FREKVENČNÍ ANALÝZA VZPÍRANÉHO PRUTU

Transkript

1 Proceedings of the 8 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Bildings October - Bratislava Slovakia Faclty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS FREKVENČNÍ ANAÝZA VZPÍRANÉHO PRUTU Michal Štafa Petr Frantík Tomáš Pail Abstract The paper is focsed on change of eigenfreqencies of a slender cantilever beam which is loaded in compression. Two ways were sed for loading the beam: compressive force and displacement of beam endpoint. ÚVOD Článek je zaměřen na vývoj vlastních frekvencí štíhlého konzolového prt vlivem zatížení ve vzpěr. Zatížení na konci konzoly je realizováno dvěma způsoby: silo a vnceným posntím. Motivací bylo porovnání s pblikovanými výsledky získanými experimentem včetně sovisejících tezí [] a průzkm postkritické oblasti. Štíhlý pržný a dokonale přímý prt může vlivem tlakové síly působící ve směr jeho nepřetvořené osy ztratit stabilit při dosažení kritického bod jenž je pro zatěžjící síl dán známým výrazem: EI F kde F je kritická velikost zatěžjící síly EI je ohybová thost průřez a je tzv. kritická délka prt přičemž pro konzolový nosník je kriticko délko dvojnásobek délky nosník tedy platí. Je-li prt dokonale přímý a má-li normálovo thost EA pak je kritické síly dosaženo koncovým posntím prt o hodnot pro ktero platí: i A I EA F kde i je poloměr setrvačnosti průřez A je plocha průřez a I je moment setrvačnosti. Postkriticko velikost posntí koncového bod lze pro přímý a štíhlý prt analyticky získat díky Ržanicinov řešení [7] ve tvar: sin θ H K K EI F K H EA F r r r kde θ je koncové pootočení nosník které zde složí jako parametr iterativního řešení. Tento parametr je třeba iterativně nalézt právě takový aby velikost síly F r byla rovna velikosti zatěžjící síly F. Ing. Michal Štafa Ústav stavební mechaniky Faklta stavební Veveří 95 Brno stafa.m@fce.vtbr.cz. Ing. Petr Frantík Ph.D. dtto kitnarf@centrm.cz. Ing. Tomáš Pail dtto pail.t@fce.vtbr.cz.

2 8 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Bildings October Bratislava Dodejme že výraz je ve smysl sperpozice stlačení prt a jeho vybočení přibližný jelikož při velkém vybočení není celý prt stejnoměrně normálově namáhán obecně je část střednice prt tlačena a část tažena. K vedeném Ržanicinov řešení které je doposd odborné veřejnosti málo známé doplňme výraz pro výpočet vybočení volného konce prt w [7]: w. K První vlastní frekvenci nezatíženého konzolového prt konstantního průřez f můžeme odhadnot výrazem jenž zanedbává vliv smykového přetvoření a rotační setrvačnosti []: kde m je hmotnost prt. f.875 EI 5 m MODE Nosník je modelován pomocí fyzikální diskretizace jejíž implementace je volně dostpná ve formě aplikace FyDiKD [] a stejnojmenné Java knihovny s otevřeným zdrojovým kódem pod licencí GNU GP []. Podrobný popis diskretizační metody lze nalézt v []. Takto vytvořený nmerický model je schopný vyřešit dano úloh plně nelineárně zde se jedná především o geometricko nelinearit v rámci dané diskretizace. Fyzikální vlastnosti model prt jso následjící: délka vyložení prt.9 metr modl pržnosti materiál E GPa objemová hmotnost kg/m plocha průřez A -5 m hmotnost prt.9 kg moment setrvačnosti průřez prt I -8 m. Tlmení je voleno různě takové aby významně neovlivňovalo požadované výsledky. Optimálně velké tlmení pro hledání statických stavů optimálně malé pro frekvenční analýz. Prt je rozdělen na 9 dílků dvacátý dílek složí jako vetkntí přičemž prodlžje prt na délk dva metry viz obr.. Obr.. Model vybočeného prt zatíženého vnceným posntím volného konce včetně realizace vetkntí pomocí jednoho dílk Pro účely výpočt vlastních frekvencí je model zatížen počátečními podmínkami které vedo k jeho rozkmitání. Doba simlace a zároveň perioda rychlé Forierovy transformace se přizpůsobje řešeném problém tak aby co nejpřesněji vystihla nejnižší vlastní frekvence. VÝSEDKY VÝPOČTU Nejprve porovnejme vlastnosti nmerického model a teoretického prt. Prt má kriticko síl dle výraz F.98 N a první vlastní frekvenci při volném kmitání podle výraz f.9 Hz. Výše popsaný nmerický model s 9 respektive dílci má kriticko síl přibližně F.875 ±.5 N a první vlastní frekvenci při volném kmitání f.87 ±.5 Hz. Rozdíly činí.8% v kritické síle a.% v nalezené první vlastní frekvenci. Další porovnání teoretického řešení ideálního prt s nmerickým který byl získán dynamicko simlací vidíme na obr.. Simlace byla provedena nezávisle ze dvo směrů. Od nlové síly po kriticko a od síly N. F zpět rovněž po její kriticko hodnot. Zobrazeny jso fnkce postkritických hodnot obo posnů volného konce konzoly. V těchto rozsazích jso rozdíly mezi řešeními prakticky nerozeznatelné. Pro posození velikosti odchylek složí graf na obr.. Zde jso zobrazeny absoltní odchylky mezi teoretickým a nmerickým řešením. Připomeňme že nmerické řešení bylo získáno dynamicko simlací což je patrné zejména na výkmit zcela vpravo který je způsoben spštěním zatěžování posntím. Další velký výkmit se

3 8 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Bildings October Bratislava týká dosažení kritické síly kde je systém nestabilní a jeho stalování by trvalo neúnosně dloho. Je zde jasně vidět typický problém při dosažení bifrkačního bod / w/ w F/F Obr.. Průběh posnů volného konce při vybočení ideálního prt zobrazeny jso hodnoty vybočení poze na jedn stran F/F / w/ w Obr.. Odchylky řešení posnů volného konce získané dynamickým výpočtem a výpočtem dle výraz pro ideální prt Z graf odchylek na obr. je patrné jak přesně nmerický model s 9 dílci vystihje teoretické řešení. Poznamenejme že grafy jso transformovány do bezrozměrných tvarů přičemž toto transformací mizí výše vedený rozdíl mezi kritickými silami. Na obr. je vidět další porovnání tentokrát výsledků nmerických řešení vybočení w pro ideální a imperfektovaný prt. Imperfekce je zde zvolena geometrická ve tvar kržnice s poloměrem km s odpovídajícím koncovým příčným posntím w.9 m poloměr vztažen k délce m. Imperfektovaný prt se chová typicky jako systém se sperkriticko vidličkovo bifrkací který je postižen ztráto symetrie pojednáno podrobněji v [5].

4 8 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Bildings October Bratislava.8.7 w/ ideální imperfektovaný F/F Obr.. Průběh vybočení volného konce pro ideální a imperfektovaný prt zobrazeny jso hodnoty vybočení poze na stran imperfekce Dále zobrazené grafy a bitmapy znázorňjí výsledky frekvenční analýzy kmitání zatíženého nosník pomocí rychlé Forierovy transformace. Jso zde celkem čtyři varianty. Jedná se o kombinaci ideálního obr. 5 7 a imperfektovaného prt obr. 8 s imperfekcí kvantifikovano výše se zatěžováním silo obr. 5 a vnceným posnem koncového bod obr Bitmapy v monochromatické stpnici zvýrazněné gama korekcí zobrazjí výsledná amplitdová spektra pro různé úrovně velikosti síly F respektive velikosti statické reakce v případě vnceného posn. Velikost amplitdy je v tomto případě znázorněna odstínem šedé tj. čím tmavější barva tím vyšší amplitda. Grafy vlevo od bitmap zvýrazňjí průběhy první vlastní frekvence. Jedině imperfektovaný prt zatěžovaný posntím obr. 8 vykazje v prekritické oblasti poměrně překvapivý vývoj který byl prezentován i v článk []. Jedná se o strmý nárůst první vlastní frekvence před dosažením kritické síly ideálního prt. Minimm vlastní frekvence zde zřejmě nebde vhodným kazatelem kritické síly ideálního prt odpovídá síle přibližně F. ±. N. Obr. 5. Výsledek frekvenční analýzy ideálního prt zatěžovaného silo vlevo průběh první vlastní frekvence vpravo amplitdové spektrm

5 8 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Bildings October Bratislava Obr.. Výsledek frekvenční analýzy imperfektovaného prt zatěžovaného silo vlevo průběh první vlastní frekvence vpravo amplitdové spektrm Obr. 7. Výsledek frekvenční analýzy ideálního prt zatěžovaného vnceným posntím vlevo průběh první vlastní frekvence vpravo amplitdové spektrm Z postkritických průběhů zatěžování posntím obr. 7 a 8 lze vyvozovat že zamezení posntí volného konce úloh podstatně mění což se zřejmě projevilo na výše zmíněném překvapivém vývoji vlastní frekvence imperfektovaného prt v prekritické oblasti. Poznamenejme že postkritické kmitání prt zatěžovaného silo je ve smysl frekvenční analýzy značně závislé na požitých počátečních podmínkách jelikož prt kmitá ve velkých deformacích kmity jso periodické ale nikoliv harmonické. Tento fakt má ntně za následek komplikovaný výsledek Forierovy transformace viz obr. 5 a. Dále je ntné dodat že prt ve velkých deformacích i při malém tlmení mění svoji frekvenci s klesajícím rozkmitem což se projevje na rozmazání amplitdového spektra rovněž patrné na obr. 5 a.

6 8 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Bildings October Bratislava Obr. 8. Výsledek frekvenční analýzy imperfektovaného prt zatěžovaného vnceným posntím vlevo průběh první vlastní frekvence vpravo amplitdové spektrm ZÁVĚR Článek se věnoval nmerickém řešení první vlastní frekvence konzolového nosník zatíženého vzpěrno silo nebo odpovídajícím posntím koncového bod. K výpočt frekvence bylo požito rychlé Forierovy transformace. Ukázalo se že zatěžování vnceným posntím koncového bod úloh zásadně mění i v prekritické oblasti v případě že je prt imperfektovaný. Zároveň vncené posntí výrazně zvyšje první vlastní frekvenci v postkritické oblasti. Konkrétně zhrba na trojnásobek vlastní frekvence volně kmitajícího nezatíženého prt. Teze vedené v článk [] lze považovat za částečně podložené v rámci teorie malých deformací. Z provedených simlací je zřejmé že žádná z měřených veličin nevykazje neomezený růst ačkoliv k tom v lokálním smysl teorie malých deformací dochází. Jinak řečeno: zanedbání výrazné geometrické nelinearity vlivem velkých deformací toho systém vede k výsledkům dosahjícím nekonečných hodnot v případě vybočení prt a první vlastní frekvence. PODĚKOVÁNÍ Článek byl vytvořen v rámci projekt GA ČR /8/75 a výzkmného centra MŠMT M579 CIDEAS. ITERATURA [] Brepta R. - Půst. - Trek F.: Mechanické kmitání Technický průvodce 7 nakladatelství Sobotáles Praha 99. [] Frantík P.: FyDiKD Application: 7. [] Frantík P.: FyDiKD Package: GNU GP licence 9. [] Frantík P.: Diskrétní model FyDiKD sborník mezinárodní konference Modelování v mechanice 9 VŠB-TU Ostrava Česká repblika 9. [5] Frantík P. - Macr J.: Kritická síla imperfektovaných systémů sborník konference Modelování a měření nelineárních jevů v mechanice Nečtiny Česká repblika. [] Nagyová M. - Ravinger J.: Prút namáhaný tlakom experiment sborník mezinárodní konference Modelování v mechanice VŠB-TU Ostrava Česká repblika. [7] Ržanicin A. R.: Ustojčivost' ravnovesija prgich sistem Gosdarstvennoje izdatel'stvo technikoteoretičeskoj literatry Moskva 955.