Úloha 2... nereálný motor Vypočtěte práci uvolněnou během jednoho pracovního. p 2. Pokud budeme předpokládat, že na obrázku máme.

Transkript

1 Řešení úloh 4 očníku FYKOSího Fyziklání Úloha ychle do školy Lukáš pospíchá do školy, schody meta zdolává ychlostí sta schodů za minutu Schod má výšku 30 cm Jak závisí výkon svalů na tom, zdali schody stojí nebo se pohybují? Zanedbáváme veškeé tření a jiné ztáty enegie Úlohu lze zodpovědět jednoduchým zamyšlením Ať se děje co se děje, schody jsou pořád stejně vysoké a Lukáš je musí zdolat, nehledě na to, jestli jedou, nebo nejedou Můžeme tedy na ně nahlížet, jako na ineciální soustavu Jediné, na čem výkon v takové soustavě bude záviset, je ychlost chůze Ta se však nijak nemění, tedy nemění se ani výkon Úloha neeálný moto Vypočtěte páci uvolněnou během jednoho pacovního cyklu znázoněného na obázku Uvažujte, že děj pobíhá po směu hodinových učiček Pokud budeme předpokládat, že na obázku máme pouze ovnovážné děje, je výpočet páce jednoduchý V ději jsou dvě části, kdy konáme páci a to z (p, V ) do (p, V ) a z (p, V ) do (p, V ) V pvní části bude páce vykonaná systémem W = p (V V ), ve duhé budeme na systému konat páci p p p V V V W = (p p)(v V) + p(v V) Celková páce tedy bude W = W W = (p p)(v V) Nicméně je nutné podotknout, že páci můžeme počítat jako plochu pod křivkou v pv -diagamu jenom tehdy, když děje v něm zachycené jsou ovnovážné A to je poblém (efektivně) ealizovat i u jednoduchých dějů jako izotemický, natož zde uvedený děj z (p, V ) do (p, V ) Vykonanou páci ale spolehlivě učíme z mechanických účinků, pokud je známe Úloha 3 nemyslíš, zaplatíš Oganizátoři jedou na soustředění, pší a silnice je kluzká Jakou ychlostí mohou pojet bez smyku zatáčku o poloměu 0 m, pokud koeficient statického tření mezi koly a silnicí je jen f = 0,5? Fykosáci i s autem váží, t Výsledek udejte v km/h, zaokouhlete na celé číslo Nechť R značí polomě zatáčky a m hmotnost auta Třecí síla velikosti mgf musí kom penzovat odstředivou sílu F o, neboli jinak řečeno silnice díky tření působí na auto dostředivou silou F o = mv /R = mgf, odtud v = gfr = 48 km/h Úloha 4 OSA útočí Vosa se ozhodla vpavit všechen jed pod kůži otavného člověka Musela bodnout sedmkát a to ji při fekvenci f = 0,75 Hz dost vyčepalo a) Jakým tlakem popichuje kůži? b) Jaký je její vosí výkon? c) Kolik (mechanické) enegie na 7 žihadel spotřebovala?

2 Kůže má tloušťku d = mm, vosa s žihadlem plošky S = m vyvine půměnou sílu F = 0 5 N Předpokládejte, že páci koná pouze během vpichování Tlak je oven p = F/S = 33 GPa, páce vykonaná během jedonoho vpichu je W = F d = = 0 nj, odpovídající výkon je P = W /t = fw = 5 nw, celková páce na sedm vpichů je W = 7W = 40 nj Úloha 5 dtivý spad Jakou maximální teplotu může mít sněhová vločka na začátku pádu, pokud padá z výšky l =,5 km a po dopadu na zem ani tochu neodtaje? Působení odpoových sil a tepelnou výměnu s okolím zanedbejte Měná tepelná kapacita ledu budiž c = 00 J kg K Odpoové síly (pošetile) zanedbáme, takže použijeme zákona zachování mechanické enegie Enegie při dopadu vločky je stejná jako ve výšce l a tato enegie odpovídá teplu na (pouhé) ohřátí ledu Z kaloimetické bilance a upávou zjistíme mgl = mc t t = gl c Po dosazení hodnot ze zadání vyjde t K, čemuž odpovídá teplota vločky C Úloha 6 hopskulka Děti o přestávce na chodbě o půřezu m nemají co dělat a háží si hopskulkou Pak Teku napadne hodit hopskulku vší silou poti zdi Kolikát se hopskulka od zdi odazí, než dopadne na zem? Hopskulka byla vyhozena z levého honího ohu chodby kolmo poti potější stěně ychlostí v = m/s Uvažujte, že se hopskulka odazí dokonale pužně a po její úhel odazu platí totéž co po úhel odazu světla Rozebeme nejpve, jaký vliv má odaz od zdi na pohyb kuličky Jak víme ze zadání, kulička se odáží jako světlo, tedy vodoovná složka ychosti změní své znaménko a svislá svou velikost nezmění Absolutní hodnota vodoovné složky ychosti je tedy konstantní a má velikost v Svislá složka se s časem lineáně zvětšuje, neb jde o volný pád Označme ozměy stěny l Doba pádu kuličky na zem je s l T = g Po počet odazů platí N = v l s l g = v lg = 3,83, Výsledek musíme samozřejmě zaokouhlit dolů, potože ke čtvtému odazu nedojde Dojde nakonec pouze ke třem odazům Úloha 7 odponé kombinace Máme k dispozici tři ezistoy o odpoech R = Ω, R = Ω a R 3 = 3 Ω a dostatečné množství ideálních vodičů nulového odpou Vyjmenujte všechny možné kombinace celkových odpoů, kteé můžete s těmito pomůckami sestavit Není nutné použít vždy všechny odpoy (Po ychlejší opavování je spočítejte a seřaďte od nejmenší hodnoty po největší)

3 Po n odpoů zapojených do séie platí Po n odpoů zapojených paalelně platí R C = R C = nx R i i= nx i= R i Následně se pokusíme najít všechny možné ůzné kombinace, včetně těch obsahujících jeden, žádný nebo jen dva odpoy Těchto kombinací je sedmnáct ůzných 6 Všech vaiant je 7; jmenovitě 0 Ω, Ω, Ω, 3 Ω, 5 Ω, Ω, 6 Ω, 4 Ω, 3 Ω, Ω, Ω, Ω, Ω, Ω, 4 Ω, 5 Ω a 6 Ω 3 Úloha 8 epák Maek si zapojil doma dva epoduktoy Do jednoho pustil zvuk o fekvenci 00 Hz, do duhého o fekvenci 04 Hz Jak se dalo čekat, uslyšel ázy Jaká byla jejich peioda? Po jednodušší výpočet uvažujme, že fázový ozdíl obou signálů je nula Potom si oba signály o fekvencích f a f můžeme napsat jako sinovou vlnu sin(πf t) a sin(πf t) Výsledný signál dostaneme jako součet těchto dvou vln Upavíme jej podle vzoce po součet dvou funkcí sinus ««π(f + f )t π(f f )t sin(πf t) + sin(πf t) = sin cos Sinová část této vlny s fekvencí hodnoty aitmetického půměu je tón, kteý slyšíme a kosinová část je zodpovědná za jeho tlumení (ázy, zázněje) Její fekvence je f = (f f )/ Ale to ještě není výsledek ucho zaznamenává pouze absolutní hodnotu výchylky, takže fekvence bude dvojnásobná, tedy pouhý ozdíl fekvencí f = f f = 4 Hz A potože je otázka na peiodu, výsledek je T = 0,5 s Úloha 9 ostřelovačská Střílíme ze vzduchovky hmotnosti M = 5 kg diabolku hmotnosti m = g do malého vozíčku hmotnosti m = 50 g Po výstřelu nám vzduchovka naazí do amene ychlostí v = = 0,05 m s Vzduchovka je od vozíčku vzdálená l = 5 m Vozíček se po dokonale nepužné sážce, kdy v něm náboj uvízne, ozjede a po chvíli naazí do stěny, kteá je d = 3 m od místa, odkud se ozjel Jaký čas uběhne od výstřelu po náaz vozíčku do stěny? Odpoové síly zanedbejte Na vzduchovku při výstřelu nepůsobí žádné vnější síly, poto můžeme použitím zákona zachování hybnosti vypočítat ychlost střely po výstřelu v d = v M m 3

4 Dále můžeme ze zákona zachování hybnosti vypočítat ychost vozíčku po zastavení střely m M v v = v d = v m + m m + m Nyní již můžeme tiviálně z definice ychlosti dopočítat celkový čas T = t + t = l + d lm + d(m + m) = = 0,63 s v d v v Mv Úloha 0 dusíková zmzlina Oganizátoři si na soustředění chtěli udělat zmzlinu Bylo teplo a tak z kohoutku tekla jen voda o teplotě t = 0 C Od Pavla si ale vypůjčili V = l kapalného dusíku Neuměli s ním ale mazit jinak než litím do vody a tak jim všechen vypařený plyn hned utekl Jakou hmotnost měl co nejtěžší kus ledu zmažený tímto dusíkem? Měná tepelná kapacita vody je c = 400 J kg K, měné skupenské teplo tuhnutí vody l t = 334 kj kg, měné skupenské teplo vau dusíku je l v = 98 kj kg, hustota kapalného dusíku je ϱ = 809 kg m 3 Nejpve se zamysleme, jak vodu mazíme V zadání není uvedena teplota kapalného dusíku (a také tam je, že páy dále nechladí), tudíž můžeme předpokládat, že teplo se bude spotřebo vávat pouze při vau kapalného dusíku Z toho již dokážeme sestavit kaloimetickou ovnici s fázovým přechodem mc t + ml t = ϱv l v, kde jsme ovnou už za hmotnost dusíku dosadili z jeho hustoty ϱ a objemu V Rozdíl teplot je z teploty t na 0 C Z ovnice nyní vyjádříme hledanou hmotnost m = ϱv lv c t + l t Po dosazení číselných údajů ze zadání vyjde m 0,38 kg Úloha ekvilibium Na obázku vidíte soustavu, kde jsou tři závaží hmot nosti m ozmístěná na tyči délky l a hmotnosti M po jed nom ve vzdálenostech l/4, l/ a 3l/4 od pavého okaje, ko lem kteého se může tyč volně otáčet Na duhém konci tyče je připevněna nit, na kteé přes zavěšenou kladku visí další závaží hmotnosti 3m Soustava je v ovnováze, nit i kladka jsou nehmotné Jaké je m, jestliže M = kg a l = m? 3m l 4 m m l, M m Pokud má být celá soustava v ovnováze, musí celkový součet momentů sil působících na tyč být nulový Budeme jej počítat vzhledem k ose otáčení V této konfiguaci je moment síly nulový 0 = 4 lm + lm lm 3lm + lm Jednoduchou úpavou dostáváme m = M 3 = 3 kg 4

5 Úloha bungee Lukáš si chtěl dopřát adenalinového zážitku a odhodlal se vyzkoušet bungee jumping Váží m = 80 kg, skáče z mostu výšky h = 40 m a lano má tuhost k = 50 N m Jak může být maximálně dlouhé lano, aby si Lukáš neozbil nos o vodní hladinu? Označme maximální podloužení lana při skoku a L délku lana Aby Lukáš mohl vymýšlet další úlohy, musí platit L + h Předpokládejme, že po podloužení lana bude platit Hookův zákon V tom případě bude enegie lana při podloužení E = k V tomto okamžiku bude úbytek potenciální enegie Lukáše oven U = mg(l + ) a jeho kinetická enegie bude nulová Předpokládáme-li, že Lukáš měl na začátku skoku nulovou kinetickou enegii, musí platit k = mgh, () kde L + = h Dosazením do ovnice (), můžeme vyjádřit mhg =, k a tudíž L = h mhg k = 9,54 m Úloha 3 dát! Na mezináodní vesmíné stanici stavěli kosmonauti anténu Během dne na obvod pevných nosníků ve tvau kříže s ameny délky l = 4 m připevnili nenapnuté ocelové dáty o půměu = 3,5 mm (viz obázek) Když ale vletěli do zemského stínu, ázem se o 50 C ochladilo a dát se napnul Jaké je me chanické napětí v dátech? Youngův modul pužnosti oceli je E = 0 GPa, koeficient délkové oztažnosti oceli je β = 0,0 0 3 K Pokud ochladíme ocelový dát, zkátí se Vzhledem ke konfiguaci soustavy se musí dát napnout Délka každého dátu je l 0 = l Relativní zkácení způsobené tepelným ochlazením, pokud by nebyly napnuty na konstukci, je l = l 0β T Po Youngův modul pužnosti platí Eε = σ, kde ε je elativní podloužení a σ je hledané napětí Dosazením získáme výsledek σ = Eβ T = 3 MPa l l 5

6 Úloha 4 pole Pod jakým úhlem máme začít přecházet pole, pokud má šířku h = 50 m, a my chceme co nejdříve dojít na ozhaní pole a louky do vzdálenosti d = 00 m a dál pokačovat po něm Rychlost pohybu po zoaném poli je v p = 0, m s, po louce jdeme ychlostí v l = m s Jelikož se jedná o dvě postředí, ve kteých máme danou ychlost pohybu a potřebujeme pojít z jednoho bodu do duhého za co nejkatší čas, můžeme použít analogii se světlem, kteé si při přechodu z jednoho bodu do duhého vybee takovou dáhu, aby jeho optická dáha (odpovídající v našem případě času) byla co nejmenší Použijeme Huygensův pincip po mezní úhel lomu sin α = vp α = acsin vp v l v l Po dosazení číselný výsledek α = 0, ad, Ke stejnému výsledku dojdeme, pokud si čas stávený pochodem vyjádříme pomocí vzdáleností a ychlostí, zdeivujeme a položíme ovno nule Úloha 5 záludný tojúhelník Vypočítejte moment setvačnosti homogenní desky tvau ovnoamenného pavoúhlého tojúhelníku vůči ose kolmé k desce a pocházející těžištěm tojúhelníka Deska má hmot nost m a odvěsny tojúhelníka jsou dlouhé a Rovnoamenný pavoúhlý tojúhelník je vlastně polovina desky tvau čtvece o staně a Moment setvačnosti desky známe z tabulek Obecně po moment setvačnosti desky s osou otáčení v těžišti platí I = m(a + b ), kde a a b jsou stany desky V našem případě a = b, tedy můžeme napsat I = 6 ma Po posun osy otáčení použijeme Steineovu větu I = I T + mh, kde I T je moment setvačnosti původního tělesa a h je vzdálenost uvažovaných ovnoběžných os Dále je třeba si uvědomit o kolik se osa posune Uhlopříčka čtvece má délku, poloha těžiště je, s připomenutím poučky o tom, že těžnice se v těžišti ozdělují v poměu :, v jedné třetině jedné poloviny uhlopříčky Potom I = 6 ma m a 6 = 6 ma 8 ma = 9 ma Úloha 6 ještě záludnější tojúhelník Kovový výlisek tvau tojúhelníku je zavěšen na dvou povázcích, jak vidíte na obázku Každý povázek sám o sobě unese maximálně 0 kg Kolik maximálně může vážit kovový tojúhelník, aby se nepře thl levý povázek? Na tojúhelník působí tíhová síla v těžišti Abychom mohli učit, kteý povázek se přethne, budeme muset počítat její moment vůči závěsům Jeho velikost závisí na kolmé vzdálenosti přímky, ve kteé 6

7 leží působící síla, od těžiště (tzv ameno síly) Pokud označíme vzdálenost mezi závěsy a, bude ameno síly po levý závěs ovno a/3 a po pavý a/3, potože těžiště pavoúhlého tojúhelníka leží nad jeho odvěsnou ve třetině její délky Z toho také mimo jiné plyne, že dříve paskne pavý závěs, potože moment tíhové síly vůči levému bude větší než vůči pavému Tedy, aby byl tojúhelník v ovnováze, musí být moment tíhové síly oven momentu síly F, kteou na tojúhelník působí pavý povázek F a = 3 mga Když vyjádříme hmotnost m, přiblížíme se konečnému výsledku m = 3F g Potože povázek unese 0 kg, je síla ovna 0 g a maximální možná hmotnost tojúhelníku je 5 kg Úloha 7 hmoťák Kation železa Fe 3+, kteý je původně v klidu, uychlíme v napětí 0 kv Takto uychlený vstupuje kation do magnetického pole velikosti T, jehož smě je kolmý na ychlost kationtu, a začne obíhat po kuhové dáze Jaký je polomě této kužnice? Magnetické pole s indukcí B způsobuje zakřivení tajektoie Loentzovou silou, závislou na náboji tělesa jeho ychlosti v, F L = q(v B), kde symbol představuje vektoový součin zohlednění vzájemného směu ychlosti a mag netické indukce V našem případě je ychlost na magnetickou indukci kolmá, tedy velikost Loentzovy síly bude F = qvb Loentzova síla zde působí jako dostředivá síla stáčející tajektoii, poto můžeme polomě učit z ovnice mv = qvb = mv qb Rychlost kationtu vypočítáme ze zákona zachování enegie při uychlení napětím U qu = mv v = qu m Ještě nesmíme zapomenout, že iont má stupeň ionizace 3, tedy q = 3e, kde e je náboj elektonu Vyjádříme výsledek z předchozí ovnice a číselně dosadíme = B mu 3e 6, cm 7

8 Úloha 8 otočená tyč Dokonale tuhá tenká tyč se vodoovně otáčí (kolem osy pocházející jejím těžištěm a sou časně kolmé na ní) s fekvencí f = 5 Hz Jak se změní její kinetická enegie, pokud skokem přeneseme osu otáčení do jejího kajního bodu? Nemáte-li tabulky, budou se vám hodit hod noty momentů setvačnosti: J = ml / (po osu ve středu tyče) a J = ml /3 (po osu v kajním bodu) Tyč má hmotnost m = kg a délku l = m Platí zákon zachování momentu hybnosti L, kteý říká, že moment hybnosti před změnou osy otáčení bude stejný jako po této změně Z toho máme ovnici L = J ω = J ω Po úhlovou fekvenci a fekvenci platí vztah ω = πf Odtud již můžeme učit fekvenci otáčení po změně osy otáčení πj f = πj f f = J J f = f 4 Po kinetickou enegii otujícího tělesa, kteé má moment setvačnosti J vůči ose otace platí E k = Jω / Rozdíl enegie po a před poto je Enegie se sníží o 3 J E = Jω Jω = π (J f J f ) = π 8 ml f = 3 J Úloha 9 Faustova částice Poziton upsal svůj náboj četu Modení peklo unáší hříšníky inteaktivně, a tak Mefis tofeles připavil ve vedlejším pokoji homogenní magnetické pole o indukci B = (0, T, 0) Stop ve výšce d =,4 m má ve vzdálenosti d ode dveří díu Jakým napětím máme uychlit poziton, aby vletěl do pasti a tefil se do díy ve stopu? Poziton byl před uychlováním vystašeně v klidu (Poziton je antičástice elektonu takže má stejně velký náboj opačného znaménka a jeho hmotnost je stejná jako elektonu) Poziton poletí, potom co vletí do magnetického pole, po kuhové dáze o poloměu d se středem v místě, kde končí stěna a začíná stop Tento polomě se nazývá Lamoův a platí po něj d = mev eb, U dveře kde m e je hmotnost elektonu (tedy i pozitonu), v je d B ychlost pozitonu a e je elementání náboj Rychlost v = deb/m e je po celou dobu pohybu stejná (pokud zanedbáme odpoové síly) a je to ychlost, na kteou se uychlí pomocí napětí U Po kinetickou enegii a enegii, kteou získá uychlením v elektickém poli, platí eu mev = E k = E e = eu v = m e 8 día d

9 Oba výazy po v dáme do ovnosti, a tím zjistíme potřebné napětí po depotaci hříšné částice eu m e = deb m e U = B d e m e Numeicky po dosazení (m e = 9, 0 3 kg, e =, C) vyjde U =,0 TV Úloha 0 gaáž Bohatý podnikavec si koupil ychlé (opavdu ychlé) auto Bohužel se mu nevešlo do gaáže (byla moc kátká), kteá však měla vata na obou stanách Auto délky l poto ozjel na ychlost v, gaáž měla délku L Na jak dlouho se mu povede umístit auto do gaáže? Vlivem kontakce délek se auto v soustavě spojené s gaáží zkátí na délku γl, kde γ = s v c Volné místo v gaáži je potom L γl a čas, za kteý auto toto volné místo pojede, je t = = (L l/γ)/v Úloha dahá legace Na expeiment s cívkami studenti potřebovali vybíjet kondenzáto s co největší kapacitou Mají k dispozici zdoj na 4 kv a deset kondenzátoů o kapacitě 50 µf Jak je mají zapojit a kolik je bude stát celé expeimentování, potřebují-li pokus zopakovat aspoň pětkát? Cena kwh je vyjde na 3,50 Kč Kondenzátoy zapojené do séie si navzájem předávají infomaci o velikosti náboje (mají na všech deskách velikostně stejný), a tím modulují napětí Poto po celkovou kapacitu platí U = Q C + Q C + + Q C n, = C celk C C C n Celková kapacita se tak snižuje U paalelního zapojení naopak leží všechny kondenzátoy ve stejném napětí, a poto platí U = Q C + C + + C n, C celk = C + C + + C n Poto mají studenti po zisk co největší kapacity zapojit všechny kondenzátoy paalelně Spo třeba elektřiny je spotřebou enegie, kteá u celkového kondenzátou kapacity nc je vyjádřena jako E celk = ncu = 44 kj Enegii však potřebujeme v kwh, přičemž Wh = 3600 J, tedy 44 kj odpovídá 0,04 kwh Nyní již není těžké dopočítat celkovou cenu enegie po pět opakování pokusu, 3,50 [Kč/kWh] 0,04 [kwh] 5 = 0,7 [Kč] 9

10 Úloha žiafa Máme dva koheentní bodové zdoje světla vzdálené od sebe d = 0, mm Ve vzdálenosti L = 0 cm za těmito zdoji je čtvecové stínítko o staně a = 0 cm Kolik světlých intefeenč ních použků (jejich maxim) bude celkem možné na stínítku pozoovat? Vlnová délka záření je λ = 500 nm Přímka pocházející oběma zdoji je ovnoběžná s hanou stínítka a kolmice pocházející středem čtvece půlí spojnici zdojů Stačí vypočítat, jak se liší dáhy papsků od zdojů při dopadu na hanu čtvece Dáhový ozdíl papsků na haně čtvece je = q L + ` q a + d L + ` a d = 0,0707 mm Na tuto vzdálenost se vejde /λ = 4, 4 vlnových délek, takže na jedné půlce stínítka bude 4 světlých použků, jeden použek přesně upostřed stínítka a dalších 4 světlých použků na duhé půlce stínítka, celkem 83 světlých použků Úloha 3 voscilace Máme dvě tyče spojené kloubem do tvau písmene V, každá tyč má hmotnost kg a délku 50 cm Volné konce tyče spojíme pužinou tuhosti 00 N m Jaká je peioda kmitů tohoto písmene V, pokud je úhel mezi oběma tyčemi malý? Celý ansámbl je ve volném postou bez gavitace Můžeme zapsat duhou větu impulsovou jako Jε = F l ; pacujeme tedy vlastně s momentem síly způsobeným pužinou, kde k je tuhost pužiny, a vy jádříme tak sílu stlačení pužiny jako klϕ (oboustanné stlačení vyjdařuje koeficient ) Potože moment setvačnosti je J = ml /3, stačí nám vyjádřit úhlovou ychlost ω kl J 6k m = 4,5 ad s Úloha 4 jaká je de Boglie Každé volné částici (obecně hmotným objektům) je podle její hybnosti p přiřazena de Bo glieho vlna Je to ovinná monochomatická vlna s vlnovou délkou λ = h/p, kde h je Planckova konstanta Jaký je pomě těchto vlnových délek potonu s enegií 0, MeV a střely s m = g o ychlostí v = 00 m s? Uvažujte, že po v c platí po kinetickou enegii E k = p m Nejpve učíme délku de Boglieho vlny potonu Po to budeme potřebovat hmotnost potonu, kteou najdeme v tabulkách (m p =, kg) Vyjádříme hybnost z ovnice po enegii a dosadíme ji do ovnice po de Boglieho vlnu p = me k λ p = h p mpe k Jediné, co je potřeba, je dosadit h = 6, J s, hodnoty po poton a převést jednotky E k (platí ev =, J) a vyjde λ p = 6,4 0 4 m 0

11 Výpočet vlnové délky střely je ještě jednodušší stačí si uvědomit, že p = mv a dosadit hodnoty do vztahu Pomě těchto délek tedy platí λ s = h mv = 6, m k = λp mv = p = 9,7 0 8 λ s mpe k Pokud tedy opavdu poctivě vyjadřujeme a dosazujeme až ve výsledku, tak ani h nepotřebu jeme znát, abychom odpověděli na otázku Úloha 5 dvanáctistěn Vypočítejte odpo mezi dvěma nejvzdálenějšími vcholy dátě ného modelu pavidelného dvanáctistěnu Dáty jsou hany tělesa, přičemž každá hana má odpo R = Ω Pavidelný dvanáctistěn má stěny ve tvau pavidelného pětiúhelníku Na řešení odpoových sítí se používá tik s hledáním míst na stejném potenciálu Jsou-li totiž takováto dvě místa vodivě spo jena, neteče mezi nimi poud a hanu, kteá je popojuje, můžeme při výpočtu úplně vynechat Potože mají všechny hany dvanác tistěnu stejný odpo, můžeme použít následující postup Budeme k němu potřebovat pouze pastelky a postoovou představivost (nebo obázek ze zadání) Označíme si vchol, ze kteého vycházíme jednou bavou Po stupme z něj nyní po všech hanách, kteé z něj vychází, do sou A B Dvanáctistěn sedních vcholů Ty si vybavíme jinou bavou A postup opakujeme, aniž bychom přebavovali jiné vcholy, až dokud nedojdeme do vcholu, kteý je potější k tomu, kteý jsme si vybali pve Stejnou bavou označené vcholy jsou na stejném potenciálu, a jak jsme dříve řekli, hany mezi nimi nemusíme bát v potaz Teď již není poblém síť překeslit, potože zbývající hany jsou lehce představitelné Situace je naznačena na přiloženém obázku Vcholy na stej ném potenciálu jsou označeny stejnou značkou Náhadní schéma zapojení odpovídá těmto značkám hany vcházející do vcholů se stejnou značkou jsou představovány odpoy jdoucími z takto označeného uzlu Výsledné schéma pak popočítáme pomocí známých vztahů po paalelně a séiově zapojené odpoy Číselně vychází R = = 7R/6 = 7/6 Ω A B

12 A B R/3 R/3 R/6 R/6 R/6 Překeslený obvod Úloha 6 návat slezských havířů Pata z dolu Fučík v Petřvaldě si po výletu na Nový Zéland zařídila dopavní společnost Kopou přímé železniční tunely mezi dvěma libovolnými místy na zemském povchu Jak dlouho tvá vlaku cesta skz tunel, není-li poháněn ničím jiným než tíhovou silou? Závisí tato doba na poloze ústí tunelu? Odpoové síly zanedbejte Havíři mají zatím jen stoje po ažení přímých vtů, takže zkoumáme přímý tunel mezi dvěma místy na povchu Země Může se to zdát zvláštní, ale gavitační síla masy Země nad cestujícími je ve vlaku nulová Na to se přijde snadno, pokud uvážíme jen nějakou tenkou slupku Země Vezměme libovolný bod Ď uvnitř této slupky a použijme jej jako vchol kuželové plochy (kužely se stejným vcholovým úhlem, kteé mají oba špičku v tomto bodě a jdou na opačné stany) s malým vcholovým úhlem Tato plocha ve slupce vyřízne dvě kužnice Vzdálenosti středů těchto kužnic od bodu Ď a jejich poloměy označme pořadě,, ϱ, ϱ Z podobnosti tojúhelníků plyne = ϱ ϱ Intenzity gavitačních polí od obou kotoučků mají opačný smě, takže kdybychom ukázali, že mají stejnou velikost, je (skoo) vyháno Intenzita gavitačního pole kotoučku je přímo úměna jeho hmotnosti, kteá je (při homogenní hustotě) úměná ϱ i a nepřímo úměná i S využitím podobnosti tojúhelníků pak už máme, že ona intenzita gavitačního pole od slupky (tedy i všech vzdálenějších slupek) je nulová Označme nyní vzdálenost vlaku od středu Země a x vzdálenost vlaku od středu tunelu Po pohyb vlaku (o hmotnosti m) je důležitá především složka gavitační síly ve směu tunelu a její velikost je x F = F G = κm M 3 x R 3 = κmm x = g R 3 R mx, kde M je hmotnost Země, R její polomě, κ gavitační konstanta a po zjednodušení g je gavitační zychlení na povchu Země Sestavíme-li pohybovou ovnici po vlak m g R x = mẍ,

13 zjistíme, že je to pohybová ovnice hamonických kmitů s peiodou R π g Vlak se na duhý konec tunelu dostane za polovinu peiody t = π p R/g = 4 min Úloha 7 Fe Guevaa Jádo železa 57 Fe emituje γ kvantum o enegii 4,4 kev V důsledku zpětného ázu ale celý atom železa odskočí opačným směem Jakou kinetickou enegii atom zpětným ázem získá? Napovíme, že po klidovou hmotnost potonu i neutonu lze vzít hodnotu 939 MeV/c Výsledek uveďte v elektonvoltech Značíme-li enegii vyzářeného fotonu E γ, potom je jeho hybnost p γ = Eγ c, kde c je ychlost světla Díky zákonu zachování hybnosti bude mít odažený atom hybnost stejnou Jeho kinetická enegii bude tedy ovna E = pγ M = Eγ Mc, přičemž M je hmotnost atomu Jádo 57 Fe obsahuje 3 neutonů a 6 potonů Jeho klidová hmotnost bude tedy M = = 57m p, je-li m p klidová hmotnost potonu Dosazením získáme výsledek E =,94 mev Úloha 8 skákající pteodaktyl Pták Fykosák se ozhodne vyzkoušet skokanský můstek Ten je l = m dlouhý homogenní o hmot nosti M = kg na jedné staně podepřen pužinou o tuhosti k = 000 N m a na duhé je volně upev něn do čepu (viz obázek) Předpokládejte, že mo ment setvačnosti můstku je stejný jako moment ho mogenní tyče Fykosákův skok vyvolá kmity pužiny s malou výchylkou Učete peiodu kmitů Pták Fy kosák váží m = 0 kg k m l Udělejme nejpve ozbo sil působících na konec desky Použijeme duhé impulsové věty, vzdálenost x měříme směem vzhůu Tedy kxl = Jε, 3

14 kde ε je úhlové zychlení můstku Po malé výchylky platí x = lϕ, kde ϕ je úhel mezi můstkem a zemí Dosazením a úpavou dostáváme d ϕ dt Jε + kl ϕ = 0, + kl ϕ J = 0, což je ovnice hamonického oscilátou s peiodou J M T = π kl = π k = 8, ms Úloha 9 blik Na obázku vidíte obvod, kteý je připojen k velmi neposlehlivému zdoji s poměnlivým napětím Pavděpodobnost, že se žáovičce přepálí vlákénko při půchodu poudu je p (a jsou tak vhodně zapojené, že je po všechny stejná) Spočtěte pavděpodobnost, s jakou se ozsvítí označená žáovka (viz obázek) z obvodu při sepnutí spínače Předpokládejte, že se vlákna přepálí okamžitě po sepnutí vypínače a potom už žáovky zůstanou svítit A B Pavděpodobnostní obvod Označme si pavděpodobnost toho, že se vlákno nepřepálí q = p Jinak také můžeme pavděpodobnost p intepetovat tak, že se daná větev obvodu přeuší (nepoteče skz ni poud) a q symbolizuje pavděpodobnost, že poud obvodem poteče Pavděpodobnost toho, že se stane jedno, nebo duhé je (jistý jev) Pokud máme na učitém úseku obvodu zapojeno n žáovek paalelně, tak pavděpodobnost toho, že se všechny přepálí a poud nepoteče je p n = p n Naopak pokud je v učitém úseku zapojeno séiově m žáovek, tak pavděpodobnost funkčního obvodu je q m = q m Konečně konkétně k našemu obvodu máme zapojeno (zleva) za sebou nejpve tři žáovky paalelně, pak dvě žáovky paalelně, čtyři žáovky paalelně a nakonec jednu (duhá paalelně nás po výpočet vůbec nezajímá, potože nemůže ovlivnit ozsvícení žáovky) Pavděpodob nosti, že tyto jednotlivé části půchozí po poud jsou po řadě ( p 3 ), ( p ), ( p 4 ) a ( p) Celková pavděpodobnost ozsvícení zvýazněné žáovky bude tedy 4 P = ( p 3 )( p )( p 4 )( p) = 4Y = ( p k ) = p p + p 5 p 8 p 9 + p 0 k=

15 Pokud bychom věděli, že pavděpodobnost přepálení žáovky je elativně nízká, pak by stačilo uvažovat P p p, což ovšem po p neplatí Na závě například po p = 0, je P = 89 % Úloha 30 nabité koále Na obvodu kužnice o poloměu R jsou ovnoměně ozmístěné elektony jejichž souhnný náboj je Q a) Jaká je hodnota intenzity a potenciálu elektického pole ve středu kužnice, pokud potenciál v nekonečnu je nulový? b) Jak se změní výsledek, pokud stejný počet elektonů opět ovnoměně ozmístíme pouze po čtvtinovém oblouku? a) Ze symetie plyne, že intenzita elektického pole ve středu kužnice je nulová Potenciál bude součtem příspěvků od každého jednotlivého náboje, jelikož příspěvky všech nábojů na kužnici jsou shodné, bude potenciál ve středu kužnice jednoduše ϕ = Q 4πε 0R b) Potenciál v tomto případě je stejný jako v případě a) celkový náboj Q se nezměnil Intenzitu pole spočteme jako E = Z Q π/4 cos ϑ dϑ = 4πε 0R π π/4 Q 4πε 0R π, kde integál zohledňuje skutečnost, že síla působící z každé části oblouku se pojeví jen svým půmětem do směu výsledné síly Úloha 3 koktejl Mějme válcovou sklenici o výšce h a poloměu h Ve sklenici je voda s podezřelou kostkou o hustotě ϱ s a hanou stany h/3 Hladina vody je ve výšce 9h/0 Pokud sklenici přikyjeme pokličkou a tudíž kostku zatlačíme dovnitř, o kolik se zvedne hladina vody? Po jaké ϱ s hladina vystoupá až na úoveň pokličky? Hustota vody je ϱ l Nejpve použijme Achimédův zákon na spočítání, jak velká část kychle je ponořena Výšku ponořené části označme d Platí tudíž, že a tudíž 7 h3 ϱ sg = 9 h dϱ l g, d = hϱs 3ϱ l Označme s výšku té části kychle, kteá je nad okajem Jednoduchým odečítáním dostáváme, že «7 s = 30 ϱs h 3ϱ l Výšku hladiny vody po stlačení h n dostáváme z ovnosti objemů vyjádřených pomocí h a po mocí h n 9 40 πh3 + 9 h s = 4 hnπh 5

16 Jednoduchou algebou se dostáváme k výsledku h n 9 0 h = 8ϱ l 40ϱ s 70πϱ l h Po žádné ϱ s se voda nemůže dostat až k pokličce Stačí například poovnat objem kostky a objem ve sklenici neobsazený vodou Úloha 3 nejhoší ze všeho jsou tpaslíci Systém dvou okolo sebe obíhajících tpaslíků, čeveného a hnědého, má peiodu T = = 0,5 let Vzdálenost obou těles se jeví jako q = 0,4 a paalaxa soustavy je p = 0,08 Vypočítejte hmotnost M čeveného tpaslíka, jestliže je podstatně větší než hnědého Nejpve učíme pomocí paalaxy soustavy vzdálenost soustavy tpaslíků od Slunce To povedeme jednoduchým přepočítávacím vztahem nalezeným v tabulkách d pc = p d =,5 pc Velkou poloosu složek dvojhvězdy učíme ze vzdálenosti a z q Do mezivýpočtů se ovšem bude víc hodit znát q v adiánech, kteéžto označíme q = 6, ad Jest a/ d q = tg q a = dq = 8, pc =,75 AU V tabulkách po střední školy je uveden vztah, kteý přibližně platí po tělesa ve Sluneční soustavě a 3 T = κms 4π, kde M S je hmotnost Slunce a κ je gavitační konstanta Přibližný je, potože zanedbává hmot nost tělesa, kteé Slunce obíhá což v případě, že se jedná o těleso, kteé má o několik (i desítek) řádů menší hmotnost než Slunce výsledek znatelně neovlivní Ovšem v našem případě budeme uvažovat, že tpaslíci obíhají kolem jejich společného těžiště s hmotností M tato hmotnost je hmotností celé soustavy a 3 T = κm 4π Pokud ovšem chceme dosadit za a v AU a za T v letech, tak můžeme dosadit do M = = a 3 /T, a vyjde nám hmotnost soustavy v jednotkách hmotností Slunce Výsledek je M = = 0, 05M S = 9,7 0 8 kg Úloha 33 tenisový míček Tenisový míček jsme hodili z okna a náaz jsme zaslechli za čas 5 sekund Jakou měl míček bavu? (Uveďte hodnotu λ/λ 0 ) Rychlost zvuku značte v Označme ychlost zvuku v Celkový čas slyšení t se skládá z času t, kdy míček volně padal, a času t, kdy zvuk putoval od místa dopadu zpět k nám Po výšku okna s platí známý vzoec po volný pád s = gt / a po šíření ještě známější t = s/v Vztah t = t + t je kvadatická ovnice po veličinu s Po ychlost dopadu platí v d = gs, kam dosadíme řešení kvadatické ovnice Tak dostaneme v d = p v + tgv v Teď si už stačí vzpomenout na Doppleův vzoec λ c + vd = + v d λ 0 c v d c, p takže se hledaný výaz ovná v + tgv v /c 6

17 Úloha 34 fekvenční výhybka Učete vztah, kteý musí platit mezi hodnotami součástek, aby impedance mezi svokami A a B ob vodu byla eálná a fekvenčně nezávislá Platí R = = R = R A C R B L R Impedanci obvodu učíme jako paalelní kombi naci séiových kombinací L a R, esp C a R Z = (R + iωl) R + «iωc R + iωl + R + = iωc R + L C + ir ωl ωc R + i ωl ωc ««Čitatel i jmenovatel zlomku jsou komplexní a závisí na úhlové fekvenci ω Takovýto podíl je eálný tehdy, pokud je čitatel eálným násobkem jmenovatele, esp pokud je podíl eálných částí čitetele a jmenovatele oven podílu jejich imagináních částí R + L C R = Úpavou výazu získáme výsledek R ωl «ωc ωl ωc R = L C R + L C R = R Budou-li hodnoty součástek v zapojení odpovídat tomuto výslednému vztahu, pak výsledná impedance celého zapojení bude ovna pávě R Úloha 35 vozík Na pevném závěsu ve výšce h = m nad zemí je upevněn po vázek délky l =,5 m Na konci povázku je přivázána deska délky d = 0,5 m tak, že povázek je napnut a spolu s deskou leží v jedné přímce (viz obázek) Když soustavu uvolníme, deska nejpve po haně klouže bez tření, dokud nedopadne celou svou délkou na zem Potom se pohybuje poti třecí síle s koeficientem smykového tření f Spočítejte, jaká musí být jeho hodnota, aby deska svým bližším koncem doklouzala přesně pod závěs h l d Tato úloha bude zadána v 5 séii FYKOSu Pošlete-li nám její řešení na adesu uvedenou na poslední stánce, zařadíme vás do výsledkové listiny a máte možnost vyhát hodnotné ceny! 7

18 Úloha 36 měření ychlosti Osobní automobil o hmotnosti m = 0,9 t jede po dálnici ychlostí nebezpečně se blížící nejvyšší povolené ychlosti Předpokládejme, že jeho polohu jsme schopni změřit nejlíp na milimet přesně S jakou nejvyšší přesností bychom pak teoeticky mohli změřit jeho ychlost, pokud bychom na to měli ideální přístoj? Chtěli bychom měřit co nejpřesněji dva jevy polohu a ychlost Ale Heisenbegův pincip neučitosti nám říká, že po jednu částici, esp těleso nemůžeme učit např polohu a hybnost současně s nekonečnou přesností Auto ze zadání má hmotnost m a hybnost p Změříme-li jeho polohu s neučitostí x a současně učíme ze vztahu p = m v jeho hybnost ve stejném směu, pak podle Heisenbegova pincipu neučitosti platí p x h, kde h =, J s je edukovaná Planckova konstanta Numeicky tak vychází přesnost měření ychlosti auta na v h m x m s Úloha 37 pétanque V kabici o šířce a délce < l < 3 jsou tři koule o poloměu a hmotnosti m Dvě koule jsou na dně a třetí stabilně sedí mezi nimi (viz obázek) Jakou silou působí spodní koule na boční stěny nádoby? Mezi koulemi ani kabicí nedochází k žádnému tření Celý systém je v ovnováze a tudíž vešekeé síly působící na každou kouli se musí odečíst Na honí kouli působí gavitační síla ovna mg Tu vyovnávají síly F působící mezi dotykem honí koule s dolními Úhel mezi touto silou a silou gavitační označme ϑ Díky ovnováze musí platit l F cos ϑ = mg Ze síly F nás však zajímá jen část F b, kteá působí na boční stěnu Zřejmě platí sin ϑ = F b F Jednoduchými úpavami obou vztahů dostáváme F b = mg tg ϑ Z geometie vidíme, že sin ϑ = l Za pomoci vztahu tg ϑ = sin ϑ/ p sin ϑ vyjádříme výsledek F b = mg l 4 s l 4 «8

19 Úloha 38 tuhé péo Ve vesmíu se vznáší pužina Když na každý její konec připevníme kouli o hmotnosti m = = kg, pužina kmitá s fekvencí f = 4 Hz S jakou fekvencí bude pužina kmitat, když na jednom konci bude koule hmotnosti m a na duhém hmotnosti m = 4 kg? Je třeba si poblém převést na poblém jednoho tělesa, kteé bude mít edukovanou hmot nost m = m m /(m + m ) Z původní fekvence při m = m/ učíme tuhost pužiny k = π f m a z této tuhosti při jiných hmotnostech vypočítáme i duhou fekvenci jako s f = k 3f = = 3 Hz π (Redukovaná hmotnost m = m /3m) m Úloha 39 všechno lítá Jaký musí být dáhový ozdíl mezi spodní a honí stanou křídla, pokud letadlo o hmotnosti M = kg, ozpětí R = m a hloubce křídla D = 0, m letí vodoovně ychlostí v = 5 m s? Obtékání křídla považujeme za laminání Hustota vzduchu je ϱ =, kg m 3 Modelujme křídlo s plochou spodní stanou, podél níž poudí vzduch stejnou ychlostí jako letí letadlo, označme ji v V tomto jednoduchém modelu předpokládejme, že částice vzduchu obletí spodní i honí stanu křídla za stejný čas, aby se na konci zase setkali to vlastně znamená, že se na žádné staně křídla nehomadí vzduch Hloubka křídla ať je D a dáhový ozdíl, potom pomě mezi ychlostí vzduchu podél honí stany a podél dolní stany je D + D Dále ozdíl tlaků na honí a dolní stanu křídla musí být dostatečný, aby jím vyvolaná síla udžela letadlo ve vzduchu Použitím Benoulliho ovnice obdžíme zásadní vztah p p = ϱ `v v, Mg RD = D + ϱv D Zjištění dáhového ozdílu je nyní jen otázkou vyřešení kvadatické ovnice (a počítáme kladné řešení, jelikož chcem, aby křídlo táhlo nahou) 0 = ϱv D + ϱv Mg R Zaveďme substituci po edukovanou kinetickou enegii vzduchu A = ϱv / a plošné zatížení křídla B = Mg/RD Řešení ovnice nyní získá pěkný tva! + BA = D Po hustotu vzduchu, kg m 3 a ychlost letu 5 m s vychází ozdíl delék han 5 cm 9

20 Úloha 40 haváie Z pohybující se cisteny začne pod úhlem α vytékat tekutina ychlostí u vůči cisteně Na lezněte závislost ychlosti cisteny na čase, je-li plocha otvou S, ϱ hustota kapaliny, počáteční ychlost cisteny v 0 a hmotnost M Nejpve se zabývejme tím, jaká síla na cistenu působí Podle zákona zachování hybnosti je změna hybnosti cistey do velikostí stejná jako hybnost odteklé tekutiny, tedy za malý časový úsek máme dp = u dm = u Sϱ cos α dt, kde S je plocha výtokového otvou a ϱ je hustota kapaliny Na cistenu tedy působí konstantní síla F = dp dt = u Sϱ cos α Abychom zjistili závislost ychlosti cisteny na čase, použijeme duhý Newtonův zákon F = m v Potože z cisteny tekutina odtéká ovnoměně, lze okamžitou hmotnost cisteny zapsat jako m = M usϱt Musíme tedy vyřešit jednoduchou difeenciální ovnici v = u Sϱ cos α M usϱt Sepaací poměnných a využitím počáteční podmínky v(0) = v 0 získáme výsledný vztah po ychlost «M v = v 0 + u cos α log M usϱt Zdůazněme, že uvedený vztah platí jen po cistenu se zanedbatelně malou hmotností a po časy, kdy je v cisteně ještě nějaká tekutina FYKOS UK v Paze, Matematicko-fyzikální fakulta Ústav teoetické fyziky V Holešovičkách Paha 8 www: po řešení: fykos-solutions@mffcunicz fykos@mffcunicz Fyzikální koespondenční seminář je oganizován studenty UK MFF Je zastřešen Oddělením po vnější vztahy a popagaci UK MFF a podpoován Ústavem teoetické fyziky UK MFF, jeho zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fyziků 0