Financial calculus Chapter 6 Bigger models
|
|
- Václav Němeček
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Financial calculus Chapter 6 Bigger models Tomáš Hanzák Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK Praha Seminář Stochastické modelování v ekonomii a financích Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 1 / 32
2 Obsah 6.1 Obecný akciový model Obecný akciový model Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 2 / 32
3 Black-Scholesův model Black-Scholesův model Zobecněný model Ocenění kontraktu Připomeňme si základní Black-Scholesův model trhu jedné akcie a jednoho dluhopisu. Použijme zápis pomocí příslušých stochastických diferenciálních rovnic (SDE): db t = rb t dt, ds t = S t (σdw t + µdt). B t = exp(rt) [ je cena dluhopisu v čase t, S t = S 0 exp σ t 0 dw s + ( ] µ 1 2 σ2) t je cena akcie v čase t a W t je Brownův pohyb vzhledem k míře P. Dále r je bezriziková úroková míra dluhopisu, σ volatilita ceny akcie a µ její drift. Důležité: r, σ a µ jsou pevné konstanty. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 3 / 32
4 Zobecněný model 6.1 Obecný akciový model Black-Scholesův model Zobecněný model Ocenění kontraktu Zobecněme model o promněnlivost a náhodnost úrokové míry, volatility a driftu: db t = r t B t dt, ds t = S t (σ t dw t + µ t dt). Konstanty r, σ a µ jsou nyní nahrazeny obecnými (pouze potřebně integrovatelnými) F t -adaptovanými procesy r t, σ t a µ t (F t je filtrace W t ). Řešením výše uvedených SDE je ( t ) B t = exp r s ds, 0 [ t S t = S 0 exp 0 t σ s dw s + 0 ( µ s 1 ) ] 2 σ2 s ds. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 4 / 32
5 Ocenění kontraktu (1) Black-Scholesův model Zobecněný model Ocenění kontraktu Nyní chceme ocenit kontrakt (finační derivát) X s maturitou T a najít k němu příslušnou replikační strategii. Postupujeme ve stejných krocích jako vždy předtím. Nejprve potřebujeme najít míru Q P takovou, že diskontovaná cena akcie v čase t, Z t = Bt 1 S t, bude vůči ní martingal. Podle C-M-G věty existuje pro γ t µt rt σ t (tržní cena rizika) míra Q taková, že W t W t + t 0 γ sds je Q-Brownův pohyb. Pak dz t = σ t Z t d W t a Z t je Q-martingal. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 5 / 32
6 Ocenění kontraktu (2) Black-Scholesův model Zobecněný model Ocenění kontraktu Proces E t E Q ( B 1 T X F t) je Q-martingal. Podle věty o reprezentaci martingalů pak lze psát E t = E 0 + t 0 φ sdz s, kde φ t je F t -adaptovaný proces. Toto φ t bude množství akcie v čase t v replikačním portfoliu a ψ t E t φ t Z t bude množství drženého dluhopisu v čase t. Portfolio (φ, ψ) je samofinancující a jeho hodnota v čase t je V t φ t S t + ψ t B t = B t E t. Platí V T = X a V t je arbitrážní cena kontraktu X v čase t. Při obecném tvaru r t, σ t a µ t neumíme V t vyjádřit analyticky a počítáme ji numericky. Dále lze použít aproximace ψ t Vt S t. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 6 / 32
7 Log-normální modely Příklad: Black-Scholesův model Příklad: měnová call opce Sdružené log-normální rozdělení cen Je-li cena modelovaného volatilního aktiva log-normálně rozdělená vzhledem k jeho ekvivalentní martingalové míře (EMM) Q, pak dokážeme odvodit analytický vzorec pro cenu call opce X na toto aktivum (viz příklady dále). Příjemné je, že driftová změna míry z P na Q zachovává log-normalitu marginálních rozdělení cen aktiv. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 7 / 32
8 Příklad: Black-Scholesův model Příklad: měnová call opce Sdružené log-normální rozdělení cen Black-Scholesův vzorec pro cenu call opce V základním Black-Scholesově modelu B t = exp(rt), S t = S 0 exp (σw t + µt). s konstantními r, σ a µ je S t log-normálně rozdělená n.v. Forwardová cena v čase 0 na nákup akcie v čase T je F S 0 e rt. Hodnota call opce v čase 0 na nákup akcie v čase T za cenu k je ( log V 0 = e [F rt F k Φ + ) ( 1 2 σ2 T log F σ k kφ )] 1 2 σ2 T T σ. T Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 8 / 32
9 Cena měnové call opce Příklad: Black-Scholesův model Příklad: měnová call opce Sdružené log-normální rozdělení cen Necht B t = e rt je dolarový dluhopis, D t = e ut librový dluhopis a směnný kurz USD/GBP je C t = C 0 exp (σw t + µt). Dolarově diskontovaná cena librového dluhopisu Z t = C 0 exp [σw t + (µ + u r)t] je log-normálně rozdělená n.v. vzhledem k původní míře P i k EMM Q. Hodnota call opce v čase 0 na nákup librového dluhopisu v čase T za cenu k dolarů je ( log V 0 = e [F rt F k Φ + ) ( 1 2 σ2 T log F σ k kφ )] 1 2 σ2 T T σ, T kde F = E Q (C T ) je opět příslušná forwardová cena. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 9 / 32
10 Sdružené log-normální rozdělení cen Příklad: Black-Scholesův model Příklad: měnová call opce Sdružené log-normální rozdělení cen Cena akcie S T a cena dluhopisu B T v čase T jsou sdruženě log-normálně rozdělené vzhledem k EMM Q, var log(s T ) = σ1 2T, var log(b 1 T ) = σ2 2T a ρ je jejich korelace. Tvrzení Forwardová cena v čase 0 za nákup S T v čase T je F = E Q(B 1 T S T ) E Q (B 1 T ) = exp(ρσ 1 σ 2 T )E Q (S T ) a cena call opce v čase 0 na nákup S T za cenu k v čase T je [ ( log V 0 = E Q (B 1 F T ) k F Φ σ2 1 T ) ( log F k kφ 1 2 σ2 1 T )]. σ 1 T σ 1 T Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 10 / 32
11 Vícefaktorový model více akcíı Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Black-Scholesův model obsahuje dluhopis a (jen) jednu akcii s volatilní cenou. Zdrojem její volatility je (jen) jeden Brownův pohyb. Rozšíření: více akcíı s volatilní cenou v rámci jednoho modelu. Modelujeme nejen cenu každé akcie zvlášt, ale také vzájemnou korelaci vývoje jejich cen. Aby tato korelace nebyla patologicky stoprocentní, potřebujeme zavést také více nezávislých zdrojů volatility. Potřebujeme tedy model vystavět na n-rozměrném Brownově pohyb. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 11 / 32
12 n-rozměrný Brownův pohyb Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Uvažujme na stejném pravděpodobnostním prostoru n Brownových pohybů Wt i, i = 1, 2,..., n vzhledem ke společné míře P. Procesy W i t necht jsou vzájemně zcela nezávislé. Pak (W 1 t,..., W n t ) bude n-rozměrný Brownův pohyb. Vzájemnou korelovanost vývoje cen akcíı zajistíme mixem různých W i t v rovnici pro jednu akcii. F t bude nyní označovat filtraci celého n-rozměrného náhodného procesu (Wt 1,..., Wt n ). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 12 / 32
13 Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Proces adaptovaný na n-rozměrný Brownův pohyb (1) Definice Stochastický proces X je spojitý proces (X t : t 0), který lze napsat jako n t t X t = X 0 + σ i (s)dws i + µ(s)ds, 0 0 t 0 i=1 kde [ σ 1,..., σ n a µ jsou náhodné F t -adaptované procesy takové, že i σ2 i (s) + µ s ] ds < + s.j. t. Diferenciální tvar rovnice pro X t je n dx t = σ i (t)dwt i + µ(t)dt. i=1 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 13 / 32
14 Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Proces adaptovaný na n-rozměrný Brownův pohyb (2) Drift µ t procesu X t zůstává ve stejné podobě. Místo skalární volatility σ(t) však nyní pracujeme s vektorovou volatilitou σ 1 (t),..., σ n (t), jedna složka pro každý z n faktorů. Celková volatilita X t v čase t je σ1 2(t) σ2 n(t) (plyne z nezávislosti W i t ). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 14 / 32
15 Vícefaktorový Itôův vzorec Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Vícefaktorový Itôův vzorec Je-li X stochastický proces splňující dx t = n i=1 σ i(s)dwt i + µ(t)dt a f je deterministická dvakrát spojitě diferencovatelná funkce, pak Y t f (X t ) je také stochastický proces s SDE tvaru [ ] n dy t = σ i (t)f (X t )dwt i + µ(t)f (X t ) + 1 n σi 2 (t)f (X t ) dt. 2 i=1 i=1 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 15 / 32
16 Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Diferenciál součinu stochastických procesů (vícefaktorový) Diferenciál součinu (vícefaktorový) Je-li X stochastický proces splňující dx t = n i=1 σ i(s)dwt i + µ(t)dt a Y jiný stochastický proces splňující dy t = n i=1 ρ i(s)dwt i + ν(t)dt, pak X t Y t je také stochastický proces a platí [ n ] d(x t Y t ) = X t dy t + Y t dx t + σ i (t)ρ i (t) dt. i=1 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 16 / 32
17 Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Věta (Cameron-Martin-Girsanov, vícefaktorová) Věta (Cameron-Martin-Girsanov, vícefaktorová) Necht W = (W 1,..., W n ) je n-rozměrný Brownův pohyb podle míry P a γ t = (γ ( t 1,..., γt n ) je F t -adaptovaný n-rozměrný proces splňující E P exp 1 ) T 2 0 γ t 2 dt <. Bud W t i Wt i + t 0 γi sds. Pak existuje míra Q ekvivalentní míře P taková, že W = ( W 1,..., W n ) je n-rozměrný Brownův pohyb pro t [0, T ] vzhledem k míře Q. Platí i opačné tvrzení, přesně jako v jednofaktorovém případě. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 17 / 32
18 Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Věta o reprezentaci martingalů (vícefaktorová) Věta o reprezentaci martingalů (vícefaktorová) Necht W je n-rozměrný Brownův pohyb podle míry Q a M t = (M 1 (t),..., M n (t)) je Q-martingal splňující dm j (t) = i σ ij(t)d W i (t) a matice volatilit (σ ij (t)) je s.j. regulární t. Dále bud N t jednorozměrný Q-martingal. Pak existuje n-rozměrný F t -adaptovaný proces φ t = (φ 1 (t),..., φ n (t)) takový, že [ T ] 2 0 j σ ij(t)φ j (t) dt < a N t = N 0 + n j=1 t 0 φ j (s)dm j (s). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 18 / 32
19 Obecný n-faktorový model n akcíı Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Nyní uvažujme n-faktorový model n volatilních cen aktiv a jednoho dluhopisu. Model zapsaný pomocí SDE vypadá takto: db t = r t B t dt, n dst i = St i σ ij (t)dwt j + µ i tdt, i = 1,..., n. j=1 Zde r t je process okažité úrokové míry, µ i t je drift ceny i-tého aktiva a (σ ij ) n j=1 je její vektor volatilit. Tyto řádkové vektory volatilit pak vytváření matici volatility (σ ij (t)). Stejný počet n volatilních aktiv jako faktorů v modelu zajišt uje absenci arbitráže a možnost replikovat jakýkoli kontrakt. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 19 / 32
20 Ocenění kontraktu (1) Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Hledáme ekvivalentní míru Q takovou, že všechny diskontované ceny aktiv budou vzhledem k ní martingaly. Vícefaktorová C-M-G věta nám zajišt uje existenci Q. Změnou míry přidáme drift γ t = (γt 1,..., γt n ) k W t. Aby Zt i Bt 1 St i byly vzhledem k míře Q bez driftu, musím pro γ t platit n σ ij (t)γt j = µ i t r t, t, i = 1,..., n. j=1 Je-li matice Σ t (σ ij (t)) regulární, pak existuje!1 takové γ t : γ t = Σ 1 t (µ t r t 1). Složky γ t představují ceny n druhů rizika (n faktorů). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 20 / 32
21 Ocenění kontraktu (2) Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Nyní chceme replikovat a ocenit kontrakt X s maturitou T. Proces E t E Q ( B 1 T X F t) je Q-martingal. Je-li matice Σ 1 t regulární, pak podle vícefaktorové věty o reprezentaci martingalů lze psát n t E t = E 0 + φ j sdzs j, j=1 kde φ t = (φ 1 t... φ n t ) je F t -adaptovaný proces udávající množství volatilních aktiv v čase t v samofinancujícím replikačním portfoliu (φ 1 t,..., φ n t, E t n j=1 φj tzt j ) s hodnotou V t n j=1 φj tst j + ψ t B t = B t E t v čase t. Platí V T = X a V t je arbitrážní cena kontraktu X v čase t. 0 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 21 / 32
22 Numéraire 6.1 Obecný akciový model Numéraire s volatilitou - samofinancovatelnost Změna numéraire Numéraire (fran. mince či hotovost) představuje aktivum, k jehož hodnotě vyjadřujeme hodnotu všech ostatních aktiv v modelu. Doposud byl naším numéraire vždy peněžní dluhopis (bez volatility). V modelu dvou měn (kapitola 4.1) jsme měli na výběr použít jako numéraire dluhopis denominovaný v jedné z uvažovaných měn. Viděli jsme však, že tato volba neměla vliv na arbitrážní ceny stejného kontraktu X. Toto platí obecně (ukážeme pro dvě různé akcie jako numériare). Jako numéraire je však možné použít jakékoli obchodovatelné aktivum (i s volatilní cenou). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 22 / 32
23 Numéraire s volatilitou - samofinancovatelnost Změna numéraire Numéraire s volatilitou - samofinancovatelnost Uvažujme model s jednou akcíı S t a dluhopisem-numéraire s volatilní cenou B t (volatilita σ t ). Necht B t -diskontovaná cena aktiva S t, Z t = B 1 t S t, má volatilitu ρ t. Portfolio (φ t, ψ t ) má hodnotu V t = φ t S t + ψ t B t a B t -diskontovanou hodnotu E t = B 1 t V t = φ t Z t + ψ t. Potřebujeme ukázat, že z de t = φ t dz t plyne samofinancovatelnost portfolia (φ t, ψ t ). Počítejme: dv t = d(b t E t ) = B t de t + E t db t + σ t (φ t ρ t )dt = = φ t (B t dz t + Z t db t + σ t ρ t dt) + ψ t db t. Výraz v závorkách je však roven d(b t Z t ) = ds t. Tedy dv t = φ t ds t + ψ t db t. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 23 / 32
24 Změna numéraire 6.1 Obecný akciový model Numéraire s volatilitou - samofinancovatelnost Změna numéraire Uvažujme model s n aktivy S 1 t,..., S n t a dalšími dvěma, B t a C t, které mohou sloužit jako numéraire. V prvním případě hledáme míru Q B takovou, aby B t -diskontované ceny Bt 1 St i a Bt 1 C t byly Q B -martingaly. Ve druhém případě hledáme míru Q C takovou, aby C t -diskontované ceny Ct 1 St i a Ct 1 B t byly Q C -martingaly. Lze ukázat, že dqc dq B = C T B T a že pro kontrakt X naštěstí V B t B t E Q B (B 1 T X F t) = C t E Q C (C 1 T X F t) Vt C. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 24 / 32
25 Úrokově-měnový model - značení Značení Model, obchodovatelná aktiva P(t, T ) : cena v dolarech dluhopisu v čase t zaručující výplatu 1 dolaru v čase T f (t, T ) : dolarová forwardová úroková míra v čase T σ(t, T ) : volatilita f (t, T ) α(t, T ) : drift f (t, T ) r t B t : dolarová okamžitá úroková sazba v čase t (= f (t, t)) : cena dolarového dluhopisu v čase t (= exp R t rsds) 0 Q(t, T ) : cena v librách dluhopisu v čase t zaručující výplatu 1 libry v čase T g(t, T ) : librová forwardová úroková míra v čase T τ(t, T ) : volatilita g(t, T ) β(t, T ) : drift g(t, T ) u t D t C t ρ t λ t : librová okamžitá úroková sazba v čase t (= g(t, t)) : cena librového dluhopisu v čase t (= exp R t usds) 0 : směnný kurz USD/GBP v čase t : volatilita C t : drift C t Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 25 / 32
26 Model, obchodovatelná aktiva Značení Model, obchodovatelná aktiva Modely pro f (t, T ) a f (t, T ): vícefaktorový HJM model. Model pro směnný kurz C t : vícefaktorový geometrický Brownův pohyb. Obchodovatelná aktiva pro dolarového investora: Dolarový dluhopis (cash bond) B t (numéraire) Dolarový dluhopis (bond) P(t, T ) Cena librového dluhopisu v dolarech (cash bond): C t D t Cena librového dluhopisu v dolarech (bond): C t Q(t, T ) Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 26 / 32
27 Pojmy Věta (Harrison, Pliska) Částečný důkaz věty Bezarbitrážní úplné tržní modely - pojmy Model bez arbitráže. Je takový model, ve kterém neexistují arbitrážní příležitosti, tj. není možné dosáhnout z nuly bez rizika kladného zisku. Úplný model. Je takový model, ve kterém jakýkoli kontrakt je možné replikovat samofinancujícím portfoliem aktiv obsažených v modelu. Ekvivaletní martingalová míra (EMM). Je naše míra Q evivalentní skutečné míře P, vůči níž jsou diskontované ceny všech aktiv martingaly. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 27 / 32
28 Věta (Harrison, Pliska) Pojmy Věta (Harrison, Pliska) Částečný důkaz věty Následující věta dostává na pevný základ jednotlivá pozorování či tušení ohledně provázanosti těchto pojmů: Věta (Harrison, Pliska) Mějme model trhu aktiv a dluhopisu-numéraire. Pak 1 model je bez arbitráže právě tehdy, když v něm existuje alespoň jedna EMM Q, a 2 v tom případě platí, že model je úplný právě tehdy, když v něm existuje pouze jediná EMM Q. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 28 / 32
29 Existence EMM žádná arbitráž Pojmy Věta (Harrison, Pliska) Částečný důkaz věty Mějme pro jednoduchost model jednoho aktiva S t a dluhopisu B t. Necht Q je EMM, tj. Bt 1 S t je Q-martingal. Předpokládejme existenci samofinancujícího portfolia (φ, ψ), jehož hodnota splňuje V 0 = 0 a V T 0 (kandidát na arbitráž). Pak diskontovaná hodnota portfolia, E t = Bt 1 V t, je také Q-martingal a tedy platí E Q (E T ) = E Q (E T F 0 ) = E 0 = V 0 = 0. Tedy musí platit V T 0, tj. nejde o arbitrážní příležitot, ale o jistý nulový zisk z vkladu nula. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 29 / 32
30 Pojmy Věta (Harrison, Pliska) Částečný důkaz věty Možnost replikace jednoznačnost EMM Necht máme dvě EMM, Q a Q. Ukážeme, že se shodují. Uvažjme kontrakt X = B T I A pro libovolný jev A F T. Tento derivát tedy musí být replikovatelný. Jeho diskontovaná hodnota E t je nyní Q-martingal i Q -martingal. Musí platit Ovšem E T = I A a tedy E Q (E T ) = E Q (E T ) = E 0. E Q (E T ) = Q(A) = Q (A) = E Q (E T ). Tedy platí Q(A) = Q (A) A F 0 a tedy Q = Q. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 30 / 32
31 Literatura 6.1 Obecný akciový model M. Baxter, A. Rennie: Financial Calculus: An introduction to derivative pricing. Cambridge university press, Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 31 / 32
32 Děkuji za pozornost! Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 32 / 32
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy
Oceňování finančních derivátů ve spojitém čase Václav Kozmík Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy 4. 10. 2010 Úvod Stochastický kalkulus Wienerův proces stochastické procesy Itoovo lemma změna
VíceMartin Chudoba. Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK. dluhopisů pomocí. Black-Scholesova modelu. M.Chudoba.
Martin Chudoba s Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK 18.10.2010 Uvažujeme bezkupónový dluhopis vyplácející jednotku v čase T Za předpokladu konstantní úrokové míry r pro
VícePřemysl Bejda.
premyslbejda@gmail.com 2010 Obsah 1 2 3 Obchodovatelnost Cena rizika Obsah 1 2 3 Obchodovatelnost Cena rizika Obsah 1 2 3 Obchodovatelnost Cena rizika Itôovo lemma Lemma (Itôovo) Necht X t je stochastický
VíceOptimální řízení pro geometrický Brownův pohyb
1/39 Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb Lenka Slámová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Stochastické modelování v ekonomii a
VíceRadek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010
Sochasické modelování v ekonomii a financích 18. října 21 Program 1 2 3 4 Úroková míra R, T ) Uvažujme bezrizikový bezkuponový dluhopis s mauriou T a nominální hodnoou 1 $, jeho cenu v čase budeme nadále
VíceRovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceStochastické diferenciální rovnice
KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele 15.11.2011 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto
VíceLWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceOceňování akcií a. Brno 2012
Oceňování akcií a dluhopisů Brno 2012 Osnova 1 Oceňování akcií 2 Akcie Představují podíl na majetku akciové společnosti. Držení je spojeno s řadou práv- právo účasti na hlasování na valné hromadě, právo
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceDISERTAČNÍ PRÁCE k získání akademického titulu Doktor (Ph. D.)
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ DISERTAČNÍ PRÁCE k získání akademického titulu Doktor (Ph. D.) ve studijním oboru MATEMATICKÉ INŽENÝRSTVÍ RNDr. Edita Kolářová Stochastické diferenciální
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceOd Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům. Silvie Kafková. 1.prosince 2014, FIMA
Od Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům Silvie Kafková 1.prosince 2014, FIMA Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné procházky 4 Jednoduchý model ceny akcie Motivace Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Dluhopisy
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Dluhopisy Bakalářská práce Brno 008 Silvie Kafková PODĚKOVÁNÍ Chtěla bych poděkovat RNDr. Martinovi Kolářovi Ph.D. za vedení bakalářské práce, cenné rady a
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceEkonomické scénáře pro oceňování závazků z životního pojištění. Seminář z aktuárských věd Martin Jusko
Ekonomické scénáře pro oceňování závazků z životního pojištění Seminář z aktuárských věd 20. 12. 2013 Martin Jusko Otázky? co jsou ekonomické scénáře? proč a jak se používají při oceňování toků z životního
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceNové směry v oceňování derivátů: Opce se stochastickou volatilitou
Nové směry v oceňování derivátů: Opce se stochastickou volatilitou Jiří Málek Abstrakt V první části e uveden vztah (4) pro obecný derivát záviseící na dvou (neobchodovatelných) instrumentech. Tento vztah
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceOdhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Carmen Simerská Úvod do finančních derivátú, zvláště forwardů a opcí Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 56 (2011), No. 4, 313 322 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/142021
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Více1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceVybrané poznámky k řízení rizik v bankách
Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Seminář z aktuárských věd Petr Myška 7.11.2008 Obsah přednášky Oceňování nestandartních instrumentů finančních trhů Aplikace analytických vzorců Simulační techniky
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VícePojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková
Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Víceelektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016
F6122 Základy fyziky pevných látek seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo............................................... 1
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceTomáš Cipra: Matematika cenných papírů. Professional Publishing, Praha 2013 (288 stran, ISBN: ) ÚVOD.. 7
Tomáš Cipra: Matematika cenných papírů. Professional Publishing, Praha 2013 (288 stran, ISBN: 978-80-7431-079-9) OBSAH ÚVOD.. 7 1. DLUHOPISY.. 9 1.1. Dluhopisy v praxi... 9 1.1.1. Princip dluhopisů 9 1.1.2.
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceNumerická řešení stochastické diferenciální rovnice
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘKÁ PRÁCE Štěpán Masák Numerická řešení stochastické diferenciální rovnice Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceMATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT
8. licenční studium Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie MATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT Příklady: ) Najděte vlastní (charakteristická) čísla a vlastní
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceIntervalová data a výpočet některých statistik
Intervalová data a výpočet některých statistik Milan Hladík 1 Michal Černý 2 1 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova 2 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
VíceTomáš Cipra: Finanční a pojistné vzorce. Grada Publishing, Praha 2006 (374 stran, ISBN: 80-247- 1633-X) 1. ÚVOD... 17
Tomáš Cipra: Finanční a pojistné vzorce. Grada Publishing, Praha 2006 (374 stran, ISBN: 80-247- 1633-X) OBSAH SEZNAM NĚKTERÝCH SYMBOLŮ.... 13 1. ÚVOD.... 17 I. FINANČNÍ VZORCE.... 19 2. JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
Více