Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1"

Transkript

1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet kovergetí řady závisí a všech eulových čleech, proto v příkladech uvádíme meze sumy, tedy od kterého 0 do čley řady sčítáme. Oproti tomu kovergece řady a koečém počtu čleů ezávisí, proto euvádíme spodí mez (protože může být libovolá) ai horí mez (protože je vždy ). Pro úvahy o kovergeci je z popsaého důvodu velmi užitečý pojem platosti pro skoro všecha, zkráceě pro s.v., jehož defiici si pro jistotu připomeeme: Defiice. Řekeme, že vlastost (predikát) P () platí pro pro skoro všecha, pokud existuje takové 0 N, že pro všecha N platí 0 P () (eboli vlastost splňují všecha přirozeá čísla od ějakého 0 ). Řekeme, že vlastost Q(x) splňují skoro všechy čley poslouposti a, pokud vlastost P () Q(a ) platí pro skoro všecha (eboli vlastost Q splňují všechy čley poslouposti od ějakého čleu dále). Můžeme tedy apříklad říci, že erovost > 3 je splěa pro skoro všecha, protože platí pro všecha 0 4, ebo ekvivaletě, že skoro všechy čley poslouposti a jsou větší ež 3. Věujme se yí elemetárím úpravám řad. Důležitou úpravou je přečíslováí. Například řady a m jsou totožé, což lze lehce ověřit rozepsáím sumy: m Korektě lze ověřeí provést pomocí substituce m. Skutečě, ahradíme-li všecha (včetě meze) v řadě vlevo m, dostaeme řadu vpravo. Pomocí substituce tedy řady můžeme přečíslovat, musíme si však uvědomit její omezeí: aby přečíslovaá řada obsahovala právě ty čley, které obsahovala řada původí, musí být vztah mezi možiami idexů a m bijekcí (vzájemě jedozačým zobrazeím), a to rostoucí, aby edošlo k přerováí čleů řady. To však zameá, že substituce může být obecě pouze posuutím v rámci celých čísel, a bude tedy vždy ve tvaru m + k, k Z. Výsledkem je totožá řada, pouze odlišě idexovaá: 0 a m 0 k a +k. Totéž přečíslováí můžeme popsat i zmíěou bijekcí, která ám a rozdíl od substituce umoží použít stejou proměou. Můžeme tedy říci, že, protože řada vlevo vzike z řady vpravo zobrazeím idexů, což prakticky zameá, že řadu vpravo vytvoříme ahrazeím všech v řadě vlevo.

2 Jiým důležitým případem je rozděleí řady a dvě (ebo více). Uvažujme apř. řadu ( ( + ( ) ) + ( ( ) ) ). Výraz + ( ) abývá pro sudá hodoty a pro lichá 0, výraz ( ) obráceě. Pro sudá tedy budou čley řady rovy, pro lichá +. Nabízí se tedy možost zjedodušit řadu (resp. práci s í) rozděleím a dvě, jedu se sudými a jedu s lichými čley. To lze podle věty o liearitě řad tehdy, když bude mít výsledý součet řad smysl, což v tomto případě jistě platí obě řady mají ezáporé čley, tím pádem i ezáporé součty a jejich součet tedy smysl má. Při rozkladu řady a dvě je uté je přečíslovat. Kupříkladu hodoty budou čley řady abývat je pro sudá, avšak řada v klasickém zápisu je vždy idexováa všemi celými čísly počíaje ějakým 0. Je tedy třeba alézt bijekci ějaké možiy I k {k + ; N 0 } {k, k +, k +,... }, k Z a možiu sudých přirozeých čísel. V ašem případě je řešeí jedoduché: zobrazeí splňuje všechy požadovaé vlastosti, jeho proměou tedy můžeme použít k idexaci a hodoty dosadit do čleů řady. V případě lichých čleů můžeme použít zobrazeí + (pak bude řada idexováa od 0, aby prví hodota byla ), ebo (idexováo od ). Zvolíme apř. druhou možost a můžeme psát ( ( + ( ) ) + ( ( ) ) ) () + ( ) , což je hledaý rozklad. Příklad A. Zjedodušte řadu (A.) si π. Řešeí. Zjedodušeí řady (jako kteréhokoli jiého matematického výrazu) je edefiovaým, ituitivím pojmem. Zpravidla se jím rozumí převedeí a takový ekvivaletí tvar, který je vhodý pro řešeí avazující úlohy určitého typu (apř. dosazeí, zjištěí kovergece, derivace, itegrace... ). V případě řad bývají často obtížými čley, jichž se úpravou pokud možo chceme zbavit, goiometrické poslouposti. Nabývají-li hodot vyjádřitelých pomocí elemetárích fukcí, je to často možé. V ašem případě se jedá o posloupost si π, která abývá periodicky hodot, 0,, 0. Vidíme ihed, že všechy sudé čley řady (A.) jsou ulové. Stejě jako v předchozím výkladu řadu rozdělíme pomocí bijekcí a a dvě: si π si π + si ( )π si π + si ( π π ) Jak víme, pro každé k Z je si kπ 0, všechy čley prví řady i její součet jsou tedy ulové. Čley poslouposti si ( π π ) mají hodoty střídavě a, posloupost je tedy shodá s posloupostí ( ). Výsledek je si π ( )

3 Příklad B. Nalezěte součet řady (B.) v závislosti a s, kde ( ) (B.) s Řešeí. Čley řady (B.) jsou zřejmě lichými čley řady (B.). Zkusme tedy podle předchozího rozložit řadu (B.) a součet řad sudých a lichých čleů (opět je to umožěo ezáporostí čleů řady): s. () + ( ) Řadu sudých čleů můžeme jedoduše upravit a vyjádřit její součet pomocí s: Po dosazeí do předchozího dostáváme a odtud hledaý výsledek: () 4 4 s s 4 + ( ) ( ) 3 4 s 4 s Pozameejme, že úloha alézt hodotu s byla ve své době velmi slavým, tzv. Basilejským problémem, o jehož řešeí se a přelomu 7. a 8. století eúspěšě pokoušela celá špička tehdejší matematiky. Až roku 735 ukázal švýcarský matematik Leohard Euler, že Příklad C. Nalezěte součet řady (C.) Použijte vztah (C.) s 0 0 π 6. +!.! e. Řešeí. Vztah (C.) záme už z kapitoly ity posloupostí, byť v trochu jiém tvaru: ( e 0! +! +! + + )! Použijeme-li termiologie teorie řad, můžeme říci, že čley poslouposti vpravo jsou částečými součty řady (C.) a jejich ita je tedy jejím součtem. 3

4 Abychom alezli součet řady (C.), rozdělíme ji opět a dvě, tetokrát ovšem odlišým způsobem ebudeme vytvářet vybraé řady (jako bylo předchozí děleí a sudé a liché čley), ale rozdělíme přímo -tý čle řady a dva: +!! +! Smysl takového rozděleí je pochopitelě v tom, že prví ze vziklých zlomků můžeme krátit a tak zjedodušit. Zde ovšem pozor kráceí zde umožňuje rovost! ( )!, která platí pro N, ale ikoli pro 0 (pokud si teto fakt euvědomíme, mělo by ás přiejmeším apadout, že ulou elze krátit). Teto případ musíme také uvažovat, protože řada (C.) je idexováa právě od uly. V takovém případě je obecě třeba čley, které se chovají jiak ež ostatí, oddělit. 0! 0 0! +! ( )! Protože řadu, která má ve jmeovateli ( )!, eumíme přímo sečíst, přečíslujeme ji použitím zpěté bijekce + : ( )!! Nyí je už řešeí triviálí: 0 +! 0 (! + )! 0 0! + 0! 0! e. PŘÍKLADY. Zjedodušte řadu ( + )( ) 4 cos π.. Nalezěte součet řady 3. Nalezěte součet řady ( ) v závislosti a s!.. Sčítáí řad Příklad D. Nalezěte součet řady (D.) 0 ( ) Řešeí. Řada je geometrická s kvocietem q 3 4. To lze zjistit z defiice geometrické poslouposti: q a + a ( ) + 3 (+)+ 5. (+) ( )

5 Protože je podíl + -ího a -tého čleu řady kostatí (ezávisí a ), jde o geometrickou řadu s kvocietem rovým tomuto podílu. Vyčísleí složeého zlomku ahoře je však zbytečě pracé jedodušší je použít tvrzeí, které říká, že je-li -tý čle poslouposti součiem (resp. podílem) kostat a čleů tvaru q a+b, je posloupost geometrická s kvocietem rovým součiu (podílu) výrazů q a. V tomto případě čley řady podmíku evidetě splňují a q ( ) Protože je < q <, řada koverguje a podle vzorce pro součet geometrické poslouposti je 0 Příklad E. Nalezěte součet řady (E.) Řešeí. Upravíme čley řady: ( ) ( ) ( ) ( + ) + Posledí úprava se azývá rozklad a parciálí zlomky a jako techika hraje důležitou roli apř. v itegrálím počtu při itegraci racioálích fukcí. V tomto případě ám umoží vyjádřit částečé součty řady (E.). Je totiž ( ) ( + 3 k + ) + ( 3 4 k ( ) + + ) + ( k k + ) k + Řadám tohoto typu se ěkdy říká teleskopické, protože odečteí stejých čleů umoží složit částečý součet řady stejě, jako teleskopický dalekohled. Záme-li vyjádřeí částečých součtů pomocí elemetárích fukcí, je už určeí součtu řady jedoduché, eboť je defiová jako jejich ita: ( + ) k k + Kovergece řad Příklad F. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (F.) ( + 3)( ). Řešeí. Protože čitatel a jmeovatel čleů řady jsou polyomy stejého stupě, bude ita čleů řady eulová: ( + 3)( ) a podle uté podmíky kovergece řada diverguje. ( + 3 )( ) 0 5

6 Příklad G. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (G.) si. Řešeí. V tomto případě ita čleů řady eexistuje. To je však silější tvrzeí, ež potřebujeme podle uté podmíky kovergece k divergeci řady stačí, aby se ita čleů řady erovala ule. To dokážeme jedoduše: v každém itervalu (kπ + π 6, kπ + 5π 6 ), kde fukce sius abývá hodot větších ež, leží alespoň jedo celé číslo, protože délka tohoto itervalu je π 3 > (takže v ěm dokoce leží alespoň dvě celá čísla). To zameá, že ekoečě moho čleů poslouposti si má hodotu větší ež, což podle defiice ity zameá, že ita jistě eí ula, protože eexistuje takový čle poslouposti, od ějž dál už se všechy čley poslouposti liší od uly o méě ež (také lze říci, čley s hodotou větší ež tvoří vybraou posloupost, jejíž ita emůže být ula). Řada tedy diverguje. Pozameejme, že pokud bychom chtěli dokázat eexisteci ity poslouposti si, museli bychom stejým způsobem jako výše uvažovat ještě apř. itervaly, v ichž je fukce sius záporá. Protože je ekoečě moho čleů větších ež a ekoečě moho záporých, eí splěa Bolzao-Cauchyho podmíka a protože je posloupost omezeá, emá itu (opět lze i pomocí dvou vybraých posloupostí). Příklad H. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady! (H.) ()!. Řešeí. Na řady se čley ve tvaru součiu ebo podílu faktoriálů se většiou (byť e vždy) osvědčuje podílové kritérium, a to v jeho jedodušší, ití podobě. (+)! ((+))!! ()! ( ( + )!! ) ()! ( + )! ( + ) ( + )( + ) 4 < Řada tedy koverguje a protože jsou její čley ezáporé, koverguje i absolutě. Příklad I. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (I.) ( 3). Řešeí. Tato řada je jedou z mála, u ichž má smysl použití eitího podílového kritéria. Zpravidla totiž a řady, a které toto kritérium lze aplikovat, lze buď použít jedodušší ití verzi, ebo je jedodušší použít jié kritérium (typicky srovávací, jak tomu je i v tomto případě). Spočtěme podíl po sobě ásledujících čleů řady: 3 + +( 3) ( 3) ( 3) + + ( 3) + 3 (3 + ( ) ) 3 + (3 + ( ) + ) 3 + ( ) 3(3 ( ) ) Pro sudá tedy bude hodota podílu 3, pro lichá 6. Existuje tedy q 3 < takové, že pro každé N platí a + a q, a řada koverguje. Protože má ezáporé čley, koverguje i absolutě. Ukažme si ještě jiý postup. Jak bylo předesláo, lze v tomto případě použít srovávací kritérium. Protože je ( 3) 3, je ( 3) , a protože řada.3 je geometrická s kvocietem 3 původí. 6 a tedy kovergetí, koverguje i řada

7 Příklad J. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady ( ) 3 (J.). + Řešeí. Odmociové kritérium se zpravidla eužívá tak často jako kritérium podílové. Důvodem je techická obtížost it výrazů a. Přesto má svoji ezastupitelou úlohu právě u řad se čley ve tvaru mociy, kde expoet je polyom (či obecěji racioálí posloupost) proměé. -tá odmocia zameá děleí expoetu, což je vhodé, pokud je expoet přímo ásobkem. V příkladech, jako je teto, je třeba se se ejprve v expoetu zbavit sčítaců, jež ejsou ásobky, a to pomocí srovávacího kritéria. Pokud je to možé, u obou kritérií používáme jedodušší, ití verzi. Řadu (J.) (ozačme její čley a ) srováme s řadou b, kde ( ) 3 b, + a íž už bude možo aplikovat odmociové kritérium. Máme a b ( ) 3 + ( + ) 3 (0, ) + a kovergece obou řad je tedy ekvivaletí. A protože ( ) 3 ( ) <, kovergují obě řady absolutě. Pozameejme, že případy, ve kterých je posledí ita rova jedé, elze rozhodout odmociovým kritériem, zpravidla však postačí použít utou podmíku kovergece. Příklad K. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (K.) si cos. Řešeí. Prví, čeho bychom si měli povšimout, je, že se v tomto případě ejedá o řadu s ezáporými čley. Čley této řady měí zaméko, elze tedy použít kritéria určeá pro řady s ezáporými čley, zároveň eí jasé, jak rozložit čley a souči, aby bylo možo použít Abelova či Dirichletova kritéria (protože souči eobsahuje mootóí posloupost, museli bychom ji dodat rozšířeím, to by však zkomplikovalo zbytek). Příklady tohoto typu jsou obecě velmi obtížé, jedoduše je lze řešit prakticky je tehdy, když lze k důkazu divergece použít utou podmíku kovergece (která a zaméku čleů ezávisí) ebo k důkazu kovergece kovergeci absolutí. Touto cestou se vydáme i zde. Budeme zkoumat kovergeci řady si cos si cos pomocí odmociového kritéria (k ěmuž ás vede tvar čleů řady jako -tých moci). Hed však vidíme, že výraz si cos, který ám vzike, patrě emá itu, a ebude tedy možo použít ití verze kritéria. Pokud by se ám však podařilo dokázat, že je teto výraz shora omezeý kostatou meší ež, řada by kovergovala podle eití verze kritéria. To se ám malou úpravou skutečě podaří: si cos si si cos a řada tedy absolutě koverguje. 7

8 Příklad L. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (L.). Řešeí. Na prví pohled je zřejmé, že řada splňuje utou podmíku kovergece. Zároveň emá smysl použít podílové či odmociové kritérium, protože řada eobsahuje žádý čle rostoucí alespoň tak rychle, jako geometrická posloupost (a ity z podílového i odmociového kritéria tedy budou rovy jedé). Jde tedy o typický příklad použití kritéria srovávacího. To je obecě ejsilější z kritérií pro řady s ezáporými čley, dokážeme-li ovšem ajít vhodou řadu ke srováí, jejíž kovergeci budeme zát. Naší řadě je podobá řada (E.). Zkusme ejprve použít eití verzi srovávacího kritéria. Protože řada (E.) koverguje, pokusíme se totéž dokázat pro zkoumaou řadu (L.) toto rozhodutí je u eití verze zásadí, protože ám říká, zda se máme vyšetřovaou řadu pokusit omezit shora (áš případ) ebo zdola (pokud dokazujeme divergeci). Pokus o přímé srováí odpovídajících si čleů evyjde, je totiž > +, což je opak toho, co bychom potřebovali. To lze však lehce apravit s -tým čleem řady (E.) srováme + -í čle řady (L.): ( + ) < + a odtud dostáváme kovergeci řady, což je však řada bez prvího čleu. Kovergece řady však a koečém počtu čleů ezáleží, proto vyšetřovaá řada absolutě ko- (+) verguje. Ještě jedodušeji můžeme výsledek dostat použitím itího srovávacího kritéria: + + (0, ), tedy kovergece obou řad je ekvivaletí a protože řada (E.) koverguje, koverguje i řada (L.). Teto důležitý příklad a divergece harmoické řady ám umoží rozhodovat o kovergeci řad ( ) α, kde α ebo α. Je totiž zřejmé, že pro α je α a tedy řada ( ) podle srovávacího kritéria diverguje, zatímco pro α je a řada podle téhož kritéria koverguje. α Tohoto faktu budeme od yějška využívat, aiž bychom jej zova dokazovali. U řad ( ) s α (, ) zůstává otázka kovergece pro ás otevřeá; prozraďme, že pro všecha α > řada koverguje, což lze poěkud obtížě dokázat i elemetárími prostředky (viz soubor alphabeta.pdf ), jedoduše (a dokoce v obecější podobě) pak pomocí tzv. itegrálího kritéria, které však vyžaduje zavedeí itegrálů a je pro ás v tuto chvíli edostupé. Předchozí odstavec má zásadí výzam pro použití srovávacího kritéria. Tam totiž musíme zkostruovat řadu, s íž vyšetřovaou řadu srováme, a o íž již musíme vědět (ebo být schopi podle ějakého kritéria určit), zda koverguje. Nyí tedy máme k dispozici dva typy řad, jejichž kovergeci jsme schopi určit přímo řady z předchozího odstavce a řady geometrické. 8

9 Příklad M. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (M.) ( + ) l( + ). Řešeí. Ze stejého důvodu jako v předchozím příkladě emá smysl použít podílové ebo odmociové kritérium. Techikami zámými z výpočtů it upravíme čley zadaé řady, abychom ašli řadu, se kterou budeme srovávat: + ( + ) ( + + ) ( l( + ) l ( + )) ( l + l + ) ( l + l ( + )) l Vyjádřili jsme tedy čley řady (M.) (ozačme je a ) ve tvaru ( ) 4 l + l(+ ) l a ), ( + + jehož smysl tkví v tom, že ahrazeím závorek jejich koečými eulovými itami (čitatel) resp. (jmeovatel) dostaeme podstatě zjedodušeý výraz vhodý jako čle srovávací řady b : b l Dokázat ekvivaleci kovergece obou řad je yí triviálí: a b! 4 l + l (+ ) l q+ + l (0, ) Čley srovávací řady b jsou již maximálě zjedodušeé, kovergeci této řady však ezáme. Je třeba opět použít srovávací kritérium (tetokrát v eití verzi) a porovat řadu s ějakou řadou, jejíž kovergeci již budeme zát. Zde se abízí použití řady, ejprve α ás patrě apade α 5. Teto pokus je však odsouze k eúspěchu: l 5 l, skoro všechy čley řady b jsou tedy větší ež čley kovergetí řady 5, z čehož pochopitelě plye jediý závěr, a to, že toto srováí je k ičemu (pozameejme, že pokud by byl čle l ve jmeovateli, byla by erovost opačá a příklad by byl vyřeše). Obtížý logaritmus v čitateli však můžeme zeutralizovat libovolě malou mociou : protože l l pro s.v., l 0, což plye ze vztahu l k k pro k, k > 0. Čley řady b jsme tedy shora omezili čley kovergetí řady (říkáme také, že tato řada je pro řadu b kovergetí majoratou), a tedy b i řada (M.) absolutě kovergují. 9

10 Příklad N. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (N.) tg. Řešeí. Příklady, ve kterých se vyskytuje trascedetí elemetárí fukce, jejímž argumetem je posloupost jdoucí k ule (což zde plye ze vztahu k q pro k > 0, q > ), řešíme zpravidla a základě zalosti chováí takové fukce v okolí uly. V případě fukce tg x víme, že pro každé x 0, π si x ) platí tg x x, čímž máme odhad fukce zdola. Zároveň tg x cos x a protože apř. pro x 0, π 3 je cos x (plye to z toho, že fukce cos x je a tomto itervalu klesající a cos π 3 ) a si x x, je a témž itervalu tg x x x (erovost plye z toho, že jsme zvětšili čitatel a zmešili jmeovatel ), což je omezeí tg x shora. Iterval platosti zde eí omezeím koverguje-li posloupost kladých čísel k ule, bude libovolý iterval (0, ε), ε > 0 obsahovat skoro všechy její čley. Řada tg a, kde a 0 tedy bude kovergovat právě tehdy, když bude kovergovat a, protože její čley omezují tg a zdola a čley poslouposti a, jejíž kovergece je ekvivaletí, shora. Zjistíme tedy ejprve, zda koverguje argumet a pak pomocí ěj omezíme vyšetřovaou řadu shora ebo zdola. Řada je typickou řadou vhodou pro užití podílového kritéria: (+) + ( + ) < a řada tedy koverguje. Podle předchozího odstavce tedy omezíme čley řady (N.) shora: tg pro s.v. a můžeme kostatovat, že řada (N.) koverguje absolutě podle srovávacího kritéria. Shrňme zámé vlastosti elemetárích fukcí, které umoží jejich odhady v okolí uly, resp. dalších důležitých bodů. Z předchozího odstavce máme pro x 0, π 3 : x tg x x. Teto odhad však můžeme použít je tehdy, je-li vitří posloupost ezáporá. Z lichosti všech tří fukcí v erovosti však sado dostaeme aalogický odhad pro x ekladá: je-li x π 3, 0, platí x tg( x) tg x x, eboli x tg x x. Odhady pro ezáporá a ekladá x můžeme shrout do jedoho: pro x π 3, π 3 je x tg x x. Pozameejme, že horí odhad lze zlepšit (tedy sížit), protože omezíme-li se a kratší iterval (což lze, protože koverguje-li vitří posloupost k ule, stačí odhad a libovolě malém itervalu ( ε, ε), kde ε > 0), můžeme zvýšit miimálí hodotu cos x a tomto itervalu (apř. pro x π 6, π 6 platí cos x 3 a tedy tg x x 3 ). Z předchozího odstavce je zřejmé, že v tomto případě by takové zlepšeí emělo smysl, v jiých příkladech (apř. při použití eitího odmociového kritéria) však ao. Další zlepšeí umožňuje odhad fukce cos x ikoli kostatou, ale fukcí, což však překračuje rámec tohoto textu. Na rozdíl do horího odhadu uvedeý spodí odhad zlepšit elze (resp. e multiplikativí kostatou) pro žádé α > eplatí α x tg x a žádém itervalu ( ε, ε), což plye okamžitě z toho, že horí odhad můžeme zkracováím itervalu sížit a libovolé α x, α > (protože cos x je v dostatečě malém itervalu kolem uly větší ež α ). Věujme se yí odhadům dalších fukcí. Víme, že pro x 0, ) je si x x, máme tedy odhad fukce si x shora. Zároveň pro x 0, π si x ) platí tg x cos x x, eboli si x x cos x. Stejě jako při odvozeí odhadu tg x se můžeme omezit a iterval 0, π 3, kde platí cos x a tedy pro x 0, π 3 máme x si x x. Stejě jako u tg x můžeme použít lichost pro odhad 0

11 v záporých x a dostaeme uiverzálí odhad: pro každé x π 3, π x 3 je si x x. V tomto případě lze volbou užšího itervalu zlepšit dolí odhad, a to a α x, kde α <. Odhady fukce cotg x můžeme velice sado odvodit z již hotových odhadů pro tg x. Pro x ( π, 0) ( 0, π ) totiž platí cotg x tg x, což spolu s odhady tg x dává pro x π 3, 0) ( 0, π 3 erovosti x tg x cotg x x. Odhad zdola lze zlepšit a α x pro α >. Pro x 0 emá odhad pochopitelě smysl, protože v tomto bodě eí fukce cotg x defiováa. Zbývající goiometrickou fukci, cos x, lze pomocí racioálích fukcí odhadout také, tyto odhady však (byť je lze sado odvodit ze získaých odhadů pro si x), překračují rámec tohoto textu. Pro aše účely postačí odhad pomocí kostat: pro x R je cos x a apř. pro x π 3, π 3 je cos x. Překvapivě sado lze pomocí již odvozeých vztahů získat odhady epříjemých cyklometrických fukcí stačí využít toho, že jsou defiováy jako iverzí fukce ke goiometrickým fukcím zúžeým a určitý iterval. Například dosadíme-li do odhadu y π 3 y tg y y za y výraz arctg x, dostaeme arctg x π 3 arctg x tg arctg x arctg x. Protože tg π 3 3 a arctg x je rostoucí, lichá a spojitá fukce, je podmíka arctg x π 3 ekvivaletí s x 3, 3. K fukci arctg x je (a celém R) iverzí fukce tg x ( π, π ), proto je tg arctg x x. Po této úpravě můžeme dvojitou erovost arctg x x arctg x rozepsat a dvě erovosti a pravou z ich dělit dvěma. Dostaeme výsledé odhady fukce arctg x: pro každé x 3, 3 je x arctg x x. Provedeme-li popsaou substituci ve zlepšeém horím odhadu fukce tg x (viz výše), dostaeme zlepšeý dolí odhad arctg x. Naprosto stejým postupem (který z tohoto důvodu ai euvádíme) dostaeme odhady fukce arcsi x: pro každé x 3, 3 je x arcsi x x s možostí zlepšeí horího odhadu. Fukce arccotg x je iverzí k cotg x v itervalu (0, π), proto se předem omezíme a kladá x. Podmíka 0 < y π 3 (vziklá kojukcí podmíky z odhadů cotg x a podmíkou kladosti z předchozí věty) po substituci y arccotg x dá erovosti 0 < arccotg x π 3, z ichž levá je splěa vždy, pravá pro x cotg arccotg x cotg π 3 3. Změa erovosti je samozřejmě důsledkem toho, že fukce cotg x je a itervalu (0, π) klesající. Iterval platosti odhadů pro arccotg x má tedy zásadě odlišý charakter, ež je tomu v ostatích případech. Odvozeí samotých odhadujících erovostí je opět velice podobé ) předchozím a přeecháváme jej čteáři jako cvičeí. Výsledek: pro všecha x 3, je x arccotg x x s možostí zlepšeí dolího odhadu. Posledími dvěma fukcemi, jejichž chováí v okolí výzamých bodů je třeba zát, je e x a l x. V prvím případě vyjděme z erovosti +x e x, která platí a celém R (algebraicky říká, že graf fukce e x je všude ad grafem jeho tečy v bodě 0) a je horím odhadem. Dosazeím x za x z í, opět v celém R, dostaeme x e x e a odtud pro x > 0 x (, ) x (aby se při děleí erovosti x ezměila erovost) horí odhad e x x. Vzhledem k rozdílosti itervalu pro horí a dolí odhad je v tomto případě euvádíme v jedé erovosti, i když tato erovost pro x (, ) samozřejmě platí. Fukce l x je iverzí k e x a celém R, proto můžeme opět dostat její odhady substitucí y l x v odhadech fukce e y. V případě horího odhadu dostaeme pro x R + erovost + l x e l x x, eboli l x x, což je dolí odhad l x. Pozameejme, že ačkoli platí pro všecha kladá x, je podstatý hlavě v okolí bodu, často se také uvádí ve tvaru x (, ) : l( + x) x, což je odhad v okolí uly. Z mezitvaru dolího odhadu fukce e y máme pro x R + mezitvar horího odhadu l x: l x e l x e l x x, který sado převedeme a výsledý x l x. Výhoda použití mezitvaru tkví eje ve sazší algebraické úpravě, ale hlavě v širším oboru platosti. Pokud bychom odvozovali z výsledého odhadu e y, dostali bychom odhad je pro x (0, e) (rozmyslete si). Odhad se opět používá i

12 ve tvaru pro okolí uly x (, ) : +x x +x l( + x). V případě logaritmu jsou itervaly odhadů stejé, můžeme je tedy sjedotit do x R + : x l x x, resp. x x (, ) : +x l( + x) x. Odhady ex a l x elze zlepšit multiplikativí kostatou. Zapamatovat si výše uvedeé odhady v algebraické podobě je začě obtížé. Nejjedodušší je patrě grafická představa: dokážeme-li si představit grafy fukcí x, x a x a fukce si x a tg x sevřeé mezi prvími, resp. druhými dvěma fukcemi, a víme-li, že v ějakém okolí uly (bez uly samoté) platí cotg x tg x a že grafy fukcí k sobě iverzích jsou symetrické podle osy prvího a třetího kvadratu (tedy podle přímky y x), lze odhady goiometrických a cyklometrických fukcí velmi rychle odvodit. Oproti tomu u expoeciály a logaritmu je už obtížější přesá představa omezujících racioálích fukcí, zatímco algebraické odvozeí je jedoduché, proto je patrě ejefektivější graficky si pamatovat odhady přímkou (e x zdola a l x shora) a ostatí odvodit popsaým způsobem. Ukažme si yí použití odvozeých odhadů a dalších příkladech. Příklad O. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (O.) arccotg. Řešeí. Pro všecha N spadají hodoty do itervalu ) 3,, pro který záme odhad fukce arccotg x (stačilo by ovšem, aby tam spadaly pro s.v. ). Protože evíme, zda budeme potřebovat horí či dolí odhad, použijeme uiverzálí tvar s oběma odhady. Je tedy arccotg, z čehož umocěím a druhou (což je zde korektí, protože všechy stray jsou ezáporé) a vyásobeím dostáváme arccotg 4. Máme tedy odhad jmeovatele, převráceím získáme odhad čleů řady: arccotg 4 a vidíme, že potřebujeme pouze odhad zdola (který ovšem vzikl převráceím odhadu arccotg shora), protože řada je a prví pohled divergetí (její součet je zřejmě, také esplňuje utou podmíku kovergece řady), a tedy podle srovávacího kritéria diverguje i řada (O.). Příklad P. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady ( (P.) arcsi ). Řešeí. Čley této řady jsou ezáporé a jejich tvar vybízí k použití odmociového kritéria, avšak v eití verzi, protože spočíst itu výrazu ( arcsi ) arcsi je začě obtížé. Právě pro tyto případy však jsou určey odhady. Posloupost má itu 0 a skoro všechy její čley budou v libovolém itervalu, jehož je 0 vitřím bodem. Můžeme tedy předpokládat, že 3, 3 a že tudíž arcsi (absolutí hodoty vyecháváme, protože všechy výrazy jsou kladé), z čehož po vyásobeí máme arcsi.

13 Teto odhad však estačí abychom mohli říci, že řada podle odmociového kritéria koverguje, museli bychom dokázat, že její čley jsou meší ebo rovy ějakému q <. Horí odhad arcsi x lze ovšem zlepšit, a to tak, že zlepšíme odhad si x zdola a pomocí substituce přejdeme k iverzí fukci (viz postup výše). Pro y ( π, π ) je si y y cos y, stačí tedy odhadout cos y zdola větší kostatou ež, která byla použita v odhadu, který jsme zkoušeli výše. To lze sado: apř. pro y π 4, π 4 je cos y, tedy si y y. Substitucí y arcsi x dostáváme pro x, odhad arcsi x x, eboli arcsi x x. Zopakujeme předchozí postup s ovým odhadem (tetokrát už je shora): a po vyásobeí dostáváme arcsi arcsi <, čímž jsme podle odmociového kritéria dokázali, že řada absolutě koverguje. Příklad Q. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (Q.) ( ) +. Řešeí. Jde o typickou alterující řadu (tedy řadu se střídavými zaméky). Speciálě pro tyto řady je určeo Leibizovo kritérium, které má ovšem evýhodu: lze pomocí ěj zjistit je eabsolutí kovergeci, divergeci a absolutí kovergeci ikoli. Doporučeý postup pro alterující řady je tedy ásledující: ejprve zkusíme utou podmíku kovergece, pokud je splěa, zkoumáme absolutí kovergeci (v případě, že vidíme, že řada absolutě koverguje, můžeme utou podmíku přeskočit) a pouze v případě, že řada ekoverguje absolutě, zkoušíme ověřit předpoklady Leibizova kritérias. Protože jede je shodý s utou podmíkou kovergece a byl již ověře, dokážeme pouze, že posloupost absolutích hodot čleů řady je (alespoň od ějakého čleu dále) erostoucí. To provedeme z defiice posloupost (a ) je erostoucí od 0 -tého čleu, pokud pro všecha 0 platí a + a. Proveďme yí doporučeý postup pro řadu (Q.). Ozačme čley řady (Q.) a. Nutá podmíka kovergece je splěa, protože a + 0. Zkusme tedy absolutí kovergeci. Řada a splňuje utou podmíku kovergece, zároveň však eobsahuje žádý čle rostoucí alespoň jako geometrická posloupost, proto emá smysl použití podílového a odmociového kritéria. Použijeme kritérium srovávací (itě) ejvětší čley v čitateli a jmeovateli budou tvořit čitatel a jmeovatel čleů srovávací řady: a protože a b b, + (0, ), + a harmoická řada b diverguje (α, viz výše), diverguje i řada a a tedy řada (Q.) ekoverguje absolutě. 3

14 Zkusme tedy aplikovat Leibizovo kritérium. Zjistíme, zda je posloupost ( a ) erostoucí. Zameá to řešit erovost + ( + ) + + ( + )( + ) ( + + 3) Přesé řešeí (tj. alezeí všech, která takovou erovost splňují) by vyžadovalo řešeí kvadratické erovice, to je však v tomto případě zbytečě složité. Stačí vědět, že výsledá erovost (kterou jsme dostali ekvivaletími úpravami erovosti původí), je splěa pro s.v.. To je však sadé už pro je erovost splěa a pravá straa je jako součet rostoucích posloupostí rostoucí, tedy pro všecha > bude erovost splěa také. Obecěji lze argumetovat tak, že posloupost vpravo má itu, skoro všechy její čley tedy musí být větší ež. Tím jsme ověřili druhou podmíku Leibizova kritéria a můžeme říci, že řada (Q.) eabsolutě koverguje. Příklad R. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (R.) cos(π) l +. Řešeí. Řada je alterující, protože cos(π) ( ) pro každé Z a druhý čle eměí zaméko: pro každé > je 0 < + < a tedy l + < 0. Ozačme čley řady (R.) a a protože od yějška budeme pracovat už je s jejich absolutími hodotami (v uté podmíce, případě absolutí kovergeci a Leibizově kritériu), poěkud je zjedodušíme: a ( ) l + l + l + Nutá podmíka kovergece je splěa: (R.) a l + 0, což plye ze spojitosti fukce l x v bodě ebo také z odhadu x R + : x l x x protože +, jsou skoro všechy čley poslouposti + v itervalu platosti odhadu, a tedy + + l + +. Protože + 0, platí podle věty o itě sevřeé poslouposti ( o dvou policajtech ) i (R.). Použitý odhad však abízí mohem více, ež je ověřeí uté podmíky kovergece. Velmi sado pomocí ěj rozhodeme i další test alterující řady, absolutí kovergeci. Řady + i lze pomocí itího srovávacího kritéria srovat s řadou, o které víme, že koverguje (viz příklad L). Proto s í srováme řadu horích odhadů to ám ásledě umoží pomocí eití verze srovávacího kritéria ověřit kovergeci řady a. (0, ), 4

15 kovergece řad a je tedy ekvivaletí a protože druhá z ich koverguje, koverguje i prví. Ta je ovšem kovergetí majoratou řady a, která tudíž také koverguje. To zameá, že řada (R.) koverguje absolutě a použít Leibizovo kritérium již eí třeba. 5

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS , Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti + 3 +) 4+3 4+ 5 bodů) Řešeí: Díky tvaru jmeovatele budeme zlomek + 3 +) Z : 4+3 4+ rozšiřovatvýrazem 4+3+ 4+Přepíšemečitatele:

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

Matematická analýza III (NMUM201)

Matematická analýza III (NMUM201) Matematická aalýza III (NMUM0) Marti Rmoutil 0. leda 09 Kapitola Nekoečé číselé řady. Základí fakta Mějme posloupost reálých čísel {a } R. Až dosud jsme se při studiu posloupostí zabývali zejméa jejich

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více