VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANINKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF SOLID MECHANICS, MECHATRONICS AND BIOMECHANICS NAPJATOSTNÍ, PEVNOSTNÍ A DEFORMAČNÍ ANALÝZA PŘÍHRADOVÉ JEŘÁBOVÉ KONSTRUKCE. STRESS, STRENGTH AND STRAIN ANALYSIS OF THE CRANE TRUSS CONSTRUCTION. BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR PAVEL NEDĚLKA VEDOUCÍ PRÁCE prof. RNDr. Ing. JAN VRBKA, DrSc., dr. h. c. SUPERVISOR BRNO 009

2

3

4

5 ABSTRAKT Bakalářská práce se zabývá napjatostní, pevnostní a deformační analýzou rovinné jeřábové příhradové konstrukce. Cílem práce je výpočet osových sil pro staticky určitou soustavu a následné provedení konstrukční úpravy s cílem snížit osové síly soustavy. Provedením této úpravy se soustava stane staticky neurčitou. Získané hodnoty osových sil tvoří vstupní hodnoty pro návrh geometrie jednotlivých prutů. Geometrii stanovíme vyjádřením neznámých rozměrů z rovnic pro mezní stav pružnosti a mezní stav vzpěrné stability. Po navržení rozměrů prutů provedeme deformační analýzu konstrukce, ve které stanovíme posunutí v místě silového působení, vliv montážní vůle a vliv porušení přidané vzpěry na bezpečnost konstrukce. Dále bude stanoven vliv vlastní tíhy konstrukce na napjatost. ABSTRACT This bachelor thesis deals with stress, strength and strain analysis of the plane crane truss construction. The aim of this work is the calculation of forces for the simple frame with the help of joint equilibrium equations. These forces will be modified by further construction treatment. This treatment turns the simply frame into the hyperstatic system. The obtained values data are the input data for the design of geometry of particular bars. The unknown dimensions will be determined by two strenght limit states. These limits are: limit state of elasticity and limit state of stability. Then we will make the strain analysis. It will determine the displacement in the action of the force, the effect of actual clearance as well as the brace failury effect to the construction safety. Further will be determined the influence of the weight of the construction to the strenght.

6 KLÍČOVÁ SLOVA Napjatost, Deformace, Příhradová konstrukce, Pevnostní kontrola, Statická rovnováha, Styčník, Vzpěra KEYWORDS Stress, Strain, Truss construction, Strenght analysis, Static balance, Framework joint, Brace

7 BIBLIOGRAFICKÁ CITACE NEDĚLKA, Pavel. Napjatostní, pevnostní a deformační analýza jeřábové příhradové konstrukce. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s., 4 přílohy. Vedoucí práce prof. RNDr. Ing. Jan Vrbka, DrSc., dr. h. c.

8 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma Napjatostní, pevnostní a deformační analýza jeřábové příhradové konstrukce vypracoval samostatně s použitím odborné literatury a pramenů, uvedených na seznamu, který tvoří přílohu této práce. 7. května 009. Pavel Nedělka

9 PODĚKOVÁNÍ Těmito řádky bych rád poděkoval panu prof. RNDr. Ing. Janu Vrbkovi, DrSc, dr. h. c. za cenné připomínky a rady při vypracování bakalářské práce.

10 OBSAH.0 Teoretický základ Prutové soustavy Statická určitost Řešení prutových soustav Namáhání prostým tahem Geometrické rovnice Napětí v příčném průřezu Extrémní napětí Energie napjatosti Deformační charakteristika střednice Castiglianova věta Mezní stavy Mezní stav pružnosti Mezní stav vzpěrné stability Napjatostní a pevnostní analýza Výpočet osových sil Popis řešeného problému Materiál prutových těles Výpočet příhradové konstrukce (varianta I.) Uvolnění soustavy Posouzení statické určitosti soustavy: Sestavení rovnic pro výpočet osových sil a neznámých sil v reakcích Řešení soustavy rovnic Výpočet osových sil příhradové konstrukce (varianta II.) Popis řešeného problému Uvolnění soustavy Posouzení statické určitosti soustavy Sestavení rovnic pro výpočet osových sil a neznámých sil v reakcích Deformační podmínka pro nadbytečný prut Řešení soustavy rovnic Výpočet osových sil příhradové konstrukce (varianta III.) Popis řešeného problému

11 ..5. Uvolnění soustavy Statická určitost soustavy Sestavení rovnic pro výpočet osových sil a neznámých sil v reakcích Deformační podmínka pro nadbytečný prut Řešení soustavy rovnic Shrnutí a porovnání výsledků Návrh profilu a jeho rozměrů Volba průřezu Návrh nejmenšího průměru průřezu Návrh geometrie příčného průřezu Průřezové charakteristiky příčného průřezu Vyjádření nejmenší plochy průřezu Vyjádření nejmenšího kvadratického momentu průřezu Vyjádření geometrických rozměrů průřezu Výpočet geometrie příčného průřezu Návrh normalizovaných rozměru profilu Kontrola navržených normalizovaných rozměrů profilu Ověření platnosti vzorců Eulerova vzpěru Vliv gravitace na bezpečnost konstrukce Stanovení tíhových sil v jednotlivých styčnících Uvolnění soustavy Sestavení styčníkových rovnic rovnováhy Výpočet bezpečnosti pří uvažování tíhového pole Země Deformační analýza Posuv v místě silového působení Odvození vztahů pro výpočet Výpočet posunutí v místě silového působení Vliv výrobních nepřesností na napjatost Vliv porušení prutu na napjatost soustavy Závěr Seznam použitých zdrojů Seznam použitých veličin Seznam příloh

12 .0 Teoretický základ. Prutové soustavy Prutové soustavy jsou případem soustav těles, jichž je úspěšně používáno pro navrhování nosných příhradových konstrukcí přenášející velká zatížení, jako jsou mosty, stožáry, jeřáby, střešní konstrukce aj. Příhradová konstrukce je prutová soustava tvořena trojúhelníkovou sítí přímých prutů, nejčastěji válcovaných profilů, jejichž svařením, nýtováním (případně jiným způsobem), vzniká pevné spojení[4]. Pro jejich návrh je důležité znát síly, které v jednotlivých prutech působí, aby bylo možné tyto soustavy správně dimenzovat. Pro tento účel slouží tzv. výpočtový model prutových soustav. Výpočtový model prutových soustav obsahuje nehmotné binární nezatížené členy, s rotační vazbou na obou koncích, které se stýkají s ostatními členy ve styčnících. Styčník je tedy místo, kde se stýkají minimálně tři pruty a který je chápán jako ideální kloub. Přestože reálné soustavy nemají styčníky tvořeny ideálními klouby, praxe ukázala, že chyba ve výpočtu je malá a je možné je ve výpočtovém modelu nahradit klouby ideálními, ovšem za předpokladu, že jsou splněny následující podmínky: pruty jsou přímé a dostatečně dlouhé (délka/tloušťka = 0,) vnější zatížení působí pouze ve styčnících (nenastane ohyb) soustava zůstane po zatížení nepohyblivá (staticky určitá či neurčitá) Jsou- li tyto podmínky splněny, pak v každém prutu působí pouze jediná složka VVÚ a to normálová síla. Pruty jsou tedy namáhány na tah nebo tlak. Pruty, které jsou namáhány na tlak, je nutné kontrolovat proti případnému vzpěru. Podle geometrie jsou prutové soustavy rovinné nebo prostorové... Statická určitost Z pohledu statiky rozlišujeme u prutových soustav vnější, vnitřní a celkovou statickou určitost a dále stupeň statické neurčitosti. vnější statická určitost tělesa jako celku Vztahuje se k určení neznámých stykových sil uvolněného těles na základě podmínek statické rovnováhy, kvantitativně lze tuto podmínku vyjádřit jako: υ = µ A υ..počet použitelných podmínek statické rovnováhy, který určíme z charakteru soustavy: υ = 3 pro rovinnou soustavu υ = 6 pro prostorovou soustavu µ..počet neznámých vnějších stykových sil A vnitřní statická určitost Vztahuje se u určení osových sil ze styčníkových rovnic rovnováhy. Aby bylo soustava vnitřně staticky určitá musí být počet použitelných podmínek statické rovnováhy shodný s počtem neznámých sil, tedy počtu prutů. k 3 = p.. pro rovinnou soustavu 3k 6 = p.. pro prostorovou soustavu k počet styčníků p počet prutů - 3 -

13 Pokud je tato podmínka splněna, pak je soustava staticky určitá, jinak mohou nastat tyto dva případy: k 3 > p (resp. 3k 6 > p ) Soustava je pohyblivá a nelze ji řešit jako prutovou soustavu k 3 < p (resp. 3k 6 < p ) Počet použitelných statických podmínek je menší než počet neznámých a soustavu řešíme přidáním dalších rovnic, např: deformační podmínky celková statická určitost Soustava je celkově staticky určitá, pokud je současně vnitřně i zvnějšku staticky určitá. Neplatí- li alespoň jedna podmínka stává se soustava staticky neurčitou... Řešení prutových soustav Tyto soustavy se většinou řeší analyticky, méně často graficky. Pro analytické řešení se nejčastěji využívá postupná styčníková metoda nebo obecná styčníková metoda [3]. postupná styčníková metoda Pro jednotlivé styčníky se sestaví a řeší rovnice rovnováhy hned po jeho uvolnění. Tato metoda je vázána podmínkou, že lze řešit pouze styčníky u kterých známe dostatečný počet známých sil, proto je důležité pořadí uvolňování. Tato metoda je vhodná pro soustavy s malým počtem prutů i statické určitosti. obecná styčníková metoda Všechny styčníky se uvolní najednou a pro každý se sestaví rovnice rovnováhy. Tímto postupem získáme soustavu lineárních algebraických rovnic. Všechny rovnice poté tvoří matici neznámých, která se ve většině případů řeší pomocí výpočetní techniky. U této metody není důležité pořadí rovnic. Metoda je vhodná pro složitější konstrukce

14 . Namáhání prostým tahem Jednoosá napjatost je nejednodušším případem prostého namáhání prutových těles. Prostý tah je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže na dané rozlišovací úrovni jsou splněny tyto předpoklady[]: jsou splněny prutové předpoklady příčné průřezy se přibližují (oddalují) a následně deformují jedinou nenulovou složkou VVÚ je normálová síla řešení statické rovnováhy se provádí na prvku v nedeformovaném vztahu Obr. Prostý tah Podle znaménkové konvence je směr ven z tělesa kladný (tah) a směr dovnitř tělesa záporný (tlak). Důležitou podmínkou platnosti následujících vztahů je Hookeovský materiál (lineárně pružný, homogenní, izotropní)... Geometrické rovnice Jsou vztahy mezi deformací a přetvořením. Při tahovém (tlakovém) zatěžování se příčné průřezy elementárního prvku Ω vzdálené od sebe o vzdálenost dx od sebe oddálí (přiblíží) o velikost deformačního posuvu du. Pravé úhly α a β zůstanou kolmými (obr. ). Deformaci elementárního prvku se vyjádří geometrickými rovnicemi. Obr. Deformace elementárního prvku - 5 -

15 du ε x = [-] délkové přetvoření ve směru x dx ε = ε = µ ε [-] délkové přetvoření ve směrech y a z γ y z x xy = γ = 0 [-] zkosy xy V prutu vzniká trojosý stav deformace s tenzorem přetvoření: T ε ε x 0 0 = 0 ε y ε x.. Napětí v příčném průřezu Jediná složka VVÚ, která působí v uvolněném příčném průřezu prvku je normálová síla N. Síla N namáhá průřez S a vyvolá v příčném řezu napětí σ. Toto napětí je v souladu s Hookeovým zákonem: σ x = E ε x, kde E je modul pružnosti v tahu a ε x je délkové přetvoření. Protože E je konstanta a ε x je po celém průřezu konstantní je i napětí po celém průřezu konstantní. Z podmínky statické ekvivalence (obr. 3), lze napětí, v souvislosti s normálovou sílou N, vyjádřit následujícím vztahem: SE F : N = σ ds X σ = konst. N = σ ds = σ S Obr. 3 Napětí v příčném průřezu N σ = [Pa] napětí v příčném průřezu (.0) S Toto napětí je jediné, které tvoří napjatost tělesa. V tělese vzniká jednoosá napjatost s tenzorem napětí: σ x 0 0 T σ =

16 ..3 Extrémní napětí Pro posouzení různých mezních stavů je nutné znát extrémní napětí v příčném průřezu, které tvoří nebezpečné místo. Jak bylo uvedeno v kapitole.. je napětí po celém průřezu konstantní. Všechny body jsou tedy stejně nebezpečné a proto napětí σ je zároveň i napětím extrémním. N σ ex = σ = [Pa] (.) S..4 Energie napjatosti Pokud máme trojnásobně elementární prvek Ω 3 působí na něj elementární síla df=σds (obr. 4). Obr. 4 Deformační práce síly df, kterou tato síla vykoná při posuvu o du je: da = Ω dfdu ( σ ds ) du 3 = V lineární pružnosti se celá deformační práce projeví zvýšením pružné energie napjatosti soustavy A= W. daω = dw ( ) 3 Ω = dfdu = σ ds du 3 σ Do vztahu dosadíme za du = ε dx a z Hookeova zákona ε = : E dx dw == dx ds ds 3 σ σ σ Ω E = E Uvedený vztah platí pro jakýkoliv typ jednoosé napjatosti určené napětím σ. Pro prostý tah N platí: σ =. Energie napjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω je pak: S N dx N dx N W = Ω dw = ds ds dx ES = ES = ES - 7 -

17 V prutu o délce l se při tahovém zatížení akumuluje pružná energie napjatosti W: l N N l Ω (.) Wl = W = dx = ES ES 0..5 Deformační charakteristika střednice Základní deformační charakteristikou prostého tahu je posuv bodů střednice ve směru střednice. Vyjdeme ze vztahu pro poměrné délkové přetvoření. Ztotožníme- li směr osy x se směrem střednice můžeme psát: du ε x = du = ε x dx dx Posuv libovolného bodu v místě x R, vzhledem k referenčnímu bodu (bod o kterého předpokládáme nulový posuv) x 0 se vypočítá: xr xr xr N( x) ur = du = ε dx = dx E S( x) x x0 x0 x0 Prodloužení (zkrácení) tyče l, jež je zatížena prostým tahem (tlakem) a u které předpokládáme konstantní průřez S pak bude: l ε = l = ε l = l Nl E S Součin ES je označován jako tuhost příčného průřezu v tahu..3 Castiglianova věta Z praktického hlediska je Castiglianova věta nejdůležitějším vztahem lineární pružnosti, protože umožňuje vypočítat deformační charakteristiky jakéhokoliv lineárně pružného tělesa, pokud umíme matematicky formulovat jeho energii napjatosti. Do energie napjatosti musíme zahrnout celou soustavu, jestliže deformace jednoho okolních prvků (prutů), nejsou zanedbatelné vzhledem k deformaci vyšetřovaného tělesa[]. Slovní definice Castiglianovy věty zní: Posuv působiště síly F po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti podle této síly. W u = (.3) F a podobně pro úhel natočení: Úhel natočení v místě působení silové dvojice M je dán parciální derivací celkové energie napjatosti podle silové dvojice. W ϕ = (.4) M - 8 -

18 .4 Mezní stavy Mezní stav je v nauce o pružnosti a pevnosti označován stav tělesa, kdy se deformace nebo porušení mění z funkčně přípustné hodnoty na funkčně nepřípustnou. To znamená, že těleso může při překročení určitého mezního stavu přestat plnit funkci, pro kterou je určeno, nebo ztrácí svojí soudržnost atd. Mezní stav je důležitou vlastností všech strojů, konstrukcí a dalších zařízení, protože jeho překročení může mít fatální následky pro okolí. Proto je bezpodmínečně nutné při většině konstrukčních návrhů mít na paměti důležitost této části mechaniky. Při dimenzování strojních součástí je nezbytné, aby provozní napětí σ bylo menší než dovolená hodnota mezního napětí. U reálných součástí je nutné počítat s určitou nepřesností dostupných podkladů a výpočtů, rozptylu materiálových charakteristik a vlivem dalších vlivů. Proto se výpočtech počítá s určitým koeficientem bezpečnosti k ( k > ), který má suplovat uvažování podstatných vlivů, které byly ve výpočtu zanedbány, nebo zjednodušeny. Pro jednotlivá odvětví strojírenství jsou na základě zkušeností, zkoušek a výpočtů vypracovány normy pevnostních výpočtů, které obsahují i minimální hodnoty součinitele bezpečnosti k. Tyto hodnoty součinitele mohou být poměrně vysoké, ale čím přesněji se podaří určit napjatost a provozní podmínky reálné součástí, potom lze tyto hodnoty snižovat. Vždy však musí platit, že k >.[3] Pro jednoosou napjatost a pomalé zatěžování je charakteristický mezní stav pružnosti pro tažené pruty a mezní stav vzpěrné stability pro tlačené pruty..4. Mezní stav pružnosti Je stav při jehož překročení dojde v tělese k trvalým plastickým deformacím. Mezní stav nastane, pokud maximální napětí v uvažovaném tělese dosáhne hodnoty meze kluzu daného materiálu. Mez kluzu materiálu (σ K ) je jeho materiálová charakteristika, která se určuje z pracovního diagramu (obr. 5), sestrojeného z tahové zkoušky. σ σ K Obr. 5 Pracovní diagram houževnatých materiálu Mezní napětí σ musí splňovat následující pevnostní podmínku, která vyjadřuje, že pokud napětí v tělese leží v daném intervalu nenastane mezní stav pružnosti. σ σ σ Kd Kt Kt σ mez kluzu v tahu σ mez kluzu v tlaku Kd ε - 9 -

19 Protože u houževnatých materiálu platí, že : σ Kd σ Kt = σ K redukuje se pevnostní podmínka na tvar: σ σ. Pokud do výpočtu zahrneme i určitý součinitel bezpečnosti k, lze jeho velikosti zapsat jako: K σ σ K k MSP = koeficient bezpečnosti mezního stavu pružnosti (.5).4. Mezní stav vzpěrné stability U prutů namáhaných tlakovým zatížením může malá deformace značně ovlivnit velikost napětí, např.: štíhlé přímé pruty zatížené tlakovou silou N. V tomto případě nejsou deformace přímo úměrné zatížení. Při zatěžování dlouhé (příčný rozměr je několikanásobně menší než délka) přímé tyče se tlakem příčné průřezy se navzájem přibližují a tyč je stlačována, v určitém okamžiku však dojde k podstatné změně typu namáhání. Dominantním napjatostí se stane ohyb a tyč se začne prohýbat. Okamžik změny typu napjatosti je označován jako mezní stav vzpěrné stability. Síla, která v tomto okamžiku v prutu působí se označuje jako kritická síla, nebo tzv. Eulerova kritická síla, podle významného matematika a učence Leonarda Eulera, který jako první dokázal analyticky vyřešit úlohu stability prutů. Problematika stability je náročnou otázkou mechaniky, u které je známo pouze několik analytických řešení, ostatní úlohy jsou řešeny pouze přibližně, nebo za pomocí náročných experimentů. základní typy vzpěru Velikost kritické síly je závislá na rozměrech a tvaru vzpěry, stejně tak na materiálu a uložení jejich konců. Podle způsobu tohoto uložení rozlišujeme čtyři základní případy(obr. 6)[3]: a) b) c) d) Obr. 5 Vzpěr přímých prutů a) První případ vzpěru vzpěra na jednom konci vetknutá a na druhém volná b) Druhý případ vzpěru vzpěra na obou koncích uložená kloubově c) Třetí případ vzpěru vzpěra na jednom konci vetknutá a na druhém uložena kloubově s možností osového posuvu d) Čtvrtý případ vzpěru vzpěra na obou koncích vetknutá s možností osového posuvu konců - 0 -

20 Eulerova síla pro druhý případ vzpěru V prutových soustavách se může stát, že některé pruty budou namáhány tlakovými silami a může u nich dojít ke vzpěru. Z předpokladů prutových konstrukcí jsou tyto pruty oboustranně kloubově uloženy, jedná se tedy o druhý případ vzpěru. Kritická síla, při které dochází k rozdvojení rovnováhy N krit, se obvykle nazývá Eulerova kritická síla pro druhý případ vzpěru. Pro přímý prizmatický prut namáhaný tlakovou silou oboustranně kloubově uložen je odvozen následující vztah pro kritickou sílu: N krit π = E J y [N] l (.6) E modul pružnosti v tahu J kvadratický modul průřezu l y délka vzpěry Při této síle dochází ke ztrátě stability, řešení platí za předpokladu, že napětí zůstává v mezích platností Hookeova zákona. Kritické napětí tedy bude: F σ = S σ krit N π E J krit y = = [Pa] S S l (.7) Do těchto vztahu zavedeme poloměr setrvačnosti i a štíhlostní poměr λ J y i = poloměr setrvačnosti (.8) S l λ = štíhlostní poměr (.9) i Lze sestrojit závislost kritického napětí na štíhlosti prutu: σ krit = f ( λ) (obr. 7). Odvozený vztah pro kritickou sílu lze použít, pokud je kritické napětí menší než mez lineárního chování materiálu (mez kluzu). Hodnotě mezi kluzu σ K odpovídá mezní štíhlost prutu λ K. σ krit lineární chování materiálu σ K 0 λ K λ Obr. 7 Závislost σ = f ( λ) krit - -

21 Pro houževnaté materiály může nastat pružný vzpěr, pokud je σ K > σ krit a tedy λ > λk. Pro λ < λ K nastane dříve mezní stav pružnosti prutu i poté může nastat mezní stav vzpěrné stability, zde již však neplatí odvozené vztahy. Dosazením (.8) a (.9) do (.7) vyjde σ krit Nkrit π E = = [Pa] (.0) S λ a tedy pro mezní štíhlostní poměr λ K : E λk = π (.) σ K mezní stav vzpěrné stability Při řešení prutů zatížených tlakem je nutné rozhodnout, jaký mezní stav nastane dříve, pro λ > λk je rozhodující mezní stav vzpěrné stability. Při teoretickém výpočtu se předpokládá ideální stav vzpěry. Ve skutečnosti se však projeví nehomogenita, anizotropie, výrobní nepřesnosti, excentrické působení síly a další nepříznivé vlivy, které lze uvážit při volbě bezpečnostního součinitel k krit. k N N krit krit = koeficient bezpečnosti mezního stavu vzpěrné stability (.) - -

22 .0 Napjatostní a pevnostní analýza. Výpočet osových sil.. Popis řešeného problému Cílem této části řešení je výpočet osových sil I. varianty rovinné jeřábové příhradové konstrukce podle obrázku (obr.8). Po stanovení těchto sil bude do konstrukce přidán další prut, resp. vzpěra, a bude proveden výpočet takto upravené konstrukce. Dosažené výsledky budou dále použity pro návrh rozměrů prutových těles konstrukce a následné porovnání obou variant konstrukce. Prutová soustava je výpočtový model rovinné příhradové jeřábové konstrukce (obr. 8) zatížené silou F o velikosti N... Materiál prutových těles -neušlechtilá konstrukční ocel : ČSN 500 mez kluzu R = 300MPa mez pevnosti v tahu R = 500MPa modul pružnosti e m 5 E =. 0 MPa..3 Výpočet příhradové konstrukce (varianta I.) Obr. 8 Schéma příhradové konstrukce I. varianta - 3 -

23 ..3. Uvolnění soustavy Soustavu jako celek uvolníme z jednotlivých vazeb v souladu se zákony statiky. Rotační oboustrannou kinematickou vazbu (v místě styčníku A) nahradíme dvěma silami F AX a F AY. Obecnou posuvnou vazbu (v místě styčníku B) nahradíme jednou silou F BY. Stejně tak nahradíme jednotlivé pruty osovými silami N N, které působí v prutech a mají působiště v jednotlivých styčnících. V místě silového působení dále zavedeme doplňkovou sílu F d, aby bylo možné pomocí Castiglianovy věty stanovit i horizontální posuv styčníku L. Síla F d má ve skutečnosti nulovou velikost, její význam je pouze formální, aby bylo možné provádět některé další výpočty a úpravy. Uvolnění z vazeb, styčníků a zavedení doplňkové síly je uvedeno na obr. 9. Obr. 9 Uvolnění soustavy I. varianty..3. Posouzení statické určitosti soustavy: vnější statická určitost počet použitelných podmínek statické rovnováhy υ = 3 (.) e počet neznámých vnějších stykových výslednic µ = 3 (.) e - 4 -

24 nutná podmínka vnější statické určitosti µ = υ (.3) 3 = 3 nutná podmínka vnější statické určitosti je splněna stupeň vnější statické neurčitosti vnitřní statická určitost s e = µ e υe = 3 3 = 0 (.4) počet neznámých je roven počtu prutů počet styčníků µ = p = (.5) i k = (.6) počet použitelných podmínek statické rovnováhy ve styčnících stupeň statické určitosti υ = k 3 = (.7) i s i = µ i υi = = 0 (.8) nutná podmínka vnitřní statické určitosti p = k 3 (.9) = 3 = nutná podmínka vnitřní statické určitosti je splněna..3.3 Sestavení rovnic pro výpočet osových sil a neznámých sil v reakcích Neznámé silové působení vypočteme obecnou styčníkovou metodou.pro každý styčník se sestaví rovnice na základě rovnováhy těchto sil a to rozložením každé síly do směru x a y. Ze všech těchto rovnic se následně sestaví matice soustavy lineárních rovnic, jejímž řešením jsou neznámé osové a stykové síly. styčník A x : F = 0 : N + F = 0 x y : F = 0 : N + F = 0 y AX AY styčník B = 0 : N N3 = 0 : N3 + N4 + FBY = 0-5 -

25 styčník C = 0 : N3 + N5 + N6 3 = 0 : N + N3 N6 styčník D = 0 : N5 N7 + N8 3 3 = 0 : N4 N7 N8 styčník E = 0 : N6 + N7 + N9 + N0 3 3 = 0 : N6 + N7 N0 styčník F = 0 : N8 N9 N cos(67.5) + N3 3 = 0 : N8 N sin(67.5) N3 styčník G 3 = 0 : N0 + N cos(67.5) + N + N4 = 0 : N0 + N sin(67.5) N4-6 -

26 styčník H 3 = 0 : N N3 + N7 + N8 = 0 = 0 : N3 N5 N7 styčník I 3 = 0 : N4 + N6 = 0 = 0 : N4 + N5 = 0 styčník J styčník K 3 3 = 0 : N6 N7 + N = 0 : N7 + N9 + N x : F = 0 : N + N = 0 x 8 0 y : F = 0 : N = 0 y 9 styčník L 3 = 0 : N0 N = F = 0 : N = F D Z matematického hlediska představují předchozí styčníkové rovnice lineární soustavu rovnic, kterou lze symbolicky vyjádřit ve formě A N = b (.0) { } { } { } { A } { N } { b } matice soustavy vektor neznámých vektor pravých stran - 7 -

27 matice koeficientů A (.) vektor neznámých parametrů NP (.) NP = { N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, F, F, F } AX AY BY vektor pravých stran (.3) { } b = 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, F, Fd..3.4 Řešení soustavy rovnic Řešením výše uvedené soustavy byly ve výpočetním systému MAPLE 0 (Příloha ) Vypočítány byly síly ve vazbách a osové síly v jednotlivých prutech. Všechny hodnoty zaokrouhlíme na jednotky. síly ve vnějších vazbách: síla velikost [N] F AX 0 F AY -307 F BY

28 osové síly v prutech: síla velikost [N] tah/tlak síla velikost [N] tah/tlak N 0 - N -464 tlak N 307 tah N tlak N N tlak N tlak N tlak N tlak N tah N tah N tlak N tlak N tlak N tlak N N tlak N tlak N tah N 0000 tah N tlak Z vypočtených osových sil v prutech stanovíme maximální tahovou a tlakovou sílu. Tyto pak použijeme pro výpočet návrhu průměrů jednotlivých prutů. maximální prutová síla (tah) N = N4 = 40000N minimální prutová síla (tlak) N = N8 = 4805N MAX MIN - 9 -

29 ..4 Výpočet osových sil příhradové konstrukce (varianta II.)..4. Popis řešeného problému Cílem této části je výpočet osových sil po konstrukční úpravě soustavy. V předchozím výpočtu I. varianty byly spočítány největší síly v prutech 8, 4 a 3. Konstrukční úpravu provedeme přidáním vzpěry mezi styčníky I a F (obr. 0). Cílem přidání vzpěry je snížit velikost osových sil v okolních nejvíce namáhaných prutech. Geometrie i zatížení soustavy zůstává stejné. Obr. 0 Schéma příhradové konstrukce II. varianty - 0 -

30 ..4. Uvolnění soustavy Soustavu uvolníme stejně jako v předchozím případě a to ze všech vnějších vazeb a dále i z jednotlivých styčníků. Uvolnění soustavy je na obrázku níže (obr. ). Obr. Uvolnění soustavy II. varianty..4.3 Posouzení statické určitosti soustavy počet použitelných podmínek statické rovnováhy υ = 3 (.4) e počet neznámých vnějších stykových výslednic µ = 3 (.5) e nutná podmínka vnější statické určitosti µ = υ (.6) 3 = 3 nutná podmínka vnější statické určitosti je splněna stupeň vnější statické neurčitosti s e = µ e υe = 3 3 = 0 (.7) - -

31 vnitřní statická určitost počet neznámých je roven počtu prutů počet styčníků µ = p = (.8) i k = (.9) počet použitelných podmínek statické rovnováhy ve styčnících stupeň statické určitosti υ = k 3 = (.0) i s i = µ i υi = = (.) nutná podmínka vnitřní statické určitosti p = k 3 (.) = 3 nutná podmínka vnitřní statické určitosti není splněna, tzn., že soustava není vnitřně staticky určitá Sestavení rovnic pro výpočet osových sil a neznámých sil v reakcích Rovnice, které pro tuto soustavu sestavíme, se sestaví stejně jako u I. varianty, lišit se budou pouze ve styčnících, které spojuje prut, tedy I a F. Počet rovnic, které na základě uvolnění jednotlivých styčníků lze sestavit, je 4. Počet neznámých je však 5, proto sílu N necháme v řešení rovnic na pravé straně a velikost této síly vyřešíme výpočtem přidáním další rovnice, a to předepsáním deformační podmínky pro prut. Poté zpětným dosazením do řešení soustavy rovnic vypočítáme jejich velikost. styčník A x : F = 0 : N + F = 0 x y : F = 0 : N + F = 0 y AX AY styčník B = 0 : N N3 = 0 : N3 + N4 + FBY = 0 - -

32 styčník C = 0 : N3 + N5 + N6 3 = 0 : N + N3 N6 styčník D = 0 : N5 N7 + N8 3 3 = 0 : N4 N7 N8 styčník E = 0 : N6 + N7 + N9 + N0 3 3 = 0 : N6 + N7 N0 styčník F = 0 : N8 N9 N cos(67.5) + N3 = N cos(6.7 ) 3 = 0 : N8 N sin(67.5) N3 = N sin(6.7 ) - 3 -

33 styčník G 3 = 0 : N0 + N cos(67.5) + N + N4 = 0 : N0 + N sin(67.5) N4 styčník H 3 = 0 : N3 N + N7 + N8 = 0 = 0 : N3 N5 N7 styčník I 3 = 0 : N4 + N6 = N cos(6.7 ) = 0 : N4 + N5 = N sin(6.7 ) styčník J 3 3 = 0 : N6 N7 + N = 0 : N7 + N9 + N styčník K x : F = 0 : N + N = 0 x y : F = 0 : N = 0 y - 4 -

34 styčník L 3 = 0 : N0 N = F = 0 : N = F D Z uvedených styčníkových rovnic se sestaví matice soustavy lineárních rovnic, přidáním vektoru pravých stran získáme rozšířenou matici soustavy. Řešení budeme hledat ve tvaru A.N=b, kde A je matice soustavy, N je vektor neznámých a b je vektor pravých stran. Ve vektoru pravých stran se nám objeví i neznámá síla N, kterou budeme považovat za konstantu, tím docílíme toho, že každá síla bude funkcí vnějšího zatížení a neznámé síly N. matice koeficientů A (.3) vektor neznámých parametrů NP (.4) NP = { N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, F, F, F } AX AY BY vektor pravých stran (.5) b = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, N cos(6.7 ), N sin(6.7 ),0,0,0,0, N cos(6.7 ), N sin(6.7 ), 0, 0, 0, 0, F, F } d - 5 -

35 Soustavu opět vyřešíme pomocí výpočetní techniky ve výpočetním programu MAPLE 0 (Příloha ). Nedostaneme však jednoznačné řešení, protože zatím neznáme velikost síly N. Velikost této síly vypočítáme z předepsané deformační podmínky Deformační podmínka pro nadbytečný prut Chybějící rovnici doplníme předepsáním podmínky o spojitosti deformace pro prut. Pokud povedeme prutem myšlený řez, který tento prut rozdělí na dvě části, pak v těchto částech působí v souladu se zákonem akce a reakce co do velikosti stejná osová síla N opačného směru a posunutí v místě řezu je z obou stran řezu stejné, protože v zatíženém prutu nemůže vzniknout mezera. Podmínku vyjádříme pomocí Castiglianovy věty. Parciální derivace energie napjatosti podle síly N 9 je v místě působení této síly nulová. Aby bylo možné tuto podmínku řešit je nutné, aby celková energie napjatosti byla funkcí vnějšího zatížení (F, F d ) a neznámé síly N. W = W ( F, F, N ) d δw N l δ N = 0 = δ N E S δ N i i i i= i i (.6) Dosazením sil N,N.N získáme lineární rovnici s jednou neznámou N. Řešením této lineární rovnice vypočítáme velikost síly N (Příloha ) Řešení soustavy rovnic Velikosti osových sil v jednotlivých prutech získáme po dosazení síly N do řešení soustavy. síly ve vazbách Síla velikost [N] F AX 0 osové síly v prutech F AY -307 F BY 407 síla velikost [N] tah/tlak síla velikost [N] tah/tlak N 0 - N -766 tlak N 307 tah N tlak N N tah N tlak N tlak N tlak N tah N tah N tlak N tlak N 8-73 tlak N tlak N N tlak N 0-73 tlak N tah N 0000 tah N -63 tlak N 5054 tlak - 6 -

36 Z vypočtených osových sil v prutech stanovíme maximální tahovou a tlakovou sílu. maximální osová síla (tah) N = N4 = 4475N minimální osová síla (tlak) N = N8 = 4805N MAX MIN..5 Výpočet osových sil příhradové konstrukce (varianta III.)..5. Popis řešeného problému V další části výpočtu stanovíme vliv jiného umístění vzpěry na celkovou napjatost konstrukce. V předchozí kapitole (..4) byla vzpěra umístěna uvnitř konstrukce, nyní posoudíme vliv vzpěry, pokud ji do konstrukce přidáme zvnějšku, a to mezi styčníky B a F, opět s cílem snížení maximálních hodnot osových sil. Nabízela by se také možnost vyztužit styčníky F a K, zde by však vzpěra zasahovala do pracovního prostoru konstrukce. Výpočet bude praktický stejný jako v předchozí kapitole (..4), změní se vyjádření deformační podmínky a některé styčníkové rovnice rovnováhy. Zatížení a geometrie konstrukce opět zůstává, postup výpočtu je totožný s kapitolou (..4) Obr. Schéma příhradové konstrukce III. varianta - 7 -

37 ..5. Uvolnění soustavy Soustavu uvolníme z vnějších stykových vazeb (obr. 3). Obr. 3 Uvolnění soustavy III. varianty..5.3 Statická určitost soustavy U soustavy se změnila pouze pozice nadbytečného prutu, tato změna nemá vliv na statickou určitost, použijeme tedy závěry kapitoly nutná podmínka vnější statické určitosti je splněna nutná podmínka vnitřní statické určitosti není splněna, tzn., že soustava není vnitřně staticky určitá. Pro řešení soustavy opět předepíšeme deformační podmínku pro nadbytečný prut..5.4 Sestavení rovnic pro výpočet osových sil a neznámých sil v reakcích Rovnice, které pro tuto soustavu sestavíme se sestaví stejně jako u II. varianty, lišit se budou pouze ve styčnících které spojuje prut, tedy B a F. Počet rovnic, které na základě uvolnění jednotlivých styčníků lze sestavit, je 4. Počet neznámých je však 5, proto sílu N necháme v řešení rovnic jako parametr a velikost této síly vyřešíme výpočtem přidáním další - 8 -

38 rovnice,a to předepsáním deformační podmínky pro prut, poté zpětným dosazením do řešení soustavy rovnic vypočítáme jejich velikost. styčník A x : F = 0 : N + F = 0 x y : F = 0 : N + F = 0 y AX AY styčník B = 0 : N N3 = N cos75 = 0 : N3 + N4 + FBY = N sin 75 styčník C = 0 : N3 + N5 + N6 3 = 0 : N + N3 N6 styčník D = 0 : N5 N7 + N8 3 3 = 0 : N4 N7 N8-9 -

39 styčník E = 0 : N6 + N7 + N9 + N0 3 3 = 0 : N6 + N7 N0 styčník F = 0 : N8 N9 N cos(67.5) + N3 = N cos(6.7 ) 3 = 0 : N8 N sin(67.5) N3 = N sin(6.7 ) styčník G 3 = 0 : N0 + N cos(67.5) + N + N4 = 0 : N0 + N sin(67.5) N4 styčník H 3 = 0 : N3 N + N7 + N8 = 0 = 0 : N3 N5 N7-30 -

40 styčník I 3 = 0 : N4 + N6 = N cos(3.7 ) = 0 : N4 + N5 = N sin(3.7 ) styčník J 3 3 = 0 : N6 N7 + N = 0 : N7 + N9 + N styčník K x : F = 0 : N + N = 0 x y : F = 0 : N = 0 y styčník L 3 = 0 : N0 N = F y : F = 0 : N = F y 0 D..5.5 Deformační podmínka pro nadbytečný prut Deformační podmínku opět předepíšeme pomocí Castiglianovy věty: W = W ( F, F, N ) d δw δw N l δ N = = 0 = δ N δ N E S δ N i i i 9 i= i i (.7) - 3 -

41 Řešení soustavy a deformační podmínky stejně jako v obou předchozích případech provedeme ve výpočetním systému MAPLE 0 (Příloha 3). Ze styčníkových rovnic rovnováhy se sestaví matice lineárních algebraických rovnic ve tvaru podle vztahu (.0). A N = b { } { } { } { A } { N } { b } matice koeficientů vektor neznámých vektor pravých stran matice koeficientů A (.8) vektor neznámých parametrů NP (.9) NP = { N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, F, F, F } AX AY BY vektor pravých stran (.30) b = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, N cos(6.7 ), N sin(6.7 ),0,0,0,0, N cos(6.7 ), N sin(6.7 ), 0, 0, 0, 0, F, F } d - 3 -

42 ..5.6 Řešení soustavy rovnic síly ve vazbách: síla velikost [N] F AX 0 F AY -307 F BY 407 osové síly v prutech: síla velikost [N] tah/tlak síla velikost [N] tah/tlak N 0 - N -464 tlak N 307 tah N tlak N N tah N tlak N tlak N tlak N tah N tah N tlak N tlak N 8-73 tlak N tlak N N 9-38 tlak N tlak N tah N 0000 tah N tlak N 5 tlak Z vypočtených osových sil v prutech stanovíme maximální tahovou a tlakovou sílu. maximální osová síla (tah) N = N4 = 40000N minimální osová síla (tlak) N = N3 = 446N MAX MIN..6 Shrnutí a porovnání výsledků V předchozích kapitolách jsme spočítali osové síly u třech variant prutové příhradové soustavy. I. variantu, která byla staticky určitá, jsme přidáním dalšího prutu učinili staticky neurčitou. Takto vznikly dvě upravené soustavy, u kterých jsme výpočtem stanovili velikosti osových sil, aby bylo možné porovnat, jak se změnilo rozložení těchto sil v jednotlivých prutech po přidání nadbytečného prutu. Přidaný prut slouží jako výztuha. Pro umístění jsme vyšli z velikosti sil I. varianty a výztuhu jsme umístili uvnitř konstrukce a vně konstrukce tak, aby ovlivnili nejvíce namáhané pruty z I. varianty. Dosažené výsledky všech variant shrnují následující grafy (Graf., Graf., Graf 3.). Kladné hodnoty jsou pro namáhaní tahem, záporné pro namáhání tlakem. Správnost výsledků můžeme dokázat velikostmi sil ve vnějších stykových vazbách, které ve všech třech případech vyšly stejně

43 velikost osových sil I. varianty síla [N] číslo prutu Graf. velikost osových sil II. varianty síla [N] číslo prutu Graf. velikost osových sil III. varianty síla [N] číslo prutu Graf

44 Jak je vidět z grafů jsou ve všech třech případech tahové síly prakticky stejné, na tyto hodnoty nemá přidaná vzpěra vliv. Porovnáním hodnot z I.(Graf.) a II. varianty (Graf II.) ukazuje, že přidání vzpěry dovnitř konstrukce nemělo žádný podstatný vliv na osové síly v prutech. Toto vyztužení konstrukce nevedlo na požadované snížení napjatosti soustavy, proto tuto variantu nebudeme dále ve výpočtech uvažovat. Oproti tomu u vyztužení soustavy prutem z vnějšku došlo k výraznému poklesu tlakových sil. V I. variantě jsou tři pruty soustavy namáhány v podstatě stejnou, maximální hodnotě blízkou, tlakovou silou. Po vyztužení prutem z vnějšku mezi styčníky B a F došlo k poklesu dvou ze tří těchto sil, a to dost významným způsobem. Maximální tlakovou sílu přenáší pouze jeden prut, další nejbližší hodnota tlakové síly je téměř poloviční a přenáší jí, přidaná vzpěra. Tento fakt zohledníme při návrhu rozměrů příčného průřezu. Toto vyztužení se poměrně významně promítlo do napjatosti celé konstrukce

45 . Návrh profilu a jeho rozměrů.. Volba průřezu V další části se budeme zabývat návrhem profilu a nejmenšího rozměru příčného průřezu, který by byl použit při výrobě konstrukce. V podstatě by šlo zvolit jakýkoliv normalizovaný profil používaný ve strojírenství, ale vzhledem k tomu, že v soustavě je více jak polovina prutů namáhaných tlakem a může u nich dojít ke vzpěru, nejsou pro tyto pruty vhodné profily s rozdílnými osovými kvadratickými momenty, např. I, U, T apod. Naopak profily u kterých jsou kvadratické momenty průřezu stejné (kruhová trubka, kruh, čtverec, ) jsou vhodné, protože u je riziko vybočení ve všech rovinách stejné. Pro další výpočty zvolíme tedy kruhovou válcovanou trubku. Rozměry příčného průřezu stanovíme v následujícím výpočtu... Návrh nejmenšího průměru průřezu Rozměr minimálního průměru průřezu vypočítáme při dodržení minimální bezpečnosti konstrukce. Výpočet provedeme pro dvě varianty (I. a III.). Při tomto návrhu se lze dát několika směry a to: pro pruty namáhané tahem stanovit průměr z maximálního tahového napětí a tento průměr poté použít pro výpočet bezpečnosti prutů namáhaných tlakem, pokud bude bezpečnost v tahu i v tlaku pro daný průměr vyhovující, pak tento rozměr použít pro všechny pruty v soustavě stanovit průměr zvlášť pro pruty namáhané tahem (vzhledem k meznímu stavu pružnosti) a zvlášť pro pruty namáhané tlakem (vzhledem k meznímu stavu vzpěrné stability) třetí možností je pro každý prut stanovit, dle typu namáhání a velikosti osové síly, jeho vlastní průměr Všechny tyto možnosti nejsou sice vyloženě špatné, ale z technologického hlediska výroby konstrukce, např. při navrhování styčníkových těles bude nejlepší, pokud všechny pruty budou mít stejnou geometrii. Toho docílíme tím, že z podmínky mezního stavu pružnosti spočítáme minimální plochu pro přenesení maximálního tahového (tlakového) napětí a dále z podmínky vzpěrné stability navrhneme konkrétní rozměry příčného průřezu, při dodržení minimální plochy průřezu. Navržený prut pak bude mít rozměry splňující oba mezní stavy...3 Návrh geometrie příčného průřezu vstupní hodnoty k = 4 bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti MSP k = 6 bezpečnost vůči meznímu stavu vzpěrné stability krit tahová síla N MAX [N] tlaková síla N MIN [N] I. varianta III. varianta N 4 =40000 N 4 =40000 N 8 =4806 N 3 =446 N =5 N 7 =

46 ..4 Průřezové charakteristiky příčného průřezu Pro další výpočty je nutné stanovit některé průřezové charakteristiky navrhovaného průřezu (obr. 4), které tento průřez charakterizují a jsou používány ve vztazích pro výpočet napětí a deformace, jsou to: plocha průřezu a kvadratický moment průřezu. Obě charakteristiky jsou závislé pouze na rozměrech průřezu, lze z nich tedy tyto geometrické rozměry vyjádřit. Obr. 4 Navrhovaný profil plocha průřezu S R R R R r S = ds = π rdr = π rdr = π = π ( R R ) R R R R zavedeme- li : D R = D vnější průměr d R =, d vnitřní průměr získáme konečný vztah pro plochu průřezu D d S = π ( ) (.30) 4 4 osový kvadratický moment průřezu J kvadratický moment kruhového průřezu vypočítáme pomocí polárního momentu průřezu J P, platí: J P = JY + J Z protože se jedná o symetrický průřez platí, že: J = J = J z uvedeného plyne: Y Z J P = J J = J P výpočet polárního osového momentu J P :

47 R R R 4 R 3 r R R J P = r ds = r π rdr = π r dr = π = π ( ) R R R R nyní vyjádříme osový kvadratický moment J R R R R J P = J J = J P = π ( ) = π ( ) stejně jako v předchozím případě zavedeme: D R = D vnější průměr d R =, d vnitřní průměr a získáme končený vztah pro kvadratický moment průřezu 4 4 D d 4 4 D d J = π = π (.3)..5 Vyjádření nejmenší plochy průřezu V této části řešení vyjádříme minimální plochu průřezu prutu z podmínky mezního stavu pružnosti. K tomuto výpočtu použijeme maximální tahovou (tlakovou) sílu, protože zde působí maximální tahové (tlakové) napětí. Výpočet provedeme v několika krocích:. stanovíme napětí σ = σ MAX ze vztahu pro výpočet napětí prutu namáhaného tahem: N MAX σ MAX = (.3) SMIN. z podmínky mezního stavu pružnosti vyjádříme napětí σ = σ MAX : k MSP R σ R e e = MAX = (.33) σ MAX kmsp 3. porovnáme vztahy (.3) a (.33) a vyjádříme z nich neznámou S MIN NMAX Re kmsp. NMAX = SMIN = (.34) S k R MIN e..6 Vyjádření nejmenšího kvadratického momentu průřezu Nyní vyjádříme z podmínky mezního stavu vzpěrné stability a ze vztahu pro výpočet N KRIT nejmenší kvadratický moment průřezu. N KRIT je tzv. Eulerova kritická síla pro druhý případ vzpěru dle vztahu (.7). π E J NKRIT = l Jestliže NMAX NKRIT k vybočení prutu nedojde, v opačném případě by mohlo dojít k vybočení prutu a k destrukci celé konstrukce

48 Výpočet opět provedeme v několika krocích:. vyjádříme N krit z koeficientu bezpečnosti mezního stavu vzpěrné stability: N k = N = k N (.35) krit krit krit krit MAX NMAX. ze vztahu (.7) pro N krit vyjádříme osový kvadratický moment průřezu J : N KRIT π E J NKRIT l = J = l π E (.36) 3. do vztahu (.36) dosadíme za N krit ze vztahu (.35) a vypočítáme nejmenší přípustnou hodnotu kvadratického momentu J J MIN NKRIT l kkrit NMAX l = = π E π E (.37)..7 Vyjádření geometrických rozměrů průřezu D d k. NMAX S = SMIN = π ( ) = (.38) 4 4 R e J 4 4 kkrit NMIN l D d = = π π E (.39) Ze vztahů (.30) a (.3) vyjádříme vnější průměr D D d k. N S = SMIN = π ( ) = 4 4 R 4 NMAX k D = + d π R e MAX 4 4 kkrit NMIN l D d J = = π π E e (.40) 64 k 4 krit N MIN l D = + d 3 π E 4 (.4) Vztahy (3) a (4) porovnáme a vyjádříme z nich vnitřní průměr d 4 NMAX k 64 k 4 krit NMIN l d = + d 3 π Re π E 4 NMAX k 64 kkrit NMIN l 4 d d 3 π Re π E + =

49 4 NMAX k 4 NMAX k 64 k N l + d + d = + d π Re π Re π E 4 krit MIN NMAX k 64 kkrit NMIN l 6 NMAX k d = π Re π E π Re d = kkrit NMIN l 6 k N MAX 64 π E π Re k NMAX 8 R e (.4)..8 Výpočet geometrie příčného průřezu Dosazením známých hodnot do vztahů (.0) a (.) vypočteme číselně velikost D a d. Tyto hodnoty spočítáme pro obě varianty konstrukcí. varianta I. ( NMAX = NMIN = N8 = 4806 N, l = l8 = m ) d I I I kkrit NMIN l 6 k N MAX 64 π E π Re = = I k NMAX 8 R e π. 0 π = = m = 37mm I 8 k NMAX l D = + d = = = 46mm 6 π R π e varianta III. Pro tuto variantu provedeme výpočtů několik ve kterých využijeme závěry kapitoly Prut 3 je namáhán největší tlakovou silou, ale protože tato síla je téměř dvakrát větší než nejbližší nižší tlaková síla, nebylo by vhodné dimenzovat celou soustavu pro tento prut. Nejbližší menší tlaková síla je ta, kterou přenáší přidaná vzpěra. Soustavu by bylo možné dimenzovat přes tuto vzpěru, potíž je v tom, že délka vzpěry je téměř dvojnásobná, než délky ostatních prutů. Délka prutu, přes který bychom navrhovali geometrii pro ostatní pruty, hraje ve vztahu pro výpočet významnou roli, protože její hodnota roste s druhou mocninou. To by vedlo opět k předimenzování většiny prutů, jejichž délka je v průměru poloviční. Největší skupinu podobných vlastností tvoří ostatní pruty. Proto jejich geometrii navrhneme podle maximálních hodnot z této skupiny. Prut 3 a vzpěru vyřešíme zvlášť

50 prut č. 3 ( NMAX = NMIN = N3 = 446 N, l = l3 = m ) d III III III kkrit NMIN l 6 k N MAX 64 π E π Re = 4 = III k NMAX 8 R e π. 0 π = = m = 37mm II 4 k NMAX l D = + d = = = 46mm 6 π R π e vzpěra ( NMAX = NMIN = N = 5 N, l = l =.93m ) d III III III kkrit NMIN l 6 k N MAX 64 π E π Re = = III k NMAX 8 R e π. 0 π = = 0.079m = 79mm III II 4 k NMAX l D = + d = = = 88mm 6 π R π e ostatní pruty ( NMAX = N4 = N, NMIN = N7 = 0000 N, l = l7 =.55m ) d III III III kkrit NMIN l 6 k N MAX 64 π E π Re = 4 = III k NMAX 8 R e π. 0 π = = 0.085m = 9mm II 4 k NMAX l D = + d = = = 4mm 6 π R π e - 4 -

51 vypočítané hodnoty: I. varianta D [mm] 46,00 d[mm] 37,00 t[mm] 4,50 III.varianta D [mm] 46,00 d[mm] 37,00 t[mm] 4,50 D [mm] 88,00 d[mm] 79,00 t[mm] 4,50 D [mm] 4,00 d[mm] 9,00 t[mm] 6,00 všechny pruty prut 3 vzpěra ostatní pruty Porovnáme- li spočítané hodnoty rozměrů jednotlivých prutů je vidět, že u III. varianty došlo ke snížení rozměrů největší skupiny prutů. Protože však pro výrobu konstrukce je nutné použít trubky normalizovaného rozměru, stanovíme nejbližší normalizovaný profil...9 Návrh normalizovaných rozměru profilu Pro návrh těchto rozměrů vyjdeme z příslušné normy. Volím bezešvou hladkou kruhovou trubku dle normy ČSN Tyto trubky jsou dle normy charakterizovány vnějším průměrem D a tloušťkou trubky t [5]. Podle rozměrů této konstrukce, stanovených v předcházející kapitole nalezneme v příslušné normě nejbližší průměr D, tloušťky t. varianta I. ( D = 46,00mm ; t = 4,5mm ) navržená trubka : TR 48,3 x 4,5 x L L délka příslušného prutu varianta III. - prut 3 ( D = 47,00mm ; t = 4mm ) navržená trubka : TR 48,3 x 4,5 x L - vzpěra ( D = 88,00mm ; t = 4mm ) navržená trubka : TR 88,9 x4 x L - ostatní pruty ( D = 4,00mm ; t = 6,0mm ) navržená trubka : TR 4,4 x4,5 x L L délka příslušného prutu L délka příslušného prutu L délka příslušného prutu - 4 -

52 ..0 Kontrola navržených normalizovaných rozměrů profilu Pro rozměry, které jsme navrhli v předchozí kapitole (..0) spočítáme plochu a kvadratický moment průřezu, tyto musí být rovny, nebo větší než minimální hodnoty těchto průřezových charakteristik, vyjádřených ze příslušných mezních stavů. Navržený prut můžeme použít pokud splňuje relaci: S SMIN J J MIN varianta I. - plocha průřezu. ze vztahu (.30) vypočítáme plochu průřezu S D d 48,3 39,3 S = π ( ) = π ( ) = 69, mm ze vztahu (.38) vypočítáme S MIN S MIN I k. NMAX = = = 570,7mm R 300 e S > S MIN = 69, > 570,7 - osový kvadratický moment průřezu 3. ze vztahu (.3) vypočítáme kvadratický moment průřezu J D d 48,3 39,3 J = π = π = 50056,5mm ze vztahu (.37) vypočítáme J MIN 4 I kkrit NMIN l J MIN = = = 333, 4mm π E π, 0 J > J MIN = 50056,5 > 333, 4 4 varianta III. - plocha průřezu. ze vztahu (.30) vypočítáme plochu průřezu S o prut 3 D d 48,3 39,3 S3 = π ( ) = π ( ) = 69,mm o vzpěra D d 88,9 80,9 Svzpěra = π ( ) = π ( ) = 066,9mm o ostatní pruty D d 4,4 33, 4 S pruty = π ( ) = π ( ) = 535,8mm

53 . ze vztahu (.38) vypočítáme S MIN o prut 3 k NMAX SMIN3 = = = 565,7mm R 300 e S3 > S MIN 3 = 69, > 565, 7 o vzpěra k NMAX 4 5 SMINvzpěra = = = 96,7mm R 300 e S > S = 69, > 565,7 vzpěra MINvzpěra o ostatní pruty III k. NMAX SMINpruty = = = 533,3mm R 300 e S > S = 535,8 > 533, 7 pruty MINpruty - osový kvadratický moment průřezu 3. ze vztahu (.3) vypočítáme osový kvadratický moment průřezu J o prut D d 48,3 39,3 4 J3 = π = π = 50056,5mm o vzpěra D d 88,9 80,9 Jvzpěra = π = π = , 4mm o ostatní pruty D d 4,4 33,4 4 J = π = π = 97559, 6mm ze vztahu (.37) vypočítáme J MIN o prut 3 III kkrit NMIN l J MIN3 = = = 37, 7mm π E π, 0 J3 > J MIN 3 = 50056,5 > 37, 7 o vzpěra III kkrit NMIN l J MINvzpěra = = = 38799, 4mm π E π, 0 J > J = , 0 > 38797, 6 vzoěra MINvzpěra o ostatní pruty II kkrit NMIN l J MIN = = = 7687,mm π E π, 0 J > J MIN = 97559, 6 > 7687,

54 Obě varianty splňují podmínky relace: S SMIN J J MIN. Navržené rozměry trubky v obou případech budou schopny přenášet stanovené zatížení konstrukce, při dané bezpečnosti... Ověření platnosti vzorců Eulerova vzpěru V kapitole.4. jsme odvodili vzorce pro vzpěr prutů tzv. Eulerova vzpěru, nyní zkontrolujeme zda pro tlačené pruty nastane dříve mezní stav pružnosti, nebo mezní stav vzpěrné stability. Toto provedeme výpočtem štíhlostního a mezního štíhlostního poměru λ. Pro materiál, který byl použit je mezní štíhlost λ K dle vztahu (.). 5 E. 0 λk = π = π = 83,3 σ 300 K Pokud vyjde λ < λ K dojde dříve k meznímu stavu pružnosti a pro takový prut stanovíme bezpečnost vzhledem k meznímu stavu pružnosti. I. varianta D d 48,3 39, 3 J y i = = = = 5,56 S D d 48,3 39, λ = l , 4 i = 5,56 = λ < λ K -bezpečnost k MSP Re 300 kmsp = = = 4,6 N S 48,3 39,3 π 4 4 III. varianta vzpěra bezpečnost vyhovuje D d 88, 9 80,9 J y i = = = = 30,05 S D d 88, 9 80, λ = l , i = 30,05 = λ < λ K -bezpečnost k MSP Re 300 kmsp = = = 4,3 N 5 S 88,9 80, 9 π 4 4 bezpečnost vyhovuje

55 prut D d 48,3 39, 3 J y i = = = = 5,56 S D d 48,3 39, λ = l , 7 i = 5,56 = λ < λ K -bezpečnost k MSP Re 300 kmsp = = = 4,6 N S 88,9 80,9 π 4 4 ostatní pruty bezpečnost vyhovuje D d 4,4 33,4 J y i = = = = 3.49 S D d 4,4 33, λ = l i =.4 = λ > λ K

56 .3 Vliv gravitace na bezpečnost konstrukce Důsledkem toho, že jsme v předchozí kapitole přiřadili celé konstrukci prutová tělesa s konkrétními fyzikálními vlastnostmi, začne na konstrukci působit tíhové pole, které jsme při výpočtu osových sil neuvažovali. Ve většině technických výpočtů lze toto zatížení zanedbat, protože příspěvek vnějšího zatížení zemské tíhy je několikanásobně menší než vnější zatížení konstrukce, nicméně pro úplnost spočítáme jaký vliv má tíhové zrychlení na bezpečnost celé konstrukce. Uvažování tíhového pole země zohledníme ve výpočtu zavedením dílčí tíhové síly do jednotlivých styčníků..3. Stanovení tíhových sil v jednotlivých styčnících Do každého styčníku zavedeme tíhovou sílu od prutů, které se v tomto styčníku stýkají. Protože každý prut je vázán na obou svých koncích, předpokládejme, že každý zatěžuje polovina tíhy prutu. Pro každý styčník vyjádříme tíhovou sílu, dle následujícího odvození, které provedeme např. pro styčník L: tíhová síla přenášená styčníkem L FgL = ml g (.43) hmotnost prutů stýkajících se ve styčníku L m = m + m (.44) L 0 hmotnost prutu: m = V ρ = S l ρ (.45) i i tíhová síla pro styčník L: FgL = ml g = ( m + m0 ) g = ( S l ρ + S l0 ρ) g = S ρ g ( l + l0) (.46) z tíhové síly pro styčník L, lze odvodit obecný vztah tíhovou sílu ve všech styčnících: Fgi = S ρ g lx (.47) l x... součet délek prutů, které se ve styčníku stýkají S... plocha průřezu ρ... hustota oceli g... tíhové zrychlení

57 tíhové síly ve styčnících A FgA = S ρ g ( l + l) G FgG = S ρ g ( l0 + l + l + l4 ) B FgB = S ρ g ( l + l3 + l4) H FgH = S ρ g ( l + l3 + l5 + l7 + l8 ) C FgC = S ρ g ( l + l3 + l5 + l6) I FgI = S ρ g ( l4 + l5 + l6 ) D FgD = S ρ g ( l5 + l7 + l8 ) J FgJ = S ρ g ( l6 + l7 + l9 + l) E FgE = S ρ g ( l6 + l7 + l9 + l0 ) K FgK = S ρ g ( l8 + l9 + l0) F FgF = S ρ g ( l8 + l9 + l + l3 ) L FgL = S ρ g ( l0 + l).3. Uvolnění soustavy Obr. 5 Zavedení tíhových sil do styčníků.3.3 Sestavení styčníkových rovnic rovnováhy Pro I. variantu konstrukce sestavíme styčníkové rovnice rovnováhy i s uvažováním tíhové síly v jednotlivých styčnících. Styčníkové rovnice zůstanou v podstatě stejné, jen s tím rozdílem, že tíhové síly ve styčnících budou tvořit pravé strany rovnic. Rozbor vnější a vnitřní statické určitosti není nutné dělat, protože soustava zůstává stejná a tíhové síly tvoří pouze vnější zatížení, které na určitost soustavy nemá vliv. Soustavu uvolníme z vnějších vazeb a do styčníků zavedeme dílčí tíhové síly (obr. 5)

58 styčník A x : F = 0 : N + F = 0 x y : F = 0 : N + F = F AX y AY ga styčník B = 0 : N N3 y : F = 0 : N + N + F = F y 3 4 BY gb styčník C = 0 : N3 + N5 + N6 3 = 0 : N + N3 N6 = F gc styčník D = 0 : N5 N7 + N8 3 3 = 0 : N4 N7 N8 = F gd

59 styčník E = 0 : N6 + N7 + N9 + N0 3 3 = 0 : N6 + N7 N0 = F ge styčník F = 0 : N8 N9 N cos(67.5) + N3 3 = 0 : N8 N sin(67.5) N3 = F gf styčník G 3 = 0 : N0 + N cos(67.5) + N + N4 = 0 : N0 + N sin(67.5) N4 = F gg styčník H 3 = 0 : N N3 + N7 + N8 = 0 = 0 : N3 N5 N7 = Fg H styčník I 3 = 0 : N4 + N6 = 0 = 0 : N4 + N5 =

60 styčník J 3 3 = 0 : N6 N7 + N = 0 : N7 + N9 + N styčník K x : F = 0 : N + N = 0 x y : F = 0 : N = F y gk styčník L 3 = 0 : N0 N = F = 0 : N = F F gl D Výpočet provedeme stejně jako v předchozích případech, z rovnic se přidáním pravé strany stane rozšířená matice soustavy, kterou řešíme pomocí výpočetní techniky (Příloha 4) Vypočtené síly shrnuje následující tabulka: síla velikost [N] tah/tlak síla velikost [N] tah/tlak N 0 - N tlak N 3486 tah N tlak N N tah N tlak N 5-06 tlak N tlak N tah N tah N tlak N tlak N tlak N tlak N 9-67 tlak N tlak N tlak N tah N 0 tah N -799 tlak - 5 -