VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Radka Luštincová

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2013 Radka Luštncová

2 VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Název bakalářské práce: Aplkace řezných úloh na výrobu lyží Autor: Radka Luštncová Katedra: Katedra ekonometre Obor: Matematcké metody v ekonom Vedoucí práce: Mgr. Jana Seknčková, Ph.D.

3 Prohlášení: Prohlašu, že sem bakalářskou prác na téma Aplkace řezných úloh na výrobu lyží zpracovala samostatně. Veškerou použtou lteraturu a další podkladové materály uvádím v seznamu použté lteratury. V Praze dne 3. června Radka Luštncová

4 Poděkování: Touto cestou bych ráda poděkovala Mgr. Janě Seknčkové, Ph.D. za vedení mé bakalářské práce a za podnětné návrhy, které obohatly. Rovněž děku ednatel frmy GALUS Industres s.r.o. Mlanu Luštncov za poskytnutí cenných rad a důležtých dat.

5 Abstrakt Název práce: Aplkace řezných úloh na výrobu lyží Autor: Radka Luštncová Katedra: Katedra ekonometre Vedoucí práce: Mgr. Jana Seknčková, Ph.D. Tato bakalářská práce se zabývá ednou ze specálních úloh lneárního programování a to ak z teoretcké, tak z praktcké stránky. Jedná se o úlohu o optmálním dělení materálu, tedy o řeznou úlohu. V úlohách o optmálním dělení materálu sou typcké dva cíle. Mnmalzace odpadu a mnmalzace spotřebovaného materálu. Tato práce obsahue teoretckou část, která vysvětlue matematcký model a různé modfkace řezných úloh. V reálné úloze, která e uvedena v poslední část mé práce se zabývám řešením konkrétního příkladu ve frmě GALUS Industres s. r. o. specalzuící se na výrobu lyží. Výsledky získané díky programu MS Excel sou shrnuty v závěru práce. Výsledné hodnoty a postup řešení práce budou frmě předloženy. Klíčová slova: lneární programování, řezný plán, optmalzace výroby, MS Excel Abstract Ttle: Author: Department: Supervsor: Applcaton of cuttng obs on the sk producton Radka Luštncová Department of Econometrcs Mgr. Jana Seknčková, Ph.D. Ths bachelor s work s dealng wth one of the specal lnear programmng problem, from the theoretcal as well as from the practcal aspect. It s about the role of optmal cuttng of materal, thus about the cuttng task. In the tasks of optmal cuttng of materals are typcally two goals, one s a mnmzaton of waste and the second one s mnmzaton of used materal. The work ncludes a theoretcal part, whch explans the mathematcal model and varous modfcatons of cuttng problems. In the real aplcaton that s mentoned n the last part of my work, I am dealng wth a soluton of actual task n the company GALUS Industres Ltd., whch s specalzed n the producton of sk. The results obtaned from the Excel program are summarzed n the concluson of the work. The resultng values and the process of solutons tasks wll be presented to the company. Keywords: lnear programmng, cuttng plan, producton of optmzaton, MS Excel

6 Obsah 1 ÚVOD CELOČÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ METODA VĚTVÍ A MEZÍ ÚLOHA O OPTIMÁLNÍM DĚLENÍ MATERIÁLU NETYPICKÉ CÍLE PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH O OPTIMÁLNÍM DĚLENÍ MATERIÁLU MINIMALIZACE PODÍLU ODPADU NÁKLADY NA SKLADOVÁNÍ ODPADŮ NÁKLADY NA LIKVIDACI ODPADU MINIMALIZACE POČTU ŘEZŮ MINIMALIZACE NÁKLADŮ NA ŘEZÁNÍ PROŘEZY ÚLOHA O SVAŘOVÁNÍ CÍLOVÉ PROGRAMOVÁNÍ APLIKACE NA REÁLNÝ PŘÍKLAD DĚLENÍ DESEK PŘI VÝROBĚ LYŽÍ O FIRMĚ VYSVĚTLENÍ POJMU DŘEVĚNÉ JÁDRO EKONOMICKÝ MODEL MATEMATICKÝ MODEL ŘEŠENÍ Řešení s využtím pouze efektvních řezných plánů Řešení ve tvaru rovnost Řešení ve tvaru nerovnost Řešení ve tvaru nerovnost s překročením požadovaného množství o 25 % a 50% Konečné řešení HODNOCENÍ VÝSLEDKŮ PROGRAM V EXCELU ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY PŘÍLOHY... 31

7 1 Úvod V každém výrobním podnku se setkáváme se spoustou problémů, které souvsí se zpracováním materálu. Prmárně se většna podnků snaží mnmalzovat náklady a maxmalzovat zsk, což s efektvním využíváním materálu úzce souvsí. Snažíme se, abychom zbytečně nezpracovával více materálu než e nutné a aby odpady, které nám zbývaí, byly co nemenší, nebo abychom e dále efektvně využíval. K řešení takovýchto problémů nám slouží úlohy o optmálním dělení materálu nebol řezné úlohy. Tyto úlohy mohou být dvoího druhu, buď se edná o úlohy s typckým cíl (mnmalzace spotřebovaného materálu a mnmalzace odpadu), nebo úlohy s netypckým cíl (úlohy zabývaící se mnmalzací skladovacích nákladů, mnmalzací nákladů na lkvdac odpadu, mnmalzací počtu řezů ). V první kaptole se věnu celočíselnému programování. Jelkož u řešení úloh o optmálním dělení materálu e obecně důležté, aby výsledné hodnoty (v našem případě počty řezů) byly v celých číslech, krátce sem se zaměřla na problematku celočíselného programování. Stručně sem popsala dvě z metod, které slouží k řešení úloh celočíselného programování (metoda větví a mezí, Gomoryho metoda). Druhá kaptola e zaměřena na úlohy s typckým cíl. Mez tyto cíle patří mnmalzace odpadu a mnmalzace spotřebovaného materálu. Podnk se snaží co neefektvně využívat spotřebovávaný materál, aby případný odpad byl co nemenší a nedocházelo ke zbytečnému plýtvání. Ve třetí kaptole se zaměřu na úlohy s netypckým cíl. Jedná se například o úlohy se skladovacím náklady, kdy e snaha mnmalzovat náklady na skladování případného odpadu, který vznkl př výrobě. Dále se edná o náklady na lkvdac odpadu, neboť odpad může být nenávratně zlkvdován, ale také může být zařazen znovu do výroby (tuto problematku sem řešla v praktcké část práce) nebo může být využíván k další doplňkové čnnost. Dalším netypckým cíl, které sem zmínla e například cílové programování, mnmalzace počtu řezů atd. Hlavním cílem mé bakalářské práce e aplkace úloh s typckým a netypckým cíl na řešení reálného příkladu. V mém případě se edná o úlohu o optmálním dělení materálu ve frmě GALUS Industres s.r.o. zabývaící se výrobou lyží. Tuto úlohu sem neprve začala řešt ako úlohu s ryze typckým cíl, protože prmárním úkolem bylo mnmalzovat odpad. Postupem času sem do výrobního procesu pronkala hloubě a našla sem nové možnost zpracování odpadu. Tato problematka ž ovšem byla řeštelná pouze s využtím úloh s netypckým cíl. V řešení sem musela zohlednt síly řezu, což e vlastně úloha s prořezy. Dále sem zde musela pot menší část materálu, tak aby m vznkl fnální výrobek větší velkost. Zde se edná o úlohu o svařování. Výsledné hodnoty všech varant řešení praktcké část práce sou uvedeny v příloze. 1

8 2 Celočíselné programování Mez specální úlohy lneárního programování lze zařadt úlohy celočíselného (lneárního) programování. Jedná se o standardní úlohy LP, které sou však doplněny o tzv. podmínky celočíselnost. (Ctace z [4, str. 113]) Podmínka celočíselnost zašťue, aby výsledné hodnoty všech nebo en některých proměnných nabývaly pouze celých čísel. Podmínkam celočíselnost se zabývá dscplína s názvem celočíselné programování. Pokud sou všechny proměnné omezeny podmínkou celočíselnost, edná se o ryze celočíselné úlohy lneárního programování. Pokud se v úloze vyskytuí ak celočíselné tak neceločíselné proměnné, edná se o smíšené úlohy lneárního programování. Podmínky celočíselnost e vhodné využít, pokud se v ekonomckém modelu vyskytuí neděltelné výrobky, počet opakování něaké aktvty nebo počty použtých dopravních prostředků. Někdy se v úloze LP vyskytuí proměnné, které nabývaí pouze hodnot 0 a 1, takové proměnné se nazývaí bvalentní (bnární) proměnné. Pomocí těchto proměnných se zstí, estl daná stuace nastane (hodnota 1) nebo nenastane (hodnota 0). Bvalentní proměnné sou využívány například př řešení okružního dopravního problému, přřazovacího problému a úlohy o pokrytí. Pro řešení celočíselných úloh nelze použít standardní smplexovou metodu, neboť ta poskytue obecně řešení neceločíselné. (Ctace z [5, str. 250]) Jako neednodušší možnost se eví vypočítat úlohy bez podmínek celočíselnost a poté čísla zaokrouhlt. Tímto způsobem lze ale získat en přblžné řešení. Může nastat stuace, že zaokrouhlené řešení nebude přípustným řešením úlohy lneárního programování. Kdyby však bylo přípustným řešením, neznamená to, že e optmálním řešením úlohy. Proto byly navrženy specální algortmy pro řešení těchto úloh. Tyto algortmy dělíme do několka skupn podle ech charakteru. (Ctace z [5, str. 250]) Skupny algortmů se dělí na: 1. Metody řezných (sečných) nadrovn sou vhodné pro řešení ryze smíšeně celočíselných úloh LP. Jsou uvažovány však pouze obecné podmínky celočíselnost. Nesou vhodné pro řešení bvalentních úloh. (Ctace z [5, str. 250]) Nedříve e vypočteno optmální řešení běžnou smplexovou metodou (Smplexovou metodu popsu v příloze č. 6). V každém dalším kroku se potom konstruue další nové omezení, které z této množny přípustných řešení vždy odřízne podmnožnu, která nesmí obsahovat žádné přípustné řešení. Pro takto zúženou množnu se opět vypočte optmální řešení. Po konečném počtu kroků vede tento postup k získání optmálního řešení celočíselné úlohy. (Ctace z [5, str. 251]) Typckým reprezentantem těchto metod e Gomoryho algortmus, pro řešení ryze celočíselných úloh, který bude popsán v příloze č Kombnatorcké metody vycházeí z optmálního řešení úlohy LP bez podmínek celočíselnost. Postupně se potom prohledává množna přípustných řešení a vypouští se ty podmnožny, které nesou pro náš příklad efektvní, nevyskytue se v nch optmální řešení. Jednotlvé kombnatorcké metody sou většnou určeny pouze pro 2

9 řešení konkrétních typů úloh celočíselného programování, proto blžší obecný pops není možný. (Ctace z [4, str. 115]) Neznáměším zástupce kombnatorckých metod e metoda větví a mezí, kterou popíš dále. 3. Metody dekompozční řeší úlohy, u kterých sou podmínky celočíselnost kladeny en na některé proměnné (smíšené celočíselné úlohy). Řeší se rozkladem na dvě část s podmínkam celočíselnost a bez podmínek celočíselnost. (Ctace z [7, přednáška č. 10, str. 58]) 4. Heurstcké metody řeší obzvláště obtížné úlohy ryze smíšeně celočíselné. Heurstcké metody e možné rozdělt do dvou skupn. První skupna metod řeší úlohy pouze přblžným algortmy, které nám poskytuí relatvně dobré řešení. Není však zaručeno, že e toto řešení optmální, edná se například o úlohy obchodního cestuícího nebo dopravní problém. Druhá skupna řeší úlohy popsaným algortmy, které zaručuí optmální řešení. Patří sem například maďarská metoda, která se používá pro řešení přřazovacího problému (podle [8, str. 143]). Mmo výše zmíněných algortmů nebo modfkací smplexové metody mohou být využívány různé programové systémy, kterým lze řešt úlohy lneárního ale nelneárního programování. Bez těchto programů by bylo řešení reálných úloh praktcky nemožné. Na výběr máme z poměrně šroké nabídky programů. Jako první a mně neblžší bych uvedla doplněk Řeštel v tabulkovém kalkulátoru MS Excel, ve kterém sem řešla úlohu v praktcké část práce. Dále potom programy LINDO a LINGO, které se daí zařadt mez profesonální optmalzační systémy. LINGO e unverzálněší systém, protože vedle optmalzace nabízí obecný nástro pro podporu matematckého modelování. (Ctace z [5, str. 263]) Dalším programem pro podporu matematckého modelování e třeba MPL for Wndows. Dále bych eště uvedla optmalzační systém XPLORE a XA. Podrobně se těmto programům věnovat nebudu. S většnou těchto programů sem se seznámla př výuce ve škole. Nyní popíš eden z výše zmíněných algortmů, kterým lze řešt mů příklad. Jedná se o metodu větví a mezí. MS Excel řeší podmínky celočíselnost, podobně ako většna profesonálních systémů, které slouží pro řešení úloh lneárního programování právě metodou větví a mezí. Alternatvou by bylo například použtí Gomoryho metody, kterou uvádím v příloze č. 7. 3

10 2.1 Metoda větví a mezí V profesonálních programových systémech sou pro řešení úloh celočíselného programování nečastě využívány tzv. metody větví a mezí (někdy větvení a mezí, angl. branches and bounds). (Ctace z [4, str. 117) Tyto metody patří mez kombnatorcké algortmy. Prncp metod větví a mezí e velm obecný, proto e možné použít e po sté úpravě k řešení celé škály úloh celočíselného programování. Metodam větví a mezí e možné řešt úlohy s obecným podmínkam celočíselnost, bvalentní úlohy, úlohy přřazovacího problému nebo úlohy okružního dopravního problému. Metody větví a mezí sou založeny na efektvním prohledávání množny přípustných řešení, postupně sou vybírány ty část, které sou vhodné pro nalezení řešení. Metod na prncpu větví a mezí e velké množství. Ve své prác se zaměřím na metodu autorek Land a Dog. Tuto metodu lze využít ak pro řešení ryze celočíselných úloh lneárního programování tak pro úlohy smíšeně celočíselné. Podmínkou této metody e, že koefcenty účelové funkce sou vždy celá čísla. (0) Úlohu lneárního programování bez podmínek celočíselnost s označím ako LP. (0) Množnu přípustných řešení této úlohy označím X. Dále se vypočte optmální řešení standardní smplexovou metodou bez podmínek celočíselnost. Nalezené optmální řešení e (0) T označeno vektorem x x, x,..., xn, a hodnota účelové funkce pro toto řešení e označena ako (0) z 1 2. Musí být otestováno, zda toto optmální řešení splňue podmínky celočíselnost. Pokud ano, edná se o optmální řešení celé úlohy a výpočet končí, pokud tomu tak není, začneme proces větvení. Větve (0) (1) Prncp větvení spočívá v tom, že množna X se rozdělí na dvě podmnožny X (2) (0) (levá větev) a X (pravá větev). Z vektoru x se vybere lbovolně edna proměnná, která nesplňue podmínku celočíselnost. Proměnná, která byla vybrána, e označena x k (této (0) proměnné se říká větvící proměnná) a eí hodnota se značí ako x k. Levá větev e charakterzována přdáním podmínky (0) x [ ], k x k (0) (0) kde [ xk ] představue celou část z hodnot x k. Jedná se o nevětší celé číslo, ehož hodnota (1) e menší nebo rovna hodnotě. Touto úpravou nám vznká nová úloha LP. (0) x k Pravá větev e vytvořena z množny (0) X rozšířením o podmínku Tím vznká nová úloha (2) LP. (0) x [ x ] 1. k k Tyto nově vznklé úlohy se opět řeší standardní nebo duálně smplexovou metodou bez podmínek celočíselnost. Pokud nalezené optmální řešení stále nesplňue podmínky celočíselnost, musíme celý postup znovu opakovat. 4

11 Meze V každé větv e eště odvozována horní mez (v případě maxmalzace) pro hodnotu účelové funkce celočíselného řešení. U ryze celočíselných úloh se horní mez pro hodnotu celočíselného řešení na množně X (k) získá ako h z ( k) ( k), kde k ndex úlohy LP (k) (k-té větve), (k ) z optmální hodnota účelové funkce úlohy LP (k) na množně řešení X (k), dostatečně malé kladné číslo (např ). Pokud máme zadanou mnmalzační úlohu, e postup podobný, akorát naopak hledám dolní mez ( ) ( k) d k z. U smíšeně celočíselné úlohy (ne všechny proměnné musí splňovat podmínky celočíselnost) e horní mez (resp. dolní mez) přímo určena hodnotou účelové funkce. Pro další větvení musí být zvolena větev s nevyšší horní (resp. nenžší dolní) mezí. Tato větev e pro nalezení hledaného řešení nelepší. Konec větve Celý postup pokračue tak dlouho, dokud nesou všechny vznklé větve uzavřeny. Jsou tř způsoby uzavření větví: 1. Ve větv e nalezeno takové řešení, které splňue podmínky celočíselnost. 2. Ve větv neexstue žádné přípustné řešení. 3. Ve větv e nalezeno neceločíselné řešení a horní mez pro hodnotu účelové funkce, odvozená z tohoto řešení, e nžší než hodnota účelové funkce celočíselného řešení, nalezeného ž dříve v některé z ostatních větví. (Ctace z [4, str. 118]) Když uzavřeme všechny větve, nelepší nalezené celočíselné řešení (pokud exstue) e současně hledaným optmálním řešením úlohy celočíselného programování. 5

12 3 Úloha o optmálním dělení materálu Každý výrobní podnk se snaží maxmalzovat svů zsk a využívat všechny zdroe co neefektvně. Především se pak snaží o to, aby náklady, které vynakládá na dosažení zsku, byly co nemenší. Mnmalzace se může ve výrobě proevt různým způsoby. Mez typcká omezení patří mnmalzace odpadu, který vznká př výrobě, nebo mnmalzace spotřebovaného materálu. Úlohy zabývaící se touto problematkou se nazývaí úlohy o optmálním dělení materálu. V úlohách o dělení materálu (někdy bývaí nazývány ako řezné úlohy) se edná o co neefektvněší rozdělení velkých celků na určté počty menších dílů tak, aby odpad byl mnmální nebo aby spotřeba výchozího materálu byla co nemenší. Musíme přtom však brát ohled na to, v akém poměru maí být vznklé menší díly rozřezány kolk ch má mnmálně nebo maxmálně vznknout. Základem úloh tohoto typu e vypracovat tzv. řezné schéma. Toto řezné schéma může být buď zadáno, nebo se musí sestavt. Jsou v něm přehledně uspořádány všechny možné kombnace rozdělení základního materálu na požadované menší díly. Do řádků se zapíší požadované rozměry a do sloupců napíšeme možné způsoby dělení původního materálu. Pokud sestavueme řezný plán sam, postupueme od maxmálního počtu kusů nevětšího rozměru k maxmálnímu počtu kusů nemenšího rozměru. Do posledního řádku tabulky se potom zapíše odpad, který vznkne př řezání. Pokud využíváme pouze efektvní řezy, měl by být nevětší odpad vždy menší než nemenší požadovaný kus. Můžeme však využívat neefektvní řezy, kde toto neplatí. Každé varantě dělení, která nám vznkne po vytvoření řezného plánu, e přdělena proměnná x, = 1, 2,...n. Proměnná x vyadřue, kolk materálu velkého rozměru, bude rozděleno na menší kusy podle varanty (podle [5, str. 62]). Máme dva typy úloh o dělení materálu ednorozměrné a vícerozměrné. U ednorozměrné úlohy e dělení charakterzováno pouze edním rozměrem. Jedná se například o trubky, tyče nebo provazy. Je přesně známa délka a počet dělených kusů. Jednorozměrný problém vede na úlohu lneárního programování. U vícerozměrných úloh se edná o dělení plošných nebo prostorových předmětů. Jde o složtěší úlohu, která ž není úlohou lneárního programování. U úloh tohoto typu není na první pohled asné, co sou procesy, co tedy budou představovat proměnné. Procesem e zde použtí ednoho z možných způsobů dělení většího celku, hodnota proměnné ukazue četnost eho použtí. (Ctace z [7, přednáška č. 1, str. 45]) Procesům potom odpovídaí proměnné a hodnoty těchto proměnných udávaí, kolkrát e daný způsob dělení využt. Úlohu o optmálním dělení materálu zařadíme do úloh celočíselného lneárního programování, neboť proměnná říká, kolkrát použeme daný způsob řezu. Model úlohy o optmálním dělení materálu, ve kterém se snažíme mnmalzovat odpad, e možné zapsat ve tvaru: 6

13 účelová funkce: z c1x1 c2x2... cnxn MIN( MAX ), soustava vlastních omezení: a x a x... a x, 1 a n nrb 21x1 a22x2 a2nxnrb. a x a... 2, x... a Rb m1 1 m2 2 mn n m x, podmínky nezápornost: x 0, celé = 1, 2,, n, b 0 = 1, 2,, n, kde n počet všech možných způsobů, ak můžeme rozřezat původní materál, m počet druhů nařezaného materálu menších rozměrů, c odpad, který vznkne př využtí -tého řezného plánu, b hodnota pravé strany, omezení materálu menších rozměrů, a kolk kusů -tého materálu menších rozměrů získáme, pokud využeme -tý řezný plán, R relační znaménko,, = e určeno ze zadání ekonomckého modelu, x kolkrát využ daný způsob řezu. Pokud bychom chtěl řešt druhý typ úlohy a mnmalzovat tedy spotřebovaný materál, změnla by se pouze účelová funkce úlohy. Vlastní omezení úlohy a podmínky nezápornost by zůstaly stené. Účelová funkce vypadá takto: n z x 1 MIN. 7

14 4 Netypcké cíle př řešení úloh o optmálním dělení materálu V reálném světě se s typckým cíl př řešení úloh o optmálním dělení materálu zmíněným ve třetí kaptole setkáváme mnmálně. Jedná se spíše o školní příklady, které sou pro snadné pochopení zednodušené. Ve většně reálných příkladů se setkáváme s netypckým cíl. Znamená to, že se v úloze vyskytue něaký problém souvseící se zpracováním materálu, který př řešení musíme zohlednt. Jak sem ž výše zmínla, chtěí všechny výrobní podnky mnmalzovat náklady a maxmalzovat zsk. Proto se v prax setkáváme s požadavky frem, které řešíme právě využtím úloh s netypckým cíl. Jedná se například o úspory v oblast nákladů na řezání materálu, na skladování nebo lkvdac odpadu případně další využtí tohoto odpadu. Dalším problémem může být například zohlednění síly řezu př dělení původního materálu. Potom se edná o úlohu s prořezy. Pokud například vyrábíme technologcky nebo materálově náročný výrobek, může být zadán požadavek na co nemenší počet řezů. Dalším požadavkem může být mnmalzace podílu odpadu. Frma se snaží materál maxmálně využít, aby vznklý odpad byl co nemenší. 4.1 Mnmalzace podílu odpadu Jedním ze specálních případů může být stuace, kdy výrobní frma požadue, aby procento odpadu z celkového množství použtého materálu na výrobu výrobků bylo co nemenší. Jednou z možností ak toto zastt e, že v tabulce řezného plánu uvedeme podíl odpadu v poměru k celkovému materálu. Toto číslo bude uvedeno ve tvaru zlomku nebo desetnného čísla a bude se pohybovat v ntervalu 0, 1. Další složtěší možností e mnmalzovat místo standardní lneární účelové funkce podíl dvou lneárních funkcí. Model této úlohy e formulován takto (podle [3, str. 92]: účelová funkce: z n 1 n 1 c d x x MIN, soustava vlastních omezení: n 1 a x Rb = 1, 2,, m, x 0 = 1, 2,, n. 8

15 V čtatel účelové funkce e uvedena velkost odpadu a ve menovatel e uvedeno celkové spotřebované množství původního materálu. Účelová funkce v takovémto tvaru není lneární. Na úlohu lneárního programování lze převést pomocí Charnesovy Cooperovy transformace (podle [3, str. 92]). Je nutné do modelu zavést novou proměnnou t n 1 1 d x. Tuto proměnnou dále upravíme na tvar Nově vznklou podmínku e ž možné zařadt do soustavy vlastních omezení modelu. Touto proměnnou vynásobíme obě strany omezuících podmínek a současně upravíme účelovou funkc. (Ctace z [3, str. 93]). Upravený matematcký model úlohy vypadá takto: účelová funkce z soustava vlastních omezení n 1 n 1 a x t b t, = 1, 2,, m, n 1 d x t t 1. c x t t MIN, n 1 d x t t 1, podmínky nezápornost tx 0t, = 1, 2,, n, t > 0. V nově vznklém modelu provedeme substtuc, x t nahradíme y. V úlohách lneárního programování nelze pracovat s ostrým nerovnostm, proto podmínku t > 0, nahradíme podmínkou t, kde e velm malé číslo blízké nule (podle [3, str. 93]). Konečný tvar matematckého modelu vypadá takto: 9

16 účelová funkce z soustava vlastních omezení n 1 n 1 a y b t, = 1, 2,, m, d y t 1, podmínky nezápornost y 0, = 1, 2,, n, n 1 t. c y t MIN, Takto upravená úloha e ž úlohou lneárního programování a tudíž snadno řeštelná (např. smplexovou metodou). 4.2 Náklady na skladování odpadů Mez náklady, které musí podnk vynaložt na výrobu, musíme zahrnout například skladovací náklady na případný vznklý odpad. Ať už e tento odpad skladován v podnku nebo mmo ně, vždy e to spoeno s něakým náklady, které musíme do modelu zahrnout. Jsou to například náklady na pronáem, na vytápění skladovacích prostor, energe nebo mzda skladníka. Skladovací náklady sou dvoího druhu: náklady varablní, které závsí na množství skladovaného odpadu, náklady fxní, které nezávsí na množství skladovaného odpadu (sou to například náem, energe nebo mzda skladníka). Celkové náklady, které souvsí s realzací procesu, lze vyádřt takto (podle [3, str. 98]): C( x ) f y c x, kde f fxní náklady, které souvsí s realzací -tého procesu, y bnární proměnná, která ukazue, zda e -tý proces použt (1) nebo ne (0), c varablní náklady přpadaící na ednu ednotku procesu. 10

17 Matematcký model by v této úloze vypadal takto: účelová funkce: n z f 1 y c soustava vlastních omezení: n 1 a x b x MIN, = 1, 2,, m, x My = 1, 2,, n, podmínky nezápornost: x 0 = 1, 2,, n, y 0(1) = 1, 2,, n, (5.1.) kde n počet všech možných způsobů, ak můžeme rozřezat původní materál, m počet druhů nařezaného materálu menších rozměrů, b hodnota pravé strany, omezení materálu menších rozměrů, a kolk kusů -tého materálu menších rozměrů získáme, pokud využeme -tý řezný plán, M dostatečně velké kladné číslo, x kolkrát využ daný způsob řezu. V účelové funkc e suma, protože musíme sečíst náklady pro všechny řezy. Podmínka (5. 1.) ze soustavy vlastních omezení zašťue, aby hodnoty proměnné y nekonvergovaly k nule, z důvodu mnmalzace celkových nákladů. Touto podmínkou zastíme, aby 1 (podle [3, str. 98]). 4.3 Náklady na lkvdac odpadu Výrobní podnky musí brát v úvahu náklady na lkvdac vznklého odpadu, proto se m vyplatí zabývat se problematkou optmálního dělení materálu, kdy e nutné sestavt řezné schéma. Po vyřešení sou vybrány řezné plány, podle kterých e nevýhodněší původní materál rozřezat, tak aby úloha odpovídala zadaným podmínkám. Pokud sou použty ty řezné plány, u kterých vznká něaký odpad, musí frma řešt, ak se vznklým odpadem naložt. Jednou z možností e lkvdace odpadu bez dalšího využtí například na skládce. Další možností využtí odpadu e zařazení zpět do výroby, pokud e to technologcky možné. Například př prác se dřevem nevznkaí en odřezky dřeva ale také plny, které e možné dále zpracovat. Záleží však na množství pln, které e vyprodukováno. Frma s pak může zakoupt různé technologe k ech dalšímu využtí. Př malém množství se z nch mohou vyrábět například brkety na topení nebo mohou sloužt v zemědělství ako podestýlka pod zvířata. Př větším množství vyprodukovaných pln lze vyrábět například dřevotřískové desky, které maí velm šroké využtí př výrobě nábytku. Matematcký model pro tuto úlohu vypadá takto: 11 y

18 účelová funkce: n z l c 1 x MIN, soustava vlastních omezení: a x a x... a x, n nrb 21x1 a22x2 a2nxnrb a. a... 2, m1 x1 am2x2... amnxnrbm, podmínky nezápornost: x 0, = 1, 2,, n, b 0, = 1, 2,, n, kde n počet všech možných způsobů, ak můžeme rozřezat původní materál, m počet druhů nařezaného materálu menších rozměrů, b hodnota pravé strany, omezení materálu menších rozměrů, a kolk kusů -tého materálu menších rozměrů získám, pokud využ -tý řezný plán, c varablní náklady přpadaící na ednu ednotku procesu, R relační znaménko,, = e určeno ze zadání ekonomckého modelu, x kolkrát využ daný způsob řezu, l ednotkové náklady na lkvdac. 4.4 Mnmalzace počtu řezů Pokud frma vyrábí materálově nebo technologcky náročné výrobky snaží se využít materál stroní zařízení co neefektvně, aby mnmalzovala vznklé náklady ak na materálu, tak na opotřebení stroů. Pak může být do modelu zahrnuta další podmínka, a sce podmínka na mnmalzac počtu provedených řezů. Je nutno doplnt řezné schéma o další řádek, ve kterém bude uveden počet řezů u ednotlvých způsobů řezání. Matematcký model bude vypadat takto: účelová funkce: z c1x1 c2x2... cnxn MIN, soustava vlastních omezení: a x a x... a x, n nrb 21 x1 a22x2... a2nxnrb2 a. a x, a x... a m1 1 m2 2 mn n m, podmínky nezápornost: x 0 = 1, 2,, n, b 0 = 1, 2,, n, 12 x Rb

19 kde n počet všech možných způsobů, ak můžeme rozřezat původní materál, m počet druhů nařezaného materálu menších rozměrů, c počet řezů příslušného způsobu řezání, b hodnota pravé strany, omezení pro materál menších rozměrů, a kolk kusů materálu menších rozměrů získáme, pokud využeme -tý řezný plán, x kolkrát e využt daný způsob řezu, R relační znaménko,, = e určeno ze zadání ekonomckého modelu. 4.5 Mnmalzace nákladů na řezání Úloha, ve které e hlavním cílem mnmalzace nákladů na řezání, e velm podobná předchozí úloze (4.4), kde bylo cílem mnmalzovat počet řezů. Pro takovýto typ úlohy e důležté znát cenu ednoho řezu, který musíme zahrnout do účelové funkce. Každému řezu přřadíme cenu, kterou násobíme počtem řezů a dále celou tuto funkc mnmalzueme. Účelová funkce vypadá takto: účelová funkce: z k c1 x1 k c2x2... k cnxn MIN, kde c počet řezů příslušného způsobu řezání, n počet všech možných způsobů, ak můžeme rozřezat původní materál, x kolkrát využ daný způsob řezu, k cena ednoho řezu. 4.6 Prořezy Pro většnu školních příkladů e typcká poznámka v zadání, že prořez e zanedbatelný a nemusí být zohledňován. Tato poznámka e zde pouze pro zednodušení příkladu. Ve skutečných příkladech toto většnou není možné. Pokud pracueme například s dřevěným deskam ako původním materálem, které sou dále kráceny, musíme brát ohled na malou část, která se ztratí během řezání. U práce se dřevem se síla řezu lší podle použté technologe řezání a řezného nástroe, většnou od 2 do 5 mm. Je proto důležté brát tyto prořezy v úvahu. V řezném plánu musí být prořez zohledněn tak, že vznklý odpad e vždy menší o sílu řezu. Pokud e například v rámc ednoho kusu původního materálu více řezů, e vznklý odpad menší vždy o součet všech řezů. Jedná se především o odpad vhodný k dalšímu využtí, kdy potřebu znát skutečný rozměr odpadu. U odpadu určeného k přímé lkvdac se řezy zohledňovat nemusí. Matematcký model pro úlohu s prořezy vypadá takto: 13

20 kde účelová funkce: z c1x1 c2x2... cnxn MIN( MAX ), soustava vlastních omezení: a11 x1 a12x2... a1 nxnrb1, a21 x1 a22x2... a2nxnrb2,. a x m1 1 am2x2... amnxnrbm, podmínky nezápornost: x 0, celé = 1, 2,, n, b 0 = 1, 2,, n, n počet všech možných způsobů, ak můžeme rozřezat původní materál, m počet druhů nařezaného materálu menších rozměrů, c vznklý odpad, ve kterém sou zahrnuty prořezy, b hodnota pravé strany, omezení pro materál menších rozměrů, a kolk kusů -tého materálu menších rozměrů získáme, pokud využeme -tý řezný plán, x kolkrát využ -tý způsob řezu, R relační znaménko,, = e určeno ze zadání ekonomckého modelu. 4.7 Úloha o svařování V úlohách o svařování dochází ke spoování vznklého odpadu tak, aby vznkla potřebná délka desky větší velkost. Jedná se o to, že mám k dspozc menší díly, ze kterých musím sestavt díl větší potřebný k další výrobě. Je možné opět sestavt schéma, které e využíváno v úlohách o optmálním dělení materálu. Úloha může směřovat ke dvěma cílům. Prvním e snaha o mnmální počet spoů, elkož s větším počtem spoů může fnální výrobek ztrácet na kvaltě (například může doít k přelomení v místě spoe). Účelová funkce pro tento případ by vypadala: kde mnmalzovat z c x c x... c x n n 1, c počet spoů pro příslušný způsob svařování ( = 1, 2,, n), n počet proměnných v modelu nebol počet způsobů svařování, x kolkrát využ -tý způsob svaření. Druhým cílem úlohy o svařování může být maxmální počet vznklých fnálních výrobků. Snažíme se vlastně maxmalzovat součet všech strukturních proměnných modelu. Účelová funkce by v tomto případě vypadala takto: maxmalzovat z n x 1. 14

21 4.8 Cílové programování Jedná se spíše o specální přístup k řešení úloh lneárního programování než o specální typ úlohy lneárního programování. V úlohách lneárního programování, které sem popsovala dosud, byla vždy zadána soustava omezuících podmínek (vlastní omezení úlohy a podmínky nezápornost), která defnovala množnu přípustných řešení úlohy (podle 4, str. 121). V této množně e potom hledáno optmální řešení úlohy s ohledem na zadané krtérum optmalty. V obecném modelu cílového programování e tato formulace poněkud pozměněna. V tomto modelu se více č méně stíraí rozdíly mez omezuícím podmínkam a krtérem optmalty tak, ak byly tyto pomy chápány ve standardním modelu lneárního programování. (Ctace z [4, str. 121]) Termíny ako omezuící podmínky a krtérum optmalty sou nahrazeny za volné a pevné cíle. Každému cíl e potom přřazena cílová hodnota. Obecně lze tedy říc, že omezení modelu sou formulována za pomoc cílových hodnot. U pevných cílů musí být cílová hodnota splněna, což e praktcky to samé ako klascké omezuící podmínky u běžných úloh LP. U volných cílů stačí, když e cílová hodnota splněna alespoň přblžně. Skutečně dosažená hodnota by měla být blízko cílové hodnotě, ale nemusí být splněna přesně (podle 4, str. 121). Matematcký model úlohy cílového programování vypadá takto: účelová funkce: m z ( d d ) MIN, 1 soustava vlastních omezení: a x a x... a x d d, n n 1 1 b 21 x1 a22x2... a2nxn d2 d2 b2 a. a x a x... a d d b m1 1 m2 2 mn n m m m, podmínky nezápornost: d, 0, = 1, 2,, n, d x 0, = 1, 2,, n, x, kde n počet strukturních proměnných v modelu, m počet vlastních omezení v modelu, b hodnota pravé strany, která patří -tému omezení, a strukturní koefcent, vztah mez -tým omezením a -tou proměnnou, d kladná odchylka od cílové hodnoty, d záporná odchylka od cílové hodnoty. Vlastní omezení ve tvaru rovnost e nastaveno velm přísně. Pokud se nepodaří toto omezení splnt, e možné ho upravt na tvar větší nebo rovno. Další možností e přdat k rovnc kladnou odchylku, která by byla v účelové funkc mnmalzována. 15

22 5 Aplkace na reálný příklad dělení desek př výrobě lyží 5.1 O frmě Pro řešení reálného problému ve své prác sem s vybrala úlohu o dělení materálu, konkrétně Dělení desek př výrobě lyží. Všechny potřebné nformace m poskytla frma GALUS Industres s.r.o. Frma se zabývá výrobou lyží a snowboardů ž od roku Velká část produkce e prodávána přes rakouského partnera k odběratelům do USA, Kanady, Japonska, Německa, Norska a Rakouska. Od roku 2000 začala frma v malém množství vyrábět pro český trh vysoce výkonné závodní lyže pod značkou LUSTI. Na tento krok navázalo postupné rozšřování sortmentu LUSTI na ostatní kategore lyží a snowboardů. V současné době ž tvoří výroba a prode značky LUSTI téměř polovnu z celkové produkce frmy GALUS Industres s.r.o. (Ctace z [10]) 5.2 Vysvětlení pomu dřevěné ádro Lyže značky LUSTI se steně ako lyže ostatních značek skládaí z různých materálů. Jedná se například o ocelové hrany, skluznc, nosné vrstvy ako e prepreg nebo ttanal, antvbrační gumové pásky, dřevěná ádra, vrchní fól atd. Ve své prác se zaměřím pouze na ednu konkrétní surovnu, a sce na dřevěné ádro, které tvoří výplň lyže mez nosným vrstvam. Někteří výrobc lyží z ekonomckých důvodů nahrazuí dřevěná ádra ným materály například polyuretanovou pěnou. Takto vyrobené lyže a snowboardy nedosahuí ovšem takové kvalty ako výrobky, v nchž e použto dřevo. Pro lepší představu bych přrovnala skladbu lyže například k sádrokartonové desce (k materálu, který podle mě většna ldí zná). Výplň desky tvoří sádra (v našem případě dřevěné ádro lyže), nosné vrstvy tvoří dva papírové kartony, z každé strany sádrové vrstvy eden (v našem případě tvoří nosné vrstvy lyže sklolamnátové prepregy nebo ttanaly). Pokud bychom vynechal sádru, vznkl by nám spoením dvou kartonů praktcky en eden slný karton, ale bez požadovaných vlastností. Pokud bychom vynechal eden z kartonů, deska by nám praskala právě na straně, kde karton chybí. Pokud bychom dal sádrovou vrstvu moc tenkou, deska by byla velm měkká a nevydržela by namáhání, pro které e určena. Na stených prncpech fungue konstrukce lyže. V místě, kde chceme mít lyž měkčí (například špčka a patka) ztenčíme dřevěné ádro, čímž se nám nosné vrstvy přblíží k sobě a lyže e v tomto místě měkčí. Na středu lyže naopak uděláme dřevěné ádro šrší, čímž oddálíme nosné vrstvy a lyže e v tomto místě tvrdší. Různá tvrdost v různých místech lyže e důležtá pro ovládání, elkož každou lyž můžeme ovládat pouze z ednoho místa a to z místa, kde stoíme. Než bude dřevěné ádro přpraveno k použtí do konkrétní lyže, musí proít určtým výrobním procesem. Dřevěná ádra lze vyrábět různým způsoby z různých druhů dřev. Neběžněší varantou e použtí klasckých prken, která se lepí do bloků, z nchž se řežou 16

23 plátky v požadované tloušťce. Každé ádro se pak skládá z několka dílů proto, abychom zabránl možnému kroucení dřeva a následně lyže. Ukázka dřevěného ádra na obrázku č. 1. Na výrobu lyží se nevíce používá řezvo z topolu a buku, méně pak například z avoru, smrku, asanu a olše. Měkká a lehká dřeva (topol, avor, smrk) se vždy používaí ako základ a tvrdá dřeva se používaí v místě požadovaného zpevnění. U tvrdých dřev e důležté, aby měla dlouhá vlákna a tudíž velkou podélnou pevnost a hlavně také pružnost. Proto se používá zeména buk nebo asan, naopak není vhodný například dub, který e sce také tvrdý, ale má krátká vlákna a tak e poměrně křehký a snadně se láme. Další varantou výroby dřevěných ader e například použtí desek ednosměrné překlžky (sou to dřevěné desky slepené do požadované tloušťky z ednotlvých dýh daného dřeva v našem případě dýh o tloušťce 2 mm). Základní podmínkou pro použtí tohoto materálu př výrobě lyží e, aby všechny vrstvy (dýhy) vedly edním směrem (na rozdíl od klascké překlžky, kde se vrstvy kvůl pevnost v obou směrech kříží). Výhoda této varanty spočívá v maxmálním zamezení kroucení výsledného produktu a navíc použtí tenkých dýh zcela potlačue případné vady dřeva. 5.3 Ekonomcký model Obrázek 1-Složení lyže [dodáno zadavatelem] Frma GALUS Industres s.r.o. používá k výrobě dřevěných ader výše popsanou varantu s ednosměrným překlžkam, která e sce fnančně výrazně náročněší, ale o to kvaltněší e výsledný produkt. Jelkož e tato varanta fnančně náročněší, má frma z pochoptelných důvodů záem na mnmalzac odpadu. Do frmy sou dodávány překlžkové desky o rozměru 244 cm x 122 cm x 1,3 cm. Tyto desky musí být dále rozřezány na čtyř pruhy o rozměru 244 cm x 30,3 cm x 1,3 cm (vz. obrázek č. 2) V tomto případě zohledňueme tř řezy tenkým plovým kotoučem na dělící ple o síle cca 3 mm na každý řez. 17

24 Obrázek 2 - Dřevěná deska [vlastní] Každá takto nově vznklá deska se pak zkrátí na délku potřebnou k výrobě ednotlvých lyží. Desky sou kráceny podle řezného plánu, který e uveden v příloze č. 1. Dále se tyto desky lepí do bloku v předem určeném množství, ak sem znázornla na obrázku č. 3. Lepí se na sebe vždy počet desek potřebný na daný typ lyže. Množství desek e odlšné, elkož každá lyže e nak šroká. Obrázek 3 - Blok [vlastní] Př lepení desek na sebe se využívaí ak celé desky, tak vznklé odpady. Mohou se tedy střídat celé desky a kratší (odpadové) desky poskládané vždy do požadované délky. U lyží do 100 cm (včetně) můžeme využívat pouze celé desky, nesmí se zde vyskytovat žádný spo. U lyží delších než 100 cm můžeme využít eden spo, tedy spot dvě odpadové desky. U těchto odpadových desek musíme zohlednt větší sílu řezu zkracovací ply, která e v tomto případě 5 mm. V současné době řeší frma danou problematku přípravou materálu vždy na eden konkrétní den, čímž vznká zbytečně velké množství odpadu, který se sce po něakou dobu skladue k dalšímu zpracování, ale z důvodu omezené kapacty skladových prostor se po určté době odpad lkvdue. Pokud frma nemá předem danou větší zakázku a vyrábí pouze na základě ednotlvých obednávek různé typy lyží, e tato metoda edná možná. Jelkož frma získala velkou zakázku na konkrétní modely lyží s přesně daným počty, hledá způsob, ak co neefektvně využít materál pro výrobu dřevěných ader. 18

25 Zadavatel požadue vyřešení konkrétní zakázky na výrobu párů lyží. Trvá na vyrobení přesného množství dřevěných ader a nepřee s žádné hotové kusy navíc, elkož pro ně nemá v tuto chvíl další uplatnění. To však neznamená, že se tyto lyže nebudou v budoucnu dále vyrábět. Požadavkům zadavatele vyhovím a omezuící podmínky uvedu ve tvaru rovnost. Pokusím se mu však také navrhnout řešení, kdy omezuící podmínky nastavím ako nerovnost. To pravděpodobně povede k výrobě většího množství ednotlvých typů (ty však mohou být použty pro další zakázky), ale také by to mělo vést k výraznému snížení odpadu. Pro tuto konkrétní zakázku sou potřeba délky lyží uvedené v tabulce č. 1 spolu s požadovaným počty (v kusech a párech). Délka lyže (cm) Počet (pár) Počet (ks) Tabulka č. 1-Počet lyží na zakázku V tabulce č. 2 sou uvedeny další parametry nutné pro zštění potřebného počtu desek a výpočet počtu desek. Zde musíme zohlednt sílu řezu formátovací ply, která e 4 mm. Délka lyže Počet desek na 1 blok Šířka Výška Výška vč. řezu Počet desek z 1 bloku Počet desek na ednotlvé lyže 75 cm 8 ks 104 mm 9 mm 13 mm 23 ks 85 cm 11 ks 140 mm 9 mm 13 mm 23 ks 100 cm 9 ks 116 mm 11 mm 15 mm 20 ks 140 cm 9 ks 108 mm 14 mm 18 mm 16 ks 150 cm 9 ks 108 mm 15 mm 19 mm 16 ks 160 cm 9 ks 108 mm 16 mm 20 mm 15 ks 83 bloků x 8 desek = 664 desek 28 bloků x 11 desek = 308 desek 190 bloků x 9 desek = 1710 desek 57 bloků x 9 desek = 513 desek 57 bloků x 9 desek = 513 desek 607 bloků x 9 desek = 540 desek Tabulka č. 2-Počet desek 19

26 5.4 Matematcký model Proměnné: x 1 x 29 vyadřuí, kolkrát e využt plán číslo Řezný plán e uveden v příloze číslo 1. Omezuící podmínky pro případ rovnost: x1 x13 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x ks, x2 x3 x14 x24 x25 x ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x ks, x4 2x7 x8 x ks, x2 x5 x8 2x10 x ks, x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x ks. x 0, celé = 1,, 29 Omezuící podmínky pro případ nerovnost: x1 x13 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x ks, x2 x3 x14 x24 x25 x ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x ks, x4 2x7 x8 x ks, x2 x5 x8 2x10 x ks, x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x ks. x 0, celé = 1,, 29 Účelová funkce: 8,5 x 1 + 8,5 x ,5 x 3 + 3,5 x ,5 x ,5 x ,5 (x 7 - x 27 ) + 58,5 (x 8 - x 22 - x 25 - x 28 ) + 68,5 (x 9 - x 20 - x 23 - x 26 - x 29 ) + 73,5 (x 10 x 18 - x 21 - x 24 - x 29 ) + 8,5 x ,5 x ,5 (x 13 x 17 x 19 - x 24 - x 26 - x 28 ) + 93,5 (x 14 x 16 x 19 - x 21 - x 23 - x 25 ) + 103,5 (x 15 x 16 x 17 x 18 - x 20 - x 22 - x 27 ) + 37 x x x x x x x x x x x x x x 29 MIN. Pomocí účelové funkce zstím, ak velký bude vznklý odpad. Jelkož některý odpad bude dále zpracován, musela sem tuto skutečnost v účelové funkc zohlednt. Každý zpracovatelný odpad může být však využt pro několk délek lyží. Musela sem proto zastt, aby odpad nebyl využíván duplctně (pokud odpad použ na ednu délku lyží, nemohu ten stený odpad použít na nou délku). Číselné hodnoty v účelové funkc vyadřuí velkost odpadu včetně prořezů. Tedy odpadu, který se může dále zpracovat. Velkost tohoto odpadu sem zstla sestavením řezného plánu, který e uveden v příloze č. 1. Proměnné x vyadřuí, kolkrát e využt každý řezný plán. Účelová funkce e mnmalzační, protože se snažím, aby 20

27 vznklý odpad byl co nemenší. Pro všechny varanty řešení (kromě 5.5.1) e účelová funkce stená, mění se pouze omezuící podmínky, proto účelovou funkc dále v řešení neuvádím. 5.5 Řešení Úlohu sem řešla v programu MS Excel, pomocí řeštele. Tento program e m neblžší a pro danou problematku se m evl ako nevhodněší. Př řešení této úlohy sem narazla na několk problémů ale nesrovnalostí, které se m však po konzultac se zadavatelem podařlo vyřešt. Všechny možnost řešení, ke kterým sem došla, sou přloženy na CD a všechny výsledky sou uvedeny v příloze Řešení s využtím pouze efektvních řezných plánů Z počátku sem př tvorbě řezného schématu uvažovala pouze efektvní řezné plány. To sou plány s mnmálním odpadem. V našem případě se ednalo o nezařazení plánů, kdy bychom z desky 244 cm uřízl en ednu délku lyže nad 140 cm a zbylý odpad nevyužl, přestože by šel zpracovat na kratší lyže do 100 cm. A navíc v případě, kdy sem vyhověla požadavkům zadavatele na přesný počet vyrobených ader a omezuící podmínky nastavla ako rovnost (to znamená, že e vyroben přesný počet výrobků, který byl zadán, bez možnost navýšení), neměla úloha přípustné řešení. Proto sem pro další řešení zařadla možnost neefektvního rozřezání dřevěných desek (vz výše vysvětlené). Matematcký model této úlohy: omezuící podmínky: x1 540 ks, x2 x3 513 ks, x4 x5 x6 x ks, x4 2x7 x8 x ks, x2 x5 x8 2x10 x ks, x1 x3 x6 x9 2x11 3x ks, x 0, celé = 1,,29, účelová funkce: 8,5 x 1 + 8,5 x ,5 x 3 + 3,5 x ,5 x ,5 x ,5 x ,5 x ,5 (x 9 x 13 ) + 73,5 (x 10 x 13 ) + 8,5 x ,5 x x 13 MIN Řešení ve tvaru rovnost Ve druhé varantě sem do řezného schématu zahrnula neefektvní řezné plány. Tyto plány měly sce velký odpad, ale ten mohl být dále velm dobře zpracován. V Excelu sem tedy vytvořla dvě řezná schémata. V prvním schématu sem rozřezala původní desky délky 244 cm a ve druhém schématu sem k výrobě použla zbylé odpady. Jelkož se v lyžích může 21

28 vyskytovat pouze eden spo, musela sem vždy sečíst maxmálně dva odpady. V případě, že součet délek těchto odpadů byl větší než potřebný, musely být dále zkráceny na požadovanou délku (čímž sce vznkl další odpad, který ale byl ž výrazně menší). Využtí odpadů sem musela zohlednt v účelové funkc, protože není možné využít odpad vícekrát, než kolkrát vznkl. A opět sem dle zadání nastavla všechny omezuící podmínky ve tvaru rovnost. Soustava omezení vypadala takto: x1 x13 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x ks, x2 x3 x14 x24 x25 x ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x ks, x4 2x7 x8 x ks, x2 x5 x8 2x10 x ks, x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x ks, x 0, celé = 1,,29. V tomto případě úloha ž řešení měla. Díky výrobě přesného množství desek vznkl ale přílš velký odpad. Čnl cm, což e součet zbytků desek 30,5 x 1,3 cm. Proto sem zadavatel navrhla další varantu řešení ve tvaru nerovnost, která vedla ke snížení odpadu. Výsledné hodnoty tohoto řešení včetně přídatných proměnných sou uvedeny v příloze č Řešení ve tvaru nerovnost Ve třetí varantě sem uvolnla omezuící podmínky a omezení nastavla ve tvaru větší nebo rovno (což znamená možnost vyrobt více kusů, než bylo zadáno), tím došlo k velkému snížení odpadu. Nový odpad čnl 3420 cm, což e pouhých 19,5 % odpadu z předchozí varanty ( cm). Počet vyrobených a tím použtelných desek se však velm zvýšl. Důkaz e uveden v tabulce č. 3, kde sou zapsány požadované a skutečné počty vyrobených desek, které sem získala řešením v Excelu. Délky lyží Skutečný počet(ks) Požadovaný počet ks desek 160 cm cm cm cm cm cm Tabulka č. 3-Počet desek 22

29 Omezuící podmínky této varanty řešení vypadaí takto: x1 x13 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x ks, x2 x3 x14 x24 x25 x ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x ks, x4 2x7 x8 x ks, x2 x5 x8 2x10 x ks, x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x ks, x 0, celé = 1,,29. Ačkolv se řešení z hledska mnmálního odpadu eví ako velm výhodné, pro zadavatele přílš vhodné není. Některá přebytečná ádra e sce schopen využít pro další zakázky, neboť se edná o prodávanou a oblíbenou délku lyže. Některá sou pro ně ale naprosto zbytečná, neboť poptávka po lyžích této délky není tak velká a desky by zbytečně a bez dalšího využtí v dohledné době zbývaly na skladě. Výsledné hodnoty této varanty řešení včetně přídatných proměnných sou uvedeny v příloze č Řešení ve tvaru nerovnost s překročením požadovaného množství o 25 % a 50 % Jelkož žádná z předchozích varant nebyla úplně deální, ať už z důvodu nadměrného odpadu nebo přebytečného množství nepotřebných desek, navrhla sem zadavatel eště další možnost, a sce že e možné nastavt pouze určtý lmt pro překročení vyrobeného počtu desek. Př konzultac se zadavatelem bylo dohodnuto, že za únosné můžeme považovat překročení v první varantě maxmálně o 25 % a ve druhé maxmálně o 50 %. Soustava omezení pro maxmální navýšení o 25 % by vypadal takto: x1 x13 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 1,25540 ks, x2 x3 x14 x24 x25 x26 1,25513 ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x29 1,25513 ks, x4 2x7 x8 x9 1, ks, x2 x5 x8 2x10 x11 1,25308 ks, x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x23 1,25664 ks, x1 x13 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x ks, x2 x3 x14 x24 x25 x ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x ks, x4 2x7 x8 x ks, x2 x5 x8 2x10 x ks, 23

30 x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x ks, x 0, celé = 1,,29. Pokud bychom požadovaný počet navýšl o maxmálně 25 %, celkový odpad by čnl cm. Soustava omezení pro maxmální navýšení o 50 % by vypadal takto: x1 x13 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 1,50540 ks, x2 x3 x14 x24 x25 x26 1,50513 ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x29 1,50513 ks, x4 2x7 x8 x9 1, ks, x2 x5 x8 2x10 x11 1,50308 ks, x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x23 1,50664 ks, x1 x13 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x ks, x2 x3 x14 x24 x25 x ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x ks, x4 2x7 x8 x ks, x2 x5 x8 2x10 x ks, x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x ks, x 0, celé = 1,,29. Pokud bychom navýšl požadovaný počet dřevěných ader o maxmálně 50 %, získal bychom odpad o velkost pouze 7556 cm, což e odpad velm přatelný. Výhodou těchto dvou modelů e skutečnost, že přatelné navýšení množství dřevěných ader výrazně sníží vznklý odpad. Toto navýšení e však pro frmu výhodné pouze př možném zpracování ader v blízké budoucnost. Výsledné hodnoty této varanty řešení včetně přídatných proměnných sou uvedeny v příloze č Konečné řešení Přes uspokový výsledek výše uvedených varant sem zadavatel navrhla konečné řešení, kdy s mohl přesně stanovt délky lyží, u kterých bude moc doít k navýšení požadovaného množství. Na základě této nformace m zadavatel dodal přesné údae, 24

31 u kterých délek lyží může doít k navýšení množství a o kolk. Tato čísla sem přehledně uspořádala do tabulky č. 5. Délka Tabulka č. 4-Navýšení množství Soustava omezení konečného řešení by vypadala takto: x1 x13 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x ks, x2 x3 x14 x24 x25 x ks, x2 x3 x14 x24 x25 x ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x ks, x4 x5 x6 x15 x27 x28 x ks, x4 2x7 x8 x ks, x2 x5 x8 2x10 x ks, x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x ks. x1 x3 x6 x9 2x11 3x12 x20 x21 x22 x ks. x 0, celé = 1,, 29 Požadovaný počet ks desek Nevyšší možný počet ks desek 160 cm cm cm cm cm cm Po této úpravě sem získala odpad o velkost cm. Což e vzhledem k zadaným podmínkám přatelný výsledek. Výsledné hodnoty této varanty řešení včetně přídatných proměnných sou uvedeny v příloze č Hodnocení výsledků Během řešení zadané práce sem došla k několka různým výsledkům, ale ne všechny byly uspokové. Například v první varantě sem pracovala pouze s efektvním řezným plány a omezení nastavla ve tvaru rovnost. Tato varanta však neměla řešení. Proto sem v další varantě do řezného schématu zařadla neefektvní řezné plány, u kterých sce vznkal velký odpad, ten byl ale dále zpracovatelný. Omezení sem nastavla opět ako rovnost a vznkl odpad o velkost cm. Jelkož byl tento odpad přílš velký, vypracovala sem varantu 5.5.3, kde sou omezuící podmínky nastaveny ve tvaru větší nebo rovno s tím, že sem překročení nak nelmtovala. Výsledný odpad v této varantě sce čnl pouhých 3420 cm, ale počet desek na výrobu dřevěných ader se zvýšl nad množství 25

32 tolerované zadavatelem. Proto sem ve varantě přdala k omezuícím podmínkám překročení požadovaného množství o maxmálně 25 % nebo o maxmálně 50 %. Př překročení o max. 25 % vznkl odpad o velkost cm a př překročení o max. 50 % čnl odpad cm. Odpad u této varanty byl sce přatelný, ale překročené množství desek bylo pro zadavatele akceptovatelné pouze u některých délek. Proto sem navrhla konečnou varantu 5.5.5, kde zadavatel přesně určl, u kterých délek a na akou hodnotu bude možné navýšt požadované množství. Tato varanta e pro konkrétní zakázku následnou výrobu velm výhodná a zadavatel proto využe. Př této varantě e spotřebováno kusů desek rozměru 240 cm x 30,5 cm. Vznkl odpad o velkost cm, který nebude možné dále zpracovat a bude tedy zlkvdován. Oprot první varantě kdy omezuící podmínky byly nastaveny ve tvaru rovnost, se odpad snížl o 53,3 %. 5.7 Program v Excelu Jak sem postupně procházela různým fázem řešení, napadlo mě, že by se má bakalářská práce nemusela vztahovat pouze k této edné zakázce, ale mohla by frmě pomoc př řešení každodenních problémů s řezáním desek. Proto sem v Excelu vytvořla mn program, který může být zaměstnanc frmy denně využíván. Po několka méně povedených varantách sem dospěla k závěru, že nevhodněší bude řezný plán uspořádat do dvou tabulek. V edné tabulce e základní rozřezání celých desek a ve druhé tabulce zpracování vznklého odpadu z první tabulky. Pro přehlednost sem vznklý odpad z ednotlvých řezných plánů barevně rozlšla, čímž e na první pohled zřemé, které odpady sou vlastně zpracovávány. Tato varanta e důležtá také proto, že kombnací různých odpadů nám vznkaí stené délky výsledných desek a bez barevného rozlšení e obtížné se ve vznklých odpadech orentovat. Názornou ukázku uvádím na obrázku č. 4. Obrázek 4-Zpracování desek Pro požadovaný počet kusů na konkrétní den sem do programu vložla další tabulku. Tuto tabulku ako ednou bude vyplňovat zaměstnanec frmy. Tabulka e vyobrazena na obrázku č

33 Obrázek 5-Počty kusů Pro přehlednost sem pomocí excelovské funkce KDYŽ zastla, aby se ve výsledku zobrazovala čísla pouze u využtých plánů, a u těch nevyužtých aby bylo místo nuly prázdné políčko. Bez této funkce byla tabulka nepřehledná, zeména u ednocferných výsledků, kdy čísla splývala s nulou a dala se tak lehce přehlédnout. Dále sem na této stránce vytvořla tř tlačítka a pomocí Vsual Bascu e napola na makra. Jsou to tlačítka řešt, tsk a uložt. Zaměstnanec tedy en vyplní počty dřevěných desek, které sou na daný den naplánovány vyrobt. Poté klkne na tlačítko Řešt a ve výše uvedených tabulkách (obrázek č. 4) se mu zobrazí, ak a v akých počtech má desky nařezat a akým způsobem zpracovat vznklé odpady. Dále stskne tlačítko Tsk a na eden papír se mu vytsknou všechny tabulky, které s odnese do své dílny. Nakonec eště stskne tlačítko Uložt a tabulky se uloží do lstu archv, s datem vytvoření, kde sou kdykolv k nahlédnutí. Poté se všechny tabulky na lstu řešení vynuluí a sou přpraveny pro další použtí. Uložené tabulky v archvu se daí v případě potřeby ednoduše smazat bez vlvu na funkc programu. Pole s datem na lstu řešení sem nastavla pomocí funkce DNES tak, aby se př každém novém otevření programu nastavlo aktuální datum. Jak sem ž výše popsala, může mít zaměstnanec zadán přesný počet dřevěných desek, které maí být daný den a v daných rozměrech vyrobeny, ale také může dostat zadány en počty lyží, které musí na počty desek teprve převést. Proto mě eště napadlo tuto operac zaměstnanc zednodušt a pro případ potřeby sem do výsledné aplkace vytvořla eště převodní tabulku. Výše v tabulce č. 2 sem srozumtelně popsala postup, ak ze zadaného počtu lyží získáme počet desek (tedy pravé strany omezení), které se musí vyrobt. Tuto tabulku sem ve velm zednodušené formě převedla do výsledné aplkace. Zaměstnanec tedy pouze v případě potřeby vyplní počty lyží, které maí být vyrobeny, a automatcky se mu vypočítá, kolk bude na množství lyží v dané délce potřebovat dřevěných desek. Tyto hodnoty zaměstnance už en zadá do tabulky, která e k tomu určena (obrázek č. 5) a může nechat úlohu vyřešt. Tato nová tabulka není napoená na makra an se neukládá spolu s dalším tabulkam do archvu, neboť slouží en ako pomocná pro případ potřeby a není důvod ukládat. Získané hodnoty, sou vždy uvedeny v tabulce, kterou ručně vyplňue zaměstnanec př řešení každé úlohy a tedy uloženy. Přepočítací tabulka e vyobrazena na obrázku č

34 Obrázek 6-Přepočítací tabulka Další problém, který sem řešla na tomto lstu, bylo nezobrazování celkového odpadu. Účelovou funkc sem nastavla ako mnmalzační a hodnotu vznklého odpadu ž na lstu řešení nezobrazu, protože př této varantě není důležtá. Pro případ potřeby e k nahlédnutí ve skrytém lstu zadání. Naopak dle mého názoru e důležté, aby byl zobrazován celkový počet desek, které e nutné na danou zakázku vyskladnt. Konečná verze aplkace e zobrazena na obrázku č. 7. Obrázek 7-Aplkace Jelkož mé znalost Vsual Bascu nestačly na vytvoření některých částí této aplkace tak, aby odpovídala mým představám, byla sem nucena e konzultovat. Jednalo se především o přenesení funkce řeštele z lstu zadání na tlačítko řešt na lst řešení. Na základě těchto odborných rad sem prác dokončla dle mých představ. Aplkace e přložena na CD. 28

35 Závěr Tato bakalářská práce se prmárně zabývá ednou z typckých úloh lneárního programování, a sce úlohou o optmálním dělení materálu. Jelkož e pro úlohy o optmálním dělení materálu důležté, aby výsledky byly v celých číslech, věnovala sem první kaptolu celočíselnému programování. Vysvětlla sem, co vlastně e celočíselné programování, v akých úlohách se využívá a aké sou metody pro řešení úloh celočíselného programování. V dalších dvou kaptolách sem se zaměřla na typcké a netypcké cíle př řešení úloh o optmálním dělení materálu. Mez typcké cíle patří mnmalzace celkové odpadu a mnmalzace spotřebovaného materálu. Mez netypcké cíle zahrneme například úlohy s prořezy, úlohy o svařování a mnohé další. S některým z těchto úloh sem se setkala v praktcké část práce. Nedůležtěší částí této práce e praktcká úloha dělení materálu ve frmě, zabývaící se výrobou lyží. Od prvotních řešení s využtím pouze efektvních řezných plánů sem se postupně dopracovala k řešením s využtím neefektvních plánů, u nchž e zase zpracováváno velké množství odpadu. Dále sem se zabývala varantam řešení se změnam v omezuících podmínkách, ať už změny ve znaménku (v našem případě = nebo ) nebo změny pravých stran. Všechny tyto změny vedly v konečném důsledku ke zlepšení výsledných hodnot. Prmárním cílem této práce bylo dělení dřevěných desek, používaných k výrobě lyží, tak aby vznklý odpad byl co nemenší. Po několka úpravách řešení sem se ke konečné varantě úspěšně dopracovala a cíl práce byl splněn. Teoretcky možným rozšířením práce by mohla být mnmalzace počtu použtých desek. Já sem tuto úlohu nezpracovávala, protože počet desek na konkrétní lyže e ž předem přesně zadán technologí výroby. Na základě nových poznatků sem se navíc rozhodla vypracovat malou aplkac v Excelu, která poslouží frmě pro řešení každodenních problémů př řezání dřevěných desek. Jedná se o mn program, kde zaměstnanec frmy vyplní počty lyží, které e potřeba vyrobt daný den. Program automatcky vypočítá kolk desek a v akých délkách e na danou zakázku nutno nařezat. Zároveň zaměstnanc ukáže kolk desek velkost 244x30,5 cm musí na danou zakázku vyskladnt. Výsledek každé úlohy s může zaměstnanec vytsknout a následně uložt do archvu. Po uložení se celý program vynulue a přpraví k dalšímu použtí. Kromě vyřešení zadaného úkolu pokládám toto za svů přínos pro frmu. Práce m dala spoustu nových znalostí a zkušeností. Př řešení praktcké část práce sem s vyzkoušela reálnou úlohu o optmálním dělení materálu ak s typckým tak netypckým cíl. Díky řešení tohoto problému sem navíc získala nový pohled na problematku nakládání s odpady ve frmě. Všechny výstupy, ke kterým sem během řešení dospěla, sou uvedeny v příloze a dále přkládám CD s aplkací v Excelu. 29

36 Seznam použté lteratury [1] FÁBRY, Jan a Josef JABLONSKÝ. Matematcké modelování: kvanttatvní metody pro ekonomcké rozhodování. Vyd. 1. Praha: Oeconomca, 2007, 146 s. ISBN [2] FIALA, Petr. Modely a metody rozhodování. Vyd. 1. Praha: Oeconomca, 2003, 292 s. ISBN X. [3] JABLONSKÝ, Josef. Programy pro matematcké modelování. Vyd. 1. Praha: Oeconomca, 2007, 258 s. ISBN [4] JABLONSKÝ, Josef. Operační výzkum: kvanttatvní metody pro ekonomcké rozhodování. 3. Vyd. Praha: Professonal Publshng, 2007, 323 s. ISBN [5] LAGOVÁ, Mlada a Josef JABLONSKÝ. Lneární modely. Vyd. 1. Praha: Oeconomca, 2004, 286 s. ISBN [6] LAGOVÁ, Mlada. Lneární modely v příkladech. 1.vyd. Praha: Vysoká škola ekonomcká, 2002, 273 s. ISBN [7] LAGOVÁ, M., KALČEVOVÁ, J. Přednášky k předmětu 4EK [8] PELIKÁN, Jan. Dskrétní modely. Vyd. 1. V Praze: Vysoká škola ekonomcká v Praze, 1999, 163 s. ISBN Webové stránky [9] Otázky ke II. část písemné zkoušky [onlne] [ct ]. Dostupné z: [10] LYŽE LUSTI [onlne] [ct ]. Dostupné z: 30

37 I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. XIII. XIV. XV. XVI. XVII. XVIII. XIX. XX. XXI. XXII. XXIII. XXIV. XXV. XXVI. XXVII. XXVIII. XXIX. Přílohy Příloha č. 1: Řezné schéma 160 cm 150 cm 140 cm 100 cm 85 cm 75 cm Odpad vč. prořezů Použtelný odpad ,5 8,5 18,5 3,5 18,5 28,5 43,5 58,5 68,5 73,5 8,5 18,5 83,5 93,5 103,

38 Příloha č. 2: Řešení ve tvaru rovnost Proměnná Hodnota x1 7 x2 0 x3 0 x4 349 x5 0 x6 0 x7 342 x8 20 x9 657 x x11 0 x12 0 x x14 0 x15 0 x16 0 x17 0 x18 0 x19 0 x20 0 x21 0 x22 0 x23 0 x24 0 x25 0 x x27 0 x28 20 x Hodnoty proměnné x znamenaí, že řezný plán x 1 bude využt 7 krát, x krát, x krát, x 8 20 krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x krát a ostatní plány využty nebudou. Hodnota účelové funkce (celkový odpad) ční cm. 32

39 Příloha č. 3: Řešení ve tvaru nerovnost Proměnná Hodnota x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0 x6 0 x7 0 x8 513 x x10 0 x11 0 x12 0 x x x15 0 x16 0 x17 0 x18 0 x19 0 x20 0 x21 0 x22 0 x x24 0 x25 0 x26 0 x27 0 x x29 0 Hodnoty proměnné x znamenaí, že řezný plán x 8 bude využt 513 krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x krát a ostatní plány využty nebudou. Přídatné proměnné: 160 cm chtěl sme vyrobt 540 ks desek ale máme o 135 ks více, tedy 675 ks, 150 cm chtěl sme vyrobt 513 ks desek ale máme o 128 ks více, tedy 641 ks, 140 cm chtěl sme vyrobt 513 ks desek ale máme o 128 ks více, tedy 641 ks, 100 cm chtěl sme vyrobt 1710 ks desek a máme přesně 1710 ks, 85 cm chtěl sme vyrobt 308 ks desek ale máme o 76 ks více, tedy 384 ks, 75 cm chtěl sme vyrobt 664 ks desek ale máme o 152 ks více, tedy 816 ks. Hodnota účelové funkce (celkový odpad) ční cm. 33

40 Příloha č. 4: Řešení ve tvaru nerovnost s překročením požadovaného množství o 25 % Proměnná Hodnota x1 0 x2 0 x3 0 x4 432 x5 0 x6 0 x7 214 x8 34 x9 816 x x11 0 x12 0 x13 34 x x15 0 x16 0 x17 0 x18 0 x19 0 x20 0 x21 0 x22 0 x x24 0 x25 0 x26 0 x27 0 x28 34 x Hodnoty proměnné x znamenaí, že řezný plán x 4 bude využt 432 krát, x krát, x 8 34 krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x 28 34, x krát a ostatní plány využty nebudou. Přídatné proměnné: 160 cm chtěl sme vyrobt 540 ks desek ale máme o 1170 ks více, tedy 1710 ks, 150 cm chtěl sme vyrobt 513 ks desek ale máme o 684 ks více, tedy 1197 ks, 140 cm chtěl sme vyrobt 513 ks desek a máme přesně 513 ks, 100 cm chtěl sme vyrobt 1710 ks desek a máme přesně 1710 ks, 85 cm chtěl sme vyrobt 308 ks desek ale máme o 205 ks více, tedy 513ks, 75 cm chtěl sme vyrobt 664 ks desek ale máme o 533 ks více, tedy 1197 ks. Hodnota účelové funkce (celkový odpad) ční cm. 34

41 Příloha č. 5: Řešení ve tvaru nerovnost s překročením požadovaného množství o 50 % Proměnná Hodnota x1 0 x2 0 x3 0 x4 519 x5 0 x6 0 x7 85 x8 40 x9 981 x x11 0 x12 0 x13 40 x x15 0 x16 0 x17 0 x18 0 x19 0 x20 0 x21 0 x22 0 x23 70 x24 0 x25 0 x26 0 x27 0 x28 40 x Hodnoty proměnné x znamenaí, že řezný plán x 4 bude využt 519 krát, x 7 85 krát, x 8 40 krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x 28 40, x krát a ostatní plány využty nebudou. Přídatné proměnné: 160 cm chtěl sme vyrobt 540 ks desek ale máme o 270 ks více, tedy 810 ks, 150 cm chtěl sme vyrobt 513 ks desek ale máme o 257 ks více, tedy 770 ks, 140 cm chtěl sme vyrobt 513 ks desek ale máme o 257 ks více, tedy 770 ks, 100 cm chtěl sme vyrobt 1710 ks desek a máme přesně 1710 ks, 85 cm chtěl sme vyrobt 308 ks desek ale máme o 154 ks více, tedy 462 ks, 75 cm chtěl sme vyrobt 664 ks desek ale máme o 317 ks více, tedy 981 ks. Hodnota účelové funkce (celkový odpad) ční cm. 35

42 Příloha č. 6: Řešení s navýšením u určených typů lyží Proměnná Hodnota x1 0 x2 0 x3 0 x4 216 x5 0 x6 0 x7 361 x8 156 x9 616 x10 76 x11 0 x12 16 x x x x16 0 x17 0 x18 0 x19 0 x20 0 x21 0 x22 0 x23 0 x24 0 x x x x28 0 x29 76 Hodnoty proměnné x znamenaí, že řezný plán x 4 bude využt 216 krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x krát, x , x , x krát, x krát a ostatní plány využty nebudou. Přídatné proměnné: 160 cm chtěl sme vyrobt 540 ks desek a máme přesně 540 ks, 150 cm chtěl sme vyrobt 513 ks desek ale máme o 337 ks více, tedy 850 ks, 140 cm chtěl sme vyrobt 513 ks desek ale máme o 337ks více, tedy 850 ks, 100 cm chtěl sme vyrobt 1710 ks desek a máme přesně 1710 ks, 85 cm chtěl sme vyrobt 308 ks desek a máme přesně 308 ks, 75 cm chtěl sme vyrobt 664 ks desek a máme přesně 664 ks. Hodnota účelové funkce (celkový odpad) ční cm. 36

43 Příloha č. 6: Smplexová metoda Prncp smplexové metody Smplexová metoda se často používá pro nalezení optmálního řešení 1 úloh lneárního programování. Je to metoda založená na teračním postupu výpočtu. Umožňue efektvně využít základní větu LP ( Jestlže má úloha LP optmální řešení, má také optmální řešení základní. ). Smplexová metoda prohledává množnu základních řešení 2 úlohy lneárního programování a snaží se nalézt optmální řešení. Počet terací e konečný, proto e výsledek na konc vždy přesně zštěn. Buď může být nalezeno optmální řešení s nelepší hodnotou účelové funkce (v případě maxmalzace e hodnota účelové funkce co nevyšší, v případě mnmalzace e hodnota účelové funkce naopak co nenžší), nebo se zstí, že optmální řešení úlohy neexstue. Není však nutné počítat všechna základní řešení, můžeme s vybírat pouze základní přípustná řešení 3 a z nch potom en taková, která sou s ohledem na hledaný extrém přínosná. Znamená to vlastně sledovat cestu, která vede přes základní přípustná řešení k základnímu optmálnímu řešení. (Ctace z [7, přednáška č. 3, str. 8]) Výpočet pomocí smplexové metody můžeme rozdělt do dvou základních fází. První fáze se zaměřue na nalezení nebo výpočet výchozího základního řešení úlohy lneárního programování. Má-l úloha lneárního programování přípustné řešení, musí být alespoň edno z nch základní. Pokud metoda žádné základní přípustné řešení úlohy LP nenade, neexstue an přípustné řešení úlohy. (Ctace z [1, str. 31]) Pokud však e smplexovou metodou nalezeno základní přípustné řešení úlohy LP, pokračue výpočet druhou fází. Druhá fáze e terační postup, který vede k samotné optmalzac účelové funkce. Jedná se vlastně o postupné prozkoumávání množny základních řešení zadané úlohy lneárního programování. Každá další terace nám poskytne nové základní řešení, které nabízí lepší hodnotu účelové funkce. Př využtí smplexové metody nezískáme v průběhu výpočtu nkdy horší řešení, než aké ž máme, proto e smplexová metoda nazývána efektvním algortmem. Pokud an toto nově vznklé řešení není optmální, pokračueme další terací. Př řešení můžeme doít ke dvěma závěrům. Optmální řešení úlohy buď exstue, nebo neexstue. Pokud bylo pomocí smplexové metody nalezeno optmální řešení, e nutné otestovat, estl se v úloze nachází pouze edné optmální řešení, nebo estl exstue tzv. alternatvní optmální řešení. Úloha LP má buď edno optmální řešení, nebo má nekonečně mnoho optmálních řešení. Na obrázku č. 8. vyobrazu grafcké znázornění, všech možností řešení. 1 Optmální řešení = přípustné řešení s nelepší hodnotou účelové funkce. 2 Základní řešení úlohy = takové přípustné řešení, které má maxmálně tolk nenulových složek, kolk e lneárně nezávslých omezení. 3 Přípustné řešení = vyhovue všem omezuícím podmínkám úlohy (vlastním omezením a podmínkám nezápornost). 37

44 Jedné optmální řešení Alternatvní optmální řešení Úloha nemá optmální řešení Úloha nemá přípustné řešení Obrázek 8 - Možnost řešení [1, str. 31] Pro lepší představvost sem prncp smplexové metody zakreslla do schématu algortmu na obrázku č. 9. Začátek Nalezení výchozího ZPŘ úlohy LP Exstue? Ne Ano Je to optmální řešení? Ano Je to edné optmální řešení? Ano Úloha LP nemá přípustné řešení Ne Nalezení nového ZŘ úlohy LP s lepší hodnotou účelové funkce Ne Úloha LP má nekonečně mnoho optmálních řešení Pops množny optmálních řešení Úloha LP má edné optmálních řešení Ano Exstue? Ne Úloha LP nemá optmální řešení Obrázek 9 Schéma algortmu [1, str. 32] Konec 38