmus VĚTA Nechť T je těleso, m, N, A T m,. Nechť matice A je v řádkovém stupňovitém tvaru. Nechť k N, k m, a i pro i k, a i = pro ik. Platí: (I) {a, a 2,, a k } je báze prostoru {a, a 2,, a k,, a m }. (II) dim {a,, a m } =k. Důkaz: (I) Jelikož a i = pro ik, je {a,, a k } = {a,, a m }. Stačí tedy ukázat, že vektory a,, a k jsou lieárě ezávislé. Nechť c,, c k T, c a c k a k =. Chceme: c =c 2 = =c k =. Ozačme pozice vedoucích jediček:, j, 2, j 2,, k, j k. Je j j 2 j k. Platí: c a j c 2 a 2 j c k a k j = c c 2 c k = c = Obdobě také c 3 =c 4 = =c k =. (II) Tvrzeí (II) ihed plye z (I). k p=, dále c 2 a 2 j 2 c 3 a 3 j2 c k a k j 2 = c 2 c 3 c k = c 2 = GAUSSŮV-JORDANŮV ELIMINAČNÍ ALGORITMUS VSTUP: Matice A typu m, ad tělesem T. VÝSTUP: Matice A typu m, ad tělesem T s těmito vlastostmi:

7 (I) A je v řádkovém stupňovitém tvaru. (II) {a,, a m } = { a,, a m }. NEBO Matice A typu m, ad tělesem T s těmito vlastostmi: (I') A je v redukovaém řádkovém stupňovitém tvaru. (II') {a,, a m } = { a,, a m }. VÝPOČET:. Najděte ejlevější sloupec, jež eobsahuje samé uly. 2. Je-li to uté vyměňte prví řádek s řádkem, jež obsahuje eulový prvek a ve sloupci alezeém v kroku. 3. Jestliže prvek a eí, vyásobte prví řádek prvkem, abyste získali vedoucí jedičku a prvího řádku. 4. Použijte prví řádek k získáí ul pod vedoucí jedičkou prvího řádku (použitím úpravy () z věty ). 5. Zakryjte prví řádek a aplikujte prví 4 kroky a zbývající podmatici. Pokračujte tak dlouho, až celá matice je v řádkovém stupňovitém tvaru. To bude matice A. 6. Použijte posledí eulový řádek k získáí ul ad vedoucí jedičkou tohoto řádku. Použijte předposledí eulový řádek k získáí ul ad vedoucí jedičkou tohoto řádku. Pokračujte tak dlouho, až matice je v redukovaém řádkovém stupňovitém tvaru. To bude matice A. (Je li A=O, výpočet eproběhe a A= A= A=.) Důkaz korektosti algoritmu: Fakta (I) a (I') jsou zřejmá po krátké úvaze. Fakta (II) a (II') zdůvodíme takto: Jedotlivé kroky algoritmu upravují výchozí matici A : Krok : K úpravě edochází. Krok 2: K úpravě edochází ebo je použita úprava (2) z věty Krok 3: K úpravě edochází ebo je použita úprava (3) z věty Krok 4: Je použita koečě mohokrát úprava () z věty Krok 5: Koečě mohokrát se opakují kroky až 4, je tedy použito koečě moho úprav (), (2), (3) z věty Krok 6: Je použita koečě mohokrát úprava () z věty Shrutí: Při výpočtu matic A a A se výchozí matice A upravuje pomocí koečě moha úprav (), (2), (3) z věty Rovosti (II) a (II') yí plyou bezprostředě z věty PŘÍKLAD Nechť A R 4,5, A= Vypočtěte matice A a A. Řešeí: Použijeme Gaussův Jordaův elimiačí algoritmus krok krok

8 krok Tedy: 2 3 krok A= A= 2 3 4, POZNÁMKA Gaussův-Jordaův elimiačí algoritmus lze použít při řešeí této stadardí úlohy: Je dáo těleso T, přirozeá čísla m, a vektory v, v 2,, v m T. Má se určit dimeze a (ějaká) báze prostoru V = {v, v 2,, v m }. Postupujme ásledově: Nechť v =v, v 2,, v v 2 =v 2, v 2 2,, v 2 v m =v m, v m 2,, v m. i Sestrojíme matici A T m,, A=a ij, a ij =v j. Vypočteme matici A. Víme: V = {a, a 2,, a m } = {a, a 2,, a m }, A je v řádkovém stupňovitém tvaru. Dle pak dim V =k a {a, a 2,, a k } je báze prostoru V, přičemž číslo k je počet eulových řádků matice A (tj. a i pro i k, a i = pro ik ). Obdobě lze použít matici A. Kokrétě, echť v prostoru R 5 jsou dáy vektory v =, 2, 3, 4, 5, v 2 =6, 7, 8, 9,, v 3 =, 2, 3, 4, 5, v 4 =6, 7, 8, 9, 2. Nechť V = {v, v 2, v 3, v 4 }. Má se určit dim V a ějaká báze prostoru V. Sestrojíme tedy matici A A= V jsme spočítali, že A= A= 2 3 4, Dostáváme tedy tuto odpověď: dimv=2, {, 2, 3, 4, 5,,, 2, 3, 4} je báze V, {,,, 2, 3,,, 2, 3, 4} je báze V Matice regulárí a sigulárí DEFINICE Nechť T je těleso, N, A T,. Matice A se azývá regulárí, když h A=. Matice A se azývá sigulárí, eí-li regulárí VĚTA Nechť T je těleso, m, N, A T m,m, B T m,. Jestliže A je regulárí, pak maticová rovice A X =B má právě jedo řešeí mezi maticemi typu m, ad tělesem T.

9 Důkaz: Použijeme toto ozačeí: v =a, a 2,, a m, v 2 =a 2, a 22,, a m2,, v m =a m, a 2m,, a m m Uvědomme si tato tři fakta: (I) dim {v, v 2,, v m } =h A T (dle defiice traspoovaé matice a dle defiice hodosti matice) (II) ha T =h A (dle ) (III) ha=m (matice A je regulárí) Shreme-li, dostaeme dim {v, v 2,, v m } =m. Zřejmě {v, v 2,, v m } T m, dim T m =m. Tudíž {v, v 2,, v m } =T m, {v, v 2,, v m } je báze prostoru T m. Porovejme j -tý sloupec matice A X a j -tý sloupec matice B ( j {,, } ). Dostaeme a x j a 2 x 2j a m =b j a 2 x j a 22 x 2j a 2m =b 2j a m x j a m2 x 2j a mm =b mj eboli vektorově x j v x 2j v 2 x m j v m =w j, kde w j =b j, b 2j,, b mj. Řešit rovici A X =B tedy zameá řešit soustavu x j v x 2j v 2 x mj v m =w j, ( j=,, ) ( ) (dáy jsou v, v 2,, v m, w, w 2,, w, ezámé jsou x ij pro i=, 2,,m, j=, 2,, ). Vzhledem k tomu, že {v, v 2,, v m } je báze prostoru T m, soustava ( ) má právě jedo řešeí POZNÁMKA Nechť T je těleso, m, N, A T m,m, B T m,, A je regulárí. Má se vyřešit rovice A X =B. Matici X lze určit pomocí Gaussova-Jordaova elimiačího algoritmu. Teto algoritmus, aplikovaý a matici A, postupě pomocí úprav U, U 2,, U k (jde o úpravy (), (2), (3) z věty ) vypočte matici A. Uvědomme si, že matice A má všechy řádky eulové, takže každý její řádek má svou vedoucí jedičku. Protože A je v redukovaém řádkovém stupňovitém tvaru, je A= E. Aplikujeme postupě úpravy U, U 2,, U k a matici B. Výsledou matici ozačme C. B U U k C Tvrdíme, že matice C je jedié řešeí rovice A X =B. Nechť tedy A X =B. Je třeba ukázat, že X =C. Zvolme libovolě j {, 2,, }. Matice A X má teto j -tý sloupec: a x j a 2 x 2 j a m a 2 x j a 2 2 x 2 j a 2 m a m x j a m 2 x 2 j a mm Teto sloupec bude postupou aplikací úprav U, U 2,, U k a matici A X převede a tvar a x j a 2 x 2 j a m a 2 x j a 2 2 x 2 j a 2 m, čili a m x j a m2 x 2 j a mm x j x 2 j x j x 2 j, čili x j x 2 j x j x 2 j. x m j

10 Uvažme yí, že A X =B. Tudíž X =C. x j =c j x 2 j =c 2 j x m j =c m j PŘÍKLAD. Nechť 2 A= 3 3 B= 2 3 4, jsou matice ad tělesem R l Vyřešte maticovou rovici A X =B. Řešeí: Použijeme postup popsaý v pozámce Tedy X = Zkouška: = 34 A X = = =B.

11 Pomocé výpočty: = =, 64 = 74 = = 5 =2, 8=8 37 = 36 =3 3, = 34 2= 32=9 3 4=4, = = 66= = 7 34 =5 3, 92 2= 98 2= 92= = 36 5 =6, =224= Matice iverzí LEMMA Nechť T je těleso, N, A T,. Platí: existuje ejvýše jeda matice X T, tak, že A X = X A= E. Důkaz: Nechť X, Y T,, A X = X A= E, A Y =Y A= E. Chceme: X =Y. Počítejme: X = X E = X A Y = X A Y =E Y =Y DEFINICE Nechť T je těleso, N, A, X T,. Matice X se azývá matice iverzí k matici A, platí-li: A X = X A= E. Ozačeí: X =A VĚTA Nechť T je těleso, N, A, X T,. Jestliže A X =E, pak X A=E a tedy X =A. Důkaz: =h E =h A X mi {ha, hx } h X. (Použili jsme větu ) Odtud h X =, X je regulárí matice. Dle existuje právě jeda matice Y T, splňující X Y =E. Potom A X = E / Y A X Y =E Y A X Y =Y A E=Y A=Y Takže E= X Y = X A VĚTA Nechť T je těleso N, A T,. Platí: Matice A existuje právě tehdy, když matice A je regulárí. Důkaz: (I) Nechť A existuje. Chceme: A je regulárí, tj. ha=. =he=ha A mi {ha, h A } ha (použili jsme větu ). Odtud ha=. (II) Nechť A je regulárí. Chceme: A existuje. Dle existuje právě jeda matice X T, tak, že A X =E. Dle pak X =A.

12 POZNÁMKA Nechť T je těleso, N, A T,, A je regulárí. Má se určit matice A. S ohledem a to zameá vyřešit maticovou rovici A X =E ( X T, ). K tomu lze použít Gaussův-Jordaův elimiačí algoritmus, jak je vyložeo v pozámce PŘÍKLAD Nechť 2 A= 3 3 je matice ad tělesem R. Určete matici A. Řešeí: Použijeme postup popsaý v pozámce = = Tedy A. Zkouška: = 5 A A = = E. Pomocé výpočty: = 5 5 = = = = 3553 = 5 3 = 3 = 5 5 = = 2 = =

13 VĚTA Nechť T je těleso, N, A, B T,, A, B jsou regulárí. Pak (a) A je regulárí a A = A. (b) A T je regulárí a A T = A T. (c) A B je regulárí a A B =B A. Důkaz: (a) A A=A A = E, takže A = A. (b) A T A T =A A T = E T = E, A T A T = A A T =E T =E, takže A T = A T. (c) A B B A =A B B A = A E A = A A =E, B A A B=B A A B= B E B=B B=E, takže A B =B A.