Matematika 1 pro PEF PaE

Transkript

1 Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály grafů funkcí Definice Bud f funkce mající v bodě a derivaci. Tečna grafu funkce f v bodě a je přímka procházející bodem [a, f (a)] a mající směrnici rovnu f (a). Normála grafu funkce f v bodě a je přímka procházející bodem [a, f (a)] kolmá k tečně v tomto bodě. Tvrzení Je-li k směrnice tečny, pak 1 k je směrnice příslušné normály. Důkaz. Směrnice k znamená, že směrový vektor přímky je (1, k). Kolmý vektor je (k, 1). Vydělíme, aby první souřadnice byla 1 a dostaneme směrový vektor normály ( 1, 1 k).

2 Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné 3 / 16 Rovnice přímek Fakt Rovnice přímky o směrnici k, procházející bodem [a, b] je Věta (y b) = k (x a) Bud f funkce mající v bodě a derivaci. Pak rovnice tečny f v a je a rovnice normály f v a je y f (a) = f (a) (x a) y f (a) = a x f (a). Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné 4 / 16 Příklad na tečnu ke grafu funkce Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce y = sin x s dotykovým bodem T = [ π 8,?]. Řešení: y T = sin( x T ) = sin( π 8 ) = (sin x) = ( cos ) x = cos x π k t = cos = 8 = k n = 1 = 1 = k t t : y y T = k t (x x T ) n : y y T = k n (x x T ) y = ( x π ) ( y 8 = x π ) 8

3 Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné 5 / 16 Příklad na hledání rovnoběžných tečen Nalezněte tečny ke grafu funkce y = 1 3 x3 x 4x + rovnoběžné s přímkou p : y = x + 3. Řešení: Derivace funkce je x x 4. Směrnice přímky p je 1. Rovnoběžné přímky mají shodné směrnice. x x 4 = 1 x x 3 = 0 (x 3)(x + 1) = 0 x 1 = 3, x = 1 Dopočítáme ypsilonové souřadnice: y 1 = 10, y = Máme dva body dotyku T 1 = [3, 10] a T = [ 1, 16 3 ]. Rovnice tečen: t 1 : y + 10 = 1 (x 3) t : y 16 3 = 1 [x ( 1)] y = x 7 y = x Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné 6 / 16 Rovnice tečen procházejících obecným bodem Napište rovnice tečen ke grafu y = x+9 x+5, procházející bodem A = [0, 0]. Řešení: Derivace funkce je 1 (x+5) (x+9) 1 = 4. Po dosazení bodu A (x+5) (x+5) dostaneme dvě rovnice o dvou neznámých: x T, y T : y y T = f (x T )(x x T ) y T = f (x T ) 4 0 y T = (x T + 5) (0 x T) y T = x T + 9 x T + 5 x T + 9 x T + 5 = 4x T (x T + 5) (x T + 9)(x T + 5) = 4x T x T 14x T 45 = 4x T x T + 18x T + 45 = 0

4 Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné 7 / 16 Rovnice tečen procházejících obecným bodem Diskriminant D = = = 144, D = 1. x 1, = 18 ± 1 = x 1 = 3 x = 15 y 1 = 6 = 3, y = 6 10 = 3 5 V bodě T 1 = [ 3, 3] je směrnice k 1 = 4 = 1. V bodě T = [ ] 15, 3 5 je směrnice k = 4 = 1 ( 10) 5. Rovnice tečen jsou: t 1 : y y 1 = k 1 (x x 1 ) t : y y = k (x x ) y 3 = 1 [x ( 3)] y 3 5 = 1 5 [x ( 15)] x + y = 0 x + 5y = 0 Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné 8 / 16 Tečna k implicitní funkci Napište rovnici tečny a normály ke grafu x y y e x + x + = 0 v bodě T = [0, ]. Řešení: Zderivujeme implicitní funkci: ( 1 y + x y ln y ) ( y e x + y e x) + = 0 y ( x y ln e x) + ( y y e x + ) = 0 k t = e 0 0 ln e 0 = 0, takže směrnice normály neexistuje Tečna je vodorovná přímka y =, popř. y = 0 (x 0). Normála je svislá přímka x = 0. y = y y e x + x y ln e x

5 Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné 9 / 16 Tečna k implicitní funkci vodorovná s přímkou Nalezněte tečny ke grafu y = x 3 x + 1 vodorovné s x y = 7. Řešení: Rovnice přímky je y = x + 7, takže směrnice je 1. Derivací funkce dostaneme y y = 3x 1. Dosadíme y = 1. y 1 = 3x 1 y = x 3 x + 1 ( y = 3x 1 3x ) 1 = x 3 x x4 6 4 x = x3 x + 1 9x 4 6x + 1 = 4x 3 4x + 4 9x 4 4x 3 6x + 4x 3 = 0 x 1, = ±1 (x 1)(x + 1)(9x 4x + 3) = 0 Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné 10 / 16 Tečna k implicitní funkci vodorovná s přímkou x 1 = 1, pak y = = 1, T 1 = [1, 1]. t 1 : (y 1) = 1 (x 1) y = x x = 1, pak y = 3 ( 1) 1 = 1, T = [ 1, 1]. t : (y 1) = 1 [x ( 1)] y = x +

6 Tečny a tečné roviny Tečné roviny a normály grafů funkcí dvou proměnných 11 / 16 Tečné roviny a normály Definice Bud F = 0 graf plochy v R 3 a T bod na této ploše. Tečná plocha grafu f v bodě ( T je rovina procházející ) bodem T a s normálovým vektorem n = (T), (T), x z (T). Normála grafu f v bodě T je přímka procházející bodem T a směrem n. Pozorování Definice odpovídá definici ( pro R : normálový vektor tečny je (f (a), 1), což je násobek vektoru x (a, f (a)), (a, f (a))), nebot podle věty o parciálních derivacích složené funkce máme f (x) = x = x a = 1 Tečny a tečné roviny Tečné roviny a normály grafů funkcí dvou proměnných 1 / 16 Normálový vektor u grafů zadaných explicitně Tvrzení Necht má reálná funkce dvou proměnných f spojité parciální derivace v bodě A. Pak normálový vektor tečné roviny ke grafu f v bodě A je ( ) f f (A), (A), 1. x Důkaz. Graf z = f (x, y) lze napsat ve tvaru f (x, y) z = 0. Označme F(x, y, z) = f (x, y) z. Pak x = f x, = f a z = 1.

7 Tečny a tečné roviny Tečné roviny a normály grafů funkcí dvou proměnných 13 / 16 Příklad na tečnou rovinu Napište rovnici tečné roviny a normály grafu funkce z = e x y y v bodě T = [, 1,?]. Řešení: T z = e 1 1 = e. Parciálně zderivujeme funkci: f x = ex y 1 y f = ex y ( 1) y + e x y 1 f x (T) = e 1 1 = e f (T) = e 1 ( 1) + e 1 = 0 Normálový vektor je (e, 0, 1). ρ : e (x x T ) + 0 (y y T ) 1 (z z T ) = 0 n : x = e t + e (x ) (z e) = 0 y = 0 t + 1 ex z + e = 0 z = t + e t R Tečny a tečné roviny Tečné roviny a normály grafů funkcí dvou proměnných 14 / 16 Tečná rovina k implicitní funkci Napište rovnice tečné roviny a normály ke grafu sin(xy) + y cos(zx) = 1 v bodě T = [π, 1, ]. Řešení: Spočteme parciální derivace x z = y cos(xy) yz sin(zx) = x cos(xy) + cos(zx) = xy sin(zx) x (T) = 1 cos(π) sin(π) = 1 (T) = π cos(π) + cos(π) = π + 1 z (T) = π sin(π) = 0 Normálový vektor je ( 1, 1 π, 0). ρ : 1(x π) + (1 π)(y 1) + 0 = 0 n : x = t + π x + (1 π)y + π 1 = 0 y = (1 π) t + 1 z = t R

8 Tečny a tečné roviny Tečné roviny a normály grafů funkcí dvou proměnných 15 / 16 Tečná rovina rovnoběžná s rovinou Nalezněte tečné roviny grafu x 9 + y 9 + z = 36 rovnoběžné s rovinou x + y + 6z = 5. Řešení: Spočteme parciální derivace: Normálový vektor má směr (, 1, 6). x = x 9 = y 9 a z = z. ( x 9, y ) 9, z = k (, 1, 6) x = k 9 y = 9k y 9 = k x = 9 k z = 6k z = 3k Tečny a tečné roviny Tečné roviny a normály grafů funkcí dvou proměnných 16 / 16 Tečná rovina rovnoběžná s rovinou x 9 + y 9 + z = 36 ( (9k) 9 + k) + (3k) = k k + 9k = 36 x 1 = = 1, y 1 = = 6, z 1 = = k = 36 k = 16 9 k 1, = ± 4 3 ρ 1 : (x 1) + 1 (y 6) + 6 (z 4) = 0 x + y + 6z 54 = 0 x = 9 ( 4 3 ) = 1, y = 9 ( 4 3 ) = 6, z = 3 ( 4 3 ) = 4 ρ : (x + 1) + 1 (y + 6) + 6 (z + 4) = 0 x + y + 6z + 54 = 0