2 Význam Fourierovy transformace v teorii difrakce

Transkript

1 1 2 Význam Fourierovy transformace v teorii difrakce Studium struktury látek založené na difrakci nějakého záření se většinou provádí tak, že na zkoumanou látku dopadá rovnoběžný svazek záření a ve vzdálenosti velké ve srovnání s rozměry objektu se registruje difraktované záření. Z něho, de facto tedy ze směrového rozložení difraktovaného záření, se pak usuzuje na strukturu zkoumané látky. Jestliže se přitom předpokládá, že difrakce je slabá v tom smyslu, že neovlivní ( neoslabí ) primární záření a že difrakce nastává pouze jednorázově, tj. že difraktuje pouze primární záření, tj. že difrakce už jednou difraktovaného záření je zanedbatelná, mluvíme o kinematické teorii difrakce. (Ma v. Laue [1], str. XX, [2], str. 123, používal názvu geometrická teorie. Tento název je asi výstižnější, avšak neujal se.) Bere-li se v úvahu zeslabení primární vlny v důsledku difrakce a difrakce záření už difraktovaného, mluvíme o dynamické teorii difrakce. Matematickým základem kinematické teorie difrakce je Fourierova transformace v E N. Ať už nás zajímá kterákoli oblast teorie difrakce difrakce na jednorozměrných mřížkách (E 1 ), Fraunhoferova difrakce v optice (E 2 ), strukturní analýza pevných látek (E 3 ) včetně kvazikrystalů (E N ), difrakce vlnění nejrůznějšího druhu (zvuk, elektromagnetické vlnění, elektrony, neutrony, protony, atomy, ionty, molekuly) a nejrůznějších energií, resp. vlnových délek vždycky používáme aparátu a výsledků Fourierovy transformace. 2.1 Difrakce rovinné vlny na trojrozměrném objektu, Ewaldova kulová plocha Předpokládejme, že trojrozměrný objekt charakterizuje funkce f( ) (funkce propustnosti v optice, elektronová hustota v rentgenové difraktografii, elektrostatický potenciál v elektronové difraktografii atd.), která představuje schopnost objektu rozptylovat záření. Na objekt dopadá kolimovaný svazek, tj. rovinná vlna charakterizovaná výrazem ep (ik n ), v němž n značí jednotkový vektor ve směru šíření a k = 2π/λ je vlnové číslo. Každý bod M objektu působí pružný rozptyl, jímž vzniká kulová vlna, f( ) ep(ik n ) ep(ikr), kr jejíž amplituda je úměrná jednak rozptylové schopnosti f ( ) objektu, jednak a to je výrazem kinematické teorie dopadající vlně. Vzdálenost r mezi bodem M s průvodičem a bodem pozorování P s průvodičem je r = (viz obr. 1). Záření difraktované celým objektem je pak v bodě pozorování charakterizováno integrálem Ψ d ( ) = f( ) ep(ik n ) ep( ik ) k d 3. (1) ep(i kn ) M r P Obrázek 1: K aproimaci (2). Nyní se využije toho, že bod pozorování P je velmi vzdálený od objektu. Míní se tím, že funkce f ( ) nabývá fyzikálně významných hodnot jen pro a jinde je rovna nule. Jinými slovy předpokládá se, že lineární rozměr rozptylujícího objektu je velmi malý ve srovnání se vzdáleností mezi objektem a bodem pozorování P. Všeobecně se má za to, že tento předpoklad ospravedlňuje v integrandu (1) aproimaci ep(ik ) k ep(ik) k ep( ik n ), (2)

2 2 kde n = /. Obyčejně se aproimace (2) zdůvodňuje takto: Z rozvoje = = = n + ε, (3) kde {[ ε = ( ) ] 2 ( ) [[ ( ) 2 ( ) 4 n n n n [ ( ) 2 ( ) ]]] } 4 n n ±, (4) n můžeme ve jmenovateli výrazu na levé straně (2) použít jen první člen, neboť n i ε. Naproti tomu v argumentu eponenciální funkce v čitateli levé strany (2) použijeme prvních dvou členů rozvoje (3) předpokládajíce, že zanedbávaná část rozvoje, tj. kε, je malá proti periodě eponenciální funkce, tedy Přísně vzato, místo (2) bychom měli psát kε 2π, tj. 2 2 λ. ep(ik ) k Aproimace (2) pak znamená, že klademe = ep(ik) k ep(ikε) ep( ik n ) 1 n ε. ep(ikε) 1 n To jistě lze, když + ε n = 1 + { ( = ik 2 n [ ( ) ] 2 n 1 ) [ 1 + i ( 1 + k )] n + 2 ( ) } 2 n ± n (5) a současně k 2 2 = π2 2 1, tj. π λ. (6) λ Podmínky (5) a (6) bývají dobře splněny při rozptylu záření na objektech atomových rozměrů (Bornova aproimace, viz např. [3], [4], kap. 5, 5, [5], 77, [6]). Jejich splnění v teorii difrakce však nemusí být samozřejmostí. Zejména podmínka (6) může být velmi přísnou podmínkou v difrakčních eperimentech, kdy se nepoužívá nebo nelze používat čoček. Např. při difrakci rentgenového záření na krystalech bývá. = m, λ. = m takže z podmínky (6) vyplývá λ π. = m. Velikost krystalů, na nichž dochází k difrakci rentgenového záření, by tedy měla být v oblasti nejvýše desetin mikrometru! Při difrakci světla nebo elektronů lze použít čočku a pozorovat difrakční obrazec v její obrazové ohniskové rovině. Tím se dosáhne toho, že vzdálenost =, takže podmínky (5) a (6) jsou splněny. Použijeme-li aproimace (2) a označení

3 3 pro tzv. vektor rozptylu, lze integrál (1) přepsat do tvaru Ψ d = ep (ik) k X = n n (7) f ( ) ep ( ikx ) d 3. (8) Integrál v tomto výrazu má už formálně tvar Fourierova integrálu. Se skutečností, že proměnná X nenabývá všech možných hodnot v E 3 jak je tomu u Fourierovy transformace, ale že je omezena podmínkou (7), se teorie difrakce vyrovnává tzv. Ewaldovou konstrukcí. Využívá Fourierovy transformace, ale dodává, že eperimentálně přístupné jsou pouze ty hodnoty proměnné X, které splňují podmínku (7), tj. které jsou rozdílem dvou jednotkových vektorů. ρ n Q C X n O Obrázek 2: Vektor rozptylu X (viz (7)). Podstatou Ewaldovy konstrukce je tedy toto (viz obr. 2): V prostoru proměnné X Fourierovy transformace sestrojíme kulovou plochu ρ o jednotkovém poloměru tak, že prochází počátkem O a její střed C leží ve směru opačném ke směru šíření primární vlny, tj. CO = n (Ewaldova (též reflení) kulová plocha). Pak amplituda záření difraktovaného ve směru CQ = n = n + X je úměrná Fourierově transformaci F ( X) (funkce f( ) charakterizující preparát) v bodě Q Ewaldovy kulové plochy, jehož průvodič je roven vektoru rozptylu X, tj. X = OQ. Skutečnost, že eperimentálně dostupná je jen část prostoru proměnné X, není, bohužel, jediným problémem, s nímž se musí strukturní analýza vyrovnávat. Druhou závažnou skutečností je, že eperimentálně se registruje nikoli amplituda difraktovaného záření, tedy veličina úměrná Fourierově transformaci F ( X), ale intenzita, tedy veličina úměrná F ( X) 2. Tím se ztrácí informace o fázi komplení funkce F ( X). Zde má původ známý fázový problém strukturní analýzy. Eistuje totiž nekonečné množství funkcí f( ), jejichž Fourierova transformace má týž čtverec modulu F ( X) 2. Na funkci f( ) musíme tedy usuzovat pouze na základě čtverce modulu její Fourierovy transformace v konečné oblasti prostoru. Za těchto omezujících podmínek vnucených eperimentem je užitečné mít na paměti matematické věty o Fourierově transformaci a s jejich pomocí se snažit vyčíst z difrakčního obrazce co nejvíce informací o funkci f( ), tj. o struktuře studovaného objektu. Těmto matematickým větám je věnována převážná část těchto přednášek. Připomeneme ještě jednoduchý geometrický způsob, jímž lze nahlédnout, že difraktované vlnění je charakterizováno integrálem (8). Představme si opět, že na objekt dopadá ve směru n rovinná vlna ep(ik n ) a zajímejme se o vlnění rozptýlené ve směru n. Z vlnoploch OL a OL na obrázku 3 je zřejmé, že dráhový rozdíl paprsků A OA a A MA je délka L ML, tj. ( n n). Vlnění rozptýlené do směru n částí objektu v infinitezimálním okolí bodu M má tedy oproti vlnění rozptýlenému do téhož směru okolím počátku O fázové zpoždění k( n n ). Vezmeme-li v úvahu ještě rozptylovou schopnost f( ), je zřejmé, že vlnová funkce charakterizující záření difraktované celým objektem ve směru n je ψ d ( n n ) f( ) ep [ ik( n n ) ] d 3, (9)

4 4 A L n M -n L n n A Obrázek 3: K odvození vztahu (9). což je ve shodě s (8). Tím, že jsme v tomto odstavci zvolili za parametr k v definici Fourierovy transformace vlnové číslo k = 2π/λ, nabyla proměnná X(X 1, X 2, X 3 ) významu rozdílu jednotkových vektorů ve směru difraktovaného a dopadajícího záření (viz (7)). V kartézské soustavě souřadnic jsou tedy souřadnicemi vektoru X rozdíly směrových kosinů X 1 = cos α 1 cos α 1, X 2 = cos α 2 cos α 2, X 3 = cos α 3 cos α 3 (1) vektorů n(cos α 1, cos α 2, cos α 3 ) a n (cos α 1, cos α 2, cos α 3 ) a Ewaldovu kulovou plochu pak bylo účelné konstruovat s jednotkovým poloměrem. V krystalografii a ve strukturní analýze se vektor rozptylu definuje nikoli vztahem (7), ale podílem X f = ( n n ) /λ (11) (viz např. [7], str. 7, [8], 8.4). Souvisí to s tím, že v těchto disciplínách se za parametr k ve Fourierově transformaci volí hodnota ±2π, jak jsme uvedli v odst Ewaldovu kulovou plochu je pak účelné konstruovat o poloměru 1/λ. Ve fyzice pevných látek a ve fyzice povrchů se v definici Fourierovy transformace volí k = ±1, vektor rozptylu se definuje vztahem X ω = 2π ( n n ) /λ (12) a Ewaldovu kulovou plochu je třeba konstruovat s poloměrem 2π/λ (viz např. [9], str. 64, 65, [1], 4.2). (eflení kouli o tomto poloměru původně používal i Ewald [11]). 2.2 Fraunhoferova difrakce jako Fourierova transformace funkce propustnosti V laboratorním žargonu se často říká, že Fraunhoferova difrakce je Fourierovou transformací. Nebývá však zvykem precizovat, čeho že je Fraunhoferova difrakce Fourierovou transformací. Této otázce budeme věnovat tento odstavec. Onu zatím nespecifikovanou Fraunhoferovu difrakci charakterizuje Fourierova transformace, jež je funkcí dvou proměnných. Je tedy Fourierovou transformací nějaké funkce dvou proměnných f( 1, 2 ). V optické prai máme často co činit s objekty, jež lze považovat za dvojrozměrné, např. clony, různé transparenty (např. fotografické filmy, řezy biologickými objekty představující preparáty pro mikroskopické pozorování) a pod. Tyto dvojrozměrné objekty lze charakterizovat tzv. funkcí propustnosti t( 1, 2 ). Budeme tedy v odst. 2.2 zkoumat, jak souvisí Fraunhoferova difrakce s Fourierovou transformací funkce propustnosti t( 1, 2 ), tj. jak spolu souvisejí funkce f( 1, 2 ) a t( 1, 2 ).

5 5 V odst budeme precizovat pojem funkce propustnosti t( 1, 2 ), v odst představíme Fraunhoferovu difrakci jako rozklad vlnové funkce do rovinných vln a ukážeme, že Fourierova transformace funkce f( 1, 2 ) je amplituda těchto rovinných vln. V odst podáme návod, jak to eperimentálně zařídit, aby Fraunhoferova difrakce byla Fourierovou transformací funkce propustnosti, tj. aby platilo f( 1, 2 ) = t( 1, 2 ) Funkce propustnosti Představme si nějaký objekt dvojrozměrného charakteru (to znamená dostatečně tenký). Např. obraz registrovaný zpracovanou fotografickou emulzí, tetilie, otisky prstů na podložním mikroskopickém sklíčku, maska na výrobu integrovaných obvodů apod. Takový objekt je vhodné charakterizovat funkcí propustnosti t( 1, 2 ), kterou lze zavést takto: Vycházíme ze samozřejmého předpokladu, že objekt je aspoň v některých místech transparentní pro nějaké vlnění. Předpokládejme, že toto vlnění dopadá na objekt, prochází jím a těsně za ním (tj. v rovině zadní strany objektu) je charakterizováno funkcí ψ( 1, 2 ). Nechť ψ ( 1, 2 ) charakterizuje totéž vlnění v téže rovině za nepřítomnosti jakéhokoliv objektu. Utvořme nyní podíl t( 1, 2 ) = ψ( 1, 2 ) ψ ( 1, 2 ). (1) Je-li tento podíl v rozumných mezích nezávislý na dopadající vlně (tj. na tom, zda dopadající vlna je rovinná nebo kulová vlna, na úhlu pod nímž dopadá rovinná vlna apod.), můžeme příslušný objekt považovat za dvojrozměrný a charakterizovat jej funkcí propustnosti t( 1, 2 ). (ozumné meze vylučují případy jako téměř tečný dopad rovinné vlny, kulovou vlnu se středem velmi blízko objektu apod.) Je zřejmé, že funkce propustnosti je v obecném případě komplení funkcí. V prai však bývají důležité dva zvláštní případy: (i) Amplitudové objekty. Mají funkci propustnosti ve tvaru t( 1, 2 ) = τ( 1, 2 ) ep(iε ), (2) kde τ( 1, 2 ) je reálná funkce a ε reálná konstanta. Např. funkci propustnosti objektu tvořeného prázdnými otvory v nepropustné kovové fólii (např. štěrbina nebo naopak nepropustný proužek) modelujeme charakteristickou funkcí otvorů, tj. funkcí, jež je rovna jedné v bodech otvorů a nule v bodech nepropustné části stínítka. Složitějším případem jsou obrazy registrované fotografickou emulzí, kdy nositelem informace je míra zčernání filmu. Pro optické zpracování takových obrazů by tedy bylo žádoucí, aby světlo procházející emulzí bylo absorbováno tak, jak to odpovídá zčernání filmu, a nedocházelo přitom k posuvu fáze, jenž by závisel na poloze v rovině filmu. Funkce propustnosti by pak měla tvar (2). Jenže při běžném vyvolávání filmu přísluší různému zčernání různá tloušťka emulze a různé tloušťce emulze nežádoucí fázový posuv prošlého vlnění. Pak je třeba vkládat film do imerzního oleje mezi dvě planparalelní desky a celá věc se komplikuje a stává pracnou. (ii) Fázové objekty. Mají v propustných částech funkci propustnosti ve tvaru t( 1, 2 ) = τ ep[iε( 1, 2 )], (3) kde τ je konstanta a ε( 1, 2 ) je reálná funkce polohy. V nepropustných částech je t( 1, 2 ) =. Příkladem mohou být ideálně propustné optické elementy, jež absorbují světlo jen nepatrně, avšak velmi podstatně ovlivňují fázi vlnění (např. tenká čočka, fázová mřížka apod.) Pojem funkce propustnosti je užitečný do té míry, že se jej někteří autoři s vynaložením značného úsilí snaží uchovat i v případech objektů, které nejsou tenké, tj. kdy hodnota podílu na pravé straně vztahu (1) závisí na dopadajícím vlnění [12], [13].

6 ozklad vlnové funkce do rovinných vln V tomto odstavci odhlédneme od toho, že naší snahou je, aby Fraunhoferova difrakce byla popsána Fourierovou transformací funkce propustnosti. Budeme vycházet z toho, že známe vlnovou funkci ψ v rovině 3 =, jíž vlnění prochází, zvolíme f( 1, 2 ) = ψ( 1, 2, ) a budeme hledat vztah mezi Fourierovou transformací této funkce a amplitudou rovinných vln do nichž rozložíme vlnění, které naší rovinou (tj. rovinou 3 = ) prošlo. Předpokládejme tedy, že máme co činit s monochromatickým vlněním, že známe vlnovou funkci ψ v bodech M nějaké roviny a že všechny zdroje vlnění jsou v jednom z poloprostorů, které tato rovina vymezuje. Zvolíme tuto rovinu za rovinu 3 = v soustavě souřadnic (, 1, 2, 3 ) s kladnými hodnotami souřadnice 3 v poloprostoru, který neobsahuje zdroje vlnění. (Jde prostě o to, abychom mohli používat Helmholtzovy rovnice 2 ψ + k 2 ψ = k popisu vlnění šířícího se ve směrech n(n 1, n 2, n 3 ), pro něž je n 3 >, tj. ve směrech n ( n 1, n 2, 1 n 2 1 ) n2 2.) Vlnovou funkci ψ( 1, 2, 3 ) vyjádříme Fourierovým integrálem, a to poněkud zvláštním způsobem. Nikoli trojným integrálem, jak bychom u funkce tří proměnných očekávali, ale pouze dvojným Fourierovým integrálem ψ( 1, 2, 3 ) = Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) ep[ik(x X 2 2 )] dx 1 dx 2. (1) V tomto integrálu jsou X 1, X 2 fourierovské proměnné, o jejichž fyzikálním významu bude ještě řeč. Konstantě k dáme význam vlnového čísla, k = 2π/λ, takže nepřekvapí, když se ukáže, že X 1, X 2 mají význam směrových kosinů (pokud X X 2 2 1). Funkci Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) zatím ovšem neznáme. Poněvadž však integrál (1) má tvar inverzní Fourierovy transformace, můžeme funkci Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) vyjádřit dvojnou Fourierovou transformací vlnové funkce ψ( 1, 2, 3 ) podle proměnných 1, 2 Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) = ( ) 2 k 2π ψ( 1, 2, 3 ) ep[ ik(x X 2 2 )] d 1 d 2. (2) Funkci ψ( 1, 2, 3 ) však známe v rovině 3 =, takže můžeme vypočítat Fourierovu transformaci Ψ(X 1, X 2 ; ) = ( ) 2 k 2π ψ( 1, 2, ) ep[ ik(x X 2 2 )] d 1 d 2. (3) Nalezneme nyní funkci Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) pro všechna 3. V poloprostoru 3 nejsou žádné zdroje vlnění, takže funkce ψ( 1, 2, 3 ) vyhovuje Helmholtzově rovnici. Dosadíme tedy výraz (1) do Helmholtzovy rovnice. Za tím účelem vypočteme derivace výrazu na pravé straně rovnice (1), 2 ψ ψ ψ 2 3 = k 2 X1 2 Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) ep[ik(x X 2 2 )] dx 1 dx 2, = k 2 X2 2 Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) ep[ik(x X 2 2 )] dx 1 dx 2, = 2 Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) 2 3 ep[ik(x X 2 2 )] dx 1 dx 2 a dosadíme je do Helmholtzovy rovnice 2 ψ+k 2 ψ =. Zaměníme pořadí sčítání a integrace a dostaneme [ k 2 ( ] 1 X1 2 X2 2 ) Ψ(X1, X 2 ; 3 ) + 2 Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) 2 ep[ik(x X 2 2 )] dx 1 dx 2 =. (4) 3 ovnice (4) platí pro všechny body 1, 2, 3. Musí tedy být

7 7 2 Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) k 2 ( 1 X 2 1 X 2 2 ) Ψ(X1, X 2 ; 3 ) =. (5) To je obyčejná lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Její řešení splňující okrajovou podmínku (3) je ) Ψ(X 1, X 2 ; 3 ) = Ψ(X 1, X 2 ; ) ep (ik 3 1 X1 2 X2 2. (6) Toto je velmi důležitý výsledek, k němuž se budeme v dalších semestrech vracet. (Chápeme-li totiž Fresnelovu difrakci jako přenos lineárním prostorově invariantním systémem, vyplývá z rov. (6), že fázor ep(ik 3 1 X 2 1 X2 2 ) je přenosovou funkcí homogenního izotropního prostředí.) Dosadíme-li pravou stranu rovnice (6) do integrálu (1), dostaneme vlnovou funkci ve tvaru ψ( 1, 2, 3 ) = [ )] Ψ(X 1, X 2 ; ) ep ik (X X X1 2 X2 2 dx 1 dx 2. (7) Věnujme se nyní interpretaci tohoto výrazu. Především je pozoruhodné, že rovnice (7) vyjadřuje vlnovou funkci ψ( 1, 2, 3 ) v obecném bodě se souřadnicí 3 > prostřednictvím známé vlnové funkce ψ( 1, 2, ) v rovině 3 =. ovnici (7) lze tedy chápat jako matematický popis Fresnelovy difrakce. (V příštím semestru odvodíme difrakční integrál pro Fresnelovu difrakci mimo jiné také tak, že do pravé strany rov. (7) dosadíme za Ψ(X 1, X 2 ; ) výraz (3) a zintegrujeme podle X 1 a X 2.) Dále je zřejmé, že pokud je X1 2 + X2 2 1, představuje fázor [ )] ep ik (X X X1 2 X2 2 (8) rovinnou vlnu šířící se ve směru n ( X 1, X 2, 1 X1 2 ) X2 2. Je-li však X X2 2 > 1, upravíme fázor v integrálu (7) do tvaru ) ep ( k 3 X 21 + X22 1 ep[ik(x X 2 2 )]. (9) Tento výraz představuje rovněž vlnu, neboť je řešením Helmholtzovy rovnice. Plochy konstantní amplitudy jsou roviny 3 = const. a amplituda vlny (9) eponenciálně klesá s rostoucím 3, tj. se vzdáleností od roviny 3 =, v níž známe vlnovou funkci ψ( 1, 2, ). Plochy konstantní fáze jsou roviny X X 2 2 = const., tj. 2 = X 1 X const. X 2, tedy roviny s normálou n(x 1 / X1 2 + X2 2, X 2/ X1 2 + X2 2, ). Výraz (9) je nehomogenní vlnou, neboť plochy konstantní amplitudy nejsou totožné s plochami konstantní fáze (jsou na sebe kolmé). Vzhledem k eponenciálnímu poklesu amplitudy v závislosti na souřadnici 3 nazývají se vlny (9) evanescentními vlnami (z latinského evanescere = mizet, zanikat, vytrácet se). Výraz (7) tak představuje vyjádření vlnové funkce jako superpozice rovinných a evanescentních vln: ψ( 1, 2, 3 ) = X 2 1 +X [ ep ik X 2 1 +X2 2 >1 Ψ(X 1, X 2, ) (X X X 2 1 X2 2 )] dx 1 dx 2. (1) Integrál přes obor X1 2 + X2 2 > 1, vztahující se k evanescentním vlnám, můžeme zanedbat, kdykoli je 3 λ. (Už při 3 = λ a = 2 klesne amplituda evanescentních vln (9) na své hodnoty v rovině 3 =.) Dostáváme tak vlnovou funkci ψ vyjádřenou superpozicí rovinných vln

8 8 ψ( 1, 2, 3 ) = X 2 1 +X2 2 1 Ψ(X 1, X 2 ; ) ep ) (ik 3 1 X1 2 X2 2 ep [ ik(x X 2 2 ) ] dx 1 dx 2. (11) Toto je tedy aproimativní vyjádření rozkladu vlnění ψ( 1, 2, 3 ) prošlého rovinou 3 = do rovinných vln. Amplitudy rovinných vln představuje funkce Ψ(X 1, X 2 ; ), tedy Fourierova transformace (3) známé vlnové funkce ψ( 1, 2, ) v rovině 3 =. Aproimativnost spočívá pouze v tom, že jsme zandebali evanescentní vlny Eperimentální realizace Fraunhoferovy difrakce jako Fourierovy transformace funkce propustnosti θ Obrázek 4: θ f f Obrázek 5: θ f Obrázek 6:

9 9 Eperimentální uspořádání, při nichž vlnová funkce charakterizující Fraunhoferovu difrakci odpovídá Fourierově transformaci funkce propustnosti svým modulem i fází f Obrázek 7:. Obrázek 8: f Obrázek 9: Eperimentální uspořádání, při nichž vlnová funkce charakterizující Fraunhoferovu difrakci odpovídá Fourierově transformaci funkce propustnosti pouze svým modulem Modifikace obrazu funkce propustnosti ovlivněním spektra prostorových frekvencí 2.3 Významy proměnné ve Fourierově transformaci V běžné mluvě se pojmů frekvence a spektrum používá příliš volně. Proto budeme tyto pojmy precizovat a uvedeme je do souvislosti s proměnnou X a Fourierovou transformací F ( X).

10 1 f f f f Obrázek 1: Obrázek 11: Prostorová frekvence v E 1 Pojem frekvence budeme vždy vztahovat k sinu, kosinu nebo ke komplení eponenciální funkci reálných proměnných, která s kosinem a sinem souvisí Eulerovým vzorcem. V jednorozměrném případě jsme na pojem frekvence zvyklí, zejména když proměnná některé ze zmíněných goniometrických funkcí má význam času. Má-li proměnná význam prostorové souřadnice, postupujeme stejně jako u času: Nazveme základní periodou funkce cos(2πx f ) nejmenší délku, pro kterou je cos[2πx f ( + )] = cos(2πx f ). (1) pro všechna. Odtud je zřejmé, že prostorová frekvence X f funkce cos(2πx f ) je reciprokou hodnotou základní periody : X f = 1. (2) (Veličinu analogickou úhlové frekvenci, tj. X ω proměnnou zavádět.) = 2πX f, nebývá zvykem v souvislosti s prostorovou

11 11 Takto definovaná prostorová frekvence je zřejmě kladnou veličinou. V jádru Fourierovy transformace, ep(i2πx f ), se však vyskytují i záporné hodnoty prostorové frekvence X f. Jaký je význam těchto záporných prostorových frekvencí? Celá záležitost se ozřejmí, uvědomíme-li si některé skutečnosti vyplývající z alternativních vyjádření inverzní Fourierovy transformace v E 1, v nichž je funkce f() v celém rozsahu proměnné (, ) vyjádřena integrálními transformacemi funkcí proměnné X definovaných v oboru X, ) Alternativní vyjádření inverzní Fourierovy transformace v E 1 Fourierovu transformaci funkce jedné proměnné jsme zavedli ve tvaru za podmínky F (X) = A f() = B f() ep( ikx) d, (1) F (X) ep(ikx) dx, (2) AB = k 2π. (3) Funkce f() je inverzní Fourierovou transformací (2) vyjádřena pro všechna (, ) prostřednictvím funkce F (X) definované rovněž na intervalu X (, ). Úpravou výrazu (2) však můžeme funkci f() vyjádřit ve tvarech f() = B = B = B [C(X) cos(kx) + S(X) sin(kx)] dx (4) D(X) cos [kx + Φ(X)] dx (5) D(X) sin [kx + Θ(X)] dx. (6) Ve výrazech (4) až (6) je funkce f() vyjádřena v celém oboru (, ) dvojicemi funkcí C(X), S(X), resp. D(X), Φ(X), resp. D(X), Θ(X), z nichž každá je definována v intervalu, ). Že tomu tak skutečně je, nahlédneme, rozložíme-li funkci F (X) v inverzní Fourierově transformaci (2) na sudou a lichou část a upravíme-li integrál (2): F e (X) = 1 2 [F (X) + F ( X)], F o(x) = 1 [F (X) F ( X)] (7) 2 f() = B = B = 2B S použitím (7) nabude poslední výraz tvaru f() = B Porovnáním (4) a (8) nahlédneme, že platí [F e (X) ep(ikx) + F o (X) ep(ikx)] dx [F e (X) cos(kx) + if o (X) sin(kx)] dx [F e (X) cos(kx) + if o (X) sin(kx)] dx. {[F (X) + F ( X)] cos(kx) + i [F (X) F ( X)] sin(kx)} dx. (8) C(X) = F (X) + F ( X), (9) S(X) = i [F (X) F ( X)]. (1)

12 12 Odtud 1 [C(X) is(x)] 2 = F (X), pro X, (11) 1 [C( X ) + is( X )] 2 = F (X), pro X. (12) Úpravami trigonometrických funkcí v (5) a (6) a porovnáním s (8) shledáme, že D(X) = C 2 (X) + S 2 (X) = 2 F (X)F ( X), (13) tg Φ(X) = S(X) (X) F ( X) = if C(X) F (X) + F ( X), (14) tg Θ(X) = C(X) (X) + F ( X) = if S(X) F (X) F ( X). (15) Je-li funkce f() reálná, je F ( X) = F (X) (viz odst. 6.2 v dalším tetu). Funkce (9), (1), (13) až (15) jsou pak také reálné a zjednoduší se do tvaru Spektrum prostorových frekvencí C(X) = 2eF (X), (16) S(X) = 2ImF (X), (17) D(X) = 2 F (X)F (X), (18) tg Φ(X) = ImF (X) ef (X), (19) tg Θ(X) = ef (X) ImF (X). (2) Zvolíme-li za proměnnou jednorozměrné Fourierovy transformace prostorové frekvence X f, můžeme funkci f() vyjádřit kterýmkoliv z těchto tvarů: f() = = = = F (X f ) ep(i2πx f ) dx f (1) [C(X f ) cos(2πx f ) + S(X f ) sin(2πx f )] dx f (2) D(X f ) cos [2πX f + Φ(X f )] dx f (3) D(X f ) sin [2πX f + Θ(X f )] dx f. (4) Chceme-li tedy nazvat spektrem prostorových frekvencí funkci, jež (až na nulovou funkci) jednoznačně určuje funkci f() v intervalu (, ), máme dvě možnosti: Buď použijeme kladných i záporných prostorových frekvencí X f a ve shodě s výrazem (1) nazveme Fourierovu transformaci F (X f ) spektrem funkce f(), nebo se omezíme jen na kladné prostorové frekvence X f a spektrem funkce f() nazveme dvojici funkcí C(X f ), S(X f ), resp. D(X f ), Φ(X f ), resp. D(X f ), Θ(X f ) Prostorová frekvence a spektrum prostorových frekvencí v E N U N-rozměrné Fourierovy transformace nebývá zvykem vyjadřovat jádro transformace prostřednictvím funkcí sinus a kosinus. Pojem prostorové frekvence vztahujeme tedy vždy k funkci ep(i2π X f ): Základní periodou této funkce nazveme nejkratší vektor, takový že pro všechna platí ep[2πi( + ) X f ] = ep(2πi X f ).

13 13 Je zřejmé, že X f = 1 Poněvadž je nejkratší vektor splňující tuto podmínku, musí být X f = 1, Xf. Prostorová frekvence X f funkce ep(i2π X f ) je tedy vektor, jenž je rovnoběžný se základní periodou této funkce a jehož velikost je rovna reciproké hodnotě velikosti základní periody. Jde-li o obecnou funkci f( ), E N, vyjádříme ji Fourierovým integrálem f( ) = F ( X f ) ep(i2π X f ) d N Xf a nazveme X f (X f1, X f2,..., X fn ) prostorovou frekvencí funkce f( ). Funkci F ( X f ) = f( ) ep( i2π X f ) d N říkáme spektrum prostorových frekvencí funkce f( ). Ze vztahu ep(i2π X f ) = δ( X f X f ) ep(i2π X f ) d N Xf je zřejmé, že spektrum funkce ep(i2π X f ) je Diracova distribuce δ( X f X f ). Viděli jsme, že při Fraunhoferově difrakci jde o rozklad funkce propustnosti t( 1, 2 ) do rovinných vln [ t( 1, 2 ) = T (X 1, X 2 ) ep i 2π ] λ ( 1X X 2 ) dx 1 dx 2, kde X 1, X 2 a 1 X1 2 X2 2 jsou směrové kosiny směru šíření rovinných vln, jejichž amplituda je T (X 1, X 2 ). Prostorové frekvence funkce t( 1, 2 ) jsou tedy vektory a funkci propustnosti X X f = ( X1 λ λ, X ) 2 λ t( 1, 2 ) = λ 2 T (λx f1, λx f2 ) ep [i2π( 1 X f1 + 2 X f2 )] dx f1 dx f2 můžeme vyjádřit pomocí spektra prostorových frekvencí T f (X f1, X f2 ) = T (λx f1, λx f2 ). 2.4 Měřítka Fraunhoferových difrakčních obrazců eference [1] Laue M. v.: Materiewellen und ihre Interferenzen. 2. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Geest & Portig, Leipzig [2] Laue M. v.: öntgenstrahlinterferenzen. 3. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main 196. [3] Born M.: Quantenmechanik der Stoßvorg ange. Zeitschrift fűr Physik 38 (1926),

14 14 Obrázek 12: [4] Sommerfeld A.: Atombau und Spektrallinien. II. Band. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig [5] Blochincev D. I.: Základy kvantové mechaniky. Nakladatelství Československé akademie věd, Praha [6] Landau L.D., Lifšic E.M.: Quantum Mechanics. Pergamon Press, Oford 1965, 125. [7] Guinier A.: X ay Diffraction In Crystals, Imperfect Crystals, and Amorphous Bodies. W. H. Freeman and Co., San Francisco [8] Hammond Ch.: The Basis of Crystallography and Diffraction. International Union of Crystallography. Oford University Press, Oford [9] Kittel Ch.: Úvod do fyziky pevných látek. Academia, Praha [1] Lüth H.: Surfaces and Interfaces of Solid Materials. 3rd ed. Springer Verlag, Berlin [11] Ewald P. P.: Zur Theorie der Interferenzen der öntgenstrahlen in Kristallen. Physikalische Zeitschrift 14 (1913), [12] ichter I., yzí Z., Fiala P.: Analysis of binary diffraction gratings: comparison of different approaches. Journal of Modern Optics 45 (1998), [13] Fiala P., ichter I., yzí Z.: Analysis of diffraction process in gratings. SPIE Proc. 382 (1999),