chaosu Od motýlích křídel ke kvantovému Pavel Cejnar Brno 2016 Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta UK Praha
|
|
- Antonín Pravec
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Brno 06 Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta UK Praha Od motýlích křídel ke kvantovému chaosu Lorenzo Lotto ( ), Magnum Chaos (Basilica di Santa Maria Maggiore, Bergamo
2 Fyzika. druhu: kódování rot E roth B t D t j Maxwellovy rovnice div D divb 0
3 Fyzika. druhu: dekódování Henri Poincaré (854-9) d ri dt G problém 3 těles j( i) r j i, j {,,3} m j r i n ij
4 Fyzika. druhu: dekódování Redukce Emergence Komplexita A = 0???
5 Hamiltonovská mechanika Stav fyzikálního systému složeného z N částic je v každém okamžiku plně určen výčtem všech souřadnic a hybností 3N + 3N počet stupňů volnosti f Můžeme si ho představit jako jediný bod v 6N-rozměrném fázovém prostoru. Při zachování energie je pohyb omezen na (6N )-rozměrnou plochu Znalost stavu v daném čase t umožňuje odvodit stavy ve všech ostatních časech (t ± Δt ) Dim = 4 = + = f + f x z Polohy (x, y, z) a hybnosti (p x,p y,p z ) pro 7 částic 3 William Hamilton ( ) 4 N = 7 y
6 Hamiltonovská mechanika Stav fyzikálního systému složeného z N částic je v každém okamžiku plně určen výčtem všech souřadnic a hybností 3N + 3N počet stupňů volnosti f Můžeme si ho představit jako jediný bod v 6N-rozměrném fázovém prostoru. Při zachování energie je pohyb omezen na (6N )-rozměrnou plochu Znalost stavu v daném čase t umožňuje odvodit stavy ve všech ostatních časech (t ± Δt ) William Hamilton ( ) Pierre-Simon Laplace Intelekt, jenž by v jistém (749 87) okamžiku znal všechny síly, které uvedly přírodu do pohybu, a polohy všech věcí, z nichž se příroda skládá, by v jediné formuli obsáhl pohyby největších těles vesmíru i pohyby těch nejmenších atomů; pro takový intelekt by nic nebylo nejisté a před jeho očima by se zpřítomňovala budoucnost stejně jako minulost
7 Řešitelné systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů, pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit: např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém p / ml Klasické pohybové rovnice vyjadřují tok ve fázovém prostoru f= f= Renčín Znalost stavu v daném čase t umožňuje odvodit stavy ve všech ostatních časech (t ± Δt ) Každým bodem fázového prostoru prochází právě jedna trajektorie
8 Řešitelné systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů, pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit: např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém p / ml f= Klasické pohybové rovnice vyjadřují tok ve fázovém prostoru f= Integrabilita: Systém s f stupni volnosti má f integrálů pohybu (zachovávajících se veličin) I, I I f. Trajektorie takového systému ve fáz. prostoru leží na plochách podobných torům. integrál pohybu = energie H( p, q) Pro f = integrabilita vyžaduje existenci dodatečného integrálu pohybu Pro f = jsou všechny systémy integrabilní tory = kružnice
9 Ostatní (neřešitelné) systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů, pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit: např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém Ale naprostá většina skutečných systémů taková není! Klasické pohybové rovnice Pohybové rovnice zachovávají vyjadřují tok ve fázovém prostoru objem buňky fázového prostoru představují tok nestlačitelné kapaliny. Tvar buňky fázového prostoru se ale může stávat velmi komplikovaným existence chaotických řešení vykazujících exponenciální citlivost k počátečním podmínkám efekt motýlího křídla t t t = exponenciální vzdalování některých trajektorií
10 Nestabilita dynamiky Edward Lorenz (97-008) Edward Lorenz (přednáška 979) Predictability: Does the flap of a butterfly s wings in Brazil set off a tornado in Texas? efekt motýlího křídla t t t t = exponenciální vzdalování některých trajektorií
11 Problém 3 těles Existence chaotických řešení a jejich fatální důsledky pro Laplaceův determinismus byly demonstrovány teprve v roce 890 Henri Poincaré (854-9) Dnešní příklad: výpočet chaotického gravitačního rozptylu 3 těles P. Hut, J.N. Bahcall, Astrophys. J. 68, 39 (983)
12 Problém 3 těles z historie V roce 885 vyhlašuje švédský & norský král Oscar II. u příležitosti svých 60. narozenin vědeckou soutěž (ceny: zlatá medaile a 500 zlatých korun) s cílem nalezení obecného analytického řešení (ve formě konvergující řady) dynamiky systému mnoha těles v nebeské mechanice. V roce888 se do soutěže přihlašuje Henri Poincaré (34 let) prací nazvanou O problému tří těles a rovnicích dynamiky. Komise soutěže (Karl Weierstrass, Charles Hermite, Gösta Mittag-Leffler) jej vyhlašuje vítězem (i když plné řešení zadaného problému nepředložil). Když má být jeho 60 stránková práce publikována, editor upozorňuje na určité nejasnosti. Po dlouhém mlčení nachází Poincaré fatální chybu. Stahuje mezitím již vytištěné vydání práce a v roce 890 publikuje novou práci v rozsahu 70 stránek na vlastní náklady >500 korun (také zlatá medaile mu byla později ukradena). Její výsledky odhalují do té doby převážně skrytou bohatost a složitost řešení dynamických rovnic klasické mechaniky a ukazují jejich nestabilitu. Nová práce pokládá základy pozdějšího studia chaosu a komplexity ve fyzice i mimo ni Henri Poincaré (854-9)
13 Problém 3 těles zjednodušení Redukovaný problém 3 těles nekonečně malá 3.hmotnost m m, m 0 & ( x, y, z) ( x, y,0) 0 3 rovinný pohyb Vyřeším pohyb těles + (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles + => započtení odstředivé + Coriolisovy síly problém má stupně volnosti Pohyb těles + Wikipedia
14 Problém 3 těles zjednodušení Redukovaný problém 3 těles nekonečně malá 3.hmotnost m m, m 0 & ( x, y, z) ( x, y,0) 0 3 Vyřeším pohyb těles + (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles + => započtení odstředivé + Coriolisovy síly problém má stupně volnosti L 4 m m L 3 L R.Moeckel L m m L 3 Země-Měsíc: μ=0.05 L, L, L 3, L 4, L 5 Lagrangeovy body nestabilní rovnováha tělesa 3 Vhodnou volbou jednotek lze dosáhnout: m x & m x a za předpokladu kruhového pohybu těles + nabývají dynamické rovnice tvaru: d dt x U( x, y) x y y dy dt dx dt U x U y ( x ), kde: y ( x ) y Existuje integrál pohybu (Jacobiho energie): E dx dy [( ) ( ) ] U( x, y ) dt rovinný pohyb dt
15 Problém 3 těles vizualizace Poincarého mapa: Poincaré vynalezl způsob vizualizace dynamiky obecného systému pomocí zobrazení opakovaných průchodů trajektorií řezem fázového prostoru ( stroboskopické zobrazení, návratová mapa ). Pro konzervativní (E=const) systém se stupni volnosti je mapa -rozměrná Všechny trajektorie leží na 3D ploše E=const ve 4D fázovém prostoru x x y 0 Každý bod řezu protíná právě trajektorie (díky zachování E) Pokud by existoval. integrál pohybu, body patřící stejným trajektoriím by v rovině řezu ležely na křivkách průsečících řezu s tory (integrabilní systém) Pokud. integrál pohybu neexistuje, může řez vypadat třeba i takto:
16 Problém 3 těles vizualizace Země - Měsíc μ=0.05 E.59 EL Pavel Stránský x rovina řezu: y=0 směr průchodu x
17 Vznik chaosu je úchvatný! Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků kanonická poruchová teorie, KAM teorie symbolická dynamika, diskrétní mapy ergodická teorie stabilita diferenciálních rovnic George Birkhoff ( ) Andrej Kolmogorov ( ) disipativní systémy, atraktory proudění, turbulence Vladimir Arnold (937-00) Jürgen Moser (98-999)
18 Vznik chaosu je úchvatný! Člověk je ohromen složitostí tohoto obrázku, který se zde ani neodvažuji nakreslit Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků ) ) 3) Simulace C.Simó (ilustrativní příklad) A. Chenciner: Seminaire Poincaré XVI(0)45 ) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM) teorém (954,63,6): racionální tory umírají nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle D: m const m,,, m m m ) Poincaré-Birkhoffův teorém (9,35): zánikem toru vzniká n periodických orbit, n z nich je stabilních, n nestabilních 3) Heteroklinická změť (890): stabilní a nestabilní nadplochy kolem nestabilní orbity vytvářejí komplikovaný propletenec >0
19 Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací) H px py 0 M 3 A( x y ) B( x 3y x) C( x y ) Hénon-Heilesův model 0 (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie) Potenciál pro A= 0.84, B,C,M= y Vysoká variabilita chování při změnách parametrů a energie: Poincarého mapy pro řez y=0 x E=4.4 A=.6, B,C,M= E=3 A= 0.84, B,C,M= E=.4 x x
20 y Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací) H px py 0 M 3 A( x y ) B( x 3y x) C( x y Hénon-Heilesův model 0 (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie) Vysoká variabilita chování při změnách parametrů a energie: Potenciál pro A= 0.84, B,C,M= ) P h y s i c a Magia Maxima E=4.4 A=.6, B,C,M= E=3 A= 0.84, B,C,M= E=.4 x
21 x 0 x 0 Bernoulliova posloupnost Rekurentní vztah x n x 0, bb b3b 4b5 x n n (mod) V dvojkovém zápisu je tato posloupnost vyjádřena opakovaným ciferným posunem doleva o jedno místo: x n, 0 b b b b4 b 3 b b3 b4 mod Př.: cifra lokalizuje bod v levé/pravé ½ intervalu [0,]. cifra daného ½-intervalu 3. cifra daného ¼-intervalu... 0 levá ½ b k pravá ½ 0 ¼ ½ ¾ Bernoulliova transformace generuje chaotické trajektorie! Např. posloupnosti vycházející z těchto počátečních bodů jsou ve 4. kroku v opačných ½-intervalech: bb3 b4b5 b6
22 Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 983, p.40 & Am.J.Phys. 60 (99) 086 Složitost S(B n n ) sekvence B { b, b, b3, b4,, b }, b n i {0,}, je rovna minimální bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat n n jednoduché sekvence: S( B ) log n např. for i= to n print n n složité sekvence: S(B ) n výčet elementů: print { b, b,, b n } Složitost nekonečné sekvence: n S( B ) n K( B ) n 0 jednoduché sekvence 0 složité Např. Ludolfovo číslo je algoritmicky jednoduchá sekvence F6A8885A308D (A=0,B=,C=,D=3,E=4,F=5) dvojková soustava desítková soustava šestnáctková soustava Existuje algoritmus umožňující jednotlivé cifry čísla π v šestnáctkové soustavě počítat nezávisle, tj. bez znalosti předchozích cifer Ludolph van Ceulen (540 60) (hlasováním zvolená nejošklivější formulka všech dob) ):-O
23 Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 983, p.40 & Am.J.Phys. 60 (99) 086 Složitost S(B n n ) sekvence B { b, b, b3, b4,, b }, b n i {0, }, je rovna minimální bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat n n jednoduché sekvence: S( B ) log n např. for i= to n print n n složité sekvence: S(B ) n výčet elementů: print { b, b,, b n } Složitost nekonečné sekvence: n S( B ) n K( B ) n 0 jednoduché sekvence 0 složité Např. Bernoulliova posloupnost vytváří složité sekvence.cifra=0.cifra= Sekvence je tvořena např. první cifrou dvojkového rozvoje jednotlivých členů x n posloupnosti Složité sekvence jsou z praktického hlediska zcela náhodné!
24 Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 983, p.40 & Am.J.Phys. 60 (99) 086 Složitost S(B n n ) sekvence B { b, b, b3, b4,, b }, b n i {0, }, je rovna minimální bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat n n jednoduché sekvence: S( B ) log n např. for i= to n print n n složité sekvence: S(B ) n výčet elementů: print { b, b,, b n } Složitost nekonečné sekvence: n S( B ) n K( B ) n 0 jednoduché sekvence 0 složité Např. Bernoulliova posloupnost vytváří složité sekvence Klasická mechanika vytváří složité (tedy náhodné ) sekvence fázový prostor Dim = 6N #i 0 Rozdělení fázového prostoru na očíslované buňky. Sledujeme sekvenci buněk #i 0,#i,, #i k, kterými prochází trajektorie z definovaného počátečního bodu t #i k
25 Kvantová evoluce není chaotická! Vývoj stavu v kvantové fyzice nevykazuje motýlí efekt: malá změna počátečního stavu vede ke stejně malé změně koncového stavu, odchylka se nezesiluje. Existuje chaos na kvantové úrovni? Michael Berry (*94) Neexistuje kvantový chaos ve smyslu exponenciální citlivosti k počátečním podmínkám, ale existuje řada kvantových fenoménů, které odrážejí přítomnost klasického chaosu. Studium těchto fenoménů nazývám kvantovou chaologií. Schrödingerova rovnice je lineární! Kvantová mechanika je algoritmicky jednoduchá (sic )!!! prostor vlnových funkcí Dim ~ exp N Aproximace stavového vektoru v čase 0 na dané úrovni přesnosti umožňuje predikce pro libovolné časy t na stejné úrovni přesnosti! #i k #i 0 t
26 Kvantový chaos Energie Regularita/chaoticita klas. dynamiky má zásadní vliv na vzájemné korelace mezi hladinami kvantových spekter Např. rozdělení normalizovaných vzdáleností s mezi sousedními energetickými hladinami E n3 E n E n E n ΔE s E E střední vzdálenost hladin v dané oblasti spektra Fenomén odpuzování hladin v chaotických systémech regulární biliár Poissonovo rozdělení s P( s) e chaotický biliár Wignerovo rozdělení P( s) 4 se s absence korelací mezi hladinami silné korelace mezi hladinami A.Bäcker (007)
27 Kvantový chaos Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter a jsou popsány teorií náhodných matic dá se aplikovat v různých fyzikálních systémech 56 Gd Spektrum atomového jádra Elastomechanické módy nepravidelného krystalu Si (experiment) Neutrální atomy Hf, Ta, W, Re, Os, Ir (exp.data) Rosenzweig, Porter (960) energie po absorpci neutronu Ellegaard et al. (996) Vzdálenost jaderných rezonancí (76 experimentálních hodnot) Niels Bohr (936) Eugene Wigner (955) Oriol Bohigas et al. (98) Wigner Atom H v silném mg.poli (num. výpočet) Wintgen, Friedrich (987)
28 Kvantový chaos bez kvant Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter a jsou popsány teorií náhodných matic přesah do mnoha oblastí daleko mimo fyziku Vzdálenost vlastních hodnot autokorelačních matic EEG signálu Cuernavaca Vzdálenost autobusů MHD (v Mexiku) Puebla Šeba (003) Šeba et al. (000) Vzdál. vl.hodnot korel. matic pro různé meteorologické veličiny Santhanam et al. (00) Vzdál. vl.hodnot korel.matic pro fluktuace cen akcií Plerou et al. (00) Vzdál.vl.hod.korel.matic pro posunutí molekul v proteinech Potestio et al. (009)
29 Riemannova zeta funkce y ( z) z ( z z z 3 )( z 3 z 4 )( z 5 )( z 7 z=x+iy prvočísla ) Bernhard Riemann (86 866) x Riemannova hypotéza Nuly zeta funkce v komplexní rovině proměnné z se všechny (kromě tzv. triviálních nul z =, 4, 6, ) nacházejí na přímce z = ½ + i y Toto tvrzení má zásadní důsledky pro mnoho různých odvětví matematiky!!! ς Numerické výsledky pro N 0 0 komplexních nul perfektně souhlasí s předpovědí teorie náhodných matic Existuje kvantově chaotický systém, jehož energetické spektrum je určeno nulami zeta funkce?????? y B. Cipra: A prime case of chaos (AMS, 999)
30 Empedokles z Akragantu (cca BC) Kosmos = Sfairos + Chaos výsledek Lásky výsledek Sváru A tato věčná změna nikdy neustává, hned Láska všechno spojí v jednotu, hned se zas všecko rozkotá řáděním Sváru. Tak tedy vzniká jednota z mnohosti a mnohost zase z trosek jednoty nezáří ti tu do očí údy hbitého slunce ani hrubá síla země ani moře. Tak spočívá v pevném skrytu Harmonie kulový Sfairos, jenž vládne s hrdostí v samotě vůkol brzy se zase rozpadnou zásahem zlého Sváru. Tak se vše trmácí i ryby, jež v hlubinách sídlí, zvěř z hor i chocholaté potápky O PODSTATĚ SVĚTA (z řečtiny přeložil Jaroslav Pokorný, 944)
Přednáška 11 Od chaosu ke komplexitě všechnofyzika
Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK Přednáška Od chaosu ke komplexitě všechnofyzika Fyzika jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 05 Fyzika. druhu: kódování rot E roth
VíceFYZIKÁLNÍ CHAOS A FRAKTÁLY
FYZIKÁLNÍ CHAOS A FRAKTÁLY Pavel Stránský www.pavelstransky.cz Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Gymnázium Brandýs nad Labem 15. února 2016 Co si odnášíme
VíceSingulární charakter klasické limity
Singulární charakter klasické limity obecná speciální Teorie O Teorie S Parametr δ : δ ) O S) O S Pieter Bruegel starší +569) Velké ryby jedí malé ryby 556) obecná speciální Teorie O Teorie S Parametr
VíceObsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15
Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší
VíceÚvod do nebeské mechaniky
OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení
VíceNelineární systémy a teorie chaosu
Martin Duspiva KOIF2-2007/2008 Definice Lineární systém splňuje podmínky linearita: f (x + y) = f (x) + f (y) aditivita: f (αx) = αf (x) Každý systém, který nesplňuje jednu z předchozích podmínek nazveme
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice - laminární tok - Základní pojmy 2 Tekutina nemá vlastní tvar působením nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimka některé
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
VíceÚvod do nebeské mechaniky
OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení
VíceDynamické systémy 4. Deterministický chaos. Ing. Jaroslav Jíra, CSc.
Dynamické systémy 4 Deterministický chaos Ing. Jaroslav Jíra, CSc. Jednorozměrné mapy Jednorozměrné mapy (též známé jako diferenční rovnice) jsou matematické systémy, které modelují vývoj proměnné v čase
VíceFyzika IV Dynamika jader v molekulách
Dynamika jader v molekulách vibrace rotace Dynamika jader v molekulách rotační energetické hladiny (dvouatomová molekula) moment setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm osa těžiště m2 m1 r2 r1 R moment
VíceOkruhy k maturitní zkoušce z fyziky
Okruhy k maturitní zkoušce z fyziky 1. Fyzikální obraz světa - metody zkoumaní fyzikální reality, pojem vztažné soustavy ve fyzice, soustava jednotek SI, skalární a vektorové fyzikální veličiny, fyzikální
VíceFyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO
1. Jednotky a veličiny soustava SI odvozené jednotky násobky a díly jednotek skalární a vektorové fyzikální veličiny rozměrová analýza 2. Kinematika hmotného bodu základní pojmy kinematiky hmotného bodu
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
VíceÚvod do moderní fyziky
Úvod do moderní fyziky letní semestr 2015/2016 Vyučující: Ing. Jan Pšikal, Ph.D Tématický obsah přednášek speciální a obecná teorie relativity kvantování energie záření, vlnové vlastnosti částic struktura
VíceOperátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na
4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich
VíceProč studovat hvězdy? 9. 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů... 13 1.3 Model našeho Slunce 15
Proč studovat hvězdy? 9 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů.... 13 1.3 Model našeho Slunce 15 2 Záření a spektrum 21 2.1 Elektromagnetické záření
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceKvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)
1 Statistická fyzika Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Cíl statistické fyziky: vysvětlit makroskopické vlastnosti látky na základě mikroskopických vlastností jejích elementů,
VíceElementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model
Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
VíceCW01 - Teorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011 SPEC. 2.p 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace
VíceSymetrie a chaos v mnohočásticových systémech
Profesorská přednáška Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta Universita Karlova v Praze Symetrie a chaos v mnohočásticových systémech cejnar @ ipnp.troja.mff.cuni.cz
VíceZada ní 1. Semina rní pra ce z pr edme tu Matematický software (KI/MSW)
Zada ní. Semina rní pra ce z pr edme tu Matematický software (KI/MSW) Datum zadání: 5.. 06 Podmínky vypracování: - Seminární práce se skládá z programové části (kódy v Matlabu) a textové části (protokol
VíceFyzika IV. g( ) Vibrace jader atomů v krystalové mříži
Vibrace jader atomů v krystalové mříži v krystalu máme N základních buněk, v každé buňce s atomů, které kmitají kolem rovnovážných poloh výchylky kmitů jsou malé (Taylorův rozvoj): harmonická aproximace
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceModelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015 verze: 2015-04-14 12:31
VíceÚvod do chaotické dynamiky
Úvod do chaotické dynamiky R. Kolářová, Gymnázium Šternberk, raduska.kolarova@gmail.com J. Čeřovská, Gymnázium Česká Lípa, julinka.c@seznam.cz D. Kec, Gymnázium Jiřího Ortena, david.kec@email.cz J. Müller,
VíceKvantová fyzika atomárních soustav letní semestr VIII. KOTLÁŘSKÁ 23. DUBNA 2014
F40 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr 03-04 VIII. Vibrace víceatomových molekul cvičení KOTLÁŘSKÁ 3. DUBNA 04 Úvodem capsule o maticích a jejich diagonalisaci definice "vibračních módů"
VícePráce, energie a další mechanické veličiny
Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních
VícePotenciální proudění
Hydromechanické procesy Potenciální proudění + plíživé obtékání koule M. Jahoda Proudění tekutiny Pohyby elementu tekutiny 2 čas t čas t + dt obecný pohyb posunutí lineární deformace rotace úhlová deformace
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceLorenzův atraktor. MM semestrální práce. Jméno a příjmení: Pavel Martínek Osobní číslo: A08N0203P. Datum odevzdání: 12.2.
Lorenzův atraktor Jméno a příjmení: Osobní číslo: A08N0203P Obor: MA E-mail: pmartine@students.zcu.cz Datum odevzdání: 12.2.2009 Strana 1 (celkem 25) Obsah Lorenzův atraktor...1 Úvod...3 Dynamický systém...3
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceIII. MKP vlastní kmitání
Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací
VíceVáclav Uruba home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF
Václav Uruba uruba@fst.zcu.cz home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF 13.10.2014 Mechanika tekutin 1/13 1 Mechanika tekutin - přednášky 1. Úvod, pojmy,
VíceVYPOUŠTĚNÍ KVANTOVÉHO DŽINA
VYPOUŠTĚNÍ KVANTOVÉHO DŽINA ÚSPĚŠNÉ OMYLY V HISTORII KVANTOVÉ FYZIKY Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK Praha Prosinec 2009 1) STARÁ KVANTOVÁ TEORIE Světlo jsou částice! (1900-1905) 19.
VíceMATEMATIKA V MEDICÍNĚ
MATEMATIKA V MEDICÍNĚ Tomáš Oberhuber Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika pro život TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA
VíceFyzika 6. ročník. přesahy, vazby, mezipředmětové vztahy průřezová témata. témata / učivo. očekávané výstupy RVP. očekávané výstupy ŠVP
očekávané výstupy RVP témata / učivo 1. Časový vývoj mechanických soustav Studium konkrétních příkladů 1.1 Pohyby družic a planet Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon (vektorový zápis) pohyb satelitů
Více5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole
5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceÚvod do zpracování signálů
1 / 25 Úvod do zpracování signálů Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Spojitý a diskrétní signál. 2. Spektrum signálu. 3. Vzorkovací věta. 4. Konvoluce signálů. 5. Korelace signálů. 2 / 25 Úvod do zpracování
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,
KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce
VícePropojení matematiky, fyziky a počítačů
Propojení matematiky, fyziky a počítačů Název projektu: Věda pro život, život pro vědu Registrační číslo: CZ..7/.3./45.9 V Ústí n. L., únor 5 Ing. Radek Honzátko, Ph.D. Propojení matematiky, fyziky a počítačů
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceMaturitní témata fyzika
Maturitní témata fyzika 1. Kinematika pohybů hmotného bodu - mechanický pohyb a jeho sledování, trajektorie, dráha - rychlost hmotného bodu - rovnoměrný pohyb - zrychlení hmotného bodu - rovnoměrně zrychlený
VíceNumerické modelování interakce proudění a pružného tělesa v lidském vokálním traktu
Numerické modelování interakce proudění a pružného tělesa v lidském vokálním traktu Vedoucí práce: doc. Ing. Petr Šidlof, Ph.D. Bc. Petra Tisovská 22. května 2018 Studentská 2 461 17 Liberec 2 petra.tisovska@tul.cz
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceNerovnovážné systémy Onsagerova hypotéza, fluktuačně disipační teorém
Nerovnovážné systémy Onsagerova hypotéza, fluktuačně disipační teorém Omezení se na nerovnážné systémy v blízkosti rovnováhy Chování systému lze popsat v rámci linear response theory (teorie lineární odezvy)
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VícePavel Cejnar. pavel.cejnar @ mff.cuni.cz. Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta University Karlovy v Praze
Podivuhodná říše kvant Pavel Cejnar pavel.cejnar @ mff.cuni.cz Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta University Karlovy v Praze Hvězdárna a planetárium Brno, 22. 1. 2015 Podivuhodná
Více2. Atomové jádro a jeho stabilita
2. Atomové jádro a jeho stabilita Atom je nejmenší hmotnou a chemicky nedělitelnou částicí. Je tvořen jádrem, které obsahuje protony a neutrony, a elektronovým obalem. Elementární částice proton neutron
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH
VíceAlgoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic
Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky
VíceSimulace (nejen) fyzikálních jevů na počítači
Simulace (nejen) fyzikálních jevů na počítači V. Kučera Katedra numerické matematiky, MFFUK Praha 7.2.2013 Aerodynamický flutter Tacoma bridge, 1940 Fyzikální model Realita je komplikovaná Navier-Stokesovy
VíceSignál v čase a jeho spektrum
Signál v čase a jeho spektrum Signály v časovém průběhu (tak jak je vidíme na osciloskopu) můžeme dělit na periodické a neperiodické. V obou případech je lze popsat spektrálně určit jaké kmitočty v sobě
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceÚvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu
Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 3 DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc. OBSAH 1. Úvod. Základní výpočtový model v rotujícím prostoru 3. Základní výpočtový model rotoru
VícePřednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012
Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Robert Mařík 23. ledna 2015 2 Obsah 1 Přednášky 2012 5 2 Písemky 2012 9 3 4 OBSAH Kapitola 1 Přednášky 2012 1. prednaska, 16.2.2012 -----------------------
VíceÚvod do mobilní robotiky AIL028
md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 14. listopadu 2007 1 Diferenciální 2 Motivace Linearizace Metoda Matematický model Global Positioning System - Diferenciální 24 navigačních satelitů
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceFyzika I (mechanika a molekulová fyzika NOFY021)
Fyzika I (mechanika a molekulová fyzika NOFY01) Jakub Čížek katedra fyziky nízkých teplot Tel: 1 91 788 jakub.cizek@mff.cuni.cz http://www.kfnt.mff.cuni.cz výuka Fyzika I (mechanika a molekulová fyzika)
VíceOddělení pohybu elektronů a jader
Oddělení pohybu elektronů a ader Adiabatická aproximace Born-Oppenheimerova aproximace Důležité vztahy sou 4, 5, 7, 0,,, udělal sem to zbytečně podrobně, e to samostatný okruh Separace translačního pohybu:
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceVybrané podivnosti kvantové mechaniky
Vybrané podivnosti kvantové mechaniky Pole působnosti kvantové mechaniky Středem zájmu KM jsou mikroskopické objekty Typické rozměry 10 10 až 10 16 m Typické energie 10 22 až 10 12 J Studované objekty:
VíceKvantová fyzika. Pavel Cejnar mff.cuni.cz. Jiří Dolejší mff.cuni.cz
Kvantová fyzika Pavel Cejnar pavel.cejnar @ mff.cuni.cz Jiří Dolejší jiri.dolejsi @ mff.cuni.cz Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta UK Praha Světlo = vlny i částice! 19. století:
VíceTeorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Turbulence
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Turbulence M. Jahoda Turbulence 2 Turbulentní proudění vzniká při vysokých Reynoldsových číslech (Re>>1); je způsobováno komplikovanou interakcí mezi viskózními a setrvačnými
VíceDyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics
Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VícePřednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno
Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno 1 Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Struktura
VíceDynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině.
Dynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině. Přehled proudění Vazkost - nevazké - vazké (newtonské, nenewtonské) Stlačitelnost - nestlačitelné (kapaliny
VíceProjekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceFourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
VíceBonn, Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität
Bonn, Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Seznam přednášek Bc s anotacemi http://www.mathematics.uni-bonn.de/files/bachelor/ba_modulhandbuch.pdf Studijní plán-požadavky http://www.mathematics.uni-bonn.de/studium/bachelor/studienprogramm
Více2. Kinematika bodu a tělesa
2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a
Více