STUDIJNÍ TEXT PRO DOKTORSKÉ STUDIUM

Transkript

1 TF3: STATISTICKÁ FYZIKA STUDIJÍ TEXT PRO DOKTORSKÉ STUDIUM PETR KULHÁEK PRAHA 00 FEL ČVUT

2 PŘEDMLUVA Chceme-li popisovat chování velého souboru mnoha stejných systémů (lasicým příladem je plyn složený z mnoha stejných moleul), můžeme v podstatě použít jen čtyři přístupy: ) chování prohlásíme za boží zázra a dále nezoumáme ) na záladě výsledů jednoduchých experimentů se snažíme nalézt záony, terými se soubor řídí apřílad zjistíme, že v uzavřené nádobě roste tla s rostoucí teplotou či rostoucím počtem částic a naopa tla plynu lesá, budeme-li zvětšovat rozměry nádoby Kombinací těchto vztahů můžeme nalézt stavovou rovnici Vždy vša musíme mít na mysli, že jde o odvození na záladě experimentů, bez zoumání podstaty jevů samotných a ne vždy budeme zcela rozumět, dy odvozené záony přesně platí Tímto přístupem se zabývá termodynamia a nazývá se popisný, odvozený ze zušenosti, neboli fenomenologicý 3) pousíme se vypočítat trajetorii aždé částečy tvořící soubor ze záladních záonů Tento postup nutně musí selhat u souborů mnoha částic, de je taový popis nad naše možnosti Můžeme ale použít různé numericé metody, nepopisovat všechny systémy ze souboru a podobně 4) záony popisující chování souboru jao celu se pooušíme odvodit teoreticy ze znalosti chování jednotlivých členů systému statisticými metodami Zísané výsledy mají pravděpodobnostní charater, ale u souborů mnoha částic to vůbec není na závadu, spíše naopa Tímto přístupem se zabývá statisticá fyzia, terá je náplní tohoto sylabu Soubor systémů popisovaný metodami statisticé fyziy může být velmi rozmanitý Může jít o jednoduchý monoatomární plyn, o neutronovou hvězdu složenou z neutronů či o feromagnetium složené z mnoha elementárních magnetů (spinů) Systémy popisovaného souboru mohou být ja lasicé ta vantové Již v vantové teorii jsme se zmínili o mimořádné důležitosti harmonicého oscilátoru a proto i zde budeme věnovat pozornost souboru vantových harmonicých oscilátorů Samozřejmě si odvodíme jednoduché záony ideálního plynu, stavovou rovnici, ze statisticého hledisa se seznámíme s pojmem entropie Stejně ta ale budeme studovat vantové systémy fermionů a bosonů nebo mnoha elementárních vantových rotátorů (napřílad rotujících moleul) Přeji všem hodně úspěchů při studiu této mimořádně rásné a elegantní partie fyziy, s jejímiž počáty jsou spjata jména taových veliánů, jao byl napřílad Ludwig Boltzmann či Josiah Gibbs nebo v vantové statistice Enrico Fermi, Paul Dirac, Satyendra Bose a Albert Einstein Atuální verzi sylabu naleznete na serveru wwwaldebarancz v seci Studium 00, Petr Kulháne

3 OBSAH 3 STATISTICKÁ FYZIKA 5 3 (M) ĚCO Z MATEMATIKY 5 3 UŽITEČÉ VZTAHY 5 3 PFAFFOVY DIFERECIÁLÍ FORMY 5 3 VYBRAÉ PARTIE Z TERMODYAMIKY 9 3 PRVÍ A DRUHÁ VĚTA TERMODYAMICKÁ 9 3 TERMODYAMICKÉ POTECIÁLY 0 33 ZÁKLADÍ POJMY STATISTICKÉ FYZIKY 3 33 SLOVÍČEK POJMŮ 3 33 LIOUVILLŮV TEORÉM ERGODICKÝ PROBLÉM 8 34 GIBBSŮV KAOICKÝ SOUBOR 9 34 ODVOZEÍ ROZDĚLEÍ 9 34 KOSTATY ROZDĚLEÍ PARTIČÍ SUMA 35 JEDODUCHÉ PŘÍKLADY 4 35 PRAVDĚPODOBOSTÍ ROZDĚLEÍ ČÁSTICE VE VĚJŠÍM POLI 4 35 IDEÁLÍ PLY KLASICKÝ OSCILÁTOR 9 36 DALŠÍ PŘÍKLADY 3 36 KVATOVÝ OSCILÁTOR (VIBRÁTOR) 3 36 KVATOVÝ ROTÁTOR DVOUATOMÁRÍ PLY AHARMOICKÝ OSCILÁTOR DVOUHLADIOVÝ SYSTÉM GRADKAOICKÝ SOUBOR 4 37 ODVOZEÍ ROZDĚLEÍ 4 37 KOSTATY ROZDĚLEÍ PARTIČÍ SUMA FERMIOY A BOSOY FERMIHO-DIRACOVO A BOSEHO-EISTEIOVO ROZDĚLEÍ SOUBOR FOTOŮ (PLACKŮV VYZAŘOVACÍ ZÁKO) SOUBOR FERMIOŮ (BÍLÝ TRPASLÍK, EUTROOVÁ HVĚZDA) 5 39 FLUKTUACE A ETROPIE FLUKTUACE ETROPIE ELEKTRICKY A MAGETICKY AKTIVÍ SYSTÉMY ZÁKLADÍ POJMY MAGETICKY AKTIVÍ MATERIÁLY MŘÍŽOVÉ MODELY 64 3 MOTE CARLO METODY 69 3 REALIZACE ROZDĚLEÍ 69 3 MC METODY PRO MŘÍŽOVÉ MODELY OPTIMALIZACE A ŘÍZEÉ OCHLAZOVÁÍ 76 3 EROVOVÁŽÁ STATISTIKA 78 3 BOLTZMAOVA ROVICE 78 3 BOLTZMAŮV SRÁŽKOVÝ ČLE ROVICE PŘEOSU (MOMETOVÁ ROVICE) 8 34 PRVÍ TŘI MOMETY 84

4

5

6

7 ěco z matematiy 3 STATISTICKÁ FYZIKA 3 (M) ĚCO Z MATEMATIKY 3 Užitečné vztahy a úvod uvedu přehled vzorců užitečných ve statisticé fyzice eučte se je zpaměti, ale naučte se je používat Odvození naleznete v aždé záladní učebnici matematiy a pro nás není podstatné Ve vztazích je n! n( n) ; n!! n( n)( n4) n ax n! x e d x ; a 0; n,, (V) n a 0 n ax (n )!! x e d x ; a0; n,, (V) n (n )/ a 0 n ax n! x e d x ; a0; n 0,,, (V3) n 0 a e ax d x ; a 0 (Gaussův integrál) (V4) a ax e d x ; a 0 (V5) a 0 ax bx b 4a e dx e ; a 0 (V6) a n q ; q (součet geometricé řady) (V7) q n 0 V R ; (objem oule v sudém počtu dimenzí) (V8)! x x dx 568 ; dx x e e 5 (V9) x Pfaffovy diferenciální formy Určitě si vzpomínáte na pojem malého přírůstu funce více proměnných, neboli diferenciálu apřílad funci je prvním diferenciálem výraz f ( xy, ) x y (3) df xdx ydy (3) Zusme nyní úlohu obrátit Představme si, že napíšeme podobný výraz jao je na pravé straně rovnice (3) a budeme se ptát, zda existuje funce, e teré by výraz byl prvním diferenciálem apřílad d x dx yd y, (33) 5

8 ěco z matematiy 6 d ydx xyd y (34) K prvnímu výrazu taová funce existuje, jde o funci (3), zatímco druhému výrazu taovou funci nidy nenajdeme Obecně výrazy tohoto typu nazýváme Pfaffovy diferenciální formy a zapisujeme je ve tvaru d a ( x,, x )d x a ( x,, x )dx (35) n n n n nebo použijeme-li úspornější sumační onvenci, má zápis jednodušší tvar d a( x )dx (36) Položená otáza tedy je: Kdy je Pfaffova forma ve tvaru úplného diferenciálu nějaé funce? Odpověď je velmi zajímavá Všechny diferenciální formy se dělí na dvě velié supiny První z nich není ve tvaru úplného diferenciálu nějaé funce a tento typ nemá žádné hezé vlastnosti Druhý typ je ve tvaru úplného diferenciálu nějaé funce, má mnoho velmi elegantních vlastností a velmi snadno se s ním pracuje Proto matematici i fyzici vždy dávají přednost diferenciálním formám ve tvaru úplného diferenciálu Zformulujme nyní tzv větu o pěti evivalencích: Věta o pěti evivalencích: echť má diferenciální forma d a dx oeficienty, teré mají spojité derivace do druhého řádu včetně Potom jsou následující tvrzení evivalentní: ) Existuje funce f ( x,, x n ) taová, že forma je jejím prvním diferenciálem, tj oeficienty formy jsou parciálními derivacemi této funce: f a (37) x ) Existuje funce taová, že řivový integrál mezi dvěma body je jen rozdílem oncové a počáteční hodnoty této funce (nazýváme ji potenciálem diferenciální formy): B ad x ( B) ( A) (38) A 3) Křivový integrál mezi dvěma body nezávisí na řivce (cestě integrace): adx nezávisí na řivce (39) 4) Křivový integrál po jaéoli uzavřené řivce z diferenciální formy je nulový: adx 0 (30) 5) Koeficienty formy splňují relace: a al x x pro l, (3) l Poznámy: Máme-li diferenciální formu, buď pro ni platí všechny vlastnosti vyjmenované ve větě o pěti evivalencích nebo žádná z nich eexistuje nic mezitím V důazu věty by stačilo doázat jen impliace ruhem 5 Tím je možné se od aždého tvrzení dobrat e terémuoli dalšímu Celý důaz zde provádět nebudeme, omezíme se jen na něteré části Páté tvrzení je vlastně návodem ja poznat správné diferenciální formy, tj formy ve tvaru úplného diferenciálu Ověříme-li, že platí vlastnost 5), platí už i všechny vlastnosti ostatní Ve fyzice bychom řeli, že oeficienty a diferenciální formy tvoří onzervativní pole, jde napřílad o pole gravitační Křivový integrál z gravitační síly má význam vyonané mechanicé práce Ta nezávisí na cestě mezi dvěma body, po uzavřené řivce je nulová, existuje potenciální

9 ěco z matematiy energie a vyonaná práce je rozdílem potenciální energie v oncovém a počátečním bodě I poslední podmína je snadno interpretovatelná Převedeme-li oba členy na levou stranu, a al 0 pro l,, xl x nejde o nic jiného, než o podmínu, že rotace pole je nulová a jde tedy o nevírové pole x B x B 3 A A x x Důaz: aznačme nyní důaz něterých impliací věty o pěti evivalencích: Impliace : Zusme najít ve fázovém prostoru ( x,, x n ) integrál z diferenciální formy ve tvaru úplného diferenciálu mezi dvěma body A a B: B B () B B f d a dx dx d f f( B) f( A) x A A A A Je-li diferenciální forma ve tvaru úplného diferenciálu, potom jsou oeficienty dány parciálními derivacemi funce f a výsledný integrál je pouze rozdílem hodnot funce f v počátečním a oncovém bodě Hledaným potenciálem diferenciální formy je ta sama funce f Impliace 3: Záleží-li hodnota integrálu jen na oncové a počáteční hodnotě funce f, nezávisí potom na integrační řivce Je zcela lhostejné, zda integrujeme po řivce, nebo 3 na obrázu Impliace 3 4: Uzavřenou řivu v pravé části obrázu si představíme jao součet dvou jednotlivých řive Musíme ale dávat pozor na orientaci řivy, terá mění znaméno řivového integrálu: (3) d d d d d 0 Impliace 5: Důaz je velmi jednoduchý a je založen na záměnnosti druhých derivací funce f: a () f f al xl x l x x x l x Přílad : Zjistěte zda je forma d ve tvaru úplného diferenciálu: d xydx x d y Z podmíny (5) věty o pěti evivalencích nalezneme řížové derivace ax a y ax xy; ay x x; x y x Obě derivace jsou si rovné a diferenciální forma je proto ve tvaru úplného diferenciálu Snadno ověříte, že jde o úplný diferenciál funce 7

10 ěco z matematiy f ( xy, ) Přílad : Zjistěte, zda je forma d ve tvaru úplného diferenciálu: d x d x d y y xy Pro řížové derivace máme: x ax x ay ax ; ay ; 0 y y y x Derivace si rovny nejsou a proto diferenciální forma není ve tvaru úplného diferenciálu a neexistuje funce f taová, že by forma byla jejím prvním diferenciálem e všechny diferenciální formy, teré nejsou ve správném tvaru je vša třeba zatratit ěteré z nich lze snadno spravit Formu z příladu lze opravit vynásobením funcí y: x d y d y dxdy xdx yd y y ová diferenciální forma zjevně má potenciál a je diferenciálem funce ( x y )/ Zjistíme-li, že diferenciální forma není ve tvaru úplného diferenciálu, můžeme se pousit najít tzv integrační fator, aby nová forma d ( x,, x n )d (3) již byla ve tvaru úplného diferenciálu To se ale bohužel ne vždy musí podařit, zejména u diferenciálních forem mnoha proměnných je hledání integračního fatoru mimořádně obtížné Pro diferenciální formy s počtem proměnných do tří ale existuje integrační fator vždy: Věta: Pro n 3 existuje vždy integrační fator Pfaffovy diferenciální formy Důaz: Zoumejme, zda je nová forma d ( x,, xn) a( x,, xn)dx ve tvaru úplného diferenciálu Hledáme tedy funci f, jíž je nová forma úplným diferenciálem, tj f a x To bude možné tehdy, dyž si budou rovné řížové derivace oeficientů: a al pro l, x x l Z těchto rovnic je třeba určit integrační fator Aby byla úloha řešitelná, musí být jejich celový počet menší než dimenze fázového prostoru n: n nn ( ) n n n3 Pro diferenciální formy s více ja třemi proměnnými nemáme obecně existenci integračního fatoru žádným způsobem zaručenu Existují i vytříbenější věty, teré za určitých podmíne umožňují existenci integračního fatoru ve více dimenzích (napřílad Caratheodóryho princip), ale ty jsou nad rámec tohoto sylabu 8

11 Vybrané partie z termodynamiy 3 VYBRAÉ PARTIE Z TERMODYAMIKY Tato část není v žádném případě nějaým systematicým výladem termodynamiy Jde jen o přehled něterých pojmů z tohoto oboru, teré budou potřeba porovnání výsledů termodynamiy a statisticé fyziy V termodynamice budeme hovořit o popisované soustavě Ve statisticé fyzice pa budeme důsledně rozlišovat systém (jedna popisovaná entita) a soubor (velé množství těchto entit) 3 První a druhá věta termodynamicá První věta termodynamicá není nic jiného než záon zachování energie soustavy: Vnitřní energie soustavy se může zvýšit dodaným teplem nebo přidáním dalších částic a snížit soustavou vyonanou prací du dqda du (33) Sama vnitřní energie soustavy je úplným diferenciálem Členy na pravé straně ale úplnými diferenciály nejsou Plyne to z mnoha experimentů Dodané teplo dq je různé po různých cestách ve fázovém prostoru (p, V, T ) a závisí ta na cestě Podobně je to i s dalšími členy na pravé straně Podívejme se na jednotlivé členy podrobněji: Práce vyonaná soustavou (da) Práce vyonaná soustavou může být nejrůznější povahy: mechanicé, eletricé, magneticé, polarizační, elasticé, atd a výsledný výraz je součtem mnoha členů Prozatím se ale spoojíme jen s výrazem pro mechanicou práci, eletricé a magneticé členy budeme disutovat později da Fdl psdl pdv (34) Vnitřní energie spojená se změnou počtu částic (du ) Přicházejí-li do soustavy další částice z vnějšu, roste vnitřní energie soustavy úměrně přírůstu částic: du d (35) Koeficient úměrnosti se nazývá chemicý potenciál soustavy a závisí na typu láty, ze teré se soustava sládá Z matematicého hledisa o žádný sutečný potenciál nejde a název má jen historicý původ Obsahuje-li soustava více druhů částic, je přírůste vnitřní energie spojený se změnou počtu částic dán součtem podobných členů přes všechny druhy částic (používáme sumační onvenci): du d (36) Tepelná energie (dq) Teplo je jedním z ústředních pojmů termodynamiy a je proto obzvláště nepříjemnou záležitostí, že není ve tvaru úplného diferenciálu aštěstí lze uázat, že vždy existuje integrační fator, terý teplo převede na diferenciální formu ve tvaru úplného diferenciálu To je obsahem druhé věty termodynamicé, terá se vysytuje v mnoha podobách Pro nás bude nejdůležitější tvar: K diferenciálu tepla existuje integrační fator Je jím převrácená hodnota absolutní teploty ově vznilou úplnou diferenciální formu nazýváme entropie a označujeme ji ds: ds dq (37) T Existují i jiné formulace druhé věty termodynamicé, teré mají hluboý význam pro termodynamiu, napřílad: eexistuje perpetum mobile druhého druhu (stroj trvale 9

12 Vybrané partie z termodynamiy a cylicy onající práci ochlazováním teplotní lázně) To ja spolu obě formulace souvisí může čtenář nalézt v aždé učebnici termodynamiy Ke správnému integračnímu fatoru lze dojít napřílad rozborem Carnotova cylu, de se uazuje, že integrace dq závisí na cestě integrace, ale integrace veličiny dq/t je nezávislá na cestě a je proto úplným diferenciálem To že převrácená hodnota teploty je správným integračním fatorem diferenciálu tepla lze taé uázat porovnáním derivací řížem u diferenciálu entropie V termodynamice rovnovážných dějů má entropie význam diferenciálu tepla, terý je integračním fatorem opraven na úplný diferenciál Pro entropii platí všechny tvrzení věty o pěti evivalencích: integrál z entropie nezávisí na cestě, integrál po uzavřené řivce (cylicý děj) je nulový, atd Proto vždy dáváme přednost entropii a místo diferenciálu tepla píšeme: dq TdS (38) Po vyjádření všech veličin na pravé straně první věty termodynamicé (33) zísáme tvar, terý budeme používat:! du TdS pdv d (39) V posledním členu používáme sumační onvenci, sčítá se přes všechny druhy částic, jejichž počet se může měnit (napřílad v plazmatu eletrony, neutrální částice a ionty) 3 Termodynamicé potenciály V minulé apitole jsme se seznámili se dvěma veličinami, teré tvoří diferenciální formy ve tvaru úplného diferenciálu Jde o vnitřní energii a entropii Existuje vša postup, terým můžeme vytvářet celou řadu dalších, velmi užitečných úplných diferenciálních forem Zde se zmíníme o entalpii, volné energii, Gibbsově potenciálu a grandanonicém potenciálu Právě význam těchto veličin je pro statisticou fyziu velmi důležitý Entalpie H Pravou stranu diferenciálu vnitřní energie (39) zúplníme v členu pdv Zapíšeme ho jao d( pv) V d p a první člen převedeme na levou stranu Ta zísáme novou veličinu ve tvaru úplného diferenciálu, tzv entalpii: du T d S p dv d, du T d S d( pv ) V d p d, du ( pv) TdSVdp d Pro nově zavedenou veličinu můžeme napsat celou řadu relací Jedna známe její definici (nalevo v závorce), známe její první diferenciál (pravá strana rovnosti) Z tvaru prvního diferenciálu poznáme, na terých veličinách entalpie závisí avíc víme, že jde o úplný diferenciál, tj parciální derivace entalpie dají oeficienty diferenciální formy na pravé straně: H U pv, dh T d S V d p d H H( S, p, ), (30) T H H H, V, S p p, S, S, p, i 0

13 Vybrané partie z termodynamiy Ze znalosti entalpie můžeme určit teplotu, objem a chemicé potenciály soustavy Z první relace (30) můžeme taé určit za pomoci entalpie vnitřní energii soustavy: H U H pv H p (3) p Tato rovnice se nazývá Gibbsova-Helmholtzova rovnice prvního druhu Z vnitřní energie pa můžeme počítat tepelné apacity soustavy i další veličiny Indexy u parciálních derivací znamenají, že příslušné veličiny jsou při derivování onstantní, zráta si jich nevšímáme, ta ja jsme běžně zvylí V termodynamice, de děje závisí na cestě, bývá zvyem tuto cestu explicitně vyznačovat V našem textu budeme automaticy rozumět, že veličiny, podle terých se derivace neprovádí jsou onstantní a indexy nadále nebudeme psát Písmeno H znamená velé řecé éta (souvisí se slovem enthalpy) Volná energie F Budeme postupovat obdobně jao u entalpie, jen nyní ve výrazu (39) pro vnitřní energii zúplníme člen TdS: du T d S p dv d, du ( TS) SdT pdv d Opět ta zísáváme novou diferenciální formu ve tvaru úplného diferenciálu, terou nazýváme volná energie Stejně jao u entalpie můžeme romě definice ihned napsat celou řadu relací: F U T S, df SdT p dv d F F( T, V, ),, (3) F F F S, p, T V Právě volná energie má ve statisticé fyzice mimořádný význam Uvidíme totiž, že tuto veličinu na záladě statisticých úvah budeme schopni zjistit Volná energie je funcí snadno představitelných veličin: teploty, objemu soustavy a počtu částic různých druhů Poznáme-li tuto funci, snadno pouhým derivováním určíme entropii soustavy, jejíž intuitivní pochopení často naráží na problémy Derivováním volné energie podle objemu zjistíme tla v soustavě, tedy stavovou rovnici a derivováním podle počtu částic můžeme určit chemicé potenciály soustavy Co více si přát? Snad ještě vnitřní energii, ale ani to není problém Z definice volné energie F U TS určíme U F TS a dosadíme již vypočtenou hodnotu entropie: F U F T T (33) Jde o tzv Gibbsovu-Helmholtzovu rovnici druhého druhu a je východisem mnoha dalším odvozeným veličinám teré se počítají z vnitřní energie Přílad 3: Doažte, že Gibbsovu-Helmholtzovu rovnici (33) lze zapsat jao U ( F)/ Gibbsův potenciál G aprosto stejným postupem jao v předchozích případech zúplníme diferenciál vnitřní energie v obou členech pdv a TdS Výsledem je nová veličina, Gibbsův potenciál, pro terý zřejmě platí:

14 Vybrané partie z termodynamiy G U T S pv, dg SdT V d p d G G( T, p, ),, (34) G G G S, V, T p Gibbsův potenciál má velý význam pro chemii a termodynamiu, my ho ve statisticé fyzice nevyužijeme Kulaté závory znamenají, že vešeré ostatní veličiny (romě té, podle teré se derivuje) jsou drženy onstantní, indexy již nevypisujeme Grandanonicý potenciál Posledním z potenciálů, terý pro nás bude mít velý význam je grandanonicý potenciál Diferenciál vnitřní energie zúplníme v členech TdS a d Výslede je: U T S d SdT pdv d, ( TV,, ),, (35) S, p, T V Ve statisticé fyzice souborů s proměnným počtem částic budeme schopni, alespoň teoreticy, určit právě grandanonicý potenciál Z něho pa již snadno nalezneme entropii soustavy, tla (stavovou rovnici) a počty jednotlivých částic Z definice grandanonicého potenciálu potom vypočteme vnitřní energii: U TS T, T terá je východisem výpočtu mnoha dalších veličin (36)

15 Záladní pojmy statisticé fyziy 33 ZÁKLADÍ POJMY STATISTICKÉ FYZIKY 33 Slovníče pojmů Systém Systémem rozumíme jaouoli popisovanou entitu Sadu nezávislých parametrů nutných popisu nazýváme zobecněné souřadnice Standardními postupy (TF) přiřadíme aždé zobecněné souřadnici zobecněnou hybnost Známe-li počáteční hodnoty souřadnic a hybností, můžeme předpovědět trajetorii systému za pomoci Hamiltonových rovnic Jde-li o vantový systém, je stav dán vetorem v Hilbertově prostoru a časový vývoj určíme působením evolučního operátoru (TF) V tomto případě má trajetorie pravděpodobnostní charater a je vantově rozmazána s veliostí pixelu danou relacemi neurčitosti p lasicý systém p vantový systém q p q h q Fázový prostor Fázovým prostorem nazýváme prostor zobecněných souřadnic a hybností (q, p) epíšeme-li indexy, automaticy myslíme celé množiny všech zobecněných souřadnic a hybností Proč se používají hybnosti namísto rychlostí? Je pro to hned něoli důvodů: Chceme-li sledovat časový vývoj, používáme Hamiltonovy rovnice pro souřadnice a hybnosti Svět na elementární úrovni je vantově rozmazán díy Heisenbergovým relacím neurčitosti Ty platí opět mezi zobecněnou souřadnicí a jí příslušející zobecněnou hybností Je-li situace symetricá vzhledem posunutí v něteré zobecněné souřadnici, zachovává se příslušná zobecněná hybnost Tyto dvě veličiny neoddělitelně patří sobě Poissonovy závory zobecněných souřadnic a odpovídajících zobecněných hybností jsou rovny jedné, ostatní závory jsou nulové Ve statisticé fyzice uvidíme, že ve fázovém prostoru s osami (q, p) se při statisticém vývoji mnoha systémů zachovává objem a soubor systémů se chová jao nestlačitelná apalina (Liouvillův teorém), což je pro popis velmi výhodné Soubor Souborem rozumíme velé množství stejných systémů se stejným fázovým prostorem Systémy mohou mít různé počáteční podmíny a ve fázovém prostoru jsou v daném oamžiu reprezentovány množinou mnoha bodů ta ja se soubor s časem vyvíjí, jednotlivé body se přesouvají po svých fázových trajetoriích daných Hamiltonovými rovnicemi p q Fázový objem Ve fázovém prostoru můžeme standardním způsobem zavést elementární objem fázového prostoru jao f rozměrný diferenciál (f je počet stupňů volnosti) d dq dq dp dp dq dp d q d p (37) f f Konečná oblast fázového prostoru má potom objem f f 3

16 Záladní pojmy statisticé fyziy f f p (38) d d q d Váhový fator Každý stupeň volnosti je ve WKB aproximaci rozmazán s hodnotou pixelu Stejný rozměr taé přináší aždý stupeň volnosti do integrálu (38) Je velmi výhodné zavést bezrozměrný fázový objem výrazem d d q d p d ; f f ( ) ( ) f f (39) Tato bezrozměrná veličina se nazývá váhový fator, využívá se zejména u vantových systémů a má význam počtu vantových stavů obsažených v oblasti, protože jeden stupeň volnosti zaujímá objem a jeden stav ( Hustota pravděpodobnosti Bude-li soubor obsahovat velé množství systémů, můžeme zavést hustotu počtu systémů v elementu fázového objemu Čím bude toto číslo vyšší, tím více je v daném místě systémů a tím vyšší je pravděpodobnost nalézt v dané oblasti nějaý systém Hustota pravděpodobnosti je úměrná hustotě počtu systémů ve fázovém prostoru Z důvodu normování se nědy hustota pravděpodobnosti dělí ještě celovým počtem částic Taé je možné využít bezrozměrný fázový objem (váhový fator) a ta jsou celem 4 možnosti zavedení a normování hustoty pravděpodobnosti: d d, dw d, dw d ; d d d d, dw d, dw d ; d d (330) d d, dw d, dw d ; d d d d, dw d, dw d d d Celová pravděpodobnost je normována buď jedné (ta tomu je nejčastěji v matematice) nebo celovému počtu částic V tomto sylabu budeme využívat druhé a čtvrté možnosti normování hustoty pravděpodobnosti ( jedné) Středování přes fázový prostor Je-li známa hustota pravděpodobnosti, můžeme průměrovat dynamicé proměnné přes fázový prostor Sečteme hodnoty dynamicé proměnné A pro všechny systémy s vahou danou hustotou pravděpodobnosti : A A( q, p) dw A( q, p) d nebo A A( q, p) dw A( q, p) d nebo A A w n n ) f (33) První případ platí, použijeme-li fázový prostor, druhý použijeme-li váhový fator, třetí pro systém s disrétními stavy, de prostě sčítáme přes pravděpodobnosti jednotlivých stavů 4

17 Záladní pojmy statisticé fyziy Přílad 4 Zadání: Určete fázový objem soustavy nezávislých lineárních harmonicých oscilátorů, jejichž maximální energie je E Řešení: Hamiltonova funce a fázový objem tohoto systému jsou pi mi i xi ; i mi H E H dx dx dp dp / / n n n n n n n Provedeme-li substituce ( m /) x ; p /( m ) zjednoduší se oblast integrace na rozměrnou ouli d d ; (, ): E Výsledem integrálu je objem rozměrné oule o poloměru E : (V8) V E E! Přílad 5 Zadání: Vypočtěte fázový objem, terý ohraničuje energeticá nadplocha moleuly chovající se jao tuhá čina Řešení: Moleula má celem 5 stupňů volnosti Může se pohybovat jao cele (tento pohyb popíšeme souřadnicemi těžiště moleuly x, y, z) a může rotovat ve dvou nezávislých úhlech (popíšeme je úhly a sféricých souřadnic) Fázový prostor má ta 5 souřadnicových os a 5 hybnostních os, je tedy desetirozměrný Moleula se ve fázovém prostoru vždy nachází v něterém bodě tzv energeticé nadplochy l E m x y z m sin const Standardním postupem určíme hamiltonián p H m m m ml sin p x y pz p p yní se již můžeme pustit do výpočtu objemu oblasti fázového prostoru, terou uzavírá energeticá nadplocha: H E dxdydzdddp dp dp dp dp x y z V 0 0 p p5 E 5/ 5 dxdydz d sin d m l d p 5/ 5/ 5/ 5 Vm l E V () V druhém řádu jsme provedli standardní substituce, podobně jao v předchozím příladě Diferenciál páté hybnosti má dvě části, ale integrál první z nich je nulový Veličina V 5 () je objem jednotové pětirozměrné oule 5

18 Záladní pojmy statisticé fyziy 33 Liouvillův teorém Proudění zpravidla popisujeme hustotou a toem nějaé aditivní veličiny A Může jít o to hmotnosti, náboje, tepla, energie a podobně Hustota a to jsou definovány vztahy A lim, V V 0 j v (33) a tvoří relativisticý čtyřvetor (, j ) transformující se pomocí Lorentzovy matice Veličina v(, t x) je rychlostní pole Jestliže se při proudění veličina A zachovává, platí rovnice ontinuity div v 0 (333) t Jde o součet přes časovou i všechny prostorové derivace: v 0 t x V našem případě je věc jen nepatrně složitější Aditivní veličinou je počet systémů v souboru, hustotou je hustota pravděpodobnosti To ale musíme brát ve fázovém prostoru všech souřadnic a hybností j ( q,, q, p,, p ) f stejně ta jao divergence v rovnici ontinuity bude obsahovat derivace přes všechny osy fázového prostoru: q p 0 t q p Je jasné, že poud se systémy ve fázovém prostoru neztrácejí musí taový záon zachování počtu systémů platit Proveďme nyní derivace součinů: q p q p 0 t q q p p Ve třetím a pátém členu využijeme Hamiltonovy rovnice H H q ; p p q a dostaneme H H q p 0 t q q p p p q Díy záměnnosti druhých parciálních derivací se naonec oba zmíněné členy vyruší Dostáváme ta rovnici ontinuity ve tvaru q p 0 t q p Vzhledem tomu, že ( tq,, p) dostáváme ta d! 0 (334) dt f 6

19 Záladní pojmy statisticé fyziy Hustota pravděpodobnosti se nemění a pravděpodobnost výsytu systémů ve fázovém prostoru se chová jao nestlačitelná apalina Rovnice (334) se nazývá Liouvillův teorém a má ve statisticé fyzice zásadní důležitost Poznáma: Rovnici ontinuity můžeme obdobně upravit i u proudění běžné teutiny: v div v 0 ( ) 0 0 t t t x x v v První dva členy dávají úplnou derivaci hustoty a poslední lze upravit za pomoci divergence: d div v 0 dt Je jasné, že proudění normální teutiny je nestlačitelné ( d dt 0 ) je-li div v 0 Hustota pravděpodobnosti je podle vztahu (334) onstantní Koli onstant máme ve výpočtu dispozici? Počítáme-li zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti z Hamiltonových rovnic, vyjde řešení závislé na počátečním stavu (f polohách a f hybnostech), tj obsahuje f integračních onstant pohybu, přesněji f-, protože jednu onstantu spotřebujeme na volbu počátu časové osy t 0 : q q (, t,, ), f p p (, t,, ) f Kdybychom zísané řešení doázali beze zbytu invertovat a spočítat tyto integrační onstanty ( q,, q, p,, p ), f f zísali bychom všechny záony zachování souboru Bohužel ne vždy jsou definovány na celém oboru a z mechaniy máme zajištěnu existenci jen sedmi záladních záonů zachování: energie, hybnosti a momentu hybnosti Má-li být úplná derivace hustoty pravděpodobnosti podle Liouvillova teorému onstantní, je rozumné předpoládat, že je funcí těchto známých integrálů pohybu: ( E, pl, ) Vybereme-li souřadnicový systém pohybující se s těžištěm souboru a rotující spolu s ním, zůstává jediná nenulová veličina, na teré může záviset hustota pravděpodobnosti energie:! ( E) (335) Jde o nejzávažnější důslede Liouvillova teorému p ( tqp,, ) p D místnost q a b q Díy nestlačitelnosti proudící pravděpodobnosti se nemění fázový objem zaujímaný vybranou marosopicou částí systémů Jestliže systémy zaujímaly na začátu ve fázovém prostoru určitý objem, bude se tento objem v průběhu časového vývoje různě deformovat, ale jeho veliost se nebude měnit Tento objem (nebo váhový fator) tedy bude opět jen funcí energie systému! ( E); ( E) (336) To je jen jiná formulace Liouvillova teorému 7

20 Záladní pojmy statisticé fyziy Hustota energeticých stavů Pro element pravděpodobnosti můžeme díy Liouvillovu teorému psát d dw d ( E) d( E) de ( E) ( E) de (337) de de jsme označili d ( E) (338) de tzv hustotu energeticých stavů (vzpomeňte si, že má význam počtu vantových stavů v uvažovaném fázovém objemu) U spojitých problémů je hustota energeticých stavů spojitou funcí, mnohdy má vša i disrétní část: ( E) g( E) gn( EEn) (339) Symbol znamená Diracovu distribuci (analogie Kronecerova delta v prostorech l u prostorů L ) Koeficienty g n nazýváme stupeň degenerace stavu n 333 Ergodicý problém n Střední hodnotu dynamicé proměnné Aq (, p ) v souboru mohu v zásadě určit dvojím způsobem První z možností je středování přes soubor pomocí zavedené hustoty pravděpodobnosti: (340) A A( q, p) dw A( q, p) d Druhou z možností je zvolit si jeden ze systémů souboru a průměrovat veličinu A po dostatečně dlouhou dobu v čase: t 0 A lim Aqt ( ), pt ( ) dt (34) t 0 Samozřejmě by výslede limity neměl záviset na počátečním čase t 0 Velmi disutovanou a velmi starou je otáza, zda obojím způsobem zísáme týž výslede: A? A (34) Tento problém se nazývá ergodicý problém, je vyřešen ladně v mnoha jednotlivých případech, ale obecné řešení pro mechanicé systémy známo není V tomto sylabu budeme budovat statistiu, veličiny budeme středovat pomocí vztahu (340) a budeme doufat, že i průměrování (34) by vedlo e stejnému výsledu 8

21 Kanonicé rozdělení 34 GIBBSŮV KAOICKÝ SOUBOR 34 Odvození rozdělení Při odvození použijeme následující předpolady: Systém o částicích může vyměňovat energii s oolím Znamená to tedy napřílad možnost výměny tepelné energie přes stěny systému Počet částic systému je onstantní Systém nevyměňuje částice s oolím, částice v něm nevzniají ani nezaniají E E', S' ES, = const Jediným vnějším parametrem je objem systému (je dán vnějšími fatory, tvarem nádoby) Práce obecně může záviset na mnoha vnějších fatorech: da Ada Veličiny A nazýváme zobecněné síly a veličiny a vnější parametry V našem jednoduchém příladě máme jediný člen da pdv Energie vázaná na povrch soustavy je zanedbatelná vzhledem celové energii soustavy (zanedbáme povrchové jevy) Budeme podle Liouvillova teorému předpoládat, že hustota pravděpodobnosti i fázový objem závisí jen na energii soustavy První věta termodynamicá bude pro tuto soustavu mít jednoduchý tvar du TdS pdv (343) Vzhledem tomu, že počet částic soustavy se nemění, je poslední člen v (39) nulový Proměnné oolí budeme označovat čárou Pravděpodobnost, že systém i s oolím nalezneme ve stavu s určitou energií je dána aditivností energie a multipliativností fázového objemu: dw ( E ) d ( E E) d d (344) tot tot tot Pro nezávislé subsystémy se ale pravděpodobnosti násobí a mělo by proto taé platit: dwtot dw( E) dw( E) ( E) d( E) ( E) d( E) ( E) ( E) dd (345) Porovnáním obou možností zjistíme, že pro hustotu pravděpodobnosti musí platit vztah ( E E) ( E) ( E) (346) V matematice se uazuje, že existuje jediná funce s touto vlastností a tou je obecná exponenciela ( ) e c E c E (347) V exponenciele označíme onstanty lineární ombinace písmeny a U energie zvolíme záporné znaméno Volba znaména je v tuto chvíli nepodstatná, a dyby nebyla správná, by vyšlo záporné Uvidíme, že ve sutečnosti s rostoucí energií systému lesá pravděpodobnost jeho výsytu, a proto je minus před energií správné Uveďme výraz ja pro spojitý, ta pro disrétní případ: E E ( E) e ; w e n n (348) Hodnoty onstant a odvodíme z podmíny, že statisticé výsledy musí limitně přecházet ve známé záony termodynamiy V disrétním případě závisí možné hodnoty energeticého spetra na vnějších parametrech systému, v našem případě na objemu zaujímaném systémem, tj E E ( V) n n 9

22 Kanonicé rozdělení 34 Konstanty rozdělení Určeme nyní onstanty a alezneme diferenciál střední hodnoty energie a porovnáme ho s první větou termodynamicou Odvození je možné provést spojitě nebo disrétně, napřílad pro střední hodnotu energie můžeme ve spojitém případě psát a v disrétním 0 (349) U Edw E( E) d E( E) ( E) de n n n n (350) U E w E ( V) w My se v tomto odvození budeme držet disrétního případu a naopa něteré příští odvození pro změnu povedeme spojitě alezněme tedy diferenciál výrazu (350): En du dv wn Endwn V Hustota energie n-tého stavu odpovídá tlau generovanému n-tým stavem (až na znaméno) Tla je vždy hustotou energie: p F/ S Fl/( Sl) E/ V Znaméno se volí záporné (síla je minus gradient energie) V druhém výrazu použijeme geniální tri, energii E n vyjádříme pomocí pravděpodobnosti (348): du pnwndv ln wndwn V součtech ponecháme jen výrazy, přes teré se opravdu sčítá, ostatní členy vytneme: du pnwndv dwn lnwndwn V prvním výrazu je střední hodnota parciálních tlaů rovna celovému tlau V druhém výrazu je součet všech pravděpodobností roven jedné a diferenciál jednoty je nulový Třetí výraz upravíme podle vztahu f dg d( fg) g df : du p dv d w w w d w ln ln n n n n yní uažme, že poslední výraz je nulový: wnd ln wn wn dwn wn dwn d wn d() 0 Ze statisticých úvah jsme ta onečně dostali výraz pro diferenciál energie, terý můžeme porovnat s první větou termodynamicou du pdv T ds : du pdv d wnln wn (35) Je zřejmé, že oeficient musí být úměrný převrácené hodnotě absolutní teploty a suma v druhém výrazu entropii To platí až na libovolný multipliativní oeficient, terý musí být určen experimentálně:, (35) T! S w ln w (353) n n Poznámy: Ta jao v aždé fyziální teorii je i ve statistice jedna volitelná onstanta azýváme ji Boltzmannova onstanta a volbou její hodnoty můžeme vytvářet různé statisticé teorie Jen jedna z nich bude ale odpovídat reálné přírodě Jde o stejnou situaci, jaou jsme poznali v vantové

23 Kanonicé rozdělení teorii při zavedení Plancovy onstanty Po porovnání prvních odvozených vztahů (napřílad stavové rovnice ideálního plynu) se sutečností zjistíme hodnotu Boltzmannovy onstanty 3,38 0 J K (354) avíc jsme zísali statisticý výraz pro entropii (353), terý středuje logaritmus pravděpodobnosti n-tého stavu Z hledisa statistiy je až na onstanty entropie rovna střední hodnotě logaritmu pravděpodobnosti: S ln w Vztah mezi entropií a pravděpodobností realizace systému odvodil již L Boltzmann a je znám jao Boltzmannova rovnice ve tvaru S ln P (355) Porovnáním s první větou termodynamicou jsme zjistili význam oeficientu v pravděpodobnostním rozdělení Dalšími úpravami statisticé definice entropie a opětovným porovnáním s termodynamiou zísáme ještě význam oeficientu : E ln e n n n wn lnwn En n( n) S w w w E n n n w E w Interpretace součtů je zjevná a tedy můžeme psát: S U Snadno nyní určíme neznámý oeficient : S U S U / T U TS F T T Zísali jsme ta hodnoty obou oeficientů: F! ; (356) T T Pravděpodobnostní rozdělení tedy je (pro spojitý i disrétní případ): F E T F E n T! ( E) e ; w ( E) e (357) Často výrazy zracujeme právě pomocí oeficientu / T :! ( F E) n ( F E ) ( E) e ; w ( E) e n (358) Odvozené vztahy se nazývají Gibbsovo anonicé rozdělení podle významného americého fyzia Josiaha Gibbse ( ), terý se zabýval termodynamiou a statisticou fyziou Mimo jiné taé zformuloval známé Gibbsovo pravidlo fází platné při změně supenství ˆ V vantové teorii máme místo hustoty pravděpodobnosti operátor hustoty ˆ e ( FH) Poznáma: Ve výrazu pro pravděpodobnost dw d de je hustota pravděpodobnosti exponenciálně lesající funcí energie aopa hustota energeticých stavů s rostoucí energií roste Výsledná hustota pravděpodobnosti proto má maximum v oolí určité charateristicé energie, terá je v systému zastoupena s největší pravděpodobností n E

24 Kanonicé rozdělení 343 Partiční suma yní známe obě dvě onstanty rozdělení a z normovací podmíny můžeme určit volnou energii A to je právě líč vítězství Známe-li volnou energii, můžeme jejím derivováním zjistit mnoho informací o systému, napřílad stavovou rovnici Výpočet volné energie provedeme paralelně v disrétním i spojitém případě, abyste oba postupy mohli porovnat V levé části bude disrétní výpočet, v pravé spojitý: e w n ( F E n ) e En E ln e n e F F E F T ln e n ln d ( F E ) d e e E e d e F E d F E F T ln e d Veličina nacházející se v logaritmu v ulaté závorce se nazývá partiční funce (partiční suma, stavová suma) a je ústřední veličinou statisticé fyziy, označujeme ji Z Vzhledem tomu, že argument logaritmu by měl být bezrozměrný, je použití váhového fatoru namísto fázového objemu vhodnější V podstatě aždý statisticý výpočet začíná určením partiční (stavové) sumy Popišme si nyní záladní onstruci statisticého výpočtu: Schéma statisticého výpočtu: Zjistíme, jaých energií E n může systém nabývat V lasicém případě jde o všechny hodnoty energií, teré se v systému mohou vysytnout V vantovém případě musíme určit spetrum Hamiltonova operátoru (napřílad řešit Schrödingerovu rovnici) E alezneme partiční funci Z jao součet tzv Boltzmannových fatorů e obor energeticého spetra: Z e n ; resp Z e d přes celý E E (359) Právě tento ro může být velmi, velmi ompliovaný Často se řeší různými graficými či numericými metodami Je třeba posčítat sutečně všechny možnosti a na žádnou nezapomenout 3 Logaritmováním nalezneme volnou energii F: F T ln Z (360) 4 Ze znalosti volné energie určíme entropii, tla (stavovou rovnici) a chemicý potenciál systému podle vztahu (3): F F F S, p, T V 5 Určíme další odvozené veličiny, tj vnitřní energii a její derivace (napřílad měrná tepla, susceptibilitu, atd) Výchozím bodem může být Gibbs Helmholtzova rovnice (33) pro výpočet vnitřní energie ze známé volné energie F U F TS F T T

25 Kanonicé rozdělení Význam partiční sumy: Partiční suma je součtem všech Boltzmannových fatorů přes možné hodnoty energie E E Z e n ; resp Z e d V vantové teorii lze partiční sumu zapsat tato: E ˆ ˆ Z e n n e H n Tr e H n Tr znamená stopu (součet diagonálních prvů v nějaé reprezentaci) funce operátoru uvedeného v závorce Výsledný výraz je znám jao Slaterova rovnice Je pojmenovaná podle význačného americého fyzia Johna Clara Slatera ( ), terý se zabýval především vantovou teorií Partiční suma má jednoznačný vztah volné energii a můžeme ji určit z experimentálního měření volné energie: F F T ln Z Z e Partiční suma je převrácenou hodnotou normovací onstanty v pravděpodobnostním rozdělení, stačí dosadit za F z předchozího vztahu: ( FE) E ( FE ) ( ) e e ; ( ) e n E E w e n n E Z Z Partiční suma je Laplaceovým obrazem hustoty energeticých stavů ( E) : E E 0 0 Z e d e ( E) de aopa, známe-li partiční sumu (napřílad z experimentálního změření volné energie), dostaneme po provedení inverzní Laplaceovy transformace hustotu energeticých stavů: i E ( E) e Z( ) d i i yní již víme vše, co je třeba zahájení a nědy i úspěšnému doončení statisticého výpočtu V příští apitole se s tímto postupem seznámíme na jednoduchých příladech Přílad 6: Doažte, že anonicé rozdělení má maximum při Řešení: Uvažujme disrétní anonicé rozdělení E w ( ) Ae n Z normovací podmíny nalezneme normovací onstantu A: n En E E e n w A wn E e E e Ta, ja už víme z dřívějša, je normovací onstanta rovna převrácené hodnotě partiční sumy yní najdeme podmínu pro maximum vzhledem parametru : wn 0 En E w En E ejvíce je v systému zastoupen stav odpovídající střední hodnotě energie 3

26 Jednoduché přílady 35 JEDODUCHÉ PŘÍKLADY 35 Pravděpodobnostní rozdělení částice ve vnějším poli V tomto prvním jednoduchém příladu se zatím omezíme jen na prozoumání vlastností hustoty pravděpodobnosti Teprve v následujícím příladu provedeme ompletní statisticý výpočet od začátu do once Budeme předpoládat, že systém tvoří jedna jediná částice ve vnějším potenciálním poli V( x, y, z ) Souborem je mnoho taovýchto částic Fázovým prostorem bude n-tice souřadnic a hybností ( x, yzp,, x, py, p z) Energie systému má tvar x y z p p p E V( x, y, z) m Element pravděpodobnosti bude ( FE) 3 3 E 3 3 dw d e d x d p K e d x d p Po dosazení za energii zísáváme výsledné pravděpodobnostní rozdělení: px py p z 3 3 dw K exp V ( x, y, z) d x d p (36) m Vzhledem vlastnostem exponenciální funce vidíme, že výslede lze napsat jao součin pravděpodobnosti pro souřadnice a pro hybnosti, tj rozdělení souřadnic a hybností je nezávislé dw dw( x) dw( p) ; V( x, y, z) 3 px py p z 3 dw Kexp d x Kexp d p T mt V případě vhodného tvaru potenciální energie se může rozdělení rozpadnout doonce i na násoby pravděpodobností v jednotlivých osách Pro hybnosti to jde vždy automaticy dw( p) dw( p ) dw( p ) dw( p ) ; x y z p p y x p dw( p) K exp exp exp z x dpx K y dpy Kz dpz mt mt mt Konstanty rozdělení můžeme snadno určit z normovací podmíny dw aždou část rozdělení zvlášť Barometricá formule, terá platí pro Zabývejme se nyní rozdělením poloh částic v tíhovém poli V mgy Hmotnost jedné částice je m, výša nad povrchem y Pravděpodobnost výsytu částice bude mgy dw( x, y, z) K exp dx dy dz T Je evidentní, že pravděpodobnost výsytu částice nezávisí na souřadnicích x, z, přes teré můžeme integrovat a výslede integrace zahrnout do normovací onstanty Zůstane jen pravděpodobnost výsytu částice ve svislém směru: mgy dw( y) C exp dy T (36) 4

27 Jednoduché přílady Hustotu pravděpodobnosti výsytu částice dw/dy sleduje napřílad oncentrace částic nad zemí: mgy ny ( ) n0 exp T (363) Jde o známou Boltzmannovu barometricou formuli, terá popisuje poles počtu částic s výšou S tím souvisí i poles tlau v atmosféře Přílad 7: Určete hustotu plynu ve válci o poloměru R a délce L, terý rotuje olem své osy úhlovou rychlostí Řešení: Potenciální energie jedné rotující částice je záporně vzatá rotační energie J mr V() r Z barometricé formule máme oamžitě oncentraci částic mr nr () n0 exp T Boltzmanovo pravděpodobnostní rozdělení Zabývejme se nyní rozdělením jedné složy hybnosti či rychlosti Pro onrétnost uvažujme projeci hybnosti či rychlosti do osy x, mohli bychom vša zvolit libovolnou osu: p x dw( px) K exp dpx mt Určeme nejprve onstantu rozdělení z normovací podmíny (integrace podle vztahu V4): dw( p ) x p x Kexp dpx mt K mt K / mt Boltzmannovo rozdělení v hybnostech či rychlostech má tedy charater Gaussova balíu y = exp( x ): p x dw( px) exp dpx ; mt mt! (364) m mv x dw( vx) exp dvx mt T ejpravděpodobnější projecí hybnosti nebo rychlosti je nulová hodnota, to je dáno chaotičností pohybu Čím vyšší je teplota, tím vyšší je podíl částic s vysoými rychlostmi Kladné i záporné projece jsou zastoupeny stejně, rozdělení je symetricé Plocha pod rozdělením je vždy rovna jedné, tj celové pravděpodobnosti výsytu částice 5

28 Jednoduché přílady dw dv T dw > T dv T T > T T T Boltzmannovo rozdělení v T Maxwellovo rozdělení v Maxwellovo pravděpodobnostní rozdělení V tomto odstavci se budeme zabývat rozdělením veliosti celové rychlosti částice, tzv Maxwellovým rozdělením ejprve napišme rozdělení ve všech třech rychlostech, teré je součinem rozdělení v jednotlivých osách: 3 m m vx vy v z dw( v) dw( vx) dw( vy) dw( vz) exp dv 3/ xdvydv z ( mt ) T Přejdeme-li v prostoru ( x, yz, ) sféricým souřadnicím a přes úhlové proměnné integrujeme, zůstane jediná proměnná vzdálenost od počátu r a objemový element bude dv 4 r dr yní provedeme tutéž operaci, ale v rychlostním prostoru, tj s osami označenými ( vx, vy, v z) Výslede je analogicý Zůstane veliost rychlosti v a objemový element bude dv dv dv 4 v dv x y z y v x r dr x v dv v y yní již můžeme snadno napsat rozdělení ve veliostech rychlostí (Maxwellovo rozdělení)! 3 4 m mv d w( v) v exp d 3/ v (365) ( mt ) T Jde o funci typu y x exp[ x ] Pravděpodobnost nalézt částici s onrétní rychlostí má maximum závislé na teplotě Je málo pravděpodobné nalézt částici s nízou i s vysoou rychlostí U vysoých rychlostí pravděpodobnost nalezení částice s touto rychlostí exponenciálně lesá Částice s vysoými rychlostmi z chvostu Maxwellova rozdělení mohou mít úniovou rychlost od Země a zemsá atmosféra je ztrácí Prohlédněte si hustotu pravděpodobnosti dw/dv na obrázu dw dv Typicé rychlosti Ze znalosti rozdělení můžeme snadno určit nejpravděpodobnější hodnotu rychlosti (při ní má rozdělení maximum), střední hodnotu rychlosti (dělí plochu pod řivou rozdělení na dvě stejné v 0 v s v v v 6

29 Jednoduché přílady poloviny) a střední vadraticou rychlost (ta je důležitá pro určení středních vadraticých flutuací, terým budeme věnovat samostatnou apitolu) ejpravděpodobnější rychlost určíme jao maximum hustoty pravděpodobnosti: d mv T v exp 0 v0 dv T m Střední hodnotu rychlosti spočteme z definice, terá vede na integrál typu (V3): 4 m m 8T vs v vd ( v) v exp d v m 3 3 v w 3/ 0 ( mt ) T 0 Střední vadraticá hodnota vede na jednoduchý integrál typu (V): 4 m m 3T vv v v d ( v) v exp dv m 3 4 v w 3/ 0 ( mt ) T 0 Všechny tři charateristicé rychlosti se liší nepatrně a jsou řádově shodné: T 8T 3T v ; v ; v (366) m m m! 0 s v S rostoucí teplotou se hodnota střední rychlosti částic zvyšuje Pomocí nejpravděpodobnější rychlosti, teré se nědy říá tepelná rychlost, lze Boltzmannovo i Maxwellovo rozdělění jednoduše zapsat jao v 3 v d w( v) Cexp d ; d w( ) A exp d v v v v (367) v0 v0 35 Ideální plyn yní poprvé provedeme ompletní statisticý výpočet podle postupu uvedenému v apitole 343 Systémem bude stejných lasicých částic, teré neinteragují ani vzájemně, ani s oolím (potenciální energie je nulová) Souborem by bylo mnoho těchto systémů (systémem je napřílad celá nádoba naplněná plynem, soubor je mnoho těchto nádob) Rozhodli jsme se tedy popisovat nádobu jao cele, to nám umožní napřílad zjistit tla v této nádobě Postupujme nyní přesně podle dříve uvedeného schématu: energeticé spetrum Energie systému může nabývat libovolné ladné hodnoty a je dána pouze součtem ineticých energií všech částic: a E p a m partiční funce alezneme partiční funci jao součet všech Boltzmannových fatorů: 3 3 E p a d x d p Z e d exp, 3 a mt ( ) Z a 3 exp d, 3 ( ) V p a mt p mt Z exp d ( ) V ( ) V mt 7

30 Jednoduché přílady de jsme rozepsali do slože jednotlivé hybnosti, 3 součtů v argumentu exponenciely jsme převedli na součin exponenciel Integrál se ta stal součinem 3 stejných integrálů Gaussova typu (V4) Výsledná partiční suma tedy je 8 3 / 3/ 3 ZT (, V, ) a V T ; a( m) /( ) (368) 3 Volná energie Volnou energii snadno určíme ze vztahu (360): 3/ FT (, V, ) Tln Z Tln avt 4 Termodynamicé veličiny Určíme nyní entropii a tla (stavovou rovnici) jao parciální derivace (3) volné energie Chemicý potenciál je vzhledem e onstantnímu počtu částic nepotřebný F 3 3/ S ln avt T F T p V V V entropii automaticy vyšla její integrační onstanta S 0 = 3/, terá je hodnotou entropie při teplotě absolutní nuly (její hodnota je mimo jiné předmětem třetí věty termodynamicé, o teré jsme se zde nezmiňovali) Entropie závisí prostřednictvím oeficientu a na Plancově onstantě To je proto, že Plancova onstanta určuje veliost jednoho stavu ve fázovém prostoru a entropie jao statisticá veličina souvisí s pravděpodobností výsytu určitého stavu Druhá část vztahu pro entropii při nízých teplotách selhává, tam se uplatňují vantové procesy, teré jsme neuvažovali Entropii budeme věnovat samostatnou apitolu později Povšimněte si, že veliost entropie je úměrná počtu částic To je logicé, jde o tepelnou energii vynásobenou integračním fatorem a energie je v počtu částic aditivní Druhý odvozený vztah je stavovou rovnicí ideálního plynu (pv = T ) a na Plancově onstantě samozřejmě nemůže záviset Jde o lasicé vlastnosti lasicého plynu 5 Vnitřní energie Vnitřní energii bychom mohli určit přímou integrací z definice U E Edw, ale rychlejší je využít definici volné energie F U TS : 3/ T ln 3/ 3 3 U F TS Tln avt T avt T Vnitřní energie opět nezávisí na Plancově onstantě, povšimněte si, že aždý stupeň volnosti systému přispívá vnitřní energii hodnotou T/ Toto tvrzení je známo jao evipartiční teorém a závěr vypišme všechny odvozené vztahy pro ideální plyn:! 3 / m 3/ 3/ Z a V T ; a, F Tln avt, 3 3/ S ln avt, T p, V 3 U T (369)

31 Jednoduché přílady Poznáma: Zpravidla se výpočet partiční sumy provádí jen pro systém s jednou jedinou částicí Partiční sumu jedné částice označujeme malým písmenem z Ja je z výpočtu vidět, budeme-li mít nezávislých částic, bude celová partiční suma součinem integrálů partičních sum jednotlivých částic Pro identicé nevantové částice proto platí Z z z z z (370) Partiční suma je multipliativní v počtu částic, volná energie, entropie, tla a vnitřní energie jsou aditivní veličiny 353 Klasicý oscilátor Termodynamicé veličiny Za systém budeme nyní považovat soustavu stejných nezávislých oscilátorů Označme energii jednoho oscilátoru a z partiční sumu jednoho oscilátoru Určeme tyto veličiny: p m x m m x p dxdp z exp T mt m x p T z exp dx exp dp mt T mt m T T z ; Z Povšimněte si, že partiční suma je bezrozměrná, je podílem tepelné energie a energie elementárního vanta energie oscilátoru Váhový prostor nám opět zanese Plancovu onstantu i do nevantového výpočtu V lasicých veličinách Plancova onstanta přirozeným způsobem vymizí Dále již jen určíme jednotlivé termodynamicé veličiny: T F Tln Z Tln, F T S ln, T U F TS T Partiční suma je opět multipliativní v počtu částic, ostatní veličiny jsou aditivní Zapišme znovu přehledně dosažené výsledy pro lasicý oscilátor T T T! Z ; F T ln ; S ln ; U T (37) Pravděpodobnostní rozdělení apišme na závěr ještě pravděpodobnostní rozdělení v polohách a hybnostech lasicého oscilátoru s určenými normovacími onstantami (normovací onstanty jsou převrácenou hodnotou odpovídající části partiční sumy): 9

32 Jednoduché přílady m m x d wx ( ) exp d x, T T p d wp ( ) exp d p mt mt (37) Obě rozdělení mají charater Gaussova balíu a v principu jsou u souboru mnoha oscilátorů při dané teplotě možné i velmi velé výchyly z rovnovážné polohy a velé hybnosti Jsou ale velmi nepravděpodobné 30

33 Další přílady 36 DALŠÍ PŘÍKLADY 36 Kvantový oscilátor (vibrátor) Termodynamicé veličiny Problém jednoho harmonicého oscilátoru je definován vztahy (4) ˆ ˆ ˆ P ˆ H n En n ; H m X m Energeticé spetrum harmonicého oscilátoru (5) jsme odvodili v druhém dílu sylabu něolia způsoby (Schrödingerova, Diracova, Heisenbergova reprezentace): / En n, n n( ) nhn( )e ; n 0,,, ezávislá proměnná a normovací oeficienty jsou dány vztahy m x n / n ; n! yní již můžeme přistoupit výpočtu partiční funce, nejprve pro jeden oscilátor n ( n ) exp n z exp exp exp exp n0 T T n0 T T n0 T Zbylá řada je geometricá řada, terou lze snadno sečíst podle (V7), exponentem je vantové číslo n: T e z T T T e e e sh T Pro nezávislých oscilátorů je partiční funce příslušnou mocninou, Z sh T yní nalezneme standardním postupem volnou energii, entropii a vnitřní energii systému: F Tln Z T ln sh ; T F S ln sh cth ; T T T T U F TS cth T Shrňme dosažené výsledy (místo teploty použijeme oeficient ):! Z sh / ; F T ln sh / ; S ln sh / cth ( /) ; U cth ( /) (373) 3

34 Další přílady Poslední vztah pro vnitřní energii odvodil Albert Einstein v roce 906 alezněme střední energii soustavy harmonicých oscilátorů v limitě nízých a vysoých teplot: ) T 0 : ) T : U lim cth ( / ) T 0 U cth ( / ) T Případ nízých teplot je ryze vantový Při absolutní nule jsou všechny oscilátory v záladním stavu a vnitřní energie je rovna počtu oscilátorů rát energie záladního stavu Při vysoých teplotách jde naopa o ryze lasicý případ Střední tepelná energie je podstatně větší než záladní energeticé vantum a vnitřní energie je dána lasicým vztahem (37) Teplota, při teré je střední tepelná energie rovna vibračnímu vantu (argument exponenciel je roven jedné, T ) se nazývá vibrační teplota, označujeme ji T V Limita nízých teplot znamená T T, limita vysoých teplot znamená T TV Pro vibrační teplotu máme vztah V! T V (374) Pro různé vantové vibrátory (napřílad vibrující moleuly či rystalovou mříž) jde o charateristicou veličinu apřílad pro moleulu dusíu je vibrační teplota K a následujících obrázcích jsou vyresleny vypočtené průběhy vnitřní energie a tepelné apacity Při nízých teplotách je vnitřní energie dána nulovými mity ( / ), při vysoých teplotách je lineární funcí teploty K přechodu mezi oběma průběhy dochází v oolí vibrační teploty Při nízých teplotách vibrační stupně volnosti nepřispívají měrnému teplu Říáme, že při teplotách výrazně nižších, než je vibrační teplota, jsou vibrační stupně volnosti zamrzlé Při vysoých teplotách přispívají vibrační stupně volnosti měrnému teplu onstantní hodnotou U hω/ T C T V T<< T V T>> T V T T V T<< T V T>> T V T Každý vibrační stupeň volnosti přidává při vysoých teplotách tepelné apacitě systému hodnotu Tento vztah v rystalech experimentálně objevili francouzští chemici Pierre Louis Dulong ( ) a Alexis Thérèse Petit (79 80) v roce 89 Boltzmannovu onstantu můžeme interpretovat jao tepelnou apacitu jednoho harmonicého oscilátoru Pravděpodobnost nalezení vibrátoru v daném energeticém stavu Pravděpodobnost je dána Boltzmannovým fatorem ( n /) wn C exp T ormovací onstantu určíme buď z podmíny, že součet všech pravděpodobností je roven jedné, nebo si uvědomíme, že jde o převrácenou hodnotu partiční sumy Výsledný vztah je: ( n /)! wn sh e (375) Opět proveďme rozbor v limitě nízých a vysoých teplot: 3

35 Další přílady ) T TV : ) T TV : w w n n ( n /) pro n 0 lim sh exp T 0 T T 0pro n 0 ( n /) sh exp T T T T První případ je opět ryze vantový a vidíme, že při absolutní nule je obsazen jen záladní energeticý stav Druhý případ je naopa lasicý Při vysoé teplotě jsou všechny stavy zastoupeny rovnoměrně Pravděpodobnost nalezení vibrátoru v dané poloze Výpočet hustoty pravděpodobnosti lze provést buď přímo nebo pomocí triu, na terý přišel americý jaderný fyzi Felix Bloch ( ) Přímý výpočet by se vedl tato: Hˆ Hˆ * * n n nm m n n n nm, n ( x) x ˆ x x e x x n n e m m x w w Za vlnové funce se dosadí příslušné Hermitovy polynomy a za pravděpodobnosti rozdělení v energeticé reprezentaci (375) Je třeba jen sečíst příslušnou řadu Hermitových polynomů epřímé odvození Blochovým triem využije působení operátorů ˆp ˆ a ˆx ˆ v x reprezentaci a v Heisenbergově maticové reprezentaci: d Hˆ i x pˆ ˆ x x pˆe x npnw dx 0 0 n, i m w i m w w i m e w 0 Při výpočtu jsme použili maticového rozpisu operátoru hybnosti podle apitoly (43) Zcela analogicy budeme hledat působení operátoru ˆx ˆ : 0 0 Hˆ x x xˆ ˆ x x xˆe x X w 0 n, n n w m w w m e w m Působení obou dvou operátorů vede na tutéž řadu V tom právě tví geniální Blochův tri Vydělením obou zísaných rovností se zbavíme nepříjemné řady a zísáme jednoduchou rovnici 33

36 Další přílady 34 d i dx i m e x e m terá vede na diferenciální rovnici v separovaném tvaru d m th x dx Řešení je snadné, integrační onstantu určíme jao vždy z normovací podmíny: m! ( x) exp x ; ( T) th T (376) Tuto, dnes slavnou, Blochovu formuli odvodil F Bloch v roce 93 Formule má velý význam v teorii mitů rystalové mříže Odvoďme, ta jao v minulých případech, limitu při nízých a vysoých teplotách: m m x ) T TV : ( x) exp 0 ( x) ) T TV : m m x ( x) exp T T První případ odpovídá opět ryze vantovému řešení, jde o hustotu pravděpodobnosti oscilátoru v záladním vantovém stavu Případ vysoých teplot dává lasicý výslede (37) Přílad 8: Určete vibrační teplotu pro dvojici atomů, jejichž interace je popsána Morseovým potenciálem ( rr0) ( rr0) ( rr0) V( r) V 0 e V0 V0e 4V0e (377) Řešení: ejprve určíme minimum potenciální energie ta, že první derivaci položíme rovnu nule Snadno zjistíme, že minimum je v bodě r = r 0 Tuhost oscilací je při malých výchylách z rovnovážné polohy (37) rovna druhé derivaci potenciální energie v minimu Z tuhosti oscilátoru určíme frevenci: V( r 0) V0 m m yní již snadno odvodím vibrační teplotu: V0 TV m Z charateristicého průběhu potenciální energie lze snadno určit vibrační teplotu 36 Kvantový rotátor Prozoumejme nyní vlastnosti rotující částice s nenulovým momentem hybnosti L a nenulovým momentem setrvačnosti J Může jít napřílad o rotující dvouatomovou moleulu nebo nějaý podobný systém ejprve odvodíme partiční sumu pro systém tvořený jedinou moleulou Standardní translační vztah p /m u rotačních pohybů přejde v L /J:,

37 Další přílady L l( l) ; l 0,,, J J Využili jsme vztah (65) pro vantování veliosti momentu hybnosti esmíme zapomenout, že aždý taový energeticý stav je degenerován, vysytuje se l+ rát, jednotlivé stavy se stejnou energií se liší magneticým vantovým číslem m l, l,, 0,, l, l Proto v partiční sumě musíme aždý Boltzmannův fator vzít v úvahu tolirát, olirát je daný stav degenerován: ll ( ) ll ( ) z gl exp (l)exp l0 JT l0 JT Poprvé se setáváme s řadou, terá není analyticy řešitelná Tuto řadu můžeme sečíst jen numericy nebo v limitě nízých či vysoých teplot Oblast nízých a vysoých teplot je dána argumentem exponenciely Je-li argument roven jedné, dostáváme charateristicou teplotu, při níž je tepelná energie rovna rotační energii Vyjdeme-li ze vztahu JT, dostaneme pro tzv rotační teplotu vztah TR J (378) Rotační teplota je pro daný systém, podobně jao vibrační teplota, zcela charateristicou veličinou Hodnoty rotačních a vibračních teplot něterých plynů naleznete v tabulce: Plyn Rotační teplota Vibrační teplota 3 K 3340 K O K 30 K H 85 K 600 K HCl 5 K 440 K HC 30 K 500 K yní se pousíme sečíst řadu pro partiční sumu alespoň v limitě nízých a vysoých teplot ) T TR Při nízých teplotách exponenciely v řadě s rostoucím l prudce lesají, členy řady velmi rychle onvergují, a proto stačí vzít v úvahu první dva členy řady: z 3exp 3exp TR / T JT Standardním postupem určíme termodynamicé veličiny v limitě nízých teplot: R Z 3exp T / T, F Tln Z Tln 3exp TR / T, Druhý člen je malý, proto můžeme provést Taylorův rozvoj do prvního řádu ln(+x) ~ x a pro volnou energii máme jednodušší formulu F 3Texp T / T Standardním způsobem nalezneme entropii a vnitřní energii F TR S 3exp TR/ T6 exp TR/ T, T T U F TS 6T exp T / T R R R 35

38 Další přílady ) T TR Při vysoých T je obsazeno mnoho stavů s velým l a sumu nahradíme integrací: l 0 0 ll ( ) xx ( ) z (l)exp (x)exp d x JT JT V integrálu provedeme substituci xx ( ) : JT T z exp d JT TR 0 Standardním postupem určíme termodynamicé veličiny v limitě vysoých teplot: Z R T / T, F Tln Z Tln T/ T, F S ln T/ TR, T U F TS T Ja jsme mohli očeávat, dostáváme v limitě vysoých teplot lasicé výsledy Sepišme na závěr výsledy v limitě nízých i vysoých teplot do přehledné tabuly: R T TR T T R 3exp R / Z T / T R 3 exp / F Tln T/ T Z T T F T T T R T S TR T TR T T R 3 exp / 6 exp / S ln T/ T R R U 6T exp T / T U T R R (379) Situace je obdobná jao u oscilátoru Do rotační teploty není systém schopen absorbovat teplo Jeho stupně volnosti jsou zamrzlé ad rotační teplotou přispívá tepelné apacitě aždý rotátor hodnotou Boltzmannovy onstanty U C T 36 T R T>> T R T T R T>> T R U dvouatomárních moleul jsou rotační teploty podstatně nižší než vibrační Při postupném zahřívání plynu se nejprve uvolní rotační stupně volnosti a teprve později vibrační stupně volnosti Přílad 9: Určete nejpravděpodobnější rotační vantové číslo pro vantový rotátor (stav s nejvyšším zastoupením) Řešení: Pravděpodobnost, že se systém nachází ve stavu s vedlejším vantovým číslem l je ll ( ) T w ( )exp ( )exp ( ) R l A l A l l l JT T T

39 Další přílady Při nízých teplotách systém nerotuje, pravděpodobnost je téměř nulová Při vysoých teplotách nalezneme standardním postupem maximum (s proměnnou l budeme zacházet jao se spojitou proměnnou): wl T T 0 lmax l T T Z vypočteného vztahu můžeme zjistit typicá vedlejší vantová čísla rotujících moleul při dané teplotě 363 Dvouatomární plyn Uvažujme nyní systém složený z dvouatomových moleul s rozlišitelnými atomy (jina bychom se museli zabývat symetrií vlnových funcí) Ta se chová řada plynů Energie jedné moleuly bude složena z translační energie, vibrační energie, rotační energie a energie dalších (napřílad jaderných) stupňů volnosti Partiční suma pro jednu moleulu bude součinem partičních sum jednotlivých stupňů volnosti a termodynamicé veličiny budou součtem odpovídajících členů: tr vib rot nucl ( ) e tr vib z rot e tr d e vib e rot z z z Celová partiční suma pro částic potom bude: tr vib rot R Z z z z R tr vib rot Záladní termodynamicé veličiny jsou podle své definice aditivní a bude pro ně platit F Tln Z Ftr Fvibr Frot, F S Str Svibr Srot, T U F TS U U U, tr vibr rot U C C C C V tr vibr rot T V Zoumejme nyní příspěve tepelné apacitě jednotlivých stupňů volnosti: Translační stupně volnosti 3 U 3 Utr T c T V Translační stupně volnosti přispívají měrné tepelné apacitě plynu (tepelná apacita vztažená na počet částic) onstantní hodnotou Vibrační stupně volnosti U Uvib cth c sh T T T T V a následujících obrázcích jsou vyresleny vypočtené průběhy Při nízých teplotách je vnitřní energie dána nulovými mity ( / ), při vysoých teplotách je lineární funcí teploty K přechodu mezi oběma průběhy dochází v oolí vibrační teploty Při nízých teplotách vibrační stupně volnosti nepřispívají měrnému teplu Říáme, že při teplotách rot tr vibr rot 37

40 Další přílady výrazně nižších, než je vibrační teplota jsou vibrační stupně volnosti zamrzlé Při vysoých teplotách přispívají vibrační stupně volnosti měrnému teplu onstantní hodnotou Provedeme-li limity malých a velých teplot, dostaneme: T TV U /, C 0 ; c0 ; T TV U T, C, c Každý vibrační stupeň volnosti přidává při vysoých teplotách tepelné apacitě plynu hodnotu Boltzmannovu onstantu můžeme interpretovat jao tepelnou apacitu jedné vibrující moleuly Rotační stupně volnosti Pro rotační stupně volnosti neznáme analyticý průběh vnitřní energie a tepelné apacity při onstantním objemu Známe ale hodnoty v limitě nízých a vysoých teplot vzhledem rotační teplotě, viz (379): T TR U 6TR exp TR / T, C 0 ; c0 ; T TR U T, C, c Vidíme, že rotační stavy přispívají měrnému teplu stejným způsobem jao vibrační stavy, příspěve se projeví při teplotách vyšších než je rotační teplota Při teplotách nižších jsou rotační stavy opět zamrzlé Každý rotační stav přispěje tepelné apacitě opět hodnotou Boltzmannovy onstanty Výsledný průběh měrné tepelné apacity má schodovitý charater: C T R T V T Při zvyšování teploty přibývají další a další stupně volnosti, aždý rozmrzlý stupeň volnosti přispěje měrné tepelné apacitě hodnotou Translační stupně přispívají měrné tepelné apacitě nezávisle na teplotě hodnotou / Poznáma: U yanu HC odpovídá přechod mezi druhou a první rotační hladinou vlnové délce 3 mm, což oresponduje s vlnovým maximem relitního záření Právě relitní záření proto způsobuje rotační excitace mezihvězdného yanu 364 Anharmonicý oscilátor Velmi zajímavá situace nastane, poud v Taylorově rozvoji potenciální energie v oolí minima je důležitý i třetí (asymetrie minima) nebo doonce čtvrtý člen yní již nejde o harmonicé oscilace, ale o anharmonicý oscilátor s energií ve tvaru p m x 3 4 E a3x a4x (380) m Za předpoladu vysoé teploty ( BT ) můžeme počítat lasicou partiční sumu pro nezávislých oscilátorů Za nízé teploty by se problém musel řešit vantově Pro jeden oscilátor máme: 38

41 Další přílady 3 4 [ E] dpdx p m x ax 3 a e exp 4x z dpdx mbt BT BT BT 3 4 B m x 3 4 exp exp BT BT BT m T ax a x dx (38) Je třeba poznamenat, že jaoli malý anharmonicý člen třetího řádu vede neonvergentnímu integrálu (38) Konvergenci zajišťuje přítomnost členu 4 řádu s a4 0 yní budeme předpoládat, že anharmonicé členy jsou malé ve srovnání s harmonicým a provedeme rozvoj druhé exponenciely do druhého řádu v argumentu: 3 4 B m x exp 3 4 BT BT BT BT m T ax a x z a x a x dx Jde o součet Gaussových integrálů s různými mocninami x násobícími záladní exponencielu Integrály s lichými mocninami jsou nulové, ponecháme sudé do šestého řádu v x: 4 6 B m x a4x a3 x exp BT BT BT m T z dx Po triviálním výpočtu za pomoci vztahu (V), nebo v Mathlabu, Mathematice, atp dostaneme m B T BT a4bt 5 3 B B 4 B 5 3 B 3 a T T a T z 3 a T m m m m m BT a4bt 5 a3bt Z m m (38), yní určíme standardním způsobem termodynamicé veličiny T B at 4 B 5 at 3 B F Tln Z Tln m m (383) at 4 B a3bt BT a4 TB 5 a3bt B at 4 B B F S ln 3 m m, T m m a T m m at 4 B a3bt m m at 4 B 5 a3bt B at 4 B 5 a 3 3BT m m U F TS T T, m m U 5a3 6a C 4 B B T T m m 39

42 Další přílady Vidíme, že anharmoničnost vibrací v rystalech nebo moleulách vede narušení Dulongova Petitova záona V tepelné apacitě se objevuje lineární a případně i vadraticý člen v teplotě Poznamenejme, že poud položíme čtvrtou mocninu x v rozvoji energie (380) přesně rovnou nule, nebude integrál (38) onvergovat a systém bude nestabilní, při rostoucí výchylce z rovnováhy půjde potenciální energie neonečné hodnotě Poud budeme předpoládat, že čtvrtá mocnina x v rozvoji je byť jen velmi malá, zajistíme onvergenci integrálu i stabilitu zoumaného systému 365 Dvouhladinový systém alezněme chování vantového systému s dvěma blízými energeticými hladinami 0 = 0 a = s degeneračními fatory g 0 a g Partiční suma pro jednu částici bude mít jen dva členy yní budeme postupovat standardně: Z g0 gexp ( ), z g 0 g exp ( ) F Tln Z T ln g0 gexp ( ), F g0 S ln g0 gexp ( ) ; g, T g exp( ) g U FTS C c V V U T CV g g g exp( ) exp ( ) g exp( ) exp ( ) g exp( ), Dostali jsme velmi známý vztah pro příspěve dvouhladinového systému měrnému teplu Příspěve onverguje nule v oblasti nízých i vysoých teplot To znamená, že existuje teplota, při teré je příspěve měrnému teplu maximální Maximum je možné určit numericy, pro g = vychází c max ~ 0,34 c c V / max,

43 Grandanonicé rozdělení 37 GRADKAOICKÝ SOUBOR 37 Odvození rozdělení a rozdíl od anonicého rozdělení připouštíme u grandanonicého rozdělení výměnu částic s oolím Ostatní E, předpolady jsou stejné jao u anonicého rozdělení Systém samozřejmě může s oolím vyměňovat energii, zanedbáme povrchové jevy a jediným vnějším parametrem systému bude prozatím objem Opět předpoládáme platnost Liouvillova teorému První větu termodynamicou budeme psát ve standardním tvaru (pro jednoduchost uvažujeme jeden druh částic): du T d S p dv d (384) Vzhledem tomu, že ve statistice znamená oamžitý počet částic v systému, musíme střední počet v první větě označit symbolem s pruhem Pravděpodobnostní rozdělení v disrétním, resp spojitém případě označíme wn wn ( E); resp ( E) (385) Index n čísluje vantové stavy systému, index počet částic v systému Požadujeme aditivnost v energii a počtu částic systému a jeho oolí: Etot E E ; tot (386) Podobně jao v anonicém případě požadujeme nezávislost (multipliativnost) pravděpodobnostních rozdělení systému a oolí: wn( E E) wn( E) wn( E) (387) Řešením je jedině exponenciální funce typu c cen c3 E e e n wn (388) Konstanty lineární ombinace jsme označili,, a určíme je v následující apitole 37 Konstanty rozdělení Při určení onstant budeme postupovat obdobně jao u anonicého rozdělení, tj porovnáme diferenciál vnitřní energie s termodynamicým vztahem Postup je poněud pracný a student, terého to nezajímá, si může přečíst výslede na onci této apitoly V principu pro určení tří onstant musíme využít tři rovnice: jde o normování pravděpodobnosti, středování energie a středování počtu částic (poslední rovnice nebyla třeba u anonicého rozdělení) Problém můžeme řešit ja disrétně, ta spojitě (v levém sloupci naleznete disrétní vztahy, v pravém spojité analogie): n, n, n, w, ( E) d, n E w U, E ( E) d U, n n w ( E) d n ', E', S' ES,, (389) I ve spojitém případě musíme sčítat přes všechny možné počty částic Odvození budeme provádět v disrétním případě Podobně jao u anonicého rozdělení nejprve nalezneme diferenciál vnitřní energie: 4

44 Grandanonicé rozdělení En En du d E ( V ) w dv d w E dw n n n n n n, n, V n, Derivaci energie podle objemu budeme opět interpretovat jao parciální tla, změna energie s počtem částic je parciální chemicý potenciál, v posledním členu vyjádříme E n z rozdělení (388): du p w dv w d ln w dw n n n n n n n, n, n, První člen interpretujeme stejně jao u anonicého rozdělení jao mechanicou práci Poslední člen roznásobíme a vytneme onstanty: du pdv n wnd dwn d wn ln wn dwn n, n, n, n, Třetí a pátý člen upravíme podle vztahu pro derivaci součinu fdg = d(fg) gdf, čtvrtý člen je nulový (součet pravděpodobností je roven jedné a diferenciál jednoty je nulový): du pdv n wnd d wn wn d d (ln wn ) wn n, n, n, n, Jao jeden z posledních roů sloučíme druhý a čtvrtý člen: du pdv w d d d w ln w n n n n n, n, Má-li tento výraz orespondovat s první větou termodynamicou ve tvaru (384), musí být!,, S wn ln wn (390) T T Druhá podmína ( / = ) nám zajistí orespondenci třetího členu s odpovídajícím členem první věty termodynamicé a současně vypadnutí členu druhého Ostatní podmíny jsou shodné anonicým rozdělením V tuto chvíli tedy máme určeny dvě onstanty Zbývá jediná neurčená onstanta rozdělení onstanta Tu určíme napřílad ze vztahu pro entropii: n n n n n, n, S w ln w w E U Po triviálním výpočtu určíme hledanou onstantu:! n, U TS (39) T T yní známe všechny onstanty a můžeme napsat výsledné rozdělení v disrétním i spojitém případě: ( E ) ( )! e n E ; e w (39) n Grandanonicý potenciál zjevně souvisí s normováním pravděpodobnosti, použijeme-li explicitně vypsanou normovací onstantu, má rozdělení často používaný tvar En E! wn K exp ; K exp T T (393) 4

45 Grandanonicé rozdělení 373 Partiční suma Podobný význam, jao měla volná energie u anonicého rozdělení, má grandanonicý potenciál u systémů s proměnným počtem částic Grandanonicý potenciál vypočteme z normovací podmíny rozdělení Výpočet provedeme v disrétním (nalevo) i spojitém (napravo) případě wn d n, n, n, ( E ) e n ( E ) e d E e n E e e d e E ln e n ln e E d n, E ln e n E T ln e T d n, Veličina nacházející se v logaritmu v ulaté závorce se nazývá grandanonicá partiční funce a je ústřední veličinou statisticé fyziy s proměnným počtem částic, označujeme ji Vzhledem tomu, že argument logaritmu by měl být bezrozměrný, je použití váhového fatoru namísto fázového objemu vhodnější Schéma statisticého výpočtu s proměnným počtem částic: Zjistíme, jaých energií E n může systém nabývat V lasicém případě jde o všechny hodnoty energií, teré se v systému mohou vysytnout V vantovém případě musíme určit spetrum Hamiltonova operátoru (napřílad řešit Schrödingerovu rovnici) alezneme partiční funci jao součet veličin e přes celý obor energeticého spetra: e En ; resp E e d E (394) n, 3 Určíme grandanonicý potenciál 4 Určíme záladní termodynamicé veličiny S, p, : T ln (395) S, p, T V 5 Určíme vnitřní energii U a její derivace: (396) U TS (397) 6 Vzhledem tomu, že grandanonicý potenciál je funcí chemicého potenciálu, je třeba ho ze všech odvozených termodynamicých vztahů vyloučit Teoreticy to lze provést z relace wn (, T, V) (398) n, 43

46 Grandanonicé rozdělení Praticy může vyloučení chemicého potenciálu z rovnic činit problémy Chemicý potenciál lze taé chápat jao parametr v parametricém zadání řive Poznáme-li napřílad z (396) závislosti p p( T, V, ) a ( T, V, ) můžeme do grafu s osami ( p, ) vyreslovat souřadnice ( p, ) pro určitý interval hodnot a tím zonstruovat graficy závislost tlau na průměrném počtu částic Vztah grandanonicé a anonicé partiční sumy Upravme nyní vztah pro grandanonicou partiční sumu: E e n E e n e n, n Označíme-li Z anonicou partiční sumu pro částic a zavedeme tzv fugacitu dostaneme přehledný vztah e, (399) Z (300) Uvedený vztah platí v lasicé fyzice, de jsou v systému částic jednotlivé částice v principu rozlišitelné V vantové teorii jsou částice nerozlišitelné a aždá z! možných permutací částic je stejným stavem Ve vztahu (300) je aždá permutace v součtu započítána, to znamená, že jeden stav je započten namísto jednou vícerát (! rát) V vantové teorii je proto správným vztahem výraz Z, (30)! terý silně připomíná Taylorův rozvoj v proměnné nazývané fugacita Koeficienty jsou anonicé partiční sumy pro částic 44

47 Fermiony a bosony 38 FERMIOY A BOSOY erozlišitelné částice V vantové teorii můžeme předpovědět jen pravděpodobnost výsytu částice v nějaém místě a čase Tato pravděpodobnost má maximum v místě lasicé trajetorie a se vzdáleností od ní zpravidla exponenciálně ubývá a dosti daleo od lasicé trajetorie je sice velmi malá, nioli vša nulová Máme-li dvě stejné částice, nidy si nemůžeme být jisti, terá částice je terá Pravděpodobnost výsytu jedné částice v místě druhé je nenulová Hovoříme o tom, že stejné částice jsou v vantové teorii nerozlišitelné To ve svém důsledu vede rozdělení všech částic na dva záladní typy, fermiony a bosony, teré se liší svými vlastnostmi a chováním (viz apitola 8) Fermiony mají poločíselný spin, dva nemohou být ve stejném vantovém stavu (splňují Pauliho vylučovací princip), jejich vlnová funce je antisymetricá a jejich reační a anihilační operátory splňují omutační relace aopa bosony mají celočíselný spin, ve stejném vantovém stavu jich může být libovolné množství, jejich vlnová funce je symetricá a jejich reační a anihilační operátory splňují antiomutační relace Všechny intermediální částice tvořící interace (fotony, gluony, W +, W, Z 0 ) jsou bosony se spinem K bosonům taé patří částice složené ze dvou varů (mezony), teré mají spin roven 0 (salární mezony) nebo (vetorové mezony) Všechny záladní stavební ameny hmoty (vary a leptony) jsou naopa fermiony se spinem / K fermionům taé patří částice složené ze tří varů (hadrony), napřílad neutron a proton Z hledisa statistiy mají, zejména při nízých teplotách, fermiony a bosony zcela odlišné chování a jejich pravděpodobnostní rozdělení jsou různá Fermiony podléhají Fermi-Diracovu rozdělení a bosony Bose-Einsteinovu rozdělení Reprezentace obsazovacích čísel Obsazovacím číslem nazýváme počet částic v daném energeticém stavu: Energie stavu Obsazovací číslo Pro fermiony může obsazovací číslo (z důvodu platnosti Pauliho vylučovacího principu) nabývat jen hodnot 0, Pro bosony může jít o jaéoli celé nezáporné číslo 0,,, V reprezentaci obsazovacích čísel můžeme pro počet částic a celovou energii psát i, i (30) E i i i Grandanonicou partiční sumu můžeme upravit v reprezentaci obsazovacích čísel tato: ' E e n exp ( ii i) exp i( i ) n,,, i i Čára v prvním součtu má naznačit, že všechny permutace částic považujeme v vantové teorii za jeden jediný stav a do celového součtu přispějí tyto permutace jediným členem Je vidět, že celová grandanonicá suma se rozpadá na součin parciálních grandanonicých sum jednotlivých stavů: i ; i exp i( i ) (303) i V důsledu toho jsou termodynamicé veličiny dány součtem příslušných parciálních členů: i i 45

48 Fermiony a bosony ; T ln, i i i i i S Si ; Si, i T i p pi ; pi, i V i i ; i i (304) 38 Fermiho-Diracovo a Boseho-Einsteinovo rozdělení Fermi-Diracovo rozdělení Zabývejme se nejprve fermiony Podle Pauliho vylučovacího principu nemohou být dva fermiony ve stejném vantovém stavu V daném stavu tedy není buď žádný fermion, nebo je přítomen jeden jediný 46 0, (305) Partiční suma i-tého stavu má proto v reprezentaci obsazovacích čísel jen dva členy: i exp ( ) exp ( ) i i i i i Snadno dopočteme grandanonicý potenciál i-tého stavu T ln T ln exp ( ) i i i a střední počet částic v i-tém stavu i! i exp ( ) i (306) Tento výraz se nazývá Fermiho-Diracovo rozdělení alezněme jeho průběh v limitě nízých teplot ( T 0, ): lim i lim proi, exp ( i ) 0pro i Všechny stavy jsou zaplněné po jedné částici až po tzv Fermiho mez F ad Fermiho mezí jsou stavy neobsazené Fermiho mez je ta poslední obsazenou energeticou hladinou při nulové teplotě Chemicý potenciál je při absolutní nule roven Fermiho mezi Fermiony se chovají nesnášenlivě Je-li nějaý stav obsazen částicí, další částice již tento stav nemůže obsadit Při absolutní nule se snaží zaujmout stav s co nejnižší energií Jeli již obsazen, obsadí nejbližší další volný Tím dojde tomu, že při absolutní nule jsou obsazené všechny stavy až po Fermiho mez Bose-Einsteinovo rozdělení alezněme nyní rozdělení souboru bosonů Bosony nesplňují Pauliho vylučovací princip a v daném stavu jich může být libovolné množství Obsazovací čísla proto jsou: 0,,, (307) Grandanonicá partiční suma i-tého stavu bude neonečnou řadou i i T = 0 F = T > 0 i

49 Fermiony a bosony i exp ( ) exp ( ) i i i i 0 0 i Jde o geometricou řadu, terou bez problémů sečteme: i exp ( ) Snadno dopočteme grandanonicý potenciál i-tého stavu T ln T ln exp ( ) i i i a střední počet částic v i-tém stavu i! i exp ( ) Tento výraz se nazývá Bose-Einsteinovo rozdělení Povšimněte si, že od Fermi-Diracova rozdělení se liší jen znaménem To je pro vztahy popisující fermiony a bosony typicé (symetricá a antisymetricá vlnová funce, omutátor a antiomutátor) Z podmíny pro onvergenci geometricé řady plyne, že chemicý potenciál souboru bosonů musí splňovat podmínu i i i i T = 0 T > 0 (308) (309) i 0 (30) alezněme průběh rozdělení v limitě nízých teplot ( T 0, ): lim i pro i 0, lim exp ( i ) 0pro i 0 Mlčy jsme při součtu geometricé řady předpoládali neonečný počet částic Při absolutní nule všechny obsadí záladní energeticý stav V reálných systémech je počet částic onečný Stav láty při teré se částice hromadí v záladním stavu nazýváme bosonový ondenzát Typicým příladem jsou napřílad Cooperovy páry eletronů, teré při nízých teplotách vyazují jao bosonový ondenzát supravodivé a suprateuté vlastnosti Obě rozdělení lze je souhrnně zapsat i exp ( ) Znaméno + platí pro fermiony a pro bosony Za jaých podmíne obě rozdělení splynou? Je zřejmé, že tomu dojde tehdy, lze-li zanedbat jedniču ve jmenovateli, tj exponenciela převládne a i Potom i i exp i exp ( ) K a obě rozdělení přechází v Boltzmannovo rozdělení Kvantové stavy jsou většinou prázdné a jen tu a tam je něterý obsazený K této situaci dochází, je-li - vysoý počet vantových stavů, - řídý plyn (malý počet částic), - vysoé teploty (částice excitovány do vysoých energeticých stavů) Shrňme na závěr vlastnosti fermionů a bosonů do přehledné tabuly: i i 47

50 Fermiony a bosony Fermiony Bosony Spin /, 3/, 0,,, Hamiltonián H(, ) H(,) H(, ) H(,) Vlnová funce,,,, Kreační a anihilační operátory a, a l l a, a l l Statistia i exp ( ) i exp ( ) i i 38 Soubor fotonů (Plancův vyzařovací záon) Fotony jsou částice eletromagneticé interace šířící se rychlostí světla Jejich záladní charateristiy (spin, chemicý potenciál, lidová hmotnost, eletricý náboj) jsou 48 s m0 Q e ; 0; 0; 0 (3) Mezi částicovými a vlnovými vlastnostmi platí převod daný de Broglieho relacemi (), p (3) Ze vztahu pro fázovou rychlost určíme snadno vztah mezi energií a hybností pro částice s nulovou lidovou hmotností (jen ty se šíří rychlostí světla): c pc (33) p Tento vztah nahrazuje pro částice s nulovou lidovou hmotností vztah = p /m Představme si soubor fotonů uzavřený v nějaé oblasti o objemu V při teplotě T a fotony budeme v prvním přiblížení nahlížet jao na spojitý systém (WKB aproximace) a určíme element váhového prostoru systému sládajícího se z jednoho fotonu Degenerační fator g =, protože eletromagneticé záření je příčné a existují dva nezávislé příčné mody (polarizace) záření U elementu váhového fatoru provedeme automaticy všechny triviálně proveditelné integrace, element hybnostního prostoru převedeme do sféricých souřadnic a hybnost převedeme podle vztahu (33) na energii: d dx dy dz dpxdpy dpz V V d g 4 p dp d ( ) ( ) ( ) c Zísali jsem ta vztah pro hustotu energeticých stavů, terá vadraticy roste s energií stavu: V d ( ) d ; ( ) (34) 3 3 c apišme přehledně další záladní statisticé a termodynamicé veličiny pro jeden stav: e, (35) e 0 T ln T ln e, (36) lim 0 e (37)

51 Fermiony a bosony Všechny tyto vztahy již byly odvozeny dříve, viz např (306), stačilo jen položit 0 yní přistoupíme výpočtu celových termodynamicých veličin: V d T ln e d c 0 Vznilý integrál budeme řešit per partes 3 3 V T ln e d 3 3 c e První člen ve složené závorce je nulový, druhý je snadno řešitelný (V9), ale pro tuto chvíli ho ponecháme v nevyřešeném tvaru (podobný integrál pro fermiony nebude řešitelný a chci, abyste viděli, že i bez řešení integrálu zísáme jednoduché vztahy): V c d e yní určíme střední počet fotonů, tla, vnitřní energii a hustotu vnitřní energie: (38) V d e d, (39) c V 3 3 c 0 3 p d 3, (30) e 3 V U d e d, (3) c U u d V 3 3 (3) c 0 e Všimněte si, že i bez provedení integrace zjistíme porovnáním rovnic (30) a (3) vztah mezi tlaem záření a hustotu energie! p u (33) 3 Ze vztahu 36 nalezneme snadno diferenciál hustoty energie 3 du d (34) 3 3 c e To energie neboli intenzitu záření ( I uc) můžeme nyní snadno napsat jao funci energie stavu, úhlové frevence ( ) nebo vlnové dély ( c/ ): di( ) d ; 3 c exp T di( ) d ; c exp T (35) (36) 49

52 Fermiony a bosony 5 di ( ) 6 c c d exp T (37) Jde o slavný Plancův vyzařovací záon odvozený v roce 90 Asi nejčastěji se používá intenzita záření připadající na frevenční interval di/ d Průběh vidíme na přiloženém obrázu di/ d IR UV Pro nízé frevence je di/ d (ve jmenovateli exp[ x] x ) Pro vysoé frevence dominuje exponenciela a platí di/ d exp[ / T ] Vztah pro nízé frevence se nazývá Rayleigh-Jeansův záon Byl znám před objevem Plancova záona Vztah diverguje pro vysoé frevence (tzv UV atastrofa) Přílad : alezněte vlnovou délu maxima vyzařování Řešení: Toto maximum je závislé na teplotě a určíme ho derivováním vztahu (36): 3 d 0 exp 3 exp d exp T T T T Výsledná rovnice je transcendentní rovnice typu x x e 3 e, terou lze snadno řešit numericy nebo graficy, vyjde x 0 =,8 a proto max,8 T Převedením na vlnovou délu zísáme Wienův posunovací záon: b! max ; b 0,0089 K m (38) T Čím teplejší těleso, tím na ratších vlnových délách vyzařuje Relitní záření (T ~ 3 K) má maximum pro vlnové dély přibližně mm, člově (T ~ 300 K) pro vlnové dély asi 0 m, chladné hvězdy (T ~ 3000 K) vyzařují v IR oboru na délce asi 000 nm, hvězdy jao Slunce (T ~ 6000 K) ve viditelném spetru na vlnové délce 500 nm a velmi horé hvězdy (T ~ K) vyzařují v UV na vlnové délce 00 nm Přílad : alezněte celovou vyzářenou energii za jednotu času z jednotové plochy tělesa Řešení: Intenzita vyzářená v daném směru (, ) na frevenční interval d a prostorový úhel d je podle (36) rovna (celý prostorový úhel je 4) 3 I di( )cos d cos d d ; 4 c exp T 0 0 x FOTOY Vztah budeme integrovat přes celé frevenční spetrum a přes vnější prostorovou poloouli: 50

53 Fermiony a bosony / 3 I cos sin d d d 4 exp T c Integrace přes úhly je triviální a dává I 4 c Jao poslední ro provedeme substituci x 3 0 exp d T T : (V9) 4 x exp 3 3 c x 5 0 c c I T dx T T Výsledem je známý Stefanův-Boltzmannův záon! ; 5,8 0 Wm K 3 I T 60 c (39) Přílad 3: alezněte závislost hustoty energie záření na rozměrech Vesmíru při jeho expanzi Řešení: Celý Vesmír nemá žádné oolí se terým by si vyměňoval tepelnou energii a proto je doonale tepelně izolovaný, dq = 0 Jao cele Vesmír nevyměňuje částice s oolím, a proto z první věty termodynamicé zůstane jen du p dv, duv ( ) udv, 3 duv ( ) udv 0, dur ( ) udr 0, 3 3 R du 3R udru R dr 0, du dr 4 0, u R 4 ln ur K u 4 R Hustota energie záření lesá rychleji než hustota energie hmoty To je dáno tím, že s rostoucím objemem lesá hustota jao /R 3, ale navíc se při expanzi prodlužuje vlnová déla fotonů, terá expanzi Vesmíru sleduje Tím se dále snižuje energie fotonů a výsledný poles je roven /R 4 Poznámy Při odvození Plancova záona jsme váhový fator odvodili spojitě Fotony jsme si ale mohli představit jao stojaté vlny v rabici ve tvaru vádru, teré mají vlnové vetory ve směru souřadnicových os a uzly na hranicích vádru Výslede by byl stejný jao při našem odvození Známé problémy s vyzařováním absolutně černého tělesa z once 9 století byly dány využitím lasicých vztahů pro energii a počet částic du ( ) d T K d d Tyto úvahy vedly na chybný Rayleigh-Jeansův vztah, terý nebyl v souhlasu s experimentem a dával jen nízofrevenční část Plancovy řivy 5

54 Fermiony a bosony 383 Soubor fermionů (bílý trpaslí, neutronová hvězda) V závěrečných fázích vývoje hvězd může snahu gravitace zhroutit hvězdu do černé díry zastavit tla degenerovaného eletronového planu (bílý trpaslí) nebo degenerovaného neutronového plynu (neutronová hvězda) Proto se budeme zabývat souborem fermionů nenulové hmotnosti Výpočet bude podobný jao v předchozí apitole, jen vztahy pro energii a pro hustotu energeticých stavů se budou lišit Záladní charateristiy obou částic jsou s / ; 0 ; m 0 (330) enulovost chemicého potenciálu znamená provést dopočet podle vztahu (398), nenulovost lidové hmotnosti znamená jiný vztah mezi hybností a energií stavu než v minulé apitole: p ; p m ; dp m / m d (33) Určeme nyní element váhového fatoru / d x d p gv gv d g p dp m m d ; ( ) ( ) ( ) / gm d ( ) d ; ( ) V ; (33) 3 a rozdíl od souboru fotonů neroste s energií počet vantových stavů ta drasticým způsobem, přesto má rostoucí tendenci a pro vyšší energie lze hustotu energeticých stavů považovat za téměř spojitou () fotony () 0 3/ eletrony, neutrony téměř spojité téměř spojité Určeme statisticé a termodynamicé veličiny odpovídající jednomu energeticému stavu: ( ) e ( ) e ; (333) 0 ( ) T ln T ln e ; ; ( ) e U ( ) e (334) (335) (336) yní nalezneme integrální veličiny, podobně jao v minulé apitole je třeba grandanonicý potenciál integrovat per partes Výpočty jsou jina zcela přímočaré: d V d ; 3 (337) ( ) e 0 0 3/ 3/ p d ; V 3 (338) ( ) e 5

55 Fermiony a bosony 0 / d V ; ( ) e d (339) 0 3/ U U d V ( ) e d (340) Integrály v jednotlivých vztazích je nutné nalézt numericy, ale i bez jejich výpočtu je patrný vztah mezi tlaem a hustotou vnitřní energie pro fermiony o nenulové hmotnosti:! p u (34) 3 Hvězdy ve fázích bílého trpaslía nebo neutronové hvězdy jsou v závěrečných fázích svého vývoje V centru neprobíhá termojaderná fúze, a i dyž teplota nitra je z lidsého hledisa značná, z hledisa ativního života hvězdy je zanedbatelná a pro hvězdu v podstatě znamená nulovou teplotu V limitě nízých teplot ( ) lze integrály snadno vypočíst, protože pro 0 ( ) e 0 pro 0 a integrace se ta stává triviální záležitostí: 5/ 5/ 3/ 5/ 4 V 4 0 ; p 0 ; V 0 ; U V Povšimněme si intenzivních veličin (tla p, oncentrace částic V, / hustota energie UV): / 4 5/ 3/ 5/ p 0 ; n 0 ; u 0 (34) Chemicý potenciál je parametrem rovnic a lze ho vyloučit z rovnice pro oncentraci částic: /3 5/3 3! 0 const n pconst n ; u p Fermionový plyn vyazuje polytropní chování s oeficientem 5/3 I při nulové teplotě existuje obrovsý nenulový tla způsobený vantovými procesy ( nesnášenlivostí fermionů) Plyn se střední tepelnou energií menší než Fermiho mez (T < 0) nazýváme degenerovaný V případě relativisticého výpočtu vyjde polytropní oeficient 4/3, což je právě na hranici stability a nestability polytropní hvězdy STABILÍ KOFIGURACE HVĚZDY BEZ TJ SYTÉZY M/M M/M Oppenheimer -Landau -Volovova mez Oppenheimer-Landau-Volovova mez,44 44 Chandraseharova mez Chandraseharova mez EUTROOVÉ HVĚZDY BÍLÍ TRPASLÍCI R/R 53

56 Flutuace a entropie 39 FLUKTUACE A ETROPIE 39 Flutuace V minulých apitolách jsme zavedli střední hodnotu dynamicé proměnné A středovanou přes soubor A Aw n Definujme nyní odchylu veličiny A od střední hodnoty A A A (343) Střední hodnota odchyle je samozřejmě nulová (je zhruba stejně ladných i záporných odchyle od střední hodnoty): A 0 (344) Chceme-li přesto znát průměrnou veliost odchyle, musíme průměrovat buď absolutní hodnoty odchyle nebo vadráty odchyle (průměr z vadrátů je třeba samozřejmě naonec odmocnit): n n A A ; A A (345) abs Druhá z veličin se nazývá střední vadraticá flutuace veličiny A Velý význam má ve statistice i sama neodmocněná veličina (průměr z vadrátů odchyle, rozptyl, variance nebo druhý centrální moment veličiny A): v var A A A A A AA A A A A A A Pro jednoduchost zápisu jsme pro střední veličiny použili pruh nad proměnnou Výslede je samozřejmě možné zapsat standardním způsobem: var A( A) A A (346) Flutuace různých fyziálních veličin úzce souvisí s důležitými charateristiami systému apřílad flutuace veliosti rychlosti v souvisí s teplotou, flutuace energie E souvisí s měrným teplem, flutuace počtu částic s ompresibilitou systému a flutuace magnetizace M (hustoty dipólového momentu) se susceptibilitou Tyto charateristiy systému lze relativně snadno experimentálně měřit Při počítačových simulacích je naopa snadné sledovat flutuace simulovaných veličin a z nich usuzovat na měrná tepla, ompresibilitu a susceptibilitu systému Uveďme nyní vztahy pro flutuace něterých veličin: T T var v (3 8/ ) ; var v 6 ; m m var E T C ; var S Cp; (347) V T var T K ; var M V V V uvedených vztazích je C tepelná apacita, K omprese a susceptibilita: C U ; K V ; M T p H 0 (348) Odpovídající intenzivní veličiny jsou měrné teplo (měrná tepelná apacita) a ompresibilita: 54

57 Flutuace a entropie U V c ; K (349) T V p V této apitole se budeme zabývat flutuací rychlosti a energie V apitole 30 doážeme vztah pro flutuaci magnetizace Důazy ostatních vztahů přesahují rámec tohoto sylabu Čtenář je nalezne v aždé učebnici statisticé fyziy (např J Kvasnica: Statisticá fyzia, ACADEMIA 983) Flutuace rychlosti Odvoďme první ze vztahů pro flutuace veliosti rychlosti Využijeme při tom hodnotu střední vadraticé rychlosti a střední rychlosti ze vztahu (366): 3T 8T T var v v v vv vs (3 8/ ) m m m Přímým výpočtem z Maxwellova rozdělení můžeme odvodit vztah pro flutuace vadrátu rychlosti: 4 T m varv v v 6 / Flutuace energie Spočtěme z definice tepelnou apacitu při stálém objemu U (, ) ( ) V n n n ( )exp FTV En V C E w E V T T n T n T C V n E n F T ( F E n) T F En exp ( T ) T ST ( F E ) C E w n V n n n ( T ) Zísaný výraz rozdělíme na jednotlivé členy a ze součtu vytneme veličiny, přes teré se nesčítá: S F CV Enwn En wn E n wn T T T n n n yní jsou již úpravy jednoduché: S F CV U U E T T T ( F TS) U E UU E E E CV T T T Rozptyl energie proto je var E E E T C V Tím jsme doázali třetí z flutuačních vztahů Tepelná apacita je dána flutuacemi energie systému!! Kdyby energie neflutuovala, systém by měl nulovou tepelnou apacitu Relativní flutuace energie (disperze) Předpoládejme ideální plyn, pro terý je U f T/ a CV f / Určeme relativní flutuaci energie (disperzi) definovanou vztahem 55

58 Flutuace a entropie E E T CV ( E ) E U f E Disperze je bezrozměrná veličina charaterizující flutuace energie systému Čím větší počet částic systém obsahuje, tím menší flutuace vyazuje Systémy s velým počtem částic mají minimální relativní flutuace celové energie Systémy s malým počtem částic mají velé relativní flutuace energie Flutuace fyziálních veličin mají ve fyzice mimořádný význam Sama příroda na nejelementárnější úrovni nutí veličiny flutuovat Malá flutuace libovolné zobecněné souřadnice vede podle Heisenbergových relací neurčitosti na velou flutuaci odpovídající zobecněné hybnosti a naopa I sama vantová pole lze chápat jao zobecněné souřadnice a přísluší jim zobecněné hybnosti Ani u polí nelze flutuace potlačit a jsou jim vlastní Zodpovídají za tvorbu virtuálních párů ve vauu i za samotnou složitou struturu časoprostoru v malých měřítcích Flutuace mají význam taé v teorii chyb, právě flutuace způsobují předpovídatelné chyby měření Další význam flutuací je v numericých simulacích Sledováním flutuací lze zjišťovat měrné teplo, susceptibilitu či ompresibilitu systému Přestože jsme flutuacím věnovali relativně malou část tohoto sylabu, mají pro statisticou fyziu mimořádný význam Přílad 4: alezněte profil spetrální čáry způsobený chaoticým v pohybem atomů zdroje Řešení: Pohybuje-li se zdroj záření vzhledem pozorovateli, mění se přijímaná frevence podle Dopplerova jevu z v 0 cos 0 z c v c Je-li zdrojem záření napřílad nějaý zahřátý plyn či obála hvězdy, jednotlivé atomy se pohybují různými rychlostmi ve shodě s Maxwell-Boltzmannovým rozdělením Pozorovatel vidí jednotlivé emisní aty frevenčně posunuté a celovým výsledem je Dopplerovo rozšíření spetrální čáry Ze vztahu pro Dopplerův jev určíme flutuaci frevence záření: vz vz vz T ! c c c mc alezli jsme ta vadraticou flutuaci frevence Je úměrná vadrátu záladní frevence a podílu tepelné energie a lidové energie jedné zářící částice Čím chladnější plyn září, tím užší je spetrální čára alezněme nyní přesný profil čáry apíšeme profil intenzity pomocí rozdělení rychlostí zdrojů záření: di ( v z) I 0 exp m v z /T d v z Rychlost v z převedeme na frevenci pomocí Dopplerova vztahu v / c v c( )/ 0 z z 0 0 a dosadíme do vztahu pro intenzitu: mc 0! di( ) I 0 exp d T 0 Spetrální čára zísává vlivem Dopplerova jevu profil Gaussova balíu I 0 56

59 Flutuace a entropie 39 Entropie Entropie je veličina, terou jsme zavedli v termodynamice rovnovážných procesů jao diferenciál tepla vynásobený integračním fatorem Entropie je úplnou diferenciální formou Statisticá fyzia nám posytla další možnou (statisticou) definici entropie jao střední hodnotu logaritmu pravděpodobnosti (až na nepodstatnou onstantu): dq ds ; ds wnln wn T Tím entropie souvisí s pravděpodobností realizace daného stavu systému Pro entropii platí velmi zajímavé tvrzení:! Entropie rovnovážného stavu je extremální systém podléhá anonicému, respetive grandanonicému rozdělení Tedy platí-li anonicé (grandanonicé) rozdělení, potom entropie dosahuje při rovnováze extrému (maxima) erovnovážné děje v uzavřeném izolovaném systému směřují tomuto maximu a zvyšují neuspořádanost systému A naopa, přijmeme-li extremálnost entropie v rovnovážném stavu jao výchozí princip, musí platit anonicé (grandanonicé) rozdělení Doažme tuto impliaci pro grandanonicé rozdělení: S 0, n n n w n E w n w, n n n U, Jde o hledání extrému za tří vazebních podmíne Extrémy s vazebními podmínami se hledají metodou Lagrangeových multipliátorů Zavedeme funci: ( wl,,, 3) wnlnwn wn Enwn U 3 wn n n n n Jde o entropii, níž jsou přidány vazby (nulové výrazy) s multipliátory yní budeme zoumat podmínu extremálnosti nově zavedené funce tří proměnných cc 0 ln E 3 3 e l c wl wl El wl w l Grandanonicé rozdělení je ta přirozeným způsobem provázáno s extremálností entropie V případě anonicého rozdělení je počet částic onstantní a extremálnost entropie zoumáme jen za přítomnosti dvou vazeb Výsledem stejné úvahy je anonicé rozdělení 57

60 Magneticé systémy 30 ELEKTRICKY A MAGETICKY AKTIVÍ SYSTÉMY 30 Záladní pojmy Soustava nabitých částic z Představme si systém složený z nabitých částic, teré jsou schopné r a v a reagovat na vnější eletricá a magneticá pole, vytvářet vlastní pole a vzájemně interagovat prostřednictvím těchto polí Budeme-li chtít úlohu řešit omplexně, musíme počítat pole z Maxwellových rovnic y doplněných o materiálové vztahy (vztahy popisující ja systém reaguje x na přítomnost polí jao cele) a dále počítat pohyby částic z Lorentzovy pohybové rovnice Označme polohu a-té částice r a a rychlost a-té částice v a Soustava částic vyazuje jao cele dipólový eletricý a magneticý moment Zopaujme v této apitole něteré pojmy z eletřiny a magnetismu, teré budeme e statisticému popisu potřebovat Eletricý dipól E 58 p Dipólový moment p soustavy částic je definován vztahem! a Qa a a a p p r (350) Elementární dipól: Pro dvojici částic s opačným nábojem a vzájemnou polohou d dá tato definice výraz pqr Qr Q( r r ) Qd Interace dipólu s vnějším eletricým polem je dána prostřednictvím energeticého předpisu! Wint pe (35) Polarizace P systému je definována jao hustota eletricého dipólového momentu:! P Qar a (35) V a Materiálový vztah mezi inducí a intenzitou eletricého pole lze zapsat s pomocí polarizace (právě polarizace popisuje reaci systému na eletricé pole) tato:! D 0 E P( E ) (353) Eletricá susceptibilita: Pro slabá pole lze odezvu systému považovat za lineární a provést Taylorův rozvoj vetoru polarizace do prvního řádu (používáme sumační onvenci): P D 0E El 0E 0l El 0 ( l l ) El E l Příslušná matice oeficientů se nazývá tenzor eletricé susceptibility P! l (354) 0 El Při lineární odezvě lze proto psát vztah mezi inducí a intenzitou v maticovém tvaru D E ; ( ) (355) l l l 0 l l Matice l se nazývá tenzor permitivity Pole D a E nemusí mířit ve stejném směru Hustota vnitřní energie: Z celové hustoty energie eletricého pole du E Ed DEd( 0EP ) odpovídá vnitřní energii druhý člen, terý souvisí s reací systému na pole, tedy s polarizací:! du EdP (356)

61 Magneticé systémy Stejně jao u eletricého dipólu budeme postupovat s přehledem záladních vztahů pro interaci magneticého pole se systémem (magneticého dipólu) Magneticý dipól H m Dipólový moment soustavy částic je definován vztahem! m m a Qa a a r v (357) a a Elementární dipól: Pro jednu po ružnici rotující nabitou částici je veliost magneticého dipólového momentu (T označuje periodu oběhu, I proud způsobený oběhem náboje) r I rv Qrv ITrv m v I r IS Magneticý dipólový moment systému stejných částic souvisí s celovým momentem hybnosti L (hmotnost částice je označena m 0, aby se nepletla s veliostí momentu): m Q Q Q a a m0 a a r v m r v m L (358) a 0 a 0 Interace dipólu s vnějším magneticým polem je dána prostřednictvím energeticého předpisu! Wint 0 mb mh (359) Magnetizace M systému je definována jao hustota magneticého dipólového momentu:! M Q r v (360) V a a a a Materiálový vztah mezi inducí a intenzitou magneticého pole lze zapsat s pomocí vetoru magnetizace (právě magnetizace popisuje reaci systému na magneticé pole) tato:! 0 ( ) B H M H (36) Magneticá susceptibilita: Pro slabá pole lze odezvu systému považovat za lineární a provést Taylorův rozvoj vetoru magnetizace do prvního řádu (používáme sumační onvenci): M B 0H 0 Hl 0H 0l Hl 0 ( l l ) Hl H l Příslušná matice oeficientů se nazývá tenzor magneticé susceptibility M! l (36) H Při lineární odezvě lze proto psát vztah mezi inducí a intenzitou v maticovém tvaru B l l l 0 l l l H ; ( ) (363) Matice l se nazývá tenzor permitivity Pole B a H nemusí mířit ve stejném směru Hustota vnitřní energie: Z celové hustoty energie magneticého pole dum HdB 0 Hd( HM ) odpovídá vnitřní energii druhý člen, terý souvisí s reací systému na pole, tedy s magnetizací:! du 0 HdM (364) Přílad 5: alezněte rozdělení souboru eletricých dipólů ve vnějším poli 59

62 Magneticé systémy p 0 E W pe p Ecos int 0 pe 0 cos dw(, ) K exp d T pe 0 cos dw(, ) K exp sin d d T 30 Magneticy ativní materiály První věta termodynamicá a volná energie Pro interaci eletricých a magneticých polí se systémem známe hustotu vnitřní energie Proto budeme muset i první větu termodynamicou přepsat do hustot Zaveďme U A S F u ; a ; s ; f ; n V V V V V Pozor na olize tohoto zavedení Písmen abecedy je žalostně málo a ta v místech, de je význam veličiny zřejmý použijeme označení i písmeno, teré má již jiný význam (typicé olize: magneticý dipólový moment hmotnost, eletricý dipólový moment hybnost, hustota volné energie počet stupňů volnosti, hustota hmoty hustota pravděpodobnosti, atd) Převeďme do hustot první větu termodynamicou pro onstantní počet částic (39) du Tds pdv EdP 0HdM V V záonu zachování energie se objevují další členy vyjadřující, že systém může onat práci eletricy a magneticy ezapomeňte, že poslední členy jsou salárním součinem, tj aždý z nich je součtem tří členů alezněme diferenciál objemu d V M dv Vd 0 dv V Diferenciál objemu dosadíme do členu pro mechanicou práci a zísáme výsledný vztah p! du Tds d EdP 0HdM (365) Proveďme zúplnění diferenciálů prvního, třetího a čtvrtého členu na pravé straně: p du ( TsEP 0HM ) sdt d PdE0MdH Zísáváme ta vztah pro diferenciál volné energie se všemi přidruženými vztahy: f u TsEP HM ; p df sdt d PdE0Md H; f f( T,, EH, ) 0 (366) Derivace hustoty volné energie podle jejích proměnných dají jednotlivé oeficienty diferenciálu: f ; f ; f s p P ; M f (367) T E 0 H Znalost hustoty volné energie umožňuje zjistit hustotu entropie, stavovou rovnici, vetor polarizace a vetor magnetizace, tedy reace vyvolané v systému vnějšími poli Poslední dvě relace jsou vetorové, ve složách mají tvar 60

63 Magneticé systémy P f E f ; M H Pomocí vztahů (354) a (36) můžeme z hustoty volné energie určit i tenzory eletricé a magneticé susceptibility f f l ; l (368) 0 E El 0 H Hl a samozřejmě podle vztahů (355) a (363) i tenzory permitivity a permeability: f f l 0l ; l 0l (369) E El H H l Znalost hustoty volné energie nám umožní výpočet záladních charateristi systému, a to ja termodynamicých, ta eletricých a magneticých Střední vadraticá flutuace magnetizace Uvažujme jen magneticy ativní materiál Odvození provedeme disrétně, magnetizace souvisí s momentem hybnosti částic a ten je vantovaný Jednotlivé možné stavy magnetizace budeme indexovat indexem w exp ( F Wint, ) exp ( F 0 V MH ) alezněme susceptibilitu, pro jednoduchost jen v jednorozměrném problému: M M exp f( T, H) V 0MV H H H f M V 0 V M exp H Podobně jao jsme postupovali u odvození flutuace energie oddělíme jednotlivé členy a vytneme ze součtu veličiny, přes teré se nesčítá: 0 M MV M V w V M 0 0 0M V M w 0V Mw 0VM 0VM M Zísali jsme ta jednoduchý vztah pro flutuaci mezi susceptibilitou a flutuací magnetizace:! ; 0 0V M M 0V var M (370) Doázali jsme ta další z flutuačních vztahů (347) Zdroje magneticého momentu, Landéův fator Zdrojem magneticého momentu částice může být ja orbitální (L), ta spinový (S) moment hybnosti částice Ja se vůbec v vantové teorii sčítají dva momenty hybnosti? Uveďme jen přehled výsledů pro dva momenty označené L a S bez ohledu na to, co znamenají: ; ; 6

64 Magneticé systémy L S L S l( l) s( s) L3 ml; S3 ms; ml l, l,, l, l ms s, s,, s, s J LS J j( j) ; J m ; m j, j,, j, j samo výsledné vantové číslo j může nabývat hodnot j ls,, ls I neutrální částice (napřílad neutron) může být zdrojem magneticého dipólového momentu, za terý odpovídá nenulový spin Magneticý dipólový moment (358) je modifiován tato: Q m g J (37) m 0 Veličina J je celový moment částice a fator g je charateristicý pro onrétní částici: g, eletron; g 568, proton ; g 386, neutron Trochu složitější je situace v omplexním systému, jaým je celý atom Zde dochází LS vazbě interaci oletivních orbitálních a spinových stupňů volnosti celého systému Výslede je shodný se vztahem (37) jen fator g je dán složitější formulí j( j) s( s) l( l) g (37) j( j) a nazývá se Landéův fator aznačme zde odvození tohoto fatoru V vantově mechanicém Hamiltoniánu popisuje interaci atomu s vnějším polem člen Hˆ ˆ ˆ int const ( L S) H Koeficient u spinového momentu je dán anomálním magneticým momentem eletronu V časovém průměru přispívají interaci z orbitální i spinové části jen složy rovnoběžné s celovým momentem J alezněme proto projeci ombinace vetorů L+S do celového momentu J: J J L S J( L S) PJ ( L S) J JJ J Tuto projeci se pousíme převést na vadráty veliostí záladních momentů J, L, S : J( J S) J JS J ( LS) S J S LS PJ ( L S) J J J J J J J J Člen LS určíme z rovnosti J ( L S) L LS S Výslede je J S ( J L S )/ 3J S L J S L PJ ( L S ) J J J J J J Využijeme-li nyní vantování těchto veličin, máme výslede j( j) s( s) l( l) P J ( L S ) j( j) J Fator v závorce je právě Landéův fator, terý multipliativně modifiuje celový moment hybnosti J v důsledu LS vazby Interace magneticých momentů Energie interace magneticého momentu s vnějším polem je dána vztahem 3 J J 6

65 Magneticé systémy Q mb JB (373) Wint g m 0 Moment J bude mít snahu orientovat se buď ve směru vnějšího pole nebo proti směru pole podle znaména fatoru g Celý výraz se často píše v podobě Q Q Q Wint g JzBg mj BmJ g B m m m Zlome ve výrazu se nazývá Bohrův magneton magneticé vantové číslo! int J B m probíhá záporné i ladné hodnoty J B B J m0, znaméno je nepodstatné, protože Q W m g B;, m j, j,, j, j (374) Pro systém magneticých momentů musíme uvážit i interaci momentů mezi sebou a namísto induce magneticého pole je výhodná intenzita pole, terá souvisí s volnou energií systému: Q Wint W0 ( ma, mb) g 0 JaH (375) m ab, Zeemanův jev Ve vnějším magneticém poli se původně jedna energeticá hladina podle vztahu (374) rozštěpí na j+ podhladin To vede na štěpení spetrálních čar nazývané Zeemanův jev Rozdíl energie dvou sousedních podhladin je E gb B, z tohoto vztahu můžeme snadno určit vzdálenost mezi rozštěpenými čarami Magneticá rezonance Systém magneticých dipólů ve vnějším magneticém poli je schopen pohlcovat vanta eletromagneticého záření, terá odpovídají rozdílu energeticých hladin interace dipólu s vnějším polem Procházející eletromagneticé pole vlastně způsobuje přesoy magneticého dipólu mezi stavy s různým m J Energeticé spetrum (374) je evidistantní a rezonanční (pohlcované) fotony ta musí splňovat relaci: Snadno dopočteme rezonanční frevenci g B rez, 44 MHz T pro atom, frez KB; K 0, 76 Hz T pro jádro B 0 a (376) Magneticá rezonance se využívá jao úspěšná zobrazovací metoda Předmět je vnořen do pole B a ozářen eletromagneticým zářením rezonanční frevence Rezonance na celých atomech (respetive jejich obalech) se nazývá eletronová magneticá rezonance (EMR) a rezonance na částicích jádra jaderná magneticá rezonance (MR uclear Magnetic Resonation) Curieův záon Uvažujme nyní nejjednodušší možný systém složený z elementárních magneticých dipólů, teré neinteragují mezi sebou a jejich magneticý moment může nabývat jen dvou hodnot ( mj / ) Provedeme lasicý statisticý výpočet podle dříve uvedeného schématu Interace jednoho dipólu s vnějším magneticým polem má jen dvě energeticé hodnoty: Wint g 0 BH Partiční suma jednoho dipólu bude mít jen dva členy 63

66 Magneticé systémy g 0 BH g 0 BH g 0 BH z exp exp ch T T T Partiční suma soustavy vzájemně neinteragujících dipólů bude Z g 0 BH z ch T Standardním způsobem určíme hustotu volné energie a z ní magnetizaci, susceptibilitu a permeabilitu: T g 0 BH f Tln Z ln ch, V V T f Bg 0 BgH M n th, H T Bg 0 f BgH n cosh, H 4T T 0 Bg 0 f BgH 0 0 n cosh H 4T T Poznámy: I tato jednoduchý systém (dvě možnosti orientace spinů) má nelineární chování Magnetizace není lineární funcí intenzity pole, ale obecnou funcí M M( H) (377) (378) (379) Magnetizace vyazuje při vysoých polích a nízých teplotách saturaci (zísá maximální hodnotu nezávislou na veliosti pole) Všechny spiny jsou za těchto podmíne zorientovány ve směru pole Hodnota saturace je H M S nbg/ Provedeme-li linearizaci vztahu pro slabá pole, dostáváme M n0 B g M H ; (380) H 4T H 0 Susceptibilita je nepřímo úměrná teplotě magnetia Tento vztah se nazývá Curieův záon a platí jen v limitě slabých polí 303 Mřížové modely Připustíme-li více možných hodnot spinů a jejich interaci navzájem, je výpočet partiční sumy většinou nepřeonatelným problémem Proto se často využívá relativně jednoduchý model spinů loalizovaných ve vrcholech pravoúhlé mříže, terý v mnoha případech svým chováním velmi dobře odpovídá sutečným materiálům Zpravidla se předpoládá, že spolu vzájemně interagují jen nejbližší spiny v sousedních vrcholech mříže, taové sousední vrcholy označujeme ab, Interační předpis je analogicý výrazu (375), jen součet vzájemné interace probíhá přes nejbližší sousedy: W W ( m, m ) K m H (38) int 0 ab, M M S a b a a 64

67 Magneticé systémy Podle typu vzájemné interace W 0 rozlišujeme jednotlivé modely Isingův model Jde o nejjednodušší možný model Spiny mohou nabývat jen dvou hodnot a interační energie je dána předpisem (/ i ostatní onstanty jsou zahrnuty do J) W0 J mamb ; ma{, } (38) ab, Pro J 0 přispějí dva sousední shodně orientované spiny energii hodnotou J, dva opačně orientované spiny hodnotou +J Při nízých teplotách má systém snahu zaujmout co nejnižší energii a vzniají proto domény souhlasně orientovaných spinů (Weissovy domény) Při vysoých teplotách jsou spiny orientovány náhodně Již tento jednoduchý model vyazuje záladní vlastnosti feromagneti Při nízých teplotách existuje uspořádaná fáze, při vysoých teplotách chaoticá fáze Mezi oběma fázemi nastává fázový přechod při tzv Curieově teplotě Pro J 0 jsou při nízých teplotách preferovány nesouhlasně orientované spiny a systém vyazuje antiferomagneticé vlastnosti V jednorozměrném problému je nalezení partiční sumy i za přítomnosti vnějších polí triviální záležitostí Úlohu analyticy vyřešil v rámci své disertační práce Ernst Ising ( ) v roce 95 Uázal, že v lineárním řetězci spinů nedochází fázovému přechodu Ve dvou dimenzích vyřešil problém s pomocí vytříbených graficých metod Lars Onsager ( ) v roce 944 Ve D Isingově modelu již Curieův fázový přechod existuje Obecné analyticé řešení ve třech dimenzích není známé a partiční suma, magnetizace a susceptibilita se dohledávají numericy Pottsův model Jde o Q stavový model s podobným interačním předpisem jao Isingův model: W0 J mm ; m {,, Q} (383) ab, a b a Spiny se mohou orientovat do Q směrů, sousední souhlasně orientované spiny přispějí energii hodnotou J, ostatní energii nepřispějí Model má opět uspořádanou nízoteplotní fázi, ve teré se vysytují domény souhlasně orientovaných spinů a vysooteplotní chaoticou fázi Obě fáze jsou odděleny Curieovým fázovým přechodem za Curieovy teploty Model je pojmenován podle australsého fyzia Renfreye Pottse (95 005) Z Q model Jde o Q stavový model s interací dvou spinů danou osinem vzájemného úhlu mezi nimi: W0 J cos ( a b) ; a ma ; ma{,, Q} (384) Q ab, Model má pro velá Q tři fáze: ízoteplotní uspořádanou fázi s typicými doménami, soft fázi při středních teplotách, při teré se sousední spiny svou orientací liší jen velmi málo Vzniají charateristicé víry nebo spinové vlny Další fází je vysooteplotní chaoticá fáze Fázový přechod z nízoteplotní fáze soft fázi se nazývá Curieův přechod (T C ), fázový přechod ze soft fáze do vysooteplotní fáze se nazývá Kosterlitz-Thoulessův přechod (T K ) Jde o přechod, při terém je susceptibilita spojitá Ke ztrátě uspořádanosti při přechodu ze soft do chaoticé fáze dochází díy příčným flutuacím (tzv Goldstoneovým modům) Přechod opačným směrem (od neuspořádané soft fázi) lze chápat jao narušení rotační symetrie, při terém se objeví Goldstoneovy mody flutuací Přechod je nazván podle americého fyzia Johna Michaela Kosterlitze a sotsého fyzia Davida Thoulesse Heisenbergův model Jde o spojitý model, terý připouští vešeré orientace spinů Energeticý předpis je: W0 J cos ( a b) ; a0, ) (385) ab, 65

68 Magneticé systémy Třírozměrná varianta se nazývá Heisenbergův model, dvojrozměrná varianta se nazývá XY model Modely mají jen dvě fáze: pro nízoteplotní soft fázi jsou charateristicé dvojice vírů a spinové vlny; vysooteplotní fáze má spiny orientovány chaoticy Obě fáze jsou oddělené Kosterlitzovým-Thoulessovým přechodem U materiálů tohoto typu neexistuje fáze s doménami K Heisenbergovým magnetům patří napřílad materiál označovaný GSO s chemicým složením Gd Sn O 7 Spinová sla Jde o materiály, u terých se vazbová onstanta J liší od dvojice spinů e dvojici Často má náhodný charater Energeticý předpis je W J f( m, m ) : (386) 0 ab, ab a b V taovém materiálu neexistuje orelace na velé vzdálenosti Pro spinová sla je charateristicá existence mnoha metastabilních stavů, jejichž experimentální studium je mimořádně obtížné umericé simulace umožňují alespoň rámcové studium těchto zajímavých materiálů Ke spinovým slům patří napřílad materiál s chemicým složením LiHo x Y -x F 4 Pro vysoý podíl holmia jde o feromagnetium, pro x < 0,5 jde o spinové slo Magneticé momenty holmia interagují téměř výhradě dipólově, energeticý předpis je obdobný Isingovu modelu, ale s chaoticým chováním interační onstanty Jiným velice zajímavým materiálem je sloučenina PrAu Si Přestože jde o dobře uspořádanou rystalicou struturu, při nízých teplotách vyazuje vlastnosti spinových sel Mechanizmem vzniu je tzv dynamicá frustrace jev, při terém dynamicé flutuace v rystalu znemožní orelace magneticých momentů na větší vzdálenosti K frustraci dochází tím, že existuje mnoho neslučitelných záladních stavů (stavů s nejnižší energií) a jednotlivé silové interace soutěží o dosažení něterého z nich Výsledem je vytuhnutí materiálu ve stavu spinového sla s chaoticými vazebními onstantami a levém obrázu vidíte výslede Monte Carlo simulace Z Q modelu Metropolisovou metodou při vysoé teplotě (neuspořádaná vysooteplotní fáze) a na pravém obrázu soft fázi při nižší teplotě Modré rajní šipy označují společnou levou a pravou, respetive horní a dolní hranu systému (byly použity periodicé orajové podmíny) Hubbardův model Ani bouřlivě se rozvíjející výpočetní technia neumožňuje simulace eletronových systémů s mnoha (napřílad 0 3 ) eletrony V taových situacích se pooušíme sledovaný systém rozumně zjednodušit atoli rozumně, aby ještě popisoval vlastnosti sutečné láty, terou 66

69 Magneticé systémy chceme zoumat Představme si, že eletrony mohou být loalizovány jen v určitých místech, napřílad ve vrcholech pravidelné mříže Ta je tomu třeba v rystalicých látách, de je eletron v blízosti určitého iontu icméně modely eletronů na mříži mají mnohem širší uplatnění a lze pomocí nich obecně modelovat systémy se silně orelovanými eletrony, napřílad vysooteplotní supravodiče K nejjednodušším modelům tohoto typu patří tzv Hubbardův model Eletrony jsou reovány a anihilovány ve vrcholech mříže ta, aby jejich chování odpovídalo energii systému při dané teplotě Energie systému se sládá ze dvou odlišných členů 0 ab,, a b b a a a a a a a W t aˆ aˆ aˆ aˆ U n n ; n aˆ a ˆ (387) První člen je dán interací nejbližších sousedů (součet přes všechny dvojice nejbližších vrcholů)vazební onstanta této interace je označena t, symbol a + označuje reační operátor eletronu se spinem σ v daném vrcholu, symbol a anihilační operíátor Tento člen umožňuje přesaování či tunelování eletronů z jednoho vrcholu mříže do druhého Druhá část energie je součtem přes všechny vrcholy, Symbol n aσ znamená počet jedinců se spinem σ v daném vrcholu Kladná vazební onstanta U znamená repulzi eletronů na malých vzdálenostech: Poud je ve vrcholu jeden eletron se spinem a jeden eletron se spinem, přispějí celové energeticé bilanci ladnou hodnotou U, poud je ve vrcholu jediný eletron, přispěje tento vrchol nulovou hodnotou Za nízých teplot jsou preferovány stavy s co možná nejnižší energií, tedy jediný eletron ve vrcholu mříže Oba energeticé členy znamenají v jistém smyslu párovou interaci První člen se týá interace eletronů ve dvou nejbližších vrcholech mříže Druhý se týá interace dvojice eletronů v jednom jediném vrcholu (Coulombicá repulze) V reálných materiálech je podíl vazebních onstant U/t mezi 0 až 50 Model navrhl anglicý fyzi John Hubbard (93 980) v roce 963 popisu chování eletronů v pevných látách Pomocí Hubbardova modelu lze snadno simulovat přechod láty mezi vodivým a nevodivým stavem Dnes se model využívá popisu chování ultrachladných atomů zachycených v opticé mříži (pravidelně se střídající minima a maxima eletricého potenciálu, jež vznila interferencí dvou nebo více laserových svazů) Původní model byl navržen pro dva fermiony, později se objevila i bosonová varianta Hubbardova modelu a různé další užitečné modifiace Modely se nemusí omezovat na pravoúhlou mříž, interace nemusí probíhat jen mezi nejbližšími sousedy, ale napřílad i mezi sousedy na úhlopříčce s vazební onstantou t ', uvažují se modely v mnoha dimenzích, atd t' U t t Hubbardův model t-j model V roce 977 polsý fyzi Jozef Špale upravil Hubbardův model pro velé hodnoty interační onstanty U do podoby se dvěma párovými interacemi mezi nejbližšími vrcholy mříže: 67

70 Magneticé systémy 0 ab,, cacb cbca Sa Sb a b W t ˆ ˆ ˆ ˆ J n n /4 ; t cˆa aˆ a( na) ; na na na ; J ; U a a b a b a a S aˆ aˆ, aˆ aˆ,( n n )/ a (388) Model byl nazván podle označení vazebních onstant těchto interací jao tzv t-j model Člen s vazební onstantou t je podobný prvnímu členu Hubbardova modelu Druhý člen s vazební onstantou J = t /U obsahuje salární součin dvou sousedních spinů, obdobně jao Heisenbergův model Operátory c a c + vystupující v modelu se nazývají projece anihilačního a reačního operátoru Pomocí tohoto modelu se podařilo vysvětlit chování Mottových izolátorů včetně jejich feromagnetizmu Mottovy izolátory jsou nevodivé materiály, teré by podle standardní pásové teorie měly být vodiči evodivost je způsobena párovými interacemi eletron-eletron, teré pásová teorie neuvažuje Jev se vysytuje za nízých teplot napřílad u io nebo CoO Později se t-j model stal úspěšným i při vysvětlení vysooteplotní supravodivosti eramicých materiálů, napřílad La x Sr x CuO 4, terou objevili Karl Allex Müller a Johannes George Bednorz v roce

71 Monte Carlo metody 3 MOTE CARLO METODY Monte Carlo metody využívají výpočtům generátorů náhodných čísel a u mnoharozměrných integrálů nebo při výpočtu partiční sumy jsou často jediným způsobem zjištění výsledu Téměř aždý programovací jazy má implementováno něoli generátorů náhodných čísel v intervalu 0,) různé vality Uažme si princip metody na algoritmu pro nalezení čísla jednoduchou Monte Carlo metodou V artézsém souřadnicovém systému budeme mít čtverec 0, 0, Využijeme nějaý vestavěný generátor i čísel v intervalu 0,) a vygenerujeme mnoho bodů padnoucích do plochy čtverce: x, i y, i,, i Budeme sledovat celový počet generovaných bodů a dále počet bodů, teré padly do jednotového ruhu na obrázu (splňují relaci x jejich počty úměrné plochám obrazců: plocha ruhu R plocha čtverce ( R) 4 y ) Pro dosti velý počet bodů jsou Pouhým počítáním generovaných bodů ta můžeme při značném počtu roů určit s vysoou přesností číslo Je jasné, že pro Monte Carlo výpočty je dosti často rozhodující valita a rychlost generátoru náhodných čísel K nejčastěji používaným generátorům při MC výpočtech patří: a) Lineární multipliativní ongruenční generátor (LCG), má maximální periodu M i ( i C)mod P, (389) V generované posloupnosti dochází e orelacím typu Tento typ generátoru je výhodný, využívá-li provedení funce modulo architetury počítače: 3 6 P, 8n3; např: P, 3 b) Kombinovaný LCG generátor s maximální periodou P P: ( C )mod P, i i ( C )mod P ; i i ( )modmax( P, P ) i i i (390) c) Fibonacciho generátory, teré využívají e generování i starší členy posloupnosti náhodných čísel: f (, )mod P (39) i ip iq Tyto generátory mají zpravidla vyniající vlastnosti, je vša třeba uchovávat určitý počet vygenerovaných čísel Funce f může být napřílad prostým násobením 3 Realizace rozdělení Často potřebujeme jiný generátor než je rovnoměrný apřílad můžeme chtít zonstruovat generátor, terý nám bude generovat děje ve shodě s nějaým pravděpodobnostním rozdělením V této apitole se naučíme něteré způsoby realizace pravděpodobnostních rozdělení 69

72 Monte Carlo metody Metoda střelby (distribuční funce) Představme si, že máme dějů s pravděpodobnostmi w, w,, w Graficy můžeme pravděpodobnostní rozdělení znázornit tato (na obrázu vlevo bylo zvoleno 5 dějů): w w 3 w w w 4 w w w w3 w V matematice se nědy zavádí náhodná veličina, v prvním řádu je hodnota veličiny (pořadí děje) a ve druhém řádu pravděpodobnost děje Vytvořme schody, u terých bude výša jednotlivých stupňů odpovídat veliosti pravděpodobnosti děje: D w 5 w 4 w 3 w w V matematice se taovéto schody nazývají distribuční posloupnost (ve spojitém případě distribuční funce), jde o postupné načítání hodnot pravděpodobností Poslední schod musí proto být ve výšce, protože je součtem všech pravděpodobností Distribuční posloupnost je definována předpisem D w (39) j Vždy jde o rostoucí posloupnost s hodnotami mezi 0 a Právě toho se využívá při MC realizaci děje Mnohorát opaovaně generujeme náhodné číslo z intervalu 0,) a aždé si představíme si ho jao střelu, terá zleva nalétává na naše schody Zjistíme do terého schodu se střela trefila (viz obráze) Padla-li do schodu, prohlásíme, že nastal děj Vzhledem tomu, že výša schodu odpovídá pravděpodobnosti děje, generujeme náhodné děje přesně ve shodě s pravděpodobnostním rozdělením Ve spojitém případě můžeme postupovat podobně Je-li hustota pravděpodobnosti f ( x ), f () x zavedeme distribuční funci předpisem x x Dx () Dx ( ) f( xdx ) (393) Opět jde o rostoucí funci s limitou v pravém rajním bodě danou součtem všech pravděpodobností lim Dx ( ) x j x 0 x 70

73 Monte Carlo metody Metodou střelby můžeme stejně jao v disrétním případě realizovat rozdělení pomocí rovnoměrného generátoru z intervalu 0,) Řeneme, že padl děj x 0, je-li Dx ( 0) Pro usutečněný děj tedy platí x D ( ) (394) Celý postup realizace daného rozdělení je proto ve spojitém případě následující: nalezneme distribuční funci D(x), nalezneme inverzní funci D(x), 3 generujeme rovnoměrně náhodné číslo 0,), 4 prohlásíme, že padl děj x D ( ) Přílad 6: Realizujte rovnoměrné rozdělení na intervalu ( ab, ) Hustota pravděpodobnosti rovnoměrného rozdělení je onstantní funce f ( x ) Hodnotu onstanty určíme z normovací podmíny: b f( x) K ; f( x) dx K( b a) f( x) b a yní snadno nalezneme distribuční funci a x x a Dx ( ) f( xdx ) b a a a položíme ji funci rovnou náhodnému číslu z intervalu 0,) a provedeme inverzi: x a Dx ( ) xa ( ba) b a Výslede je zcela přirozený: áhodné číslo mezi 0 a roztáhneme oeficientem ( b a) na nový interval a posuneme o hodnotu a do počátu nového intervalu Přílad 7: Realizujte rozdělení Kx na intervalu (, ) f () x Dx () x ejprve určíme normovací onstantu rozdělení K: f( x) Kx ; f( x) dx 3 3 K f( x) x Jao další ro nalezneme distribuční funci D(x): x x Dx ( ) f( xdx ) Distribuční funci položíme rovnou náhodnému číslu z intervalu 0,) a provedeme inverzi: 3 x ( ) x 3 Dx Výsledem je nerovnoměrný generátor na intervalu (,) Ve shodě s parabolicou hustotou pravděpodobnosti nejčastěji padají hodnoty na rajích intervalu a nejméně často uprostřed a distribuční funci je dobře patrné, že trefit se střelou do pozice x = 0 je téměř nemožné x 3 7

74 Monte Carlo metody Přílad 8: Realizujte rozdělení exp[ x] na intervalu (0, ) ormovaná hustota pravděpodobnosti je f ( x) exp[ x], distribuční funce po výpočtu integrálu vyjde Dx ( ) exp[ x] Položme Dx ( ), tedy exp[ x], a po inverzi máme výslede x ln[ ] Vzhledem tomu, že a mají na intervalu (0,) stejné rovnoměrné rozdělení, postačí volit x ln Poznáma: Pozor na názvosloví: Hustota pravděpodobnosti se ve fyzice nědy nazývá rozdělovací funce (nědy taé distribuční funce) V matematice je vždy distribuční funce je integrálem s horní proměnnou mezí z hustoty pravděpodobnosti Ta budeme chápat distribuční funci i v tomto sylabu Metoda von eumanna Mějme hustotu pravděpodobnosti f ( x ) definovanou f na onečném intervalu ( ab, ) alezneme co nejmenší obdélní, do terého se vejde graf řivy f ( x ) a M volbě výšy M nezáleží, postačí M f( x) pro x, f ale metoda je nejúčinnější pro co možná nejmenší hodnotu M ejprve generujeme náhodný bod [, ] v obdélníu: a ( ba), x M a x b Pravděpodobnost, že padne děj v intervalu x je úměrná ploše pod řivou, protože P f x Stačí tedy algoritmus doplnit ta, aby odpovídal úměrnosti této ploše: f( ) padl děj x; f ( ) volíme nový bod [, ] Metodu von eumanna lze apliovat vždy, ale není ta účinná jao metoda střelby (inverzní funce, distribuční funce) Tyto metody jsou lepší, poud se podaří nalézt inverzní funci distribuční funci Metoda superpozice echť m m i i i i i i f ( x) c f ( x); c ; f ( x) dx f ( x) dx Zaveďme součet parciálních distribučních funcí pro jednotlivá f i : m Dx ( ) cd i i( x) i K realizaci rozdělení vede tento algoritmus: m Zavedeme náhodnou veličinu a generujeme rovnoměrné náhodné c c cm číslo 0,) Podle něteré z předchozích metod (nejlépe metodou střelby) Potom zvolíme podle pravděpodobností c, c,, cm něterý z dějů {,,, m} Generujeme náhodné číslo 0,) a realizujeme rozdělení f ( x ) něterou z metod (inverzní funce, von eumannova) 7

75 Monte Carlo metody 5 4 Přílad 9: Realizujte rozdělení f( x) ( x) na intervalu (0, ) Metoda inverzní funce pro celou hustotu pravděpodobnosti je principielně možná, ale zbytečně složitá Hustotu pravděpodobnosti rozložíme tato (určíme f a f s oeficienty ta, aby byly normovány jedné a poté nalezneme oeficienty c a c ) : f( x) ; f( x) ( x) f( x) f( x) f( x) 6 6 Distribuční funce nyní bude: 5 x 5 D( x) D( x) D( x); D( x) ; D( x) ( x) 6 6 ejprve generujeme číslo a rozhodneme se podle předpisu: 5 6 padl děj; 5 6 padl děj Poté použijeme metodu inverzní funce Generujeme a využijeme předpis: pro děj : pro děj : x ; x 5 Celou metodu můžeme shrnout tato: Generujeme dvojici náhodných čísel v intervalu (0,) a využijeme předpis: 5, ; 6 x 5 5, 6 Zajímavé realizace něterých rozdělení Gaussovo rozdělení: x f( x) exp[ ] ; x(, ) generujeme dvojici, náhodných čísel z intervalu (0,) Potom dvě hodnoty Gaussova rozdělení jsou: x ln cos( ); x ln sin( ) Gama rozdělení: n f( x) x exp[ x] ; x(0, ) ; n, 3, n Generujeme,,, n, a určíme hodnoty xn ln ( n) Body uvnitř oule o poloměru R: Budeme generovat rovnoměrně body v ouli o poloměru R K řešení využijeme sféricé souřadnice (, r, ): 73

76 Monte Carlo metody b Výpočet určitého integrálu f ( xdx ) : r R ; ; cos a 3 3 Mnohorát po sobě generujeme bod z definičního intervalu hledaného integrálu ( ab:, ) x a ( b a) i yní najdeme střední hodnotu integrované funce f na intergračním intervalu ( ab:, ) n f f( x ) i n i Integrál je potom přibližně roven ploše obdélnía s výšou rovnou střední hodnotě f: b f ( xdx ) f ( b a) 3 MC metody pro mřížové modely a Využití Monte Carlo metod ve fyzice a přírodních vědách uážeme na problematice mřížových modelů feromagneti Každý možný stav spinů na mříži budeme chápat jao určitou možnou onfiguraci K i Partiční suma je potom součtem Boltzmannových fatorů přes všechny možné onfigurace na mříži (H je hamiltonián pro spinů na mříži): Z exp[ H ( K i )] i Vzhledem tomu, že sčítání přes všechny onfigurace znamená velé množství součtů přes jednotlivé stupně volnosti systému, není vhodné při výpočtu používat přímé numericé metody Ani náhodný MC výběr členů sumace není vhodný vzhledem fatoru exp[ H ], terý se může měnit o mnoho řádů Účinnější je vybrat statisticy reprezentativní posloupnost onfigurací { K }, terá simuluje soubor stavů v termodynamicé i R rovnováze při teplotě T Označme P i pravděpodobnost výsytu onfigurace K i v reprezentativní posloupnosti yní je třeba reprezentativní posloupnost zonstruovat ta, aby pravděpodobnosti výsytu jednotlivých onfigurací onvergovaly e anonicému rovnovážnému rozdělení: P i eq i i P (395) Tuto onstruci lze provést Marovovým procesem, terý je určen pravděpodobností přechodu wi j z onfigurace K i do onfigurace K j Postačující podmínou pro onvergenci je tzv balanční podmína eq i eq i j j ji P w P w, (396) terou musejí splňovat pravděpodobnosti wi j Tato podmína zajišťuje, že matice w i j má za vlastní vetor Boltzmannovo rozdělení a tedy převede soubor v termodynamicé rovnováze na sebe Konvergenci (395) lze potom doázat z věty o ontrahujícím zobrazení Balanční podmína (396) vyjadřuje fat, že v termodynamicé rovnováze je počet systémů souboru přecházejících z K do K roven počtu systémů souboru přecházejících z K do i j K i Pomocí anonicého rozdělení lze balanční podmínu přepsat na tvar j 74

77 Monte Carlo metody w w i j ji exp ( H( j) H( i)) K K (397) Je-li balanční podmína splněna, můžeme střední hodnotu libovolné dynamicé proměnné odhadnout prostým středováním přes generovanou reprezentativní posloupnost: A A A( K i ) (398) M M { Ki} i Při M dosti velém A dosti dobře aproximuje A Balanční podmína neurčuje pravděpodobnosti přechodu wi j jednoznačně Reprezentativní posloupnost { K i } R lze napřílad zísat ta, že dvě následné onfigurace K i a K i se od sebe liší jen hodnotami spinů na nějaé podmnožině mříže nebo doonce v jediném vrcholu mříže V tomto případě další člen reprezentativní posloupnosti zísáme ta, že systematicy nebo náhodně vybíráme vrchol mříže a v tomto vrcholu zaměníme spin s odpovídající pravděpodobností Ani nyní není pravděpodobnost wi j určena jednoznačně Existují tři záladní metody, teré balanční podmínu splňují a pomocí nichž lze generovat reprezentativní posloupnost Metropolisova metoda Splnění balanční podmíny lze napřílad zajistit tímto předpisem: exp[ H] pro H 0 wi j ; H H ( Kj ) H ( K i ) (399) pro H 0 áhodně vybereme novou onfiguraci K j Je-li H 0 považujeme K j za následující člen reprezentativní posloupnosti Je-li H 0 generujeme náhodné číslo (0,) a pro exp[ H ] považujeme K j za novou onfiguraci, pro exp[ H ] ponecháme původní onfiguraci K i jao nový člen posloupnosti Konfiguraci s nižší energií tedy volíme za novou vždy Pravděpodobnost volby onfigurace s vyšší energií než stávající exponenciálně lesá s rozdílem energií Metoda teplotní lázně Další předpis, terým splníme balanční podmínu je w i j exp[ H ( K j)] (300) exp[ H ( K )] Tato metoda je pomalejší než Metropolisova metoda (je nutné počítat sumu ve jmenovateli), ale rychleji onverguje termodynamicé rovnováze a pro středování (398) přes reprezentativní posloupnost lze vzít menší počet členů To je způsobeno tím, že výběr spinu v daném vrcholu nezávisí na původní hodnotě spinu v tomto vrcholu Metoda s hyperbolicou tangentou H wi j th ; H H ( j ) H ( i ) K K (30) Metoda je velmi podobná Metropolisově metodě, z hledisa onvergence doonce mívá nědy i lepší výsledy, ale za cenu trochu složitějšího předpisu (algoritmu) th metoda w i j Metropolisova metoda H 75

78 Monte Carlo metody Poznámy: MC metody zpravidla selhávají v blízosti fázových přechodů, dy se neúměrně prodlužují relaxační časy MC výpočet probíhá při onstantní teplotě Další výpočet můžeme odstartovat s pozměněnou teplotou a postupně tímto způsobem simulovat teplotní průběh veličin Měrná tepla a susceptibility je výhodnější počítat z flutuací než z derivací závislostí na teplotě a magneticém poli zísaných ze simulací Závislost na veliosti mříže lze částečně eliminovat periodicými orajovými podmínami 76 Weissovy domény v Pottsově modelu simulované Metropolisovou metodou Při simulaci byly použity periodicé orajové podmíny (levá a pravá strana mají společné modré spiny, horní a dolní tatéž 33 Optimalizace a řízené ochlazování Typicou úlohou pro Monte Carlo metody je optimalizace nějaé situace Uveďme přílady optimalizačních problémů: alezení záladního stavu (stavu s minimální energií) pro systém s ompliovaným Hamiltoniánem, napřílad pro spinové slo alezení extrému ompliované funce s tisíci maximy a minimy Zejména je třeba, aby numericá metoda nesončila v něterém z četných loálních minim či maxim Problém obchodnía Obchodní má navštívit větší počet měst, známy jsou silniční vzdálenosti mezi jednotlivými městy Je třeba navrhnout pro obchodnía optimální trajetorii ta, aby vyřizováním záležitostí strávil co nejméně času Problém rozvrhu Je třeba optimálně navrhnout využití učeben, času pedagogů a žáů na nějaé velé šole (nioli na FEL, zde se přesouvají artičy v rozvrhu ručně) ávrhy plošného spoje Ze znalosti rozměrů součáste, rozmístění vývodů, schématu jejich propojení a různých omezení známých při rozmísťování součáste navrhnout optimální řešení plošného spoje Jednou z možných metod řešení těchto úolů je metoda SA (Simulated Annealing řízené ochlazování) Ústřední veličinou je zavedení funce náladů (tzv Cost function) C Do této funce musí být zahrnuta vešerá problematia optimalizace apřílad při hledání záladního stavu je optimalizovanou funcí sám hamiltonián, hledáme nejnižší energeticý