Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1"

Transkript

1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet kovergetí řady závisí a všech eulových čleech, proto v příkladech uvádíme meze sumy, tedy od kterého 0 do čley řady sčítáme. Oproti tomu kovergece řady a koečém počtu čleů ezávisí, proto euvádíme spodí mez (protože může být libovolá) ai horí mez (protože je vždy ). Pro úvahy o kovergeci je z popsaého důvodu velmi užitečý pojem platosti pro skoro všecha, zkráceě pro s.v., jehož defiici si pro jistotu připomeeme: Defiice. Řekeme, že vlastost (predikát) P () platí pro pro skoro všecha, pokud existuje takové 0 N, že pro všecha N platí 0 P () (eboli vlastost splňují všecha přirozeá čísla od ějakého 0 ). Řekeme, že vlastost Q(x) splňují skoro všechy čley poslouposti a, pokud vlastost P () Q(a ) platí pro skoro všecha (eboli vlastost Q splňují všechy čley poslouposti od ějakého čleu dále). Můžeme tedy apříklad říci, že erovost > 3 je splěa pro skoro všecha, protože platí pro všecha 0 4, ebo ekvivaletě, že skoro všechy čley poslouposti a jsou větší ež 3. Věujme se yí elemetárím úpravám řad. Důležitou úpravou je přečíslováí. Například řady a m jsou totožé, což lze lehce ověřit rozepsáím sumy: m Korektě lze ověřeí provést pomocí substituce m. Skutečě, ahradíme-li všecha (včetě meze) v řadě vlevo m, dostaeme řadu vpravo. Pomocí substituce tedy řady můžeme přečíslovat, musíme si však uvědomit její omezeí: aby přečíslovaá řada obsahovala právě ty čley, které obsahovala řada původí, musí být vztah mezi možiami idexů a m bijekcí (vzájemě jedozačým zobrazeím), a to rostoucí, aby edošlo k přerováí čleů řady. To však zameá, že substituce může být obecě pouze posuutím v rámci celých čísel, a bude tedy vždy ve tvaru m + k, k Z. Výsledkem je totožá řada, pouze odlišě idexovaá: 0 a m 0 k a +k. Totéž přečíslováí můžeme popsat i zmíěou bijekcí, která ám a rozdíl od substituce umoží použít stejou proměou. Můžeme tedy říci, že, protože řada vlevo vzike z řady vpravo zobrazeím idexů, což prakticky zameá, že řadu vpravo vytvoříme ahrazeím všech v řadě vlevo.

2 Jiým důležitým případem je rozděleí řady a dvě (ebo více). Uvažujme apř. řadu ( ( + ( ) ) + ( ( ) ) ). Výraz + ( ) abývá pro sudá hodoty a pro lichá 0, výraz ( ) obráceě. Pro sudá tedy budou čley řady rovy, pro lichá +. Nabízí se tedy možost zjedodušit řadu (resp. práci s í) rozděleím a dvě, jedu se sudými a jedu s lichými čley. To lze podle věty o liearitě řad tehdy, když bude mít výsledý součet řad smysl, což v tomto případě jistě platí obě řady mají ezáporé čley, tím pádem i ezáporé součty a jejich součet tedy smysl má. Při rozkladu řady a dvě je uté je přečíslovat. Kupříkladu hodoty budou čley řady abývat je pro sudá, avšak řada v klasickém zápisu je vždy idexováa všemi celými čísly počíaje ějakým 0. Je tedy třeba alézt bijekci ějaké možiy I k {k + ; N 0 } {k, k +, k +,... }, k Z a možiu sudých přirozeých čísel. V ašem případě je řešeí jedoduché: zobrazeí splňuje všechy požadovaé vlastosti, jeho proměou tedy můžeme použít k idexaci a hodoty dosadit do čleů řady. V případě lichých čleů můžeme použít zobrazeí + (pak bude řada idexováa od 0, aby prví hodota byla ), ebo (idexováo od ). Zvolíme apř. druhou možost a můžeme psát ( ( + ( ) ) + ( ( ) ) ) () + ( ) , což je hledaý rozklad. Příklad A. Zjedodušte řadu (A.) si π. Řešeí. Zjedodušeí řady (jako kteréhokoli jiého matematického výrazu) je edefiovaým, ituitivím pojmem. Zpravidla se jím rozumí převedeí a takový ekvivaletí tvar, který je vhodý pro řešeí avazující úlohy určitého typu (apř. dosazeí, zjištěí kovergece, derivace, itegrace... ). V případě řad bývají často obtížými čley, jichž se úpravou pokud možo chceme zbavit, goiometrické poslouposti. Nabývají-li hodot vyjádřitelých pomocí elemetárích fukcí, je to často možé. V ašem případě se jedá o posloupost si π, která abývá periodicky hodot, 0,, 0. Vidíme ihed, že všechy sudé čley řady (A.) jsou ulové. Stejě jako v předchozím výkladu řadu rozdělíme pomocí bijekcí a a dvě: si π si π + si ( )π si π + si ( π π ) Jak víme, pro každé k Z je si kπ 0, všechy čley prví řady i její součet jsou tedy ulové. Čley poslouposti si ( π π ) mají hodoty střídavě a, posloupost je tedy shodá s posloupostí ( ). Výsledek je si π ( )

3 Příklad B. Nalezěte součet řady (B.) v závislosti a s, kde ( ) (B.) s Řešeí. Čley řady (B.) jsou zřejmě lichými čley řady (B.). Zkusme tedy podle předchozího rozložit řadu (B.) a součet řad sudých a lichých čleů (opět je to umožěo ezáporostí čleů řady): s. () + ( ) Řadu sudých čleů můžeme jedoduše upravit a vyjádřit její součet pomocí s: Po dosazeí do předchozího dostáváme a odtud hledaý výsledek: () 4 4 s s 4 + ( ) ( ) 3 4 s 4 s Pozameejme, že úloha alézt hodotu s byla ve své době velmi slavým, tzv. Basilejským problémem, o jehož řešeí se a přelomu 7. a 8. století eúspěšě pokoušela celá špička tehdejší matematiky. Až roku 735 ukázal švýcarský matematik Leohard Euler, že Příklad C. Nalezěte součet řady (C.) Použijte vztah (C.) s 0 0 π 6. +!.! e. Řešeí. Vztah (C.) záme už z kapitoly ity posloupostí, byť v trochu jiém tvaru: ( e 0! +! +! + + )! Použijeme-li termiologie teorie řad, můžeme říci, že čley poslouposti vpravo jsou částečými součty řady (C.) a jejich ita je tedy jejím součtem. 3

4 Abychom alezli součet řady (C.), rozdělíme ji opět a dvě, tetokrát ovšem odlišým způsobem ebudeme vytvářet vybraé řady (jako bylo předchozí děleí a sudé a liché čley), ale rozdělíme přímo -tý čle řady a dva: +!! +! Smysl takového rozděleí je pochopitelě v tom, že prví ze vziklých zlomků můžeme krátit a tak zjedodušit. Zde ovšem pozor kráceí zde umožňuje rovost! ( )!, která platí pro N, ale ikoli pro 0 (pokud si teto fakt euvědomíme, mělo by ás přiejmeším apadout, že ulou elze krátit). Teto případ musíme také uvažovat, protože řada (C.) je idexováa právě od uly. V takovém případě je obecě třeba čley, které se chovají jiak ež ostatí, oddělit. 0! 0 0! +! ( )! Protože řadu, která má ve jmeovateli ( )!, eumíme přímo sečíst, přečíslujeme ji použitím zpěté bijekce + : ( )!! Nyí je už řešeí triviálí: 0 +! 0 (! + )! 0 0! + 0! 0! e. PŘÍKLADY. Zjedodušte řadu ( + )( ) 4 cos π.. Nalezěte součet řady 3. Nalezěte součet řady ( ) v závislosti a s!.. Sčítáí řad Příklad D. Nalezěte součet řady (D.) 0 ( ) Řešeí. Řada je geometrická s kvocietem q 3 4. To lze zjistit z defiice geometrické poslouposti: q a + a ( ) + 3 (+)+ 5. (+) ( )

5 Protože je podíl + -ího a -tého čleu řady kostatí (ezávisí a ), jde o geometrickou řadu s kvocietem rovým tomuto podílu. Vyčísleí složeého zlomku ahoře je však zbytečě pracé jedodušší je použít tvrzeí, které říká, že je-li -tý čle poslouposti součiem (resp. podílem) kostat a čleů tvaru q a+b, je posloupost geometrická s kvocietem rovým součiu (podílu) výrazů q a. V tomto případě čley řady podmíku evidetě splňují a q ( ) Protože je < q <, řada koverguje a podle vzorce pro součet geometrické poslouposti je 0 Příklad E. Nalezěte součet řady (E.) Řešeí. Upravíme čley řady: ( ) ( ) ( ) ( + ) + Posledí úprava se azývá rozklad a parciálí zlomky a jako techika hraje důležitou roli apř. v itegrálím počtu při itegraci racioálích fukcí. V tomto případě ám umoží vyjádřit částečé součty řady (E.). Je totiž ( ) ( + 3 k + ) + ( 3 4 k ( ) + + ) + ( k k + ) k + Řadám tohoto typu se ěkdy říká teleskopické, protože odečteí stejých čleů umoží složit částečý součet řady stejě, jako teleskopický dalekohled. Záme-li vyjádřeí částečých součtů pomocí elemetárích fukcí, je už určeí součtu řady jedoduché, eboť je defiová jako jejich ita: ( + ) k k + Kovergece řad Příklad F. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (F.) ( + 3)( ). Řešeí. Protože čitatel a jmeovatel čleů řady jsou polyomy stejého stupě, bude ita čleů řady eulová: ( + 3)( ) a podle uté podmíky kovergece řada diverguje. ( + 3 )( ) 0 5

6 Příklad G. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (G.) si. Řešeí. V tomto případě ita čleů řady eexistuje. To je však silější tvrzeí, ež potřebujeme podle uté podmíky kovergece k divergeci řady stačí, aby se ita čleů řady erovala ule. To dokážeme jedoduše: v každém itervalu (kπ + π 6, kπ + 5π 6 ), kde fukce sius abývá hodot větších ež, leží alespoň jedo celé číslo, protože délka tohoto itervalu je π 3 > (takže v ěm dokoce leží alespoň dvě celá čísla). To zameá, že ekoečě moho čleů poslouposti si má hodotu větší ež, což podle defiice ity zameá, že ita jistě eí ula, protože eexistuje takový čle poslouposti, od ějž dál už se všechy čley poslouposti liší od uly o méě ež (také lze říci, čley s hodotou větší ež tvoří vybraou posloupost, jejíž ita emůže být ula). Řada tedy diverguje. Pozameejme, že pokud bychom chtěli dokázat eexisteci ity poslouposti si, museli bychom stejým způsobem jako výše uvažovat ještě apř. itervaly, v ichž je fukce sius záporá. Protože je ekoečě moho čleů větších ež a ekoečě moho záporých, eí splěa Bolzao-Cauchyho podmíka a protože je posloupost omezeá, emá itu (opět lze i pomocí dvou vybraých posloupostí). Příklad H. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady! (H.) ()!. Řešeí. Na řady se čley ve tvaru součiu ebo podílu faktoriálů se většiou (byť e vždy) osvědčuje podílové kritérium, a to v jeho jedodušší, ití podobě. (+)! ((+))!! ()! ( ( + )!! ) ()! ( + )! ( + ) ( + )( + ) 4 < Řada tedy koverguje a protože jsou její čley ezáporé, koverguje i absolutě. Příklad I. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (I.) ( 3). Řešeí. Tato řada je jedou z mála, u ichž má smysl použití eitího podílového kritéria. Zpravidla totiž a řady, a které toto kritérium lze aplikovat, lze buď použít jedodušší ití verzi, ebo je jedodušší použít jié kritérium (typicky srovávací, jak tomu je i v tomto případě). Spočtěme podíl po sobě ásledujících čleů řady: 3 + +( 3) ( 3) ( 3) + + ( 3) + 3 (3 + ( ) ) 3 + (3 + ( ) + ) 3 + ( ) 3(3 ( ) ) Pro sudá tedy bude hodota podílu 3, pro lichá 6. Existuje tedy q 3 < takové, že pro každé N platí a + a q, a řada koverguje. Protože má ezáporé čley, koverguje i absolutě. Ukažme si ještě jiý postup. Jak bylo předesláo, lze v tomto případě použít srovávací kritérium. Protože je ( 3) 3, je ( 3) , a protože řada.3 je geometrická s kvocietem 3 původí. 6 a tedy kovergetí, koverguje i řada

7 Příklad J. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady ( ) 3 (J.). + Řešeí. Odmociové kritérium se zpravidla eužívá tak často jako kritérium podílové. Důvodem je techická obtížost it výrazů a. Přesto má svoji ezastupitelou úlohu právě u řad se čley ve tvaru mociy, kde expoet je polyom (či obecěji racioálí posloupost) proměé. -tá odmocia zameá děleí expoetu, což je vhodé, pokud je expoet přímo ásobkem. V příkladech, jako je teto, je třeba se se ejprve v expoetu zbavit sčítaců, jež ejsou ásobky, a to pomocí srovávacího kritéria. Pokud je to možé, u obou kritérií používáme jedodušší, ití verzi. Řadu (J.) (ozačme její čley a ) srováme s řadou b, kde ( ) 3 b, + a íž už bude možo aplikovat odmociové kritérium. Máme a b ( ) 3 + ( + ) 3 (0, ) + a kovergece obou řad je tedy ekvivaletí. A protože ( ) 3 ( ) <, kovergují obě řady absolutě. Pozameejme, že případy, ve kterých je posledí ita rova jedé, elze rozhodout odmociovým kritériem, zpravidla však postačí použít utou podmíku kovergece. Příklad K. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (K.) si cos. Řešeí. Prví, čeho bychom si měli povšimout, je, že se v tomto případě ejedá o řadu s ezáporými čley. Čley této řady měí zaméko, elze tedy použít kritéria určeá pro řady s ezáporými čley, zároveň eí jasé, jak rozložit čley a souči, aby bylo možo použít Abelova či Dirichletova kritéria (protože souči eobsahuje mootóí posloupost, museli bychom ji dodat rozšířeím, to by však zkomplikovalo zbytek). Příklady tohoto typu jsou obecě velmi obtížé, jedoduše je lze řešit prakticky je tehdy, když lze k důkazu divergece použít utou podmíku kovergece (která a zaméku čleů ezávisí) ebo k důkazu kovergece kovergeci absolutí. Touto cestou se vydáme i zde. Budeme zkoumat kovergeci řady si cos si cos pomocí odmociového kritéria (k ěmuž ás vede tvar čleů řady jako -tých moci). Hed však vidíme, že výraz si cos, který ám vzike, patrě emá itu, a ebude tedy možo použít ití verze kritéria. Pokud by se ám však podařilo dokázat, že je teto výraz shora omezeý kostatou meší ež, řada by kovergovala podle eití verze kritéria. To se ám malou úpravou skutečě podaří: si cos si si cos a řada tedy absolutě koverguje. 7

8 Příklad L. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (L.). Řešeí. Na prví pohled je zřejmé, že řada splňuje utou podmíku kovergece. Zároveň emá smysl použít podílové či odmociové kritérium, protože řada eobsahuje žádý čle rostoucí alespoň tak rychle, jako geometrická posloupost (a ity z podílového i odmociového kritéria tedy budou rovy jedé). Jde tedy o typický příklad použití kritéria srovávacího. To je obecě ejsilější z kritérií pro řady s ezáporými čley, dokážeme-li ovšem ajít vhodou řadu ke srováí, jejíž kovergeci budeme zát. Naší řadě je podobá řada (E.). Zkusme ejprve použít eití verzi srovávacího kritéria. Protože řada (E.) koverguje, pokusíme se totéž dokázat pro zkoumaou řadu (L.) toto rozhodutí je u eití verze zásadí, protože ám říká, zda se máme vyšetřovaou řadu pokusit omezit shora (áš případ) ebo zdola (pokud dokazujeme divergeci). Pokus o přímé srováí odpovídajících si čleů evyjde, je totiž > +, což je opak toho, co bychom potřebovali. To lze však lehce apravit s -tým čleem řady (E.) srováme + -í čle řady (L.): ( + ) < + a odtud dostáváme kovergeci řady, což je však řada bez prvího čleu. Kovergece řady však a koečém počtu čleů ezáleží, proto vyšetřovaá řada absolutě ko- (+) verguje. Ještě jedodušeji můžeme výsledek dostat použitím itího srovávacího kritéria: + + (0, ), tedy kovergece obou řad je ekvivaletí a protože řada (E.) koverguje, koverguje i řada (L.). Teto důležitý příklad a divergece harmoické řady ám umoží rozhodovat o kovergeci řad ( ) α, kde α ebo α. Je totiž zřejmé, že pro α je α a tedy řada ( ) podle srovávacího kritéria diverguje, zatímco pro α je a řada podle téhož kritéria koverguje. α Tohoto faktu budeme od yějška využívat, aiž bychom jej zova dokazovali. U řad ( ) s α (, ) zůstává otázka kovergece pro ás otevřeá; prozraďme, že pro všecha α > řada koverguje, což lze poěkud obtížě dokázat i elemetárími prostředky (viz soubor alphabeta.pdf ), jedoduše (a dokoce v obecější podobě) pak pomocí tzv. itegrálího kritéria, které však vyžaduje zavedeí itegrálů a je pro ás v tuto chvíli edostupé. Předchozí odstavec má zásadí výzam pro použití srovávacího kritéria. Tam totiž musíme zkostruovat řadu, s íž vyšetřovaou řadu srováme, a o íž již musíme vědět (ebo být schopi podle ějakého kritéria určit), zda koverguje. Nyí tedy máme k dispozici dva typy řad, jejichž kovergeci jsme schopi určit přímo řady z předchozího odstavce a řady geometrické. 8

9 Příklad M. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (M.) ( + ) l( + ). Řešeí. Ze stejého důvodu jako v předchozím příkladě emá smysl použít podílové ebo odmociové kritérium. Techikami zámými z výpočtů it upravíme čley zadaé řady, abychom ašli řadu, se kterou budeme srovávat: + ( + ) ( + + ) ( l( + ) l ( + )) ( l + l + ) ( l + l ( + )) l Vyjádřili jsme tedy čley řady (M.) (ozačme je a ) ve tvaru ( ) 4 l + l(+ ) l a ), ( + + jehož smysl tkví v tom, že ahrazeím závorek jejich koečými eulovými itami (čitatel) resp. (jmeovatel) dostaeme podstatě zjedodušeý výraz vhodý jako čle srovávací řady b : b l Dokázat ekvivaleci kovergece obou řad je yí triviálí: a b! 4 l + l (+ ) l q+ + l (0, ) Čley srovávací řady b jsou již maximálě zjedodušeé, kovergeci této řady však ezáme. Je třeba opět použít srovávací kritérium (tetokrát v eití verzi) a porovat řadu s ějakou řadou, jejíž kovergeci již budeme zát. Zde se abízí použití řady, ejprve α ás patrě apade α 5. Teto pokus je však odsouze k eúspěchu: l 5 l, skoro všechy čley řady b jsou tedy větší ež čley kovergetí řady 5, z čehož pochopitelě plye jediý závěr, a to, že toto srováí je k ičemu (pozameejme, že pokud by byl čle l ve jmeovateli, byla by erovost opačá a příklad by byl vyřeše). Obtížý logaritmus v čitateli však můžeme zeutralizovat libovolě malou mociou : protože l l pro s.v., l 0, což plye ze vztahu l k k pro k, k > 0. Čley řady b jsme tedy shora omezili čley kovergetí řady (říkáme také, že tato řada je pro řadu b kovergetí majoratou), a tedy b i řada (M.) absolutě kovergují. 9

10 Příklad N. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (N.) tg. Řešeí. Příklady, ve kterých se vyskytuje trascedetí elemetárí fukce, jejímž argumetem je posloupost jdoucí k ule (což zde plye ze vztahu k q pro k > 0, q > ), řešíme zpravidla a základě zalosti chováí takové fukce v okolí uly. V případě fukce tg x víme, že pro každé x 0, π si x ) platí tg x x, čímž máme odhad fukce zdola. Zároveň tg x cos x a protože apř. pro x 0, π 3 je cos x (plye to z toho, že fukce cos x je a tomto itervalu klesající a cos π 3 ) a si x x, je a témž itervalu tg x x x (erovost plye z toho, že jsme zvětšili čitatel a zmešili jmeovatel ), což je omezeí tg x shora. Iterval platosti zde eí omezeím koverguje-li posloupost kladých čísel k ule, bude libovolý iterval (0, ε), ε > 0 obsahovat skoro všechy její čley. Řada tg a, kde a 0 tedy bude kovergovat právě tehdy, když bude kovergovat a, protože její čley omezují tg a zdola a čley poslouposti a, jejíž kovergece je ekvivaletí, shora. Zjistíme tedy ejprve, zda koverguje argumet a pak pomocí ěj omezíme vyšetřovaou řadu shora ebo zdola. Řada je typickou řadou vhodou pro užití podílového kritéria: (+) + ( + ) < a řada tedy koverguje. Podle předchozího odstavce tedy omezíme čley řady (N.) shora: tg pro s.v. a můžeme kostatovat, že řada (N.) koverguje absolutě podle srovávacího kritéria. Shrňme zámé vlastosti elemetárích fukcí, které umoží jejich odhady v okolí uly, resp. dalších důležitých bodů. Z předchozího odstavce máme pro x 0, π 3 : x tg x x. Teto odhad však můžeme použít je tehdy, je-li vitří posloupost ezáporá. Z lichosti všech tří fukcí v erovosti však sado dostaeme aalogický odhad pro x ekladá: je-li x π 3, 0, platí x tg( x) tg x x, eboli x tg x x. Odhady pro ezáporá a ekladá x můžeme shrout do jedoho: pro x π 3, π 3 je x tg x x. Pozameejme, že horí odhad lze zlepšit (tedy sížit), protože omezíme-li se a kratší iterval (což lze, protože koverguje-li vitří posloupost k ule, stačí odhad a libovolě malém itervalu ( ε, ε), kde ε > 0), můžeme zvýšit miimálí hodotu cos x a tomto itervalu (apř. pro x π 6, π 6 platí cos x 3 a tedy tg x x 3 ). Z předchozího odstavce je zřejmé, že v tomto případě by takové zlepšeí emělo smysl, v jiých příkladech (apř. při použití eitího odmociového kritéria) však ao. Další zlepšeí umožňuje odhad fukce cos x ikoli kostatou, ale fukcí, což však překračuje rámec tohoto textu. Na rozdíl do horího odhadu uvedeý spodí odhad zlepšit elze (resp. e multiplikativí kostatou) pro žádé α > eplatí α x tg x a žádém itervalu ( ε, ε), což plye okamžitě z toho, že horí odhad můžeme zkracováím itervalu sížit a libovolé α x, α > (protože cos x je v dostatečě malém itervalu kolem uly větší ež α ). Věujme se yí odhadům dalších fukcí. Víme, že pro x 0, ) je si x x, máme tedy odhad fukce si x shora. Zároveň pro x 0, π si x ) platí tg x cos x x, eboli si x x cos x. Stejě jako při odvozeí odhadu tg x se můžeme omezit a iterval 0, π 3, kde platí cos x a tedy pro x 0, π 3 máme x si x x. Stejě jako u tg x můžeme použít lichost pro odhad 0

11 v záporých x a dostaeme uiverzálí odhad: pro každé x π 3, π x 3 je si x x. V tomto případě lze volbou užšího itervalu zlepšit dolí odhad, a to a α x, kde α <. Odhady fukce cotg x můžeme velice sado odvodit z již hotových odhadů pro tg x. Pro x ( π, 0) ( 0, π ) totiž platí cotg x tg x, což spolu s odhady tg x dává pro x π 3, 0) ( 0, π 3 erovosti x tg x cotg x x. Odhad zdola lze zlepšit a α x pro α >. Pro x 0 emá odhad pochopitelě smysl, protože v tomto bodě eí fukce cotg x defiováa. Zbývající goiometrickou fukci, cos x, lze pomocí racioálích fukcí odhadout také, tyto odhady však (byť je lze sado odvodit ze získaých odhadů pro si x), překračují rámec tohoto textu. Pro aše účely postačí odhad pomocí kostat: pro x R je cos x a apř. pro x π 3, π 3 je cos x. Překvapivě sado lze pomocí již odvozeých vztahů získat odhady epříjemých cyklometrických fukcí stačí využít toho, že jsou defiováy jako iverzí fukce ke goiometrickým fukcím zúžeým a určitý iterval. Například dosadíme-li do odhadu y π 3 y tg y y za y výraz arctg x, dostaeme arctg x π 3 arctg x tg arctg x arctg x. Protože tg π 3 3 a arctg x je rostoucí, lichá a spojitá fukce, je podmíka arctg x π 3 ekvivaletí s x 3, 3. K fukci arctg x je (a celém R) iverzí fukce tg x ( π, π ), proto je tg arctg x x. Po této úpravě můžeme dvojitou erovost arctg x x arctg x rozepsat a dvě erovosti a pravou z ich dělit dvěma. Dostaeme výsledé odhady fukce arctg x: pro každé x 3, 3 je x arctg x x. Provedeme-li popsaou substituci ve zlepšeém horím odhadu fukce tg x (viz výše), dostaeme zlepšeý dolí odhad arctg x. Naprosto stejým postupem (který z tohoto důvodu ai euvádíme) dostaeme odhady fukce arcsi x: pro každé x 3, 3 je x arcsi x x s možostí zlepšeí horího odhadu. Fukce arccotg x je iverzí k cotg x v itervalu (0, π), proto se předem omezíme a kladá x. Podmíka 0 < y π 3 (vziklá kojukcí podmíky z odhadů cotg x a podmíkou kladosti z předchozí věty) po substituci y arccotg x dá erovosti 0 < arccotg x π 3, z ichž levá je splěa vždy, pravá pro x cotg arccotg x cotg π 3 3. Změa erovosti je samozřejmě důsledkem toho, že fukce cotg x je a itervalu (0, π) klesající. Iterval platosti odhadů pro arccotg x má tedy zásadě odlišý charakter, ež je tomu v ostatích případech. Odvozeí samotých odhadujících erovostí je opět velice podobé ) předchozím a přeecháváme jej čteáři jako cvičeí. Výsledek: pro všecha x 3, je x arccotg x x s možostí zlepšeí dolího odhadu. Posledími dvěma fukcemi, jejichž chováí v okolí výzamých bodů je třeba zát, je e x a l x. V prvím případě vyjděme z erovosti +x e x, která platí a celém R (algebraicky říká, že graf fukce e x je všude ad grafem jeho tečy v bodě 0) a je horím odhadem. Dosazeím x za x z í, opět v celém R, dostaeme x e x e a odtud pro x > 0 x (, ) x (aby se při děleí erovosti x ezměila erovost) horí odhad e x x. Vzhledem k rozdílosti itervalu pro horí a dolí odhad je v tomto případě euvádíme v jedé erovosti, i když tato erovost pro x (, ) samozřejmě platí. Fukce l x je iverzí k e x a celém R, proto můžeme opět dostat její odhady substitucí y l x v odhadech fukce e y. V případě horího odhadu dostaeme pro x R + erovost + l x e l x x, eboli l x x, což je dolí odhad l x. Pozameejme, že ačkoli platí pro všecha kladá x, je podstatý hlavě v okolí bodu, často se také uvádí ve tvaru x (, ) : l( + x) x, což je odhad v okolí uly. Z mezitvaru dolího odhadu fukce e y máme pro x R + mezitvar horího odhadu l x: l x e l x e l x x, který sado převedeme a výsledý x l x. Výhoda použití mezitvaru tkví eje ve sazší algebraické úpravě, ale hlavě v širším oboru platosti. Pokud bychom odvozovali z výsledého odhadu e y, dostali bychom odhad je pro x (0, e) (rozmyslete si). Odhad se opět používá i

12 ve tvaru pro okolí uly x (, ) : +x x +x l( + x). V případě logaritmu jsou itervaly odhadů stejé, můžeme je tedy sjedotit do x R + : x l x x, resp. x x (, ) : +x l( + x) x. Odhady ex a l x elze zlepšit multiplikativí kostatou. Zapamatovat si výše uvedeé odhady v algebraické podobě je začě obtížé. Nejjedodušší je patrě grafická představa: dokážeme-li si představit grafy fukcí x, x a x a fukce si x a tg x sevřeé mezi prvími, resp. druhými dvěma fukcemi, a víme-li, že v ějakém okolí uly (bez uly samoté) platí cotg x tg x a že grafy fukcí k sobě iverzích jsou symetrické podle osy prvího a třetího kvadratu (tedy podle přímky y x), lze odhady goiometrických a cyklometrických fukcí velmi rychle odvodit. Oproti tomu u expoeciály a logaritmu je už obtížější přesá představa omezujících racioálích fukcí, zatímco algebraické odvozeí je jedoduché, proto je patrě ejefektivější graficky si pamatovat odhady přímkou (e x zdola a l x shora) a ostatí odvodit popsaým způsobem. Ukažme si yí použití odvozeých odhadů a dalších příkladech. Příklad O. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (O.) arccotg. Řešeí. Pro všecha N spadají hodoty do itervalu ) 3,, pro který záme odhad fukce arccotg x (stačilo by ovšem, aby tam spadaly pro s.v. ). Protože evíme, zda budeme potřebovat horí či dolí odhad, použijeme uiverzálí tvar s oběma odhady. Je tedy arccotg, z čehož umocěím a druhou (což je zde korektí, protože všechy stray jsou ezáporé) a vyásobeím dostáváme arccotg 4. Máme tedy odhad jmeovatele, převráceím získáme odhad čleů řady: arccotg 4 a vidíme, že potřebujeme pouze odhad zdola (který ovšem vzikl převráceím odhadu arccotg shora), protože řada je a prví pohled divergetí (její součet je zřejmě, také esplňuje utou podmíku kovergece řady), a tedy podle srovávacího kritéria diverguje i řada (O.). Příklad P. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady ( (P.) arcsi ). Řešeí. Čley této řady jsou ezáporé a jejich tvar vybízí k použití odmociového kritéria, avšak v eití verzi, protože spočíst itu výrazu ( arcsi ) arcsi je začě obtížé. Právě pro tyto případy však jsou určey odhady. Posloupost má itu 0 a skoro všechy její čley budou v libovolém itervalu, jehož je 0 vitřím bodem. Můžeme tedy předpokládat, že 3, 3 a že tudíž arcsi (absolutí hodoty vyecháváme, protože všechy výrazy jsou kladé), z čehož po vyásobeí máme arcsi.

13 Teto odhad však estačí abychom mohli říci, že řada podle odmociového kritéria koverguje, museli bychom dokázat, že její čley jsou meší ebo rovy ějakému q <. Horí odhad arcsi x lze ovšem zlepšit, a to tak, že zlepšíme odhad si x zdola a pomocí substituce přejdeme k iverzí fukci (viz postup výše). Pro y ( π, π ) je si y y cos y, stačí tedy odhadout cos y zdola větší kostatou ež, která byla použita v odhadu, který jsme zkoušeli výše. To lze sado: apř. pro y π 4, π 4 je cos y, tedy si y y. Substitucí y arcsi x dostáváme pro x, odhad arcsi x x, eboli arcsi x x. Zopakujeme předchozí postup s ovým odhadem (tetokrát už je shora): a po vyásobeí dostáváme arcsi arcsi <, čímž jsme podle odmociového kritéria dokázali, že řada absolutě koverguje. Příklad Q. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (Q.) ( ) +. Řešeí. Jde o typickou alterující řadu (tedy řadu se střídavými zaméky). Speciálě pro tyto řady je určeo Leibizovo kritérium, které má ovšem evýhodu: lze pomocí ěj zjistit je eabsolutí kovergeci, divergeci a absolutí kovergeci ikoli. Doporučeý postup pro alterující řady je tedy ásledující: ejprve zkusíme utou podmíku kovergece, pokud je splěa, zkoumáme absolutí kovergeci (v případě, že vidíme, že řada absolutě koverguje, můžeme utou podmíku přeskočit) a pouze v případě, že řada ekoverguje absolutě, zkoušíme ověřit předpoklady Leibizova kritérias. Protože jede je shodý s utou podmíkou kovergece a byl již ověře, dokážeme pouze, že posloupost absolutích hodot čleů řady je (alespoň od ějakého čleu dále) erostoucí. To provedeme z defiice posloupost (a ) je erostoucí od 0 -tého čleu, pokud pro všecha 0 platí a + a. Proveďme yí doporučeý postup pro řadu (Q.). Ozačme čley řady (Q.) a. Nutá podmíka kovergece je splěa, protože a + 0. Zkusme tedy absolutí kovergeci. Řada a splňuje utou podmíku kovergece, zároveň však eobsahuje žádý čle rostoucí alespoň jako geometrická posloupost, proto emá smysl použití podílového a odmociového kritéria. Použijeme kritérium srovávací (itě) ejvětší čley v čitateli a jmeovateli budou tvořit čitatel a jmeovatel čleů srovávací řady: a protože a b b, + (0, ), + a harmoická řada b diverguje (α, viz výše), diverguje i řada a a tedy řada (Q.) ekoverguje absolutě. 3

14 Zkusme tedy aplikovat Leibizovo kritérium. Zjistíme, zda je posloupost ( a ) erostoucí. Zameá to řešit erovost + ( + ) + + ( + )( + ) ( + + 3) Přesé řešeí (tj. alezeí všech, která takovou erovost splňují) by vyžadovalo řešeí kvadratické erovice, to je však v tomto případě zbytečě složité. Stačí vědět, že výsledá erovost (kterou jsme dostali ekvivaletími úpravami erovosti původí), je splěa pro s.v.. To je však sadé už pro je erovost splěa a pravá straa je jako součet rostoucích posloupostí rostoucí, tedy pro všecha > bude erovost splěa také. Obecěji lze argumetovat tak, že posloupost vpravo má itu, skoro všechy její čley tedy musí být větší ež. Tím jsme ověřili druhou podmíku Leibizova kritéria a můžeme říci, že řada (Q.) eabsolutě koverguje. Příklad R. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (R.) cos(π) l +. Řešeí. Řada je alterující, protože cos(π) ( ) pro každé Z a druhý čle eměí zaméko: pro každé > je 0 < + < a tedy l + < 0. Ozačme čley řady (R.) a a protože od yějška budeme pracovat už je s jejich absolutími hodotami (v uté podmíce, případě absolutí kovergeci a Leibizově kritériu), poěkud je zjedodušíme: a ( ) l + l + l + Nutá podmíka kovergece je splěa: (R.) a l + 0, což plye ze spojitosti fukce l x v bodě ebo také z odhadu x R + : x l x x protože +, jsou skoro všechy čley poslouposti + v itervalu platosti odhadu, a tedy + + l + +. Protože + 0, platí podle věty o itě sevřeé poslouposti ( o dvou policajtech ) i (R.). Použitý odhad však abízí mohem více, ež je ověřeí uté podmíky kovergece. Velmi sado pomocí ěj rozhodeme i další test alterující řady, absolutí kovergeci. Řady + i lze pomocí itího srovávacího kritéria srovat s řadou, o které víme, že koverguje (viz příklad L). Proto s í srováme řadu horích odhadů to ám ásledě umoží pomocí eití verze srovávacího kritéria ověřit kovergeci řady a. (0, ), 4

15 kovergece řad a je tedy ekvivaletí a protože druhá z ich koverguje, koverguje i prví. Ta je ovšem kovergetí majoratou řady a, která tudíž také koverguje. To zameá, že řada (R.) koverguje absolutě a použít Leibizovo kritérium již eí třeba. 5

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana Katedra softwarového ižeýrství MFF UK Malostraské áměstí 25, 8 00 Praha - Malá Straa, v. 3.5 co jsou "techiky přeosu dat"? Katedra softwarového ižeýrství, Matematicko-fyzikálí fakulta, Uiverzita Karlova,

Více

Model péče o duševně nemocné

Model péče o duševně nemocné Model péče o duševě emocé v regiou hlavího města Prahy Zázam jedáí závěrečé koferece projektu Vzděláváí odboríků, státí správy a samosprávy v oblasti trasformace istitucioálí péče o duševě emocé Praha,

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

ZABEZPEČENÍ KOMUNIKACE SENZORICKÉHO SYSTÉMU

ZABEZPEČENÍ KOMUNIKACE SENZORICKÉHO SYSTÉMU Roč. 71 (2015) Číslo 2 O. Čožík, J. Kadlec: Zabezpečeí komuikace sezorického systému 1 ZABEZPEČEÍ KOMUIKACE SEZORICKÉHO SYSTÉMU Ig. Odřej Čožík 1, Doc. Ig. Jaroslav Kadlec, Ph.D. 2 Ústav mikroelektroiky;

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více