Cvičení k přednášce Kvantová mechanika II
|
|
- Luboš Pospíšil
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Cvičení k přednášce Kvantová mechanika II Pavel Stránský 3. května 8
2 Spinové systémy, matice hustoty. Volné mionium Mioniumjevázanýstavanti-)mionu µ + selektronem,podobnýnapř.atomuvodíku. Vzniknepřiozařovánívzorkusvazkem µ +.Mionyseinterakcíslátkouzpomalujíapři dostatečně malé rychlosti zachytí elektron. S ním vytvoří vázaný stav, který se velmi rychleřádověza 9 s,prosrovnánístřednídobaživota µ + je τ µ +.µs)dostane do základního stavu. Důležité je, že jsme schopni připravit miony s konkrétní orientací spinu a že se během deexcitace orientace spinu nemění. Při ozařování slabé fólie kovu je mionium po záchytu elektronu elektricky neutrální avolnéadíkytomumůžedifundovatvenzevzorku. Nachází-li se mionium v základním stavu, lze interakci spinu mionu a spinu elektronu popsat Hamiltoniánem ĤE + A 4 ˆσ µ ˆσ e, kde E m r c α /m r jeredukovanáhmotnostelektronuamionu), Ajevazebná konstantajejí hodnotu lze určit teoreticky) a ˆσ µ ˆσ e ˆσ µ σˆ e +ˆσ µ σˆ e +ˆσ µ3 σˆ e3, přičemžˆσ µ jeoperátorspinupříslušejícímionu,ˆσ e elektronu. Nalezněte,čemujerovno σ µ σ e,kde σ σ,σ,σ 3 )jsoupaulihomatice. Spočítejte vlastní stavy S a vlastní vektory výsledné matice. Tyto vlastní stavy označte S,S z,kde S z jeprojekcespinusloženéhosystémudosměruosy z. VyjádřetematiciHamiltoniánuvbázi s µ,s e, s µ,e {+, }avbázi S,S z. Nalezněte její vlastní hodnotypomocí výsledku předchozího kroku). Uvažujte,žespinmionu,kterýmozařujemevzorek,máorientaci+vesměruosy z, tj. ψ µ + µ,spinelektronumálibovolněorientovanýspin ψ e α + e +β e, α + β.napištevlnovoufunkci ψsloženéhosystému,atovoboubázíchz předchozího bodu. Nalezněte ψt),tj.stavsystémuvčase t. Určetepravděpodobnost p + t),ževčase tzměříteprojekcispinumionuvesměru osy z. Využijte k tomu projektor Hamiltoniánsetakédázapsatekvivalentněvetvaru ˆP µ+ + µ + µ...) ĤE + A 4 ˆσ µ ˆσ e, kdeˆσ µ,e mánynítrochujinývýznam,jedefinovánovztahy ˆσ µ ˆσ ˆ µ ˆσ e ˆ e ˆσ.
3 Zopakujte celý výpočet pro případ, že stav elektronu na počátku je smíšený stav popsaný operátorem hustoty ˆρ e + e + e + e e nalezněte matici hustoty složeného systému mion-elektron v čase t, následně v čase t, udělejte parciální stopu přes elektronové stavy, které neměříte, a poté užijte projektoru..)).. Domácí úkol.. Mionium v křemíku Zopakujte postup ze cvičení pro Hamiltonián Ĥ E + A 4 ˆσ µ ˆσ e + Dˆσ µ3 ˆσ e3 popisující interakci spinů mionu a elektronu v mioniu, které se po vzniku v krystalové mříži křemíku naváže do mříže, vytvořivši s okolními atomy šesterečnou mříž. Poslední člen v Hamiltoniánu popisuje narušení sférické symetrie interakce. Rotační symetrie okolo osy z však zůstane zachována. Konstanty A >, D <seurčujíexperimentálně. Napište matici Hamiltoniánu a spočítejte její vlastní hodnoty a vlastní stavy S,S z. Nechťdopadajícímionyjsoupolarizoványdokladnéhosměruosy x,tj. ψ µ +x µ.vyjádřete ψ µ3,cožjepočátečnístavmionuvyjádřenývbázispinuorientovanéhovesměruosy z. Nechť elektrony jsou před vznikem polarizovány v kladném, resp. záporném směru osy z,tj.uvažujemedvapřípady ψ e+ + e, ψ e e.naleznětestav složenéhosystémuelektron-mionvčase t,včase tapravděpodobnost,že včase tnaměřítespinmionuorientovanývesměruosy xproobědvěpočáteční orientace spinu elektronu. Spočítejte totéž jako v předchozím bodu pro případ, že jsou elektrony na počátku ve smíšeném stavu ˆρ e + e + e + e e...).. Harmonický oscilátor při konečné teplotě Harmonický oscilátor v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě T je od rezervoáru odpojen a následně zainteraguje s dvoustavovým systémem takovým způsobem, že stavy se svážou s lichými stavy oscilátoru, stavy + se sudými stavy oscilátoru. Vyjádřete redukovanou matici hustoty, pokud se zajímáme pouze o dvoustavový systém. 3
4 WKBJ) kvaziklasické přiblížení. Harmonický oscilátor Použitím WKB metody odvoďte spektrum a vlnové funkce jednorozměrného harmonického oscilátoru popsanéhojiž známým) Hamiltoniánem Ĥ Mˆp + kˆx. Nakreslete graf vlnové funkce pro dvacátou energetickou hladinun ) a porovnejte s přesnou vlnovou funkcí, která je řešením Schrödingerovy rovnice a která je určena Hermitovými polynomy φ n x) 4 MΩ π H nξ)e ξ, ξ n! n MΩ x. Na základě tohoto srovnání diskutujte přesnost WKB metody.. αrozpad α rozpad lze modelovat velmi jednoduchým modelem, který nám i přes svoji jednoduchost dovolí získat kvalitativní souhlas s experimentem. Budeme si představovat, že α částice vázaná v jádře tuneluje Coulombickou bariérou. Celý problém popíšeme jednorozměrným potenciálem { V pro x < a Vx) Z αze pro x > a, x přičemž Z jeprotonovéčíslojádra, Z α protonovéčíslo αčástice, V jekladný parametr, eα cqa αjekonstantajemnéstruktury. Ve WKB přiblížení odvoďte tzv. Gammovův koeficient průniku Texp b a px) dx kde px) je absolutní hodnota hybnosti částice v klasicky nedostupné oblasti vymezené body a, b, které ohraničují bariéru. Nalezněte jeho vyjádření pro uvažovaný model α rozpadu. Střednídobuživotalzeaproximovatvztahem τ P αrt,kde P αjepravděpodobnost, že se v jádře vydělí α částicebudeme předpokládat, že tato pravděpodobnostbudeprouvažovanájádra )arjepočet nárazů αčásticenabariéru zasekundu.odhadněte Raspočítejte τapoločasrozpadu T /. Propoloměratomupoužijtepřibližnývztah a a 3 A, Ajeatomovéčísloa a..5fm. Porovnejte číselně s hodnotami tří izotopů 4
5 izotop EMeV) T / 44 6Nd.8 5 let 4 88Ra dne 84Po µs UrčetedeBroglieovyvlnovédélky αčásticvjádrechztabulkyaporovnejtejes rozměry jádra. Je WKB aproximace oprávněná?.3 Domácí úkol- Coulombické pole WKB metodu lze aplikovat také na problémy se sféricky symetrickým polem. Schrödingerova rovnice pro radiální část vlnové funkce Rr) obecného sféricky symetrického problému má tvar kde r d dr r d dr Rr)+m E V efr))rr), V ef r) Vr)+ ll+) mr je efektivní potenciál, zahrnující v sobě centrifugální člen. Zavedením substituce Rr) ur)/r dostaneme rovnici d dr ur)+k r)ur), kde k r)m/ E V ef ). Ukazuje se, že WKB metoda dává dobré výsledky jedině v případě, aplikujeme-li tzv. Langerovu korekci, která spočívá v nahrazení ll+) l+ ) dá se odvodit z asymptotiky vlnových funkcí, původní práci Rudolpha E. Langera lze naléztvphys.rev.5,669937)). Vázané stavy lze pak nalézt z rovnice ekvivalentní Bohr-Sommerfeldově kvantovací podmínce r r k r)drn r + )π, přičemž k r)zahrnujelangerovukorekci, n r,,... jeradiálníkvantovéčíslo, r, jsoubodyobratuklasickétrajektorieshybností p r) k r). Uvažujte konkrétní případ pohybu částice v Coulombickém poli Vr) e r. Naleznětebodyobratu r, trajektoriesenergií EpočítejtesLangerovoukorekcí). Pomocí WKB přiblížení nalezněte spektrum, tj. stavy s energií E <. Porovnejte toto spektrum se spektrem získaným přesným řešením Schrödingerovy rovnice. 5
6 3 Skládání momentu hybnosti, tenzorové operátory MějmedvanezávisléoperátoryimpulsmomentůˆL ),ˆL ),[ˆL ),ˆL ) ],kterépůsobí nahilbertovýchprostorech H ), H ),ajejichsoučet ˆLˆL ) +ˆL ) působícínahilbertověprostoru HH ) H ). Mezi impulsmomenty, resp. jejich složkami platí komutační relace [ˆL j,ˆl k ]iǫ jklˆll [ˆL j,ˆl ] [ˆL,ˆL ) ) ][ˆL,ˆL ) ) ] [ˆL j,ˆl ) ) ][ˆL j,ˆl ) ) ] Toznamená,ženaprostoru HmůžemevolitzaÚMPtytomnožinyoperátorůse svými bázemi: ˆL ) ),ˆL ) 3,ˆL ) ),ˆL ) 3 { l ) m ) l ) m ) } ˆL ) ),ˆL ) ),ˆL,ˆL 3 { l ) l ) l m } běžněseužíváznačení l ) m ) l ) m ) l ) m ) l ) m ) ).Platítedy: Mezi oběma bázemi platí vztah ˆL ) ) l ) l ) l m l ) l ) +) l ) l ) l m ˆL ) ) l ) l ) l m l ) l ) +) l ) l ) l m l ) l ) l m ˆL l ) l ) l m ll+) l ) l ) l m ˆL 3 l ) l ) l m m l ) l ) l m m ) m ) l ) m ) l ) m ) l m) l ) m ) l ) m ) kdel ) m ) l ) m ) l m)jsouclebsch-gordanovykoeficienty. 3. Explicitní výpočet C-G koeficientů ExplicitnímvýpočtempomocíposunovacíchoperátorůˆL ± koeficientyproskládáníimpulsmomentů l ) l ). ˆL ±iˆl naleznětec-g Řešení: Budeme užívat zkrácený zápis l ) l ) l m l m l m l,) m,) m,) m ) 6
7 .Začínásesvektorysnejvyššíváhou: Condon-Shortleyova fázová konvence), neboli. Platí: ). ˆL ± l m α ±) l,m) l m ± α ±) l,m) ll+) mm ±) apodobněprojednotlivéimpulsmomentyˆl,),přičemžˆl ± ˆL ) ± +ˆL ) ±. Aplikujme tuto relaci na vektor : ˆL ˆL ˆL ) +ˆL ) + ). Srovnáním dostaneme atedy + ), ) ). 3.Jelikožmusíplatit mm ) + m ),dostáváme ) ) ) ) ) 4. Další aplikací posunovacího operátoru ˆL 6 ˆL + ) ) + +, neboli ), takže ) ) 6 ) 6. VšechnyostatníC-Gkoeficientysl, mjsounulové. 7
8 5.Dalšímiaplikacemi L bychomdostali atedy + ), ) ) ). 6.Hledejmenynívektor.Tentovektormusíbýtkolmýna.Označíme-li musí být c +c, c + c. Volme c, c reálné, c + c akoeficientu kladnýcondon-shortley). Pak ) a C-G koeficienty jsou ) ). 7.AplikacíˆL dostaneme takže ) ), ) ) ) ). 8
9 8. Zbývá poslední stav d +d +d 3. Zpodmínek dostáváme soustavu rovnic z které vyplývají vztahy Volme atedy d 6 + d 6 + d 3 6 d d 3, d d 3 d. 3 + ), ) ) 3 ) 3. Shrnutí: Obecný postup výpočtu Clebsch-Gordanových koeficientů je tedy takovýto:. Vezmeme vektor s nejvyšší váhou l ) l ) ll ) + l ) ml ) + l ) l ) l ) l ) m ).AplikujemeposunovacíoperátorˆL.Tímnaleznemevšechnyvektory l ) l ) l l ) + l ) m. 3.Vektor l ) l ) ll ) +l ) ml ) +l ) musíbýtortogonálník l ) l ) l l ) +l ) ml ) +l ) amusíbýtsplněnacondon-shortleyovafázovákonvence. 4.PostupněopakujemeaplikováníposunovacíhooperátoruˆL aortogonalitydoté doby,nežzískámevšechnymožnévektory l ) l ) l m. VšechnyClebsch-Gordanovykoeficientyproimpulsmomenty l ) l ) jsou uvedeny v tabulce 3.. 9
10 J M m ) m ) Tabulka:Clebsch-Gordanovykoeficientyproimpulsmomenty l ) l ).Pokudvtabulce není uvedeno žádné číslo, je příslušný C-G koeficient nulový. 3. Vektorový operátor jako ireducibilní tenzor k) Prosložky ˆT q libovolnéhoireducibilního tenzorového operátoru ˆT k), k,,..., q k,...,k ireducibilního proto, že se transformuje podle příslušné ireducibilní reprezentace grupy SO3), narozdíl např. od tenzoru vzniklého vzniklého dyadickým součinem dvou vektorů, viz úlohu 6.8) platí [Ĵ3,ˆT k) q ]kˆt k) q [Ĵ±,ˆT k) q ]α ±) k,q)ˆt k) q±, 3..) kdeĵjeoperátorimpulsmomentu,ĵ±ĵ ±iĵa α ±) k,q) kk+) qq ±). Ukažte,želibovolnémuvektorovémoperátoruˆVsesložkamiˆV x,ˆv y,ˆv z )sedápřiřadit ireducibilní tenzorový operátor. řádu pomocí předpisu ˆT ) ˆV x iˆv y ) ˆT ) ˆV z ˆT ) ˆV x +iˆv y ). 3..) Řešení: Důkaz se provede přímým dosazením do vztahů3..).
11 4 Hustota kvantových hladin Hustota kvantových hladin ρe) na energii E souvisí s objemem fázového prostoru ΩE) δe Hx,p))d n xd n p 4..) Hx, p) je Hamiltonova funkce systému) vztahem ρe) ΩE) h n ΩE) π ) n 4..) V jednorozměrném případě lze vztah přepsat na tvar, kde již neintegrujeme δ funkci. Využijeme toho, že pro δ funkci platí δfx)) x j f x j ) δx x j) fx j ) x j jsouvšechnyjednoduchékořeny). 4..3) Rozepíšeme Hamiltonovy funkci pomocí potenciálu, který závisí jen na souřadnici Hx,p) m p + Vx). Pak ΩE) δe m p Vx))dxdp δe m p Vx)) m [δp Px))+δp+Px))] Px) Px) me Vx)) m dx me Vx)) m E Vx) dx, 4..4) kde se integruje přes veškerá dostupná xnapříklad v případě systému se dvěma body obratujsouintegračnímeze x max x min řešenímrovnice Vx min,max )E). 4. Hustota hladin jednorozměrného harmonického oscilátoru Spočítejte hustotu hladin jednorozměrného harmonického oscilátoru. Řešení: Klasická Hamiltonova funkce harmonického oscilátoru je Hx,p) m p + kx.
12 Hustota kvantových hladin podle4..) je ΩE) δe m p kx )dxdp π p dp mdπ m k ξ x dx dξ k 4m δe π ξ )dξdπ k Polární souřadnice r π + ξ dξdπ rdrdϕ π π ω E dϕ δe r )rdr ω δe r ) E δr E)+δr+ E) δr E)+δr+ E)) ) rdr π ω. 4..) k Využilijsmevlastností δfunkce4..3)azavedli ω. m Hustota kvantových hladin tedy je konstantní, nezávisí na energii: ρe) π hω ω To je v souladu se skutečností a s dříve získaným výsledkem, že jednorozměrný harmonický oscilátor má ekvidistantní spektrum. Jiný způsob řešení: Využijeme relace4..4). Body obratu jsou takže x min E k ΩE) E k m a 4m k E k k x E ω [arcsina] x max E k, E kx dx da a da k dx E Tojeveshoděsřešením4..). π ω.
13 Jiný způsob řešení: Využijeme vlastnosti δe Hx,p)) θe Hx,p)) E která po dosazení do vztahu4..) dá ΩE) θe Hx,p))dxdp E E Hx,p))dxdp E Hx,p)<E V našem případě D harmonického oscilátoru dává integrál povrch elipsy S πab s poloosami E a b me, k takže po dosazení ΩE) ) 4m π E k E π ω, cožjeopětveshoděs4..). Jiný způsob řešení: Vyjdeme z Fourierovy transformace δ-funkce: δx) π e iκx dκ Po dosazení do vztahu4..) a pro náš jednorozměrný harmonický oscilátor dostáváme ΩE) e iκe m p kx ) dκdxdp π π p iκ e m dp πm π iκ e iκe ω iκ dκ π ω. kx iκ e m ) π iκk dx ) e iκe dk e iκe dκ 4. Obrácený oscilátor v jámě Uvažujte jednorozměrný potenciál daný předpisem { Vx) kx a x a x > a 4..) obrácený harmonický oscilátor v nekonečně hluboké pravoúhlé jámě). Spočítejte hustotu kvantových hladin. 3
14 Řešení: K řešení vyjdeme ze vztahu4..4).. E < Vtomtopřípadědostávámepotenciáljesudý,počítámejenvoblasti x >a výsledek zdvojnásobíme): kde ka E. ΩE) m m E b a E k a E k k x E k E a E + kx dx k E x dx dx E db k 4 ω b db bcosh z dbsinhzdz arccosh k E a ) 4 ω ) 4 ω arccosh k E a, sinh z cosh z dz Hustota hladin je tedy ) ρe) π ω arccosh k E a.. E > Podobným postupem jako v případě záporné energie dostaneme ) ρe) π ω arcsinh k E a. Výslednáhustotahladinjeznázorněnanaobrázku4..Jevidět,žepro Ehustota diverguje.tosouvisístím,ževklasickémpřípadějebodobratupřitétoenergiivbodě xpatologický, V x),apatologickájeijedinámožnátrajektoriepřitéto energii.částicedostihnebod xažvnekonečnémčase. 4
15 Ρ E E Obrázek:Hustotakvantovýchhladinpropotenciál4..)přivolbě a mk. 5
16 4.3 Domácí úkol Spočítejte hustotu hladin izotropního n-rozměrného harmonického oscilátoru. 6
17 5 Kulové funkce Vlnové funkce částice ve sféricky symetrickém potenciálu lze hledat ve tvaru kvadraticky integrovatelných funkcí ψ Elm r,θ,φ)r El r)y lm θ,φ) 5..) s normalizací r dr π π sin θdθ dφψelmr,θ,φ)ψ E l m r,θ,φ)δ EE δ ll δ mm. 5..) ZaÚMPjsmezvolilioperátoryĤ, ˆL z,ˆl. Zabývejmesenadálejenúhlovoučástívlnovéfunkce Y lm θ,φ).operátorimpulsmomentumávx-reprezentacivyjádřenídiferenciálníoperátor) L j iǫ jkl x k x k,cožse při vyjádření ve sférických souřadnicích rovná ˆL x i sin φ θ +cotθcosφ ) φ ˆL y i cos φ θ +cotθsin φ ) φ ˆL z i φ aztěchtovztahůplynetaké ˆL sin θ θ sin θ θ + sin θ ) φ ˆL ± ˆL x ±iˆl y e ±iφ ± θ +icot θ φ Funkce Y lm θ,φ)jevlastnífunkcíoperátorů ˆL z,ˆl,tj. ) ˆL z Y lm my lm ˆL Y lm ll+)y lm, 5..3) kde l,,..., m l,...,ljsouceláčísla.nazákladěalgabraickýchvlastností operátoru impulsmomentu také platí přičemž α ±) l,m) ll+) mm ±). 5. Konstrukce kulových funkcí ˆL ± Y lm α ±) l,m)y l m±, 5..4) Pomocí rovnic výše uvedených vztahů nalezněte explicitní vyjádření pro vlnové funkce Y lm θ,φ). 7
18 Řešení: Rovnice5..3) jsou vlastně soustavou dvou parciálních diferenciálních rovnic pro funkce Y lm θ,φ).vyřešitjemůžemeseparací Z první z rovnic5..3) dostaneme Y lm θ,φ)f lm θ)φ m φ). i φ Φ m mφ m Φ m N Φ e imφ. Normalizačníkoeficient N Φ dostanemeznormalizačnípodmínky5..): Φ m π e imφ. Knalezenífunkce f lm θ)bychommohlizkusitdruhouzrovnic5..3): sin θ θ sin θ θ + ) sin θ m f lm ll+)f lm sesubstitucí zcos θ z ) m sin θ + z sin f lm ll+)f lm θ ) ] z f lm [ll+) z z + m f z lm Tuto rovnici však není tak jednoduché vyřešit. Mnohem instruktivnější je řešení, které vychází z algebraických vztahů pro operátor impulsmomentu. Víme totiž, že ˆL Y l l apodosazeníz5..4) e iφ θ +icotθ ) f l l e ilφ φ θ ) + lcot θ f l l cotθ sin θ ) cos θ θ + l f l l a vhodné substituci z sin θ dořešíme vzniklou obyčejnou diferenciální rovnici. řádu z z + l) f l l separacíproměnných l z z f l l f l l lln z Nln f l l f l l N f z l N f sin l θ. 8
19 DonormalizacesepustímestejnějakoučástiΦ m.vyjedemeznormalizačníhovztahu 5..),podlekterého π π sin θdθ fl l Nf sin l+ θdθ. Označmesamotnýintegrál I l apočítejmejejmetodouperpartes I l π sin θsin l θdθ [ cos θsin l θ ] π +l π l π li l + I l ), čímž získáváme rekurzivní vztah Jeho násobnou aplikací obdržíme ajelikož a dostáváme konečně I l sin θ ) sin l θdθ I l l l+ I l. l l! l+)l ) I l+)!!l+)l )!! cos θsin l θdθ l l! l+)!! I l)l )l )l 3)l 4) l+) l)l )l 4) l+) l)! l l! I π sin θdθ, l l! ) I l l+)l)! N f l+)l!) l l! f l l l+)l!) sin l θ l l! acelávlnováfunkce Y l l θ,φ)zní Y l l θ,φ) l+)l!) sin l θe ilφ l l! 4π Zbývající kulové funkce dostaneme prostým aplikováním diferenciálního operátoru ˆL + podlevztahu5..4),tj. Y lm ˆL + ) l+m α +) l, l)α +) l, l+) α +) l,m) Y l l 9
20 Poznámka: Kulové funkce se obyčejně vyjadřují pomocí přidružených Legendreových polynomů, definovaných vztahem Pl m x) x ) m/ d l+m ) l. l l! dx l+mx Pak Y lm θ,φ) )m l l! l l! l+l m)! 4π l+m)! eimφ Pl m cosθ) l+l m)! 4π l+m)! eimφ sin m θ d l+m dcos θ) l+m cos θ) Poznámka: Kulové funkce splňují kromě relace ortogonality5..4) ještě Poznámka: l l m l Y lm θ,φ)y lmθ,φ )δcosθ cos θ )δφ φ ) Kvadrát absolutní hodnoty kulových funkcí nejnižších řádů je znázorněn na obrázku 5.. Pokud se zajímáme o orbitaly např. u atomu vodíku, musíme ještě uvážit radiální část vlnové funkce podle vztahu5..). Hodnota dp ψ Elm r,θ,φ) r sin θdrdθdφ pak udává hustotu pravděpodobnosti nalezení částice elektronu) na souřadnicích r,θ,φ). To, co se většinou pro ilustraci znázorňuje jako orbitaly např. v chemii), jsou plochy s konstantní hustotou pravděpodobnosti, tj. plochy, pro které ρr, θ, φ) ψ Elm r,θ,φ) ρ.
21 m m ± m ± m ±3 Obrázek : Hustota pravděpodobnosti ρθ, φ) Ylm θ, φ) pro kulové funkce řádu l,,, 3. Pravděpodobnost nalezení částice ve směru θ, φ) je dána výrazem dpy ρy θ, φ) sin θ dθ dφ. Hustota pravděpodobnosti je axiálně symetrická podle osy z.
22 6 Wigner-Eckartův teorém Wigner-Eckartův teorém zní a,j M ˆT k) q b,j m ) J+k jk q j m J M) a,j ˆT k) b,j) J+ ) J k j ) J M a,j ˆT k) b,j) M q m 6..) apředevšímdávávýběrovápravidlaprohodnoty J,M,k,q,j,m: m+q M j k J j+ k trojůhelníkovánerovnost) 6..) Dále a,j ˆT k) b,j)jeredukovanýmaticovýelement. a,bjsoudalšívlastníčíslamůžejichbýtivíce)operátoruoperátorů)â,které spolusimpulsmomentemĵtvoříúmp: [Â,Ĵ]. k) ˆT q jsoukomponentyireducibilníhotenzorovéhooperátoruˆt k) k-téhořádu. Mezi 3j symbolem a Clebsch-Gordanovými koeficienty platí relace ) j j j 3 m m m 3 ) j j 3 m j m j 3 m 3 j m ) j + ) j 3 j m j 3 m 3 j m j m ) j ) ) j j m 3 j m j m j 3 m 3 ), j3 + přičemž uvedené tři rovnosti plynou ze symetrie 3j symbolů: ) ) ) j +j +j 3 j j j 3 jσ j σ j σ3 m m m ) 3 m σ m σ m σ3 j j j 3 m m m 3 signσ signσ Další symetrie: j j j 3 m m m 3 ) ) ) j +j +j 3 j j j 3 m m m 3
23 Tenzorový součin dvou ireducibilních tenzorových operátorů je dán vztahem pro komponenty Ŵ k) [Ûk ) ˆV k ) ]k) Ŵ k) q q,q k q k q k q)ûk ) q ˆVk ) q Pro tenzor nultého řádu pak vyplývá Ŵ ) q,q k q k q )Ûk ) q ˆVk ) q ) k ) q Û k) q ˆVk ) k + q q a na základě této rovnosti se definuje skalární součin ireducibilních tenzorových operátorů Û k) ˆV k) ) k k+ŵ) ) q Û k) q ˆV q. k) q Tato definice dává pro skalární součin vektorového operátoru stejný výsledek, ať počítáme se sférickými nebo kartézskými komponentami: 3 Û ) ˆV ) Û ˆV Û jˆvj. 6. Využití symetrií 3j symbolů Pomocí symetrií 3j symbolů a znalosti Clebsch-Gordanova koeficientu j j m J M)δ Jj δ Mm plynezvolby j j j j m,cožjevlastněcondon-shortleyovafázovákonvence) spočítejte Clebsch-Gordanovy koeficienty Řešení: j m J M) a j m j m ). Pomocí vztahu mezi Clebsch-Gordanovými koeficienty a 3j symboly6..3) nalezneme ) J j )j+m δ Mm δ Jj M m J+ a srovnáním a přeznačením dostaneme ) J m+j+j J M j m) j+ ) J+j J M j m ) j m J M)δ Jj δ Mm j m j m ) )j m j + δj j δ m m. 3
24 6. Redukovaný maticový element skalárního operátoru Určeteredukovanýmaticovýelementoperátoru Ŝ). Řešení: Pomocí Wigner-Eckartova teorému nalezneme a,j Ŝ) b,j)δ ab δ Jj J+ 6.3 Redukovaný maticový element skalárního součinu Nalezněteredukovanýmaticovýelementskalárníhosoučinua,J Ûk) ˆV k) b,j). Řešení: Podle výsledku předchozí úlohy je Na druhou stranu a,j M Ŵ) b,j m J+ δ ab δ Jj a,j Ŵ) b,j). a,j M q ) q k Û k) ˆV k) q b,j M k+ q )q k a,j k+ M Ûk) q c,j m c,j m ˆV q k) b,j M qcj m ) )q k J k j ) J M qcj m k+ M q m a,j Ûk) c,j ) ) ) j m j k j m c,j ˆV k) B,J) q m ) )q k J k j ) J M qcj m k+ M q m a,j Ûk) c,j ) ) ) j m ) j +k+j j k J m c,j ˆV k) b,j) q M ) )q k J k j ) J M qcj m k+ M q m a,j Ûk) c,j ) ) ) j m J k j M q m c,j ˆV k) b,j) )J k ) ) j ) q m M J k j k+ M q m a,j Ûk) c,j ) qcj m ) J k j M q m c,j ˆV k) b,j) ) k ) J ) j k+ J+ a,j Ûk) c,j )c,j ˆV k) b,j), cj 4
25 kde jsme užili pro 3j symboly relací symetrie a relaci ortogonality ) ) j j j 3 j j j 3 m m m 3 m m m 3 j 3 + δ j 3 j 3 δ m 3 m δj 3,j,j 3 ). m m Srovnáním dostaneme a,j Ûk) ˆV k) b,j) δ Jj ) J ) j J+ a,j Ûk) c,j )c,j ˆV k) b,j) cj 6.3.) 6.4 Redukovaný maticový element impulsmomentu NalezněteredukovanýmaticovýelementoperátoruimpulsmomentuĴ. Řešení: Redukovaný maticový element stačí počítat pro jednu sférickou komponentu tenzoru ) Ĵ.VýhodnéjezvolitsiĴ) Ĵz.Pak a,j M Ĵ3 b,j m m δ ab δ Jj δ Mm. Nadruhoustranuuvažujemejiž J j) a,j M Ĵ3 b,j m δ Mm ) J+ J J M J M) J+ a,j Ĵ) b,j) δ Mm JJ+)J+) a,j Ĵ) b,j), neboť J M J M) m/ JJ+). Srovnáním dostáváme a,j Ĵ) b,j)δ ab δ Jj JJ+)J+) 6.5 Projekce vektoru na impulsmoment Nalezněte redukovaný maticový element skalárního součinu libovolného vektorového operátoruˆvsimpulsmomentemĵ. Řešení: Využijeme vztahu pro skalární součin tenzorových operátorů6.3.). Podle něj a,j Ĵ ˆV b,j)a,j Ĵ) ˆV ) b,j) )J δ Jj J+ a,j Ĵ) c,j )c,j ˆV ) b,j) cj ) j )J δ Jj ) J JJ+)J+)a,J ˆV ) b,j) J+ ) J δ Jj JJ+)a,J ˆV) b,j) 5
26 6.6 Projekční teorém Dokažte,žepromaticovéelementydiagonálnívJaprolibovolnývektorovýoperátorˆV platí rovnost Řešení: a,j M ˆV b,j m a,j M Ĵ ˆV Ĵ Ĵ b,j m 6.6.) Na obou stranách jsou tenzorové operátory, můžeme tedy využít Wigner-Eckartův teorém a dokázat jen pro jednu komponentu. Levá strana: Pravá strana: a,j M ˆV 3 b,j m δ Mm ) J+ J J M J M) a,j ˆV ) b,j) J+ δ Mm M JJ+)J+) a,j ˆV ) b,j) a,j M Ĵ ˆV Ĵ Ĵ 3 b,j m δ Mm M JJ+) a,j M Ĵ ˆV b,j M M J M J M) δ Mm )J+ J a,j ˆV ) JJ+) J+ Ĵ) b,j) M δ Mm JJ+) J+ )J JJ+)a,J ˆV ) b,j) δ Mm M JJ+)J+) a,j ˆV ) b,j) Obě strany se rovnají. 6.7 Magnetický moment MějmedvanezávisléimpulsmomentyˆL,Ŝ,[ˆL,Ŝ],kterésložímenacelkovýimpulsmoment ĴˆL+Ŝ. Nechť ls)jm jsouvlastnívektoryoperátorůˆl,ŝ,ĵ,ĵ3: ˆL ls)jm ll+) ls)jm Ŝ ls)jm ss+) ls)jm Ĵ ls)jm jj+) ls)jm Ĵ 3 ls)jm m ls)jm Definujme operátormagnetický moment) ˆµg LˆL+gS Ŝ, 6.7.) 6
27 přičenž g L, g S jsoureálnéparametry. Spočítejte diagonální maticový element Řešení: ls)jm ˆµ ls)jm. Předně z výběrových pravidel pro projekci impulsmomentu W-E teorému vyplývá, že ls)jm ˆµ x ls)jm ls)jm ˆµ y ls)jm, neboťmu ˆ x,y jsouzapsanévesférickýchkomponentáchpomocílineárníkombinaceˆµ ) m ± m. Kvýpočtumaticovéhoelementuˆµ z užijemeprojekčníteorém6.6.): Dále ls)jm ˆµ z ls)jm ls)jm Ĵ ˆµ Ĵ Ĵ z ls)jm m ls)jm Ĵ ˆµ ls)jm jj+) Ĵ ˆµˆL+Ŝ) g LˆL+g S Ŝ) g LˆL + gs Ŝ +g L + g S )ˆL Ŝ akvyjádřeníˆl Ŝvyužijemestandardnítrikspin-orbitálnívazba) Ĵ ˆL+Ŝ) ˆL+Ŝ)ˆL +Ŝ +ˆL Ŝ, ±a takže ˆL Ŝ Ĵ ˆL Ŝ ). Po dosazení a využití relací6.7.) dostaneme výsledek ls)jm ˆµ z ls)jm mg L+ g S )+ g L g S [ll+) ss+)] jj+) 6.8 Domácí úkol UvažujtedvalibovolnévektorovéoperátoryˆR,ŜskartézskýmikomponentamiˆR j,ŝk. KartézskésložkytenzoruvznikléhojejichdyadickýmsoučinemoznačmeˆT jk ˆR j Ŝ k. Pomocí vztahu pro tenzorový součin tenzorových operátorů ˆT k) q q,q k q k q k q)ˆr k ) q Ŝ k ) q naleznětesférickékomponentytenzorůˆt ),ˆT ),ˆT ) avyjádřetejepomocíˆt jk. 7
28 Ukažte,žerozepíšeme-likartézskékomponentytenzoruˆT jk cožjelibovolnýtenzor. řádu) jako ˆT jk Ĵjk+Âjk+ˆB jk, kde Ĵ jk 3 ˆT +ˆT +ˆT 33 )δ jk  jk ˆT jk ˆT kj ) ˆB jk ˆT jk +ˆT kj ) Ĵjk Ĵjenásobekjednotkovéhotenzoru,ÂjeantisymetrickýtenzoraˆBjesymetrický tenzorsnulovoustopou),pakĵ,â,resp. ˆBtvoříprávěkartézskékomponenty tenzorovéhooperátorunultéhořáduˆt ),prvníhořáduˆt ),resp.druhéhořádu ˆT ). 8
29 7 Přibližné metody Poruchová metoda MějmeHamiltoniánĤ,kterýlzerozložitnasoučet ĤĤ+ λĥi tak,žespektrumĥjeznáméanedegenerované, Ĥ φ m E m ) φ m φ m φ n δ mn φ m φ m ˆ, m aĥijemaláporuchainterakce)řízenáparametrem λλvneporušenémpřípadě, řešení pro λ hledáme; mocnina λ ve výsledku koresponduje s řádem opravy). Předpokládáme,ževlastnívektorHamiltoniánuĤapříslušnévlastníenergielze vyjádřit ve tvaru součtu χ m λ) E m λ) n n λ n χ n) m λ n E n) m Ĥ χ m λ) E m λ) χ m λ) přičemžplatí χ ) m φ m ), nudávářádopravy.upustilijsmeodnormalizacevektorů χ n) m, avšak požadujeme, aby φ m χ m λ). V tomto označení platí pro první opravu a pro druhou opravu E ) m φ m ĤI φ m χ ) m φ n ĤI φ m φ n m E m ) E n ) n E ) m n m φ n ĤI φ m E m ) E n ) 7..) 7..) Druhá oprava k základnímu stavu je vždy záporná. Výsledné stavy vyjádřené do daného řádu N lze následně nanormovat. Pokudjespektrum H degenerované,pakuvedenoumetodunelzepoužíttolze triviálně nahlédnout například z toho, že v prvním z výrazů v7..) by byla nejednoznačnostvevolběvlastníhovektoru φ m,atakéževejmenovatelíchvýrazů7..)a 7..) bychom dostávali nuly). Předpokládejme, že platí Ĥ φ mj E m φ mj φ mj φ mk δ jk. 9
30 VšechnyvlastnívektoryvcharakteristickémpodprostoruoperátoruĤpříslušejícímk vlastníhodnotě E m jsouindexoványdruhýmindexem.prvníopravu E ) mj apříslušné vlastní vektory na tomto podprostoru získáme diagonalizací φ m ĤI φ m E m ) φ m ĤI φ m... det φ m ĤI φ m φ m ĤI φ m E m ) )..... Porucha může degeneraci sejmout buď úplně, nebo jen částečně. Variačnímetoda Nechť E jepřesnáenergiezákladníhostavusystémupopsanéhohamiltoniánemĥ.pak pro libovolnýnormalizovatelný) vektor ψ z Hilbertova prostoru H tohoto systému platí E ψ Ĥ ψ ψ ψ Pokudmámenějakoumnožinutestovacíchfunkcí θ M H,paknámzákladnístav nejlépe aproximuje minumum funkcionálu θ Ĥ θ E min min E[ θ ] θ M θ θ. V praxi se užívá takové množiny vektorů θλ), která je zcela parametrizována sadou čísel λ.pak E min mineλ) θλ) Ĥ θλ) λ θλ) θλ). 7..4) 7. Dvouhladinový systém Nalezněte energie a vlastní vektory dvouhladinového systému ) E ) Ĥ E ) sporuchou Ĥ I ) V V Proveďte přesný i poruchový výpočet a pro případ degenerovaného i nedegenerovaného neporušeného spektra. Řešení: Přesné řešení: Přesný výpočet diagonalizacíviz. cvičení zimního semestru) dává spektrum E E ) + E V) E E ) + E V), 7..) BěžněseoznačujejakoRitzovavariačnímetoda. 3
31 kde E V) E V) E) + E ) E ) E ) V E ) 7..) a normalizované vlastní vektory ψ N E V) ψ N N+ V E V) V E V), V ) ). 7..3) Poruchová metoda- nedegenerovaný případ: Vyjdeme ze vztahů7..) a7..). Jelikož ) φ φ ), dostáváme E ) ) ) ) V V E ) ) ) ) V V ) ) ) V V χ ) χ ) aprodruhouopravukenergii E ) E ) E ) E ) ) ) ) V V E ) E ) ) V E ) ) V E ) ) ) ) V V E ) E ) ) ) ) V V E ) E ) V E ) V E ). ) ) 3
32 Závěrem tedy můžeme shrnout, že poruchová teorie nám dala aproximacipo normalizaci vlastních vektorů χ ψ ) E E ) E E ) ψ N V E ) V + E ) ψ N N + E ) V E ) V E ), V ) ) 7..4) výsledek byl cíleně převeden do tvaru, který se podobá přesnému řešení 7..) a 7..)). Poznámka: Pokudpředpokládáme,žeporuchajemalá,tj. V E ),můžeme7..)rozvinout do řady užitím x +x + x 8 + x Tím dostaneme aproximaci E E ) V V 4 E )+ E ) ) 3+ E E ) V V 4 + E ) E ) ) 3+ kterásevřádudo V shodujesřešenímzískanýmporuchovouteorií7..4).podobnou shodu bychom dostali i u vlastních vektorů. Poruchová metoda- degenerovaný případ: Diagnonalizujeme-li v podprostoru příslušejícím jediné dvakrát degenerované neporušenéenergetickéhladině E ) E ) E ) pomocívztahu7..3),vidíme,žezískáme přesný výsledek7..). To lze zobecnit: pokud porucha nemíchá stavy mezi jednotlivými podprostory, které odpovídají různým hodnotám energie, pak použití vztahu pro degenerovanou poruchovou teorii dá exaktní výsledekdiagonalizace). 7. Van der Waalsova interakce Uvažujte dva atomy vodíku, přičemž vektor vzájemné polohy jejich jader R míří od prvního atomu k druhému, polohy elektronů vůči příslušným atomům jsou udány vektory r, r. Pro dostatečně velkou vzájemnou vzdálenost atomů vůči vzdálenostem jejich elektronůapřihrubéaproximaci E ) n toznačí,ževšechnyenergiejednotlivýchatomů 3
33 vodíku kromě základních stavů berte jako nulové) nalezněte opravu k energii základního stavu systému a rozhodněte, zda uvažovaná interakce bude přitažlivá či odpudivá. Výpočet provádějte v adiabatické aproximaci, tj. předpokládejte, že atomy se vůči sobě nepohybují. Řešení: Jako neporušený Hamiltonián budeme uvažovat Hamiltonián dvou neinteragujících atomů vodíku. Jeho spektrum známe. Opravaporucha) pak bude dána interakcemi konstituentů jednoho atomu s konstituenty atomu druhého. ĤĤ+ĤI Ĥ ˆp m + ˆp m e e ˆr ˆr Ĥ I e ˆR + e ˆr e ˆR+ˆr e ˆR ˆr V interakčním Hamiltoniánu souvisí jednotlivé členy postupně s interakcí kladně nabitých jader, interakcí elektronůˆr ˆR+ˆr ˆr ),interakcíprvníhojádraselektronem druhého atomu a interakcí druhého jádra s elektronem prvního atomu. Za předpokladu, že rozměry atomů jsou mnohem menší než jejich vzájemná vzdálenost, můžeme vzít jen nejnižší členy multipólového rozvoje R r R r i R i R + r ir j R i R j R R + R ir i R + 3 R ) ir j δ 3 R 3 R ij r i r j + R + R r + ) R r) 3 r + R 3 R 3 R R 3r ).Užitímrozvojepro H I dosta- Dalšíčlenmultipólovéhorozvojeje R r neme pro jednotlivé řády: H ) I 5 R r) R 5 ] H ) I [ˆR e ˆr ˆr )+ˆR ˆr ˆR ˆr ˆR 3 ˆR ˆr ˆr )) H ) I e 3 ˆR 3 e ˆR 3 3 ˆR ˆr ) ˆr ˆr 3 ˆR ˆR +ˆr 3 ˆr ˆr ) ˆR ˆr ) ) ) ˆR ˆr ˆR ˆr ˆR +ˆr ˆR 33
34 tojevlastněinterakčníenergiedvoudipólovýchmomentů ˆM, eˆr, ).Budeme nadáleuvažovatĥi Ĥ) I. Zvolme souřadnou soustavu speciálně tak, aby osa z směřovala ve směru spojnice jaderatomůodprvníhojádrakedruhému.označmesložkyˆr ˆx,ŷ,ẑ ),stejněpro vektorˆr.pak [ ] Ĥ I e ˆx ˆx +ŷ ŷ +ẑ ẑ 3 ˆRẑ )ˆRẑ ) ˆR 3 ˆR e ˆR 3[ˆx ˆx +ŷ ŷ ẑ ẑ ]. Hledáme opravu k základnímu stavu dvou volných atomů vodíku φ nlm nlm zavedlijsmezjednodušenéoznačení, n l m, ).Atomyjsou nerozlišitelné, vlnový vektor tudíž musí být symetrický vůči záměně částic. To je splněno.. oprava k energii je dle poruchové teorie E ) φ ĤI φ e ˆR 3 [ ˆx ˆx + ŷ ŷ ẑ ẑ K určení maticových elementů využijeme výběrová pravidla Wigner-Eckartova teorému 6..).Komponentyvektorovýchoperátorůˆr, lzevyjádřitpomocíkomponenttenzorových operátorů. řádu, viz3..), takže k, komponenty označme q. Výběrová pravidlapakdávají J j ±am m+q,kdevnašempřípadě J l, j l, M m.tonenísplněnoprožádnouzesložekoperátorůˆr,,takževšechnymaticovéelementynapravéstraněvýrazupro.opravujsounulové..opravakenergiije tedy nulová.. oprava k energii základního stavu dává E ) n n l m l m E ) E ) E ) ĤI n l m n l m E ) E n ) E n ) Ĥ I n l m n l m n l m n l m ĤI ĤI ˆ ) Ĥ I Ĥ I, ]. 7..) kdejsmevyužiliaproximace E ) n,relacíúplnostianulovostimaticovýchelementů ĤI.Správněbychommělipočítatsesymetrickýmivlnovýmivektory,neboť máme nerozlišitelné částice, avšak výsledek by byl stejnýdíky užití relací úplnosti). Platí Ĥ I e4 ˆR 6 [ˆx ˆx +ŷ ŷ +4ẑ ẑ +ˆx ˆx ŷ ŷ 4ˆx ˆx ẑ ẑ 4ŷ ŷ ẑ ẑ ]. 34
35 Maticový element dá pro smíšené členyposlední tři v závorce) symetrii základního stavu. Ze symetrie také vyplývá ˆx ŷ ẑ 3 ˆr, takže druhou opravu k energii lze nakonec vyjádřit jako E ) e 4 E ) [ ˆx ˆx + ŷ ŷ +4 ẑ ẑ ] R 6 e 4 6 R 6 9 ˆr ˆr E ) Přejděme do x-reprezentace. Energetické hladiny atomu vodíku jsou E ) n e a n aradiálníčástvlnovéfunkcezákladníhostavuzní 3 R r) r a 3/ e r a, 7..) kde a /mcα)jebohrůvpoloměr, α konstantajemnéstruktury.počítáme 37 maticový element ˆr 4 a 3 4 a a a 3 4 4! a a 3 3a e r a r e r a r dr r 4 e r a dr a a ) 5 r 3 e r a dr ) 5 [e r a ] a když ho dosadíme do vztahu pro. opravu energie, získáme konečný výsledek E ) e 4 6 E ) R 6 9 9a4 3e a ) R 6 Opravajezáporná,lzeznítedyusuzovatnapřitažlivostsilmeziatomyanajejí rychlý pokles s narůstající vzdáleností. Kdybychomnepoužiliaproximaci E ) n,paknazákladěvztahuprodruhou opravu k energii7..) můžeme kvalitativně diskutovat velikost sil působících mezi atomy. Atomy nemusí být nutně vodíkové, můžeme uvažovat zcela libovolné, pouze 3 Celávlnováfunkcezákladníhostavuje r,θ,φ R r)y θ,φ),kde Y θ,φ)/ 4π. Úhlovou a radiální část lze od sebe odseparovatviz též5..)) a my budeme počítat maticový element operátoru, který na úhlovou část nepůsobí, proto nám stačí uvažovat pouze radiální část. 35
36 musí dostatečně přesně platit, že lze na atom nahlížet jako na soustavu kladně nabitého centrajádro + elektrony z vnitřních slupek) a okolo obíhající valenční elektron. Pak vidíme,ževanderwaalsovasílajetímvětší,čímjsouvětšírozměryatomůatímvětší, čímjsouhladinyblížeusebe. Zatímco základní stav neporušeného systému dvou atomů není degenerovaný, excitované stavy degenerované být mohou. Pak musíme použít degenerovanou poruchovou teorii, která nenulově přispěje k opravě již v. řádu. To znamená, že excitované stavy se budou ovlivňovat silněji pro velké vzdálenosti, velikost opravy bude klesat jen jako /R Aproximace základního stavu nekonečně hluboké potenciálové jámy Pomocí variačního principu nalezněte nejlepší aproximaci základního stavu nekonečně hluboké potenciálové jámy pološířky a { x < a Vx) x > a s testovací funkcí a srovnejte s přesným řešením Řešení: θ λ x) x θλ) a λ x λ π E m4a φ x) cos πx a a K řešení užijeme vztahu7..4), přičemž minimalizaci budeme provádět přes jediný parametr λ. Výpočet spočívá ve dvou krocích: 36
37 .VýpočetstředníhodnotyHamiltoniánuprovlnovoufunkci θ λ x): a a θ λ Hλ) θλ) Ĥ θλ) d x) θ m dx λ x)dx θλ) θλ) a θ a λx) dx včitateliijmenovateliintegrujemesudéfunkce stačípočítatnaintervalu;a) a a λ x λ) d dx a λ x λ) dx m a aλ x λ ) dx a λ x λ) x λ dx m m λλ ) a a aλ x λ a λ + x λ )dx [ λ λλ ) aλ x λ [ a λ x λ+ aλ x λ+ + ma λλ ) λ λ + λ+ λ+ λ λ+ ma λλ ) λ+)λ+) 4ma λ ) xλ ] λ λ λ )λ ) λ+)λ+) λ+)+λ+ λ+)λ+) λ+ xλ+].výpočetminimafunkce Hλ): Hλ) λ λ++λ+)λ ) λ+)λ+) Minimum je dáno kladným kořenem a po dosazení dostáváme λ min + 6 4λ 4λ 5.73 E min Hλ min ) 6+5 8ma 6+5 E π.98e Vidíme, že i s velice jednoduchou testovací funkcí, závislou jen na jednom parametru, jsme dostali velice přesný odhad energie základního stavu. 7.4 Domácíúkol-Hopík Částice o hmotnosti m hopká v homogennímnapř. gravitačním) poli, přičemž od podložky se odráží bez ztráty energie. Uvažovaný potenciál je { mgz z > Vz) z < 37
38 . Řešení pomocí WKB metody: Nalezněte body obratu, má-li částice energii E. Pomocí WKB přiblížení vypočítejte všechny energetické hladiny. Nalezněte WKB vlnové funkce v klasicky dostupné i nedostupné oblasti. Vlnové funkce nemusíte normovat.. Hledání základního stavu variační metodou: Podle asymptotického chování potenciálu navrhněte vhodnou testovací funkci s jedním parametremdruhý bude fixovat normalizaci). Nalezněte optimální hodnotu parametru a jemu odpovídající přibližnou energii základního stavu. 3. Srovnáním energií základního stavu získaných oběma metodami určete, která metoda dává základní stav přesněji. 38
39 8 Nestacionární poruchová teorie Schödingerův, Heisenbergův, Diracův obraz MějmesystémpopsanýHamiltoniánemĤ,kterýlzerozložitnačástĤnezávisejícína časeanačasovězávislouporuchuĥi: Ĥt)Ĥ+ĤIt). Dálemějmevčase t vektor ψt ) popisujícístavsystému,libovolnýčasověnezávislýoperátorâačasovězávislýoperátorˆbt).fyzikálnízávěrysenezmění,pokud provedemeunitárnítransformacidanouunitárnímoperátoremû: ψ Û ψ Â ÛÂÛ Tuto transformaci můžeme učinit v každém čase t obecně různou. V praxi se užívají tři takovéto tranformacefyzikálně ekvivalentní obrazy).. Schrödingerův obraz ψt) Ût,t ) ψt ) Â,ˆBt) operátor A zůstává v čase konstantní, operátor Bt) se mění podle svého funkčního předpisu). Diferenciálnírovnicespoluspočátečnípodmínkou)proevolučníoperátorÛt,t ): i Ût,t ) t Ĥt)Ût,t ) Ût,t )ˆ, která má v případě, že Hamiltonián nezávisí na čase, řešení Ût,t )e i Ĥt t ) Z evoluční rovnice pro evoluční operátor plyne rovnice pro stavový vektorčasová Schrödingerova rovnice) i ψt) t Ĥt) ψt).. Heisenbergův obraz ψ H t;t ) Û t,t ) ψt) ψt ) konst. Â H t;t )Û t,t )ÂÛt,t ) ˆB H t;t )Û t,t )ˆBt)Ût,t ) t jevnějšíparametr).stavovývektorsesčasemnemění. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: ψ H t;t ) t ψ H t ;t ) ψt ) ÂH t;t ) t i [ÂH t;t ),ĤH t)] Â H t ;t )Â ˆB H t;t ) t i [ÂH t;t ),ĤH t)]+ H t ˆBt) t ˆB H t ;t )ˆBt ), 39
40 kde jsme definovali H t ˆBt) t Û t,t ) ˆBt) t Ût,t ). Pokudmámesystémvčasověneproměnnémvnějšímpoli,tj.[Ĥ,Ût;t )],pak 3. Diracůvinterakční) obraz Zde Ĥ H t;t )Û t,t )ĤÛt,t)Ĥ. ψ D t;t ) Û t;t ) ψt) Â D t;t )Û t,t )ÂÛt,t ) ˆB D t;t )Û t,t )ˆBt)Ût,t ) Û t,t )e i H t t ) jeevolučníoperátorhamiltoniánuĥ,tj.řešenídiferenciálnírovnice i Ût,t ) ĤÛt,t ) Û t,t )ˆ, t Bezújmynaobecnostivolímečas t stejnýjakovpřípaděobrazuheisenbergova. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: i ψd t;t ) t It;t ) ψ D t;t ) ψ D t ;t ) ψt ) ÂD t;t ) t i [ÂD t;t ),ĤD It;t )] Â D t ;t )Â ˆB D t;t ) t i [ˆB D t;t ),ĤD It;t )]+ D t ˆBt) t ˆB D t ;t )ˆBt ), kdepodobně jako u obrazu Heisenbergova) D t ˆBt) t Û t,t ) ˆBt) t Û t,t ). Řešení první rovnice lze psát ve tvaru ψ D t;t ) Ŝt,t ;t ) ψ D t ;t ), kde evoluční operátor v Diracově obraze Ŝt,t ;t )Û t,t )Ût,t )Ût,t ) je řešením diferenciální rovnice i Ŝt,t ;t ) t ĤD It;t )Ŝt,t ;t ) Ŝt,t ;t )ˆ 8..) 4
41 VHeisenbergověiDiracověobrazuseobjevujevnějšíparametr t,kterývlastně udává čas, ve kterém se operátory i stavové vektory všech tří uvedených obrazů rovnají. Můžemevolit t apaknebudemetentoparametrvevzorcíchexplicitněvypisovat. Pokud H představujevolnýhamiltonián,paksezavádějíještěmøllerovyoperátory a operátor S-matice Ω ±) lim Ŝ,t ) t Ŝ lim Ŝt,t ). t + t Řešení rovnice8..) lze hledat ve tvaru integrální rovnice, kterou lze vyjádřit ve formě řady kde t Ŝt,t )ˆ i Ĥ D It )Ŝt,t )dt t ˆ i t { Ĥ D It ) ˆ i t } Ĥ D t It )Ŝt,t )dt dt t Ŝ n) t,t ), Ŝ ) ˆ Ŝ ) i. Ŝ n) t n t Ĥ D It )dt i ) n t t tn Ĥ D It ) Ĥ D It ) Ĥ D It n )dt n dt dt t t t 8..) 8..3) Rozvoj8..) lze formálně sečíst. Jelikož však Diracovy obrazy Hamiltoniánu v různýchčasechmezisebounavzájemnekomutují,[ĥd I tj),ĥd I t k)] pro t j t k, musímeužítt-součin,definovanýnásledujícímzpůsobem:nechťoperátoryâjt)ve stejnémčasekomutují,tj.nechť[a j t),a k t)].pak ) TÂN t N ) Ât ) Âi N t in ) Âi t i ) t in t in t i Užitím T-součinu můžeme psát Poznámka: Ŝt,t )Texp i t ) Ĥ D It )dt t Diferenciálnírovnici8..)můžemetakézkoušetvbázi φ m řešitpřímo.označíme-li pak dostaneme i S fit,t ) t m S fi t,t ) φ f Ŝt,t ) φ i, Ĥ Ifm t)e iω fmt S mi t,t ) S fi t,t )δ fi což je soustava vázaných obyčejných diferenciálních rovnic. řádu. Soustavu lze explicitně vyřešit například pro dvouhladinový systém. 4
42 Nestacionární poruchová teorie Stejně jako u stacionární poruchové teorie budeme i zde předpokládat, že spektrum HamiltoniánuĤznáme: Ĥ φ m E m ) φ m φ m φ n δ mn φ m φ m ˆ. m Maticové elementy rozvoje evolučního operátoru v Diracově obraze8..) v této bázi označíme jako S n) fi t,t ) φ f Ŝn) t,t ) φ i a pro jednotlivé členy8..3) dostaneme S ) fi t,t )δ fi S ) fi t,t ) i S ) fi t,t ) t i Ĥ Ifi t )e iω fit dt t ) t t m t t Ĥ Ifm t )e iω fmt Ĥ Imi t )e iω mit dt dt kdejsmezavedli 4 H Ifi t) φ f ĤIt) φ i ω fi ) E ) f E ) i Pravděpodobnostpřechoduzpočátečníhostavu φ i připravenéhovčase t dokoncového stavu φ f včase tje a v poruchové teorii dostáváme P i f t t) φ f t) φ i t ) φ D ft) φ D it ) φ f Ŝt,t ) φ i P i f t t) S ) fi t,t )+S ) fi t,t )+S ) fi t,t )+ Pročasově neproměnnou poruchuzapnutouvčase t dostanemedo.řádu poruchové teorie P i f t t) π H Ifi δ t ω fi ) t 8..4) kde tt t a δ t ω fi ) π sin ω fi t ω fi t t δω kj ) 4 Někdybudemeprojednoduchostpsát H Ifi t) f ĤIt) i. 4
43 jefunkce,kterámávokolínulyostrémaximumpološířky π tavýšky t/π.za dobu t tedy dojde k přechodům prakticky pouze v oblasti tohoto maxima, tj. ω fi π t aoznačíme-li E ) E ) f E ) i, dostaneme E ) t π Tento vztah se nazývá relace neurčitosti mezi časem a energií. Pokudlzenaokolí E ) i pohlížet jako na kontinuum hladinjedná se o přechod do spojité části spektra, nebo je v tomto okolí velké množství diskrétních hladin), pak se 8..4) píše ve tvaru Fermiho zlatého pravidla w i F t t) P i Ft t) t π H Ifi ρ f E) E E ) i 8..5) cožjerychostpřechoduzpočátečníhostavu idoceléhojehookolí f F,nakterémje H Ifi přibližněkonstantí.hustotuhladin ρ f E)lzespočítatnapříkladpomocípostupu uvedeném v sekci 4. Pro harmonickou poruchu o frekvenci ω Ĥ I ĥ+) e iωt +ĥ ) e iωt 8..6) dostaneme užitím podobného postupu jako v případě konstantní poruchy vztah ω fi ±ω, tj. E ) f E ) i ± ω 8..7) platící za předpokladu, že porucha je zapnuta po dostatečně dlouhý čas. Fermiho zlaté pravidlo v tomto případě zní w i F t t) π h +) fi ρ f E) ) E E i ω π h ) fi ρ f E) + ω E E ) i 8..8) Pokud máme periodickou poruchu, která není harmonická, můžeme ji pomocí Fourierovy tranformace na periodickou rozložit a počítat pravděpodobnost přechodu pro každou složku zvlášť. 8. Fotoelektrický jev Nechť atom vodíku, který je popsán Hamiltoniánem Ĥ mˆp e ˆr, je vystaven elektromagnetickému vlnění s vektorovým potenciálem Aˆr,t)A ǫcosκ ˆr ωt) 8..) vektor ǫ určuje polarizaci vln, κ nω/c je vlnový vektor určující směr postupu vlny) a skalárním potenciálem Φˆr,t). 43
44 . Nalezněte interakční Hamiltonián.. Nalezněte hustotu pravděpodobnosti vztaženou na jednotku časurychlost přechodu) jevu, kdy kdy atom vodíku nacházející se v základním stavu emituje elektron do oblasti prostorového úhluω, Ω + dω)fotoelektrický jev). 3. Určete diferenciální účinný průřez výše uvedeného jevu. Řešení:. Interakční Hamiltonián Hamiltonián atomu vodíku, popisující interakci jeho elektronu s elektromagnetickým polem, zní Ĥ H EM) ˆp e ) + m c Aˆr,t) e eφˆr) ˆr Počítáme ve speciálnícoulombické) kalibraci Hamiltonián v ní lze přepsat do tvaru A Φ. Ĥ H EM) t)ĥ e e Aˆr,t) ˆp+ Aˆr,t) Aˆr,t) mc mc Ĥ e Aˆr,t) ˆp, mc kdejsmezanedbaličlenúměrný Aˆr).OznačímeĤIt) e Aˆr,t) ˆpadosadíme za vektorový potenciál monochromatickou mc vlnu8..): Ĥ I t) ea mc Nás bude zajímat excitace, stačí tedy brát pouze část. Rychlost přechodu e iκ ˆr ωt) +e iκ ˆr ωt)) ǫ ˆp 8..) Ĥ I t)ĥe iωt ĥ ea mc eiκ r ǫ ˆp. Vlnováfunkcezákladníhostavuatomuvodíkujerovna 5 ψ i r)r r)y θ,φ) πa 3 e r a. Vlnová funkce konečného stavu volného elektronu je ovlivněna Coulombickým polemjádra.totopolejevšakrychleodstíněnolátkou,kterásevokolíjádravyskytuje, a proto budeme brát elektron jako volný, jehož vlnovou funkci vyjádříme jako ψ f r) eik r π ) 3 5 Jednáseoradiálníiúhlovoučástvlnovéfunkce,srovnejs7..)asnísouvisejícípoznámkou. 44
45 kde kjevlnovývektorelektronusenergií E e, E e k m. Výpočet přechodu mezi spojitou a diskrétní částí spektra zjednodušíme tím, že budeme považovat elektron nikoliv za zcela volný, ale za uzavřený v krabicinekonečně hluboké potenciálové jámě) o objemu V. Budeme předpokládat, že krabice je tak velká, že neovlivní příliš spektrum atomu vodíkustačí, aby neovlivnila základní stav, se kterým počítáme). Nakonec provedeme limitu V. Vlnová funkce elektronu v krabici zní ψ fr) V e ik r. V tomto případě je k důsledkem konečných rozměrů kvantovaná veličina. Pokud jevšakobjem V dostatečněvelký,lzesnínadálepočítatjakosespojitou. Při výpočtu hustoty hladin volného elektronu vyjdeme ze vztahů4..) a4..). Objem fázového prostoru klasicky se pohybujícího volného elektronu v krabici je podle4..) Ω PS E) V V d 3 x dω Ω δ E ) m p d 3 p δ E ) m p p dp. Budeme se ptát po hustotě hladin s vlnovým vektorem mířícím do elementu prostorového úhlu dω, tj. čivzávislostinaveličině k dρe) dω dω PS E) π ) 3 dω V π ) 3 δ E m p V π ) 3 m me δ p me V π ) 3 m me me V π ) 3 m me dρk) dω V π ) 3 km ) p dp ) p dp K výpočtu pravděpodobnosti, resp. rychlosti přechodu použijeme Fermiho zlaté 45
46 pravidlo8..8). Maticový element, který se v něm objevuje, zní h fi f ĥ i ea mc ψ i ea mc πa 3 V ǫ i ea mca πa 3 V ǫ i ea mca πa 3 V ǫ Iq) f r)e iκ r ǫ p ψ i r)d 3 r e iκ k) r e r a d 3 r 8..3) e iq r r r e r a d 3 r kde jsme označili q κ k. Integrál Iq) vypočítáme následující úvahou. Jediný vektor, na kterém integrand integrálu závisí, je q. To znamená, že integrál musí být možné vyjádřit jako I qi Budeme tedy počítat výraz q I e iq r q r e r a d 3 r r Sférickésouřadnicer,θ,φ) osa zparalelnísvektorem q Platí re r a dr π e iqrcos θ qrcos θsin θdθ ucos θ du sin θdθ πq πq πqi πi re r a dr re r a dr r π q { [ { re r a dr qr { e r a +iq πij π q J π dφ e iqru udu Perpartes ] iqr eiqru u } e iqru du iqr ) e iqr +e iqr) + i e iqr e iqr) } qr) )} dr +e r a iq { ) e r +iq a e r )} iq a dr e αr dr α re αr dr α e αr dr α 46
47 pro α >),takže J a +iq ) + a iq ) a iqa ) ++iqa ) +q a ) q a a +q a ) J a +iq a iq a iqa iqa +q a iqa +q a a po dosazení dostaneme [ ] a q I 4πia q +q a ) +q a 4πia a q a q +q a ) 8iπa4 q +q a ) neboli Maticový element zní I 8iπa 4 +q a ) q. h fi i ea mca πa 3 V i ea mca πa 3 V 8iπa 4 +q a ǫ κ k) ) 8iπa 4 +q a ) ǫ k, neboť ǫ κ,cožplynezvlastnostícoulombickékalibrace. Nyní již máme v rukou vše, co potřebujeme k použití Fermiho zlatého pravidla 8..8). Dosadíme a dostaneme dw i f dω π h fi dρ dω π i ea mca πa 3 V 8iπa 4 +q a ) ǫ k V π ) 3 km 6 ea ) ǫ k) ka 3 π mc +q a ) ) 3. Účinný přůřez Účinnýprůřezprocesujedefinovánjakopočetprocesů i f zajednotkučasu dělenou celkovým tokem částic. V našem případě je to absorbovaná energie za jednotku času dělená tokem energie dopadajícího elektromagnetického záření. 47
48 Absorbovaná energie za jednotku času je dána součinem rychlosti přechodu8..4) aenergie,kteráseabsorbujeakterájerovna ω: U i f ω dw i f dω Tok energie je součin rychlosti přenosu energie a hustoty energie: Φc ) E max 8π + B max 8π E A B A c t ω E max B max A a po dosazení c ω π c A ω π c A dω π c dw i f ω A dω dσ i f 3e ǫ k) ka 3 mcω+q a ) 4 Zaveďme ještě souřadnou soustavu tak, aby vektor polarizace ǫ mířil do směru osy x, vlnový vektor dopadající vlny κ do směru osy z. Ve sférických souřadnicích dostaneme ǫ kksin θcos φ q k k κ+κ k k ω c cosθ+ ω c Při výpočtu jsme uvažovali, že Coulombické pole neovlivní pohyb vyraženého elektronuatensepohybujejakovolný.toplatípouzevpřípadě,že k > gg E,kde E je energie základního stavu atomu. Tuto aproximaci lze rozvést ještě dál. Energie, kterou získá vylétávající elektron, je díky tomuto přiblížení rovna energii dopadajících fotonů: mee mωc k. Jelikož κ ω/c, dostáváme a můžeme aproximovat Diferenciální účinný průřez bude κ k k κ k k mc p mc v c +q a +k a v ) c cos θ k a v ) c cos θ. dσ i f dω 3e sin θcos φ mcωka ) 5 v cosθ) 4. c 48 c )
49 Tennabývámaximapro φapro θdanérovnicí sin θcos θ v ) 4 c cosθ v 4 c sin θsin θ d dθ sin θ vcos θ) c v c cos θ ) 3 cos θ v c cos θ v c sin θ atedy cos θ ± +8 v c v c ) c [ ] v ±±4 v c) c v v c. První řešení nevyhovuje, pravá strana je větší než. Maximální pravděpodobnost emise jetedydosměru θ π v c φ Poznámka: Integrál8..3) lze vypočítat též jiným způsobem. V p-reprezentaci budeme posunovat operátor vlevo.posunutískrzčlene iκ r lzeprovéstpřímodíkycoulombickékalibraci směršířeníelektromagnetickévlnyjekolmýnapolarizaci).posunutískrzčlene ik r provedeme pomocí integrace Per partes. Povrchový příspěvek je a gradient po zapůsobení na tento člen dá pouze faktor ik, který je možné vytknout před integrál. Integrujeme tedy nakonec ea h fi mca πa 3 V ǫ k e iq r e r a d 3 r, což je vlastně Fourierova transformace vlnové funkce základního stavu atomu vodíku. 8. Domácí úkol- Dvouhladinový systém s periodickou poruchou Uvažujte dvouhladinový systém s periodickou poruchou Ĥt)Ĥ+ĤIt) ) E ) Ĥ E ) E ) φ φ +E ) φ φ ) γe iωt Ĥ I t) γe iωt γe iωt φ φ +γe iωt φ φ kde γ je reálný parametr, který určuje sílu poruchy. Předpokládejte,ženapočátkuvčase tjesystémpřipravenvestavu φ.poté je zapnuta porucha. Spočítejtepřesněpravděpodobnostpřechodudostavů φ, φ včase třešením soustavydiferenciálníchrovnicpropříslušnématicovéelementyoperátoruŝt)). Vzorce, které dostanete, se nazývají Rabiho formule. 49
50 Řešte totéž do druhého řádu nestacionární poruchové teorie a srovnejte s přesným řešením za předpokladu, že parametr γ je velmi malý. Určete, pro jakou frekvenci ω je pravděpodobnost přechodu největšípodmínka rezonance). 5
51 9 Systémy nerozlišitelných částic 9. Bosonový systém Mějme dva nerozlišitelné bosony v poli jednorozměrného harmonického oscilátoru jejichž interakce je popsána Hamiltoniánem Ĥ ˆp m +ˆp ) ˆx ) + mω +ˆx, Ĥ I ve αˆx ˆx ) V, α > jsou reálné parametry interakce). Uvažujte interakci za malou poruchu a spočítejte do prvního řádu poruchové teorie opravu k energii základního stavu. Řešení: Budeme počítat v x-reprezentaci. Jednočásticová vlnová funkce základního stavu je mω φ x) 4 mω π e x V případě dvou bosonů musí být vlnová funkce symetrická vůči záměně dvou částic. To splňuje přímo součin mω ψx B mω,x )φ x )φ x ) π e x +x ) 9..) Neporušená energie základního stavu soustavy dvou bosonů je E B) ω + ) ω 5
52 Opravukenergiizákladníhostavuspočítámejakoskalárnísoučin 6 E B) ψ B x,x )ĤIψx B,x )dx dx v mω e mω x +x ) e αx x ) dx dx π v mω [ e mω x +x ) +x x ) ] e αx x ) dx dx π Xx +x Jakobián xx x transformaceje v mω π v mω π v e mω X dx π mω mω mω+ α 9. Fermionový systém π mω + α mω e +α)x dx Zadání je stejné jako v předchozím příkladu 9., jen uvažujte fermiony se spinem /. Spočítejte v prvním řádu poruchové teorie opravu k energii základního stavu pro singletní i tripletní spinový stav. Řešení: Vlnová funkce dvou stejných fermionů je obecně rovna ψ F x,x )φ F x,x )Σ Sξ kde φ F x,x )jeprostorováčást, σ Sξ částspinová.dvaspinyovelikosti/sesloží buďnacelkovýspin S tripletnístav,kterýjesymetrickývůčizáměněčástic,nebonaspin S singletnístav,kterýjevůčizáměněantisymetrický. Vlnová funkce systému složeného z fermionů musí být antisymetrická. Z toho vyplývá, že její prostorová část musí být symetrická pro singletní stav antisymetrická pro tripletní stav. Prostorová část vlnové funkce pro singletní stav tudíž vypadá stejně jako v případě bosonů9..) mω φ F mω,sx,x )φ x )φ x ) π e x +x ) 6 Transformacekproměnným X, xjespeciálnímpřípadempřechodukjacobihosouřadnicímtěžišťový a relativní pohyb). Pro tři částice tato transformace zní y x x y x + x x 3 y 3 x + x + x 3 3 5
53 atímpádemtakéopravakenergiivyjdestejně: E F),S v mω mω+ α U prostorové části vlnové funkce stavu tripletního si již nevystačíme s jednočásticovouvlnovoufunkcí ψ.antisymetrizovatsedáažsoučin φ F,Sx,x ) φ x )φ x ) φ x )φ x )), přičemž φ x)můžemeurčitnapříkadaplikovánímposunovacíhooperátoruâ nafunkci φ x): mω â ˆx+ i ) mωˆp mω φ x) x ) 4 mω mω x π e mω φ x) x+ ) mω mω x mω xφ x) Neporušená hodnota energie je v tomto stavu E F),S ω + ) + ω mω x + ) ω a příspěvek. řádu poruchové teorie zní E F),S ψ,sx F,x )ĤIψ,Sx F,x )dx dx v mω mω π v mω ) π v mω ) π v mω ) π π mω v ) 3/ mω. mω+ α x x ) e mω x +x ) e αx x ) dx dx x x e mω x +x ) e αx x ) dx dx e mω X dx π mω + α x mω e +α)x dx π mω + α 53
54 Bosonové systémy Pro složené soustavy nerozlišitelných částic je výhodný popis pomocí kreačních a anihilačníchoperátorůâ k,â k,kterépůsobínafockověprostoru F H ) H ) H ) H n) označujehilbertůvprostorsoustavy nčástic, H ) obsahujepouzejedenstav, kterýseběžněnazývávakuum).normovanébázovévektoryprostoru H n) budemeznačit N,N,...;N, kde N k N k jecelkovýpočetčásticn jepočetčásticvjednočásticovémstavuorbitalu) φ k ),a dají se vytvořit pomocí kreačních operátorů N,N,...;N Schematicky můžeme tedy psát ) â N â N N!N! ) F â j â jâ k Kreační operátory přidávají částici, anihilační ubírají: â k N,...,N k,...;n N k + N,...,N k +,...;N+ â k N,...,N k,...;n N k N,...,N k,...;n odmocninové koeficienty plynou z normalizace vektorů). Působení anihilačního operátorunavakuumdá: ˆb k Vlnové funkce soustavy částic musí být symetrické vůči záměně libovolných dvou nerozlišitených bosonůčástic s celočíselným spinem) a antisymetrické vůči záměně dvou nerozlišitelných fermionůčástic s poločíselným spinem). Toho lze docílit tím, že kreační operátory splňují komutačníbosony) nebo antikomutačnífermiony) relace. Nadáleuvažujmejenbosonyskreačnímiaanihilačnímioperátoryˆb k,ˆb k.komutační relace mezi nimi zní [ˆb j,ˆb k ]δ jk [ˆb j,ˆb k ][ˆb j,ˆb k ]..) Operátorpočtučásticvestavu φ k aoperátorcelkovéhopočtučásticjsou ˆN k â kâk ˆN k â kâk. 54
7.4 Domácíúkol-Hopík. mgz z >0 z <0. 1. Řešení pomocí WKB metody:
7.4 Domácíúkol-Hopík Částice o hmotnosti m hopká v homogennímnapř. gravitačním) poli, přičemž od podložky se odráží bez ztráty energie. Uvažovaný potenciál je { mgz z > Vz) z
Více3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor
3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme
VíceŘešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e
8 Atom vodíku Správné řešení atomu vodíku je jedním z velkých vítězství kvantové mechaniky. Podle klasické fyziky náboj, který se pohybuje se zrychlením (elektron obíhající vodíkové jádro proton), by měl
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
VíceObsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15
Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceElementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model
Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle
VíceLehký úvod do kvantové teorie II
1 Lehký úvod do kvantové teorie II 5 Harmonický oscilátor Na příkladu harmonického oscilátoru, jehož klasické řešení známe z Fyziky 1, si ukážeme typické postupy při hledání vlastních hodnot operátoru
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Více5 Potenciály s δ funkcemi I
5 Potenciály s δ funkcemi 5. Jednoduchá δ jáma nebo bariéra Mějme potenciál ve tvaru jednoduché δ funkce V cδ, kde c je konstanta, jejíž velikost udává sílu potenciálu. Pokud je c
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program
VíceAtom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e =
Atom vodíku Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně Kulová symetrie Potenciální energie mezi p + e V 2 e = 4πε r 0 1 Polární souřadnice využití kulové symetrie atomu Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ, φ) x =? y=?
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.
6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové
Více1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.
. Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární
VíceOctober 1, Interpretujte význam jejích parametrů. Vypočítejte jeho momenty. Napište vzorec pro. I(n, a, b) :=
Kvantová fyzika cvičení s návody a výsledky October 1, 007 Návody zde uvedené jsou záměrně uváděny ve stručné formě, jako nápověda a vodítko, jak při řešení úloh postupovat; nepředstavují a nenahrazují
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Ondřej Havlíček.ročník F-Vt/SŠ Jsoucno je vždy něco, co jsme si sami zkonstruovali ve své mysli. Podstata takovýchto konstrukcí nespočívá v tom, že by byly odvozeny ze smyslových
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceÚvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu
Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi
VícePřednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno
Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno 1 Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Struktura
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více2 Odvození pomocí rovnováhy sil
Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Víceelektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016
F6122 Základy fyziky pevných látek seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo............................................... 1
VíceAtomové a molekulové orbitaly Ion molekuly vodíku. Molekula vodíku Heitler-Londonovou metodou. Metoda LCAO. Báze atomových orbitalů.
Atomové a molekulové orbitaly Ion molekuly vodíku. Molekula vodíku Heitler-Londonovou metodou. Metoda LCAO. Báze atomových orbitalů. Ion molekuly vodíku H + 2 První použití metody je demonstrováno při
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VícePŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
VíceZáklady kvantové teorie (OFY042)
Příklady na cvičení k přednášce Základy kvantové teorie (OFY042) Zimní semestr 2007/2008, pondělí 2:20-3:50 v M3 Určeno pro 3. ročník Příklady jsou vybírány z různých učebnic a sbírek příkladů. Program
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více15 Experimentální základy kvantové hypotézy
5 Experimentální základy kvantové hypotézy Částicové vlastnosti světla a vlnové vlastnosti částic. Planckova kvantová hypotéza, foton, fotoelektrický jev. De Broglieova hypotéza, relace neurčitosti. 5.
Vícepřičemž předpokládáme A malé, U zahrnuje coulombické členy. Když roznásobíme závorku, p 2 reprezentuje kinetickou energii nabitých částic, člen
Výběrová pravidla Absorpce/stim. emise Kde se výběrová pravidla vezmou? Použijeme semiklasické přiblížení, tzn. s nabitými částicemi (s indexy 1...N) zacházíme kvantově, s vnějším elektromagnetickým polem
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceDiskutujte, jak široký bude pás spojený s fosforescencí versus fluorescencí. Udělejte odhad v cm -1.
S použitím modelu volného elektronu (=částice v krabici) spočtěte vlnovou délku a vlnočet nejdlouhovlnějšího elektronového přechodu u molekuly dekapentaenu a oktatetraenu. Diskutujte polohu absorpčního
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VícePříklad 6: Bariéra a tunelový jev
1 Příklad 6: Bariéra a tunelový jev Předpokládejme, že částice o hmotnosti m a energii E dopadá zleva na potenciálovou bariéru (viz obrázek) o výšce V 0. Energie částice je menší než výška potenciálové
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
Více1 Operátor a jeho funkce, komutátor
1 Operátor a jeho funkce, komutátor Funkce operátoru Uvedeme dvě možnosti, jak zavést funkci operátoru  na základě funkce reálného argumentu f(ξ). 1. Rozvojem do řady: Předpokládejme, že existuje rozvoj
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
Více2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)
Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceOperátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na
4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceKvantová fyzika atomárních soustav letní semestr VIII. KOTLÁŘSKÁ 23. DUBNA 2014
F40 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr 03-04 VIII. Vibrace víceatomových molekul cvičení KOTLÁŘSKÁ 3. DUBNA 04 Úvodem capsule o maticích a jejich diagonalisaci definice "vibračních módů"
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceOpakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu
11. Polovodiče Polovodiče jsou krystalické nebo amorfní látky, jejichž elektrická vodivost leží mezi elektrickou vodivostí kovů a izolantů a závisí na teplotě nebo dopadajícím optickém záření. Elektrické
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Vícef x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y),
Cvičení 1 Definice δ ij, ε ijk, Einsteinovo sumační pravidlo, δ ii, ε ijk ε lmk. Cvičení 2 Štoll, Tolar: D3.55, D3.63 Cvičení 3 Zopakujte si větu o derivovování složené funkce více proměnných (chain rule).
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
VíceKvantová mechanika - model téměř volných elektronů. model těsné vazby
Kvantová mechanika - model téměř volných elektronů model těsné vazby Částice (elektron) v periodickém potenciálu- Blochův teorém Dále už nebudeme považovat elektron za zcela volný (Sommerfeld), ale připustíme
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Vlnění o frekvenci v se může chovat jako proud částic (kvant - fotonů) o energii E = h.v Částice pohybující se s hybností p se může chovat jako vlna o vlnové délce λ = h/p Kde h
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Více15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích
15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE 1 15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích 151 Definice hypersférických souřadnic r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ v E N Hypersférické souřadnice souvisejí s kartézskými souřadnicemi
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Více