Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů."

Vendula Müllerová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu eí předem zám (výsledek eí jedozačě urče jeho podmíkami), je to však právě jede z prvků zámé možiy výsledků, kterou azýváme základí prostor (výběrový prostor) Ω. Elemetárí áhodé jevy Prvky základího prostoru azýváme elemetárí áhodé jevy (ω 1, ω 2,..., ω ). Tedy: každá podmožia základího prostoru Ω se azývá áhodý jev (začíme A, B,...), přičemž prázdá podmožia se azývá jev emožý, ozačujeme a celý základí prostor jev jistý, ozačujeme I. Příklad 1 Příkladem áhodého pokusu je hod hrací kostkou. Náhodý pokus: hod hrací kostkou. Elemetárí jevy: pade 1 (ω 1 ), pade 2 (ω 2 ),..., pade 6 (ω 6 ) Neboli jevy ω 1,..., ω 6 vymezují základí prostor Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. V tomto základím prostoru mohou astat apř. ásledující jevy: a) Pade liché číslo, A = {ω 1, ω 3, ω 5 } = {1, 3, 5} b) Pade číslo větší ež 4, B = {ω 5, ω 6 } = {5, 6} c) Pade číslo 8, C = d) Pade číslo meší ež 7, D = I = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Pravděpodobost Pravděpodobost je číselé vyjádřeí aděje, že daý jev A astae. Přiřazuje áhodému jevu A reálé číslo z itervalu 0, 1. Pravděpodobost jevu A začíme P (A). Pravděpodobost splňuje ásledující: a) 0 P (A) 1 b) P (I) = 1 (ěco se musí stát), P ( ) = 0 c) P (A) = 1 P (oa) 1

Elemetárí áhodé jevy Prvky základího prostoru azýváme elemetárí áhodé jevy (ω 1, ω 2,..., ω ). Tedy: každá podmožia základího prostoru Ω se azývá áhodý jev (začíme A, B,.

2 Defiice klasické pravděpodobosti V případě, že jsou všechy jevy stejě pravěpodobé, pak pravděpodobost jevu A je defiováa jako: P (A) = A Ω = A N kde A začí počet prvků možiy A (eboli počet přízivých elemetárích jevů pro A) a N (či Ω ) je celkový počet jevů. Pravidla pro počítáí pravděpodobostí Pravidlo sčítáí: pravděpodobost jevu A ebo B. a) P (A B) = P (A) +, když A a B se vzájemě vylučují b) P (A B) = P (A) + obecě Pravidlo ásobeí: pravděpodobost jevu A a B. a) = P (A), když A a B jsou ezávislé b) = P (A) P (B A) obecě Příklad 2 Házíme symetrickou šestistěou kostkou. S jakou pravděpodobostí pade sudé číslo? Máme: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tedy N = 6. A = [pade sudé číslo] = {2, 4, 6}, tedy A = 3. P (A) = 3 6 = 1 2 Příklad 3 Házíme dvěma kostkami (bílou a čerou). Jaká je pravděpodobost, že pade součet alespoň 10? Máme: Ω je možia všech uspořádaých dvojic z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6 (a každé kostce může padout číslo 1 až 6). Všech možostí je: Ω = 6 6 = 36. Přízivé dvojice kombiací jsou: A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Neboli A = 6. P (A) = 6 36 = 1 6 Příklad 4 V kavárě je 20 lidí. 10 z ich má rádo čaj, 10 kávu a 2 lidé mají rádi čaj i kávu. Jaká je pravděpodobost, že áhodě vybraá osoba bude mít ráda čaj ebo kávu? 2

a) P (A B) = P (A) +, když A a B se vzájemě vylučují b) P (A B) = P (A) + obecě Pravidlo ásobeí: pravděpodobost jevu A a B.

3 C... zákazík má rád čaj, K... zákazík má rád kávu. P (C) = = 1 10, P (K) = 2 20 = 1 2, P (C K) = 1 10 P (C K) = P (C) + P (K) P (C K) = = 9 10 Příklad 5 V košíku je 10 zeleých a 10 modrých kuliček. Jaká je pravděpodobost, že Jaa vytáhe postupě dvě modré kuličky? M... vytažea modrá kulička Chceme vypočítat P (M M) = P (M) P (M M) P (M) = = 1 2, P (M M) = 9 (jedu modrou kuličku Jaa již vytáhla, tedy 19 celkový počet kuliček klesl a 19 a původí počet 10 modrých a 9) P (M M) = P (M) P (M M) = = 9 38 Nepodmíěá pravděpodobost P (A) Vypovídá o pravděpodobosti výskytu jevu A v situaci, kdy emáme žádé dodatečé iformace o průběhu ebo výsledku experimetu. Podmíěá pravděpodobost P (A B) Vypovídá o pravděpodobosti výskytu jevu A v situaci, kdy víme, že ějaký jiý jev B určitě astal (tj. máme dodatečou iformaci). Vypočítáme ji jako Pozor, jevy A a B elze prohazovat, jelikož obecě platí Nezávislost jevů Jevy A a B azýváme ezávislé, pokud Necht jsou jevy A a B ezávislé. Pak P (A B) P (B A) = P (A) = P (A) = P (A) Příklad 6 Jestliže házím dvěma micemi, pravděpodobost orla v druhém hodu ezávisí a tom, co 3

Jaká je pravděpodobost, že Jaa vytáhe postupě dvě modré kuličky? M.

4 pade v prvím hodu. Příklad 7 Máme krabici se třemi bílými a dvěma čerými koulemi. Vytáheme postupě dvě koule (prví evracíme zpět). Určete pravděpodobost toho, že v druhém tahu vytáheme bílou kouli za předpokladu, že v prvím tahu byla vytažea čerá koule. A: ve druhém tahu vytažea bílá koule. B: v prvím tahu vytažea čerá koule. Počítáme = 3 (pravděpodobost, že v prvím tahu vytáhu čerou kouli je = ; pravděpodobost, že v druhém tahu vytáhu bílou kouli je P (A) = 3 4, pak pravděpodobost jevu = 6 20 ) Statistická defiice pravděpodobosti Necht A je hromadý jev. Nastae-li v pokusech jev A právě f(a) krát, defiujeme: P (A) = f(a) Číslo f(a) se azývá absolutí četost jevu A, číslo f(a) pokusech. je relativí četost jevu při Příklad 8 Při házeí micí byly zjištěy tyto výsledky: Počet hodů () Počet padutí líce (f(a)) ( ) f(a) Relativí četost , , , ,5003 Z tabulky je zřejmé, že platí: P (A) = 1 2 čísel. pro. Vysvětleím je tzv. záko velkých Záko velkých čísel Teto záko říká, že když X i jsou áhodé veličiy, tak pro jejich průměr X = X 1 + X X platí X µ pro. Neboli když zvolím dostatečě velký 4

Počítáme = 3 (pravděpodobost, že v prvím tahu vytáhu čerou kouli je = 4 2 5 ; pravděpodobost, že v druhém tahu vytáhu bílou kouli je P (A) = 3 4, pak pravděpodobost jevu = 6 20 ) Statistická defiice

5 vzorek populace, dostau očekávaou hodotu populace jako celku. Bayesova věta Bayesova věta udává, jak podmíěá pravděpodobost P (A B) souvisí s pravděpodobostí opačě podmíěého jevu. P (B A) P (A) = P (B A) P (A) P (B A) P (A) + P (oa) P (B oa) Příklad 9 Přibližě 1% že ve věku let má rakoviu prsu. Žea mající tuto emoc má 90% šaci, že test, který podstoupí, je pozitiví. Naopak žea, která rakoviou prsu etrpí, má 10% šaci tzv. chybě pozitivího výsledku testu. Jaká je pravděpodobost, že má žea rakoviu prsu, právě když je její test pozitiví. B... žea má rakoviu prsu, A... pozitiví test = 0, 01; 0, 9; P (ob) = 1 = 1 0, 01 = 0, 99; P (A ob) = 0, 1 Dosadíme do Bayesova vzorce P (B A) = 0, 01 0, 9 0, 01 0, 9 + 0, 99 0, 1 =

Žea mající tuto emoc má 90% šaci, že test, který podstoupí, je pozitiví. Naopak žea, která rakoviou prsu etrpí, má 10% šaci tzv. chybě pozitivího výsledku testu.

Podobné dokumenty

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p