(1) Limity. Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27

Transkript

1 (1) Limity Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27

2 Proč studovat matematiku Zdroje: pick/ prvni-prednaska-z-analyzy.pdf q6-/tema.aspx?c=A pozice Kristýna Kuncová (1) Limity 2 / 27

3 Funkce Otázka Co je to funkce? Definice Reálnou funkcí jedné reálné proměnné rozumíme zobrazení f : M R, kde M R. Kristýna Kuncová (1) Limity 3 / 27

4 Funkce Zdroj: Zdroj: Zdroj: htm/b1 04.htm Zdroj: (1) Limity 4 / Kristýna Kuncová 27

5 Funkce Kristy na Kuncova (1) Limity 5 / 27

6 Funkce Inspirace:realisticky.cz Dirichletova funkce: D(x) = { 0, x R \ Q, 1, x Q. Zdroj: funkce Kristýna Kuncová (1) Limity 6 / 27

7 Okolí bodu Definice Necht a R a δ R, δ > 0. Potom definujeme okolí bodu a jako B(a, δ) = (a δ, a + δ) prstencové okolí bodu c jako P(a, δ) = (a δ, a + δ) \ {a} levé prstencové okolí bodu a jako P (a, δ) = (a δ, a) pravé prstencové okolí bodu a jako P + (a, δ) = (a, a + δ) Okolí a prstencové okolí bodu (resp ) definujeme takto: B(, δ) = P(, δ) = (1/δ, ) B(, δ) = P(, δ) = (, 1/δ) Kristýna Kuncová (1) Limity 7 / 27

8 Limita Definice Necht f : M R, M R. Řekneme, že f má v bodě a R limitu rovnou A R, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x P(a, δ) : f (x) B(A, ε). V takovém případě píšeme lim f (x) = A. x a Zdroj: Kristýna Kuncová (1) Limity 8 / 27

9 Limity zleva a zprava Definice Necht f : M R, M R. Řekneme, že f má v bodě a R {+ } limitu zleva rovnou A R, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x P (a, δ) : f (x) B(A, ε). V takovém případě píšeme Definice lim f (x) = A. x a Necht f : M R, M R. Řekneme, že f má v bodě a R { } limitu zprava rovnou A R, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x P + (a, δ) : f (x) B(A, ε). V takovém případě píšeme lim f (x) = A. x a+ Kristýna Kuncová (1) Limity 9 / 27

10 Neexistence limit Kristy na Kuncova (1) Limity 10 / 27

11 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 11 / 27

12 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 2 f (x) A B 3 C 2 D 0 E neexistuje E Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 12 / 27

13 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 4 f (x) A 4 B 8 C D neexistuje E nelze určit B Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 13 / 27

14 Vlastnosti limit Věta (O aritmetice limit) Necht a R, lim x a f (x) = A R a lim x a g(x) = B R. Pak (a) lim x a (f (x) + g(x)) = A + B, pokud je výraz A + B definován; (b) lim x a f (x)g(x) = AB, pokud je výraz AB definován; (c) lim x a f (x) g(x) = A B, pokud je výraz A B definován. Analogická tvrzení platí i pro limity zprava a zleva. Kristýna Kuncová (1) Limity 14 / 27

15 Otázka Určete lim x 1 f (x) + g(x) A 8 B 5 C 4 D 2 E neexistuje Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet A Kristýna Kuncová (1) Limity 15 / 27

16 Otázka Určete lim x 1+ f (x) + 2g(x) A 13 B 9 C 8 D 6 E 3 Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet D Kristýna Kuncová (1) Limity 16 / 27

17 Otázka Určete lim x 1 f (x)g(x) A 20 B 15 C 4 D 1 E neexistuje Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet B Kristýna Kuncová (1) Limity 17 / 27

18 Limity - úlohy Otázka Najděte příklad funkce (stačí obrázkem), která: 1. lim f (x) = x f (x) = lim x 2. lim x f (x) = 1 lim x f (x) = 3. lim x f (x) = lim x 1 f (x) = 2 Kristýna Kuncová (1) Limity 18 / 27

19 Limity - úlohy Otázka (Pravda Nepravda) Nepravda. Necht lim x 3 f (x) = 7. Pak Pravda. lim x 0 x x = 1. lim xf (x) = 21. x 3 Kristýna Kuncová (1) Limity 19 / 27

20 Spojitost Definice Necht f : M R, M R, a M. Řekneme, že f je spojitá v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a). x a Kristýna Kuncová (1) Limity 20 / 27

21 Spojitost Definice Necht f : M R, M R, a M. Řekneme, že f je spojitá v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a). x a Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 21 / 27

22 Funkce spojite Kristy na Kuncova (1) Limity 22 / 27

23 Funkce nespojité Kristýna Kuncová (1) Limity 23 / 27

24 Vlastnosti spojitosti Věta Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a R, pak také funkce f ± g a fg jsou spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) 0, pak také funkce f g je spojitá v bodě a. Věta Je-li funkce g spojitá v bodě a R a funkce f je spojitá v bodě g(a), pak funkce f (g(x)) je spojitá v bodě a. Kristýna Kuncová (1) Limity 24 / 27

25 Spojitost - úlohy Otázka Které funkce jsou spojité na R? A x 3 + sin(4 x) B ex 2+x A, C, E C 2+x e x D cos(e 3 x ) E ln(2 + x 2 ) Kristýna Kuncová (1) Limity 25 / 27

26 Spojitost - úlohy Otázka Najděte příklad funkce (stačí obrázkem), která je spojitá na celém R kromě bodu x = 5. Otázka Najděte příklad funkce(stačí obrázkem), která je rostoucí, ale není spojitá na [0, 5] Otázka (Pravda Nepravda) Necht funkce f je spojitá na intervalu [0, 10], f (0) = 0, f (10) = 100. Pak f musí být nezáporná na celém intervalu [0, 10]. Nepravda. Otázka (Pravda Nepravda) Necht P(x) a Q(x) jsou polynomy (a tedy spojité funkce). Pak P(x)/Q(x) je také spojitá funkce. Nepravda. Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 26 / 27

27 Spojitost - úlohy Otázka V kterých bodech je spojitá následující funkce? sin x x (, 1] x 2 x ( 1, 0) f (x) = 1 x = 0 x x (0, 4) 6 x x [4, ) A -1 B 0 B, C, D C 2 D 4 E Kristýna Kuncová (1) Limity 27 / 27