ROBUSTNÍ ŘÍZENÍ SYNCHRONNÍCH MOTORŮ

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF CONTROL AND INSTRUMENTATION ROBUSTNÍ ŘÍZENÍ SYNCHRONNÍCH MOTORŮ PMSM ROBUST CONTROL BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR MICHAL RAJNOŠEK doc. Ing. PETR BLAHA, Ph.D. BRNO

2 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Ústav automatizace a měřicí techniky Bakalářská ráce bakalářský studijní obor Automatizační a měřicí technika Student: Michal Rajnošek ID: 796 Ročník: 3 Akademický rok: 9/ NÁZEV TÉMATU: Robustní řízení synchronních motorů POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ: Cílem ráce je seznámit se s rinciy robustního řízení a s možnostmi jeho využití ro řízení synchronních motorů s ermanentními magnety. Předokládá se simulační ověření vybraných robustních regulátorů v rostředí Matlab Simulink na existujícím modelu motoru. DOPORUČENÁ LITERATURA: [] Caha, Z.; Černý, M. : Elektrické ohony, Praha, SNTL 99. [] Vas, P.: Parameter Estimation, Condition Monitoring and Diagnosis of Electrical Machines. Clarendon ress, Oxford, 993, ISBN další dle dooručení vedoucího Termín zadání: 8.. Termín odevzdání: 3.5. Vedoucí ráce: doc. Ing. Petr Blaha, Ph.D. rof. Ing. Pavel Jura, CSc. Předseda oborové rady UPOZORNĚNÍ: Autor bakalářské ráce nesmí ři vytváření bakalářské ráce orušit autorská ráva třetích osob, zejména nesmí zasahovat nedovoleným zůsobem do cizích autorských ráv osobnostních a musí si být lně vědom následků orušení ustanovení a následujících autorského zákona č. / Sb., včetně možných trestněrávních důsledků vylývajících z ustanovení části druhé, hlavy VI. díl 4 Trestního zákoníku č.4/9 Sb.

3 3 Tato ráce je zaměřena na robustní řízení synchronních motorů s ermanentními magnety. V rvních kaitolách je uvedena teorie k návrhu robustních regulátorů omocí metody H a také ois a vlastnosti synchronních motorů s ermanentními magnety. Poslední kaitoly obsahují návrh robustních roudových a otáčkových regulátorů na konkrétní model motoru. Funkčnost těchto regulátorů je ověřena simulací. This work is focused on robust control of ermanent magnet synchronous motors. In the early chaters is given theory to design robust controllers using method and descrition and features of ermanent magnet synchronous motors. Last chaters contains design of current and seed controllers for secific engines. Functionality of these controllers is verified by simulations. H

4 4 Bibliografická citace RAJNOŠEK M.: Robustní řízení synchronních motorů. Bakalářská ráce. FEKT VUT v Brně,

5 5 Prohlašuji, že svou bakalářskou ráci na téma Robustní řízení synchronních motorů jsem vyracoval samostatně od vedením vedoucího bakalářské ráce a s oužitím odborné literatury a dalších informačních zdrojů, které jsou všechny citovány v ráci a uvedeny v seznamu literatury na konci ráce. Jako autor uvedené bakalářské ráce dále rohlašuji, že v souvislosti s vytvořením této bakalářské ráce jsem neorušil autorská ráva třetích osob, zejména jsem nezasáhl nedovoleným zůsobem do cizích autorských ráv osobnostních a jsem si lně vědom následků orušení ustanovení a následujících autorského zákona č. / Sb., včetně možných trestněrávních důsledků vylývajících z ustanovení 5 trestního zákona č. 4/96 Sb. V Brně dne: 3. května odis autora

6 6 Děkuji vedoucímu bakalářské ráce Doc. Ing. Petru Blahovi CSc. za účinnou metodickou, edagogickou a odbornou omoc a další cenné rady ři zracování mé bakalářské ráce. V Brně dne: 3. května odis autora

7 7 OBSAH. ÚVOD...9. NORMY SIGNÁLŮ A SYSTÉMŮ.... Vlastnosti normy.... Normy Signálů..... Norma v čase..... Norma v čase Norma....3 Normy systémů Norma H Norma H NEJISTOTY Nestruktorované nejistoty Aditivní odchylka Inverzní aditivní odchylka Vstuní multilikativní odchylka Výstuní multilikativní odchylka Inverzní vstuní multilikativní odchylka Inverzní výstuní multilikativní odchylka Parametrické nejistoty LFT lineární zlomková transformace strukturované nejistoty ROBUSTNÍ ŘÍZENÍ Teorém o malém zesílení a robustní stabilita Kvalita Robustní řízení NÁVRH POMOCÍ H Smíšená otimalizace H Subotimální řešení SYNCHRONNÍ MOTOR S PERMANENTNÍMI MAGNETY MODel PMSM motoru...6

8 8 7. NÁVRH A SIMULACE PROUDOVÝCH ROBUSTNÍCH REGULÁTORŮ PRO PMSM Model motoru Návrh regulátorů Návrh regulátoru K Návrh regulátoru Kd Simulace Simulace ro změny arametrů soustavy NÁVRH A SIMULACE ROBUSTNÍHO OTÁČKOVÉHO REGULÁTORU Model motoru Návrh regulátorů Návrh PI regulátorů Návrh robustního otáčkového regulátoru Simulace Simulace PI regulátoru Simulace robustního regulátoru Simulace stavového robustního regulátoru Srovnání ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY...65

9 9. ÚVOD Tato ráce je zaměřena na robustní řízení synchronních motorů s ermanentními magnety. Robustní řízení se zabývá návrhem regulátorů na model, ve kterém se vyskytují nejistoty. Žádný matematický model nedokáže řesně rerezentovat reálný fyzikální systém. U reálných systémů totiž arametry vždy buď známe s určitou tolerancí oř. jsou dokonce roměnlivé. Naříklad změna teloty má vliv na odor rezistorů. Proto vznikl ožadavek zahrnout tyto nejistoty, již do samotného návrhu řídicího systému a tím zajistit stabilitu a ožadovanou kvalitu. Řídicí systém tedy nazveme robustním, je-li necitlivý k rozdílům mezi aktuálním systémem a modelem systému, který byl oužit v návrhu. Snažíme se tedy slnit ožadavky na stabilitu a kvalitu regulace ro všechny možné říady, které můžou v rámci nejistot vzniknout. Samotný návrh robustního řídicího systému se tedy skládá z určení nejistot, návrhu robustního regulátoru a ověření robustní stability a kvality regulace. Při návrhu robustního regulátoru jsem volil metodu H, která bude odrobně osána v další kaitole. Tuto metodu budeme alikovat na model synchronního modelu s ermanentními magnety. Tyto motory známé jako PMSM (Permanent Magnet Synchronous Motors) mají řadu výhod nař. řesnou stálou rychlost, buzení zajištěné ermanentními magnety, dobré odezvy, Proto jsou tyto motory vhodné ro vysoce náročné alikace ve strojírenství a robotice.

10 . NORMY SIGNÁLŮ A SYSTÉMŮ. VLASTNOSTI NORMY Norma e ( e může být vektor, matice, signál nebo systém) je reálné číslo značené jako e. Norma musí slňovat následující odmínky:. e. e e 3. α e α e ro všechny komlexní skaláry α 4. e + e e + e Tyto vlastnosti musí slňovat každá norma. Dále se bude věnována ozornost ouze na normy signálů a systémů. [3]. NORMY SIGNÁLŮ Používáme tzv. časovou -normu e ( t), kterou definujeme jako: e( t) ( e ( τ ) dτ ) i i Nejčastěji oužívané normy:.. Norma v čase Jedná se integrál absolutní chyby (IAE), do obecného vzorce dosadíme e( t) e ( τ ) dτ i i.. Norma v čase Kvadratická norma, je úměrná celkové energii signálu, do obecného vzorce dosadíme e t) i ) i ( e ( τ dτ

11 ..3 Norma V tomto říadě e ( t) max(max e ( τ ) ) τ i i Hledáme tedy maximum oříadě horní hranici absolutní hodnoty..3 NORMY SYSTÉMŮ Pro alikace robustního řízení se oužívají zejména normy H a.3. Norma H H. Pro SISO systém s řenosem G ( ) definujeme normu H jako G G( jω) π dω. Systém s řenosem G ( ), má vstu X ( ) a výstu Y ( ). Rovnice výstuu tedy vyadá takto Y ( ) G( ) X ( ). Předokládáme, že vstuní signál má obraz roven jedné. Potom dostáváme rovnici výstuu Y ( ) G( ) a její normu Y G( j ) d G ω ω π dívat jako na růměrné zesílení očítané řes všechny frekvence. [3].3. Norma H. Na G se tedy můžeme Udává odhad největšího zesílení systému. Pro SISO systémy definujeme: G max G( jω). G ( jω) vyjadřuje, jak je zesilován signál na daném kmitočtu. Norma ω systémem. [3] H je tedy maximální zesílení harmonického signálu ři růchodu

12 3. NEJISTOTY Pod ojmem nejistota rozumíme rozdíl mezi návrhovým modelem a skutečným reálným systémem. V reálném systému jsou nejistoty nevyhnutelné. Nejistoty můžeme rozdělit do dvou základních skuin: Poruchové signály a dynamické odchylky. Mezi oruchové signály atří orucha na vstuu a na výstuu, šum senzoru nebo akčního členu. Dynamické odchylky rerezentují rozdíl mezi matematickým modelem a skutečným systémem. Matematický model jakéhokoli reálného systému je vždy jen aroximací skutečné dynamiky systému. Tyické nejistoty jsou nemodelované dynamiky, zanedbané nelinearity, snižování řádu modelu a změny arametrů systémů zůsobené změnami rostředí. Tyto chyby mohou ovlivnit stabilitu a výkon řídicího systému. V této kaitole se budeme věnovat dynamickým odchylkám. [] 3. NESTRUKTOROVANÉ NEJISTOTY Mnoho dynamických odchylek, které mohou nastat, můžeme soustředit do jednoho odchylkového bloku, na říklad nemodelované vysokofrekvenční dynamiky. Toto označení nejistoty se nazývá nestrukturovaná nejistota. V říadě lineárního, časově invariantního systému blok může být rerezentován jako neznámá matice řenosové funkce. Nestrukturované dynamické nejistoty v řídícím systému mohou být osány mnoha zůsoby, které oíšu. G ( ) ředstavuje aktuální systém a G o ( ) je nominální model oisu fyzického systému. []

13 3 3.. Aditivní odchylka G ( ) G ( ) + ( ) o Obr. :aditivní odchylka 3.. Inverzní aditivní odchylka ( G ( )) ( G o ( )) + ( ) Obr. : Inverzní aditivní odchylka 3..3 Vstuní multilikativní odchylka G [ I + ( )] ( ) G ( ) o Obr. 3: Vstuní multilikativní odchylka

14 Výstuní multilikativní odchylka G [ I + ( ) ] G ( ) ( ) o Obr. 4: Výstuní multilikativní odchylka 3..5 Inverzní vstuní multilikativní odchylka ( G ( )) [ I + ( ) ]( G ( )) o Obr. 5: Inverzní vstuní multilikativní odchylka 3..6 Inverzní výstuní multilikativní odchylka ( G ( )) ( G o ( )) [ I + ( ) ] Obr. 6: Inverzní výstuní multilikativní odchylka

15 5 3. PARAMETRICKÉ NEJISTOTY Nestrukturovaná nejistota se oužívá ro ois nemodelovaných nebo zanedbaných dynamik systému. Tyto nejistoty se obvykle rojevují na vysokých frekvencích. Dynamické odchylky v mnoha růmyslových řídících systémech mohou být zůsobeny také neřesným oisem charakteristik součástek. Takovéto chyby oisujeme omocí arametru, ve kterém se nachází všechny možné hodnoty. Tyto odchylky ovlivňují výkon ři nízkých frekvencích a nazýváme je arametrické nejistoty. 3.3 LFT LINEÁRNÍ ZLOMKOVÁ TRANSFORMACE Obr. 7 Lineární zlomková transformace Obr. 7 Lineární zlomková transformace ukazuje standardní zaojení, které zobrazuje, jak nejistota ovlivňuje vazby mezi vstuem a výstuem. Matice M M řenosové funkce M můžeme rozčlenit M oté odvozujeme M M z M + M ( I M ) ]ω. [ M Pokud je ( I M regulární, existuje inverze a definujeme ) F( M, ) [ M + M ( I M ) M ] F ( M, ) nazveme LFT matic M a. Protože horní smyčka je uzavřena blokem, nazývá se tento druh LFT horní LFT. Existuje také dolní LFT, která se oužívá ři začlenění regulátoru K do tohoto schématu viz. Obr. 8. []

16 6 Obr. 8 Dolní LFT Podobně jako u ULFT definujeme: F( M, K) [ M + M K( I M K) M ] Pomocí LFT nyní můžeme osat nestrukturované nejistoty z kaitoly.. Stanovíme tedy koeficienty matice M. I. Aditivní odchylka M I G G G. Inversní aditivní odchylka M G G I 3. Vstuní multilikativní odchylka M G G G 4. Výstuní multilikativní odchylka M I G I I 5. Inverzní vstuní multilikativní odchylka M G G I G 6. Inverzní výstuní multilikativní odchylka M I G 3.4 STRUKTUROVANÉ NEJISTOTY Při návrhu robustních regulátorů se nejčastěji setkáváme s kombinací různých druhů nejistot. Výsledná kombinace nejistot v sobě může obsahovat nestrukturované nejistoty, ale také arametrické nejistoty. Tyto nejistoty dokážeme zahrnout omoci

17 7 ULFT F ( M, ) do bloku nejistot, který bude mít tento tvar mj mj [ I δ I,,..., ]: C C s f δ r,..., s r f δ i j kde r + i i m j j n diag, n je rozměr bloku. [] Výsledný blok obsahuje dva tyy bloků nejistot: s skalární bloky a f lné bloky. Parametry δ i mohou být ouze reálná čísla, ale analýza bývá složitější než u lných bloků, které nemusí být čtvercové, ale jejich omezením dojde k výraznému zjednodušení. Pokud oíšeme systém s těmito nejistotami omocí LFT bude mít blok určitou strukturu. Proto tyto nejistoty nazýváme strukturované. V některých říadech oužití lných bloků ři modelování nejistot vede k velmi konzervativnímu návrhu, kvůli ředokládanému šatnému chování systému. []

18 8 4. ROBUSTNÍ ŘÍZENÍ Řídicí systém nazveme robustním, zůstává-li stabilním a slňuje dané ožadavky na kvalitu regulace ři změnách soustavy v důsledků nejistot robraných v kaitole 3. Při návrhu robustního řízení se snažíme najít regulátor ro daný systém tak, aby byla uzavřená smyčka robustní. Používá se metoda H, která se ukazuje jako efektivní metoda ro lineární, časově invariantní řídicí systémy. Pro zajištění stability a výkonu ři návrhu se oužívá teorém o malém zesílení, který je zobecněním Nyistova kriteria. 4. TEORÉM O MALÉM ZESÍLENÍ A ROBUSTNÍ STABILITA Tento teorém je dostačující a nutnou odmínkou ro zajištění robustní stability ři návrhu regulátoru metodou H. Obr. 9: Zětnovazební systém Uvažujeme zaojení viz. Obr. 9: Zětnovazební systém, kde G ( ) a G ( ) jsou matice řenosových funkcí oisujících lineární, časově invariantní systémy. Pokud G ( ) a G ( ) jsou stabilní tj. G H a G H otom je uzavřená smyčka vnitřně stabilní okud G G a G G. < < Uzavřená smyčka obsahující soustavu G a regulátor K je robustně stabilní okud je stabilní ro možné definované nejistoty v soustavě. Z toho vzlývá, že K je stabilizující regulátor i ro nominální hodnoty soustavy G. Předokládejme aditivní

19 9 odchylku viz. Obr. : Schéma s aditivní odchylkou, kde ( ) je lná matice neznámá, ale stabilní. [] Obr. : Schéma s aditivní odchylkou Vyjádříme si řenosovou funkci ze signálu v k u. T uv K( I + GK). Jak bylo řečeno, regulátor K by měl stabilizovat nominální soustavu G. S omocí teorému malého zesílení tedy vznikají odmínky. Pro stabilní ( ) je uzavřená smyčka robustně stabilní, okud K ( ) stabilizuje nominální soustavu G ( ). [] K ( I + GK) Tedy K ( I + GK) < a K ( I + GK) < nebo obecněji < Pokud ožadujeme, aby regulátor zajistil robustní stabilitu ro co největší rozsah nejistot, hledáme tedy minimum této normy. min K ( I + GK). V mnoha říadech ovšem známe arametry nejistoty a můžeme ji tedy vyjádřit takto: σ ( ( jω)) ( W ( jω)) ro všechna ω R. Poté můžeme vyjádřit blok ~ nejistot jako ( ) ( ) W ( ), kde ~ je jednotková norma nejistot. Nyní můžeme uravit odmínku ro stabilitu: W K( I + GK) a zajištění stability ro co < největší rozsah nejistot min W.[] K( I + GK)

20 Podmínku robustní stability lze odobně odvodit i ro ostatní říady nejistot osaných v ka Inversní aditivní odchylka: G ( I + KG) <. Vstuní multilikativní odchylka: KG ( I + KG) < 3. Výstuní multilikativní odchylka: GK ( I + GK ) < 4. Inverzní vstuní multilikativní odchylka: ( I + KG) < 5. Inverzní výstuní multilikativní odchylka ( I + GK) < Zajištění robustní stability hraje zásadní roli ři návrhu robustního regulátoru. Zajištění robustní stability je základní ožadavek ři návrhu regulátoru metodou a jiných návrhových metod. H 4. KVALITA ROBUSTNÍ ŘÍZENÍ Obr. : Schéma řízení ukazuje tyickou uzavřenou smyčku, kde G je soustava a K je regulátor, který navrhujeme. r, y, u, e, d, n jsou ožadovaná hodnota, výstu, výstu regulátoru, odchylka, orucha a šum vznikající ři měření. Z obr můžeme odvodit vztahy ro vstu výstu a odchylku. y ( I + GK) u K( I + GK) e ( I + GK) GKr + ( I + GK) r K( I + GK) r ( I + GK) d ( I + GK) d K( I + GK) d ( I + GK) n GKn n

21 Obr. : Schéma řízení Při návrhu regulátoru se setkáváme s různými ožadavky, které mohou být dokonce rotichůdné. Naříklad bychom co nejrychlejší a nejřesnější odezvu na změnu řízení, rychlé vyregulování oruchy a zároveň bychom chtěli řídicí systém co nejrobustnější. Výsledný řídicí systém je komromisem mezi těmito ožadavky. Hledáme tedy regulátor, který bude minimalizovat následující funkce, tak aby byly dostatečně slněny ožadavky na kvalitu řízení. Dobré vyregulování oruchy: ( I + GK) Dobré tlumení šumu: ( I + GK) GK Pro méně řídící energie (omezení akčního zásahu): K ( I + GK) Funkci S ( I + GK) nazýváme citlivostní funkce a funkci T ( I + GK) GK nazýváme komlementární citlivostní funkce. Tvar citlivostní funkce má zásadní význam ro výsledné vlastnosti regulačního obvodu. Modul citlivostní funkce na dané frekvenci vyjadřuje zesílení nebo zeslabení oruchy ůsobící na výstuu soustavy. S ( ω) (db) oruchu nezesiluje ani nezeslabuje S ( ω) < (db) zeslabuje oruchu S ( ω) > (db) zesiluje oruchu Srávným tvarováním citlivostní funkce tedy můžeme otlačit oruchu na určitém frekvenčním ásmu, ale toto otlačení bude mít za důsledek zesílení oruchy

22 v jiném frekvenčním ásmu. V raktických říkladech často známe frekvenci oruchy (tyickým říkladem je síťový kmitočet 5Hz) a vhodnou volnou šablony citlivostní funkce můžeme takovou oruchu zcela otlačit. Modul citlivostní funkce má ale i další význam. Inverze maximálního modulu citlivostní funkce odovídá zásobě stability v modulu M ( S( ω) max ). Zásoba stability v modulu odovídá nejkratší vzdálenosti frekvenční charakteristiky řenosu otevřené smyčky od bodu -. Na základě modulu citlivostní funkce tedy můžeme omocí Nyistova kriteria rozhodnout o stabilitě uzavřené smyčky a dokonce zajistit ožadovanou amlitudovou a fázovou bezečnost.

23 3 5. NÁVRH POMOCÍ H 5. SMÍŠENÁ OPTIMALIZACE H V minulé kaitole jsem ukázal normy, jejichž omocí dokážeme navrhnout robustní regulátor tak, aby slnil určitý ožadavek - naříklad na sledování řídícího signálu. Při návrhu regulátorů zravidla musíme zajistit slnění více takovýchto ožadavků naříklad dobré sledování řídícího signálu a zároveň omezení akčního zásahu. Zde si s jedním kritériem ro návrh nevystačíme a řešíme roblém tzv smíšené citlivostní funkce: ( I + GK) min K( I + GK). Touto funkcí se snažíme slnit ožadavky na výkon a stabilitu s ohledem na aditivní nejistotu. Obr. : Schéma smíšené citlivostní funkce Klasické schéma viz Obr. : Schéma smíšené citlivostní funkce se snažíme nahradit schématem viz Obr. 3: Schéma ro normu H. Toho docílíme omocí LFT osané v kaitole 3. Na Obr. 3 jsou všechny externí vstuy označeny jako w, z označuje výstuní signály, y označuje vektor naměřených hodnot dostuných ro K a u je vektor řídícího signálu. P je zobecněná soustava. Naším cílem tedy je najít stabilizující regulátor K, který bude energeticky minimalizovat výstu z ro

24 4 všechny w, jejichž energie bude menší nebo rovna. Jedná se tedy o obdobu minimalizace H normy řenosové funkce w ku z. [] Obr. 3: Schéma ro normu H P P Rozkladem zobecněného systému P na: P. Nyní římo P P dostáváme z P + P K( I P K) P ] w Fl ( P, K) w, kde ( P, K) je dolní LFT [ F l P a K. Cílem návrhu nyní je min F l ( P, K) Z obrázku je snadné odvodit standard ro definování jednotlivých signálů z e w r, z z u zobecněného systému, y e a u u. Podobně můžeme odvodit matici I G I G P I, P, P I G, P I, P G I Podobným zůsobem můžeme kombinovat i ostatní říady. V raktickém návrhu je často nutné zahrnout i váhové funkce. Pomocí těchto funkcí můžeme naříklad tvarovat šablonu citlivostní funkce. Naříklad vyjdeme z ( I + GK) min K( I + GK) a uvažujme z We a z Wu. Dostáváme tedy W ( I + GK) min W K( I + GK). Tyto váhové funkce můžeme snadno zahrnout do zobecněného systému P W WG W.[] I G P

25 5 5. SUBOPTIMÁLNÍ ŘEŠENÍ Obecně se dá říct, že neexistuje analytický ředis ro otimální řešení. V raxi je dostačující stabilizující regulátor K takový, že H norma uzavřené smyčky je menší než dané kladné číslo. Tedy F l ( P, K) < γ, kde γ > γ min F l ( P, K). Toto se nazývá H subotimální řešení. Při slnění jistých odmínek, existují rovnice k návrhu a nastavení regulátoru. Řešení je charakterizované arametrem Q ( ), který je stabilní a jeho norma je menší než γ. [] Při návrhu začínáme od relativně vysoké hodnoty γ, kterou ostuně snižujeme, až dostaneme otimální řešení. Počáteční hodnotu γ volíme relativně vysokou, abychom zajistili existenci subotimálního řešení. []

26 6 6. SYNCHRONNÍ MOTOR S PERMANENTNÍMI MAGNETY V současné době nabývají stále více na významu střídavé regulační ohony se synchronními ohony, u nichž je budicí vinutí nahrazeno ermanentními magnety. Použitím nových magnetických materiálů.na bázi sloučenin samarium-kobalt (SmCO 5 res. SmCO 7 ) a neodym-bor-železo (NdBFe) byly vyvinuty synchronní motory s výkonem řádově stovek kilowattů. Přesto je ovšem zatím největší využití těchto motorů v oblasti servomechanismů robotů a maniulátorů, řičemž u těchto alikací jsou nejčastější výkony do několika kw. Pohony s těmito servomotory jsou v zahraniční literatuře označovány jako PMSM (Permanent Magnet Synchronous Motor). [4] Stator je běžný, třífázový, stejně jako u asynchronního nebo klasického synchronního motoru, s vinutým rotorem. Rotor je tvořen ermanentními magnety (nejčastěji ze vzácných zemin), řičemž tvar magnetické indukce ve vzduchové mezeře a tedy i indukovaného naětí je harmonický, sinusový. Statorové vinutí je zaojeno do hvězdy, je naájeno harmonickými roudy, což zabezečuje rovnoměrný chod motoru bez momentových ulzací. K naájení motoru se oužívá naěťový střídač osazený nejčastěji IGBT tranzistory se zětnými diodami. Střídač racuje nejčastěji s ulzně šířkovou modulací. Pro řízení je nutno co nejřesněji znát informaci o okamžité oloze a rychlosti motoru. Z tohoto důvodu je motor vybaven resolverem nebo inkrementálním čidlem. V orovnání se stejnosměrnými servomotory mají menší rozměry a moment setrvačnosti, velké, běžně až 6ti násobné řetížení v dynamických stavech, vysokou životnost a rovozní solehlivost a minimální nároky na údržbu. [4] 6. MODEL PMSM MOTORU Předokládáme třífázový motor. Rovnice oisující chování PMSM vyadají takto: Naěťové rovnice statoru:

27 7 u u u A B C R i s R i s R i A B s C dψa + dt dψ B + dt dψ C + dt Rovnice magnetického toku statoru a rotoru: ψ L i + L i + L i + ψ A B AA BA A A AB BB B B AB C ψ L i + L i + L i + ψ C CA A CB B BC ψ L i + L i + L i + ψ ψ ψ cosθ f CC C C fa fb fc ψ fb ψ f fa cos( θ π 3) ψ ψ cos( θ + π 3) fc f 6 f n Kde: U, U, U jsou naětí na statoru. A A B B C c i, i, i jsou roudy ve statoru ψ, ψ, ψ jsou statorové indukční toky A AA B BB C L, L, L jsou statorové indukce AB BC CC L, L, L, L, L, L jsou vzájemné indukce CA BA CB AC n rychlost otáčení rotoru f frekvence naájecího roudu očet ólových dvojic Pro jednodušší model motoru se oužívá tzv. d- transformace. Vycházíme z modelu třífázového motoru, kde můžeme rohlásit i i + i. Tyto roudy A + B C konvertujeme do dvourozměrného systému a dostáváme tedy i, což jsou časově i α β roměnné vektory roudu, jejichž fázový rozdíl je o 9. Poté necháme osy tohoto

28 8 dvojrozměrného rostoru rotovat odle magnetického toku rotoru a získáváme i i. d Předokládejme, že zanedbáme nasycení, indukované elektromagnetické ole je harmonické a hysterezní ztráty jsou zanedbatelné. Po této transformaci můžeme tedy osat motor omocí těchto rovnic: U U d Kde Ri Ri d dψ + ω sψ d + dt dψ d + ω sψ + dt ψ + ψ Li a d Ldid ψ af U, U jsou naětí v osách d-, i d d i, jsou statorové roudy v d- souřadnicích, L, L jsou magnetické toky statoru v d- souřadnicích, R je odor d statoru, ω s frekvence invertoru, ψ af je magnetický tok zůsobený vazbou rotorových magnetů a statoru. Pokud id můžeme říct ψ d ψ af 3P Rovnice momentu: Te [ ψ af i + ( Ld L ) idi ]

29 9 7. NÁVRH A SIMULACE PROUDOVÝCH ROBUSTNÍCH REGULÁTORŮ PRO PMSM Cílem této kaitoly je ukázat návrh dvou roudových robustních regulátorů na existující model motoru. Schéma řízení PMSM vidíme na Obr. 4. Při návrhu regulátorů a určení arametrů motoru vycházíme z []. Obr. 4: Simulační schéma ro regulaci PMSM 7. MODEL MOTORU Model motoru můžeme osat omocí následujících rovnic: u u d ri d + L d di d dt ωl i di ri + L + ω Ldid + ωψ dt 3P Te [ ψ af i + ( L d L ) i i Při zanedbání očátečních odmínek dostáváme: ud rid + L d di d dt d ]

30 3 L d u ri + L di dt Parametry motoru jsou φ 3,4mH, L,8mH, R,6Ω, P 4, f,wb, J, kgm 7. NÁVRH REGULÁTORŮ Při návrhu regulátorů ro a d složku ostuujeme obdobně. Regulátory navrhujeme tak, aby H norma řenosové matice uzavřené smyčky byla menší než dané kladné číslo γ viz Obr. 5: Schéma ro normu H F l ( P, K) < γ Kde K je regulátor a P je matice vzájemných vazeb A P C C B D D B D D Obr. 5: Schéma ro normu H 7.. Návrh regulátoru K V kaitole 3 je osáno, že arametry systému nejsou známy řesně. Jejich hodnoty tedy definujeme omocí intervalu, ve kterých se aktuální hodnota nachází. r r( + r δ r ) L L d L L d ( d d + δ ) + δ ) ( Kde r,, L d L jsou nominální hodnoty r L d, L, a r, d, δ r, δ d, δ určují interval říustných hodnot.

31 3.7, δ, δ, δ Tyto hodnoty r d zahrnují 7% odchylku od nominální hodnoty odoru r a indukcí r d L L. d K návrhu regulátoru K si vyjádříme i z rovnice u ri + L di dt di dostáváme tedy i ( u ri ). dt L Blokové schéma motoru v ose je na Obr. 6 Obr. 6: Blokové schéma motoru v ose Hodnotu můžeme vyjádřit omocí horní lineární zlomkové transformace L (LFT). δ ( + δ ) L ( + δ ) L L L P F u ( M, δ ) Kde M L.7.7 L Podobně arametr r r + δ ) můžeme vyjádřit omocí horní LFT. r s ( r r r.6 Fu ( M r, δ r ) kde M r r r.7.6 Nejistoty tedy zahrneme do schématu viz. Obr. 7

32 3 Obr. 7:Blokové schéma motoru v ose s nejistotami Obr. 8: Schéma uzavřené smyčky r U U u L L y i, r s r s r r i u r r U y

33 33 Jako stav zvolíme x a výstu jako y i y i x. Nyní dostáváme vyjádření oisující dynamické chování systému: r r U u u x r L L L r L L L r y y y x& r r r y y u u δ δ Nechť G vyjadřuje vstuní a výstuní dynamiky motoru v ose a bere v úvahu nejistoty arametrů. Potom D D C D D C B B A G L r A [ ] 5,,7 L B 357,49 L B r L r C,6 4,857 5,,7 L D 357,49 L D C

34 34 D D [ ] Blokový diagram uzavřené smyčky viz Obr. 8ukazuje zětnovazební strukturu včetně modelu nejistot. Jako oruchu uvažujeme mechanický moment T m, tato orucha ůsobí na výstuu soustavy. Váhové funkce jsme zvolili jako + + W ( ) W u Systém otevřené smyčky se skládá z čtyř vstuů, ěti výstuů a tří stavových roměnných ( x je stavová roměnná soustavy a x, x3 jsou stavové roměnné váhové funkce W sys _ i & & & 3 [ x x x y y e e y _ c] r u 4,9,7 5, 357,4 x 5,7,3, 5,7 x 5,79,,37 5,79 x3 4,9,7 5, 357,4 u,6 ur, 5,7 5,79, d, U,, Máme tedy systém, ro který chceme navrhnout regulátor K omocí metody H. Tento regulátor minimalizuje regulátory K. Matice P je odvozena z e, e, y _ c a tři stavové roměnné x, x, x3. u T H normu F L ( P, K) ro všechny stabilní sys _ i. Má dva vstuy d a U, tři výstuy 4,9 5,7 5,79 P,,,3, 5,7,,37 5,7 5,7 5,79,, 357,4,

35 35 Pro výočet regulátoru K oužíváme rogram Matlab a jeho funkci hinsyn. Na základě matice P očtu měření, očtu regulátorů, sodní hranice γ ( γ min, 3 ) a horní hranice γ ( γ max 3 ) dostaneme řenosovou matici s jedním výstuem U, jedním vstuem ( e k ir i ) a tři stavy x k, xk, xk 3 K K 9,58,43 5 5,43,3,6, ,36,6,374 6,4 6 5,379,44 Konečná hodnota γ, K ověření stability oužíváme obecné zětnovazební roojení známé také jako Redheffer star roduct ( cl s sys _ i * ) K _. Vzhledem k tomu, že nejistota je strukturovaná, test stability je frekvenční charakteristika matice řenosové funkce v určitých mezích, které definuje matice BLK na Obr. 9 je vidět, že uzavřená smyčka slňuje odmínku robustní stability.

36 36 Obr. 9: Test robustní stability souřadnice Schéma uzavřené smyčky je na Obr. a následuje matice řenosové funkce uzavřené smyčky. Nyní již můžeme ověřit odezvy regulátoru. Obr. : Schéma uzavřené smyčky ro kreslení odezev 4,86,379 cl,44 4,86,6, 5, 5,,379,44 3,74 9,58 3, ,379,44, 5,686,43,3,6 5, ,57 5,36 8 6,6,367,57,7,7

37 37 odezvy. Nyní máme dostatek informací o chování systému a můžeme vykreslit Obr. : Odezva systému na změnu řízení souřadnice Z grafu můžeme určit dobu náběhu t n, s a dobu ustálení t u, 5s.

38 38 Obr. Odezva systému na oruchu souřadnice 7.. Návrh regulátoru Kd Návrh regulátoru Kd se rinciiálně neliší od návrhu regulátoru K. Rozdílem je nominální hodnota indukce L d, 4mH. Tato změna se rojeví ři, volbě váhových funkcí W, W, u. +,5 +,6

39 39 Matice otevřené smyčky tedy bude: sys _ id,85 4,487,6, 48,57,85 4,487 48,57,6,6 74,86 74,86,,33,6,85 Matice P ro návrh regulátoru bude: 48,57,85 4,487 P,6,,33,6,85,6,367 4,487,6,367 4,487,8 4,487,6,,7,7 5, 5, 74,86, Pro návrh regulátoru oět oužíváme funkci hinfsyn γ min, a γ max. Získáváme tedy řenosovou matici regulátoru K K 9,5, 8,43 5 4,83,33,6, ,96,6,367 6,93 6 5,8,69 Výsledná γ. 68

40 4 Ověření stability se rovádí stejným zůsobem jako v souřadnicích, na Obr. 3 vidíme, že systém dosahuje robustní stability. Obr. 3: Test robustní stability d souřadnice

41 4 Byla vykreslena odezva na skok řízení Obr. 4 a na skok oruchy Obr. 5 Obr. 4: Odezva na skok řízení d souřadnice Obr. 5: Odezva na skok oruchy d souřadnice

42 4 Z Obr. 4: Odezva na skok řízení d souřadnice jsem odečetl dobu náběhu t n, s a dobu ustálení t s, 5s. 7.3 SIMULACE Při simulaci jsme oužili rogram Simulink. Simulační schéma je na Obr. 4. Jako regulátor otáček jsem oužil PID regulátor s těmito arametry: K,543, K, 49, K, 495. Jako ožadovaná hodnota je skoková P změna otáček s amlitudou D 6. Průběh roudu I d ukazuje Obr. 7 a roudu Obr. 9. I 75 rad / s. Odezva na tuto skokovou změnu je na Obr. I Obr. 8. Graf momentu je na Obr. 6: Výsledná odezva na skokovou změnu

43 43 Obr. 7: Průběh roudu Id Obr. 8: Průběh roudu I

44 44 Obr. 9: Průběh momentu Me Touto simulací jsme dokázali funkčnost navržených robustních roudových regulátorů Simulace ro změny arametrů soustavy V soustavě máme tři měnící se arametry L d, 4mH, L, 8mH a r.6. Předokládáme, že se mohou změnit o 7%. Pohybují se tedy v těchto intervalech L,4;, 38, L,84;, 476 a r,8;, d s. Pro simulaci chování systému ro změny arametrů jsme vybírali krajní hodnoty arametrů. Vlivy změn arametrů jsou nejvíce atrné v řechodových charakteristikách v uzavřených roudových smyčkách.

45 Odezvy ři změnách arametrů v souřadnici Obr. 3 Odezva na skok řízení R.Ω L4.76mH Obr. 3 Odezva na skok řízení R.8Ω L.84mH

46 Odezvy ři změnách arametrů v d souřadnici Obr. 3 Odezva na skok řízení R.Ω L4.76mH Obr. 33 Odezva na skok řízení R.8Ω L.84mH

47 47 Z řechodových charakteristik vylývá, že změnou arametrů soustavy dochází k mírnému zomalení oříadě zrychlení odezvy na skok řízení. Může dokonce dojít k mírnému řekmitu. Doba náběhu byla ve všech simulovaných říadech menší než.5s Simulace ři změnách arametrů soustavy Využíváme schématu viz Obr. 4 ouze měníme arametry L Ld a R. Obr. 34 Odezva na skokovou změnu otáček Ld.38, L.476 Rs.

48 48 Obr. 35 Odezva na skokovou změnu otáček L,4, Ld,84, Rs,8 Obr. 36 Srovnání odezev ro měnící se arametry soustavy

49 49 Obr. 37 Srovnání odezev ro měnící se arametry soustavy Obr. 38 Srovnání odezev ro měnící se arametry soustavy 3

50 5 Simulací jsme ověřili funkčnost regulátorů ro měnící se arametry soustavy. Při změně ouze jednoho arametrů neozorujeme téměř žádné odchylky od nominálního růběhu Obr. 37, Obr. 38. Při změně všech arametrů Obr. 36 vidíme mírnou změnu růběhu. U žádného simulovaného říadu však doba náběhu neřesáhla,8s.

51 5 8. NÁVRH A SIMULACE ROBUSTNÍHO OTÁČKOVÉHO REGULÁTORU Cílem této kaitoly je ukázat návrh robustního otáčkového regulátoru na existující model motoru. Při návrhu vycházíme z článku [5]. Nenavrhujeme však stavový regulátor římou alikací Riccatiho rovnic, ale klasický regulátor omocí metody H. Pro srovnání jsme také navrhli otáčkový PI regulátor. 8. MODEL MOTORU Základní vlastnosti motoru: Jmenovitý výkon: 55W Jmenovitý moment: 5,5 Nm Jmenovitý roud:,66a Jmenovitá rychlost: r/min Maximální rychlost: r/min Počet ólových dvojic: 4 R9,79Ω L d L 36,36mH B, Nms/rad J.9x -3 kgm Ψ f,389wb Při sestavování modelu uvažujeme, že d složka roudu je nulová, čímž se zjednoduší návrh regulátoru. Obr. 39 Model motoru ro návrh otáčkového regulátoru Model viz Obr. 39 Model motoru ro návrh otáčkového regulátoru skládá z několika částí na jeho vstuu je naětí a na výstuu otáčky. Přenos Fr ředstavuje

52 5 řenos roudového regulátoru v našem říadě PI Kr Ti + Kr Fr, kde Ti Kr a Ti,. Fi ředstavuje elektrickou část motoru Fi( ). L + R K 3 z Ψ f, kde z je očet ólových dvojic a Ψ f je magnetický tok. Jedná se tedy o násobení konstantou. Fm ředstavuje mechanickou část motoru. Fm moment setrvačnosti motoru a B je tlumení., kde J je celkový J + B Z těchto jednotlivých řenosů tedy sestavíme výsledný řenos, který oužijeme ři návrhu robustního otáčkového regulátoru. Výsledný řenos o dosazení konstant je F NÁVRH REGULÁTORŮ Na daný model motoru jsme navrhli roudové PI regulátory, jeden otáčkový PI regulátor a robustní otáčkový regulátor. 8.. Návrh PI regulátorů Při návrhu PI regulátorů jsme ostuovali metodou Ziegler Nichols a snažili jsme se dosáhnout odobné kvality regulace jako [5]. Používáme regulační schéma viz. Obr. 4. Výsledkem jsou tedy 3 PI regulátory ve standardním tvaru Kr Ti + Kr Fr. Ti Otáčkový regulátor: Tr,5; Kr ; maximální roud Imax 8A Proudové regulátory: Tr.; Kr ; Přenosy obou roudových regulátorů jsou stejné.

53 53 Obr. 4 Simulační schéma PI regulace PMSM 8.. Návrh robustního otáčkového regulátoru Při návrhu otáčkového regulátoru využíváme roudových PI regulátorů navržených výše. Regulátor navrhujeme omocí metody H. Vycházíme z odvozeného řenosu F Zásadní ro návrh a celkové výsledné chování systému je volba váhových funkcí. Obr. 4 Váhové funkce ro návrh omocí H Z Obr. 4 vidíme význam jednotlivých váhových funkcí. Největší vliv má ak W. Je to fce, jejíž inverzí získáme šablonu citlivostní funkce. Jelikož cílem je

54 54 navrhnout regulátor, který dokáže rychle vyregulovat oruchu na vstuu soustavy. Volíme v této funkci násobné kořeny, čímž dosáhneme strmějšího nárustu amlitudové frekvenční charakteristiky váhy W viz Obr. 4 a tím leší vyregulování oruchy. Obr. 4 Frekvenční charakteristika W Váhové fce jsme tedy zvolili:.5( + ) W ( ) 3 ( +.) 3 W ( ) W 3 ( ). Známe tedy řenos soustavy, zvolili jsme váhové funkce a samotný návrh rovádíme omocí rogramu Matlab říkazem hinfsyn. Výsledný řenos regulátoru Fr 5,66 6 +, ,56 5 +, , , , , , +,89 +,73 + 4,9 7 γ.5353

55 SIMULACE 8.3. Simulace PI regulátoru Při simulaci roudových regulátorů vycházíme z Obr. 4. Čas simulace je s a v čase,4s se zatěžovací moment změní z hodnoty Nm na 8 Nm. Skoková změna rychlosti začíná v čase s z rad/s na rad/s. Obr. 43 Odezva na skokovou změnu řízení PI regulace Obr. 44 Průběh roudu I ři změně řízení Na Obr. 43 vidíme odezvu na skok řízení a vyregulování změny momentu. Doba ustálení je,8s, řekmit řibližně 3% a vyregulování oruchy trvá,s. Na

56 56 Obr. 44 vidíme růběh roudu. Maximální roud neřekročí 8A, což je námi zvolené omezení. Obr. 45 Odezvy na skok řízení ro měnící se moment setrvačnosti Na Obr. 45 vidíme, že ři změně celkového setrvačnosti se rodlužuje jak doba náběhu, tak doba nutná ro vyregulování oruchy. Pro čtyřnásobný moment setrvačnosti je doba ustálení t s,35s a doba vyregulování oruchy,s Simulace robustního regulátoru Parametry simulace zůstávají stejné jako v říadě PI regulátoru, roudové regulátory zůstávají stejné, mění se otáčkový regulátor viz. Obr. 46.

57 57 Obr. 46 Schéma ro simulaci regulace PMSM s oužitím robustního regulátoru Obr. 47 Odezva na skokovou změnu řízení H regulátor

58 58 Obr. 48 Průběh roudu I ři změně řízení Na Obr. 47 vidíme odezvu na skok řízení a vyregulování změny momentu. Doba ustálení je,8s, řekmit řibližně 36% a vyregulování oruchy trvá,6s. Na Obr. 48 vidíme růběh roudu. Maximální roud neřekročí 9 A. Obr. 49 Odezvy na skok řízení ro měnící se moment setrvačnosti Na Obr. 49 vidíme chování systému ři měnícím se momentu setrvačnosti. Zatímco vyregulování oruchy je srovnatelné s nominálním růběhem a v nejhorším říadě ro čtyřnásobný moment trvá,s, v řechodovém ději zůsobí tato změna

59 59 výrazné kmitání, řekmit až 5%, doba ustálení se rodloužila na,4. Toto chování je zůsobeno volbou váhových fcí tak, aby systém byl schoen dobře regulovat oruchu, což se daří, ovšem na úkor odezvy na skok řízení Simulace stavového robustního regulátoru Pro srovnání uvádíme také simulaci robustního stavového regulátoru. Regulátor byl navrhnut římou alikací Riccatiho rovnic. [5] Váhové funkce:, + 4 W ( ) +,4 W ( ) + W 3( ) + Obr. 5 Frekvenční charakteristika W stavového regulátoru Na Obr. 5 vidíme frekvenční charakteristiku váhové funkce W. Vidíme, že není zvolena standardně. Přesto je výsledný regulátor je schoen dobře reagovat na skok řízení i vstu oruchy.

60 6 Pro návrh byly oužity tyto stavy x x x x 3 ω e +,4 ω + Vidíme, že autoři si vybrali otáčky ω odchylku e se setrvačným článkem F ( ) a otáčky se setrvačným článkem +,4 F ( ). Následně + sestavili stavový ois soustavy. Regulátor K byl oté sočten omocí Riccatiho rovnic. Výsledný stavový regulátor K [,54 69, ,9849]. Při simulaci oužíváme stejné PI roudové regulátory jako v ředchozích říadech. Simulační schéma viz Obr. 5. Obr. 5 Schéma simulace řízení omocí stavového regulátoru

61 6 Obr. 5 Odezva na skokovou změnu řízení Obr. 53 Průběh roudu I ři stavové regulaci Na Obr. 47 vidíme odezvu na skok řízení a vyregulování změny momentu. Doba ustálení je,5s, a vyregulování oruchy trvá,6s. Na Obr. 53Obr. 48 vidíme růběh roudu. Maximální roud neřekročí 5,5 A.

62 6 Obr. 54 Srovnání řechodových charakteristik stavové regulace Na Obr. 54 vidíme chování systému ři měnícím se momentu setrvačnosti. Doba ustálení je totožná s nominálním růběhem stejně tak doba nutná k vyregulování oruchy. Při vyšším momentu setrvačnosti dokonce dochází k menšímu oklesu otáček než u nominálního růběhu Srovnání Obr. 55 Srovnání odezev ro stavové, PI a H řízení

63 63 Obr. 56 Srovnání odezev ro stavové, PI a H řízení ři změně momentu setrvačnosti Nominální růběhy viz Obr. 55 ukazují, že nejlée se chová PI regulátor otáček, má nejrychlejší odezvu na skok řízení a dokáže vyregulovat oruchu srovnatelně se stavovým regulátorem a dokonce rychleji než H regulátor. Pokud zvýšíme celkový moment setrvačnosti třikrát viz. Obr. 56 PI regulátor oět dosahuje nejřijatelnějšího růběhu. Odezva na skok řízení se sice rodlouží, ale stále je výrazně rychlejší než u robustních regulátorů. Stále dokáže otlačit oruchu srovnatelně se stavovým regulátorem. H regulátor dosahuje ro takovou změnu až 5ti rocentního řekmitu. Je to dáno volbou váhových funkcí, kde je kladen důraz na rychlé otlačení oruchy za cenu zvýšení řekmitu. Na rozdíl od [5] se nám odařilo ouze řiblížit kvalitě PI regulátorů. Je to dáno tím, že v našem říadě je PI regulátor nastaven daleko rychleji a tak dosažení stejné kvality řízení je složitější a závisí na komromisu ři volbě váhových funkcí.

64 64 9. ZÁVĚR V této ráci jsme uvedli základní teorii k návrhu robustních regulátorů. Věnovali jsme se normám signálů a systémů. Uvedli jsme základní druhy nejistot, se kterými se setkáváme ři oisu systémů. Ukázali jsme, jak zahrnout nejistoty do návrhu omocí lineární zlomkové transformace. Pomocí teorému o malém zesílení jsme odvodili odmínky stability robustního řízení. Posali jsme ojem citlivostní funkce a vysvětlili jsme, jak tvarováním této funkce dokážeme ovlivnit kvalitu regulace. Do této ráce jsme zahrnuli i základní teorii k synchronním motorům s ermanentními magnety. Teoretické oznatky jsme ověřili ři návrhu robustních roudových regulátorů na konkrétní model motoru. Při návrhu těchto regulátorů jsme oužili normu H. Funkčnost a těchto regulátorů jsme úsěšně ověřili simulací, jak ro nominální arametry soustavy, tak ro změny v daném rozsahu. I ři významných změnách arametrů motoru se odařilo zachovat kvalitu regulace. Dále jsme se zaměřili na návrh robustního otáčkového regulátoru a srovnání jeho vlastností s PI regulátorem a robustním stavovým regulátorem. Vysoká ozornost ři návrhu je kladena na volbu váhových funkcí, kterými tvarujeme citlivostní funkci a tím ovlivňujeme celkové chování systému.

65 65. SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [] AZAIZ, Ahned; RAMDANI, Youcef; MEROUFEL, Abdelkader. DESIGN OF ROBUST CONTROL SYSTEM FOR THE PMS MOTOR. Journal of ELECTRICAL ENGINEERING. 7, 6, s [] GU, D.W.; PETKOV, P.Hr.; KONSTANTINOV, M.M. Robust Control Design with MATLAB. London : Sringer, s. [3] BLAHA, Petr. MRAL - Algebraické a robustní řízení [online].. dubna [cit. -5-9]. Normy signálů a systémů. Dostuné z WWW: <htt://docs.google.com/viewer?av&idsites&srcidzgvmyxvsdgrvbw FbnxhbGdlYnJhaWNrZWFybJc3RuaXJemVuaXxneDoxZjY5NDgYTM zmjfjnguy&li> [4] NEBORÁK, Ivo. Modelování a simulace elektrických regulovaných ohonů. Ostrava : VŠB Ostrava,. 7 s. [5] GUORONG, WU ; XI, Xiao. Robust Seed Controller for a PMSM Drive. -. 9, -, s. -5.