6. [8 bodů] Neurčitý integrál

Transkript

1 Zkouška ze Aplikované matematiky pro arboristy, LDF, , 60 minut Jméno: Body Známka. [2 bodů] Prostá a inverzní funkce a) Definujte pojmy prostá funkce a inverzní funkce. b) Uvažujme rovnici f(x) = f(a), kde f je prostá funkce, x neznámá, a parametr. Co je možno říci o existenci a jednoznačnosti řešení této rovnice? c) Vyřešte rovnici 2 ln(x ) = 3 a zarámečkujte krok výpočtu, ve kterém používáte definici inverzní funkce. 2. [6 bodů] Výpočet derivace. Vypočtěte derivace následujících funkcí a) y = 3x 2 x b) y = x 4 e x 3. [0 bodů] Aproximace funkce. a) Jaké informace potřebujeme mít o funkci y = f(x) abychom mohli najít aproximaci této funkce v okolí bodu x = 2 polynomem stupně 4? b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x = x 0 c) Rovnice tečny se použivá v Newtonově metodě (někdy nazývané Newtonova Raphsonova metoda). Několika málo slovy napište, k řešení jakých úloh se tato metoda používá a odvoďte iterační vzorec pro tuto metodu. 4. [6 bodů] Lokální extrémy výpočet. Je dána x funkce y = (x + 2) 3 a její derivace y = 2 x (x + 2) 4. Určete lokální extrémy této funkce a intervaly, kde funkce roste a kde klesá. 5. [8 bodů] Určitý integrál. a) Napište vzorec pro střední hodnotu funkce y = f(x) na intervalu [a, b] b) Vypočtěte střední hodnotu funkce x 2 na intervalu [0, 2]. 6. [8 bodů] Neurčitý integrál a) Z derivace součinu odvoďte vzorec pro integrál metodou per-partés. b) Vypočtěte metodou per-partés x 3 ln xdx Požadavek: alespoň 8 bodů z 50 možných. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A 2 dx = A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x 2 dx = 2A ln x A x + A

2

3 Zkouška z Aplikované matematiky pro arboristy, minut Jméno: Body Známka. [8 bodů] Napište definici inverzní funkce. Co musí funkce f splňovat, aby bylo možno k ní definovat funkci inverzní? Vyřešte rovnici ln(2x 3) + 7 = 0 a zarámujte krok, ve kterém se použije inverzní funkce. 2. [0 bodů] a) Definujte pojmy rostoucí funkce a lokální maximum funkce b) Jak souvisí výše uvedené pojmy s derivací? Napište pro každý pojem samostatnou odpověď 3. [8 bodů] Pro funkci dvou proměnných z = f(x, y) platí f(2, ) = 5, f (2, ) =, x f (2, ) = 3. Jsou tyto informace dostatečné y k nalezení lineární aproximace funkce v okolí bodu (2, )? Pokud ano, napište tuto aproximaci. Pokud ne, napište, jaké další informace potřebujeme. 4. [6 bodů] Vypočtěte derivace následujících funkcí a) y = x 4 + x b) y = 3 sin(2x) 5. [8 bodů] Zformulujte Bolzanovu větu a popište, jak je možné pomocí této věty vyřešit rovnici (x )x (x + 3) > [0 bodů] Definujte pojem střední hodnota funkce f(x) na intervalu [a, b]. Vypočtěte střední hodnotu funkce y = + x 3 na intervalu [0, ]. Požadavek: alespoň 8 bodů z 50 možných. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A 2 dx = A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x 2 dx = 2A ln x A x + A

4

5 Zkouška z Aplikované matematiky pro arboristy LDF, minut Jméno:... Body Známka. [2bodů] a) Definujte pojem rostoucí funkce. b) Napište několik nejčastějších využití derivace v matematice a v aplikacích matematiky. (Heslovitě, co nejvíce položek v seznamu.) c) Jakéinformacepotřebujememítofunkci y = f(x) abychom mohli najít lineární aproximaci tétofunkcevokolíbodu x = 2?Napištetaké celý vzorec pro tuto aproximaci. d) Jaké dodatečné informace potřebujeme znát o funkci z předchozího bodu, abychom mohli najít její aproximaci polynomem druhého stupněvokolí x = [6 bodů] Vypočtěte derivace následujících funkcí a) y = 2x 3 3 x b) y = 3xsin(x) 3. [6bodů] Sněhovákouleopoloměru 0,6metru sevalízesvahu,nabalujenasebedalšísníhajejí poloměr roste rychlostí 0, metru za minutu. Jak rychle roste její objem? (Objem koule o poloměru rje V = 4 3 πr3.) 4. [0 bodů] Máme oplotit pozemek tvaru obdélníka, jehož jedna strana leží podél dlouhé zdi a zbývající tři strany jsou tvořeny plotem. Celková délkaplotuje 00m.Je-lidélkakratšístrany x,je celkový obsah oploceného pozemku dán vzorcem S = 2x(50 x) Nakreslete k příkladu obrázek, ukažte jak z něj vyplývá výše uvedený vzorec pro obsah a určete, prokteré xjeobsahnejvětší. 5. [8bodů] Odvoďtevzorecprometoduperpartés. Vypočtěte pomocí této metody integrál x 3 lnxdx. 6. [8bodů] Napište vzorec pro výpočet určitého integrálu pomocí neurčitého. Vypočtětestředníhodnotufunkce x 2 +2xna intervalu [0, ]. Požadavek:alespoň 8bodůz50možných. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 +A 2 dx = A arctan x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

6

7 Zkouška z Aplikované matematiky pro arboristy LDF, minut Jméno:... Body Známka.[2 bodů] Derivace, lokální extrémy, spojitost a) Definujte pojmy lokální maximum a lokální minimum.kdyřekneme,žefunkce y = f(x)má v bodě x = a lokální maximum/minimum? b) Jak souvisí derivace funkce s lokálními extrémy? (Zformulujte Fermatovy větu.) c) Funkce f(x)mávbodě x = 0derivaci.Jemožné něcoříctospojitostivtomtobodě?co?pokud existuje více možností, vypište všechny. d) Funkce f(x)jevbodě x = 0spojitá.Jemožné něco říct o existenci, nulovosti nebo znaménku derivace v tomto bodě? Co? Pokud existuje více možností, vypište všechny. 2.[6 bodů] Výpočet derivace. Vypočtěte derivace následujících funkcí a) y = 2x 2 x b) y = sin(x) 3xcos(x) 3.[0 bodů] Aproximace funkce. a) Jaké informace potřebujeme mít o funkci y = f(x) abychom mohli najít aproximaci této funkce vokolíbodu x = 2polynomemstupně 3?Napište i příslušný vzorec. b) Lineární aproximace funkce se použivá v Newtonově metodě (někdy nazývané Newtonova Raphsonova metoda). Několika málo slovy napište,křešeníjakýchúlohsetatometodapoužívá. Co je vstupem metody, co je výstupem? c) Jaké problémy nás mohou potkat při použití Newtonovy metody? Uveďte alternativní metodu pro řešení úloh stejného typu. 4. [6bodů] Lokálníextrémy výpočet.jedána funkce y = x2 x ajejíderivace y = x(x 2) (x ) 2.Určete lokální extrémy této funkce a intervaly, kde funkce rosteakdeklesá. 5.[8 bodů] Souvislost určitého a neurčitého integrálu. Napište vzorce umožňující: a) výpočet určitého integrálu pomocí neurčitého (Newtonova Leibnizova věta). Ukažte použití na 4 xdx b) výpočet neurčitého integrálu pomocí určitého(integrál jako funkce horní meze). Ukažte použití na sinx x dx 6.[8 bodů] Integrální střední hodnota a) Definujte pojem střední hodnota funkce, tj. napište vzorec pro výpočet střední hodnoty funkce y = f(x)naintervalu [a,b]. b) Vypočtětestředníhodnotufunkce x 2 + 2naintervalu [0, ]. Požadavek: alespoň 8 bodů z 50 možných. Literatura je povolena. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 +A 2 dx = A arctan x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

8