Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.

Transkript

1 Lineární funkcionál Z teorie je nutné znát pojm: lineární funkcionál jádro hodnost a defekt lineárního funkcionálu Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definován funkcionál ϕ : C C pro každé = C následujícím způsobem a ϕ = + + b ϕ = c ϕ = d ϕ = Re e ϕ = α +α α kde X = X = α α α a X je báze prostoru C definována následovně f ϕ = + α + α za stejných předpokladů jako v předchozím bodě Zjistěte zda ϕ C # V kladném případě najděte hodnost hϕ defekt dϕ a bázi ker ϕ Lineární zobrazení Z teorie je nutné znát pojm: lineární zobrazení jádro hodnost a defekt lineárního zobrazení matice zobrazení Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definováno zobrazení A : C C pro každé = C následujícím způsobem a A = Im i b A = + + c A = Zjistěte zda A LC C V kladném případě najděte hodnost ha defekt da a bázi ker A [cvičení] Zjistěte v kterém případě je A LR R Pokud není vsvětlete proč Pokud je najděte ha da kera Pro každé R platí: a A = b A = i c A =

2 [cvičení] Nechť A LR R kde pro každé = R platí A = + a Určete ha da b Doplňte na bázi AR c Najděte bázi ker A d Je A regulární operátor? Vsvětlete [cvičení] Nechť X báze prostoru C a Y báze C jsou definován následovně X = a Y = i V případech z cvičení kd A LC C sestavte a E A E b E A Y c X A E d X A Y 5 [cvičení] Nechť X báze prostoru C a Y báze C jsou definován následovně X = a Y = Sestavte matici X ϕ Y funcionálu ϕ z kapitol Lineární funcionál příkladu a v bázích X a Y 6 Nechť A : P P definované následovně At = t+ pro každé P a každé t C Ověřte že A LP Sestavte X A kde X = je báze P v níž pro každé t C platí t = t t t = t + t t = + t 7 [cvičení] Nechť A LC C zadané obraz bazických vektorů prostoru C následovně A = A = A = Sestavte E A E 8 [cvičení] Nechť A LR R Y = Sestavte X A E kde X = 9 [cvičení] Nechť A LV X A = Y A Y = je báze R a nechť E A Y = je báze R X = je báze V Sestavte

3 [cvičení] Nechť A LC C X = X A Y = 5 [cvičení] Nechť X = Nalezněte A LR B LR Nechť X A Y = α β α B = kde α X = β [cvičení] Nechť A LC C X A E = Úkol: a Y = Y = jsou báze R A a nechť pro každý vektor R Nalezněte E A + B X a Najděte bázi AC a určete hodnost ha a defekt da b Najděte bázi jádra c Nalezněte všechna řešení rovnice A = X = [cvičení] Nechť A LC C B LC C Zobrazení A je definováno obraz bazických vektorů A = A = a Y B Z = báze Y a Z jsou tvaru Y = Nalezněte E BA Z [cvičení] Nechť A LR R X A Y = a Y = ϕa a Z = 5 6 kde X = 5 platí Nechť ϕ R # E ϕ Z = kde Z = Najděte bázi jádra 5 [cvičení] Nechť A LC C B LC E B = A A parametru α C určete hodnost zobrazení BA A α α kde A α V závislosti na

4 Pro zajímavost Proč žádné zobrazení A : C R není lineární? Nechť A : R R je definované pro každé R jako A = X kde X = e + e e Najděte A{ } A[ ] λ A { } A [ ] λ Je A epimorfní monomorfní? Nechť A : R R je definované pro každé R jako # A = # kde X = e + e e Najděte A{ } A[ ] λ A { Je A epimorfní monomorfní? } A [ ] λ [cvičení] Nechť A je reálná matice tpu Definujeme zobrazení A : R R předpisem A := A pro každé R Ověřte že A LR Zkontrolujte že operátor A určené následujícími maticemi A působí tak jak je uvedeno v závorkách e > e Načrtněte si jak v jednotlivých případech vpadá vektor A! = A je zrcadlení nebo osová souměrnost podle os A je zrcadlení nebo osová souměrnost podle os = A je středová souměrnost cos θ sin θ A je rotace o úhel θ po směru hodinových ručiček matici se sinθ cos θ říká elementární matice rotací α A je prodloužení respektive zkrácení ve směru α A je zkosení ve směru 5 Nechť P Q jsou vektorové prostor nad stejným tělesem Nechť A : P Q je izomorfismus Ověřte a zapamatujte si:

5 a dim P = dim Q b Je-li n LN soubor pak A A A n je LN Na toto tvrzení stačí A monomorfní c Je-li P P a dim P = k pak AP Q na to stačí linearita A a dim AP = k d Je-li n báze P pak A A A n je báze Q e Analogická tvrzení platí i pro A 6 Jak je možné že funkcionál ϕ : R R definovaný pro každý vektor = R jako ϕ = + není prostý ačkoliv ker ϕ = { }? 7 Ukažte že následující zobrazení R do R nejsou lineární Pro každé = definujeme R a A = b A = + c A = d A = + e A = f A = e Výsledk: Lineární funkcionál a ϕ C # hϕ = dϕ = báze jádra je např b ϕ C # hϕ = dϕ = báze jádra je např E c ϕ / C # d ϕ / C # e ϕ C # hϕ = dϕ = báze jádra je např f ϕ C # hϕ = dϕ = báze jádra je např Výsledk: Lineární zobrazení a A / LC C b A LC C ha = da = báze jádra je např c A / LC C a A je lineární ha = da = kera = { } i i 5

6 b A není vůbec zobrazení do R tudíž ani lineární zobrazení do R c A není lineární například proto že obraz nulového vektoru není nulový vektor a ha = da = b báze AR = c báze jádra neeistuje protože jádro je nulový prostor d A není regulární operátor protože definiční obor a obor hodnot nejsou stejné vektorové prostor i a E A E = i i + i b E A Y = i i i c X A E = + i + i + i d X A Y = 5 X ϕ Y = 6 X A = E A E = 8 X A E = 9 Y A = A E A + B X = 56 9 a báze AC je např E ha = da = b báze jádra je např c A = + [ ] λ 6

7 E BA Z = báze jádra ϕa je např pro α je hba = pro α = je hba = 7