MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ

Transkript

1 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM

2 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII Mgr. Veronika ŘÍHOVÁ, Ph.D. Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 2018

3 Projekt EDULAM - Zvýšení kvality vzdělávání na MVŠO s ohledem na potřeby trhu práce, digitalizaci a internacionalizaci (č. projektu CZ /0.0/0.0/16_015/ ) je spolufinancován Evropskou unií. Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s. Autor: Mgr. Veronika ŘÍHOVÁ, Ph.D. Olomouc 2018

4 Obsah Úvod 7 Časové řady a jejich aplikace Časové řady základní pojmy Trend a sezónní složka 11 Indexy Absolutní porovnávání Relativní porovnávání Indexy Jednoduché individuální indexy Složené individuální indexy Souhrnné indexy Cenové indexy Objemové indexy 23 Základní pojmy ve finanční matematice Definice 26 Funkce a posloupnosti Funkce Posloupnosti, definice a základní pojmy 31 Jednoduché úročení Základní pojmy Aplikované jednoduché úročení Aplikovaný diskontní princip úročení Aplikovaný dekursivní způsob úročení Běžný účet Kontokorentní účet 38 Složené úročení Základní pojmy 41

5 6.2 Častější připisování úroků Smíšené úročení 42 Investiční rozhodování Pravidlo současné hodnoty Pravidlo čisté současné hodnoty Pravidlo vnitřní míry výnosnosti 46 Spoření Základní pojmy Krátkodobé spoření Krátkodobé předlhůtní spoření Krátkodobé polhůtní spoření Dlouhodobé spoření Dlouhodobé předlhůtní spoření Dlouhodobé polhůtní spoření Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření 51 Důchody Základní pojmy Důchody dočasné Důchod věčný Důchod odložený 57 Úvěry Základní pojmy Konstantní anuita Konstantní úmor 61 Obligace a akcie Obligace Klasifikace obligací Cena kupónové obligace Výnosnost obligace Akcie 67

6 Cena akcie Výnosnost akcií 69 Využití Wolfram Alpha v matematických aplikacích Úvod Wolfram Alpha ve finanční matematice 72 Seznam literatury a použitých zdrojů 80 Seznam obrázků 82

7 Úvod Studijní text seznamuje studenty se základními pojmy aplikované matematiky ve finanční oblasti a nejdůležitějšími metodami s důrazem na jejich porozumění. Cílem předmětu je poskytnout studentům exaktní nástroje pro oblast aplikací matematiky ve finanční sféře, které jsou bezprostředně využitelné v oblasti ekonomiky a managementu. Rovněž je kladen důraz na softwarové nástroje, využitelné pro tyto aplikace. Student je po úspěšném absolvování předmětu schopen: vysvětlit základy finanční matematiky a různé principy úročení, využít tyto principy u základních problematických oblastí finanční matematiky a aplikovat získané znalosti i na další problémové oblasti ve finanční a bankovní praxi. V rámci předmětu je také kladen důraz na analýzu jednotlivých možností pro správné finanční rozhodování.

8 Kapitola 1 Časové řady a jejich aplikace Po prostudování kapitoly budete umět: prakticky analyzovat časové řady s využitím běžně používaných přístupů; vybrat vhodnou metodu pro efektivní analýzu dané časové řady; analyzovat časovou řadu při řešení konkrétních úloh v praxi Klíčová slova: Časová řada, ukazatel, průměr, trend, sezónní složka, cyklická složka, náhodná složka, přírůstky, koeficienty.

9 9 ČASOVÉ ŘADY A JEJICH APLIKACE 1.1 Časové řady základní pojmy Důležitými statistickými daty, pomocí nichž můžeme zkoumat dynamiku jevů v čase, jsou tzv. časové řady. Mají základní význam pro analýzu příčin, které na tyto jevy působily a ovlivňovaly jejich chování v minulosti, tak pro předvídání jejich budoucího vývoje. S chronologicky uspořádanými daty se běžně setkáváme v nejrůznějších oblastech života. Např.: vývoj hrubého domácího produktu, míry inflace, nezaměstnanosti, kursů cizích měn, cen akcií, atd. Volba přístupu k analýze (výběr metody) závisí na celé řadě faktorů: účelu analýzy, typu sledované časové řady, zkušenostech statistika, jakož i dostupnosti výpočetní techniky a statistického software. V této části se omezíme jen na stručnou charakteristiku čtyř nejčastěji používaných přístupů k analýze časových řad. Existují tyto tři typy časových řad [1] : 1. časová řada intervalových ukazatelů 2. časová řada okamžikových ukazatelů 3. časová řada odvozených charakteristik Pro ukazatele 1. typu platí, že jejich velikost přímo úměrně závisí na zvolené délce intervalu. (Uveďte příklady.) V těchto případech se často musí data převést na srovnatelné hodnoty (např. přepočet na stejně dlouhé úseky (čtvrtletí nemají stejný počet dní apod.). U řad 2. typu se ukazatel vztahuje k přesně definovanému okamžiku. Hodnota ukazatele tedy nezávisí na délce intervalu, za který je sledován. Práce s těmito řadami je složitější. Na rozdíl od předešlého typu nemá reálný smysl např. sumace hodnot řady, přistupuje se tedy k různým druhům průměrování. Často je používán tzv. chronologický průměr: x 1 1 x x x x 1 2 n1 2 2 n 1 n Tímto jediným číslem pak charakterizujeme úroveň ukazatele za celé období. Je ale zřejmé, že tím dochází ke značnému zjednodušování reality. Oblíbenější jsou proto různé druhy klouzavých ukazatelů, které jsou schopny částečně eliminovat vliv náhodných vlivů na sledovaný ukazatel a tím časovou řadu "vyhladit". Používají se jak klouzavé mediány, tak klouzavé průměry. Vždy se postupuje tak, že údaj časové řady nahradíme zvoleným ukazatelem z okolních časově předcházejících a následujících údajů [2].

10 MATEMATICKÉ APLIKACE 10 Řady 3. typu jsou odvozovány na základě absolutních údajů okamžikových nebo intervalových. Příkladem mohou být časové řady součtové nebo časové řady poměrných čísel Při klasické analýze časových řad se vychází z předpokladu, že každá časová řada může obsahovat čtyři složky [3]: Trend reprezentuje dlouhodobé změny v průměrném chování řady (dlouhodobý růst nebo pokles, popř. dlouhodobá konstantní úroveň); je způsoben faktory, jež působí systematicky, tj. ve stejném směru. Sezónní složka představuje periodické změny, které se odehrávají v průběhu roku a každý rok se opakují. Tyto změny zpravidla souvisejí se střídáním ročních období (jaro, léto, podzim a zima). Pro studium sezónních vlivů se doporučuje pracovat s řadami měsíčních, nejvýše kvartálních měření. Cyklickou složku chápeme jako fluktuace kolem trendu, při nichž se pravidelně střídají fáze růstu s fázemi poklesu. Délka cyklu i intenzita jednotlivých fází se přitom mohou v průběhu času měnit. Příčiny vedoucí ke vzniku cyklické složky lze zpravidla jen těžko identifikovat. Náhodná (reziduální) složka představuje náhodné fluktuace, jež nemají systematický charakter. Zahrnuje též chyby měření, chyby ve statistickém zpracování dat (např. zaokrouhlovací chyby). Často se předpokládá, že má náhodná složka charakter bílého šumu, tj. že je tvořena hodnotami nezávislých náhodných veličin s nulovou střední hodnotou a nějakým konstantním rozptylem. Jako míry dynamiky dále používáme tyto ukazatele: absolutní přírůstek y, 2,3,, t yt yt 1 t n průměrný absolutní přírůstek y y y y y y y y y n 1 n 1 n 1 t n n1 n 1 relativní přírůstek y y y y t t t1 t t yt 1 yt 1 yt 1 1 průměrný koeficient růstu y y y y y k k k k n n n n1 n1 1 2 n y1 y3 y3 yn 1 y1

11 11 ČASOVÉ ŘADY A JEJICH APLIKACE 1.2 Trend a sezónní složka Nejčastěji se při analýze časové řady předpokládá aditivní model popisu chování řady. Předpokládá se, že jednotlivé složky vývoje se sčítají, takže platí: kde na pravé straně vystupují složky: trendová Tt, sezónní St, cyklická Ct a náhodná εt. yt = Tt + St + Ct + εt, Různé modifikace modelů vzniknou, když některou složku z úvah vypustíme. My tak učiníme pro složku cyklickou a o náhodné složce řekněme jen tolik, že o ní lze zpravidla předpokládat, že jejich střední hodnoty jsou nulové a že jsou korelačně nezávislé (náhodná porucha, jak se také dá náhodná složka interpretovat, nezávisí na poruše v minulém okamžiku ani neovlivňuje vznik a velikost poruchy v okamžiku následujícím). Analýza složky kteréhokoliv typu se provádí v podstatě klasickou regresní analýzou. Podstatný rozdíl je jen v tom, že nezávisle proměnná, je v tomto případě proměnná časová a můžeme ji vcelku libovolně vyjádřit v jakýchkoliv časových jednotkách s libovolným počátkem [2]. Analýza trendové složky je zřejmě nejdůležitější částí analýzy časových řad. V průběhu let se potvrdilo, že při výběru trendových funkcí většinou vystačíme s úzkou nabídkou funkcí. Nejčastěji používané trendy jsou: Lineární trend Je nejčastěji používaným typem trendové funkce. Můžeme ji použít vždy, chceme-li alespoň orientačně určit základní směr vývoje časové řady a rovněž může sloužit v omezeném časovém intervalu jako vhodná aproximace jiných trendových funkcí. Má tvar T a a t t 0 1 Kde a0, a1 jsou neznámé parametry a t = 1, 2, n je časová proměnná. K odhadu a0, a1 použijeme metodu nejmenších čtverců.

12 MATEMATICKÉ APLIKACE 12 Parabolický trend t T a a t a t, kde a0, a1, a2 jsou neznámé parametry a t 1,2 n je časová proměnná, je poměrně často používaný typ trendové funkce. Je lineární z hlediska parametrů a proto se k jejich odhadu používá metody nejmenších čtverců. Exponenciální trend yt a a Parametr a1 představuje průměrný přírůstek hodnot yt. (Ty se chovají jako členy geometrické posloupnosti. Modifikovaný exponenciální trend t yt k a0a1 Funkce má vodorovnou asymptotu a dá se pomocí ní snáze modelovat vývoj jevů, které vycházejí t 0 1 z omezených zdrojů růstu a u kterých existuje určitá mez nasycení, daná např. zájmem nebo potřebou určitého výrobku. (Předveďte si průběh funkcí tohoto typu pro různé hodnoty parametrů použitím vhodného matematického programu pro vykreslení grafů funkcí.) Logistický trend, logistika 1 y t k a t 0a1 Křivka má tři úseky, první je charakterizován pozvolným vzestupem, druhá v okolí inflexního bodu prudkým růstem a třetí určitou vrcholovou stagnací (nasycením). Uvedený tvar je jeden z mnoha různých funkčních předpisů popisujících křivku s charakteristickým průběhem ve tvaru písmena S. [4]. Gompertzova křivka y ka a t 0 Křivka s podobným esovitým průběhem jako logistika, ale na rozdíl od ní je asymetrická. Těžiště hodnot je až za inflexním bodem. Analýza sezónní složky se často provádí až po očištění dat od trendové složky. V podstatě při ní jde o určení časového úseku, po jehož uplynutí mají data zase stejnou hodnotu, příp. ovlivněnou trendovou a náhodnou složkou. Pro studium sezónní složky se používá několika typů modelů. V ekonomických modelech bývá zpravidla zřejmá velikost periody (čtvtletí, měsíc), v jiných případech je nutno i tuto délku odhadovat (v t 1

13 13 ČASOVÉ ŘADY A JEJICH APLIKACE hydrogeologii např. u výšky hladiny spodních vod). Používá se tu i harmonické analýzy, která modeluje průběh dat pomocí několika členů Fourierovy řady. Parametry se určují použitím numerických metod. [4] Výsledků analýzy časových řad a obecně i regresní analýzy vůbec se využívá k nalezení údajů, pro které není k dispozici výsledek měření nebo pozorování. Pokud jde o chybějící údaj závislé veličiny y pro některou hodnotu x uvnitř intervalu známých hodnot x, jde o interpolaci. Ta zpravidla vede k dobrým výsledkům a nepřináší velká rizika chyb odhadované veličiny y. Pokud však je nutno odhadnout výsledek y pro údaj x vně intervalu experimentálně udaných hodnot x, jde o extrapolaci. V tomto případě je nutno být opatrný, neboť matematické prostředky použité pro určení charakteru regresní závislosti nemohou zpravidla zodpovědně odhadnout budoucí nebo minulý vývoj. Uvědomte si např., že třeba rostoucí oblouk křivky třetího stupně může velmi dobře popisovat nějakou závislost, za uvažovaným intervalem hodnot x však může dojít k nežádoucímu propadu této kubické křivky do lokálního minima. [4] Jedním z důležitých úkolů statistických analýz ekonomických jevů je zkoumání jejich dynamiky. Empirická pozorování v ekonomické oblasti jsou často uspořádána do časové řady. Ekonomickou časovou řadou se rozumí řada hodnot jistého věcně a prostorově vymezeného ukazatele, která je uspořádána v čase směrem od minulosti do přítomnosti. Časové řady dělíme mimo jiné na intervalové a okamžikové. Velikost hodnoty intervalového ukazatele závisí na délce časového intervalu sledování. Typickými intervalovými ukazateli jsou extenzitní ukazatele. Okamžikovým ukazatelem je ukazatel vztahující se k jistému okamžiku. Hodnota takového ukazatele nezávisí na délce časového intervalu sledování. Ekonomické časové řady dále dělíme na dlouhodobé a krátkodobé. Jedním ze základních prostředků prezentace časových řad je jejich graf. Nejčastěji se graficky znázorňují původní hodnoty časové řady, nebo kumulativní časové řady, které vznikají postupným načítáním (kumulováním) jednotlivých hodnot (u okamžikových časových řad nemají smysl, neboť výše jejich hodnot nezávisí na daném časovém intervalu). Při klasické analýze časových řad se vychází z předpokladu, že každá časová řada může obsahovat čtyři složky: trend, sezónní složku, cyklickou a náhodnou složku.

14 MATEMATICKÉ APLIKACE Určete elementární charakteristiky růstu časové řady sledující výrobu plynu v letech : rok výroba (m 3 ) Jaké znáte druhy časových řad? 3. Jaké existují trendy pro analýzu časových řad? Literatura k tématu: [1] SEGER, Jan. Analýza časových řad. Praha: Česká společnost pro jakost, s. [2] OTIPKA, P., ŠMAJSTRLA, V. Pravděpodobnost a statistika [online]. 1. vydání. Ostrava: Vysoká škola Báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [cit ]. ISBN Dostupné z: [3] KŘIVÝ, Ivan. Analýza časových řad [online]. Ostrava: Ostravská univerzita v Ostravě, 2012 [cit ]. Dostupné z: file://iis.loc/shares/mvso/users/riho- vav/dokumenty/dokumenty/mvso/studijni%20opory/casove%20rady%20ma- terial.pdf

15 Kapitola 2 Indexy Po prostudování kapitoly budete umět: základy použití indexní analýzy. vysvětlit způsoby porovnávání získaných ekonomických hodnot a určit míru a směr jednotlivých vlivů Klíčová slova: Porovnávání (absolutní, relativní), index (jednoduchý, složený, souhrnný).

16 MATEMATICKÉ APLIKACE 16 Indexní analýza se používá při analyzování sociálně ekonomických ukazatelů. Pomocí indexů můžeme porovnávat vzájemně odlišné údaje a určovat jejich vzájemné vztahy. Jak bylo uvedeno v předchozí kapitole, ukazatel je statistická veličina popisující některý ze sociálně ekonomických jevů. Ukazatele rozdělujeme na: extenzivní - Jsou to ukazatele vyjadřující velikost zkoumaného jevu. Charakterizují množství, rozsah, objem, a podobně. Tyto ukazatele můžeme při počítání souhrnů sčítat. Pro označení těchto ukazatelů používáme q (případně Q). Také je označujeme jako ukazatele množství. intenzivní - Jedná se o ukazatele vzniklé jako podíl dvou extenzivních ukazatelů. Může se jednat o ukazatele uvádějící cenu za kus, průměrnou mzdu, výnos na hektar, atd. Pro jejich označení se používá znak p, nebo c. Označují se také jako ukazatele úrovně. Tyto ukazatele se nedají při souhrnech sčítat. Hodnoty ukazatele se v čase mění, a proto je rozlišujeme z časového hlediska. Ukazatele číslujeme dolními indexy, takže 0 značí původní časový údaj, nebo období, vzhledem ke kterému se porovnávání děje (báze), nazýváme jej ukazatel bazický. Jednotlivé ukazatele jsou tedy ve tvaru p0, p1, p2,..., q0, q1, q2,...,c0, c1, c2,... Budeme používat dva druhy porovnávání těchto ukazatelů a, to pomocí diference a pomocí indexů. 2.1 Absolutní porovnávání Absolutní porovnávání provádíme pomocí diference (rozdílů). Porovnání můžeme provádět vzhledem k bázi, pak tedy získáme absolutní přírůstek nazýváme jej také bazická diference. = qn q0, Absolutní přírůstek určuje absolutní množství, které přibylo (v případě záporného čísla ubylo) od původního období. Také můžeme vytvářet tzv. řetězové absolutní srovnávání. Toto srovnávání spočívá ve vypočtení n- 1 různých diferencí, kde n je počet časových momentů. Tyto diference pak spočítáme jako i = qi-1 qi,

17 17 INDEXY pro i {1,...,n}. Každá z těchto diferencí určuje přírůstek (úbytek) ukazatele za jedno období. Z řetězových diferencí můžeme bazickou diferenci získat, pokud sečteme všechny řetězové diference 2.2 Relativní porovnávání Častější než absolutní porovnávání je porovnávání relativní. Relativní porovnávání se provádí pomocí indexů. Indexy jsou hodnoty, které získáme podělením ukazatelů. Indexy nás informují o poměru ukazatelů, a tedy po vynásobení stem o tempu růstu v procentech. Opět rozlišujeme, zda provádíme porovnání vzhledem k bázi, pak dostáváme bazické indexy. Bazické indexy značí růst za celé zvolené období. Druhou možností je porovnání vzhledem k sousedním obdobím, čímž získáme řetězové indexy. Řetězové indexy značí tempo růstu (poklesu) za každý interval zvlášť. Používáme pro ně též označení koeficienty růstu (poklesu), proto je také označujeme k i = I i/(i-1) Z koeficientů růstu také můžeme odvodit koeficient přírůstku (úbytku) ki 1, který po vynásobení stem značí v procentech, jaký byl přírůstek (úbytek) ukazatele za určité období. Často nás zajímá průměrný koeficient růstu. Ten vypočítáme pomocí geometrického průměru Pro výpočet průměrného koeficientu růstu platí vztah:

18 MATEMATICKÉ APLIKACE 18 Z toho vyplývá, že průměrný koeficient růstu závisí pouze na počtu období a pak na první a poslední hodnotě. To je třeba mít na paměti, neboť pokud ukazatel velmi kolísá, pak nemusí mít průměrný koeficient růstu žádný reálný smysl a může se velmi lišit podle toho, které okamžiky vezmeme jako bazický a poslední. V této části jsme se zabývali jen nejjednoduššími indexy, ale celkově je indexů celá řada jak uvidíme dále. 2.3 Indexy Indexy rozdělujeme na individuální a souhrnné. Pomocí individuálních indexů srovnáváme stejnorodé ukazatele, což jsou takové, jejichž součet má stejný smysl jako stejný ukazatel za jednotlivé části, např. součet zisků za měsíc můžeme sečíst a výsledek má stejný smysl jen za jiné období. Naproti tomu souhrnné indexy jsou indexy nesourodých ukazatelů, tedy takových, jejichž součet nemá pro celek význam, např. součet produkce různých výrobků. 2.4 Jednoduché individuální indexy Pomocí těchto indexů srovnáváme dvě hodnoty téhož ukazatele. Postupujeme způsobem popsaným výše. Pokud porovnáváme extenzivní ukazatel, pak počítáme jednoduchý individuální index množství I q = q 1 q 0 Intenzivní ukazatel porovnáváme pomocí jednoduchého individuálního indexu úrovně odpovídající absolutní přírůstek pak bude I p = p 1 p 0 p = p 1 p 0 Vidíme, že u jednoduchých individuálních indexů nehraje roli, zda je ukazatel extenzivní, či intenzivní.

19 19 INDEXY Individuální jednoduché indexy (zde výlučně časové) se často vyskytují sdružené do delších časových řad. V takovém případě mohou být příslušné indexy počítané vždy ke stejnému základu (např. k nejstarší hodnotě v časové řadě původních pozorování), nebo k proměnlivému základu (k bezprostředně předcházejícímu pozorování v časové řadě původních hodnot). V prvním případě, kdy základ srovnání je vždy stejný, hovoříme o tzv. bazických indexech, ve druhém případě, kdy srovnáváme vždy dvě za sebou jdoucí hodnoty v časové řadě, konstruujeme tzv., řetězové indexy. Bazické a řetězové indexy lze vzájemně přepočítávat, tzn., že násobením řetězových indexů získáme indexy bazické a naopak dělením bazických indexů indexy řetězové. 2.5 Složené individuální indexy Tyto indexy využíváme v případech, kdy máme stejnorodé ukazatele několika částí a chceme je shrnout za celek. Například pokud známe jednotlivé údaje v několika pobočkách a chceme srovnat vývoj za celou společnost. V případě výpočtů složených individuálních indexů je třeba důkladně hlídat, zda počítáme složené indexy extenzivních, nebo intenzivních ukazatelů. Extenzivní ukazatele Pokud porovnáváme extenzivní ukazatele, pak je shrnujeme pomocí součtu. Pro shrnutí využijeme složený individuální index množství Absolutní přírůstek vypočteme opět jako rozdíl hodnot Intenzivní ukazatele Intenzivní ukazatele pi nemůžeme shrnout tak lehce jako extenzivní, ale musíme použít vážený aritmetický průměr. Abychom určili váhy jednotlivých hodnot, musíme nejdříve určit hodnoty extenzivního ukazatele qi. Pro tento extenzivní ukazatel musí existovat jiný extenzivní ukazatel Qi, tak že platí:

20 MATEMATICKÉ APLIKACE 20 Index, který takto získáme, se nazývá index proměnlivého složení, a vypočítáme jej pomocí následujícího vzorce. Absolutní přírůstek pak má tvar Index proměnlivého složení tedy zachycuje změny jak intenzivního ukazatele, tak extenzivního ukazatele. Někdy potřebujeme znát pouze změnu jedné z těchto složek, při konstantní hodnotě druhé složky. Abychom potlačili vliv extenzivního ukazatele, musíme výpočet vztáhnout k jednomu období. Což je buď základní q0, nebo běžné q1. Poté počítáme index stálého složení, který vyjadřuje vliv změny intenzivní složky při konstantním působení složky extenzivní, značíme jej I ss. Pro běžné období platí: Pro základní období platí:

21 21 INDEXY Indexy stálého složení nám udávají, jaký by byl růst či úbytek pokud by byl extenzivní ukazatel na stálé hodnotě a to buď té, která byla v běžném období, nebo té v základním období. Podobně můžeme určit index struktury, který charakterizuje vliv extenzivního ukazatele při konstantním působení intenzivního ukazatele, značíme jej I str. Také máme dvě možnosti podle období. Pro běžné období platí: Pro základní období platí: 2.6 Souhrnné indexy Souhrnné indexy jsou indexy nestejnorodých extenzivních ukazatelů. Nestejnorodý ukazatel značí, že hodnoty mohou pro různé části mít různou jednotku. Pokud je tedy chceme srovnávat, není možné hodnoty pouze sečíst. Pro srovnání musíme použít nějaký společný intenzivní ukazatel, vzhledem k němuž můžeme provést souhrn nestejnorodých ukazatelů. Příkladem takového extenzivního ukazatele může být množství prodaných výrobků, v případě, kdy se některé prodávají v kilogramech, jiné v litrech, kusech, či metrech. Společným intenzivním ukazatelem pak mohou být ceny za jednu jednotku. Souhrnný index pak udává změnu vytvořené hodnoty (např. tržba) a nazýváme jej hodnotový index.

22 MATEMATICKÉ APLIKACE 22 Absolutně pak vývoj tržeb vyjádříme jako: Stejně jako v případě indexu proměnlivého složení, udává hodnotový index změnu ovlivněnou dvěma vlivy. V praxi je ovšem vhodné získat údaje o vlivu jednotlivých ukazatelů. Abychom určili vliv jednoho ukazatele na vývoj vytvořené hodnoty, musíme u druhého ukazatele předpokládat, že je konstantní v čase. V případě cenových indexů předpokládáme, že je konstantní extenzivní ukazatel, naopak v případě objemových indexů předpokládáme, že je konstantní intenzivní ukazatel Cenové indexy Cenové indexy se také nazývají souhrnné indexy úrovně a udávají vliv změny ceny na hodnotový index, za předpokladu že extenzivní ukazatel se nemění. Těchto indexů je celá řada, ale nejčastěji se využívají následující čtyři. Laspeyresův cenový index využívá jako váhu množství základního období: Paascheho cenový index využívá jako váhu množství běžného období: Loweho cenový index využívá jako váhu předem zvolené číslo q, toto číslo může být dané, nebo vypočítané, například jako aritmetický průměr extenzivního ukazatele v základním a běžném období: Fisherův cenový index je počítán jako geometrický průměr Laspeyresova a Paascheho indexu:

23 23 INDEXY Ve vzorcích cenových indexů je pro označení intenzivního ukazatele použito označení ci, což ale neznamená, že se indexy nemohou použít i v případech, kdy intenzivní ukazatel udává jinou hodnotu než cenu za jednotku Objemové indexy Podobně jako cenové indexy udávají objemové indexy vliv změny množství na hodnotový index, za předpokladu konstantní ceny. Objemové indexy se také nazývají souhrnné indexy množství. Laspeyresův objemový index využívá jako váhu cenu základního období: Paascheho objemový index využívá jako váhu cenu běžného období: Loweho objemový index využívá jako váhu předem zvolené číslo c, toto číslo může být dané, nebo vypočítané, například jako aritmetický průměr intenzivního ukazatele v základním a běžném období: Fisherův objemový index je počítán jako geometrický průměr Laspeyresova a Paascheho indexu: V této kapitole jsme objasnili základy použití indexní analýzy a uvedli způsoby porovnávání získaných ekonomických hodnot (absolutní a relativní). Jako prostředky ke srovnávání hodnot ukazatelů slouží indexy a diference. Rozlišujeme absolutní srovnání (pomocí rozdílů) a relativní srovnání (pomocí podílů - indexů). Podle věcného

24 MATEMATICKÉ APLIKACE 24 obsahu ukazatelů dělíme indexy a diference na: objemové srovnávají 2 hodnoty extenzitního ukazatele a úrovňové srovnávají 2 hodnoty intenzitního ukazatele. Dále lze indexy a diference dělit na individuální (jednoduché a složené) pro stejnorodé ukazatele a souhrnné (jednoduché a složené) pro různorodé ukazatele. 1. Tabulka uvádí průměrnou dobu výroby výrobků v letech 2016 a Porovnejte celkovou dobu výroby v jednotlivých letech a určete, jaký vliv na této změně měla změna výrobního postupu (doba výroby) a jaký vliv mělo různé množství vyráběných výrobků. Množství Doba výroby Výrobek A B C Jak dělíme indexy? Uveďte příklady. 3. Co je to absolutní porovnávání? 4. Co je to relativní porovnávání? Literatura k tématu: [1] HINDLS, R. Statistika pro ekonomy. 8. vyd. Praha: Professional Publishing, ISBN [2] KŘÁPEK, Milan. Statistika I. [online]. 1. vyd. Znojmo: Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo, 2013 [cit ]. ISBN Dostupné z: [3] MACEK, J. Ekonomická a sociální statistika. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, ISBN [4] OTIPKA, P., ŠMAJSTRLA, V. Pravděpodobnost a statistika [online]. 1. vydání. Ostrava: Vysoká škola Báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [cit ]. ISBN Dostupné z: [5] ANDĚL, J. Statistické metody. 3. vyd. Praha: Matfyzpress, ISBN

25 Kapitola 3 Základní pojmy ve finanční matematice Po prostudování kapitoly budete umět: Definovat základní pojmy finanční matematiky Vysvětlit základní principy úročení Rozlišit jednotlivá úroková období Klíčová slova: Úrok, věřitel, dlužník, úrokové období, úroková míra, úročení.

26 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII Definice Finanční matematiku lze chápat jako kvantitativní nástroje potřebné pro kvalifikované rozhodování ve finančnictví, bankovnictví a pojišťovnictví. Znalost těchto nástrojů umožňuje využití investorů jako je fyzická nebo právnická osoba používat finanční prostředky efektivněji [6]. Finanční matematiku také popisujeme jako souhrn základních matematických metod uplatněných v oblasti financí, jakými jsou například poskytování krátkodobých a dlouhodobých úvěrů, investování a také ostatní obchodní transakce. Finanční gramotnost je soubor znalostí, dovedností a hodnotových postojů občana nezbytných k tomu, aby finančně zabezpečil sebe a svou rodinu v současné společnosti a aktivně vystupoval na trhu finančních produktů a služeb [7]. Základním pojmem, na němž stojí snad všechny finanční výpočty, je úrok. Z hlediska věřitele lze úrok chápat jako odměnu ve formě náhrady za dočasnou ztrátu kapitálu a za riziko, že tento kapitál nebude splacen v dohodnuté době a výši. Z hlediska dlužníka je úrok cenou za poskytnutý úvěr ve smyslu pronájmu peněz, protože dlužník může vypůjčený kapitál hned použít, ovšem s tím, že jej musí v dohodnuté době vrátit zpět věřiteli a navíc za něj zaplatit. Osoba, která má dostatek financí, dále jen věřitel, poskytne osobě, která má nedostatek peněz, dále jen dlužník, finanční částku jako úvěr. K datu sjednanému na smlouvě musí dlužník danou částku vrátit, a to spolu s úrokem. Úrok je projevem časové preference. V současné době lidé nedělají finanční zásoby a vše ihned utrácí. K odkladu spotřeby proto musí být nějak finančně motivováni. Nejčastější formou motivace je úrok [8]. Výše úroku bývá nejčastěji uvedena pomocí úrokové míry - v procentech za určité období. Např. 5% p.a., kde zkratka p.a. pochází z latinského per annum a překládá se spojením za rok, značí úrok ve výši 5 procent, který bude připsán nebo zaplacen jednou za rok, obvykle buď na jeho začátku nebo na jeho konci [7]. Dále úroková období dělíme takto: pololetní, per semestre (p.s.), čtvrtletní, per quartale (p.q.), měsíční, per mensem (p.m.), denní, per diem (p.d.). Úroková míra, která se vztahuje ke konkrétnímu finančnímu produktu (např. hypotéčnímu úvěru), se nazývá úroková sazba. Úroková míra realizovaná při investování se nazývá míra výnosnosti (výnosnost, výnosové procento, míra zisku) a bývá většinou uváděna na roční bázi.

27 27 ZÁKLADNÍ POJMY VE FINANČNÍ MATEMATICE Doba splatnosti (úroková doba) je doba, po kterou je kapitál uložen či zapůjčen. Úrokové období je doba, na jejímž začátku nebo konci je připsán úrok z vkladu (je zaplacen úrok z úvěru). Obecně nemusí být stejně dlouhé jako doba splatnosti. Úročení je způsob výpočtu úroku. Z hlediska doby splatnosti dělíme úročení na jednoduché, složené a smíšené. Jednoduché úročení se používá v případě, že doba splatnosti nepřekročí jedno úrokové období. Složené úročení se zase používá tehdy, úročíme-li přes více úrokových období a smíšené úročení slouží pro případ, že dobu splatnosti lze vyjádřit jako součet celočíselného počtu úrokových období a zbytku, který je kratší než jedno úrokové období. Z hlediska doby výplaty (splacení) úroku rozdělujeme úročení na předlhůtní (anticipativní) a polhůtní (dekursivní). V případě předlhůtního úročení je úrok zaplacen na začátku úrokového období a v případě polhůtního úročení na konci úrokového období [7]. V této kapitole jsme objasnili základní pojmy ve finanční matematice. Jedním ze stěžejních pojmů je úrok. Pokud věřitel půjčí peníze dlužníkovi na nějakou konkrétní dobu, pak úrok je odměna pro věřitele za tuto půjčku. Pro dlužníka je úrok naopak cena, za kterou si peníze (kapitál) mohl od věřitele půjčit. Úrok z pohledu věřitele zohledňuje náhradu za dočasnou ztrátu kapitálu, kryje rizika spojená se změnami kapitálu (např. inflací) a zohledňuje rizika spojená s nesplacením kapitálu v patřičné výši a v patřičné době. Dále jsme zavedli pojmy úrokové období a představili základní varianty dělení úročení. 1. Vysvětlete pojem finanční matematika. 2. Co je to úrok a jak jej lze chápat z pohledu věřitele a dlužníka? 3. Jaké existují typy úrokových období? 4. Jaké znáte typy úročení? Literatura k tématu: [1] BOHANESOVÁ, EVA. Finanční matematika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013, 196 stran. ISBN [2] GROBAŘOVÁ, SAŇA. Základy finanční matematiky. Brno: Tribun EU, 2012, 164 stran. ISBN [3] BOHANESOVÁ, EVA. Finanční matematika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013, 196 stran. ISBN [4] CIPRA, TOMÁŠ. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Praha: HZ Editio, 1995, 320 stran. ISBN

28 Kapitola 4 Funkce a posloupnosti Po prostudování kapitoly budete umět: Definovat základní typy funkcí jako východisko pojmů finanční matematiky. Určit a popsat grafy těchto funkcí. Definovat základní typy a vlastnosti posloupností. Klíčová slova: Funkce, graf, aritmetická posloupnost, geometrická posloupnost.

29 29 FUNKCE A POSLOUPNOSTI 4.1 Funkce Pro pochopení a ukázání základních principů finanční matematiky využíváme některé funkce. Pod pojmem funkce chápeme předpis, kterým přiřazujeme určité hodnotě proměnné x právě jednu hodnotu proměnné y [9]. Přiřadíme-li určité hodnotě proměnné x určitou hodnotu proměnné y, pak zápis vypadá takto: y=f(x). Proměnnou x nazýváme nezávislá proměnná a proměnnou y nazýváme závislá proměnná. Hodnota y závisí na hodnotě x. Mezi nejdůležitější funkce ve finanční matematice řadíme funkci lineární, nepřímou úměrnost, funkci exponenciální a logaritmickou. Lineární funkce se využívají v ekonomických úvahách. Lineární funkce také nazýváme přímá úměrnost. Zapisujeme ji: y = k. x + q, x R. Tato funkce představuje přímku v rovině kde k, q jsou konstanty. K udává směrnici přímky, kterou vyjadřujeme jako tg α = k, kde α je úhel, který svírá přímka s osou x. Kde x je nezávislá proměnná a y závislá proměnná [7]. Zdroj: Obr. 1 Graf lineární funkce. Nepřímou úměrnost popisujeme předpisem y = 1, (x 0), x grafem této funkce je hyperbola[10].

30 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 30 Zdroj: Obr. 2 Graf nepřímé úměrnosti. Exponenciální funkce v základním tvaru y = a x je definována na celém oboru reálných čísel. Základ a je kladné číslo různé od jedničky. Exponenciální funkcí můžeme zobrazit složené úročení, pokud znázorňujeme na vodorovnou osu x čas t a na svislou osu míru konečného kapitálu při vhodně zvolené úrokové sazbě a počátečním kapitálu [11]. Zdroj: Obr. 3 Graf exponenciální funkce.

31 31 FUNKCE A POSLOUPNOSTI Logaritmickou funkcí je funkce inverzní k funkci exponenciální. Definičním oborem exponenciální funkce je obor funkčních hodnot funkce logaritmické a obor funkčních hodnot exponenciální funkce je definičním oborem funkce logaritmické. Logaritmickou funkce zapisujeme jako y = log a x, kde x (0, ). Číslo a je základem logaritmické funkce. Číslo x vypočítáme tak, že umocníme základ logaritmu a na logaritmus z čísla x [7]. Zdroj: Obr. 4 Graf logaritmické funkce. 4.2 Posloupnosti, definice a základní pojmy Posloupnost je speciálním příkladem funkce a má jisté specifické vlastnosti. Posloupnost se nazývá konstantní v případě, kdy všechny členy posloupnosti se sobě rovnají. Dále může posloupnost být rostoucí, neklesající, klesající a nerostoucí. Mezi další základní vlastnosti zahrnujeme omezenost. Funkce, jejíž definiční obor je množina N všech přirozených čísel nebo její podmnožina typu {1, 2,, k}, kde k N, se nazývá posloupnost [12]. Posloupnost reálných čísel je zobrazení množiny N do množiny R. Takovou posloupnost, kterou je ke každému číslu n N přiřazeno číslo an, zapisujeme {a1, a2, a3, } [13].

32 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 32 Rozlišujeme základní dva typy posloupností, konečná posloupnost a nekonečná posloupnost. Posloupnost, jejíž definiční obor je množina N, se nazývá nekonečná posloupnost. Posloupnost, jejíž definiční obor je množina {1, 2,, k} se nazývá konečná posloupnost [12]. Pojem posloupnost vychází z pojmu funkce (žáci mají o funkcích vše naučeno) a posloupnosti rozdělujeme na nekonečné a konečné. Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel, se nazývá nekonečná posloupnost. Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel n n0, kde n0 je pevně dané číslo z N, se nazývá konečná posloupnost [12]. Posloupnost se nazývá aritmetická, právě tehdy když existuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n platí an+1= an + d neboli an+1-an = an + d, kde d se nazývá diference neboli rozdíl aritmetické posloupnosti [7]. Pro aritmetickou posloupnost s diferencí d platí následující tři případy. Pokud d>0, pak je zdola omezená, ale není shora omezená [7]. Geometrická posloupnost je každá posloupnost určená rekurentně vztahy a1= a, an+1= anq, kde pro každé n N, kde a, q jsou daná čísla. Číslo q nazýváme kvocient geometrické posloupnosti. Pokud a 0 q 0 a také an 0, potom z rekurentního vztahu plyne pro kvocient, že q = a n+1 a n. Posloupnost nazýváme konvergentní, právě tehdy když existuje číslo a R takové, že platí: Ke každému ε>0 existuje n0 N tak, že pro všechna přirozená čísla n n0 je an-a < ε. Nechť existuje posloupnost reálných čísel an, potom nekonečnou řadou rozumíme symbol ve tvaru kde jednotlivá čísla nazýváme členy řady [7]. n=1 a n = a 1 + a a k +,

33 33 FUNKCE A POSLOUPNOSTI V rámci kapitoly jsme definovali základní pojmy, které jsou východisky pro pochopení principů finanční a pojistné matematiky. V úvodu byly uvedeny základní typy elementárních funkcí (lineární funkce, nepřímá úměra, exponenciální a logaritmická funkce) včetně popisu jejich vlastností. Dále byly definovány základní typy posloupností (aritmetická a geometrická posloupnost) a jejich vlastnosti. Posledním definovaným pojmem byla nekonečná řada. 1. Vysvětlete pojem funkce. 2. Jaké znáte typy elementárních funkcí? 3. Co je to posloupnost a jaké znáte jejich druhy? 4. Co je to nekonečná řada? Literatura k tématu: [1] RADOVÁ, JARMILA a PETR DVOŘÁK. Finanční matematika pro každého. Praha: Grada, 1993, 175 stran. ISBN [2] ODVÁRKO, OLDŘICH. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. Praha: Prométheus, 2007, 126 stran. ISBN [3] MÁDROVÁ, VLADIMÍRA. Matematická analýza I. 2. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2004, 215 stran. ISBN x.

34 Kapitola 5 Jednoduché úročení Po prostudování kapitoly budete umět: rozlišit jednotlivé typy úročení vypočítat jednoduchý úrok a diskont z daného základu uplatnit tyto výpočty v praktických příkladech Klíčová slova: Úročení, úrok, základní kapitál, úroková míra, diskont.

35 35 JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ 5.1 Základní pojmy Jak již bylo uvedeno v předchozí kapitole, úročení dělíme na předlhůtní (anticipativní) a polhůtní (dekursivní). V této kapitole probereme oba způsoby úročení podrobněji. Dekurzivní úročení je takové, kdy se úrok platí vždy na konci úrokového období. Při anticipativním úročení se úrok platí na začátku úrokového období [16]. U jednoduchého dekurzivního úročení se úročí stále pouze základní částka. Vyplacené úroky se k ní nepřičítají, nevzniká tedy úrok z úroků. Protože budeme uvažovat o úrokování dekurzivním, úroky budou vypláceny vždy po uplynutí úrokového období, ke kterému se vztahují [16]. Úrok ve výpočtech budeme označovat u a lze jej vypočíst jako součin základního kapitálu, úrokové míry a doby, po kterou je kapitál uložen nebo zapůjčen takto: kde P základní kapitál, i úroková míra, t čas u = P i t, Výše úroku závisí na době, po kterou je kapitál úročen. Pro tuto dobu se užívá název úroková doba [12]. U příkladů zadaných jinými jednotkami používáme k řešení tento vztah: u = P p 100 k 360 Kde P základní kapitál, p úroková míra v procentech, k počet dní Úroková míra neboli interest rate je tedy výše úroku. Pokud je roční úroková míra 5%, pak z každé koruny obdrží věřitel 5 haléřů za každý rok půjčky. Výše úroku se mnohdy mění. Nejnižší míru mají statní dluhopisy, a to z toho důvodu, že je zde velká garance státu. S rostoucím rizikem ovšem míra úrokové míry roste. U firem, které pracují na nezákonném lichvářství, může mnohdy úroková míra dosahovat i výše 500 % [14]. Míra výnosnosti je úroková míra realizovaná v rámci investic. Z matematického hlediska je ovšem ekvivalentní s úrokovou mírou. Úroková míra ovšem závisí na celé řadě faktorů. K nim patří diskontní sazba, což je úroková míra, za kterou centrální banka poskytuje úvěr ostatním obchodním bankám, kde se většinou jedná o tzv. refinanční úvěr krátkodobého charakteru, který je pro obchodní banky obvykle výhodný). Zvýšení

36 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 36 (resp. snížení) diskontní sazby má většinou za následek zvýšení (resp. snížení) úrokových měr nejen u jednotlivých obchodních bank, ale na celém finančním trhu [15]. Úrok lze rovněž vypočítat pomocí tzv. úrokového čísla a úrokového dělitele. Úrokové číslo budeme označovat UC je definováno takto: UC = Pk 100 Úrokový dělitel UD je definován: Výsledný úrok pak vypočteme: UD = 360 p u = UC UD Tento způsob výpočtu úroku lze využít například při výpočtech splatných částek u cenných papírů (směnek) nebo při účtování u běžných a kontokorentních účtů. V předlhůtním neboli anticipativním úročení je úrok vyplácen na začátku úrokového období. Příjemce kapitálu tedy nedostává celou nominální částku, ale obnos snížený o úrok, což je vlastně obchodní diskont. V době splatnosti kapitálu je pak třeba zaplatit celou nominální částku [16]. Takový úrok se nazývá diskont D a počítá se ze splatné částky S. Částka P je rovna částce S snížené o diskont. Příslušná úroková míra se nazývá diskontní míra d, zbytková doba splatnosti v letech je označena t. Skutečně poskytnutá částka P se tedy vypočte: D = S d t P = S(1 dt) 5.2 Aplikované jednoduché úročení V praxi se používají oba způsoby jednoduchého úročení. Krátkodobé cenné papíry, jejichž doba splatnosti je kratší než jeden rok, bývají obchodovány na principu jednoduchého diskontu, zatímco při tvorbě uzávěrek běžných či kontokorentních účtů se používá polhůtního způsobu úročení [7].

37 37 JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ Aplikovaný diskontní princip úročení Jednoduché diskontování nachází uplatnění při obchodování s krátkodobými cennými papíry. Typickým příkladem těchto cenných papírů jsou pokladniční poukázky a směnky, někdy k nim řadíme i depozitní certifikáty. Krátkodobé cenné papíry jsou obchodovány na peněžním trhu [7]. Cena P těchto krátkodobých cenných papíru před dobou splatnosti se vypočte podle vzorce: P = S(1 dt) kde S je nominální hodnota cenného papíru, d roční diskontní míra a t je zbytková doba splatnosti. Cena směnky před dobou splatnosti se opět vypočte podle výše uvedeného vzorce, kde S je směnečná částka, která je vždy uvedena přímo na směnce a t je zbytková doba splatnosti v letech Aplikovaný dekursivní způsob úročení Běžný účet Existují tři způsoby, jak provádět uzávěrku na běžném účtu [7]: Zůstatkový způsob (anglický) Zůstatky na účtu jsou úročeny vždycky za dobu, po kterou skutečně byly na účtu uloženy. Pro úrok u, který bude na konci roku připsán na účet, platí při úrokové míře i kde UCj, j = 1,..., n jsou úroková čísla za j-tou dobu, po kterou byl zůstatek na účtu uložen. Postupný způsob (německý) Úroky z jednotlivých položek jsou počítány za dobu od data, kdy se na účtu objevily (toto datum nepočítáme), až do konce roku. U položek ze sloupce Dal budou mít příslušná úroková čísla kladné znaménko, u položek ze sloupce Má dáti záporné znaménko. Výše úroku připsaného na účet na konci roku lze tedy vyjádřit:

38 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 38 Zpětný způsob (francouzský) Postup výpočtu úroku je opačný než u německého způsobu. Úroky jsou počítány od zvoleného data epochy (např. 1.1.) až do data změny na účtu včetně. Znaménka úrokových čísel pro položky Dal jsou záporná a pro položky Má dáti kladná. Úrokové číslo náležející zůstatku ze dne má však kladné znaménko. Celkový připsaný úrok bude: Kontokorentní účet Tento typ účtu nabízí klientovi banky možnost přechodně přejít z kladných zůstatků do záporných (do debetu) s tím, že je předem dohodnuta maximální výše debetu. Klient takto získává krátkodobou půjčku, která bývá v praxi označována jako kontokorentní úvěr [7]. V souvislosti s poskytováním těchto úvěrů je potřeba se dále seznámit s následujícími pojmy [7]: úvěrový rámec (UR) - maximální povolený debet na účtu, kreditní úrok - úrok z kladných zůstatků připsaný ve prospěch majitele účtu, debetní úrok - úrok ze záporných zůstatků, které nejsou větší než sjednaný úvěrový rámec, pohotovostní provize - náklady vzniklé v důsledku sjednaného, avšak nečerpaného úvěru; patří sem pohotovostní provize z nečerpaného úvěrového rámce (NU), provize za překročení úvěrového rámce (PR) - sankční úrok při porušení sjednané výše úvěrového rámce. Uzávěrku kontokorentního účtu provádíme tak, že postupně vypočteme výši kreditních úroků, debetních úroků a provizí - pomocí úrokových čísel a příslušných úrokových dělitelů. K tomu je daná kreditní úroková míra ic, debetní úroková míra id a dále sazby pro pohotovostní provizi z nečerpaného úvěru pnu a pro sankční úrok v případě překročení úvěrového rámce ppr. Kreditní a debetní úroky, pohotovostní provize z nečerpaného úvěrového rámce a provize za překročení úvěrového rámce pro příslušný stav účtu se vypočítají zůstatkovým způsobem. Konečný zůstatek k poslednímu dni v roce získáme přičtením kreditních úroků k poslednímu zůstatku a odečtením úrokových nákladů (debetní úroky, provize), případně dalších poplatků [7].

39 39 JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ V této kapitole byly ukázány jednotlivé typy jednoduchého úročení z daného základního kapitálu a praktické postupy aplikací jednoduchého předlhůtního a polhůtního typu úročení. Věnovali jsme se zejména provádění uzávěrek na běžných a kontokorentních účtech a rovněž principům počítání cen vybraných krátkodobých cenných papírů. 1. Jaké znáte typy jednoduchého úročení a jak se od sebe principálně odlišují? 2. Jaké znáte aplikace pro uvedené typy úročení? 3. Jaký postup využijete při provádění uzávěrek na kontokorentních účtech? Literatura k tématu: [1] BOHANESOVÁ, EVA. Finanční matematika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013, 196 stran. ISBN [2] GROBAŘOVÁ, SAŇA. Základy finanční matematiky. Brno: Tribun EU, 2012, 164 stran. ISBN [3] CIPRA, TOMÁŠ. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Praha: HZ Editio, 1995, 320 stran. ISBN [4] RADOVÁ, JARMILA, PETR DVOŘÁK a JIŘÍ MÁLEK. Finanční matematika pro každého. 7. Praha: Grada, 2009, 293 stran. ISBN

40 Kapitola 6 Složené úročení Po prostudování kapitoly budete umět: Definovat specifika složeného úročení Počítat splatné částky v případě různých typů úrokových období Aplikovat principy složeného úročení v praxi. Klíčová slova: Složené úročení, základní kapitál, splatná částka, úrok.

41 41 SLOŽENÉ ÚROČENÍ 6.1 Základní pojmy Složeného úročení využíváme mnohokrát hlavně v odvětví dlouhodobých investic, kde se počítají úroky z úroků. Při složeném úrokování se používá nejčastěji časová jednotka jednoho roku [17]. Při složeném úročení se úroky počítají k počátečnímu kapitálu (k poskytnutému úvěru k uloženému vkladu) a spolu s ním se dále úročí [18]. Na rozdíl od jednoduchého úročení budeme v případě složeného úročení předpokládat, že počáteční kapitál K0 je úročen po dobu tvořenou více úrokovými obdobími, kde úrokové období je jeden rok. Úrok bude ke vkladu připsán vždy na konci roku, a následující rok bude znovu spolu s vkladem úročen, vzniknou tedy úroky z úroků. Vzhledem k době připisování úroků půjde o polhůtní (roční) složené úročení [19]. Předpokládáme, že K0 je počáteční kapitál. Zajímá nás, jak se změní jeho výše za n let, kde n je celé kladné číslo, jestliže úroky byly připisovány vždy na konci roku a další rok znovu úročeny při neměnné úrokové míře i. Základní rovnici jednoduchého úročení lze snadno odvodit v tomto tvaru: kde Kn je splatná částka na konci n-tého roku. Částky Kj, j = 1,..., n, na konci i-tého roku tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem 1+i, který se nazývá úrokovací faktor neboli úročitel. Úročitel můžeme interpretovat jako budoucí hodnotu jednotkového kapitálu na konci roku [7]. Z hlediska času je částka Kn budoucí hodnotou počátečního kapitálu K0 a, naopak, částka K0 je současnou hodnotou splatné částky Kn. Současnou hodnotu K0 vypočítáme ze základní rovnice [7]: zlomek uvedený ve vzorci se nazývá diskontní faktor neboli odúročitel a je interpretován jako současná hodnota jednotkového kapitálu počítaná za období jednoho roku. V případě, že finanční částky diskontujeme přes více úrokových období, mluvíme o složeném diskontování.

42 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII Častější připisování úroků Předpokládáme, že počáteční kapitál je K0, doba splatnosti je tvořena více úrokovými obdobími kratšími než jeden rok, jejichž počet je vyjádřen celým kladným číslem m, úrok je připsán vždy na konci úrokového období, při roční úrokové míře i. Jestliže je dána roční úroková míra a přitom úrokové období je kratší než jeden rok, nazývá se tato roční úroková míra nominální úroková míra [20]. Na začátku roku uložíme částku K0 a na konci každé m-tiny roku připíšeme úrok na základě složeného úročení při nominální úrokové míře i. Je-li úrokové období kratší než jeden rok, je nutné nominální úrokovou míru vydělit příslušnou hodnotou m. Nejpoužívanější hodnoty m (úrokových období) jsou: 1 roční, 2 pololetní, 4 čtvrtletní, 12 měsíční, 52 týdenní, 365 denní. Rovnice pro výpočet splatné částky za n let je pak v tomto tvaru: 6.3 Smíšené úročení Smíšené úročení je kombinací složeného a jednoduchého úročení v případě, že doba splatnosti n zde není vyjádřena celým kladným číslem, nýbrž je dána jako součet celého počtu úrokových období nm a zbytku l, který je kratší než jedno úrokové období. Po dobu nm jsou úroky připisovány vždy na konci úrokového období a v dalším období znovu úročeny, pouze na konci doby splatnosti (za dobu l) se úročí jednoduše. Dále uvažujeme počáteční kapitál K0 a roční úrokovou míru i. Splatnou částku při smíšeném úročení vypočteme tedy ze vztahu [20]: kde V rámci kapitoly byly definovány základní pojmy složeného úročení a jejich varianty. Na rozdíl od jednoduchého úročení, které bylo detailněji řešeno v předchozí kapitole, zde jsou úroky připsány vždy na konci roku a pak opět spolu s vkladem znovu úročeny. Vznikají tedy tzv. úroky z úroků. Úroky lze připisovat nejen koncem každého roku, ale

43 43 SLOŽENÉ ÚROČENÍ i v rámci každé m-tiny roku při nominální úrokové míře i. V takovém případě hovoříme o složeném úročení s častějším připisováním úroků. Smíšené úročení je kombinací složeného a jednoduchého úročení v případě, že doba splatnosti není vyjádřena celým kladným číslem, ale je dána jako součet celého počtu úrokových období a zbytku, který je kratší než jedno úrokové období. 1. Popište základní principy složeného úročení a srovnejte jej s úročením jednoduchým. 2. Jak je definováno složené úročení s častějším připisováním úroků? 3. Jaké znáte typy úrokových období? 4. Jaký je princip smíšeného úročení a jak je vyjádřeno matematicky? Literatura k tématu: [1] BOHANESOVÁ, EVA. Finanční matematika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013, 196 stran. ISBN [2] GROBAŘOVÁ, SAŇA. Základy finanční matematiky. Brno: Tribun EU, 2012, 164 stran. ISBN [3] CIPRA, TOMÁŠ. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Praha: HZ Editio, 1995, 320 stran. ISBN [4] RADOVÁ, JARMILA, PETR DVOŘÁK a JIŘÍ MÁLEK. Finanční matematika pro každého. 7. Praha: Grada, 2009, 293 stran. ISBN

44 Kapitola 7 Investiční rozhodování Po prostudování kapitoly budete umět: oceňovat investice podle speciálních pravidel, rozhodnout, zda se investice vyplatí či nevyplatí, aplikovat další investičních kritéria. Klíčová slova: Investice, současná hodnota, budoucí hodnota, finanční tok, vnitřní míra výnosnosti.

45 45 INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 7.1 Pravidlo současné hodnoty V této kapitole budeme používat následující označení: C0, C1,..., Cn finanční toky vzhledem k dané investici, C0 počáteční výdaj (pořizovací cenu investice), i je úroková míra charakteristická pro investice se srovnatelnými parametry. Současnou hodnotu investice budeme označovat PV (present value) a vypočteme ji jako: Pravidlo současné hodnoty spočívá v porovnání hodnot PV a C0 a podle toho, která z hodnot je větší, se doporučuje investovat nebo neinvestovat [20]: je-li PV > C0, pak investuj, je-li PV < C0, pak neinvestuj, je-li PV = C0, pak nelze podle tohoto pravidla rozhodnout. 7.2 Pravidlo čisté současné hodnoty Pokud do výpočtu současné hodnoty zahrneme počáteční výdaj - pořizovací cenu investice C0, získáme tzv. čistou současnou hodnotu (net present value) s označením NPV: Pravidlo čisté současné hodnoty [20]: je-li NP V > 0, pak investuj, je-li NP V < 0, pak neinvestuj, je-li NP V = 0, pak nelze podle tohoto pravidla rozhodnout.

46 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII Pravidlo vnitřní míry výnosnosti Vnitřní mírou výnosnosti rozumíme míru výnosnosti realizovanou v rámci investic srovnatelných parametrů, např. v rámci investic do určitého typu nemovitostí. Vnitřní míra výnosnosti, bude označena r, je odhadována z rovnice [20]: a následně porovnána s mírou výnosnosti i, která je běžně dostupná na trhu v rámci investic se srovnatelnými parametry. Při použití tohoto pravidla záleží také na průběhu funkce popisující závislost čisté současné hodnoty na míře výnosnosti. Jsou-li C0 < 0, C1 > 0,..., Cn > 0 finanční toky, má funkce NPV tvar[20]: a pravidlo vnitřní míry výnosnosti zní: je-li r > i, pak investuj, je-li r < i, pak neinvestuj. Hodnota r míry výnosnosti se odhaduje z výše uvedené rovnice a lze ji vypočítat např. použitím SW Microsoft Excel, kde využijeme přednastavený algoritmus funkce Míra výnosnosti. Výhodami pravidla jsou: zahrnuje časovou hodnotu peněz, zahrnuje všechny platby daného projektu. Nevýhody pravidla: není aditivní vzhledem k peněžním tokům, nelze jej použít, jestliže jsou očekávány výrazné rozdíly v krátkodobých a dlouhodobých úrokových sazbách.

47 47 INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ Při investičním rozhodování jsou posuzována tři základní kritéria rozhodování: výnosnost investice, její rizikovost a likvidita investice. Tato kritéria tvoří tzv. investiční trojúhelník a na jejich základě se investor rozhoduje pro přijetí nebo zamítnutí plánované investice. Zaměří-li se investor na výnosnost projektu, tedy zajímá-li ho hlavně posouzení zisků či ztrát, tak se soustředí především výše řešená kritéria: pravidlo současné hodnoty, pravidlo čisté současné hodnoty, doba návratnosti a vnitřní míra výnosnosti. 1. Popište základní pravidla pro ocenění investic. 2. Jak je definováno pravidlo současné hodnoty a v čem se liší od pravidla čisté současné hodnoty? 3. Jak je definováno pravidlo vnitřní míry výnosnosti? 4. Jaké jsou výhody a nevýhody pravidla vnitřní míry výnosnosti? Literatura k tématu: [1] BOHANESOVÁ, EVA. Finanční matematika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013, 196 stran. ISBN [2] GROBAŘOVÁ, SAŇA. Základy finanční matematiky. Brno: Tribun EU, 2012, 164 stran. ISBN [3] CIPRA, TOMÁŠ. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Praha: HZ Editio, 1995, 320 stran. ISBN [4] RADOVÁ, JARMILA, PETR DVOŘÁK a JIŘÍ MÁLEK. Finanční matematika pro každého. 7. Praha: Grada, 2009, 293 stran. ISBN

48 Kapitola 8 Spoření Po prostudování kapitoly budete umět: rozlišovat mezi krátkodobým, dlouhodobým a kombinovaným spořením, počítat naspořené částky v jednotlivých případech spoření, odvodit výši úložky v rámci jednotlivých typů spoření. Klíčová slova: Spoření, úroková sazba, úrokové období, úložka, naspořená částka.

49 49 SPOŘENÍ 8.1 Základní pojmy Spořením rozumíme pravidelné ukládání určité částky po dobu konečné délky. Součet všech úložek se nazývá částka uložená. Součet uložené částky a příslušných úroků se nazývá částka naspořená. Ta bývá obvykle cílem výpočtů v oblasti spoření. [7] Rozlišujeme několik typů spoření: Krátkodobé doba tohoto spoření nepřesáhne jedno úrokové období. Úroky jsou připisovány na konci doby spoření. Jednotlivé složky jsou úročeny na základě jednoduchého úročení. [21] Dlouhodobé doba spoření bude delší než jedno úrokové období (předpokládejme roční úrokové období). Spoříme několik úrokových období. V rámci úrokového období spoříme pouze jednou. Úroky se připisují na konci každého úrokového období k naspořené částce a dále se s touto částkou úročí. [21] Kombinované je kombinací krátkodobého a dlouhodobého spoření. Předlhůtní danou částku spoříme na počátku pravidelného časového intervalu Polhůtní danou částku spoříme na konci pravidelného časového intervalu Úroková sazba je úrok vyjádřený v procentech z hodnoty kapitálu. Úroková sazba se vždy vztahuje k určité délce časového období. O jaké časové období se jedná, udává dodatek u dané úrokové sazby. Převody mezi úrokovými sazbami vztahujícími se k různému časovému období využívají prostého dělení, či naopak násobení. [22] Úrokové období je období, za které jsou připisovány úroky, resp. udává frekvenci úročení. Úrokovému období musí být v rámci daného vztahu přizpůsobeny veškeré proměnné, které jsou na něm závislé. Pokud jsou v jiném formátu, tak musí být do formátu úrokového období převedeny. [22] 8.2 Krátkodobé spoření Spoření krátkodobé je takové spoření, u kterého doba nepřesáhne jedno úrokové období (obvykle jeden rok), úroky budou připisovány na konci doby spoření, nejpozději na konci úrokového období a jednotlivé úložky budou úročeny na základě jednoduchého úročení.[19]

50 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII Krátkodobé předlhůtní spoření Ukládáme vždy na začátku každé m-tiny roku částku ve výši x Kč, i je roční úroková sazba vyjádřena jako desetinné číslo. Předpokládáme roční úrokové období. S x je naspořená částka za jeden rok. Zde m značí počet vkladů v rámci jednoho roku. Zároveň je to počet období, ve kterých se ukládá. Úroková doba je část roku, po kterou je každá úložka jednoduše úročena. V případě, že spoříme počátkem každé m-tiny úrokového období částku x Kč, bude mít naspořená částka tvar: Krátkodobé polhůtní spoření Ukládáme vždy na konci každé m-tiny roku částku ve výši x Kč, i je roční úroková sazba vyjádřena jako desetinné číslo. Předpokládáme roční úrokové období. Sx je naspořená částka za jeden rok 8.3 Dlouhodobé spoření Dlouhodobé spoření je spoření za několik úrokových období. Pro odvození vzorců pro výpočet celkové naspořené částky za n období budeme předpokládat, že v rámci úrokového období spoříme pouze jednou a rovněž, že úrokové období je jeden rok. Podle toho, zda částka bude uložena na počátku či na konci úrokového období, budeme opět rozlišovat spoření předlhůtní a polhůtní.[19] Dlouhodobé předlhůtní spoření Částku a ukládáme na začátku úrokového období (předpokládejme roční úrokové období) a to po dobu n let při roční úrokové míře i vyjádřené desetinným číslem. Pro naspořenou částku S platí [21]

51 51 SPOŘENÍ Dlouhodobé polhůtní spoření Částku a ukládáme na konci úrokového období (předpokládejme roční úrokové období) a to po dobu n let, při roční úrokové míře i vyjádřené jako desetinným číslem. Pro naspořenou částku S platí [21] 8.4 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření částku ve výši x Kč ukládáme m-krát za zvolené úrokové období (opět nejčastěji roční) po dobu n úrokových období při neměnné úrokové míře i, vztažené ke zvolenému úrokovému období. Podle toho, jestli spoříme počátkem nebo na konci každé m-tiny úrokového období, rozlišujeme předlhůtní a polhůtní případ kombinovaného spoření. [7] Předlhůtní spoření: Polhůtní spoření V rámci této kapitoly byly probrány jednotlivé typy spoření, které jsme rozdělili na krátkodobé, dlouhodobé a jejich kombinaci. Při krátkodobém spoření spoříme po dobu jednoho úrokového období, proto je délka intervalu mezi dvěma úložkami menší než úrokové období. U dlouhodobého spoření spoříme po dobu více úrokových období, délka intervalu mezi dvěma úložkami je rovna právě jednomu úrokovému období. Kombinované spoření je typické tím, že spoříme po dobu více úrokových období, délka intervalu mezi dvěma úložkami je menší než jedno úrokové období.

52 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII Uveďte jednotlivé typy spoření a jejich dělení. 2. Jak je definováno krátkodobé a dlouhodobé spoření? 3. Jak se od uvedených typů odlišuje kombinované spoření? 4. Popište rozdíly mezi předlhůtním a polhůtním typem spoření. Literatura k tématu: [1] BOHANESOVÁ, EVA. Finanční matematika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013, 196 stran. ISBN [2] GROBAŘOVÁ, SAŇA. Základy finanční matematiky. Brno: Tribun EU, 2012, 164 stran. ISBN [3] CIPRA, TOMÁŠ. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Praha: HZ Editio, 1995, 320 stran. ISBN [4] RADOVÁ, JARMILA, PETR DVOŘÁK a JIŘÍ MÁLEK. Finanční matematika pro každého. 7. Praha: Grada, 2009, 293 stran. ISBN

53 Kapitola 9 Důchody Po prostudování kapitoly budete umět: rozlišovat jednotlivé typy důchodů, počítat současné hodnoty určitých typů důchodů, počítat budoucí hodnoty určitých typů důchodů. Klíčová slova: Důchod, současná hodnoty, budoucí hodnota, výplatní období.

54 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII Základní pojmy Důchodem ve finanční matematice rozumíme pravidelně se opakující systém plateb stejných částek při konstantní úrokové sazbě. V této kapitole se budeme právě zabývat těmito pravidelně se opakujícími platbami. Tyto platby se mohou opakovat uvnitř úrokovacích období (buď na začátcích, nebo na koncích splátkových období). V obou případech můžeme pravidelnosti placení využít k jednoduché analýze finančního vztahu. Získáme tak především metodický postup pro tvorbu matematického popisu takového typu finančních operací, které urychlí zpracování a vyhodnocení finančního vztahu. Pří počítání důchodů nás bude zajímat především jeho současná hodnota (present value) PV a budoucí hodnota (future value) FV. Výplatu důchodu budeme nazývat anuita. Splátkové období (důchodu) je období mezi dvěma nejbližšími různými pravidelnými splátkami. Období mezi dvěma výplatami budeme označovat jako výplatní období. Důchody lze klasifikovat například takto [20]: podle celkové doby výplat důchod dočasný, důchod věčný; podle toho, je-li výplata uskutečněna na začátku či na konci pravidelného intervalu důchod předlhůtní, důchod polhůtní; podle toho, odkdy se s výplatami začíná důchod bezprostřední, důchod odložený; podle toho, je-li výplatní období dlouhé právě jeden rok nebo je kratší než jeden rok důchod roční, důchody področní.

55 55 DŮCHODY 9.2 Důchody dočasné Anuita (výplata důchodu) je v tomto případě omezena n časovými obdobími. Tyto typy důchodů budeme dále dělit takto: Důchod bezprostřední předlhůtní roční S vyplácením anuit ve výši a Kč se začne ihned. Dále předpokládáme, že anuita je vyplácena počátkem každého roku při roční neměnné úrokové míře i (s ročním úročením). Výplatní období je tedy jeden rok a je shodné s úrokovým obdobím. [20] Pro současnou hodnotu tohoto důchodu platí: Budoucí hodnota FV je vyjádřena takto: Důchod bezprostřední polhůtní roční Pro tento důchod předpokládáme, že částka a Kč je vyplácena koncem každého roku při neměnné úrokové míře i, s výplatami se začíná odteď. [20] Pro současnou hodnotu tohoto důchodu platí: Budoucí hodnota FV je vyjádřena takto: Důchod bezprostřední předlhůtní področní Částka a Kč je vyplácena od nynějška počátkem každé m-tiny roku při neměnné nominální (roční) úrokové míře i, přičemž úrok je připsán m-krát za rok, výplatní období je právě jedna m-tina roku. Výplatní a úrokové období mají opět stejnou délku. [20]

56 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 56 Současná hodnota: Budoucí hodnota: Důchod bezprostřední polhůtní področní Částka a Kč je vyplácena od nynějška koncem každé m-tiny roku při neměnné nominální úrokové míře i, výplatní i úrokové období jsou rovny právě jedné m-tině roku. [20] Současná hodnota: Budoucí hodnota: 9.3 Důchod věčný V tomto případě jsou anuity v hodnotě a Kč vypláceny v pravidelných intervalech stále (teoreticky do nekonečna). Z toho důvodu je věčný důchod limitním případem příslušného dočasného důchodu. Výpočty současných hodnot věčných důchodů lze provést dvěma způsoby. Zde uvedeme pouze vztahy pro výpočet současné hodnoty věčného bezprostředního ročního důchodu předlhůtního a polhůtního, při neměnné roční úrokové míře i. [20] Současná hodnota předlhůtního věčného důchodu: PV = a(1 + i) i Současná hodnota polhůtního věčného důchodu: PV = a i

57 57 DŮCHODY 9.4 Důchod odložený Na rozdíl od bezprostředního důchodu zde budeme předpokládat k výplatních období, o které bude první výplata důchodu opožděna. Současnou hodnotu odloženého důchodu získáme diskontováním současné hodnoty příslušného bezprostředního důchodu o dobu odkladu. V případě področních důchodů je třeba diskontovat o km výplatních období. [20] odložený dočasný roční předlhůtní důchod odložený dočasný roční polhůtní důchod odložený dočasný področní předlhůtní důchod odložený dočasný področní polhůtní důchod odložený věčný předlhůtní důchod odložený věčný polhůtní důchod

58 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 58 Pod pojmem důchod ve finanční matematice rozumíme systém periodicky vyplácených plateb. U důchodů nás zajímá především jeho současná hodnota (present value) PV, která je rovna součtu všech budoucích plateb diskontovaných k dnešnímu datu. Někdy se zjišťuje budoucí hodnota (future value) důchodu, označená FV, jakožto součet budoucích hodnot všech výplat. K pojmenování výplaty u důchodu lze též použít pojem anuita. [20] V rámci této kapitoly byly probrány jednotlivé typy důchodů, které jsme rozdělili na dočasné, věčné a odložené. 1. Co je to anuita důchodu a splátkové období? 2. Uveďte jednotlivé typy důchodů a jejich dělení. 3. Jak jsou definovány dočasné důchody? 4. Specifikujte typy věčných důchodů. Literatura k tématu: [1] BOHANESOVÁ, EVA. Finanční matematika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013, 196 stran. ISBN [2] GROBAŘOVÁ, SAŇA. Základy finanční matematiky. Brno: Tribun EU, 2012, 164 stran. ISBN [3] CIPRA, TOMÁŠ. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Praha: HZ Editio, 1995, 320 stran. ISBN [4] RADOVÁ, JARMILA, PETR DVOŘÁK a JIŘÍ MÁLEK. Finanční matematika pro každého. 7. Praha: Grada, 2009, 293 stran. ISBN

59 Kapitola 10 Úvěry Po prostudování kapitoly budete umět: vypočítat dobu splácení úvěru, aplikovat výpočet poslední splátky úvěru, vytvářet splátkový kalendář. Klíčová slova: Úvěr, úrok, úročení, anuita, úmor, dluh.

60 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII Základní pojmy Úvěr (půjčka) je důležitý finanční instrument. Úvěrem rozumíme poskytnutí peněžní částky na určitou dobu za odměnu zvanou úrok. Ačkoliv je možné umořování (splácení) úvěru z hlediska věřitele považovat za příjem důchodu. [19] V této kapitole budeme předpokládat, že dluh ve výši D bude splácen ihned, polhůtními ročními anuitami ve výši a při neměnné roční úrokové míře i po dobu n let. Ve splátce (a) je zahrnut úrok (U) vypočtený z posledního stavu dluhu a úmor (M). To je částka, která se skutečně odečte od posledního stavu dluhu. Pro splátku pak platí vztah [20]: Průběh splácení dluhu se zapisuje do tabulky zvané umořovací plán nebo též splátkový kalendář. Plán obsahuje pět sloupců, v nichž je uvedeno období (rok), výše splátky, úroku a úmoru v příslušném období a stav dluhu na konci období. Počet řádků v plánu je dán počtem období, kdy je dluh splácen. Umořovací plány se mohou lišit [19]: způsobem úročení (aniticipativní, dekurzivní), Obdobím splátek (stejná nebo odlišná od úrokového období Konstantní anuita V této kapitole se budeme věnovat splácení úvěru splátkami stejné výše. Je-li dluh splácen stejně vysokými splátkami, pak můžeme sloupec pro splátku v umořovacím plánu vyplnit ihned. Úrok pro každé období spočteme podle vztahu kde Uj, j = 1,..., n značí úrok v j-tém období a Dj 1 stav dluhu v předchozím, (j 1)-tém období. Výše úmoru pro každé období je dána rozdílem mezi splátkou a úrokem v témže období.

61 61 ÚVĚRY Zdroj: Obr. 5 Umořovací plán pro splácení úvěru splátkami stejné výše. Do posledního řádku splátkového kalendáře bývá zvykem uvést celkovou sumu zaplacenou za úvěr (ve sloupci pro splátku), celkově zaplacené úroky (ve sloupci pro úroky) a součet úmorů za jednotlivé roky. Ten musí být roven právě výši dluhu. [20] V praxi často nastane případ, že poslední splátka je menší než všechny předchozí. Tuto nižší splátku b uhradíme v n-tém roce. Pro současnou hodnotu úvěru tedy platí Počet roků, po které je úvěr splácen, určíme ve formě celého čísla ze vztahu [20]: 10.3 Konstantní úmor V tomto případě bude v každém období umořena stejná část dluhu. Výši úmoru M pak vypočteme vydělením celkové hodnoty dluhu počtem let splácení (známe-li dobu splácení), tj. [20]:

62 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 62 Umořovací plán, bude vypadat stejně jako v předchozím případě, ale způsob jeho vyplnění bude odlišný. Především lze nejdřív vyplnit sloupec pro úmor a sloupec pro stav dluhu. Nové stavy dluhu postupně získáme odečítáním úmoru, neboli musí platit [20]: Výši úroku pro každé období a výši splátky vypočteme takto: Zdroj: Obr. 6 Umořovací plán pro splácení úvěru konstantním úmorem. V této kapitole jsme uvedli základní pojmy vztahující se k problematice poskytování úvěrů a umořovaní dluhů. Úmor je splátka jistiny dluhu, tedy část splátky, o kterou se snižuje výše dlužné částky. Umořovací plán je přehled výše splátek úvěru včetně úroků z hlediska jejich časového rozložení. Obsahuje výši splátky, výši úmoru dluhu, výši úroku z dluhu, stav dluhu po odečtení úmoru (zbývající dlužnou částku). Anuitní splátka (anuita) je splátka opakující se v pravidelných časových intervalech. Tyto platby mohou být stále stejné konstantní anuita, ale není to pravidlem. V případě, kdy je dluh umořen vždy stejnou částí, hovoříme o splácení úvěru konstantním úmorem.

63 63 ÚVĚRY 1. Definujte pojmy úvěr, úmor a anuita. 2. Co je to umořovací plán a jak se mohou tyto plány lišit? 3. Jaký je princip umořování dluhu konstantní anuitou? 4. Jaký je princip umořování dluhu konstantním úmorem? Literatura k tématu: [1] BOHANESOVÁ, EVA. Finanční matematika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013, 196 stran. ISBN [2] GROBAŘOVÁ, SAŇA. Základy finanční matematiky. Brno: Tribun EU, 2012, 164 stran. ISBN [3] CIPRA, TOMÁŠ. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Praha: HZ Editio, 1995, 320 stran. ISBN [4] RADOVÁ, JARMILA, PETR DVOŘÁK a JIŘÍ MÁLEK. Finanční matematika pro každého. 7. Praha: Grada, 2009, 293 stran. ISBN

64 Kapitola 11 Obligace a akcie Po prostudování kapitoly budete umět: definovat a popsat obligaci, klasifikovat ji podle různých hledisek vypočítat cenu kupónové obligace určit vnitřní hodnotu akcie určit jaké druhy výnosností akcie poskytuje Klíčová slova: Obligace, nominální hodnota, kupónová platba, cena, výnosnost, akcie, vnitřní hodnota.

65 65 OBLIGACE A AKCIE 11.1 Obligace Obligace (dluhopis) je dlouhodobý cenný papír se stanovenou dobou splatnosti, který vyjadřuje závazek emitenta (dlužníka) vůči oprávněnému majiteli (věřiteli) splatit k určitému datu půjčku a proplatit úroky ve stanovených termínech. Z tohoto důvodu je obligace dlouhodobým cenným papírem s fixním výnosem. Na druhou stranu však existují také obligace s pohyblivým výnosem, u nichž je příslušná úroková míra vázána na jinou referenční sazbu. [20] Nominální hodnota (NH) obligace je částka vytištěná na cenném papíru, která udává výši dluhu a je vyplacena na konci doby splatnosti. Cena obligace je skutečná tržní hodnota, za kterou je obchodována na kapitálových trzích. Přesně v den splatnosti je cena obligace rovna nominální hodnotě. Kurz obligace je cena vyjádřená v procentech z nominální hodnoty. Kupónová platba (C) je sjednaný úrok vyplácený v pravidelných intervalech. Kupónová sazba (c) je kupónová platba vyjádřená v procentech z nominální hodnoty. Kupónové období (nejčastěji roční nebo pololetní) je období, na jehož konci je vyplacena kupónová platba. [20] Klasifikace obligací Obligace lze klasifikovat například takto [7]: 1. podle počtu kupónových plateb kupónové obligace, s nimiž je spojen konečný počet kupónových plateb, bezkupónové, diskontované obligace (zero coupon bonds), které jsou obchodovány na diskontním principu bez výplat kupónů, obligace se tedy chová jako dlouhodobý depozitní certifikát, konzoly, věčné obligace, které poskytují nekonečně mnoho kupónových plateb; 2. podle emitenta státní obligace - emitentem jsou státní orgány, obligace jsou vydávány při deficitu státního rozpočtu, např. povodňové dluhopisy v roce 1997, komunální obligace - emitovány při potřebě peněz na straně městské správy,

66 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 66 podnikové obligace - emitentem je určitá firma; 3. podle místa, kde je emitována domácí obligace - je emitována na domácím trhu domácím subjektem a v domácí měně, zahraniční obligace - je emitována na zahraničním trhu zahraničním subjektem v odpovídající zahraniční měně, euroobligace - je emitována způsobem: emitent z jedné země emituje obligaci do druhé země v měně třetí země Cena kupónové obligace Cenou obligace rozumíme cenu, za kterou je obligace obchodována na kapitálovém trhu a jejíž výše především závisí na stavu nabídky a poptávky. Cenu obligace vypočteme jako cenu investice, u níž lze očekávat budoucí příjmy. Bude tedy obecně vyjádřena jako součet všech budoucích příjmů diskontovaných k současnému datu. Pro výpočet ceny kupónové obligace je důležité, je-li cena počítána k datu, v němž dochází k výplatě kupónové platby, nebo k datu mezi dvěma výplatami. V případě, že je počítána přesně k datu výplaty kupónu, mluvíme o teoretické ceně obligace. [7] Cena kupónové obligace k datu výplaty kupónové platby V tomto případě je cena obligace rovna součtu všech budoucích kupónových plateb diskontovaných k současnému datu a nominální hodnoty, také diskontované k dnešnímu datu. Výplata kupónů bývá zpravidla jednou ročně, v některých případech pololetně. Vztah lze s použitím vzorce pro součet geometrické posloupnosti vyjádřit takto [7]: kde r je míra výnosnosti (úroková míra) v rámci investic do obligací. Mezi tržní cenou obligace a nominální hodnotou mohou nastat situace [20]: i. P V = NH právě tehdy, když r = c prodej za nominální hodnotu; ii. P V > NH právě tehdy, když r < c prodej s prémií; iii. P V < NH právě tehdy, když r > c prodej s diskontem.

67 67 OBLIGACE A AKCIE Výnosnost obligace V rámci této části se zaměříme pouze na výnosnost, která souvisí pouze s kupónovými platbami. Lze tedy výnosnost dělit na [7]: 1. kupónovou výnosnost rk 2. běžnou výnosnost rb 11.2 Akcie Akcie jsou patrně nejznámější druh majetkových cenných papírů, představující podíl na majetku společnosti. Jelikož akcie nemají dobu splatnosti, považujeme je za dlouhodobé cenné papíry, se kterými lze obchodovat na kapitálových trzích. Majitelé akcií, tzn. akcionáři, při nákupu akcií získávají také určitá práva, mezi něž patří [23]: Právo podílet se na řízení společnosti. Díky tomuto právu se může akcionář účastnit valné hromady, hlasovat, klást návrhy a dotazy, požadovat vysvětlení, schvalovat roční účetní závěrku, volit a být volen do orgánů společnosti. Počet hlasů, kterými akcionář disponuje je dán zpravidla množstvím akcií, jenž vlastní. Právo podílet se na zisku společnosti umožňuje akcionáři inkasovat dividendu, pokud ji valná hromada schválila. Výše dividend na jednu akcii se většinou uvádí v absolutní částce nebo v % ze jmenovité hodnoty akcie. Principy pro rozdělování zisku určují stanovy společnosti a obchodní zákoník. Při zániku společnosti má akcionář právo podílet se na likvidačním zůstatku, na řadu přichází ale až po uspokojení všech věřitelů. Obdržený obnos je v poměru, který odpovídá jmenovité hodnotě jeho akcií. Současně však ručí za závazky společnosti až do výše svého vkladu. V případě emise nových akcií má akcionář přednostní právo na upsání nových, mladých akcií a to z důvodu, aby se nezměnil stávající podíl na základním kapitálu akciové společnosti. [24]

68 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 68 Dále stručně uvádíme pojmy, které se akcií bezprostředně týkají [7]: Nominální hodnota akcie je podíl na majetku akciové společnosti vyjádřený vlastnictvím akcie. S nominální hodnotou souvisí pojem základní jmění (základní kapitál), které je dáno součtem nominálních hodnot všech prodaných (upsaných) akcií. Nadřazenějším pojmem je vlastní jmění, v němž je zahrnuto základní jmění, emisní ažio (kladný rozdíl mezi tržní cenou a nominální hodnotou akcie při její emisi), fondy ze zisku a nerozdělený zisk (nepoužitý na fondy nebo dividendy), který bývá obvykle převeden do dalšího období. Potřebné finanční zdroje (úvěry) akciové společnosti tvoří cizí jmění (kapitál). Dividenda je podíl na zisku akciové společnosti, na který má právo každý akcionář a který je odhlasován na valné hromadě akcionářů. Výplata dividend závisí především na hospodaření společnosti a nemusí být zaručena, na rozdíl od obligací s fixní kupónovou sazbou. Z tohoto hlediska řadíme akcie mezi dlouhodobé cenné papíry s nezaručeným výnosem. Emise akcií je jejich umístění na kapitálovém trhu, a to buď formou veřejné nabídky prodeje akcií nebo neveřejného prodeje (pro omezený počet investorů) Cena akcie Cena akcie je tržní hodnota, za kterou je obchodována na kapitálovém trhu podle aktuálního stavu nabídky a poptávky. V praxi se často používá termínu kurz akcie, jehož hodnota je, na rozdíl od obligací, rovna přímo ceně. Cenu akcie ovlivňují různé faktory, především prosperita akciové společnosti, kvalita jejího řízení, perspektiva daného oboru do budoucna, ekonomické parametry daného státu i celého světa atd. Kromě těchto faktorů hraje důležitou roli také psychologie investorů. [7] Jako příklad výpočtu ceny akcie uvedeme tzv. dividendový diskontní model. V tomto modelu je vnitřní hodnota akcie odhadována jako součet všech diskontovaných budoucích plateb, tj. dividend a výnosu z prodeje akcie. Obecně předpokládáme, že výše dividendy vyplacená na konci jednotlivých roků není stejná. Vnitřní hodnota (VH) akcie, u níž byly dividendy vypláceny po dobu n let a na konci n-tého roku byla akcie prodána, vypadá [20]:

69 69 OBLIGACE A AKCIE kde D1,..., Dn jsou vyplacené dividendy za jednotlivé roky a r je úroková míra v rámci investic se srovnatelnými parametry. Budeme-li uvažovat nekonečné vyplácení dividend, dostaneme pro vnitřní hodnotu akcie vztah [20]: Je-li výše dividendy neměnná, tj. D1 = D2 = = D, platí [20]: Výnosnost akcií V této části budeme rozlišovat dividendovou a akciovou výnosnost [7]: dividendová (běžnou) výnosnost kde D je výše dividendy a P0 tržní cena, za niž byla akcie koupena akciová (celkovou) výnosnost kde P0 tržní cena, za niž byla akcie koupena, a P1 tržní cena, za niž byla akcie prodána. V této kapitole jsme definovali základní pojmy vztahující se k dlouhodobým cenným papírům. Obligace jsou tedy dlouhodobé cenné papíry, vyjadřující dlužnický závazek emitenta obligace (dlužníka) oproti majiteli obligace (věřiteli). Obligace lze dělit např. podle počtu kupónových plateb, emitenta nebo dle místa, kde k emisi došlo. Cenou obligace označujeme cenu, za kterou je obligace obchodována na kapitálovém trhu. Tato cena je určena aktuální výší nabídky a poptávky. Výnosnost obligací udává, s jakým výnosem můžeme při investování do obligací počítat. Výnosnost se vztahuje k tržní ceně, za kterou obligaci můžeme nakoupit (na rozdíl od kupónové sazby, která je vztažena k nominální hodnotě). Akcií rozumíme druh majetkových cenných papírů, které zajišťují podíl na majetku společnosti a z něj plynoucí další výše uvedená práva.

70 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 70 Cena akcie je tržní hodnota, za kterou je obchodována na kapitálovém trhu podle aktuálního stavu nabídky a poptávky. 1. Definujte pojem obligace a s ní spojené základní náležitosti. 2. Jak lze obligace klasifikovat? 3. Uveďte výpočet ceny kupónové obligace a její výnosnost. 4. Definujte pojem akcie a práva spojená s jejím nákupem. 5. Uveďte příklad výpočtu ceny akcie a její výnosnost. Literatura k tématu: [1] BOHANESOVÁ, EVA. Finanční matematika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013, 196 stran. ISBN [2] GROBAŘOVÁ, SAŇA. Základy finanční matematiky. Brno: Tribun EU, 2012, 164 stran. ISBN [3] CIPRA, TOMÁŠ. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Praha: HZ Editio, 1995, 320 stran. ISBN [4] RADOVÁ, JARMILA, PETR DVOŘÁK a JIŘÍ MÁLEK. Finanční matematika pro každého. 7. Praha: Grada, 2009, 293 stran. ISBN

71 Kapitola 12 Využití Wolfram Alpha v matematických aplikacích Po prostudování kapitoly budete umět: využít systém WolframAlpha ve vybraných matematických aplikacích, interpretovat vstupy a výstupy systému Wolfram Alpha, Klíčová slova: WolframAlpha, computational knowledge engine, vstup, výstup, příkaz.

72 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII Úvod Každý, kdo pracuje s Internetem, si zvykl používat tzv. vyhledávače, což jsou služby, které umožňují na Internetu najít webové stránky obsahující požadované informace. Alternativu k těmto vyhledávačům přinesla v roce 2009 společnost Wolfram Research, když uvedla svůj vyhledávač WolframAlpha. Samotní tvůrci však tuto službu nenazývají pouze vyhledávačem, ale tzv. computational knowledge engine, což bychom volně mohli přeložit například jako výpočetní vyhledávací službu. Slovním zadáním (nikoliv pomocí určité syntaxe) problému v anglickém jazyce obvykle získáme nejen výsledek, ale také mnoho dalších souvisejících informací. Informace jsou navíc členěny do přehledných grafů a tabulek. Nezískáváme tedy pouze odkazy na jiné webové stránky. WolframAlpha nám poskytuje nebo se snaží poskytnout komplexní a přehledně zpracovanou odpověď na námi vznesený dotaz. Pomocí WolframAlpha můžeme hledat informace ze širokého spektra oborů, jako jsou matematika, fyzika, chemie, biologie, astronomie, historie, kultura, ekonomie, meteorologie a mnoha dalších. Zejména v matematice je WolframAlpha silným nástrojem pro řešení úloh. Najde nám totiž jak výsledek například nějakého neurčitého integrálu, tak také postup, kterým se takový integrál řeší. Vzhledem k tomu, že podporuje také mnoho typů moderních mobilních telefonů, tabletů a čteček, můžeme nainstalováním odpovídající aplikace získat navíc bezkonkurenční kalkulačku. [25] 12.2 Wolfram Alpha ve finanční matematice Systém WolframAlpha umožňuje řešení celé řady aktuálních témat matematických aplikací týkajících se např. různých typů úročení, poskytování hypotéčních, spotřebitelských či jiných úvěrů nebo práce s měnovými kurzy. Jedním ze základních témat finanční matematiky je problematika jednoduchého úročení. Budoucí hodnotu (FV - future value) kapitálu v tomto případě počítáme ze stále stejné počáteční částky (PV - present value). V následujícím příkladu vypočítáme budoucí hodnotu počáteční částky 950 Kč při roční úrokové míře 2% po dobu 5 let. Při změně vstupních hodnot je dále možné z budoucí hodnoty počítat hodnoty současné, či úrokovou míru, která za dané období zúročí počáteční kapitál na jeho budoucí hodnotu. V dalším příkladu pak uvádíme výpočet roční úrokové míry, která za 5 let zúročí částku 950 Kč na hodnotu 1125 Kč. [25]

73 73 VYUŽITÍ WOLFRAM ALPHA V MATEMATICKÝCH APLIKACÍCH Do WolframAlpha zapíšeme příkaz simple intererest, poté zvolíme možnost future value a zapíšeme počáteční údaje, v druhém příkladě zvolíme místo future value příkaz interest rate.

74 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 74 WolframAlpha dále umožňuje řešení problematiky složeného úročení, kde je počáteční kapitál úročen po dobu tvořenou více úrokovými obdobími. Úrok bude ke vkladu připsán vždy na konci roku a následující rok bude znovu spolu s vkladem úročen, vzniknou tedy úroky z úroků. V následujícím příkladu budeme počítat budoucí hodnotu částky $800 při roční úrokové míře 6% po dobu 5 let se čtvrtletním připisováním úroků (systém WolframAlpha umožňuje tuto hodnotu nastavit dle nejpoužívanějších typů připisování úroků v praxi). Výsledek je dále automaticky převáděn na české koruny dle aktuálního měnového kurzu. Grafické výstupy umožňují porovnání závislosti úrokové míry na budoucí hodnotě, doby úročení na budoucí hodnotě, či závislost současné a budoucí hodnoty kapitálu. Do WolframAlpha zapíšeme příkaz compound intererest, poté zvolíme možnost future value a zapíšeme počáteční údaje. [25]

75 75 VYUŽITÍ WOLFRAM ALPHA V MATEMATICKÝCH APLIKACÍCH

76 MATEMATICKÉ APLIKACE V EKONOMII 76