Matematika pro geometrickou morfometrii (1)

Transkript

1 Ján Dupej Laboratoř 3D zobrazovacích a analytických metod Katedra antropologie a genetiky člověka Přírodovědecká fakulta UK v Praze

2 Sylabus 1) Úvod do problematiky, zobrazovací metody v medicíně a antropologii. 2) Základy rentgenometrie, kefalometrická analýza laterálních RTG snímků. 3) Zadávání kefalometrických bodů a linií na RTG snímcích, praktická část. 4) Metrická analýza laterálních RTG snímků, využití softwarů SigmaScan, Craniometrics, Past, praktická část. 5) Odhad dentálního věku na základě panoramatických RTG snímků. 6)Odhad biologického věku na základě odečítání RTG snímků ruky. 7) Metody geometrické morfometrie: Úvod, Landmarkové metody, Dvoubodová registrace 8) Metody geometrické morfometrie: Prokrustovská analýza, Teorie tvaru, TPS 9) Metody geometrické morfometrie: Warps, FESA, PCA 10)Metody geometrické morfometrie: Výpočet PCA, Statistika v kostce, Statistické testy, Regresní analýza 11)Metody geometrické morfometrie: Nelandmarkové metody, Křivky, Analýza kontur, Semilandmarky, Integrální transformace 12)Zápočet (?) 2

3 Předběžný rozvrh Úvod, základní pojmy, normalizace, Prokrustovská analýza Pokračování a praktické cvičení Vizualizace, TPS, Warps, FESA, PCA Nelandmarkové metody Pokračování a praktické cvičení Statistické metody pro GMM Specifické problémy 3

4 Úvod Rozhrání několika oborů Geometrie Morfometrie Biologie Antropologie Statistika Zpracování lékařských dat 4

5 Cíle GM Odhalit skrytá fakta a souvislosti 1. Reprezentace exepláře Landmarky, Semilandmarky Křivky Trojúhelníkové sítě 2. Data mining (hledání potenciálně užitečných informací) PCA Shluková analýza 3. Vyslovení a testování hypotézy Statistické testy, korelace, regrese 4. Kvantifikace Metriky 5

6 Cíle GM Popsat tvar čísly Čísla statisticky vyhodnotit Měření Čísla Závěr Metoda Metoda 6

7 Cíle přednášky Základy GM s důrazem na pochopení metematických principů Vzorce a vztahy Názorné ukázky a příklady Počty, matematický softvér, GM softvér Použití vhodné metody pro danou úlohu Příklady a zdroje inspirace Links cgg and natur.cuni Připravit na zkoušku 7

8 Literatura Zelditch, Swiderski, Sheets, Fink: Geometric Morphometrics for Biologists: A Primer Slice: Modern Morphometrics in Physical Anthropology Lele, Richtsmeier: An Invariant Approach to Statistical Analysis of Shapes 8

9 Tradiční metody Poloha bodů nehraje roli (také nejde dobře měřit) Používá se Vzdálenost mezi dvěma body, poměry vzdáleností Úhel sevřen trojicí bodů Objemy, plochy... 9

10 Získavání dat 2D Fotografie, kamera Perspektivní projekce zdroj chyb měření 3D CT, MRI DICOM Povrchové skenery OBJ, STL, WRL Polohovací zařízení 10

11 Data (2D) 11

12 Data (3D) 12

13 Data (objem) 13

14 Landmark Jméno biologický význam Abstraktní, nezávislé na reprezentaci Homologní Souřadnice matematický význam Dle dimenze dvojice, trojice (k-tice) čísel Vektor Typy landmarků (Bookstein 1991, p. 63) 1. Body dotyku nebo průsečníky linií 2. Body extrémní křivosti 3. Extremální body (nejvzdálenější, místa největší šířky, definované pomocí dalších landmarků) 14

15 Výběr landmarků Závisí na tom co chceme najít Pokud to nevíme, snažíme se objekt pokrýt systematicky Pokud nás zajímá konkrétní část exempláře, musíme jí odpovídajícím způsobem pokrýt landmarky Pokud porovnáváme dvě části (pr. horní a dolní čelist) pokrýt landmarky Pokud pokrytí není možné Jiné (nelandmarkové) metody Semi-landmarky Křivky 15

16 Jednoznačnost souřadnic Odpovídá každému landmarku právě jedna sada souřadnic? Souřadná soustava Počátek Jednotky Orientace Báze Sada směrů jejichž kombinací se dají popsat všechny body prostoru Je možné převádět 16

17 Vektory Uspořádaná k-tice skalárů Zachycuje vícedimenzionální informaci (k dimenze) v = 1,2 ; w = 3,4, 8 ; u = 1,8, π, 0,3 Na vektorech stejné dimenze podobné operace jako se skaláry Součet 1,2 + 3,4 = 4,6 Skalární součin 1,2 3,4 = Násobení skalárem 3 1,2 = 3,6 Vektorový součin 17

18 Vzdálenost dvou bodů Aplikace Pythagorovy věty c 2 = a 2 + b 2 Q c 2 = Q x P x 2 + Q y P y 2 Zápis pomocí vektorových operací P c a b c 2 = Q P Q P c = Q P Q P 18

19 Souřadnice Počátek P Báze B = b 1, b 2, Souřadnice k = k 1, k 2, b 1 c c = P + k i b i i k 1 b 1 Landmarky určovat ve stejné soustave souřadnic P k 2 b 2 b 2 19

20 Matice Tabulka čísel Obecnější případ vektorů Operace sčítaní a násobení, transpozice Musí souhlasit velikosti matic a vektoů Zajímavé speciální případy Čtvercová Symetrická Diagonální Jednotková 20

21 Operace s maticemi Násobení matic AB = C c ij = a i b j = Transpozice Výměna sloupců za řádky Funguje také s vektory řádkový změní na sloucový (a naopak) T =

22 Vzdálenost dvou bodů Zápis pomocí vektorových operací c 2 = Q P Q P Q c = Q P Q P P c b c 2 = Q P T Q P a c = Q P T Q P 22

23 Transformace Práce se souřadnicemi je možné snadno zapsat pomocí maticových operací Rotace, zvětšení Používá se pro hromadné zpracování = Transformační matice Souřadnice Transformované souřadnice Inverzní transformace????????? =

24 Lineární transformace Linearita zaručuje že se nezmění vzájemné vztahy mezi transformovanými vektory αa a + b = αaa + αab Užitečné transformace (rotace, zvětšení) jsou lineární Identita Neprovede na vektoru žádné změny Jednotková matice I = Posunutí se nedá realizovat násobením obyčejných souřednic maticemi 24

25 Homogenní souřadnice Perspektivní projekce není lineární transformace Nezachovává rovnoběžnost, úhly, vzdálenosti Lze jí popsát maticí s použitím homogenních souřadnic Přechod do prostoru vyšší dimenze (2D 3D) Z bodů se stávají přímky V prostoru homogenních souřadnic lineární transformace Převod do prostoru normálních souřadnic Naštěstí se s nimi často nesetkáme Software pro rekonstrukci 3D skenů Obecná kalibrace kamery 25

26 Typy transformací Podobnost Rotace, posun, změna měřítka, souměrnost Afinní transformace Podobnost, zkosení Projekce 26

27 Práce s maticemi v R Praktická ukázka R > A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6,7,8,9), nrow=3, ncol=3, byrow=true) = > A [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] > b<-c(1,2,3) > A %*% b [,1] [1,] 14 [2,] 32 [3,] 50 27

28 Nelineární transformace Provádějí složitější operace než násobení koeficienty a sčítání Perspektivní projekce provádí dělení 28

29 Moderní metody GM Metody měření, zpracování, analýzy a zobrazení s cílem studia tvaru a jeho změn Tvarové proměnné popisují tvar, nemění se s velikostí Forma = velikost + tvar 29

30 Tvar Definice (Kendall) Veškerá geometrická informace která objektu zůstane po odstranění vlastností polohy, měřítka a rotace Tradiční morfometrie Pracuje přímo se vzdálenostmi nebo jejich poměry Samotné vzdálenosti stěží odrážejí tvar Dva exempláře jsou tak tvarem neporovnatelné Oddělení velikosti a tvaru v datech Jedna z hlavních myšlenek GM 30

31 Velikost Nezáporná Lineární Centroidová velikost (Centroid size) Matematicky nezávislá na tvaru Výpočet ze vzdáleností landmarků od těžiště t p 1 p 2 t p 3 t = 1 n n i=1 p i n CS = i=1 p i t T p i t p 5 p 4 Často se hledá souvislost CS s tvarem 31

32 Příklad - trojúhelníky Nejjednodušší geometrický objekt, u kterého se dá hovořit o tvaru K úplnému popisu tvaru trojúhelníku v rovině stačí dvojice čísel Stupeň volnosti tvaru = počet proměnných po odstranění velikosti, otočení a posunutí k - dimenze; p - počet bodů 2D: 2p 4 3D: 3p 7 Obecně: pk k k k

33 Registrace Definice Hledání transformace dvou datových množin do společného systému souřadnic Transformací do společného jednotkového souřadného systému odstraníme vliv velikosti na tvarové proměnné T 33

34 Typy registrace Podle dat se kterými pracují 2D, 3D, objem, mraky bodů, trojúhelníkové sítě... Podle typu transformace které připouštějí Rigidní, afinní, elastická Podle způsobu hledání transformace Uzavřené formy, iterativní metody Podle způsobu porovnání dvou datových množin Pro účely tvarových proměnných připustíme pouze transformaci polohy, orientace a měřítka Možné popsat lineární algebrou (matice) 34

35 Dvoubodová registrace (1) Booksteinova registrace Volba dvoulandmarků, které budou tvořit tzv. základnu (base-line) Transformace celého vzorku, aby základna každého exempláře ležela na ose x mezi 0 a

36 Dvoubodová registrace (2) p 3 Naměřené souřadnice vzorku matice X p 2 x 1 y 1 X = x 2 y 2 p 1 x n y n p 1 a p 2 tvoří bázi p 3 1. Posun jednoho z vrcholů báze do počátku X = X 1 T p 1 p 2 2. Výpočet úhlu který svírá báze a osa x cos θ = b c c = x y 2 b = x 2 θ = cos 1 x 2 x y 2 p 1 p 3 p 1 c b θ p 2 36

37 Dvoubodová registrace (3) 3. Rotace do osy x X = HX H = cos ( θ) sin( θ) sin( θ) cos ( θ) 4. Škálování na délku 1 Y = 1 x 2 X p 3 p 1 p 2 q 3 Aplikuje se na všechny vzorky q 1 Počet proměnných je snížen o 4 zůstaly jen tvarové proměnné Závislé na výběru základny V 3D se vybírá základní trojúhelník q

38 Praktická ukázka Bookstenova transformace v R PAST 38

39 Klouzající základna Podobně jako předchozí algoritmus Škálováni celého objektu na jednotkovou velikost Do počátku se umístí střed základny 39