1. Tlumení stavebních konstrukcí 2. Volné tlumené kmitání 3. Vynucené netlumené kmitání 4. Soustavy s konečným počtem stupňů volnosti 5.

Transkript

1 Jiří Máca - katedra mechaniky - B35 - tel maca@fsv.cvt.cz 1. Tlmení stavebních konstrkcí. Volné tlmené kmitání 3. Vyncené netlmené kmitání 4. Sostavy s konečným počtem stpňů volnosti 5. Příklady

2 1. Tlmení stavebních konstrkcí Tlmení, útlm schopnost materiál nebo konstrkce přeměnit kineticko energii v jino (mění se v trvalé deformace, tepelno energii apod.) příznivě se projevje zmenšováním výchylek kmitajících konstrkcí Zdroje útlm: materiálový (vnitřní) útlm vnitřní tření ve strktře materiál strktrální útlm na rozhraní různých materiálů, v oblasti trhlin konstrkční útlm ve spojích mezi elementy (ložiska, styky apod.) obklopjící prostředí aerodynamický (spolkmitající vzdch) geometrický (šíření vln v podloží) tlmiče vibroizolace (pržná vrstva např. pryž, ocelové pržiny) dynamické pohlcovače (hmota připevněná pomocí pržného a tlmicího prvk ke konstrkci)

3 Systémy pohlcování kmitání 3 Pasivní rozkmitání přídavné hmoty bez externího zdroje energie + levné, jednodché, spolehlivé - omezená oblast požití

4 Systémy pohlcování kmitání pasivní 4 Millenim Bridge London

5 Systémy pohlcování kmitání - pasivní pohlcovač (TM = tned mass damper) 5 Taipei11, Taiwan 4, 58 m 11 podlaží + 5 podzemních vítr - 6m/s zemětřesení - doba návrat 5 let TM 66 tn podlaží

6 Systémy pohlcování kmitání Aktivní do systém je dodávána energie pomocí řízeného zdroje obecné síly (elektrohydralické nebo elektromechanické aktátory - pohony), velké externí zdroje energie doplnění systém pasivního tlmení o snímače pohyb, vyhodnocovací systém a silové prvky + širší frekvenční oblast požití - dražší, méně spolehlivý 6 pohlcovač silový prvek (aktátor) primární hmota

7 Systémy pohlcování kmitání - aktivní pohlcovač (inteligentní) John Hancock Tower, Boston (USA), podlaží, 41 m 7 TM x 7 tn (5, m x,9 m) 57. podlaží možnost rozkmit ± 1,9 m ovládané elektronicky řízenými hydralickými lisy

8 8. Volné tlmené kmitání Nepůsobí žádná bdicí síla, pohyb je vyvolán nenlovými počátečními podmínkami tlmicí síla závisí na rychlosti kmitání viskózní útlm m( t) c( t) k( t) obecné řešení homogenní rovnice ( m c k) Ce t sočinitel tlmení (kg s -1 ) () t Ce t c c 1, m m Kritický útlm: c k m m ccr km

9 9. Volné tlmené kmitání Odezva závisí na relativních hodnotách thosti, hmotnosti a tlmení c Poměrný útlm: Útlm: c ccr c cr ccr ccr m m 3 typy odezvy (v závislosti na ξ ): a) Nadkritický útlm: 1, 1 1 1, 1 1t () t Ae Be b) Kritický útlm: 1 1, t () t e A Bt (dává se v % kritického útlm) t neperiodický pohyb

10 1. Volné tlmené kmitání c) Podkritický útlm: 1 1, i 1 i ( t) e t cos t sin t C S vlastní krhová frekvence tlmeného kmitání t () () kritický útlm podkritický útlm 1 nadkritický útlm t T Pro stavební konstrkce (pozemní a inženýrské konstr.) je hodnota útlm,

11 11. Volné tlmené kmitání Řešení tlmeného kmitání při podkritickém útlm ( t) e t cos t sin t C S e 1 Integrační konstanty C, S se stanoví z počátečních podmínek pohyb t () t () () cos sin () C S C ( t) e t cos t sin t S C C S () S C S () () () () t ( t) e ()cos t sin t

12 1. Volné tlmené kmitání Řešení pohybové rovnice pomocí amplitdy a fáze t e t t ( ) sin( ) amplitda C S arc tg C úhel fázového posntí S (t) e t netlmené kmitání tlmené kmitání (ξ =,5) t e t T T T T 1 vlastní perioda

13 13. Volné tlmené kmitání Sočinitel tlmení lze rčit z odezvy při volném kmitání pomocí poměr dvo za sebo následjících výchylek T T T t ( i ) ( t T ) i e T e 1 Logaritmický dekrement útlm t ( i ) ln ( t ) i T 1 pro malý útlm:

14 14. Volné tlmené kmitání Logaritmický dekrement se často rčje pomocí experimentálních záznamů kmitání z poměr výchylek po n-tém kmit 1 t ( ) ln i n ( t nt ) i Pro malé hodnoty poměrného útlm, platí: pro, 1, T T T 1 1

15 15. Volné tlmené kmitání Sočinitel poměrného útlm (orientační hodnoty v %) svařovaná ocel, předpjatý beton, železobeton bez trhlin železobeton s trhlinami šrobovaná, nýtovaná ocel, dřevo hodnoty v levém slopci jso rčeny pro konzervativní návrh s vyššími požadavky na bezpečnost, hodnoty v pravém slopci jso pro běžné konstrkce (úroveň namáhání více než 5% meze klz) Sočinitel poměrného útlm (hodnoty v % podle ASCE) svařovaný hliník, svařovaná ocel, ocel s předpjatými šroby 4 předpjatý beton 5 železobeton, šrobovaná ocel 7 Sočinitel poměrného útlm (hodnoty v % podle EC8 - seizmicita) běžné konstrkční systémy 5 disipace v podloží

16 16 3. Vyncené tlmené kmitání (t) F(t) F(t) Harmonická bdicí síla F( t) F sint m( t) c( t) k( t) F sint A m( t) c( t) k( t) F( t) A F A - amplitda ω - bdicí krhová frekvence obecné řešení = řešení homogenní rov. + partiklární řešení partiklární řešení ( t) sint cost p S C

17 17 3. Vyncené tlmené kmitání rčení konstant S a C dosazení partiklárního řešení do pohybové rovnice stálené kmitání ( t) cost sint p S C p S C ( t) sint cost sin cos cos sin k t t c t t S C S C m sint cost F sint ( ) k m c F S S C A S C A c k m ( ) C 1 (1 ) ( ) S C F k A F k A (1 ) ( ) c c cr c km

18 18 3. Vyncené tlmené kmitání partiklární řešení - vyjádření pomocí amplitdy a fáze FA 1 A S C k (1 ) ( ) p( t) Asin( t ) C arctg arctg 1 S cos sin S A C A obecné řešení = přechodové kmitání + stálené kmitání kmitání s vlastní frekvencí s frekvencí bdicí síly ( t) e t cos t sin t sin t cos t C S S C

19 19 3. Vyncené tlmené kmitání obecné řešení = přechodové kmitání + stálené kmitání kmitání s vlastní frekvencí s frekvencí bdicí síly alternativní vyjádření t e t t t ( ) sin( ) sin( ) A Pro stálené kmitání mimo oblast rezonance 1 a pro malý útlm, platí: Obecné řešení pro počáteční podmínky () ; () malý útlm kmitání mimo rezonanci A t ( t) sint e sin t A

20 3. Vyncené tlmené kmitání FA Obecné řešení pro nlové počáteční podmínky a st 1 k stálené kmitání (dominantní část odezvy) ( t) sint A přechodové kmitání (exponenciální pokles v čase) t () t ( t) e sin t A st,5,1 t/t

21 1 3. Vyncené tlmené kmitání Obecné řešení pro nlové počáteční podmínky Ft () F( t) F sint A bdicí síla t t ( t) e sin t A přechodové kmitání t () t () t ( t) sint A stálené kmitání vyncené tlmené kmitání t obecné řešení t ( t) Asint e sint

22 3. Vyncené tlmené kmitání Rezonanční křivka - stálené harmonické kmitání F ( t) ( ) sin( ) A p t A t sin( t ) k A A 1 dynamický sočinitel F st A (1 ) ( ) k úhel fázového posntí arctg 1 fázové posntí je zpoždění odezvy vzhledem k bdicí síle: pro odezva je ve fázi s bdicí silo (φ ) odezva je v protifázi s bdicí silo (φ π) odezva je maximální, je-li bdicí síla nlová (φ π/ )

23 3 3. Vyncené tlmené kmitání Rezonanční křivka - stálené harmonické kmitání A st fázová charakteristika rezonance ω = ω A st 1 Pozn.: maximální výchylka je pro 1

24 4 3. Vyncené tlmené kmitání Stav rezonance ω = ω časový průběh výchylky t FA 1 ( t) e C cost S sint cost k pro nlové počáteční podmínky a malý útlm F 1 F ( ) A t e t 1 cos max t ( ) A t k k platí 1 t () st 1 t výchylka dosahje stálené (konečné) hodnoty,1

25 5 3. Vyncené tlmené kmitání Odezva na obecné zatížení hamelův integrál základní myšlenka libovolné zatížení F(t) je vyjádřeno jako spojité působení implzů síly odezva na jednotkový implz h t 1 e t ( ) ( t ) sin ( ) m výsledná odezva = sočet odezev na jednotlivé implzy t ( t) F( ) h( t ) d

26 6 4. Sostavy s konečným počtem stpňů volnosti Ustálené harmonické kmitání K ( t) C( t) M ( t) f( t ) f( t) f sint f cost odezva S ( t) sint cost S ( t) cost sint S C ( ) S sin C cos t t t sint cost cost sint K C S C S C M S C fs fc sint cost sint cost C C ( ) K M C f S C S CS ( K M) C fc S ; C sostava N algebraických rovnic (N = počet st. volnosti)

27 7 4. Sostavy s konečným počtem stpňů volnosti Ustálené harmonické kmitání ( ) K M C f S C S CS ( K M) C fc S ; C i-tá složka vektor (t) ( t) sint cost sin( t ) i is ic ia i ia is ic i arctg ic is

28 8 4. Sostavy s konečným počtem stpňů volnosti Rozklad do vlastních tvarů modální analýza základní idea: odezva se stanoví jako kombinace vlastních tvarů kmitání pomocí modálních sořadnic q i (t) (i=1, N) i N ( t) q ( t) Φq( t) i1 i i dosazení do pohybových rovnic K( t) C( t) M( t) f( t) K Φ q( t) C Φ q( t) M Φ q( t) f ( t) Φ T K Φ q( t) Φ T C Φ q( t) Φ T M Φ q( t) Φ T f ( t) pro normované vlastní tvary dále platí Ω q Φ T T C Φ q I q Φ f ( t) ( t) ( t) ( t) obecně není diagonální matice

29 9 4. Sostavy s konečným počtem stpňů volnosti Klasický útlm T Φ C Φ je diagonální matice, jejíž prvky jso i i tj. vlastní tvary jso ortogonální též k matici útlm i - koeficient poměrného útlm i-tého vlast. tvar i - i-tá vlastní frekvence Ω q( ) Φ T T t C Φ q( t) I q( t) Φ f( t) q ( t) q ( t) q ( t) T f( t) i i i i i i i (řešení - např. hamelův integrál) sostava N nezávislých rovnic pro q i (t) - obvykle (i=1, P) počet važovaných vl. tvarů P je dán frekvenčním složením zatížení P N Rayleighův útlm proporcionální útlm (klasický) 1 C M K platí za hypotetického předpoklad - nejméně je tlmen 1. tvar

30 3 5. Příklady 5.1 Na nosník (thost k = 196 knm -1 ) je ložen rotační stroj o hmotnosti m =1t. Svislá složka bdicí síly vlivem nevyvážení stroje F(t) =,1ω sin ωt (kn). Kmitání je tlmeno silo 1 kn při rychlosti 5 cm/s. Vlastní tíh nosník zanedbejte, řešte jako sostav s 1 SV. Uvažjte stálené kmitání pro ω = 135 s , 7s 1 14, 7 F 1 1 F cw c ts w,5 c,71 km F t t t ( ), 1135 sin135 18, 5sin135 (kn),964 sočinitel tlmení bdicí síla

31 31 5. Příklady w( t) w sin135t w cos135t S C odezva při stáleném kmitání (vždy msí mít obě složky!) ( k m) ws cwc ( ) ws 135wC 18, 5 cw k m w w w S ( ) C 135 S ( ) C ws, 75 wa ws wc,6m wc, 53 wc arctg 1, 94,35 ws w( t), 6sin(135 t 1, 94) (pro c = w =,13m!) Alternativně: 1 FA 6, 491 w, 99 st wa wst (1 ) ( ) k, 6m arctg 1 1, 94

32 3 5. Příklady max. síly: kw A 196, , kn F( t) mw( t) cw( t) kontrola v okamžik, kdy je max. průhyb - je maximální zrychlení (setrvačná síla) - je nlová rychlost (tlmicí síla) - bdicí síla je fázově posnta (nedosahje svého maxima ) čas pro max. w(t) sin 135t 1, t 1, 94 t, 197s F t,197 18, 5sin(135, 197) 84,5kN mw mw t t,197 Asin(135 1,94) 135 1, ,5kN velikost bdicí, setrvačné a tlmicí síly v čase,197s F( t) mw( t) cw( t) 84,5 193,5 1178,kN O.K. t

33 33 5. Příklady síly v čase, kdy bdicí síla dosahje max. hodnoty: F( t) 18, 5sin135t 135t F A 18, 5kN w( t),6sin(135 t 1,94),6sin( 1,94),75 m kw( t) 196, ,55kN setrvačná síla: F mw( t) cw( t) 18, 5 51, 143,9 539,55kN A F mw( t) cw( t) A tlmicí síla: kontrola mw t 135t ( ) 1 135, 6sin(135 t 1, 94) 51, kn 135t cw( t) 135,6cos(135 t 1,94) 143,9 kn velikost bdicí, setrvačné a tlmicí síly v čase t s 135 O.K.

34 34 5. Příklady 5. Řešte stálené harmonické kmitání sostavy se SV F (t) m m 1 (t) 1 (t) ,8 K M 6, 6 8,7 s 7,7 s (m, t, kn) parametry Rayleighova útlm pro ξ =,5 1 11,5 8,7 1,435,5, ,7 63, 4 6,1 C M K 6,1 35, 6 1( t) 1S sint 1 C cost F( t) FC cos t (kn) ( t) sint cost S C

35 35 5. Příklady ( K M) C 1S 1C S C 1S 1C C ( K M) F S C C 1 S ; 1 C ; S ; C 5.a) F ( t) F cost 1cos35 t (kn) C,37 1 1,69 1 1,73 1 m S 1C 1A 1S 1C,6 1,9 1,37 1 m S C A S C pro netlmené kmitání (ξ = ): 3 1,79 1 m 1A A 3,44 1 m mimo rezonanční oblast je vliv tlmení minimální (pro běžné hodnoty ξ)

36 36 5. Příklady 5.b) F( t) FC cost 1cos3 t (kn) rezonanční oblast 4,331 3,39 1 5,8 1 m S 1C 1A 6,831 5,76 1 8,931 m S C A pro netlmené kmitání (ξ = ): v rezonanční oblasti je vliv tlmení významný - útlm nelze zanedbat! 1A A 3 8,931 m 3 13,68 1 m

37 37 5. Příklady 5.c) Navrhněte pasivní dynamický tlmič (pohlcovač kmitání) pro zatížení F ( t ) 1cos3 t (kn) návrh: F (t) k m 3 m m 1 3 (t) (t) 1 (t) 85 knm m 1t ,15s 3s ( ) K k3 k 3 k3 k3 7,8 6,6 M f A 1 1 ( ) K M f, 451 m,69 1 m 11,67 1 m A A 3A je ntné vždy provést důkladný návrh dynamického tlmiče! A A A