Funkce základní pojmy a vlastnosti

Transkript

1 Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného základu (reg. č. CZ..7/../8.) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republik. Simona Fišnarová Brno

2 Množina reálných čísel a její podmnožin Reálná čísla se zobrazují jako bod na číselné ose. Každému bodu číselné os odpovídá právě jedno reálné číslo. Množinu reálných čísel značíme R. Další číselné množin: N = {,, 3,... } množina přirozených čísel Z = {..., 3,,,,,, 3,... } množina celých čísel Q = { p q : p Z, q Z {}} množina racionálních čísel I = R Q množina iracionálních čísel C = {a + ib : a, b R} množina kompleních čísel Množin N, Z, Q, I jsou podmnožin množin R. Smbolem R budeme značit množinu všech uspořádaných dvojich (, ), kde R, R... rovina Pojem funkce Definice (Funkce) Necht M je neprázdná podmnožina množin reálných čísel, tj. M R. Pravidlo f, které každému prvku M přiřazuje právě jeden prvek R, se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné. Píšeme = f() nebo f :. Množina M se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f). Množina všech R, pro něž eistuje M takové, že = f(), se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f).

3 Funkce je zadaná definičním oborem D(f) a pravidlem (funkčním předpisem), pomocí něhož je každému D(f) přiřazen právě jeden prvek H(f). Například: =, =, = sin, [, ] Pokud není v zadání funkce definiční obor uveden, pak jím rozumíme množinu všech R, pro která má daný předpis smsl. Například definiční obor funkce = + určíme následovně: + = a zároveň, ted D(f) =, ) (, ). Eplicitně zadaná funkce: = vzorec s proměnnou, například = sin, = ln, = 3, = 4 +, = +. V zápisu = f() nazýváme f... funkční předpis (např. sin, ln,... )... argument (nezávislá proměnná)... funkční hodnota (závislá proměnná) Implicitně zadaná funkce: vzorec s proměnnými, =, například sin( + ) + =. Budeme se zabývat pouze funkcemi zadanými eplicitně.

4 Definice (Graf funkce) Grafem funkce f rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic (, f()) R, kde D(f). Příklad (Absolutní hodnota a signatura) Absolutní hodnota { pro, f() := = pro. D(f) = R, H(f) = [, ) Signatura f() := sgn = pro <, pro =, pro >. D(f) = R, H(f) = {,, } Platí: = sgn a také = sgn. 3

5 Není funkce, není graf Zobrazení, které není funkce jednomu bodu nemohou být přiřazen dvě různé hodnot: Bod v rovině nebo křivka, které nejsou grafem funkce: Vlastnosti funkcí ohraničenost parita (sudost, lichost) periodičnost monotonie prostost 4

6 Definice (Ohraničenost) Necht f je funkce a M D(f) je neprázdná množina. Řekneme, že funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže eistuje d R takové, že f() d pro každé M. shora ohraničená, jestliže eistuje h R takové, že f() h pro každé M. ohraničená, jestliže je na množině M ohraničená zdola i shora. Je-li funkce ohraničená zdola, pak eistuje vodorovná přímka (při označení z definice = d) taková, že graf funkce leží nad touto přímkou. Je-li funkce ohraničená shora, pak eistuje vodorovná přímka (při označení z definice = h) taková, že graf funkce leží pod touto přímkou. Je-li funkce ohraničená, leží celý graf mezi dvěma vodorovnými přímkami. 5

7 Definice (Parita) Funkce f se nazývá sudá, jestliže pro každé D(f) platí D(f) a f( ) = f(). lichá, jestliže pro každé D(f) platí D(f) a f( ) = f(). Graf sudé funkce je souměrný podle os. Graf liché funkce je souměrný podle počátku. Definice (Periodičnost) Necht p R, p >. Funkce f se nazývá periodická s periodou p, jestliže pro každé D(f) platí ± p D(f) a f( + p) = f() = f( p). 6

8 Definice (Monotonie) Necht f je funkce a M D(f) neprázdná množina. Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, jestliže pro každá dvě, M splňující < je f( ) < f( ). klesající, jestliže pro každá dvě, M splňující < je f( ) > f( ). neklesající, jestliže pro každá dvě, M splňující < je f( ) f( ). nerostoucí, jestliže pro každá dvě, M splňující < je f( ) f( ). Funkce f se nazývá monotonní na množině M, jestliže je neklesající nebo nerostoucí. Funkce f se nazývá rze monotonní na množině M, jestliže je rostoucí nebo klesající. 7

9 Definice (Prostá funkce) Necht f je funkce a M D(f) neprázdná množina. Řekneme, že funkce f je na množině M prostá, jestliže pro každá dvě, M splňující je f( ) f( ). Věta Je-li funkce rze monotonní na množině M, pak je na této množině prostá. Je-li funkce prostá, pak každá vodorovná přímka protíná její graf v nejvýše jednom bodě. 8

10 Operace s funkcemi Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f a g definujeme následovně: (f + g)() = f() + g() pro D(f) D(g) (f g)() = f() g() pro D(f) D(g) (f g)() = f() g() pro D(f) D(g) ( ) f () = f() pro D(f) D(g) {z R : g(z) = } g g() Příklad f : = 3, g : =, D(f) = D(g) = R f + g : = 3 +, f g : = 3, D(f + g) = R D(f g) = R f g : = 4, D(f g) = R ( ) f g : =, D f g = R {} Skládání funkcí Dosazením libovolné funkce za argument jiné funkce vzniká funkce složená. Definice (Složená funkce) Necht f, g jsou dvě funkce. Složenou funkcí g f rozumíme funkci definovanou předpisem (g f)() = g(f()), kde D(f) a f() D(g). Funkce f se nazývá vnitřní složka a g vnější složka složené funkce g f. Zápis g f čteme g po f. 9

11 Příklad f : =, g : = sin g f : = g(f()) = sin f g : = f(g()) = sin Složená funkce může mít více složek, např. (h g f)() = h(g(f())). Příklad f : =, g : = sin, h : = ln h g f : = h(g(f())) = ln sin f g h : = f(g(h())) = sin ln f h g : = f(h(g())) = ln sin g f h : = g(f(h())) = sin ln Inverzní funkce Definice (Inverzní funkce) Necht f je prostá funkce. Funkce f, která každému H(f) přiřazuje právě to D(f), pro které platí = f(), se nazývá inverzní funkce k funkci f. f je inverzní funkce k funkci f. Graf funkcí f a f jsou smetrické podle přímk =. D(f) = H(f ) a H(f) = D(f ) f (f()) = pro každé D(f) f(f ()) = pro každé H(f) Funkce f je rostoucí (klesající), pak f je také rostoucí (klesající).

12 Inverzní funkci k funkci f určíme tak, že v zadání funkce = f() zaměníme proměnné a. Dostaneme ted rovnici = f(). Z této rovnice vjádříme proměnnou (pokud to lze). Je-li funkce f prostá, je toto vjádření jednoznačné. Příklad Inverzní funkce k funkci = 3 je funkce = f : = 3 f : = 3 = D(f) = R D(f ) = R H(f) = R H(f ) = R Některé vzájemně inverzní funkce: = =, = 3 = 3 = e = ln = a, a, a > = log a = sin, /, / = arcsin = cos,, = arccos = tg, ( /, /) = arctg = cotg, (, ) = arccotg

13 Základní elementární funkce Mocninné funkce Eponenciální funkce Logaritmické funkce (inverzní k eponenciálním) Goniometrické funkce Cklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým na daném intervalu) Mocninné funkce přímka = parabola = kubická parabola = 3 hperbola = = odmocnina =

14 Eponenciální a logaritmické funkce = a (a > ) = a ( < a < ) Speciální případ: a = e, e. =, 788 e je tzv. Eulerovo číslo a = log a (a > ) Speciální případ: = log a ( < a < ) = ln = log e a tzv. přirozený logaritmus a Funkce = a a = log a jsou vzájemně inverzní, ted = log a = a. Goniometrické funkce = sin = cos - - = tg = cotg tg = sin cos cotg = cos sin 3

15 Cklometrické funkce = arcsin inverzní k = sin,, = arccos inverzní k = cos,, = arctg inverzní k = tg, (, ) = arccotg inverzní k = cotg, (, ) Transformace grafu funkce = = = + = (+) = ( ) = 4

16 Polnom Definice (Polnom) Polnomem stupně n rozumíme funkci tvaru P n () = a n + a n + + a n + a n, kde a, a,..., a n R, a. Čísla a, a,..., a n nazýváme koeficient polnomu. Člen a n se nazývá absolutní člen polnomu. Příklad polnom stupně : P () = a (konstantní funkce) polnom stupně : P () = a + b (lineární funkce) polnom stupně : P () = a + b + c (kvadratická funkce) konkrétní příklad polnomu 5. stupně: Definice (Kořen polnomu) Číslo c se nazývá kořen polnomu P n (), jestliže P n (c) =. Kořen c polnomu P n () se nazývá k-násobný, jesliže eistuje polnom Q n k takový, že P n () = ( c) k Q n k () a c není kořenem polnomu Q n k (), tj. Q n k (c). Kořen s násobností se nazývá jednoduchý kořen. Násobnost kořene c udává, kolikrát je možné vdělit daný polnom beze zbtku tzv. kořenovým činitelem ( c). 5

17 Věta (Základní věta algebr) Každý polnom stupně n má právě n kořenů (včetně kompleních), přitom každý kořen počítáme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Příklad Lineární polnom P () = a + b má právě jeden kořen = b a (řešení rovnice a + b = ). Kvadratický polnom P () = a + b + c má právě dva kořen, = b± b 4ac a (řešení rovnice a + b + c = ): dva různé reálné kořen, pokud b 4ac > jeden dvojnásobný reálný kořen, pokud b 4ac = dvojici kompleně sdružených kořenů, pokud b 4ac < Geometrický význam reálných kořenů Reálné kořen polnomu jsou průsečík grafu tohoto polnomu s osou. Kořen sudé násobnosti: Polnom nemění znaménko v tomto bodě. Kořen liché násobnosti: Polnom mění znaménko v tomto bodě. Příklad P () = ( )( + 3) 3 3 je trojnásobný kořen 3 je dvojnásobný kořen je jednoduchý kořen 6

18 Racionální lomená funkce Definice (Racionální lomená funkce) Necht P n () je polnom stupně n a Q m () je polnom stupně m. Funkce tvaru se nazývá racionální lomená funkce. R() = P n() Q m () Je-li n < m, pak se R() nazývá rze lomená. Je-li n m, pak se R() nazývá nerze lomená. Každou nerze lomenou racionální funkci lze vjádřit jako součet polnomu a rze lomené racionální funkce. (Provedeme dělení P n () : Q m ()). Vužití sstémů počítačové algebr Vužití sstémů Sage, Maima, Wolfram Alpha: Základ práce: Grafika: Matematické výpočt online (MAW): Graf funkcí: Definiční obor: 7

19 Příklad Určete definiční obor funkcí: ( ) + = ln, = Řešení pomocí Wolfram Alpha ( domain of f()=ln((+)/(-3)) domain of f()=sqrt(^-3+) Příklad Nakreselte graf funkcí: = +, = sin. Řešení pomocí Wolfram Alpha ( plot ^+ plot sin() 8