Termodynamicky kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu

Transkript

1 Termodynamicky kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu Karel Tůma Jednoocí slepým 14. května 2012 podpora GAUK , GACR 201/09/0917 Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 1/53

2 Viskoelastické tekutiny Potřebujeme viskoelastické modely rychlostního typu pro zachycení testu napěťové relaxace a creep testu. Studujeme materiály, které se částečně chovají částečně elasticky a částečně vazce. Experiment s asfaltem Čistý asfalt A. Narayan, J.M. Krishnan, IIT Madras Výška 1 mm, poloměr 4 mm, úhlová rychlost ω = H 0 ω 0 Měří se potřebný moment síly. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 2/53

3 Máme data pro teplotu θ = 35 C a pro tři různé úhlové rychlosti ω 0 : 0,125 rad.s 1, 0,25 rad.s 1 a 0,5 rad.s 1. 7 x Torque [Nm] ω = 0.5 rad.s 1 ω = 0.25 rad.s 1 ω = rad.s t [s] Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 3/53

4 Viskoelastické modely z mechanických analogů Maxwellův model E µ 1 ε S ε D Celková deformace ε M = ε S + ε D Napětí je shodné v obou prvcích a rovno σ M Z definice vztahů pro tlumič a pružinu ε M = ε S + ε D = 1 E σ M + 1 µ 1 σ M Jak rozšířit do více dimenzí? Jednoduchý pokus, volme za ε = D, místo napětí část tenzoru napětí T = pi + S 2D = 1 E Ṡ + 1 µ 1 S Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 4/53

5 Bohužel Ṡ není objektivní derivace. Ať je tenzor A objektivní, tj. A = QAQ T, při trafo souřadnic x = Q(t)(x x 0 ) + c(t). Pak derivace δa δt je objektivní, když δa δt = Q δa δt QT. Příklad objektivní derivace (Gordon-Schowalter) ( ) δa = A + (v )A (WA AW) + a(da + AD) a [ 1, 1] δt a t a Dolní konvektivní Horní konvektivní Korotační (Oldroyd-A) (Oldroyd-B) (Jaumann) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 5/53

6 Horní konvektivní Oldroydova derivace δa δt = Ȧ LA ALT =: A Pak tedy vypadá Maxwellův model takto 1 µ 1 S + 1 E T = pi + S S = 2D. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 6/53

7 Oldroydův model εd2 µ2 E µ1 Více tekutinový model Již víme εs εd1 ε M = 1 E σ M + 1 µ 1 σ M, navíc platí ε M = ε D2 =: ε, σ = σ M + σ D2. Tedy 1 E σ + 1 µ 1 σ = 1 E σ D µ 1 σ D2 + ε M = = µ 2 E ε D 2 + µ 2 µ 1 ε D2 + ε M = µ 2 E ε + ( 1 + µ ) 2 ε µ 1 Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 7/53

8 Přenásobíme µ 1 σ + µ 1 E σ = µ 1µ 2 E ε + (µ 1 + µ 2 ) ε Převedeme do 3D s použitím Oldroydovy derivace A S + µ 1 E T = pi + S S = (µ 1 + µ 2 )D + µ 1µ 2 E D přepíšeme do tvaru podobného Stokesovému vztahu a dosadíme A + µ 1 E S = µ 2 D + EA T = pi + µ 2 D + EA A = 2 µ 1 E D Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 8/53

9 Pokusíme-li se použít (lineární) Oldroyd-B model (tři parametry) pro nafitování tohoto experimentu, dostaneme 6.2 x Oldroyd B Experiment 5.8 Torque [Nm] t [s] Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 9/53

10 Přehled viskoelastických modelů (které znám) Maxwellův model Oldroyd-B model 1 µ A + 1 E T = pi + A A = 2D. Johnson-Segalman model A + µ 1 E A + µ 1 E T = pi + µ 2 D + EA A = 2µ 1 E D. T = pi + µ 2 D + EA ( ) δa = 2µ 1 D a [ 1, 1]. δt E a Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 10/53

11 Giesekův model A + µ 1 E Phan-Thien-Tanner model A + µ 1 E Phan-Thien exponenciální model µ 1 E T = pi + µ 2 D + EA A +αa 2 = 2µ 1 E D. T = pi + µ 2 D + EA A +α(tr A)A = 2µ 1 E D. T = pi + µ 2 D + EA A + exp (α(tr A)) A = 2µ 1 E D. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 11/53

12 Burgersův model TD kompatibilní model (2000) A + A +λ 2 A = µ 1 D. B = 2E µ 1 TD kompatibilní model (2012) T = pi + µ 2 D + A T = pi + µ 2 D + EB d ( B 3 tr (B 1 ) I T = pi + µ 2 D + EB d B = 2E BB d. µ 1 ). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 12/53

13 Fitování experimentu pomocí TD kompatibilního modelu (2000) (tři parametry) 6.2 x Torque [Nm] Nonlinear Experiment t [s] Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 13/53

14 Fitování experimentu pomocí TD kompatibilního modelu (2012) (tři parametry) 6.2 x M [Nm] experiment simulace t [s] Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 14/53

15 Termodynamicky kompatibilní viskoelastický model (Rajagopal, Srinivasa 2000) Model musí ihned od začátku splňovat i druhý zákon termodynamiky. Odvození založeno na dvou pojmech: princip maximalizace rychlosti produkce entropie přirozená konfigurace Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 15/53

16 Princip rychlosti produkce entropie, nestlačitelná Newtonská tekutina Entropie η termodynamická veličina, funkcí stavových veličin vnitřní energie e, hustoty ρ... V jistém smyslu rostoucí. Platí Bilance hmoty η e Bilance pro vnitřní energii Invertujeme a víme e = e(η, ρ) > 0, označme teplotu θ := e η. div v = 0, ( ρ = 0) ρė = T D div q ρė = ρ e η + ρ e ρ = ρθ η η ρ Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 16/53

17 Srovnáme ρθ η + div q = T D a dostáváme bilanci entropie ( q ) ρ η + div = 1 ( T D q θ ) }{{ θ } θ θ }{{} tok entropie produkce entropie ξ Druhý zákon termodynamiky je ekvivalentní ξ 0. Dále uvažujeme konstantní teplotu θ =konst., pak ξ = T D. Namísto volby konstitutivního vztahu pro celý tenzor napětí T, volíme konstitutivní vztah jen pro rychlost produkce entropie ξ. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 17/53

18 Pro Newtonskou tekutinu volíme ξ = 2µ D 2 Mnoho možností, jak zvolit ξ = ξ, použijeme princip maximalizace rychlosti produkce entropie: Maximalizujeme ξ přes všechny D, aby bylo splněno ξ = T D, navíc požadujeme nestlačitelnost div v = tr D = 0. Použijeme Lagrangeovy multiplikátory a definujeme Lagrangeovu funkci L(D) = ξ + ( ξ T D) + λ 2 tr D. 0 = L D 1 + ξ D = T λ 2 I. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 18/53

19 Dosadíme za derivaci ξ/ D µd = T λ 2 I, skalárně vynásobíme s D a eliminujeme ( ) λ T λ 2 1 I D = 2µ D 2 = ξ ξ = 1 a získáme 2µD = T λ 2 I. Vezmeme stopu této rovnice a eliminujeme λ 2 / T = 1 (tr T)I + 2µD. 3 Podobně budeme postupovat i při odvozování viskoelastického modelu, nejprve potřebujeme vědět, co je přirozená konfigurace. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 19/53

20 Přirozená konfigurace a) b) c) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 20/53

21 F k(r) k(t) G F kp(t) k (p(t)) L = ḞF 1, D = 1 (L + L T) 2 L kp(t) = ĠG 1, D kp(t) = 1 ) (L kp(t) + L T kp(t) 2 F kp(t) = FG 1, B kp(t) = F kp(t) F T k p(t), C kp(t) = F T k p(t) F kp(t) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 21/53

22 Odvození viskoelastického modelu Energie elastické vazby schovaná v přirozené konfiguraci, vnitřní energie pro neo-hookeův materiál e(η, ρ, B kp(t) ) = e 0 (η, ρ) + E 2ρ (tr B k p(t) 3). Odvoďme bilanci entropie, jako dříve použijeme bilanci pro vnitřní energii pro nestlačitelný materiál a derivujme ρė = ρ e η + ρ e η ρ ρ + ρ ρė = T D div q e B kp(t) Ḃ kp(t) = ρθ η + E 2 tr Ḃ kp(t) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 22/53

23 Dostáváme bilanci entropie ( q ) ρ η + div = 1 ( T D q θ E ) θ θ θ 2 tr Ḃ kp(t) }{{} ξ Třeba spočítat derivaci B kp(t) Ḃ kp(t) = F kp(t) F T k p(t) = Ḟk p(t) F T k p(t) + F kp(t) Ḟ T k p(t) a platí a tedy Ḟ kp(t) = FG 1 = ḞF }{{ 1 } FG }{{ 1 } L F kp(t) FG }{{ 1 } F kp(t) ĠG 1 }{{} L kp(t) Ḃ kp(t) = LB kp(t) + B kp(t) L T 2F kp(t) D kp(t) F T k p(t). Pak rychlost produkce entropie splňuje (při konst. teplotě) ξ = T D E ) 2 tr Ḃk p(t) = (T EB kp(t) D + EC kp(t) D kp(t) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 23/53

24 Volíme různé konstitutivní vztahy pro rychlost produkce entropie ξ, článek Rajagopal, Srinivasa 2000 a Rajagopal, Málek 2005: ξ = µ 2 D 2 + µ 1 D kp(t) C kp(t) D kp(t) a použijeme princip maximalizace rychlosti produkce entropie: Maximalizujeme ξ přes všechny D, D kp(t), aby byla splněna vazba pro ξ, navíc požadujeme nestlačitelnost proudění div v = tr D = 0 a nestlačitelnost elastické vazby tr D kp(t) = 0. Použijeme Lagrangeovy multiplikátory a definujeme Lagrangeovu funkci ) ) L(D, D kp(t) ) = ξ+ ( ξ (T EB kp(t) D EC kp(t) D kp(t) + λ 2 tr D + λ 3 tr D kp(t). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 24/53

25 Maximalizujeme 0 = L 1 + ξ D D = T EB k p(t) + λ 2 I 0 = L 1 + ξ = EC kp(t) + λ 3 I D kp(t) D kp(t) Dosadíme za derivace ξ µ 2 D = T EB kp(t) + λ 2 I (1) µ 1 D kp(t) C kp(t) = EC kp(t) + λ 3 I. (2) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 25/53

26 Eliminujeme (1 + )/ tak, že provedeme (7) D + (8) D kp(t) : = = ( ) ( ) T EB kp(t) + λ 2 I D + EC kp(t) + λ 3 I D kp(t) µ 2 D D + µ 1 D kp(t) C kp(t) D kp(t) ) (T EB kp(t) D + EC kp(t) D kp(t) = ξ ξ µ 2 D D + µ 1 D kp(t) C kp(t) D = 1 kp(t) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 26/53

27 µ 2 D = T EB kp(t) + λ 2 I (3) µ 1 D kp(t) C kp(t) = EC kp(t) + λ 3 I (4) Z (3) dostaneme vztah pro tenzor napětí (vezmeme stopu rovnice) T = 1 ( (tr T) I + µ 2 D + E B kp(t) 1 ) } 3 {{} 3 (tr B k p(t) )I }{{} p B d k p(t) Pro eliminaci λ 3 / v (4) postupujeme dvěma způsoby: 1 článek Rajagopal, Srinivasa článek Málek, Rajagopal 2005 Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 27/53

28 RS2000, eliminace 1: Násobíme zprava C 1 k p(t) µ 1 D kp(t) C kp(t) = EC kp(t) + λ 3 I a bereme stopu 0 = 3E + λ ( ) 3 tr C 1 λ k 1 p(t). Tedy Dostáváme λ 3 3E 3E = ( ) = ( ). tr C 1 k p(t) tr B 1 k p(t) µ 1 D kp(t) C kp(t) = E C kp(t) 3 ( )I tr B 1 k p(t) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 28/53

29 Rozepíšeme C kp(t) = F T k p(t) F kp(t) µ 1 D kp(t) F T k p(t) F kp(t) = E F T k p(t) F kp(t) Násobíme zleva F kp(t) a zprava F 1 k p(t) a získáme µ 1 F kp(t) D kp(t) F T k p(t) = E F kp(t) F T k p(t) víme, že Bk p(t) = 2F kp(t) D kp(t) F T k p(t), dosadíme Bk p(t) = 2E B kp(t) µ 1 3 ( )I tr B 1 k p(t) 3 ( )I tr B 1 k p(t) 3 ( )I tr B 1 k p(t). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 29/53

30 MR2005, eliminace 2: Vezmeme stopu µ 1 D kp(t) C kp(t) = EC kp(t) + λ 3 I a eliminujeme λ 3 /, dostáváme µ 1 (D kp(t) C kp(t) 1 ) 3 (D k p(t) C kp(t) )I = E ( C kp(t) 1 ) 3 (tr C k p(t) )I Opět násobme tuto rovnici zleva F kp(t) a zprava F 1 k p(t) µ 1 (F kp(t) D kp(t) F T k p(t) 1 ) ( 3 (D k p(t) C kp(t) )I = E B kp(t) 1 ) 3 (tr B k p(t) )I Nyní je třeba si všimnout toho, jak vypadá horní konvektivní Oldroydova derivace deviatorické části B kp(t). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 30/53

31 ( B d k p(t) = B kp(t) 1 ) 3 (tr B k p(t) )I = Bk p(t) 1 3 (tr Ḃ kp(t) )I 1 3 (tr B k p(t) ) I= = 2F kp(t) D kp(t) F T k p(t) 1 3 tr(lb k p(t) + L T B kp(t) )I tr(ft k p(t) F kp(t) D kp(t) )I (tr B k p(t) )D = = 2F kp(t) D kp(t) F T k p(t) 2 3 (D B k p(t) )I+ 2 3 (C k p(t) D kp(t) )I+ 2 3 (tr B k p(t) )D. a dosaďme výsledek do µ 1 (F kp(t) D kp(t) F T k p(t) 1 ) 3 (D k p(t) C kp(t) )I = E máme ( µ ( B kp(t) 1 ) 3 (tr B k p(t) )I, ) B d k p(t) 1 ) (D B d kp(t) I (tr B k p(t) )D = EB d k p(t). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 31/53

32 Dostali jsme rovnici pro B kp(t) ( µ ) B d k p(t) 1 ) (D B d kp(t) I (tr B k p(t) )D = EB d k p(t). Stopa této rovnice je rovna nule, ve třech rozměrech máme tedy pět rovnic! Ovšem potřebujeme mít šest rovnic pro šest neznámých B d k p(t) a tr B kp(t). Přidáme šestou rovnici rovnici nestlačitelnosti elastické odezvy ( 1 = det(b kp(t) ) = det B d k p(t) + 1 ) 3 (tr B k p(t) )I. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 32/53

33 Shrňme, dva odvozené modely, Cauchyho tenzor napětí je ve tvaru T = pi + µ 2 D + EB d k p(t) a B kp(t) splňuje diferenciální rovnici verze RS2000 verze MR2005 µ 1 ( 1 2 Bk p(t) = 2E B kp(t) µ 1 3 ( )I tr B 1 k p(t) (5) ) B d k p(t) 1 ) (D B d kp(t) I (tr B k p(t) )D = EB d k p(t), ( det B d k p(t) + 1 ) 3 (tr B k p(t) )I = 1. (6) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 33/53

34 Algebraickými manipulacemi lze ukázat, že oba modely jsou si ekvivalentní. Ukážeme jen, že model verze RS2000 automaticky splňuje det B kp(t) (x, t) = 1, pokud platí počáteční podmínka det B kp(t) (x, t = 0) = 1. Ḃ kp(t) ( v) B kp(t) B kp(t) ( v) T = 2E µ 1 Počítejme 3 B kp(t) ( )I tr B 1 k p(t) ) det B kp(t) = (det B kp(t) ) tr (Ḃkp(t) B 1 k p(t) = 2(det B kp(t) ) tr D ( 2E tr (det B kp(t) ) tr (I) 3 µ 1 tr ) B 1 k p(t) ( ) B 1 k p(t) = 0 Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 34/53

35 Linerizace modelu Ukažme, že linearizací (5) Bk p(t) = 2E µ 1 3 B kp(t) ( )I tr B 1 k p(t) získáme Oldroyd-B model. Uvažujme B kp(t) ve tvaru B kp(t) = I + A, A = ε, 0 < ε 1. Dosaďme do nestlačitelnosti elastické odezvy a proveďme Taylorův rozvoj determinantu 1 = det B kp(t) = det(i + A) = 1 + tr A + O(ε 2 ) tr A = O(ε 2 ). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 35/53

36 Dále proveďme Taylorův rozvoj B 1 k p(t) z čehož plyne Dosazením do (5) získáváme B 1 k p(t) = (I + A) 1 = I A + O(ε 2 ), ( ) tr B 1 k p(t) = 3 + O(ε 2 ). I + A= 2E µ 1 ( I + A O(ε 2 ) } {{ } 1 O(ε 2 ) Protože I= 2D, získáváme Oldroyd-B model A + µ 1 2E A= µ 1 E D + O(ε2 )I. ) I Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 36/53

37 Model s čistě kvadratickou disipací Odvoďme model, kde rychlost produkce entropie je dána konstitutivním vztahem ξ = µ 2 D 2 + µ 1 D kp(t) 2 a opět použijeme princip maximalizace rychlosti produkce entropie za podmínek nestlačitelností tr D = tr D kp(t) = 0 a splnění vazby pro ξ (pro elastickou část opět používáme neo-hookeův zákon) ξ = T D E 2 tr Ḃ kp(t) = (T EB kp(t) ) D + EC kp(t) D kp(t) Použijeme Lagrangeovy multiplikátory a definujeme Lagrangeovu funkci ) ) L(D, D kp(t) ) = ξ+ ( ξ (T EB kp(t) D EC kp(t) D kp(t) + λ 2 tr D + λ 3 tr D kp(t). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 37/53

38 Maximalizujeme 0 = L 1 + ξ D D = T EB k p(t) + λ 2 I 0 = L 1 + ξ = EC kp(t) + λ 3 I D kp(t) D kp(t) Dosadíme za derivace ξ µ 2 D = T EB kp(t) + λ 2 I (7) µ 1 D kp(t) = EC kp(t) + λ 3 I. (8) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 38/53

39 Maximalizujeme 0 = L 1 + ξ D D = T EB k p(t) + λ 2 I 0 = L 1 + ξ = EC kp(t) + λ 3 I D kp(t) D kp(t) Dosadíme za derivace ξ a eliminujeme (1 + )/ µ 2 D = T EB kp(t) + λ 2 I (7) µ 1 D kp(t) = EC kp(t) + λ 3 I. (8) Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 38/53

40 µ 2 D = T EB kp(t) + λ 2 I (9) µ 1 D kp(t) = EC kp(t) + λ 3 I (10) Z (9) dostaneme vztah pro tenzor napětí (vezmeme stopu rovnice) T = 1 ( (tr T) I + µ 2 D + E B kp(t) 1 ) } 3 {{} 3 (tr B k p(t) )I. }{{} p B d k p(t) Z (10) vezmeme stopu a eliminujeme λ 3 / ( µ 1 D kp(t) = E C kp(t) 1 ) 3 (tr C k p(t) )I Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 39/53

41 Rozepíšeme C kp(t) = F T k p(t) F kp(t) a nahradíme tr B kp(t) = tr C kp(t) µ 1 D kp(t) = E ( F T k p(t) F kp(t) 1 ) 3 (tr B k p(t) )I. Vynásobíme zleva F kp(t) a zprava F T k p(t) a dostáváme µ 1 F kp(t) D kp(t) F T k p(t) }{{} 1 2 Bk p(t) Získáváme model ( = E F kp(t) F T k p(t) F kp(t) F T k p(t) Bk p(t) = 2E B kp(t) µ 1 } {{ } B 2 k p(t) ( B kp(t) 1 ) 3 (tr B k p(t) )I. 1 ) 3 (tr B k p(t) )B kp(t). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 40/53

42 Získali jsme model T = pi + µ 2 D + EB d k p(t), Bk p(t) = 2E B kp(t) B d k µ p(t). 1 elegantnější, snadněji implementovatelný model schopný stejně kvalitně zachytit experimenty linearizuje se na Oldroyd-B model vhodnější pro matematickou analýzu Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 41/53

43 Opět lze ukázat, že det B kp(t) (x, t) = 1, pokud platí počáteční podmínka det B kp(t) (x, t = 0) = 1. Počítejme Ḃ kp(t) ( v) B kp(t) B kp(t) ( v) T = 2E µ 1 B kp(t) B d k p(t). ) det B kp(t) = (det B kp(t) ) tr (Ḃkp(t) B 1 k p(t) = 2(det B kp(t) ) tr D 2E µ 1 (det B kp(t) ) tr ) (B d kp(t) = 0. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 42/53

44 Linerizace modelu Ukažme, že linearizací modelu získaného z čistě kvadratické disipacce Bk p(t) = 2E µ 1 B kp(t) B d k p(t) získáme Oldroyd-B model. Uvažujme B kp(t) ve tvaru B kp(t) = I + A, A = ε, 0 < ε 1. Dosaďme do nestlačitelnosti elastické odezvy a proveďme Taylorův rozvoj determinantu 1 = det B kp(t) = det(i + A) = 1 + tr A + O(ε 2 ) tr A = O(ε 2 ) a tedy tr B kp(t) = tr (I + A) = 3 + O(ε 2 ). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 43/53

45 Dosazením do získáváme I + A= 2E µ 1 (I + A) Bk p(t) = 2E B kp(t) B d k µ p(t) 1 ( I + A 1 ) 3 (3 + O(ε2 ))I. }{{} A+O(ε 2 )I Protože I= 2D, získáváme Oldroyd-B model A + µ 1 2E A= µ 1 E D + O(ε2 )(I + A). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 44/53

46 Nestlačitelný viskoelastický model s teplotou (àla Karra, Rajagopal 2010) Uvažujeme nekonstantní teplotu θ (modul pružnosti E = E(θ)), pak rychlost produkce entropie splňuje vazbu ) ξ = (T E(θ)B kp(t) D + E(θ)C kp(t) D kp(t) q θ. (11) θ Dále volme konstitutivní vztah pro rychlost produkce entropie ξ = µ 2 (θ) D 2 + µ 1 (θ) D kp(t) 2 + k(θ) θ 2. θ Maximalizujeme ξ při splnění (11) a vazbě tr D = tr D kp(t) = 0. Použijeme Lagrangeovy multiplikátory a definujeme Lagrangeovu funkci L(D, D kp(t), θ) = ξ + λ 2 tr D + λ 3 tr D kp(t) + ) ( ξ (T E(θ)B kp(t) D E(θ)C kp(t) D kp(t) + q θ ) θ Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 45/53

47 Maximalizujeme 0 = L 1 + ξ D D = T E(θ)B k p(t) + λ 2 I 0 = L 1 + ξ = E(θ)C kp(t) + λ 3 I D kp(t) D kp(t) 0 = L θ Dosadíme za derivace ξ 1 + ξ θ = q θ µ 2 (θ)d = T E(θ)B kp(t) + λ 2 I µ 1 (θ)d kp(t) = E(θ)C kp(t) + λ 3 I k(θ) θ θ = q θ. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 46/53

48 Maximalizujeme 0 = L 1 + ξ D D = T E(θ)B k p(t) + λ 2 I 0 = L 1 + ξ = E(θ)C kp(t) + λ 3 I D kp(t) D kp(t) 0 = L θ 1 + ξ θ = q θ Dosadíme za derivace ξ a eliminujeme (1 + )/ µ 2 (θ)d = T E(θ)B kp(t) + λ 2 I µ 1 (θ)d kp(t) = E(θ)C kp(t) + λ 3 I k(θ) θ θ = q θ. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 46/53

49 Stejně jako v minulém případě dostaneme model T = pi + µ 2 (θ)d + E(θ)B d k p(t), Bk p(t) = 2E(θ) µ 1 (θ) B k p(t) B d k p(t), q = k(θ) θ. Lze přidat stlačitelnost, není třeba požadovat tr D = 0. Jinou volbou ξ lze také přidat závislost µ 2 na D, tr T a získat komplikovanější diferenciální rovnici pro B kp(t). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 47/53

50 Konec! Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 48/53

51 Vlastnosti Johnson-Segalmanova modelu ( ) δa = A δt a t D = 1 2 A + µ 1 E T = pi + 2µ 2 D + EA, ( ) δa = 2µ 1 δt E D, a + (v )A (WA AW) + a(da + AD), a [ 1, 1], ( v + ( v) T), W = 1 2 ( v + ( v) T). Uvažujme stacionární 2D proudění, v = (u(y), 0), pak platí ( ) 0 u v =, D = 1 ( ) 0 u u, W = 1 ( ) 0 u 0 2 u. 0 Při této volbě rychlosti v a v případě stacionárního řešení platí A t = 0, (v A) = 0. Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 49/53

52 Dále, označíme-li A = 1 2 ( A11 A 12 A 12 A 22 ), pak platí ( DA + AD =u 1 A 12 2 (A ) 11 + A 22 ) 1 2 (A 11 + A 22 ) A 12 ( WA AW =u 1 A 12 2 (A ) 22 A 11 ) 1 2 (A. 22 A 11 ) A 12 Potom lze vyjádřit objektivní derivaci ( ) A = (WA AW) + a(da + AD) = t a ( u 1 (a 1)A 12 2 (a(a ) 11 + A 22 ) + (A 11 A 22 )) 1 2 (a(a A 22 ) + (A 11 A 22 )) (a + 1)A 12 Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 50/53

53 Rovnici pro A si napíšeme ve složkách Řešením je A 11 + µ 1 E u (a 1)A 12 = 0, A 22 + µ 1 E u (a + 1)A 12 = 0, A 12 + µ 1 2E u (a(a 11 + A 22 ) + (A 11 A 22 )) = µ 1 E u. A 12 = 1 + ( µ1 E A 11 A 22 = 2 µ 1 E u A 12. µ 1 E u ) 2 (u ) 2 (1 a 2 ), Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 51/53

54 Pro tenzor napětí pak platí Konkrétně pro T 12 platí T = pi + 2µ 2 D + EA. T 12 = µ 2 u Zobecněná viskozita je tedy rovna µ(u ) = T 12 u = µ 2 + ( µ1 E 1 + µ 1 u ) 2 (u ) 2 (1 a ). 2 ( µ1 E Pro a ±1 se chová jako shear-thinning model µ 1 µ( D ) = µ(1 + D 2 ) 1. Pro a = ±1 je zobecněná viskozita konstantní µ( D ) = T 12 u = µ 1 + µ 2. ) 2 (u ) 2 (1 a 2 ). Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 52/53

55 Dále model splňuje nenulový rozdíl normálových napětí T 11 T 22 = E(A 11 A 22 ) = 2µ 1 u A 12 = 2 (µ 1u ) 2 E ( µ1 ) (u E ) 2 (1 a ). 2 Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu 53/53