Geometrické vyhledání.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Geometrické vyhledání."

Transkript

1 Geometrické vyhledání. Ray algoritmus. Winding algoritmus. Lichoběžníkové (trapezoidální) mapy Tomáš Bayer Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie. Přírodovědecká fakulta UK. 1 / 44

2 Obsah přednášky 1 Úvod do problému 2 Techniky řešení problému 3 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Konvexní mnohoúhelníky Nekonvexní mnohoúhelníky 4 Line Sweep Algorithm Trapezoidální mapy 2 / 44

3 Úvod do problému 1. Ve kterém mnohoúhelníku leží kurzor? Data set tvoří 6000 mnohoúhelníků a cca 1 milión bodů. 3 / 44

4 2. Formulace problému Úvod do problému Dáno: Hledáme: V rovině dána množina n bodů {p i } tvořících vrcholy m mnohoúhelníků {P j } a bod q. Mnohoúhelník P obsahující bod q tzv. Point Location Problem. Problém často řešen v GIS, mapa představuje planární rozdělení roviny do regionů, bod q např. polohu kurzoru. V praktickém životě často potřebujeme znát svoji polohu vzhledem k jiným objektům. Rychlé nalezení hledaného mnohoúhelníku nezbytné, data sety mohou být tvořeny stovkami tisíc i miliony mnohoúhelníků. Nutno navrhnout takové datové struktury a algoritmy, které umožní problém efektivně řešit pro konvexní i nekonvexní mnohoúhelníky. 4 / 44

5 Techniky řešení problému 3. Techniky řešení problému Techniky řešení: Převedení problému na vztah bodu a mnohoúhelníku Problém převeden na úlohu opakovaného určení polohy bodu vzhledem k mnohoúhelníku. Planární dělení roviny Rovina rozdělena na množinu pásů či lichoběžníků (trapezoids), vzniká trapezoidální mapa. Tato struktura umožňuje rychlé vyhledání mnohoúhelníku. Druhá skupina algoritmů dosahuje výrazně vyšších výkonů, pro vyhledávání používány speciální datové struktury (binární stromy). Varianty řešení: Nekonvexní mnohoúhelníky: nejčastější varianta Konvexní mnohoúhelníky: speciální případ, např. Voroného diagramy. 5 / 44

6 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku 4. Princip testu polohy bodu a mnohoúhelníku Lokální procedura. Opakované určení polohy Q vzhledem k mnohoúhelníku. Výsledek lokální procedury: Bod q leží uvnitř testovaného mnohoúhelníku. Bod q leží vně testovaného mnohoúhelníku. Bod q leží na hraně testovaného mnohoúhelníku. 1 mnohoúhelník: q leží uvnitř konkrétního mnohoúhelníku (neleží na jeho hraně). > 1 mnohoúhelník: q leží na hraně či v uzlu mnohoúhelníku sdílenou sousedním mnohoúhelníkem. Globální procedura. Lokální procedura opakovaná pro mnohoúhelník data setu. Výsledek globální procedury: 0 mnohoúhelníků: q leží vně všech mnohoúhelníků 6 / 44

7 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Konvexní mnohoúhelníky 5. Řešení pro konvexní mnohoúhelníky Lokální procedura realizována nejčastěji dvěma způsoby: Test polohy bodu vůči každé hraně mnohoúhelníku (opakovaný HalfPlane test). Paprskovým algoritmem (Ray Crossing Algorithm). Test polohy vůči hranám mnohoúhelníku: Bez předzpracování. Na každou stranu mnohoúhelníku p i, p i+1 a bod q aplikován HalfPlane test. Algoritmus 1: Test polohy q vzhledem k P (HalfPlane test). 1: Opakuj pro stranu p i, p i+1 : 2: Urči orientaci o i bodu q ke straně p i, p i+1. 3: if (q p i, p i+1 ), bod q leží ve straně P. 4: if (o i o i 1 ), bod q / P. 5: Bod q P. Nelze použít pro nekonvexní mnohoúhelníky. Složitost O(N). 7 / 44

8 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Konvexní mnohoúhelníky 6. Paprskový algoritmus (Ray Crossing Algorithm) Princip algoritmu: bodem q vedena přímka r (paprsek, tzv. Ray). Pokud počet průsečíků k přímky r s hranami P je sudý (pro konvexní útvary k = 2), bod q / P. Pro k liché (pro konvexní útvary k = 0) q P. Algoritmus invariantní vůči volbě r, r často volena jako y = c. Pozor na singulární případy: Přímka r prochází vrcholem P (protíná 2 segmenty). Přímka r kolineární se stranou/stranami P (nesprávný počet průsečíků). Lze zobecnit pro nekonvexní mnohoúhelníky. 8 / 44

9 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 7. Řešení pro nekonvexní mnohoúhelníky Používány dva algoritmy: Paprskový algoritmus (Ray Algorithm). Metoda ovíjení (Winding Algorithm). Winding Algorithm Pozorovatel stojí v bodě q. Pokud q P a pozorovatel chce vidět všechny lomové body P musí se otočit o úhel 2π. Pokud q / P je tento úhel menší než 2π. 9 / 44

10 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 8. Výpočet Winding Number Ω Winding Number Ω Suma všech rotací ω i měřená proti směru hodinových ručiček, které musí průvodič (q, p i) opsat nad všemi body p i P. Ω = 1 2π Úhly ω i jsou orientované (tj. se znaménkem). n i=1 Pokud je úhel p i,q, p i+1 orientován ve směru hodinových ručiček, pak ω i > 0 (test, zda p i+1 vpravo od q, p i) Pokud je úhel p i,q, p i+1 orientován proti směru hodinových ručiček, pak ω i < 0 (test, zda p i+1 vlevo od q, p i) ω i Pak Ω { = 1 q P. = 0 q / P 10 / 44

11 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 9. Winding number Ω Hodnota Ω uváděna v počtech oběhů, tj. v násobcích 2π. Výsledek znaménkově závislý na směru pohybu. 11 / 44

12 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 10. Winding Number Algorithm Algoritmus 2: Winding Algorithm 1: Inicializuj ω = 0, tolerance ε. 2: Opakuj pro trojici p i, q, p i+1 : 3: Urči orientaci o i bodu q ke straně p i, p i+1. 4: Urči úhel ω i = p i, q, p i+1. 5: if q vlevo od p i, p i+1, pak ω = ω + ω i. 6: else ω = ω ω i. 7: if ( ω 2π < ε), pak q P 8: else q / P Postačuje výpočet ω, netřeba určovat Ω. O řád pomalejší než paprskový algoritmus. Lepší ošetření singulárních případů než u paprskového algoritmu, problematický pouze případ q p i, nutnost předzpracování O(N). Složitost O(N). 12 / 44

13 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 11. Ray Crossing Algorithm Bodem q veden paprsek r (paprsek, tzv. ray). r : y = y q. Necht k představuje počet průsečíků přímky r s hranami P. Pak k { liché q P. sudé q / P Algoritmus je rychlý, cca o řád rychlejší než Winding Algorithm. Problémem jsou singularity. 13 / 44

14 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 12. Upravená varianta Ray Crossing algoritmu Cílem eliminace singularit, kdy r prochází vrcholem P nebo kolineární hranou. Tyto případy nelze ignorovat, v geoinformatice se s nimi setkáme často, např. u budov. Upravená varianta Ray Crossing Algorithm: Paprsek r rozdělí mnohoúhelník P na podoblasti P 1 a P 2. Oblast P 1 obsahuje body p i, pro které platí y i > y q. Oblast P 2 obsahuje body p i, pro které platí y i < y q. Počet průsečíků inkrementován pouze v případě, leží -li jeden z bodů hrany nad r (tj. v oblasti P 1) a druhý z bodů na nebo pod r (tj. v oblasti P 2 nebo na r). Kolineární segmenty nejsou započítávány. 14 / 44

15 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 13. Upravená varianta Ray Crossing algoritmu Průsečík e = (p i 1, p i ) a q existuje, pokud: 1 Polorovina nad paprskem: y > y q Bod p i nad paprskem a bodp i 1 na nebo pod paprskem. Bod p i 1 nad paprskem a bod p i na nebo pod paprskem. (y i > y q ) (y i 1 y q ) (y i 1 > y q ) (y i y q ). 2 Polorovina pod paprskem: y < y q Bod p i pod paprskem a bodp i 1 na nebo nad paprskem. Bod p i 1 pod paprskem a bod p i na nebo nad paprskem. (y i < y q ) (y i 1 y q ) (y i 1 < y q ) (y i y q ). V praxi kontrolujeme pouze 1 polorovinu, a to nad paprskem. Řešíme pouze případ 1 (1. zjednodušení). 15 / 44

16 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 14. Varianta s redukcí ke q (1/2) Provádíme redukci souřadnic bodů p i k bodu q, Lokální souřadnicový systém (q, x, y ). Hledáme pouze průsečíky ležící v polorovině x > 0, tj. ležící vpravo od q. Výhody: snadnější detekce hran protínajících paprsek, jednodušší výpočet průsečíku hrany e s osou x. Princip: Redukované souřadnice x i, y i jednotlivých bodů x i = x i x q, y i = y i y q. Rovnice paprsku v redukovaném souřadnicovém systému y = / 44

17 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 15. Varianta s redukcí ke q (2/2) Rovnice přímky procházející body p i 1, p i, e = (p i 1, p i) y y i 1 = k(x x i 1) = Průsečík hrany e a osy x je M[x m, y m], kde x m > 0, y m = 0. Dosadíme x = x m, y = y m = 0 yi yi 1 x i x i 1 (x x i 1). x m = (x i x i 1)y i 1 + x i 1, y i y i 1 x m = x i y i 1 x i 1y i. y i y i 1 Test existence průsečíku hrany e a paprsku r: (y i > 0) (y i 1 <= 0) (y i 1 > 0) (y i <= 0). Průsečíky počítány pouze v pravé polorovině (2. zjednodušení) pokud Postup řeší případné singularity. x m > / 44

18 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 16. Ilustrace varianty s redukcí ke q 18 / 44

19 Metoda opakovaného test polohy bodu a mnohoúhelníku Nekonvexní mnohoúhelníky 17. Implementace Ray Crossing s redukcí ke q Algoritmus 3: Ray Crossing Algorithm (P = {p 1,..., p n}, q) 1. Inicializuj inters = 0, 2: Opakuj pro body p i P: 3: x i = x i x q. 4: y i = y i y q. 5: if (y i > 0)&&(y i 1 <= 0) (y i 1 > 0)&&(y i <= 0). 6: x m = (x i y i 1 x i 1 y i )/(y i y i 1 ). 7: if (x m > 0) pak inters = inters : if (inters%2) 0 pak q P 9: else q / P Algoritmus často používán, výhodou snadná implementace. Nevýhoda RayCrossing algoritmu: Špatné zařazení bodu p i do oblasti P 1 resp P 2 v případě, že p i leží velmi blízko od paprsku, tj. y i c ε. 19 / 44

20 18. Metoda pásů (Slabs Method) Algoritmus založen na rozdělení data setu S do svislých či rovnoběžných pásů (Slabs), častější je vertikální varianta (Dobkin & Lipton, 1975). Takto navržená geometrická struktura umožňuje rychlé vyhledávání, nemusíme prohledávat celou rovinu, pouze její podmnožinu. Každým bodem vedena rovnoběžka s osou y, dvě sousední rovnoběžky vymezují jeden pás. 20 / 44

21 19. Vlastnosti pásu Každý pás prochází právě dvěma body (kromě případů, kdy data set S obsahuje body se stejnou souřadnicí x) Uvnitř pásu se nenachází žádný jiný počáteční/koncový bod žádné z hran. Uvnitř pásu se žádné dva segmenty neprotínají. Průnikem oblasti a pásu lichoběžník (popř. zdegenerovaný na ). Každý lichoběžník uvnitř pásu (s výjimkou okrajového) má horního a dolního souseda. Okrajové polygony v pásu jsou neohraničené. Každý lichoběžníků uvnitř pásu přísluší jiné oblasti. Princip nalezení mnohoúhelníku příslušejícího q: 1) Nalezení pásu, ve kterém leží q. 2) Pro tento pás nalezen lichoběžník, uvnitř kterého q leží. 21 / 44

22 20. Popis algoritmu Pro nalezení průsečíků pásu se stranami mnohoúhelníků používán Line Sweep Algorithm. Hranice pásů představují souřadnice x bodů p i. Body umístěny do vhodné datové struktury, ve které jsou seřazeny dle souřadnice x (pole, strom, prioritní fronta). Výběr pásu dle souřadnice x bodu q lze realizovat se složitostí O(log(n)). Poté nalezení stran mnohoúhelníků, které protínají tento pás. V datové struktuře pásu uchovávány úsečky v pořadí protínajícím tento pás (dle y souřadnice). Každá úsečka nese informaci o horním lichoběžníku, jehož je stranou. V pásu hledáme takovou úsečku, nad kterou tento bod q leží. Krok lze realizovat se složitostí O(n). Celková složitost O(n log(n)). Pamět ová složitost O(n 2 ), není vhodné pro velká data. Jednotlivé polygony uspořádány v topologické struktuře, každá hrana obsahuje informaci o levém a pravém sousedovi. 22 / 44

23 Line Sweep Algorithm 21. Line Sweep Algorithm Line Sweep Algorithm (Nievergeld & Preprata, 1982) využíván pro výpočet průsečíků pásu se stranami mnohoúhelníku. Založen na myšlence, že dlouhé hrany protínají takové pásy, které spolu sousedí. Strany seřazeny dle souřadnice y počátečního bodu. Sweep Line L se pohybuje zleva doprava nad datasetem. Seznam aktivních segmentů L V každém bodě p i dochází k zastavení L a zpracování události představované přidáním/odebráním incidujících stran do seznamu L seřazených v něm dle y. Tímto postupem je udržován aktuální seznam stran, u nichž má smysl počítat jejich průsečíky s L. 23 / 44

24 Line Sweep Algorithm 22. Typy událostí Tři typy událostí v závislosti na vztahu incidujících hran e i, e j k bodu p: Hrana e i vlevo od L, hrana e j vpravo od L. Bod p konc. bod e i a poč. bod e j. Odeber e i z L, přidej e j do L. Hrany e i, e j vpravo od L. Bod p poč. bod e i, e j. Přidej e i, e j do L. Hrany e i, e j vlevo od L. Bod p konc. bod e i, e j. Odeber e i, e j z L. L zpravidla implementován jako strom či seznam, body uloženy v prioritní frontě. 24 / 44

25 Line Sweep Algorithm 23. Implementace Line Sweep algoritmu Prioritní fronta Q poč. a konc. bodů p i hran e j setříděná dle x. Každý bod p i obsahuje pointer na hranu e j. Seznam aktivních segmentů L setříděný dle y. Algoritmus 4: Line Sweep Algorithm 1: Inicializuj Q všemi body p všech hran e. 2: Inicializuj L = {} jako prázdnou množinu, p old i = null. 3: Opakuj, dokud Q není prázdná: 4: Odeber bod p i (L prochází p i) a nalezni odpovídající e j. 5: if (p i p old i ), opakuj k krát pro hranu e k v L 6: Spočti průsečík e k s L. 7: if (p i = poč. bod hrany e j) přidej e j do L. 8: else if (p i = konc. bod hrany e j) odeber e j z L. 9: p old i p i. Seznam průsečíků z 6) je udržován pro každý pás setříděný dle y s informací o příslušejícím mnohoúhelníku, uchováván pointer na hranu e j, ze které vznikl. 25 / 44

26 Trapezoidální mapy 24. Metoda trapezoidálních map Trapezoidální (lichoběžníková) mapa T představuje vertikální dekompozici mnohoúhelníků na množinu sousedících a neprotínajících se lichoběžníků nebo jejich degenerovaných variant (trojúhelníků). Každý lichoběžník má jednu/dvě vertikální strany a dvě nevertikální strany tvořené částmi stran mnohoúhelníku. Pro konstrukci vertikálních stran použity dvojice polopřímek vedených z každého bodu p i k průsečíkům s nejbližší vyšší a nejbližší nižší stranou. 26 / 44

27 Trapezoidální mapy 25. Trapezoidální mapa T Zjednodušení pro dataset S: Na rozdíl od metody pásů není žádný lichoběžník otevřený, kolem datasetu S vygenerován opsaný obdélník se zadaným přesahem (Mnimum Bounding Rectangle, MBR). V datasetu S neexistují dva body se stejnými souřadnicemi. Věta o počtu prvků trapeozoidální mapy T (S): Každá trapezoidální mapa T (S) množiny S tvořené n liniemi je tvořena nejvíce 3n + 1 lichoběžníky a 6n + 4 vrcholy. Pro každý lichoběžník definovány dva typy segmentů: top( ): segment ohraničující lichoběžník shora. bottom( ): segment ohraničující lichoběžník zdola. 27 / 44

28 Trapezoidální mapy 26. Typy lichoběžníku Pro každý lichoběžník dále definovány dva typy bodů: leftp( ): bod ležící na levém vertikálním segmentu. rightp( ): bod ležící na pravém vertikálním segmentu. Existuje 10 typů lichoběžníků, uvedeno 5 variant (5 dalších zrcadlově symetrických dle y): Levá vertikální strana zdegenerovaná v bod leftp( ), který je průsečíkem top( ): a bottom( ). Bod leftp( ) leží v levém horním rohu, tj. na segmentu top( ). Bod leftp( ) leží v levém doním rohu, tj. na segmentu bottom( ). Bod leftp( ) leží v levém vertikální hraně. Levá vertikální hrana tvořena MBR. 28 / 44

29 Trapezoidální mapy 27. Sousednost lichoběžníků Dva lichoběžníky a jsou označeny jako sousedící, jestliže sdílejí vertikální hranu. Pro sousedící lichoběžníky platí: { top( ) = top( ) bottom( ) = bottom( ) je horní soused je dolní soused Existují 4 varianty sousedství: levé horní, levé dolní, pravé horní a pravé dolní. Sousedství pro 5 variant lichoběžníků: ad 1) Vlevo 0 sousedů, vpravo sdílejí vertikální hranu, 1 soused. ad 2, 3) Sdílejí vertikální hranu vlevo i vpravo, vlevo i vpravo 1 soused. ad 4) Sdílejí vertikální hranu vlevo i vpravo, vlevo dva sousedé., vpravo 1 soused. 29 / 44

30 Trapezoidální mapy 28. Datová struktura Dvě datové struktury pro koncové body p i a strany e j : Koncové body seřazeny dle x. Strany seřazeny dle y. Na rozdíl od předchozího algoritmu není používán Line Sweep Algorithm. Datová struktura T (S): Uchovává pointery na top( ), bottom( ), leftp( ) and rightp( ) a pointery na své (max 4) sousedy. Binární vyhledávací strom D V průběhu konstrukce trapeozoidální mapy je budována speciální datová struktura představovaná binárním vyhledávacím stromem D inkrementální konstrukce. Binární vyhledávací strom D obsahuje tři typy vrcholů: Interní X uzly: Leží bod q vlevo/vpravo od zadaného bodu p i. Interní Y uzly: Leží bod q nahoře/dole od zadaného strany e j. Listy: obsahují jednotlivé lichoběžníky. 30 / 44

31 Trapezoidální mapy 29. Inkrementální konstrukce D Binární strom D je konstruován průběžně přidáváním stran e datasetu S. Každý update stromu D je představován následujícími kroky. Označme e = (p 1, p 2) stranu, která má být přidávána do T. Algoritmus 5: Update Binary Tree D. 1: Přidání bodů p 1, p 2: 2: Nalezení lichoběžníku v D který bod p 1 obsahuje. 3: Rozdělení lichoběžníku v D přímkou x procházející x 1. 4: Vytvoření 2 nových X uzlů, které jsou potomky. 5: Opakuj 2-4) pro bod p 2. 6: Přidání strany e : 7: Nalezení lichoběžníků protnutých e a jejich rozdělení e. 8: Spojení lichoběžníků podle e, jejichž horní a dolní hraniční segmenty jsou identické a neobsahují žádný bod p i. 9: Vytvoření nových Y uzlů pro rozdělené. 31 / 44

32 Trapezoidální mapy 30. Příklad tvorby D Postup přidání e 1 = (p 1, p 2 ) do D: Přidání bodu p 1. Vytvoření uzlu X(p 1 ) a dvou lichoběžníků A, B odělených x = x 1. Přidání bodu p 2. Vytvoření uzlu X(p 2 ) a dvou lichoběžníků C, D odělených x = x 2. Přidání hrany e 1. Nalezení protnutého lichoběžníku C. Vytvoření uzlu Y (e 1 ) a dvou lichoběžníků E, F oddělených e / 44

33 Trapezoidální mapy 31. Ilustrace přidání e 1 do D 33 / 44

34 Trapezoidální mapy 32. Přidání e 2 do D Postup přidání e 2 = (p 3, p 4 ) do D: Přidání bodu p 3. Bod p 3 totožný s bodem p 1, žádná akce. Přidání bodu p 4. Vytvoření uzlu X(p 4 ) a dvou lichoběžníků G, H odělených x = x 4. Přidání hrany e 2. Nalezení protnutých lichoběžníků G, H. Vytvoření dvou uzlů Y (e 2 ) a čtyř lichoběžníků I, J a K, L oddělených e 2. Spojení lichoběžníků podél e 2. Spojení lichoběžníků J, L sdílejících stejnou vertikální hranu v nový lichoběžník M. Odstranění pravějšíhoho z uzlů (J, L) a přesměrování odkazu na nový lichoběžník M. 34 / 44

35 Trapezoidální mapy 33. Ilustrace přidání e 2 do D 35 / 44

36 Trapezoidální mapy 34. Ilustrace přidání e 2 do D 36 / 44

37 Trapezoidální mapy 35. Přidání e 3 do D Postup přidání e 3 = (p 5, p 6 ) do D: Přidání bodu p 5. Vytvoření uzlu X(p 5 ) a dvou lichoběžníků N, O odělených x = x 5. Přidání bodu p 6. Vytvoření uzlu X(p 6 ) a dvou lichoběžníků P, Q odělených x = x 6. Přidání hrany e 3. Nalezení protnutých lichoběžníků O, K, P. Vytvoření tří uzlů Y (e 3 ) a šesti lichoběžníků R, S a T, U a V, W oddělených e 3. Spojení lichoběžníků podél e 2. Spojení lichoběžníků S, U a T, V sdílejících stejnou vertikální hranu v nové lichoběžníy X, Y. Odstranění pravějšíhoho z uzlů (S, U) a (T, V) přesměrování odkazu na nové lichoběžníky X, Y. 37 / 44

38 Trapezoidální mapy 36. Ilustrace přidání e 3 do D 38 / 44

39 Trapezoidální mapy 37. Ilustrace přidání e 3 do D 39 / 44

40 Trapezoidální mapy 38. Postup nalezení bodu q v D Při hledání polohy bodu q = [x q, y q ] v D vzhledem k lichoběžníku postupujeme takto: Prohledáváme stromovou strukturu od kořene. V každém X uzlu porovnáváme x q a x p. Pokud x q { < x p, přejdeme do Lpodstromu. > x p,, přejdeme do Ppodstromu. V každém Y uzlu porovnáváme polohu y q a strany e. Pokud { pod e, přejdeme do Lpodstromu. y q nad e, Přejdeme do Ppodstromu. Opakujeme, dokud aktuální uzel není list (obsahuje hledaný lichoběžník ). Složitost konstrukce O(n log(n)). Vyhledávání O(log(n)) Pamět ové nároky pouze O(N). 40 / 44

41 Trapezoidální mapy 39. Ilustrace nalezení pro zadané q 41 / 44

42 Trapezoidální mapy 40. Nalezení protnutých e Rychlé nalezení lichoběžníků protnutých e je důležitým krokem algoritmu. Necht 1, 2, 3, 4, 5 představují lichoběžníky v T protnuté e seřazené tak, že j+1 je pravým sousedem j. Pokud rightp( j ) { nad e, pod e j+1 je pravý dolní soused j j+1 je pravý horní soused j Tato vlastnost je využita při vyhledávacím algoritmu, který vrací s informací, zda se jedná o horního či dolního souseda. 42 / 44

43 Trapezoidální mapy 41. Algoritmus tvorby T (S). Konstrukce probíhá inkrementální technikou. V každém kroku přidáme nový segment e i. Následně provedeme update struktur T a D. Algoritmus 6: Trapeozoidalní mapa T (S). 1: Konstrukce MBR nad datasetem S 2: Inicializace T, D. 3: Opakuj pro i = 1, n: 4: Nalezení lichoběžníků 1, 2, 3,..., k protnuté e i. 5: Odstranění 1, 2, 3,..., k z T a 6: Nahrazení 1, 2, 3,..., k novými vzniklými protnutím e. 7: Odstranění lichoběžníků 1, 2, 3,..., k (tj. listů) z D 8 : Vytvoření nových listů vzniklých protnutím 1, 2, 3,..., k linií e. 43 / 44

44 Trapezoidální mapy 42. Algoritmus nalezení protnutých e Algoritmus začíná nalezením v D obsahujícího p 1. Hledání potenciálních probíhá tak dlouho, dokud p 2 leží vpravo od rightp( j ). Algoritmus 7: Nalezení protnutých (T,D, e i). 1: Označ p 1, p 2 koncové body e. 2: Pro p 1 nalezni v D odpovídající 1 3: j = 1. 3: Opakuj pro p 2 ležící vpravo od rightp( j): 4: Opakuj: 5: if rightp( j) leží nad e i, pak j+1 je pravý dolní soused j+1 6: jinak j+1je pravý horní soused j+1 7: j=j+1 8: Vrat 1, 2,..., j 44 / 44

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

Konvexní obálka množiny bodů.

Konvexní obálka množiny bodů. Konvexní obálka množiny bodů. Graham Scan. Jarvis Scan. Quick Hull. Inkrementální metoda. Divide and Conquer. Rotating Calipers. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie.

Více

ÚLOHY S POLYGONEM. Polygon řetězec úseček, poslední bod je totožný s prvním. 6 bodů: X1, Y1 až X6,Y6 Y1=X6, Y1=Y6 STANOVENÍ PLOCHY JEDNOHO POLYGONU

ÚLOHY S POLYGONEM. Polygon řetězec úseček, poslední bod je totožný s prvním. 6 bodů: X1, Y1 až X6,Y6 Y1=X6, Y1=Y6 STANOVENÍ PLOCHY JEDNOHO POLYGONU ÚLOHY S POLYGONEM Polygon řetězec úseček, poslední bod je totožný s prvním 6 bodů: X1, Y1 až X6,Y6 Y1=X6, Y1=Y6 STANOVENÍ PLOCHY JEDNOHO POLYGONU 3 úsečky (segmenty) v horní části 2 úsečky ve spodní části

Více

Dynamické datové struktury III.

Dynamické datové struktury III. Dynamické datové struktury III. Halda. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra aplikované

Více

Voronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Voronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta 12 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Definice V( P) nad množinou bodů P { p v rovině 1,

Více

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Úvod do výpočetní geometrie. Základní vztahy.

Úvod do výpočetní geometrie. Základní vztahy. Úvod do výpočetní geometrie. Základní vztahy. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie. Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra

Více

Topologická kostra. Medial Axis. Straight Skeleton.

Topologická kostra. Medial Axis. Straight Skeleton. Topologická kostra Medial Axis. Straight Skeleton. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie. Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

Dynamické datové struktury IV.

Dynamické datové struktury IV. Dynamické datové struktury IV. Prioritní fronta. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra

Více

Konvexní obálka množiny bodů.

Konvexní obálka množiny bodů. Konvexní obálka množiny bodů. Graham Scan. Jarvis Scan. Quick Hull. Inkrementální metoda. Divide and Conquer. Rotating Calipers. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie.

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh Algoritmizace prostorových úloh Vektorová data Daniela Szturcová Prostorová data Geoobjekt entita definovaná v prostoru. Znalost jeho identifikace, lokalizace umístění v prostoru, vlastností vlastních

Více

Výpočetní geometrie Computational Geometry

Výpočetní geometrie Computational Geometry Datové struktury a algoritmy Část 11 Výpočetní geometrie Computational Geometry Petr Felkel 20.12.2005 Úvod Výpočetní geometrie (CG) Příklady úloh Algoritmické techniky paradigmata řazení - jako předzpracování

Více

Konvexní obal a množina

Konvexní obal a množina Definice M Množina se nazývá konvení, jestliže úsečka spojující libovolné dva její bod je částí této množin, tj. ab, M, t 0, : ta+ ( tb ) M konvení množina a b a b nekonvení množina Definice Konvení obal

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Operace s uzavřenými oblastmi v GIS

Operace s uzavřenými oblastmi v GIS Operace s uzavřenými oblastmi v GIS Booleovské operace s uzavřenými oblastmi. Minkowského suma. Offset polygonu. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie. Přírodovědecká

Více

PROGRAMY PRO GIS. Formovat/formulovat problém pro aplikaci v počítači. Fungování GIS programů na základní úrovni - "uvažovat" jako počítač

PROGRAMY PRO GIS. Formovat/formulovat problém pro aplikaci v počítači. Fungování GIS programů na základní úrovni - uvažovat jako počítač PROGRAMY PRO GIS Formovat/formulovat problém pro aplikaci v počítači Fungování GIS programů na základní úrovni - "uvažovat" jako počítač Jak počítače řeší problémy procesor central processing unit - CPU

Více

Triangulace. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.

Triangulace. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. 11 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Význam triangulace trojúhelník je základní grafický

Více

INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA

INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Vektorová data Michal Kačmařík, Daniela

Více

Algoritmy pro ořezávání 2D polygonů

Algoritmy pro ořezávání 2D polygonů Algoritmy pro ořezávání 2D polygonů Využití ořezávání v praxi odstranění částí obrazu nacházejících se mimo zobrazitelnou oblast výstupního zařízení Využití ořezávání v praxi Vyplňování 3D objektů Vytvoření

Více

Algoritmy používané ve výpočetní geometrii

Algoritmy používané ve výpočetní geometrii Algoritmy používané ve výpočetní geometrii Hrubá síla. Inkrementální metoda. Zametací přímka. Heuristiky. Rozděl a panuj. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie.

Více

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě

Více

Algoritmy výpočetní geometrie

Algoritmy výpočetní geometrie Algoritmy výpočetní geometrie prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

17 Kuželosečky a přímky

17 Kuželosečky a přímky 17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Další polohové úlohy

Další polohové úlohy 5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad

Více

Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování

Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování problematika geometrického modelování manifold, Eulerova rovnost základní typy modelů hranový model stěnový model objemový model datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování těleso

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kolineace Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Incidence Incidence je základní vztah - nedefinujeme ji. Bod leží na přímce = Přímka prochází bodem = Bod je incidentní s přímkou. Definice

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Elementární plochy-základní pojmy

Elementární plochy-základní pojmy -základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),

Více

3.1.2 Polorovina, úhel

3.1.2 Polorovina, úhel 3.1.2 Polorovina, úhel Předpoklady: 3101 Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hranicí (hraniční přímkou). p Hraniční přímka patří do obou polorovin. ody, které neleží

Více

bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda

bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda Petr Ryšavý 20. září 2016 Katedra počítačů, FEL, ČVUT prohledávání grafů Proč prohledávání grafů Zkontrolovat, zda je sít spojitá. Hledání nejkratší

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

Mgr. Markéta Trnečková, Ph.D. Palacký University, Olomouc

Mgr. Markéta Trnečková, Ph.D. Palacký University, Olomouc Ořezávání dvourozměrných objektů Počítačová grafika Mgr. Markéta Trnečková, Ph.D. Palacký University, Olomouc Test polohy bodu Osově orientovaná hranice - Cohen-Sutherland p x < xw min... vně p x > xw

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ] 1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

GIS Geografické informační systémy

GIS Geografické informační systémy GIS Geografické informační systémy Obsah přednášky Prostorové vektorové modely Špagetový model Topologický model Převody geometrií Vektorový model Reprezentuje reálný svět po jednotlivých složkách popisu

Více

Stromové struktury v relační databázi

Stromové struktury v relační databázi Stromové struktury v relační databázi Stromové struktury a relační databáze Zboží Procesory Intel Pentium IV Celeron Paměti AMD Duron DDR DIMM Athlon http://interval.cz/clanky/metody-ukladani-stromovych-dat-v-relacnich-databazich/

Více

VE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy

VE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy 25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Radek Výrut VÝPOČET MINKOWSKÉHO SUMY VE 2D A 3D Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského

Více

Dynamické datové struktury I.

Dynamické datové struktury I. Dynamické datové struktury I. Seznam. Fronta. Zásobník. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz

Více

GIS Geografické informační systémy

GIS Geografické informační systémy GIS Geografické informační systémy Obsah přednášky Prostorové vektorové modely Špagetový model Topologický model Vektorový model Reprezentuje reálný svět po jednotlivých složkách popisu geoprvků. Geometrická

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 5. prosince 2005 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením (náznak řešení) Mapa světa - příklad Obsah Mapa

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující

Více

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

GIS Geografické informační systémy

GIS Geografické informační systémy GIS Geografické informační systémy Obsah přednášky Prostorové vektorové modely Špagetový model Topologický model Převody geometrií Vektorový model Reprezentuje reálný svět po jednotlivých složkách popisu

Více

Základní geometrické útvary

Základní geometrické útvary RMP 2 KS MS Základní geometrické útvary Bod, přímka, rovina základní geometrické pojmy, vznikly v našem vědomí abstrakcí poznatků reálného světa. V geometrii jsou zavedeny axiomaticky, tj. pomocí jednoduchých

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury Stromy 1 / 32 Obsah přednášky Pole a seznamy Stromy Procházení stromů Binární stromy Procházení BS Binární vyhledávací stromy 2 / 32 Pole Hledání v poli metodou půlení intervalu

Více

bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda

bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda Petr Ryšavý 19. září 2017 Katedra počítačů, FEL, ČVUT prohledávání grafů Proč prohledávání grafů Zkontrolovat, zda je sít spojitá. Hledání nejkratší

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky HODNÁ PODOBNÁ ZOBRZENÍ V ROVINĚ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, září 2013

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Řezy těles rovinou III

Řezy těles rovinou III 5.1.11 Řezy těles rovinou III Předpoklady: 050110 Ne vždy nám vystačí spojování bodů a dělaní rovnoběžek. Jako třeba bod b) posledního příkladu z minulé hodiny: Rovnoběžné jsou pouze podstavy nemůžeme

Více

Konvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru

Konvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505

Více

Základní datové struktury III: Stromy, haldy

Základní datové struktury III: Stromy, haldy Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Shodná zobrazení v rovině

Shodná zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Datové struktury pro prostorové vyhledávání

Datové struktury pro prostorové vyhledávání Datové struktury pro prostorové vyhledávání 1998-2011 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ SpatialData 2011 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1

Více

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Výpočetní geometrie. Pavel Strachota. 9. listopadu FJFI ČVUT v Praze

Výpočetní geometrie. Pavel Strachota. 9. listopadu FJFI ČVUT v Praze Výpočetní geometrie Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 9. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod 2 Jednoduché algoritmy výpočetní geometrie 3 Další problémy výpočetní geometrie Obsah 1 Úvod 2 Jednoduché algoritmy

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Text úlohy. Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? Vyberte jednu z nabízených možností: a. Černá b. Červená c. Modrá d.

Text úlohy. Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? Vyberte jednu z nabízených možností: a. Černá b. Červená c. Modrá d. Úloha 1 Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? a. Černá b. Červená c. Modrá d. Zelená Úloha 2 V rovině je dán NEKONVEXNÍ n-úhelník a bod A. Pokud paprsek (polopřímka) vedený z tohoto bodu

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

autorovu srdci... Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy

autorovu srdci... Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy 9 Krátké povídání o průnikových grafech Od této lekce teorie grafů se zaměříme lehce na několik vybraných partíı teorie grafů bĺızkých autorovu srdci... Naším prvním výběrem jsou průnikové grafy, což jsou

Více

RELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen.

RELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen. RELIÉF Lineární (plošná) perspektiva ne vždy vyhovuje pro zobrazování daných předmětů. Například obraz, namalovaný s osvětlením zleva a umístěný tak, že je osvětlený zprava, se v tomto pohledu "nemodeluje",

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více