Matematika pro geometrickou morfometrii (2)

Transkript

1 Ján Dupej Laboratoř 3D zobrazovacích a analytických metod Katedra antropologie a genetiky člověka Přírodovědecká fakulta UK v Praze

2 Opakování 2

3 Opakování 3

4 Opakování 4

5 Opakování 5

6 Opakování GMM = geometrie + statistika + biologie + antropologie +... Studium tvaru a jeho změn Tvar = geometrická data (souřadnice velikost posunutí otočení ) Zvětšení, posunutí, rotace transformace souřadnic Lineární, realizace maticovými operacemi 6

7 Opakování Vektory sčítání, skalární součin, vrchol, směr Matice sčítání, násobení, vektor jako matice AB = C c ij = a i b j Transformace Rotace rotační matice cos (α) sin(α) sin (α) cos (α) Posunutí přičtení vektoru x, y + dx + dy = (x + dx, y + dy) Zvětšení násobení skalárem a x, y = (ax, ay) 7

8 Opakování Velikost centroid size (CS) Tvar tvarové proměnné Eliminace rozdílné velikosti, polohy, orientace Registrace (normalizace) Obecně hledání transformace jednoho datového souboru na druhý V našem případe zatím rigidní posunutí, rotace, zvětšení Dvoubodová registrace (Bookstein) 8

9 Příklady na procvičení Vzdálenost dvou bodů a) P = 5,3,1, Q = 8,6,0 b) P = 1.5, 4.1, Q = (5.1, 2.0) Centroid size tvaru popsaného landmarky a) A = 6,1,0, B = 3, 1, 5, C = 1,1,1, D = 1, 4,1 b) A = 2.1, 0.1, B = 5.1, 2.0, C = (1.1, 3.2) Otočení bodu A okolo počátku o úhel α ve směru hodinových ručiček a) A = 2,3, α = 115 b) A = 1,4, α = 35 c) A = 5,1, α = 40 9

10 Příklady na procvičení Počet stupňů volnosti tvaru popsaného k landmarky ve 2D/3D a) 2D, k = 5 b) 3D, k = 4 [*] Booksteinova transformace 2D tvaru popsaného landmarky s baseline definovanou 1. a 2. landmarkem a) 1,2, 2,3, 4,1 b) 5,1, 3, 2, 1,8 10

11 Prokrustovská analýza Lepší alternativa Funguje ve 3D, není ovlivněna výběrem základny Hledání nejlepších parametrů transformace (posunutí, škálování, rotace) ve smyslu nejmenší vzdálenosti odpovídajících si landmarků (nejmenších čtverců) Optimalizační problém Účelová funkce popisuje cenu řešení (jak moc je špatné) Minimalizace účelové funkce Globálně extrémní řešení Cena řešení 11 Prostor řešení (parametrů)

12 Prokrustovská analýza Idea Nalezení rigidní transformace která minimializuje vzájemnou vzdálenost eliminuje rozdílnou polohu a velikost Algoritmus Rozklad na dva problémy (dvojice a množina) Těžiště v počátku Jednotková velikost Minimalizace vzálenosti od průměru (ne vzájemnou) Suboptimální 12

13 Prokrustovská analýza 1. Problém množiny jedinců Hledám takové transformace jednotlivých jedinců, aby celkový součet vzdáleností (přes všechny vzorky a jejich landmarky) od průměru byl nejmenší Problém: průměr se počítá až z transformovaných vzorků 2. Problém dvojice Referenční a pohyblivý tvar Transformace pohyblivého tvaru aby se přiblížil referenčnímu Problém 1. řešen jako posloupnost problémů 2. Jeden z vzorků vybrán jako průměr Zarovnání po dvou a spočítání nového průměru 13

14 Prokrustovská analýza Jak ohodnotit transformaci X = X 1T t H = YH CS YH X min Referenční tvar X (jednotkové velikosti s těžištěm v počátku), kterému se chci nejvíč přiblížit objektem X X posuneme a zmenšíme Y na a nakonec otočíme na X t je poloha těžiště, posun těžiště do počátku CS je středová velikost, škálování na jednotkovou velikost H je rotační matice, úhel který ji definuje se spočítá minimalizací vzdáleností k referenčnímu tvaru Norma odpovídá součtu čtverců 14

15 Prokrustovská analýza (Frobeniova) norma a stopa matice A A F 2 = tr(a T A) Dosazení YH X = tr Y T Y + X T X 2tr(X T YH) Maximalizace posledního členu a SVD tr X T YH = tr USV T H = tr SV T HU = tr(sq) tr(sq) max Q je jednotková protože tak maximalizuje stopu Q = V T HU = I Co musíme udělat Singular value decomposition: X T Y = USV T H = VU T 15

16 Singular Value Decomposition Rozklad transformační matice M na dvě rotace a zvětšení M = UΣV T U, V T rotační matice σ Σ = 0 σ σ i - singulární hodnoty Zvětšení ve směru osí souřadného systému o σ i 16

17 OPA - demonstrace R 17

18 GPA - demonstrace PAST, Morphome3cs 3D 18

19 3D GPA Obličeje GPA pouze na landmarcích a podle stejné transformace přepočítání celé sítě 19

20 GPA shrnutí Výhody Rozšiřitelné do 3D, stabilní, rychlá, jednotková velikost Nevýhody Všechny landmarky mají stejnou váhu, není podchycena různá stabilita landmarků (Pinocchio) Extrémní jedinec může rozhodit zarovnání celé skupiny, protože chyba se rozloží do všech vzdáleností Řešení: medián, předvýběr 20

21 Resistant-fit analýza Transformace v GPA se určí pomocí mediánu odpovídajících si landmarků p 2 q 2 p 1 p 3 q 1 q 3 p 5 q 5 Průměr t = 1 5 p 4 p 1 q p 5 q 5 = 3.2 q 4 Medián Setřídit, vybrat prostřední t = median*p 1 q 1,, p 5 q 5 + = median*3,3,3,3,4+ = 3 21

22 Srovnání registrací Booksteinova registrace 22 Klouzavá základna Prokrustovská registrace

23 Parametrický prostor Prostor lidí Výška Obvod pasu 23

24 Prostor trojúhelníků Na začátku mám souřadnice vrcholů trojúhelníků (konfigurační prostor) Po zarovnání trojúheníků získám prostor který má jen 2 stupně volnosti Prostor je omezený tvoří povrch polokoule Dva parametry jsou azimut a elevace 24

25 Prostor trojúhelníků 25

26 Prostor trojúhelníků Částečná prokrustovská vzdálenost Přímá vzdálenost mezi dvěma body na povrchu Tvar přecházející z jednoho do druhého nemá jednotkovou velikost Odpovídá 2sin ( ρ 2 ) Prokrustovská vzdálenost Vzdálenost po povrchu Odpovídá ρ Úplná Prokrustovská vzdálenost Bez obledu na jednotkovou velikost, velikost je cos (ρ) Nejkratší vzdálenost, odpovídá sin (ρ) 26

27 Kendallův prostor Prostor indukovaný úplnou prokrustovskou vzdáleností Vzájemné vzdálenosti libovolných bodů v prostoru odpovídají úplné prokrustovské vzdálenosti To neplatilo u prostoru trojúhelníků Odpovídá povrchu koule o průměru 1/2 27

28 Důsledky zakřivení prostoru Statistické metody pracují na ploše, ne sféře Některé mohou pracovat v zakřiveném prostoru, jiné ne Chceme používat jednoduchou Eukleidovskou vzdálenost mezi vektory tvarových proměnných n E d a, b = a i b 2 i i Dá se použít pro porovnání podobných tvarů při projekci do tečné roviny okolo referenčního tvaru Příklad Teoreticky můžu srovnávat lebky odlišných živočichů pokud mají stejný počet landmarků Vzdálenosti nebudou extrémně odlišné (řádově) 28

29 Tečný prostor Rovina (platí eukleidovské vzdálenosti, LA) Dotýká se prostoru tvarů v jednom bodě (referenční tvar, napr. průměrný tvar) Čím dále od tohoto bodu tím víc jsou vzájemné vzdálenosti deformované Dvě možnosti, projekce Pravoúhlá Stereografická 29

30 Praktické cvičení Práce s daty Zadávání landmarků Prokrustovská analýza 30

31 Zdroje Software, literatura Přednášky Data, software, přednášky \\qnapdisk\public\prednasky\gmm_lectures 31

32 2D data Úprava digitální fotografie Šetrné úpravy (oříznutí, změna kontrastu, rozlišení) Photoshop, Gimp, IrfanView (hromadné úpravy) Nadužívaní rastrových obrázků Grafy, popisky obrázků, schémata ve vektorovém editoru (Inkscape, CorelDraw, PowerPoint...) tpsdig ImageJ Morphome3cs 32

33 2D data Výstup Landmarky různé formáty (.tps,.nts,.csv,.txt) Křivky jako bodové množiny Souřadnice v referenčních jednotkách nebo pixelech Kalibrace Kolik mm představuje jeden pixel na roastrovém obrázku Převod do zvolených jednotek 33

34 3D data Přímé snímání souřadnic 34

35 3D data Snímání na naskenovaných datech Povrchová data -.obj,.stl,.wrl Objemová data - DICOM 35

36 3D landmarkování Morphome3cs Rhinoceros MeshLab Rapidform 36