Design Experimentu a Statistika - AGA46E

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Design Experimentu a Statistika - AGA46E"

Transkript

1 Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak A 211) Office Hours: M 14:00 15:30 W 15:30 17:00 (or by appointment) 1 / 29

2 Overview Teoreticke zaklady pravdepodobnosti Vyberovy prostor S: Mnozina vsech moznych vysledku, ktere dany nahodny mechanizmus muze vygenerovat (vsechny mozne vysledky, ktore lze ocekavat); S = {O 1, O 2,..., O k }; Elementarni jev O i S, pro nejake i {1,..., k}: Jeden konkretni prvek vyberoveho prostoru S; Nahodny jev A = {O i1,..., O il } S: Libovolna podmnozina vyberoveho prostoru S - muze to byt i prazdni mnozina { }, nebo cely vyberovy prostor {S}; Nahodna velicina X(A) R: Vhodne definovana funkce, ktora vysledky nahodniho mechanizmu interpretuje pomoci cisel, se kterymi pak muzeme v matematice lepe pocitat; 2 / 29

3 Overview Pravdepodobnost (pstni mira) je to funkce, ktera predepisuje pravdepodobnostne hodnoty jednotlivym elementarnim jevum z vyberoveho prostoru S (kvantifikuje jak casto se jednotlive elementarni jevy objevuji); Pravdepodobnost (pstni mira) splnuje nasledujici pozadavky: P(A) 0 pro kazdou A S; P(S) = 1 a P( ) = 0; P(A B) = P(A) + P(B) pro libovolne A, B S, takove, ze A B = ; 3 / 29

4 Overview Pravdepodobnost (pstni mira) je to funkce, ktera predepisuje pravdepodobnostne hodnoty jednotlivym elementarnim jevum z vyberoveho prostoru S (kvantifikuje jak casto se jednotlive elementarni jevy objevuji); Pravdepodobnost (pstni mira) splnuje nasledujici pozadavky: P(A) 0 pro kazdou A S; P(S) = 1 a P( ) = 0; P(A B) = P(A) + P(B) pro libovolne A, B S, takove, ze A B = ; Jak to funguje? neznamy nahodny mechanismus vyberovy prostor S; nahodny vyber pouze nektere realizace (hodnoty) vyberoveho prostoru; aplikace statistickych metod obecne platne zavery; kdyz je statistika korektni tyhle zavery lze zobecnit na celou populaci (i kdyz je tato populace celkove neznama); 3 / 29

5 Overview Pravdepodobnost a Statistika Zakladny princip statistiky je korektne zobecneni vysledku ziskanych z nahodneho vyberu a jejich uplatneni na celou (neznamou) populaci; 4 / 29

6 Overview Pocitani pravdepodobnosti Pravdepodobnost doplnkoveho jevu pro nejaky A S: P(A c ) = P(S \ A) = 1 P(A) Sjednoceni dvou jevu (nebo) A, B S: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Prunik dvou jevu (a zaroven) A, B S: P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) Bayesova veta a Zakon celkove pravdepodobnosti: P(A j B) P(B A j) P(A j) n P(B Ai) P(Ai) i=1 pro disjunktni jevy A i (i = 1,..., n) takove, ze Ai = S; i 5 / 29

7 Zakladni Pravdepodobnostni Koncepty Klasicky vs. Geometricky Koncept Klasicka pravdepodobnost N 6 / 29

8 Zakladni Pravdepodobnostni Koncepty Klasicky vs. Geometricky Koncept Klasicka pravdepodobnost N 6 / 29

9 Zakladni Pravdepodobnostni Koncepty Klasicky vs. Geometricky Koncept Klasicka pravdepodobnost Geometricka pravdepodobnost N 6 / 29

10 Zakladni Pravdepodobnostni Koncepty Klasicky vs. Geometricky Koncept Klasicka pravdepodobnost Diskretne nahodne veliciny Geometricka pravdepodobnost Spojite nahodne veliciny N 6 / 29

11 Diskretni nahodne veliciny Co je to nahodna velicina? realni funkce, ktera transformuje jednotlive vysledky nahodniho experimentu do numerickych hodnot (cisel), s kterymi pak umime pocitat matematicke rovnice; 7 / 29

12 Diskretni nahodne veliciny Co je to nahodna velicina? realni funkce, ktera transformuje jednotlive vysledky nahodniho experimentu do numerickych hodnot (cisel), s kterymi pak umime pocitat matematicke rovnice; 7 / 29

13 Diskretni nahodne veliciny Co je to nahodna velicina? realni funkce, ktera transformuje jednotlive vysledky nahodniho experimentu do numerickych hodnot (cisel), s kterymi pak umime pocitat matematicke rovnice; nahodni velicina vytvari "link" mezi abstraknimi pojmi a matematickymi (numerickymi) hodnotami; 7 / 29

14 Diskretni nahodne veliciny Charakterizace n. velicin existuje mnoho ruznych nahodnych mechanismu; (mince, hraci kostka, sledovani udalosti v case a pod.) ruzne nahodne mechanizmi "generuji" ruzne n. veliciny; (jine n. velicina popisuje kostku a jina n.v. popisuje minci, a pod..) ruzne nahodne veliciny potrebuje dostatecne popsat; (muzeme vyuzit ruzne charakteristiky, ktore nahodnou velicinu popisuji.) medzi klasicke charakteristiky patri napr. stredni hodnota, median,... (tyhle charakteristiky popisuji n. v. pouze castecne, z urciteho pohledu) existuje nejaky absolutni, dokonaly popis nahodne veliciny? (analogie otlacku prstu u lidi, neboli fotografie?) 8 / 29

15 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Diskretne nahodne veliciny Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 1: symetricka hraci kostka generujici hodnoty {1, 2,..., 6}; Pravdepodobnostni funkce: P[X = k], pro k {1,..., 6}; Probability Random Variable Values 9 / 29

16 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Diskretne nahodne veliciny Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 1: symetricka hraci kostka generujici hodnoty {1, 2,..., 6}; Kumulativni distribucni funkce: P[X k], pro k {1,..., 6}; Cumulative Probability Random Variable Values 10 / 29

17 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Diskretne nahodne veliciny Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 2: strata $10 pro 1 a 2 zisk $10 pro 3 a vice; Pravdepodobnostni funkce: P[X = k], pro k { 10, 10}; Probability Random Variable Values 11 / 29

18 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Diskretne nahodne veliciny Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 2: strata $10 pro 1 a 2 zisk $10 pro 3 a vice; Kumulativni distribucni funkce: P[X k], pro k { 10, 10}; Cumulative Probability Random Variable Values 12 / 29

19 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Diskretne nahodne veliciny Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 3: kolik ze 6 experimentu se nezdarilo? Pravdepodobnostni funkce: P[X = k], pro k {0, 1,..., 6}; Probability Random Variable Values 13 / 29

20 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Diskretne nahodne veliciny Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 3: kolik ze 6 experimentu se nezdarilo? Kumulativni distribucni funkce: P[X k], pro6 k {0, 1,..., 6}; Cumulative Probability Random Variable Values 14 / 29

21 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Diskretne nahodne veliciny Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 4: nahodni experiment generujici 50 ruznych vysledku; Pravdepodobnostni funkce: P[X = k], prok {0, 1,..., 50}; Probability Random Variable Values 15 / 29

22 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Diskretne nahodne veliciny Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 4: nahodni experiment generujici 50 ruznych vysledku; Kumulativni distribucni funkce: P[X k], pro k {0, 1,..., 54}; Cumulative Probability Random Variable Values 16 / 29

23 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Od diskretnich ke spojitym Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 5: experiment s 200 ruznymi vysledky... Pravdepodobnostni funkce: P[X = k], pro k {0, 1,..., 6}; Probability Random Variable Values 17 / 29

24 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Od diskretnich ke spojitym Dve ruzne funkce jako "otlacek", resp. fotografie nahodne veliciny: Priklad 5: experiment s 200 ruznymi vysledky... Kumulativni distribucni funkce: P[X k], pro k {0, 1,..., 6}; Cumulative Probability Random Variable Values 18 / 29

25 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Nektere dulezite vlastnosti Pravdepodobnostni funkce P[X = x] Kumulativna distribucni funkce F (x) = P[X x] 19 / 29

26 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Nektere dulezite vlastnosti Pravdepodobnostni funkce P[X = x] nezaporna funkce s hodnotami v mistech, kde jsou generovany vysledky; Kumulativna distribucni funkce F (x) = P[X x] 19 / 29

27 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Nektere dulezite vlastnosti Pravdepodobnostni funkce P[X = x] nezaporna funkce s hodnotami v mistech, kde jsou generovany vysledky; Kumulativna distribucni funkce F (x) = P[X x] nezaporna, neklesajici a po castech konstantni funkce; 19 / 29

28 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Nektere dulezite vlastnosti Pravdepodobnostni funkce P[X = x] nezaporna funkce s hodnotami v mistech, kde jsou generovany vysledky; vyska (velikost) sloupce je rovna pravdepodobnosti vyskytu; Kumulativna distribucni funkce F (x) = P[X x] nezaporna, neklesajici a po castech konstantni funkce; 19 / 29

29 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Nektere dulezite vlastnosti Pravdepodobnostni funkce P[X = x] nezaporna funkce s hodnotami v mistech, kde jsou generovany vysledky; vyska (velikost) sloupce je rovna pravdepodobnosti vyskytu; Kumulativna distribucni funkce F (x) = P[X x] nezaporna, neklesajici a po castech konstantni funkce; velikost skoku vzdy zodpoveda pravdepodobnosti vyskytu; 19 / 29

30 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Nektere dulezite vlastnosti Pravdepodobnostni funkce P[X = x] nezaporna funkce s hodnotami v mistech, kde jsou generovany vysledky; vyska (velikost) sloupce je rovna pravdepodobnosti vyskytu; soucet vsech sloupcu dohromady dava vzdy hodnotu 1; Kumulativna distribucni funkce F (x) = P[X x] nezaporna, neklesajici a po castech konstantni funkce; velikost skoku vzdy zodpoveda pravdepodobnosti vyskytu; 19 / 29

31 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Nektere dulezite vlastnosti Pravdepodobnostni funkce P[X = x] nezaporna funkce s hodnotami v mistech, kde jsou generovany vysledky; vyska (velikost) sloupce je rovna pravdepodobnosti vyskytu; soucet vsech sloupcu dohromady dava vzdy hodnotu 1; Kumulativna distribucni funkce F (x) = P[X x] nezaporna, neklesajici a po castech konstantni funkce; velikost skoku vzdy zodpoveda pravdepodobnosti vyskytu; je vzdy nulova vlevo a rovna hodnote jedna napravo (F ( ) = 0, F ( ) = 1); 19 / 29

32 Distribucni Funkce Nahodne Veliciny Nektere dulezite vlastnosti Pravdepodobnostni funkce P[X = x] nezaporna funkce s hodnotami v mistech, kde jsou generovany vysledky; vyska (velikost) sloupce je rovna pravdepodobnosti vyskytu; soucet vsech sloupcu dohromady dava vzdy hodnotu 1; Kumulativna distribucni funkce F (x) = P[X x] nezaporna, neklesajici a po castech konstantni funkce; velikost skoku vzdy zodpoveda pravdepodobnosti vyskytu; je vzdy nulova vlevo a rovna hodnote jedna napravo (F ( ) = 0, F ( ) = 1); Vzajemny vztah (c.p.f.) lze vyjadrit jako: F (x) = P[X x] = P[X = x i] i; x i x 19 / 29

33 Nektere vlastnosti nahodnych velicin Zakladni charakteristiky Statistika nasbirane data, ktere tvori nahodny vyber z nejakeho neznameho nahodneho mechanismu; Pravdepodobnost neznamy nahodny mechanismus, o kterem se chceme neco dozvedet z dat; 20 / 29

34 Nektere vlastnosti nahodnych velicin Zakladni charakteristiky Statistika nasbirane data, ktere tvori nahodny vyber z nejakeho neznameho nahodneho mechanismu; Pravdepodobnost neznamy nahodny mechanismus, o kterem se chceme neco dozvedet z dat; Nahodny vyber X 1,..., X n; 20 / 29

35 Nektere vlastnosti nahodnych velicin Zakladni charakteristiky Statistika nasbirane data, ktere tvori nahodny vyber z nejakeho neznameho nahodneho mechanismu; Pravdepodobnost neznamy nahodny mechanismus, o kterem se chceme neco dozvedet z dat; Nahodny vyber X 1,..., X n; Populace S = {x 1,..., x N } 20 / 29

36 Nektere vlastnosti nahodnych velicin Zakladni charakteristiky Statistika Pravdepodobnost nasbirane data, ktere tvori nahodny vyber z nejakeho neznameho nahodneho mechanismu; neznamy nahodny mechanismus, o kterem se chceme neco dozvedet z dat; Nahodny vyber X 1,..., X n; Vyberovy prumer (Prumer): X n = 1 n n X i i=1 Populace S = {x 1,..., x N } 20 / 29

37 Nektere vlastnosti nahodnych velicin Zakladni charakteristiky Statistika Pravdepodobnost nasbirane data, ktere tvori nahodny vyber z nejakeho neznameho nahodneho mechanismu; neznamy nahodny mechanismus, o kterem se chceme neco dozvedet z dat; Nahodny vyber X 1,..., X n; Vyberovy prumer (Prumer): X n = 1 n n X i i=1 Populace S = {x 1,..., x N } Stredni hodnota (Mean): N E(X) = x i P[X = x i] i=1 20 / 29

38 Nektere vlastnosti nahodnych velicin Zakladni charakteristiky Statistika nasbirane data, ktere tvori nahodny vyber z nejakeho neznameho nahodneho mechanismu; Pravdepodobnost neznamy nahodny mechanismus, o kterem se chceme neco dozvedet z dat; Nahodny vyber X 1,..., X n; Vyberovy prumer (Prumer): X n = 1 n n X i i=1 Populace S = {x 1,..., x N } Stredni hodnota (Mean): N E(X) = x i P[X = x i] i=1 Vyberovy rozptyl: s 2 n = 1 n 1 n (X i X n) 2 i=1 20 / 29

39 Nektere vlastnosti nahodnych velicin Zakladni charakteristiky Statistika nasbirane data, ktere tvori nahodny vyber z nejakeho neznameho nahodneho mechanismu; Pravdepodobnost neznamy nahodny mechanismus, o kterem se chceme neco dozvedet z dat; Nahodny vyber X 1,..., X n; Vyberovy prumer (Prumer): X n = 1 n n X i i=1 Populace S = {x 1,..., x N } Stredni hodnota (Mean): N E(X) = x i P[X = x i] i=1 Vyberovy rozptyl: s 2 n = 1 n 1 n (X i X n) 2 i=1 Rozptyl: Var(X) = N P[X = x i] (x i E(X)) 2 i=1 20 / 29

40 Dulezite Diskretni Rozdeleni Dulezite diskretni rozdeleni Zakladne diskretni rozdeleni... Alternativne (Bernoulliho) rozdelenie pravdepodobnosti; Binomicke rozdelenie pravdepodobnosti; Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti; 21 / 29

41 Dulezite Diskretni Rozdeleni Bernoulliho nahodna velicina Jakob Bernoulli ( ) jeden z mnohych prominentnych matematiku v Bernoulliho rodine v Baseleji, Svycarsko; autor prvni verze Zakona velkych cisel v teorii pravdepodobnosti; objevil a definoval jednu zo zakladnych matematickych konstant ( ) n n 22 / 29

42 Dulezite Diskretni Rozdeleni Bernoulliho nahodna velicina Jakob Bernoulli ( ) jeden z mnohych prominentnych matematiku v Bernoulliho rodine v Baseleji, Svycarsko; autor prvni verze Zakona velkych cisel v teorii pravdepodobnosti; objevil a definoval jednu zo zakladnych matematickych konstant ( ) n e n n 22 / 29

43 Dulezite Diskretni Rozdeleni Bernoulliho nahodna velicina najjednoduchsi nahodny mechanismus, najjednoduchsi rozdeleni... existuji pouze dva mozne vysledky mechanismu; (true nebo false, uspech nebo fail, 0 nebo 1, a pod.) 23 / 29

44 Dulezite Diskretni Rozdeleni Bernoulliho nahodna velicina najjednoduchsi nahodny mechanismus, najjednoduchsi rozdeleni... existuji pouze dva mozne vysledky mechanismu; (true nebo false, uspech nebo fail, 0 nebo 1, a pod.) Pro nahodnou velicinu X, ktora se ridi Alternativnym (Bernoulliho) rozdelenim pravdepodobnosti plati: Znaceni: X Alt(p) Stredni hodnota: E(X) = p Rozptyl: Var(X) = p(1 p) 23 / 29

45 Dulezite Diskretni Rozdeleni Od Bernoulliho k dalsim... najjednoduchsi konstrukce nahodniho mechanismu: mnoho dalsich je ale primocare odvozenych od Alternativniho; 24 / 29

46 Dulezite Diskretni Rozdeleni Od Bernoulliho k dalsim... najjednoduchsi konstrukce nahodniho mechanismu: mnoho dalsich je ale primocare odvozenych od Alternativniho; opakovani Bernoulliho pokusu n-krat Binomicke rozdeleni X Bi(n, p), stredni hodnota E(X) = np a rozptyl Var(X) = np(1 p) 24 / 29

47 Dulezite Diskretni Rozdeleni Od Bernoulliho k dalsim... najjednoduchsi konstrukce nahodniho mechanismu: mnoho dalsich je ale primocare odvozenych od Alternativniho; opakovani Bernoulliho pokusu n-krat Binomicke rozdeleni X Bi(n, p), stredni hodnota E(X) = np a rozptyl Var(X) = np(1 p) limitni verze Binomickeho rozdeleni Poissonovo rozdeleni np λ > 0, X Poiss(λ), E(X) = λ a rozptyl Var(X) = λ; 24 / 29

48 Dulezite Diskretni Rozdeleni Od Bernoulliho k dalsim... najjednoduchsi konstrukce nahodniho mechanismu: mnoho dalsich je ale primocare odvozenych od Alternativniho; opakovani Bernoulliho pokusu n-krat Binomicke rozdeleni X Bi(n, p), stredni hodnota E(X) = np a rozptyl Var(X) = np(1 p) limitni verze Binomickeho rozdeleni Poissonovo rozdeleni np λ > 0, X Poiss(λ), E(X) = λ a rozptyl Var(X) = λ; pocet neuspechu pred prvnim uspechem Geometricke rozdeleni Znaceni X G(p), Stredni hodnota E(X) = 1/p, rozptyl Var(X) = 1 p p 2 24 / 29

49 Dulezite Diskretni Rozdeleni Binomicke Rozdeleni 25 / 29

50 Dulezite Diskretni Rozdeleni Geometricke Rozdeleni 26 / 29

51 Dulezite Diskretni Rozdeleni Poissonovo Rozdeleni 27 / 29

52 Dulezite Diskretni Rozdeleni Dalsi diskretne rozdeleni Negativne binomicke rozdelenie; Logaritmicke rozdelenie; Multinomicke rozdelenie; Hypergeometricke rozdelenie;... a mnoho dalsich (znamych i neznamych); 28 / 29

53 Dulezite Diskretni Rozdeleni Pokracovani priste... spojite nahodne rozdeleni; uvod do statisticke inference; inference vo vyberovych prumerech; dvouvyberovy prumer; / 29

Design Experimentu a Statistika - AGA46E

Design Experimentu a Statistika - AGA46E Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: M 14:00 15:30 W 15:30 17:00

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Design Experimentu a Statistika - AGA46E

Design Experimentu a Statistika - AGA46E Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: T 9:00 10:30 or by appointment

Více

Design Experimentu a Statistika - AGA46E

Design Experimentu a Statistika - AGA46E Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: T 9:00 10:30 or by appointment

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

Design Experimentu a Statistika - AGA46E

Design Experimentu a Statistika - AGA46E Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: T 9:00 10:30 or by appointment

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodná veličina (dále NV)? Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Jaké

Více

III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu

Více

Počet pravděpodobnosti

Počet pravděpodobnosti PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 4 Počet pravděpodobnosti Je známo, že když muž použije jeden z okrajových pisoárů, sníží se pravděpodobnost, že bude pomočen o 50%. anonym Pravděpodobnost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Název NV X Popis Pravděpodobnostní funkce E(X) D(X) Binomická - Bi(n, ) počet úspěchů v n Bernoulliho pokusech P(X = k) = ( n k ) k (1 ) k n n(1 ) Hypergeometrická

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1. Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat

Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A

Více

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat 1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat

2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat 2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat Anotace Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich se specifickými vlastnostmi,

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více