MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 13 ZUZANA NĚMEČKOVÁ

2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Extrapolační metody pro numerické integrování Bakalářská práce Zuzana Němečková Vedoucí práce: prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc. Brno 13

3 Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Zuzana Němečková Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Extrapolační metody pro numerické integrování Matematika Aplikovaná matematika pro víceoborové studium prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc. Akademický rok: 1/13 Počet stran: ix + 44 Klíčová slova: extrapolace; numerická integrace; Newtonovy-Cotesovy formule; Eulerova-Maclaurinova sumace; Richardsonova extrapolace; Rombergova kvadraturní formule

4 Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Zuzana Němečková Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Extrapolation methods for numerical integration Mathematics Applied Mathematics for Multi-Branches Study prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc. Academic Year: 1/13 Number of Pages: ix + 44 Keywords: extrapolation; numerical integration; Newton-Cotes formulas; Euler-Maclaurin summation; Richardson extrapolation; Romberg quadrature formula

5 Abstrakt Tato bakalářská práce se zaměřuje na metody numerické matematiky zabývající se aproximací určitého integrálu - konkrétně na ty metody, při kterých užíváme extrapolaci. Důraz je kladen na představení, odvození a popis Newtonových-Cotesových kvadraturních formulí, Eulerovy-Maclaurinovy sumační formule, Richardsonovy extrapolace a Rombergovy kvadraturní formule. Práce je převážně teoretického charakteru, ale obsahuje i porovnání jednotlivých metod na konkrétních příkladech a grafické ukázky. Abstract This thesis deals with the Methods of Numerical Mathematics which uses extrapolation in approximation of definite integral. The emphasis is placed on presentment, inference and description of Newton-Cotes quadrature formulas, Euler-Maclaurin summation formula, Richardson extrapolation and Romberg quadrature formula. The thesis is mainly theoretical, but also contains a comparison of different methods and graphic examples.

6

7 Poděkování Za existenci celé této práce bych chtěla poděkovat především prof. Horové, která byla trpělivá, pomohla mi řešit všechny problémy, se kterými jsem se často při psaní potýkala, a dávala mi cenné rady. Dále bych chtěla poděkovat svému bratrovi Tomáši Němečkovi za pomoc s technickou stránkou práce. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 7. května Zuzana Němečková

8 Obsah Úvod Přehled použitého značení x xi Kapitola 1. Úvod do problematiky extrapolace a numerického integrování Aproximace funkce Interpolace Extrapolace Numerické integrování Kapitola. Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule Složené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule Základ pro konstrukci Eulerovy-Maclaurinovy sumační formule Bernoulliovy polynomy Bernoulliova čísla Eulerova-Maclaurinova sumační formule Richardsonova extrapolace a Rombergova kvadraturní formule Výpočet aproximace integrálu Kapitola 4. Porovnání metod Zadání Výpočty Závěrečné srovnání Závěr Příloha Seznam použité literatury vii

9 Úvod Oblast numerické matematiky, ve které se pohybujeme v této práci, se zabývá aproximačními metodami, které nám pomáhají při řešení složitých matematických problému, jako je např. integrace. Pro aproximaci integrálu je mnoho způsobů. My se zaměříme na ty, v nichž využíváme extrapolaci. Extrapolace se sice obecně nedoporučuje kvůli možným nepřesnostem, ovšem my se seznámíme s metodami, ve kterých tento problém můžeme eliminovat. Základem extrapolačních metod jsou Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule, proto je popíšeme jako první, přičemž se zaměříme na lichoběžníkové, Simpsonovo parabolické a obdélníkové pravidlo. Zpřesnění aproximace těmito formulemi dosáhneme tak, že interval, který určují integrační meze, dělíme na subintervaly o stejné délce a na každý aplikujeme danou kvadraturní formuli, což je princip složených Newtonových-Cotesových formulí. Tyto metody jsou v praxi implementovány v počítačových programech, které jsou určeny pro výpočet integrálu. V této práci vycházíme především z monografií [4] a [6] a ze skript [], [8] a [9]. Dále odvodíme Eulerovu-Maclaurinovu sumační formuli, která tvoří teoretický základ pro Richardsonovu extrapolaci. Speciálním případem Richardsonovy extrapolace, kdy na ni aplikujeme lichoběžníkové pravidlo, je Rombergova kvadraturní formule, někdy nazývaná také Rombergova extrapolace. S těmito metodami se v literatuře nesetkáváme příliš často, zabývá se jimi však literatura [1], [5] a [7]. Složené Newtonovy-Cotesovy formule, Richardsonovu extrapolaci a Rombergovu kvadraturní formuli porovnáme v příkladu, kdy s jejich pomocí spočítáme integrál funkce, a graficky znázorníme. Všechny výpočty a grafické ukázky jsou vypracovány v programu RStudio [1]. viii

10 Přehled použitého značení f x funkce f proměnné x I f M integrál b a f xdx označení integrálu b a f xdx u Richardsonovy extrapolace a,b integrační meze x i n m h N uzlové body, i =,...,n n + 1 = počet uzlových bodů počet subintervalů délka kroku dělení intervalu stupeň přesnosti kvadraturní formule Q f kvadraturní formule aproximující integrál I f Q m f složená kvadraturní formule o m subintervalech Nh označení kvadraturní fomule u Richardsonovy extrapolace N j h j-tá aproximace integrálu I f pomocí Richardsonovy extrapolace o délce kroku dělení h T j,k j-tá aproximace integrálu I f pomocí Rombergovy metody integrace o k subintervalech P m h polynom proměnné h aproximující Q m f E f chyba kvadraturní formule E m f chyba složené kvadraturní formule ε přesnost aproximace B i x Bernoulliovy polynomy, i =,1,,... B i Bernoulliova čísla, i =,1,,... ix

11 Kapitola 1 Úvod do problematiky extrapolace a numerického integrování V této části se seznámíme s teoretickými základy numerické matematiky, jako je aproximace funkce a interpolace, které vedou až k oblastem extrapolace a numerického integrování. Najdeme je ve skriptech [] a v monografii [7]. Zavedeme zde některé základní pojmy a značení, se kterými budeme později, i když třeba v upravených podobách, pracovat. 1.1 Aproximace funkce Kdykoliv chceme řešit nějaký matematický problém s pomocí numerické matematiky, musíme si ho vyjádřit ve formě použitelné v oblasti aritmetických procesů, tedy aproximovat ho. Aproximace funkce f x tedy znamená, že ji nahradíme určitou funkcí ϕx, pomocí které pak dostaneme výsledek co možná nejbližší tomu, jakého bychom dosáhli z původní funkce f x f x ϕx. Nejčastěji aproximujeme funkce, u nichž se snažíme najít nějakou jejich charakteristiku např. integrál, ale tvar této funkce je pro běžný výpočet příliš složitý a postup výpočtu by tak byl velmi náročný. Další případ, kdy je nutné funkci aproximovat, je, pokud neznáme její analytické vyjádření a známe jen některé její body a v nich hodnoty funkce. Chyba vznikající při aproximaci Pokud k výpočtu použijeme aproximativní funkci ϕx, výsledek nemůže být dokonale přesný. Vzniká tak chyba, jejíž absolutní velikost vyjádříme jako rozdíl mezi aproximovanou hodnotou výsledku a jeho skutečnou hodnotou. Důležité ale je, že velikost této chyby umíme odhadnout na základě zvolené metody aproximace. Proto se snažíme vybrat tu metodu aproximace, abychom docílili co nejmenší možné chyby. Chybu budeme značit E f. 1

12 Kapitola 1. Úvod do problematiky extrapolace a numerického integrování Aproximace pomocí polynomů Nejběžnější způsob aproximace funkce f x je, že ji podle monografie [7, s ] vyjádříme jako lineární kombinaci funkcí z nějaké speciální třídy. Pro polynomiální aproximaci jde o třídu funkcí {x n } n=, nebo obecněji o třídu polynomů {p nx} n=, kde {p nx} je polynom n-tého stupně. S tímto způsobem aproximace funkce budeme po celou dobu pracovat. 1. Interpolace Celá problematika interpolace má základy v polynomiální aproximaci. Její princip je takový, že známe hodnoty funkce v daných bodech, ale neznáme konkrétní podobu funkce, která tyto hodnoty určuje. Pomocí interpolačních metod a těchto bodů dokážeme sestavit polynom, který neznámou funkci aproximuje. Interpolace se využívá k hledání hodnoty funkce v bodě, který leží mezi body, v nichž hodnoty funkce známe, a z aproximačního polynomu získáme aproximaci neznámé hodnoty. Zmínka o interpolaci je zde důležitá proto, že je základním stavebním kamenem mnoha dalších numerických metod, jako je např. numerické derivování, integrování či numerická kvadratura. Mějme funkci f x, kterou aproximujeme lineární kombinací funkcí {g n x} m n= viz [7, s. 47] f x a g x + a 1 g 1 x a m g m x = gx;a,...,a m, 1.1 kde a i,i =,...,m jsou konstanty a g i x,i =,...,m jsou polynomy z třídy funkcí polynomů {g n x} n= a přitom g i,i =,...,m tvoří bázi lineárního prostoru dimenze m + 1. Toto je aproximace funkce f x lineárního typu. Funkce gx;a,...,a m tady v konkrétnější podobě zastupuje obecnou aproximační funkci ϕx. Interpolační aproximace Je několik způsobů, jak volit konstanty a i. Pro interpolaci je ale specifický jen jeden znich, a tím je interpolační aproximace. V tomto typu aproximace jsou konstanty takové, aby se hodnoty aproximační funkce gx;a,...,a m z rovnice 1.1 v daných bodech x i,i =,...,m rovnaly hodnotám funkce f x v těchto bodech gx i ;a,...,a m = f x i. V některých bodech mohou být předepsány i hodnoty prvních r derivací funkce f x. V takovém případě platí: g r x i ;a,...,a m = f r x i. Body x i,i =,...,m, se nazývají uzlové body.

13 Kapitola 1. Úvod do problematiky extrapolace a numerického integrování Extrapolace Extrapolace spočívá na stejném principu jako interpolace, ale s tím rozdílem, že bod, v němž hledáme hodnotu funkce, leží vně intervalu vymezeného uzlovými body. Tím ale vzniká problém s přesností popsaný v monografii [7, s. 87]. Čím vzdálenější je bod od středu tohoto intervalu, tím větší chyby aproximace se dopouštíme. Extrapolace je tedy obecně méně přesná než interpolace a proto se používá jen ve speciálních metodách. Ty nejznámější jsou předmětem této práce. 1.4 Numerické integrování V této oblasti numerické matematiky se budeme zabývat přibližným výpočtem určitého integrálu pomocí kvadraturní formule. Mějme určitý integrál I f = b a f xdx, který aproximujeme podle skript [, s. 5] pomocí výrazu tvaru tedy Q f = n i= A i f x i, 1. I f Q f a I f = Q f + E f. 1.3 Výraz 1. s označením Q f se nazývá kvadraturní formule, reálná čísla A i,i =,...,n jsou koeficienty kvadraturní formule a body x i a,b,i =,...,n jsou uzlové body kvadraturní formule. A i a x i nezávisí na f. E f je chyba kvadraturní formule. Abychom našli aproximaci I f, musíme určit koeficienty A i a body x i tak, aby chyba E f byla nulová. Z rovnice 1.3 získáme neznámé koeficienty a uzlové body jako řešení soustavy nelineárních rovnic, kde za f x dosadíme funkci x j pro j =,1,,..., kde Ex j =. Tím se dostáváme k pojmu stupně přesnosti, který je definován takto: Definice. Řekneme, že kvadraturní formule Q f = n i= A i f x i má stupeň přesnosti N, jestliže [, s. 6] Ex j =, j =,...,N, Ex N+1.

14 Kapitola Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule Jedním z typů kvadraturních formulí popsaných v monografiích [4], [6], [7] a ve skriptech [] a [8], kdy všechny uzlové body jsou známé a jsou ekvidistantní, tzn. pro x i a,b,i =,...,n, platí x i+1 x i = h, i =,...,n 1, h >, a = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b, takže h = b a n, jsou Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule. Můžeme je rozdělit na dvě třídy viz [], [6] a [7] : Uzavřené formule - získáme integrací interpolačního polynomu v bodech x i,i =,...,n. Integrační meze patří mezi uzlové body formule a = x,b = x n. Stupeň přesnosti těchto formulí je alespoň n. Otevřené formule - integrační meze nejsou uzlové body formule a počítáme pouze s body x i,i = 1,...,n 1. Tyto formule získáme integrací interpolačního polynomu pouze v těchto bodech. Stupeň přesnosti je alespoň n. Z uzavřených formulí si ukážeme dvě základní. První a nejvíce užívané je lichoběžníkové pravidlo, kde máme jen dva uzly, x = a a x 1 = b, tedy n = 1. Formule je tvaru b a f xdx = b a f a + f b b a3 1 f ξ, a < ξ < b,.1 kde Q f = b a f a + f b je kvadraturní formule vyjadřující obsah lichoběžníka obrázek.1a a E f = b a3 1 f ξ je chyba této formule. 4

15 Kapitola. Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule 5 Druhá formule je Simpsonovo parabolické pravidlo. Počítáme se třemi uzly, x = a, x 1 = a+b a x = b, n =. Výsledná formule je b f xdx = b a a + b f a + 4 f + f b 1 b a 5 f 4 τ, a < τ < b. a 6 9. Tady kvadraturní formule Q f = b a 6 f a + 4 f a+b + f b popisuje plochu pod parabolou obrázek.a. Nejjednodušší otevřenou formulí je obdélníkové pravidlo. Máme stejné uzly jako u Simpsonova pravidla, ale počítáme pouze s x 1 = a+b a dostáváme b a + b b a3 f xdx = b a f + f δ, a < δ < b..3 4 a Formule Q f = b a f a+b vyjadřuje obsah obdélníku obrázek.3a. Jak pro otevřený, tak pro uzavřený typ formulí existují samozřejmě i ty pro n = 3,4,5,..., ale protože se v praxi příliš nepoužívají, nebudeme je zde popisovat.

16 Kapitola. Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule 6.1 Složené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule Nevýhodou kvadraturních formulí obecně je to, že s rostoucím počtem uzlových bodů roste řád derivace a posloupnost kvadraturních formulí nemusí konvergovat k přesné hodnotě integrálu. Na druhou stranu s použitím malého počtu uzlů nemusíme dosáhnout dostatečně přesného výsledku. Tento problém řeší složené formule, kdy interval určený krajními uzlovými body rozdělíme na m subintervalů a na každý z nich aplikujeme formuli nižšího řádu. a m = 1 b m = 4 Obrázek.1: Lichoběžníkové pravidlo Na obrázku.1 je ukázka jednoduché a složené lichoběžníkové formule se čtyřmi subintervaly. Červená křivka vykresluje funkci f x = e x sin x + 1 a šedé plochy vyznačují obsahy lichoběžníků, které aproximují f xdx. Na první pohled je zřejmé, že složený tvar této formule dává přesnější aproximaci než ten jednoduchý. Složené Newtonovy-Cotesovy formule mají oproti ostatním složeným kvadraturním formulím jednu podstatnou výhodu, na které je založeno jejich jednodušší využití. Jakmile podle monografie [7, s. 143] rozdělíme původní interval na m subintervalů, sice zvýšíme množství uzlových bodů, se kterými budeme pracovat, m-krát, ale protože každý z krajních bodů subintervalů kromě krajních bodů původního intervalu je současně koncovým bodem jednoho subintervalu a počátečním bodem následujícího subintervalu, nakonec je těchto bodů o m 1 méně. Tedy pokud máme m subintervalů a každý z nich obsahuje n+1 uzlů, budeme nakonec pracovat pouze s mn + 1 m 1 = mn + 1 body. Co se týče stupňů přesnosti složených Newtonových-Cotesových formulí, stupeň přesnosti složené formule je stejný jako u její jednoduché podoby. Jak jsem již zmínila, základní princip složených kvadraturních formulí je ten, že rozdělíme interval na m subintervalů a na každý z nich aplikujeme jednoduchou formuli. Jednotlivé výsledky nakonec sečteme b a f xdx = Q m f + E m f..4

17 Kapitola. Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule 7 Pracujeme-li s ekvidistantním dělením intervalu a,b s krokem h = b a m platí tak x i = x + ih,i =,...,m a také a = x < x 1 <... < x m = b, tak pro rovnici.4 platí b a f xdx = m 1 xi+1 f xdx..5 i= x i Chceme-li výsledek zpřesnit zvýšením počtu subintervalů, podle skript [, s. 6] se doporučuje volit jejich počet roven vždy nějaké mocnině dvou, tedy začít se dvěma subintervaly, dále je rozpůlit atd. Obecně tento postup můžeme zapsat jako m k = k, k =,1,,... To je velmi důležité proto, že tím zmenšíme počet potřebných dílčích výpočtů a jednou vypočtené hodnoty funkce v uzlových bodech využijeme při dalším dělení intervalu. Na tomto základě si ukážeme nejjednodušší, ale zároveň nejpoužívanější složené Newtonovy-Cotesovy formule, jejichž odvození najdeme např. v literatuře [], [6] a [9]. Složené lichoběžníkové pravidlo Pro složené lichoběžníkové pravidlo platí, že jeho kvadraturní formule má podle.1 a.5 tvar Q m f = m 1 i= h [ f x i + f x i+1 ] = h [ f x + f x 1 + f x + + f x m 1 + f x m ] a chybu můžeme vyjádřit jako Tedy b a.6 E m b a3 f = 1m f ξ = b a 1 h f ξ, a < ξ < b..7 f xdx = h [ ] m 1 f x + f x i + f x m b a i=1 1 h f ξ..8 Protože pro lichoběžníkové pravidlo platí n = 1, počítáme s m + 1 body. Grafickou ukázku, jak složeným lichoběžníkovým pravidlem aproximujeme integrál, máme na obrázku.1b.

18 Kapitola. Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule 8 Složené Simpsonovo pravidlo Abychom si podobným způsobem zkonstruovali složené Simpsonovo pravidlo, rozdělíme interval na m subintervalů délky h = b a m, protože jednoduché Simpsonovo pravidlo budeme aplikovat vždy na interval délky h. Potřebujeme tedy sudý počet subintervalů. Stále ale platí, že x i = x +ih,i =,...,m a a = x < x 1 <... < x m = b. Upravíme podle toho rovnici.5 na b a f xdx = m 1 xi+ f xdx..9 i= x i V jednoduchém Simpsonově pravidle máme funkční hodnotu prostředního uzlu intervalu násobenou 4, což zůstane i pro středové uzly subintervalů délky h ve složeném pravidle. Budou to vždy uzlové body s lichými indexy. Oproti tomu uzly se sudými indexy jsou krajní body subintervalů, proto jejich funkční hodnoty, stejně jako u složeného lichoběžníkového pravidla, budeme počítat -krát. Z. a.9 dostáváme formuli Q m f = m 1 i= a chyba této složené formule má tvar h 6 [ f x i + 4 f x i+1 + f x i+ ] = h 3 [ f x + 4 f x 1 + f x + + f x m ].1 E m b a5 f = 18m 4 f 4 τ = b a 18 h4 f 4 τ, a < τ < b..11 Výsledné vyjádření integrálu je b a f xdx = h 3 [ f x + 4 m i=1 ] m 1 f x i 1 + f x i + f x m b a i=1 18 h4 f 4 τ..1 Pro každý subinterval máme n = uzlových bodů, celkově máme ve složeném Simpsonově pravidle m + 1 funkčích hodnot k výpočtu. Opět se na toto pravidlo můžeme podívat i z vizuální stránky: obrázek. ukazuje jeho jednoduchou a složenou podobu pro čtyři subintervaly pro integrál funkce f x = e x sin x+1. Tentokrát aproximujeme pomocí parabol, které u této funkce už pro čtyři subintervaly skoro kopírují křivku samotné funkce.

19 Kapitola. Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule 9 a m = 1 b m = 4 Obrázek.: Simpsonovo pravidlo Složené obdélníkové pravidlo Stejně jako předchozí dvě složená pravidla odvodíme z.3 a.5 i složené obdélníkové pravidlo Q m m 1 f = i= xi + x i+1 h f [ = h f x + x 1 + f x1 + x + + f Vždy tedy počítáme mn 1 funkčních hodnot. Výraz pro chybu formule je xm 1 + x m ]..13 E m b a3 f = 4m f δ = b a 4 h f δ, a < δ < b..14 Aproximace integrálu pomocí obdélníkového pravidla má vzorec b a m 1 f xdx = h f i= xi + x i+1 b a 4 h f δ..15 I obdélníkové pravidlo ilustrujeme na obrázku.3. Máme stejnou funkci a stejný počet subintervalů jako u předchozích dvou, jen tentokrát používáme pro aproximaci obdélníky. a m = 1 b m = 4 Obrázek.3: Obdélníkové pravidlo

20 Kapitola. Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule 1 Složené obdélníkové pravidlo oproti předešlým dvěma složeným pravidlům nemá výhodu ve zmenšení počtu dílčích výpočtů při počtu subintervalů m k = k, protože v tomto případě počítáme pouze s hodnotami funkce ve středech subintervalů a ty s každým dalším dělením musíme počítat nové. To jsou základní složené Newtonovy-Cotesovy formule a stejně jako u jednoduchých ty pro vyšší n nebudeme uvádět.

21 Kapitola 3 Eulerova-Maclaurinova sumační formule Je mnoho způsobů jak pomocí kvadraturních formulí aproximovat určitý integrál. Jednu důležitou skupinu formulí jsme popsali v předchozí kapitole. Nyní na ni částečně navážeme Eulerovou-Maclaurinovou sumační formulí. S její pomocí si ukážeme určité chování, které integrály a sumy vykazují, a jak spolu tyto dvě matematické operace souvisí. S podrobnějším popisem a konstrukcí této formule se setkáme v monografiích [1], [5] a [7]. 3.1 Základ pro konstrukci Eulerovy-Maclaurinovy sumační formule Počítáme integrál na intervalu,1 z funkce f x, tedy 1 f xdx. 3.1 Můžeme ho podle monografie [5, s. 645] aproximovat lichoběžníkovým pravidlem.1 a dostaneme tak přibližnou hodnotu integrálu 1 [ f + f 1]. 3. Musíme však vyjádřit chybu této aproximace. Předpokládáme, že je funkce f x na intervalu,1 spojitá. Definujeme funkci B x = 1 a k ní sestrojíme funkci B 1 x takovou, že B 1 x = B x tzn. B 1 x = B xdx = 1dx = x + c, kde c je konstanta. Integrál funkce f x můžeme přepsat jako integrál součinu funkcí f x a B x. Máme tak f xdx = f xb xdx = f xb 1xdx 11

22 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 1 a integrujeme metodou per partes: f xdx = [ f xb 1 x] 1 f xb 1 xdx = [ f x x + c] 1 f xb 1 xdx = f c f c 1 f xb 1 xdx. Chceme, aby výraz f c f c byl roven výrazu 3., proto musíme najít hodnotu konstanty c: f c f c = 1 [ f + f 1] c [ f 1 f ] = 1 f 1 f 1 Tím jsme získali Nyní již můžeme psát 1 c = 1 B 1 x = x 1. a tedy chyba této aproximace integrálu 3.1 je f xdx = 1 1 [ f + f 1] f xb 1 xdx f xb 1 xdx. 3.4

23 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule Bernoulliovy polynomy Funkce B x a B 1 x nám nadále nebudou stačit, proto podle monografie [5, s ] definujeme další B k x,k =,3,... takové, aby splňovaly vlastnosti: Věta 3.1. Existuje právě jedna posloupnost funkcí B x,b 1 x,b x,..., které mají tyto vlastnosti: 1 B x = 1, B 1 x = x 1, B k x = B k 1x, k = 1,,..., 3 B k+1 = B k+1 1 =, k = 1,,... B k x jsou polynomy k-tého stupně s racionálními koeficienty a nazveme je Bernoulliovy polynomy. Důkaz. Předpokládejme, že už známe polynomy B x,b 1 x,b x,...,b m 1 x,m 1, které mají výše uvedené vlastnosti. Dále mějme funkci ϑx, která je primitivní funkcí k polynomu B m 1 x tedy ϑ x = B m 1 x, a funkci γx, která je primitivní funkcí k ϑx γ x = ϑx. ϑx a γx jsou polynomy a volíme je tak, aby měly racionální koeficienty. Máme tak Z vlastnosti 3 vyplývá, že B m x = ϑx + a, B m+1 x = γx + ax + b. B m+1 = γ + b =, B m+1 1 = γ1 + a + b =, což platí pouze v případě, že b = γ a a = γ γ1. Konstanty a,b jsou racionální čísla a jsou dána jednoznačně, tedy opravdu existuje právě jedna posloupnost polynomů B x,b 1 x,b x,... Věta 3.. Bernoulliovy polynomy splňují následující podmínky: i B k x = 1 k B k 1 x, k =,1,,..., ii B k+1 1 =, k =,1,,..., iii B k = B k 1, k =,1,,... Důkaz. Podmínka i platí pro k =,1 vždy, protože B x = 1, 1 B 1 x = B 1 x = 1, B 1 x = x 1, 11 B 1 1 x = B 1 1 x = 1 x 1 = x 1.

24 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 14 Necht platí i pro k = m 1. Potom B m 1 x = B m 1 1 x a z toho pomocí vlastnosti věty 3.1 vyplývá, že B m x = B m 1 x + a, B m+1 x = B m+1 1 x + ax + b. S využitím vlastnosti 3 věty 3.1 pro poslední rovnici dostáváme B m+1 = B m b =, B m+1 1 = B m+1 + a + b =, což platí pouze pro a = a b =, takže podmínka i platí pro k = m + 1 i pro k = m. Podmínku ii dokážeme jednoduše tak, že dosadíme x = 1 do podmínky i jejíž platnost jsme již dokázali 1 1 B k+1 = B k+1. Tato rovnost platí pouze pokud B k+1 1 =. Poslední podmínku iii dokážeme opět pomocí podmínky i a to tak, že ji na ni aplikujeme. Do podmínky i dosadíme x = a index k: B k = 1 k B k 1 = B k 1. Bernoulliovy polynomy můžeme konstruovat i způsobem, který je popsán v monografii [5, s ] a [1, s ] následující větou. Věta 3.3. Funkci t e xt e t lze rozvinout v mocninnou řadu proměnné t; koeficienty při proměnných t k jsou právě Bernoulliovy polynomy. Důkaz. Toto tvrzení dokážeme tak, že budeme pracovat s nějakými obecnými polynomy a dokážeme, že mají stejné vlastnosti jako Bernoulliovy polynomy. Pro všechna t, kdy e t 1, platí t e t 1 = 1 1 1! +! t + 3! t kde místo t = počítáme s limitou t, tedy lim t +, 3.6 t e t 1 = 1.

25 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 15 Výše uvedený rozvoj můžeme přepsat do tvaru t e t 1 = c + c 1 t + c t Tato řada absolutně konverguje v okolí počátku, tj. existuje číslo R > a t < R pro které řada konverguje absolutně viz [3, s ]. Dále pro všechna x a t platí Vynásobením rovnic 3.7 a 3.8 dostaneme e xt = 1 + xt 1! + x t! + x3 t ! t e xt e t 1 = β x + β 1 xt + β xt + = β k xt k 3.9 k= pro všechna x a t < R, kde β k x jsou polynomy nejvýše k-tého stupně. Porovnáním pravých stran rovnic 3.6 a 3.7 získáme c = 1,c 1 = 1,... Dosazením těchto hodnot zpět do rovnice 3.7, vynásobením této nové rovnice rovnicí 3.8 a porovnáním s rovnicí 3.9 dostaneme Pokud x =, potom funkce β x = 1, β 1 x = x 1,... t e t 1 β 1t = t e t t = t et + 1 e t 1 je sudá funkce proměnné t, takže v rovnici 3.9 po odečtení β 1 t vypadnou liché mocniny t, což znamená, že Nyní dosadíme x = 1. Tak dostaneme β k+1 =, k = 1,,... t e t e t 1 β 11t = t et e t 1 1 t = t et + 1 e t 1. Opět se jedná o sudou funkci proměnné t a stejnou úpravou jako u předchozí rovnice získáme β k+1 1 =, k = 1,,... Pro k = β 1,β 1 1. Dále z rovnic 3.7, 3.8 a 3.9 vyplývá a odtud pro k > platí β k x = k c j j= x k j k j! β k x = k 1 j= c j xk j 1 k j 1! = β k 1x, k = 1,,...

26 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 16 Takto jsme odvodili, že polynomy β k x mají stejné vlastnosti jako Bernoulliovy polynomy B k x popsané ve větě 3.1. Tedy β k x = B k x, k =,1,,... Z rovnosti β k x = B k x a z rovnice 3.9 plyne, že t e xt e t 1 = B k xt k. k= Pomocí tohoto vztahu můžeme počítat Bernoulliovy polynomy i jednodušším způsobem, který také najdeme v monografii [5, s. 65]. Uvažujme funkci e t 1 t = 1 1! + t! + t ! Pokud touto rovnicí vynásobíme rovnici 3.9, kde pro e xt použijeme rozvoj 3.8 a porovnáme koeficienty u t k, získáme vztahy pro výpočet B k x. e t 1 t e xt 1 t e t 1 = 1! + 1! t + 1 3! t + 1 4! t3 + B k xt k 1 + xt + x t + x3 1 6 t3 + = B x + B x + B 1 x t B x + 1 B 1x + B x t B x B 1x + 1 B x + B 3 x t + Porovnáním koeficientů při stejných mocninách t dostáváme k= x 1 = B x x = 1 B x + B 1 x B 1 x = x 1 B x = 1 6 B x + 1 B 1x + B x B x = x 1 B 1x 1 6 B x x 3 6 = 1 4 B x B 1x + 1 B x + B 3 x B 3 x = x3 6 1 B x 1 6 B 1x. 1 4 B x

27 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 17 Pomocí všech výše uvedených podmínek a vlastností můžeme zkonstruovat posloupnost Bernoulliových polynomů. Některé z nich vypíšeme: B x = 1 B 1 x = x 1 B x = 1 x 1 x B 3 x = 1 6 x3 1 4 x x B 4 x = 1 4 x4 1 1 x x 1 7 B 5 x = 1 1 x x x3 1 7 x.

28 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule Bernoulliova čísla Definice. Racionální čísla B 1,B,..., definovaná rovnicemi nazveme Bernoulliovými čísly. B k 1 k 1 k! = B k = B k 1, k = 1,,..., 3.11 Toto je definice Bernoulliových čísel podle monografie [5, s. 646]. Dále ukážeme některé jejich vlastnosti. Věta 3.4. Platí t e t 1 = 1 1 t + B 1! t B 4! t4 + B 3 6! t6 3.1 pro takové R >, že t < R a pro libovolné x a t t = t. Důkaz. Do rovnice 3.9 dosadíme x = a dostaneme t e t 1 = B k t k. k= Z vlastnosti 3 věty 3.1 o Bernoulliových polynomech víme, že pro k = 1,,... B k+1 =, tedy t e t 1 = B + B 1 + B t + B 4 t 4 + B 6 t 6 +. Ted už stačí jen za Bernoulliovy polynomy dosadit z definice Bernoulliových čísel vyjádření 3.11 a dostáváme výsledný vztah 3.1. Stejně jako u Bernoulliových polynomů si můžeme usnadnit výpočet Bernoulliových čísel. Vynásobením rovnic 3.1 a 3.1 dostaneme B1 1 = 1 + t + 1 t B t 3 B B 4 1 t a porovnáním koeficientů u stejných mocnin t k získáme vztahy pro výpočet B k : = B = B 1 1 B B 1 = 1 6 B1 B = = 1 8 3

29 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 19 Nebo můžeme použít obecný vzorec, který je uveden v monografii [5, s. 65]: k k p B p = k 1 p=1 p a postupným dosazováním za k = 1,,... jednotlivá Bernoulliova čísla vypočítat. Opět na ukázku některé z nich: B 1 = 1 6, B = 1 3, B 3 = 1 4, B 4 = 1 3, B 5 = 5 66.

30 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 3.4 Eulerova-Maclaurinova sumační formule Když už nyní máme definovány Bernoulliovy polynomy a Bernoulliova čísla, můžeme zkonstruovat Eulerovu-Maclaurinovu sumační formuli. V části 3.1 jsme odvodili aproximaci integrálu 1 f xdx pomocí lichoběžníkového pravidla vztahem 3.3. Její chybu, která má vyjádření 3.4, ještě upravíme pomocí následující věty. Věta 3.5. Necht < a < b < a n je přirozené číslo. Necht funkce f x a B n x mají na intervalu a,b absolutně spojitou derivaci řádu n 1. Potom b a f xb n n 1 n xdx = k= Důkaz. Počítáme metodou per partes viz [5, s. 197]. [ ] 1 k f k xb n n k 1 b b x + a 1n f n xb n xdx. a Nyní již můžeme napsat výslednou formuli pro aproximaci integrálu 1 f xdx. 1 f xdx = 1 [ f + f 1] [ f xb x f xb 3 x n f n xb n x n f n xb n xdx Abychom vztah upravili na tvar využívající Bernoulliova čísla, v rovnici 3.13 změníme n na p, kde p je přirozené číslo, a podle vlastnosti 3 věty 3.1 a definice Bernoulliových čísel dostaneme ] 1 1 f xdx = 1 [ f + f 1] B 1 [ f 1 f ] + B [ f 1 f ]! 4! + 1 p B [ ] 1 p f p 1 1 f p 1 + f p xb p xdx p! [5, s. 647] Rovnice 3.14 vyjadřuje Eulerovu-Maclaurinovu sumační formuli pro aproximaci integrálu funkce f x na intervalu,1.

31 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 1 Formuli v podobě 3.14 můžeme zobecnit pro řešení integrálu v obecných integračních mezích. Věta 3.6. Mějme přirozené číslo p, interval a,a+h, kde < a <, < h <. Necht funkce f má na a,a + h absolutně spojitou derivaci f p 1. Potom a+h a f xdx = h [ f a + f a + h] kde R p je chyba formule: B 1 [! h f a + h f a ] + B [ 4! h4 f a + h f a ] + 1 p B p p! hp [ f p 1 a + h f p 1 a ] + R p, R p = h p+1 f p a + hzb p zdz Důkaz. Pokud na rovnici 3.14 aplikujeme substituci x = a + hz, tedy a+h a f xdx = h 1 f a + hzdz, potom rovnice 3.15 vyplývá přímo z rovnice Rovnice 3.15 je obecné vyjádření Eulerovy-Maclaurinovy sumační formule.

32 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 3.5 Richardsonova extrapolace a Rombergova kvadraturní formule Nyní ukážeme, jak Eulerova-Maclaurinova sumační formule souvisí s Richardsonovou extrapolací a také s Rombergovou kvadraturní formulí, kterými můžeme aproximovat určitý integrál. Pokud výraz B p 1 p p! [ ] f p 1 a + h f p 1 a z rovnice 3.15 budeme považovat za konstantu r p závisející na funkci f a jejích derivacích, můžeme celou formuli přepsat takto a+h a f xdx = h [ f a + f a + h] + r 1h + r h r p h p + R p Richardsonova extrapolace Podle rovnic.5,.6 a 3.17 platí b a f xdx = = m 1 a+i+1h i= a+ih m 1 i= f xdx h [ f a + ih + f a + i + 1h] + s 1h + s h s m h m + o h m+1 kde h = b a m a Qm f = m 1 i= h [ f a + ih + f a + i + 1h] je kvadraturní formule složeného lichoběžníkového pravidla a s m jsou konstanty závislé na f a jejích derivacích. Členy s m h m tvoří hlavní člen chyby formule a o h m+1 je její zbytek a určuje řád aproximace. Odtud získáme obecné vyjádření Richardsonovy extrapolace: M = Nh + s 1 h + s h s m h m + o h m [, s. 1] Obecně M je veličina, kterou chceme spočítat, a Nh je numerická metoda závisející na h. V našem případě M = b a f xdx a Nh = Q m f. Proto je pro nás rovnice 3.18 vyjádřením obecné Richardsonovy extrapolace pro výpočet určitého integrálu. Nyní se omezíme na M = Nh + s 1 h + o h Máme tak aproximaci integrálu pomocí složené kvadraturní formule s krokem h řádu o h 4.

33 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 3 Pokud h zmenšíme na h, z 3.19 dostaneme h h h 4 M = N + s 1 + o, 3. kde N h je stejná složená formule jako ve 3.19, ale s dvojnásobným počtem subintervalů. Rovnici 3. vynásobíme čtyřmi, odečteme od ní rovnici 3.19, upravíme a dostaneme M = 4N h Nh 3 + o h Formuli Nh označíme jako N 1 h a N h jako h N1. Potom nová aproximace integrálu bude N h = 4N h 1 N1 h 3. 3 a řád této aproximace je opět o h 4. Tento postup nám umožňuje získat ze dvou méně přesných aproximací integrálu jeho přesnější aproximaci. Abychom zobecnili tento postup pro další dělení kroku h a tím i pro lepší aproximaci integrálu, vyjádříme ho jako m 1 M = Nh + j=1 s j h j + o h m. Odtud aproximace N j h řádu o h j pro j =,3,...,m vyjadřuje vztah N j h = 4 j 1 N h j 1 Nj 1 h 4 j Výpočty můžeme uspořádat do schématu: N 1 h N h 1 N h4 1 N h8 1 N h N h N h N h4 N h8. N 3 h N h 3 N h4 3. N 4 h N h 4. N 5 h. Protože krok h vždy dělíme dvěma, tato metoda se nazývá také metoda polovičního kroku. O extrapolaci jde proto, že aproximujeme integrál pro h, kdy pro h = bychom dostali jeho přesnou hodnotu....

34 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 4 Rombergova kvadraturní formule Pokud kvadraturní formule v rovnici 3.18 bude konkrétně složené lichoběžníkové pravidlo, pak bude tato rovnice tvořit základ pro Rombergovu kvadraturní formuli [, 66-69]. Zbytek chyby o h m+1 je relativně malý, proto ho můžeme zanedbat a dostáváme tak I f Q m f + m i=1 s i h i, 3.4 kde I f = b a f xdx. Nyní ukážeme, jak lze výraz 3.4 použít pro aproximaci integrálu. Konstanty s i explicitně závisí na derivacích funkce f x, a proto výraz 3.4 v této podobě nelze použít. Ukážeme však, jak lze tento problém vyřešit. Položme I f = P m h + m i=1 s i h i. 3.5 P m je polynom, pro který platí P m Π m, kde Π m je třída všech polynomů stupně nejvýše n. Platí tedy P m = I f a tuto hodnotu budeme aproximovat. Ze vztahů 3.4 a 3.5 vyplývá Dále mějme posloupnost dělení intervalu a,b P m h Q m f. 3.6 x i = x + ih k, i =,1,,...,k, x = a,x k = b,h k = b a k, k =,1,,...,m. Upravíme vztah 3.6 P m h k Qm k f, k =,1,...,m, kde Q m k f je hodnota složeného lichoběžníkového pravidla pro krok h k. Pro hodnoty h k,p m h k sestrojíme Lagrangeův interpolační polynom viz např. skripta [] nebo monografie [7] a dostaneme m P m h = k h k=l m P m h k l k h Q m k f. k= Výraz l k,k =,1,...,m označuje fundamentální polynomy viz např. skripta [] nebo monografie [7]. Pro h = máme a podle 3.5 P m m l k Q m k f k= m I f l k Q m k f, 3.7 k= kde m k= l kq m k f je Rombergova kvadraturní formule.

35 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule Výpočet aproximace integrálu Rombergova metoda integrace Rombergova metoda integrace je významnou aplikací Richardsonovy extrapolace, kdy využíváme lichoběžníkové pravidlo. Tuto metodu popisují např. monografie [1] a [7]. Zaměříme se tedy na složené lichoběžníkové pravidlo.6. Jeho kvadraturní formuli můžeme vyjádřit pro m = k, k =,1,,... takto Q m f = b a k [ ] m 1 1 f x + f x i + 1 i=1 f x m. 3.8 Tuto formuli podle [7, s ] označíme jako T,k, kde k má stále význam m = k, k =,1,,... To je základ této metody. Ten dále aproximujeme výrazem s označením T 1,k, což je stejný výraz jako 3. u Richardsonovy extrapolace, kde výraz N 1 h nahradíme ekvivalentním výrazem T,k+1 a N 1 h výrazem T,k. Pak T 1,k = 4T,k+1 T,k I tyto výrazy dále aproximujeme. Obecná aproximace pro k =,1,,... má výraz T j,k = 4 j T j 1,k+1 T j 1,k 4 j, j =,1,...,k Nakonec je výraz T k, konečnou aproximací integrálu, a tedy T k, je nejpřesnější aproximací integrálu z množiny všech aproximací {T j,k } j=,...,k. Výpočty odpovídají schématu takto: T, T,1 T 1, T, T 1,1 T, T,3 T 1, T,1 T 3, T,4 T 1,3 T, T 3,1 T 4, T,5 T 1,4 T,3 T 3, T 4,1 T 5, k=,1,... Výpočty v prvním sloupci T,k jsou získávány pomocí složeného lichoběžníkového pravidla pro k subintervalů. Ve druhém sloupci T 1,k jsou získávány ze složeného Simpsonova pravidla pro k subintervalů. K výpočtům ve třetím sloupci jsme použili složenou Newtonovu-Cotesovu formuli uzavřeného typu pro n = 4 a pro k subintervalů. Podle monografie [7, s. 147] výrazy v dalších sloupcích už nemají přímou spojitost se složenými Newtonovými-Cotesovými formulemi jako ty v prvních třech sloupcích, ale jsou lineární kombinací složených lichoběžníkových pravidel pro k, k+1,..., k+m subintervalů.

36 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 6 Tomuto postupu získávání aproximace integrálu se říká Rombergova metoda integrace. Někdy je také označován jako Rombergova extrapolace, protože stejně jako u Richardsonovy extrapolace hledáme aproximaci integrálu pro h. Poznámka. Chyba aproximace T j,k má podle monografie [1, s. 136] vyjádření b a k+1 1 k B k+ b a k +! j k f k+ ξ, a < ξ < b. Platí, že pokud je druhá derivace f x omezená na intervalu a,b, T,m konverguje k přesné hodnotě integrálu b a f xdx pro m. Hlavní člen chyby aproximace T m, je řádu b a m+, oproti tomu hlavní člen chyby aproximace T,m je řádu pouze b a. k Proto k můžeme říci, že pokud bude posloupnost aproximací T m, konvergovat k přesné hodnotě integrálu pro m, bude konvergovat rychleji než posloupnost aproximací T,m. Výhodou Rombergovy metody je podle skript [, s. 69] mimo její malou chybu aproximace i to, že pokud chceme najít ještě přesnější aproximaci integrálu, tedy hodnotu T k+1,, stačí vypočítat další řádek aproximací, protože výpočty se provádějí po řádcích. Oproti tomu nevýhodou je to, že je vhodné ji aplikovat na funkce s dostatečným počtem derivací na intervalu a,b. V některých případech můžeme mít zadanou přesnost ε, jakou má výsledek splňovat, a tomu přizpůsobit počet výpočtů. V takovém případě máme dvě možnosti pro zastavení výpočtu. Bud nebo [, s. 69] T k, T k 1,1 < ε, T k, T k 1, < ε. Princip Rungeho Jedná se o speciální případ Richardsonovy extrapolace a jeho bližší odvození můžeme nalézt ve skriptech []. Základní aproximace integrálu je stejná jako ta u Richardsonovy extrapolace 3.19, ale při dělení kroku vznikne nová aproximace, která má vyjádření b a f xdx = Q m f + Qm f Q m f N, 1 kde N 1 je stupeň přesnosti použité kvadraturní formule. Výraz Qm f Q m f N 1 z a jde o odhad chyby této metody. označíme

37 Kapitola 3. Eulerova-Maclaurinova sumační formule 7 Princip Rungeho se nejčastěji využívá k řešení problému, kdy hledáme aproximaci integrálu s požadovanou přesností ε, tedy E f < ε, a známe stupeň přesnosti formule. Postupujeme takto: 1. Počítáme složené kvadraturní formule s počtem subintervalů m k, m k = k m, m >, k =,1,,.... Na každém kroku vypočítáme odhad chyby této metody 3. Jestliže pro nějaké k platí z k = Qm k+1 f Q m k f N. 1 z k < ε, pak jsme získali novou aproximaci integrálu s požadovanou přesností ε b a f xdx = Q m k+1 f + z k. Richardsonova extrapolace a Rombergova metoda integrace jsou metody, na které můžeme aplikovat Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule. Jejich vhodné použití však není univerzální pro jakoukoliv funkci, a tedy ne vždy s jejich pomocí dosáhneme požadovaných výsledků.

38 Kapitola 4 Porovnání metod Nyní porovnáme zmíněné složené Newtonovy-Cotesovy formule, Richardsonovu extrapolaci a Rombergovu metodu integrace na základě toho, jak dobře aproximují integrál ba f xdx. Všemi těmito metodami budeme hledat aproximaci stejné funkce f x na stejném intervalu a interval budeme vždy dělit na stejný počet subintervalů m = 1,,4,8,16,3 m = k,k =,1,,3,4,5. Uvidíme, jak konvergují k přesné hodnotě integrálu a jak přesná bude jejich aproximace při m = 3 tu budeme brát jako výslednou aproximaci a označíme ji tučným písmem. Výsledky budeme zaokrouhlovat na pět desetinných míst. Složené lichoběžníkové pravidlo pro ukázku graficky znázorníme ve všech krocích dělení intervalu. Všechny výpočty a obrázky jsou vypracovány pomocí výpočetního matematického programu RStudio [1]. Zdrojové kódy jsou obsahem přílohy. 8

39 Kapitola 4. Porovnání metod Zadání I f = b a f xdx, f x = 1 3 x sin x 1 a = x =, b = x m = 16, h = b a m Skutečná hodnota integrálu I f : I f = 16 = x sin xdx = x dx x cosxdx x 1 cosx dx = 1 [ x 3 ] 16 1 [ x sinx ] xsinxdx 6 = 1 [ x 3 ] x sinx 1 1 [xcosx] = 1 [ x 3 ] x sinx xcosx + 1 [ sinx 1 = 1 [ x x sinx + sinx ] 16 xcosx [ x 3 = 18 x sinx + sinx 1 4 cosx ] 16 1 = 1, ] 16 cosx dx 1 Funkce je zvolena náhodně. Jediný požadavek je, aby měla dostatečný počet derivací.

40 Kapitola 4. Porovnání metod 3 4. Výpočty Lichoběžníkové pravidlo I f = b m = 1 5,65851 m = 19,5346 m = 4 16,5176 m = 8 3,46181 m = 16 1,88965 m = 3 1,5713 Zdrojový kód 4.1. Simpsonovo pravidlo I f = b a m = 1 4,15998 m = 15,511 m = 4 5,7767 m = 8 1,3656 m = 16 1,46518 m = 3 1,4534 Zdrojový kód 4.. a f xdx Q m f = h f xdx Q m f = h 3 Obdélníkové pravidlo I f = m = 1 33,417 m = 13,4995 m = 4 3,4656 m = 8,3174 m = 16 1,595 m = 3 1,1394 Zdrojový kód 4.3. b a [ [ f x + 4 ] m 1 f x + f x i + f x m i=1 m i=1 f xdx Q m m 1 f = h f i= ] m 1 f x i 1 + f x i + f x m i=1 xi + x i+1

41 Kapitola 4. Porovnání metod 31 a m = 1 b m = c m = 4 d m = 8 e m = 16 f m = 3 Obrázek 4.1: Lichoběžníkové pravidlo ve složené podobě se šesti různými počty subintervalů. Červená křivka vykresluje funkci f x = 3 1 x sin x a šedé lichoběžníky samotnou aproximaci jejího integrálu I f = 16 f x dx. Obrázky jsou vykresleny pomocí skriptu 4.1.

42 Kapitola 4. Porovnání metod 3 Richardsonova extrapolace Tuto metodu aplikujeme na Simpsonovo pravidlo. Zpřesněná aproximace integrálu pomocí Richardsonovy extrapolace má tvar I f = m = 1 N 1 h m = N h 1 m = 4 N h4 1 m = 8 N h8 1 m = 16 N h 1 m = 3 N h b a N h N h N h4 N h8 N h16 f xdx N j h = 4 j 1 N j 1 h Nj 1 h 4 j 1 1 N 3 h N h 3 N h4 3 N h8 3 N 4 h N h 4 N h4 4 N 5 h N h 5 N 6 h Následující výsledky korespondují s označením výpočetní formule na stejné pozici výše. m = 1 4,15998 m = 15,511 1,688 m = 4 5,7767 9, ,335 m = 8 1, , ,75 19,9995 m = 16 1, , ,655 1,644 1,651 m = 3 1,4534 1, ,4463 1, ,4493 1,4473 Zdrojový kód 4.4. Rombergova metoda integrace T,k = Q m f = b a k I f = b a [ m 1 1 f x + f x i + 1 i=1 f x m ], T 1,k = 4T,k+1 T,k 3 f xdx T j,k = 4 j T j 1,k+1 T j 1,k 4 j, j,k =,1,,3,4,5 1 m = 1 T, m = T,1 T 1, m = 4 T, T 1,1 T, m = 8 T,3 T 1, T,1 T 3, m = 16 T,4 T 1,3 T, T 3,1 T 4, m = 3 T,5 T 1,4 T,3 T 3, T 4,1 T 5, Následující výsledky korespondují s označením výpočetní formule na stejné pozici výše. m = 1 5,65851 m = 19,5346 4,15998 m = 4 16, ,511 14,9346 m = 8 3, ,7767 6,4619 6,6445 m = 16 1, ,3656 1,7153,98598,96379 m = 3 1,5713 1, ,4718 1, ,4811 1,4861 Zdrojový kód 4.5.

43 Kapitola 4. Porovnání metod Závěrečné srovnání Zde shrneme a porovnáme výsledky dosažené jednotlivými metodami. Lichoběžníkové pravidlo: 1,5713 Simpsonovo pravidlo: 1,4534 Obdélníkové pravidlo: 1,1394 Richardsonova extrapolace: 1,4473 Rombergova metoda integrace: 1,4861 Skutečná hodnota integrálu: 1,475 Ze získaných výsledků je jasně vidět, že ze složených Newtonových-Cotesových formulí nám nejlepší aproximaci integrálu funkce f x = 3 1 x sin x dává složené Simpsonovo pravidlo. Při dělení intervalu na 3 subintervalů jsme s jeho pomocí získali výsledek až o dvě desetiny přesnější než pomocí zbylých dvou metod. Nejméně přesného výsledku jsme dosáhli se složeným obdélníkovým pravidlem. Pro Richardsonovu extrapolaci jsme zvolili Simpsonovo pravidlo. Sice jsme získali výsledek o setinu méně přesný než pomocí samotného Simpsonova pravidla, ale tuto nepřesnost můžeme připsat faktu, že jsme se omezili na malý počet dělení. Rombergovou metodou integrace jsme dosáhli nejpřesnější aproximace ze všech námi použitých metod. Důležité je i to, že jsme zpřesnili výsledek lichoběžníkového pravidla, které je základem této metody. U všech metod bychom samozřejmě dosáhli přesnější aproximace s mnohem vyšším počtem dělení kroku h, ale cílem byla pouze ilustrativní ukázka použití těchto metod a grafické znázornění, na kterém je vidět, jak integrál aproximujeme.

44 Závěr V této práci jsme se zabývali metodami numerické integrace založenými na extrapolaci. Základem byly Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule a jejich složené podoby, které jsme z těch jednoduchých odvodili. Popsali jsme lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo ze skupiny uzavřených formulí a obdélníkové pravidlo jako zástupce otevřených formulí. Pro zkvalitnění aproximace integrálu jsme zmenšovali krok h vždy na polovinu předchozího, a tím jsme extrapolovali hodnotu integrálu pro h =. K tomu, abychom mohli popsat další extrapolační metody, jsme nejdříve odvodili Eulerovu-Maclaurinovu sumační formuli, k čemuž jsme potřebovali Bernoulliovy polynomy, Bernoulliova čísla a pravidla pro jejich získání, díky čemuž jsme nakonec zkonstruovali samotnou formuli. Z ní jsme pak odvodili obecné vyjádření Richardsonovy extrapolace. Uvedli jsme si její speciální případ, a to Rombergovu kvadraturní formuli, která zpřesňuje aproximaci lichoběžníkovým pravidlem. U obou jsme schématicky znázornili postup výpočtu aproximace integrálu. Po porovnání všech metod jsme zjistili, že nejpřesnějšího výsledku jsme dosáhli Rombergovou metodou integrace. Ovšem vzhledem k tomu, že jsme dělili interval maximálně na 3 subintervalů, nemůžeme výsledky považovat za konečné. Šlo nám však pouze o ukázkové porovnání, čehož jsme dosáhli. 34

45 Příloha Lichoběžníkové pravidlo Zdrojový kód 4.1: Lichoběžníkové pravidlo 1 t r a p e z o i d F u n c t i o n < f u n c t i o n num { 3 # pomocny v e k t o r 16 po. 5 4 myx < seq l e n g t h = 33, from =, by =. 5 5 x < seq, 16, l e n g t h = # v y k r e s l e n i z a k l a d n i h o g r i d u 8 p l o t c, 16, c, 7, t y p e = n, x l a b = x, y l a b = f x 9 1 # pomocna f u n k c e 11 f < f u n c t i o n x 1 { 13 s i n x ˆ x ˆ / 3 14 } myfunction < f u n c t i o n num 17 { 18 # hodnoty p o u z i v a n e pro i n d e x a c i ve v e k t o r u myx j s o u i n d e x o v a n y od 1 19 k < 1 ; l < 1 ; 1 # hodnoty p o u z i v a n e pro v y k r e s l e n i 3 a < ; 4 b < ; 5 6 f o r i i n 1 : num 7 { 8 a < a + 16 / num ; 9 k < k + 3 / num ; 35

46 Příloha 36 3 y < f myx[ k ] f myx[ l ] / myx[ k ] myx[ l ] x myx[ l ] + f myx[ l ] ; 31 polygon c myx[ l ], myx[ l ], x [ b : a ], myx[ k ], c, f myx [ l ], y [ b : a ],, c o l =grey. 9 ; 3 l < l + 3 / num ; 33 b < b + 16 / num ; 34 } y < f x 37 l i n e s x, y, c o l = r e d h < myx[ 3 3 ] myx [ 1 ] / num ; 4 41 # pomocna s e k v e n c e pro u r c e n i bodu, k t e r e se maji n a s c i t a t 4 q = seq l e n g t h = num + 1, from = 1, by = 3 / num ; # n a s c i t a n i d v o j n a s o b k u v s e c h hodnot 45 Qhtemp < ; 46 f o r i i n q 47 { 48 Qhtemp < Qhtemp + f myx[ i ] ; 49 } 5 51 # o d e c t e n i hodnoty p r v n i h o a p o s l e d n i h o bodu p r o t o z e b y l y predchozim radkem n a s c i t a n y d v a k r a t 5 Qhtemp < Qhtemp f myx [ 1 ] ; 53 Qhtemp < Qhtemp f myx[ 3 3 ] ; Qh < h / Qhtemp ; 56 return Qh 57 } # p r i k l a d a p l i k a c e f u n k c e 6 return myfunction num 61 }

47 Příloha 37 Simpsonovo pravidlo Zdrojový kód 4.: Simpsonovo pravidlo 1 s i m p s o n F u n c t i o n < f u n c t i o n num { 3 4 # pomocny v e k t o r 16 po. 5 5 myx < seq l e n g t h = 33, from =, by =. 5 6 x < seq, 16, l e n g t h = f < f u n c t i o n x { s i n x ˆ x ˆ / 3} 9 1 # v y k r e s l e n i z a k l a d n i h o g r i d u 11 p l o t c, 16, c, 7, t y p e = n, x l a b = x, y l a b = f x 1 13 t e m p F u n c t i o n < f u n c t i o n low, high, glow, ghigh 14 { 15 mid < high + low / y < myx[ mid ] myx[ high ] x ˆ x myx[ mid ] + myx[ high ] + myx[ mid ] myx[ high ] f myx[ low ] 1 myx[ low ] myx[ high ] x ˆ x myx[ low ] + myx[ high ] + myx[ low ] myx[ high ] f myx[ mid ] + 3 myx[ low ] myx[ mid ] x ˆ x myx[ low ] + myx[ mid ] + myx[ low ] myx[ mid ] f myx[ high ] 4 / 5 myx[ low ] myx[ mid ] myx[ low ] myx[ high ] myx [ mid ] myx[ h igh ] 6 7 polygon 8 c myx[ low ], myx[ low ], x [ glow : ghigh ], myx[ high ], 9 c, f myx[ low ], y [ glow : ghigh ],, 3 c o l = grey } myfunction < f u n c t i o n num 35 {

48 Příloha k < 1 ; 37 l < 1 ; a < ; 4 b < ; 41 4 f o r i i n 1 : num 43 { 44 a < a + 16 / num ; 45 k < k + 3 / num ; t e m p F u n c t i o n l, k, b, a ; l < l + 3 / num ; 5 b < b + 16 / num ; 51 } 5 53 y < f x 54 l i n e s x, y, c o l = r e d h < myx[ 3 3 ] myx [ 1 ] / num ; q < seq l e n g t h = num + num 1, from = 1, by = 1 ; 59 c o e f = 3 / num / ; 6 61 Qhtemp < ; 6 63 f o r i i n q 64 { 65 i f i %% <= 66 { 67 Qhtemp < Qhtemp + f myx[ i c o e f + 1 ] 68 } 69 7 e l s e 71 { 7 Qhtemp < Qhtemp + 4 f myx[ i c o e f + 1 ] 73 } 74 } Qhtemp < Qhtemp + f myx [ 1 ] ; 77 Qhtemp < Qhtemp + f myx[ 3 3 ] ;

49 Příloha Qh < h / 3 Qhtemp ; 8 81 return Qh 8 } return myfunction num }

50 Příloha 4 Obdélníkové pravidlo Zdrojový kód 4.3: Obdélníkové pravidlo 1 r e c t a n g l e F u n c t i o n < f u n c t i o n num { 3 # pomocny v e k t o r 16 po. 5 4 myx < seq l e n g t h = 33, from =, by =. 5 5 x < seq, 16, l e n g t h = f < f u n c t i o n x { s i n x ˆ x ˆ / 3} 8 9 # v y k r e s l e n i z a k l a d n i h o g r i d u 1 p l o t c, 16, c, 7, t y p e = n, x l a b = x, y l a b = f x 11 1 t e m p F u n c t i o n = f u n c t i o n low, high, glow, ghigh 13 { 14 mid < high + low / ; y < x + f myx[ mid ] polygon 19 c myx[ low ], myx[ low ], x [ glow : ghigh ], myx[ high ], c, f myx[ mid ], y [ glow : ghigh ],, 1 c o l =grey. 9 3 } 4 5 myfunction < f u n c t i o n num 6 { 7 k < 1 ; 8 l < 1 ; 9 3 a < ; 31 b < ; 3 33 f o r i i n 1 : num 34 { 35 a < a + 16 / num ; 36 k < k + 3 / num ; t e m p F u n c t i o n l, k, b, a ; 39

51 Příloha 41 4 l < l + 3 / num ; 41 b < b + 16 / num ; 4 } y < f x ; 45 l i n e s x, y, c o l = r e d ; h < myx[ 3 3 ] myx [ 1 ] / num ; q < seq l e n g t h = num + num 1, from = 1, by = 1 ; 5 c o e f = 3 / num / ; 51 5 Qhtemp < ; f o r i i n q 55 { 56 i f i %% <= 57 { 58 # n i c 59 } 6 61 e l s e 6 { 63 Qhtemp < Qhtemp + f myx[ i c o e f + 1 ] ; 64 } 65 } Qh < h Qhtemp ; 68 return Qh 69 7 } 71 7 return myfunction num 73 }