NÁVRH PREDIKTIVNÍCH REGULÁTORŮ POMOCÍ MINIMALIZACE l p NORMY V PROSTŘEDÍ MATLAB. Jaroslav Pekař , Jan Štecha , Vladimír Havlena *, **

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "NÁVRH PREDIKTIVNÍCH REGULÁTORŮ POMOCÍ MINIMALIZACE l p NORMY V PROSTŘEDÍ MATLAB. Jaroslav Pekař *, Jan Štecha *, Vladimír Havlena *, **"

Sára Švecová
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 NÁVRH PREDIKIVNÍCH REGULÁORŮ POMOCÍ MINIMALIZACE l NORMY V PROSŘEDÍ MALAB Jaroslav Pekař *, Jan Štecha *, Vladimír Havlena *, ** * Katedra řídicí techniky, Fakulta elektrotechnická, České vysoké učení technické v Praze. ** Honeywell Prague Laboratory in Prague, Honeywell Intl.. Úvod Prediktivní regulace (Model-based Predictive Control, MPC) [, 3] se stala jednou z okročilých metod řízení, která nachází široké ulatnění ři řízení rocesů v růmyslové výrobě. Předností této metody je relativní jednoduchost, řirozená možnost řízení rozsáhlých systémů, systémů s mnoha vstuy a výstuy, možnost klást ožadavky na omezení veličin v řízeném rocesu a odobně. Při návrhu MPC regulátoru se vychází ze znalosti modelu systému (nař. řechodová nebo imulsní charakteristika, řenosová funkce, stavový model), omocí něhož odhadujeme budoucí trajektorie výstuních veličin. Dalším důležitým rvkem ři návrhu MPC je volba vhodného kritéria, jehož otimalizací (minimalizací) získáme na základě redikce trajektorií výstuů otimální trajektorie vstuních veličin ro daný horizont. Kritérium (ztrátová funkce) bývá obvykle voleno jako druhá mocnina odchylky redikce výstuu od referenčního signálu jinými slovy kvadratická norma. V takovém říadě vede minimalizace na úlohu nejmenších čtverců (Least Squares). Pokud budeme uvažovat omezení některých veličin, získáme úlohu kvadratického rogramování (Quadratic Programming). Pokud oužijeme ro kritérium l nebo l inf normu, můžeme roblém definovat jako úlohu lineárního rogramování (Linear Programming) [7, 8]. Použití l normy v MPC řízení je uvedeno v mnoha racích, nař. [4, 5, 6]. Cílem článku je exerimentální ověření vlastností a chování systému řízeného rediktivním regulátorem v závislosti na volbě druhu l normy, kde budeme uvažovat z intervalu,. Z výše uvedeného je zřejmé, že budeme otřebovat řešit úlohy lineárního a kvadratického rogramování, k čemuž využijeme funkce Matlabu z otimalizačního toolboxu.. Prediktivní regulátor minimalizující l normu Pro návrh MPC regulátoru oužijeme stavový ois systému ve tvaru x( t+ ) = Ax( t) + Bu( t), yt () = Cxt () + Dut ()

2 kde x(t), y(t) a u(t) je stav, výstu a vstu systému. A, B, C, a D jsou matice systému. Dále je třeba nadefinovat kritérium otimalizace N J = y() t w() t + r u() t, t= nebo častěji oužívaný tvar, kde neenalizujeme velikost vstuního signálu, ale rychlost jeho změny, tj. Po zavedení matic N J = y() t w() t + r u() t. t= D CB D C S, Q = = N N 3 N N 3 CA B CA D CA CA a vektorů redikce výstuu, vstuu a ( ) N P= C A C A C [ () ( )], [ () ( )] Y = y y N U = u u N [ () ( )] W = w w N můžeme kritérium řesat do maticového tvaru S Px() W J = Y W + r U = SU + Px() W + r U = U + / r I Otimální oslounost řízení získáme minimalizací ředchozího vztahu, tedy { } U * min SU Px () W r U U = + +. Pro návrh MPC regulátoru můžeme obecně oužít l normu. V tomto článku se zaměříme na z intervalu <, >. Minimalizaci l normy v daném intervalu nelze řešit jedním algoritmem, roto je třeba interval rozdělit na tři části: Minimalizace l normy úlohu lze formulovat jako lineární rogram. Minimalizace l normy, kde je z intervalu (, ) tento otimalizační roblém řeší algoritmus Iteratively Reweighted Lest Squares (iterativní vážené nejmenší čtverce). Minimalizace l normy jedná se o standardní Least Squares roblém.

3 Nejrve se odívejme na okrajové říady, tj. na l a l normu. V říadě minimalizace l můžeme jednoduše nalézt analytický tvar řešení ( ) ( () ) * U S S ri S Px W = +. Pokud budeme chtít zavést omezení na některé veličiny v regulačním obvodu, je třeba minimalizaci řešit numericky, omocí kvadratického rogramování. Úlohu kvadratického rogramování vyřešíme v Matlabu funkcí quadrog. Minimalizaci l normy lze řevést na úlohu lineárního rogramování, a to následujícím zůsobem (obecně): { } min Ax b min y : Ax b y, Ax b y. x y Po zavedení nového vektoru tvaru x z = y získáme standardní úlohu lineárního rogramování ve { c z Az b} c = [ ] min : ; z A I b A= ; b = A I b Úlohu lineárního rogramování řeší v Matlabu funkce linrog. V osledním říadě, tj. minimalizace l normy ro z intervalu (, ), oužijeme iterativní algoritmus vážených nejmenších čtverců. Máme tedy následující úlohu { } min Ψ ( x ) = Ax b, < <. x Uvažujme, že všechny složky vektoru ε ( x) = b Ax jsou nenulové. Pak můžeme funkci Ψ ( x) definovat následovně: m m εi εi εi i= i=. Ψ ( x) = ( x) = ( x) ( x) Minimalizace ředchozí rovnice jsou vážené nejmenší čtverce: ( ) = ( ) min D( ε ) b Ax, D( ε) diag ε. x Z důvodu závislosti diagonální matice ( ) D ε na neznámém řešení x musíme minimalizaci řešit iterativně. Algoritmus ak vyadá následovně:

4 .. ( k) ( k) ε = b Ax ( k ) (k) D = diag ε δx ( k) = arg min D ( k) ε ( k) Aδx 3. ( ) 4. δ x k + ( k) ( k) ( ) x = x + δ x Výis funkce iterativních vážených nejmenších čtverců matlabu: function x = lnorm(a,b,,e) Nmax =; x = A\b; if (sum(x_)~=) for k=:nmax r = b - A*x; D = diag(abs(r).^((-)/)); dx = (D*A)\(D*r); if(norm(dx)<e) return; end x = x + dx; end end 3. Simulace V této kaitole si uvedeme říklad, na kterém ukážeme vliv tyu l normy, váhového koeficientu r a délky horizontu redikce na růběhy veličin ři MPC regulaci. Uvažujme systém druhého řádu zadaného omocí řenosové funkce: Gs () = s. +.7s+.93 Systém je vzorkován s eriodou s =.s. Při návrhu řízení máme tři volné arametry ro ladění vlastností regulátoru, tj. druh l normy, horizont redikce N a váhový koeficient r. Provedeme následující tři exerimenty:. Vliv tyu l normy (evný horizont redikce, evný váhový koeficient).. Vliv váhového koeficientu r (evná norma, evný horizont redikce). 3. Vliv délky horizontu redikce (evná norma, evný váhový koeficient). Na následujících třech stránkách jsou uvedeny výsledky simulací všech tří exerimentů. První stránka ukazuje vliv tyu l normy ro =, =.5, = (evné N=3, r=). Na druhé stránce je ukázán vliv váhového koeficientu r =., r =, r = (ro l normu, N=3). řetí stránka ukazuje vliv délky horizontu redikce N =, N =, N = 5 (ro l normu, r=).

5 systemoutut [-] MPC control by minimizing of. norm system outut System inut 8 systeminut [-] systemoutut [-] MPC control by minimizing of.5 norm system outut System inut 8 systeminut [-] systemoutut [-] MPC control by minimizing of. norm system outut System inut 8 systeminut [-]

6 systemoutut [-] norm (N = ) system outut System inut systeminut [-] systemoutut [-] norm (N = ) system outut System inut 8 systeminut [-] systemoutut [-] norm (N = 5) system outut System inut 8 systeminut [-]

7 systemoutut [-] norm (r =.) system outut System inut 3 systeminut [-] systemoutut [-] norm (r = ) system outut System inut 8 systeminut [-] systemoutut [-] norm (r = ) system outut System inut 8 systeminut [-]

8 4. Závěr Cílem ráce bylo exerimentální ověření chová rediktivního regulátoru v závislosti na tyu normy oužité ve ztrátové funkci, na váhovém koeficientu a na délce horizontu redikce. Při výočtu regulátoru jsme oužili funkce ro lineární a kvadratické rogramování linrog a quadrog z otimalizačního toolboxu. Simulace ukázaly, že oužití l normy vede na dead beat řízení. Pro normu l ro blížící se k získáme hladší růběh vstuní veličiny a řízení je méně agresivní. Délka horizontu otimalizace ři l řízení má vliv na celkový očet změn řídicí veličiny. Velikost váhového koeficientu r ři l řízení má vliv na celkovou dobu řechodového děje. 5. Poděkování ato ráce byla částečně odořena granty //H6 a // Grantové agentury České reubliky. 6. Kontaktní informace Jaroslav Pekař Katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVU v Praze Karlovo náměstí 3, 8 Praha ekarj@control.felk.cvut.cz Jan Štecha Katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVU v Praze Karlovo náměstí 3, 8 Praha stecha@control.felk.cvut.cz Vladimír Havlena Honeywell Prague Laboratory Honeywell Intl. Pod vodárenskou věží Praha vladimir.havlena@htc.honeywell.cz 7. Literatura [] L. Ljung, System identification: heory for the User. (Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 987.) [] K. J.Astrom, B. Wittenmark, Comuter Controlled Systems: heory and design, (Prentice Hall,Inc, Uer Saddle River, NJ, 997). [3] R. Findeisen, L. Imsland, F. Allgower, B.A. Foss, State and Outut Feedback Nonlinear Model Predictive Control: An Overview, Euroean Journal of Control, 9, (3), 9-6. [4] Christoher V. Rao, James B. Rawlings, Linear rogramming and model redictive control, Journal of Process Control,,, [5] J.C. Allwright, G.C. Paavasiliou, On linear rogramming and robust model redictive control using imulse resonse, Sys. Cont. Let., 8, 99, [6] H. Genceli, M. Nikolau, Robust stability analysis of constrained l-norm model redictive control, AIChE J., 39 (), 993, [7].S. Change, D.E. Seborg, A linear rogramming aroach for multivariable feedback control with inequality constraints, Int. J. Control, 37, 983,

9 [8] L.A. Zadeh, J.H. Whalen, On otimal control and linear rogramming, IRE rans. Auto, Cont. 7, 96, [9] A. Bjorck, Numerical Methods for Least Squares Problems, (Siam, Philadelhia, 996). [] S.Van Huffel, J. Vandewalle, he otal Least Squares Problem. Comutational Asects and Analysis. Siam, Philadelhia, 99. [] S. Boyd, L. Vandenberghe L., Introduction to Convex Otimization with Engineering Alications (Lesture notes, Stanford University, ).

Podobné dokumenty

zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme.

Teorie řízení 004 str. / 30 PŘÍKLAD zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, naájen do kotvy, indukčnost zanedbáme. E ce ω a) Odvoďte řenosovou funkci F(): F( ) ω( )/ u( ) b)