MODELOVÁNÍ SEISMICKÉHO ZDROJE JAKO REÁLNÁ TESTOVACÍ ÚLOHA PRO NELINEÁRNÍ INVERSNÍ ALGORITMUS

Transkript

1 MODELOVÁNÍ SEISMICKÉHO ZDROJE JAKO REÁLNÁ TESTOVACÍ ÚLOHA PRO NELINEÁRNÍ INVERSNÍ ALGORITMUS P. Kolář, B. Růžek, P. Adamová Geofyzkální ústav AV ČR, Praha Abstrakt Pro vyvíjený nelneární nversní algortmus ANNIT se jako vhodná testovací reálná úloha ukazuje modelování sesmckého zdroje v aproxmac sesmckého momentového tenzoru druhého řádu. V článku je úloha stručně popsána a jsou uvedeny výsledky nverse pro syntetcká data. 1 Motvace Jako v řadě jných oborů, tak př studu zemětřesného zdroje se v soudobé sesmolog dostáváme do stuace, kdy př numerckém modelovaní studovaných jevů jž nevystačíme s lneárním aproxmacem a je nutno používat popsy nelneární. Tento trend má několkero příčn, jak subjektvních (zpřesnění a zesubtlnění předmětů studa, tj. vznk vysoce detalních modelů, detalní modelovaní nestaconárních stavů etc.), tak objektvních: rozvoj příslušných nelneárních numerckých nástrojů jakož nárůst běžně dostupné dostatečné výpočetní kapacty. V duchu těchto současných trendů je v sesmckém oddělení Geofyzkálního ústavu vyvíjen nelneární nversní algortmus ANNIT (www3). Po jeho (úspěšném) otestování na soustavě nelneárních rovnc jsme hledal nějakou vhodnou reálnou úlohu, která by dále umožnla důkladné testování metody a její případná vylepšení. Volba padla na modelování sesmckého zdroje. Jak ukázaly provedené testy, jedná se o pro tento účel velm vhodnou úlohu, úspěšná aplkace vyvíjeného algortmu by pak znamenala přínos pro řešení reálných v současnost studovaných problémů. 2 Stručný úvod k matematcké aproxmac zemětřesného zdroje Př numerckém modelování sesmckého zdroje (zdroje zemětřesení) se v řadě případů používá bodová aproxmace. Př této aproxmac odhlédneme od reálných konečných rozměrů studovaného sesmckého zdroje, respektve tato aproxmace je smysluplná, pokud je pozorovatel od zdroje vzdálen tak, aby se mu s dostatečnou přesností jevl jako efektvně bodový v prax se jako krtérum platnost této aproxmace požaduje splnění podmínky d >> r, kde d je vzdálenost od zdroje a r je jeho charakterstcký rozměr. Samozřejmě, že reálný zdroj je ve skutečnost konečný a sesmcké vlny generuje nějak jeho každá (porušená) jeho část. Př modelování bodového zdroje lze v prvním přblížení posunutí u (v místě pozorování x) vyjádřt pomocí lneárního vztahu u ( x, = G ( ξ, x, M& ( ) [1] p, q pq t kde G je odezva prostředí (tzv. Greenova funkce), symbol * značí konvoluc a M je sesmcký momentový tensor jedná se o tensor prvního řádu (symetrcká matce 3x3 tj. 6 nezávslých členů). Poznamenejme, že obecný sesmcký momentový tenzor lze dekomponovat. Tato dekompozce je obecně nejednoznačná, respektve závslá na zvoleném způsobu dekompozce. V sesmolog se ustállo používání dekompozce na část objemovou, tahovou a střžnou. Důvodem pro tuto volbu je možná geometrcká nterpretace jednotlvých členů, které po řadě odpovídají explos, respektve mplos, jednoosému tlaku, respektve tahu a čstému smyku popsovaného pomocí dvojtého dpólu (jsté analog např. k elektrckému, č magnetckému dpólu vz obr. 1). Poznamenejme, že naprostá většna přrozených zemětřesení má zcela domnantní právě dpólovou složku, proto se lze v řadě úloh

2 omezt na modelování zemětřesení pomocí pouze této střžné složky. Podrobnější nformace o různých aproxmacích sesmckého zdroje lze nalézt např. v Zahradník (1989a), Sten a Wysesson (28) nebo v češtně v Zahradník (1989b) a samozřejmě v mnoha dalších. Obrázek 1: Příklad vyzařovací charakterstky dvojtého dpólu, modře pro P vlny, červeně pro S vlny - vytvořeno programem ANASEIS (www1). Vztah [1] lze použít pro určení sesmckého momentu. Za předpokladu znalost Greenovy funkce, což je ekvvalentní znalost č spíše předpokladu nějakého rychlostního modelu prostředí, lze z napozorovaných ampltud pohybů půdy určt sesmcký moment M. Z matematckého hledska se jedná o standardní řešení soustavy lneárních rovnc, v tomto případě zpravdla soustavy přeurčené (se všem obvyklým perpetem jako je např. určení chyby, vlv šumu, vlv nepřesného modelu, vlv geometrcké uspořádání míst pozorování - to bývá v řadě případů ovlvntelné jen do určté míry nebo spíše vůbec etc.) Výše popsaná aproxmace má samozřejmě své lmty. Jedním z možných směrů zpřesnění modelování je doplnění vztahu [1] o další nelneární členy. Pomocí expanze v Taylorově rozvoj do stupně dvě dostáváme vztah u ( x, = G & & & && (,, ) ( ) (,, ) (, ) (,, ) & ( ) + pq t Gp, ql pq, l ξ t Gp, qlm pq, lm K[2] 2 p, q ξ kde oprot vztahu [1] přbude dalších 14 nezávslých parametrů. Pomocí uvedeného vztahu je možno př formálně bodové aproxmac zdroje modelovat konečnost sesmckého zdroje. Vztah [2] je jakožto testovací úloha vhodná zejména z následujících důvodů: lze separovat lneární část problému, aproxmace [1] vede zpravdla rychle k nalezení jednoznačného řešení, formulace [2] je často multmodální a nalezení (fyzkálně reálného) řešení není vždy automatcky zaručeno a je nutno např. zahrnout další dodatečná fyzkální omezení a v neposlední řadě alespoň část z parametrů má přímou geometrckou nterpretac, což usnadňuje kontrolu správnost nalezeného řešení, respektve fyzkální nterpretac výsledků. 3 Algortmy pro nelneární nverse Algortmy pro nelneární nverse jsou vyvíjeny jž as od 5. let mnulého století od koncepčně as nejjednoduššího Random Search, přes dnes jž pravděpodobně zapomenuté Smulované Žíhání (Smulate Annealng) až po jž klascký Genetcký Algortmus, Dferencální Evoluc (www2) a

3 mnohé jné další. Každý z nversních algortmů má své vlastnost, své klady a zápory; rozhodně neexstuje jeden jednoznačně nejlepší a použtí toho kterého konkrétního spíše závsí na typu řešené úlohy, na konkrétních výpočetních možnostech, které jsou k dspozc a v neposlední řadě jstě na tradc a předchozích zkušenostech pracovště. Nelneární nversní algortmy lze různě fenomenologcky klasfkovat, jednou z možností je klasfkace dle způsobu jakým porovnávají navrhovaný model s daty. Řada algortmů kvantfkuje míru shody modelu a dat pomocí jedno čísla - skaláru zpravdla normy L2. Tímto způsobem však přcházíme o část nformace (např. není rozdíl mez všeobecnou drobnou nehodou dat a modelu a většnovou shodou s několka málo výraznějším odchylkam). Proto byly vyvnuty algortmy, které shodu dat modelu popsují pomocí vektoru rozdílu dat a modelu. Příkladem takových algortmů je Isometrcká metoda (Málek et al.27), nebo námy vyvíjený algortmus ANNIT (www3). Prncp algortmus ANNIT je náznakově popsán níže, další podrobnost možno nalézt na www stránkách projektu (www3), č ve specálním článku v tomto sborníku. Zde lze říc, že tento algortmus kombnuje stochastcký a determnstcký přístup př hledání modelu vyhovujícího datům. Populace potenconálně uvažovaných hodnot parametrů a jm odpovídajících modelů se vyvíjí determnstcky, pokud se však touto cestou nedaří dosáhnout přměřeného zlepšení, provede se stochastcká rekonfgurace populace uvažovaných hodnot parametrů. Tento postup se opakuje až do nalezení uspokojvého řešení, respektve do naplnění dalších krtérí pro skončení programu. Z hledska praktckého provádění nverse doplňme, že program ANNIT povnně vyžaduje zadání rozsahu hledaných parametrů a umožňuje zadání jejch startovací hodnoty, případně jejch fxac. 4 Provedené testy Aby se testování co nejvíce blížlo zamýšleným budoucím aplkacím, jako testovací úloha byla zvolena konfgurace stanc a zemětřesného zlomu v Anatol v Turecku (obr. 2). Aby prováděné testy nebyly ovlvněny šumem, nepřesnostm v modelu prostředí a také aby jednoznačně mohla být ohodnoceny výsledky nverze, byla použta syntetcká data; jným slovy: známe přesné zadání úlohy. Tato syntetcká testovací data byla spočtena pro konečný zdroj (samozřejmě o známé orentac a velkos za předpokladu obdélníkového modelu zdroje (Burjánek, 28). Zopakujme na tomto místě, že naše formulace problému, popsaná vztahem [2] není přesným popsem tohoto syntetckého modelu, jedná se o bodovou aproxmac sesmckého momentu druhého řádu a očekávané výsledky, respektve jejch geometrcké nterpretace, by se měly blížt charakterstce modelu. N [km] YEN 4 PSK OVA YAG 2 HER KIZ -2 GEM HAC OFL SDL SUK YAK KUR AKA UMU HEN BAL GOK CAM SAR E [km] Obrázek 2: Mapa oblast s epcentrem (hvězdčka) a stancem, vše v relatvních kartézských souřadncích; podle J. Burjánka. Přpomeňme, že v našem případě řešíme úlohu pro 6 parametrů momentového tenzoru prvního řádu (dále jen MT1) a pro 14 parametrů momentového tenzoru druhého řádu (dále jen MT2) tedy celkem 2 nezávslých parametrů. Zatímco číselný rozsah parametrů MT2 se pohybuje v rozsahu

4 prvních desítek, pro MT1 mohou parametry dosahovat hodnot až +/ I když se používaný algortmus ANNIT umí s takovýmto rozdíly vypořádat, numercké pokusy ukázaly, že je vhodné úlohu rozdělt do dvou kroků: nejprve nvertovat pro MT1 a spočtené výsledky pak použít v nvers pro MT2. Tento krok ostatně koresponduje s flosofí popsu naší úlohy, kdy první aproxmac pomocí MT1 rozšřujeme o opravu druhého řadu MT2 a lze tedy očekávat, že vlv této opravy bude pouze doplňující. To potvrzují výsledky nverse uvedené na obrázku 3. Př nvers bylo potřeba věnovat pozornost datům není možnoť přímo použt celé sesmogramy, neboť jejch velkost představuje v našem případě cca 5 bodů, což je za hrancí obsadtelné pamět př provádění výpočtu. Navíc by to pravděpodobně nebylo an přílš žádoucí, neboť takto slné přeurčení řešeného problému by bylo prot flosof použtého algortmu. Po několka pokusech byla jako vstupní data použty převzorkované sesmogramy každý sesmogram je ovzorkován stejným počtem vzorků (zvoleno 1), vzorkovací krok tedy není konstantní, je však dostatečně hustý pro postžení charakterstky sesmogramu v ntervalu uvažovaných frekvencí. Jak algortmus ANNIT, tak přímá úloha (výpočet sesmogramů pro potenconálně navrhovanou sadu nvertovaných parametrů MT1 a MT2) byly napsány v prostředí MATLAB Obrázek 3: Porovnání nvertovaných sesmogramu (faktcky vstupních da a sesmogramů odpovídajících parametrům modelu nalezeného pomocí algortmu ANNIT. Vlevo je řešení pro aproxmac [1], vpravo řešení dle [2], data jsou vykreslena černou barvou, nalezená řešení červeně, respektve falově, stopy odpovídají záznamům z jednotlvých stanc dle obr. 1. Aby bylo možno kontrolovat prác testovaného programu jsou použta syntetcká data, uspořádaní expermentu však odpovídá reálné stuac na Anatolském zlomu (Turecko) a zemětřesení o síle M=6. Je patrná lepší shoda druhého řešení, zároveň však změna není dramatcká, jak lze očekávat od členů rozvoje druhého řádu. 5 Závěr Reálná geofyzkální úloha nalezení sesmckého momentového tenzoru druhého řádu se ukázala jako vhodná testovací úloha pro vyvíjený algortmus nelneární nverse ANNIT. Provedené testy ukázaly, že testovací úloha je netrvální a multmodální do té míry, že se ukazuje relevantní uvažovat o zavedení nějakých doplňkových podmínek plynoucích z fyzkálních omezení uvažovaného problému (vz např. McGure et al., 22). Takovéto rozšíření by z hledska řešené úlohy mělo vést k zefektvnění výpočtu a z hledska funkčnost algortmu ANNIT k rozšíření třídy problémů, které je tento algortmus schopen úspěšně řešt.

5 Reference Burjánek, J., 28, Syntetcké odezvy konečného zlomu testovací případ Anatole, nterní zpráva Málek J., Růžek B. and Kolář P., 27: Isometrc method: Effcent tool for solvng non-lnear nverse problems. Stud. Geophys. Geod., 51, McGure, J. J., Zhao, L. and Jordan T. H.,: 22: Predomnance of Unlateral Rupture for a Global Catalog of Large Earthquakes, Bull. Sesm. Soc. Am., 92, pp Sten, S. and Wysesson, M., 28:An ntroducton to sesmology, eartquakes, and Earth structure, Blackwell Publshng, www1: zde možno stáhnout zdrojový kód pro vykreslení vyzařovací charakterstky sesmckého zdroje typu dvojtého dpólu (kód pro prostředí MATLAB) www2: stránky věnované Dferencální evoluc www3: stránky projektu vývoje programu ANNIT Zahradník, J., 1989a: Generaton of Sesmc Waves by Earthquake Sources (Lecture Notes), Sesmologcal Department, Uppsala Unversty, Sweden. Zahradník, J., 1989b: Fyzka zemětřesení (předběžná verze učebního textu), KGM MFF UK, Praha Poděkování Práce vznkla v rámc grantů: IAA31285 a IAA21271 GAAV ČR Kontakt P. Kolář: kolar@g.cas.cz