PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Transkript

1 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák

2 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje podle pravděpodobost k číslu a R, jestlže pro každé ε R, ε > 0 platí: lm P a ebo lm P a 0 Posloupost áhodých proměých,, koverguje,, podle pravděpodobost k áhodé velčě, jestlže pro každé ε R, ε > 0 platí: lm P ebo lm P 0 Tato kovergece se také azývá slabá kovergece.

3 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, záko velkých čísel, když posloupost Y,, Y, Y, Y E koverguje podle pravděpodobost k číslu 0: Tedy: lm Y 0 ebo lm P P Y 0 0 splňuje slabý, kde

4 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Platí: (Čebyševova věta) Nechť posloupost áhodých proměých a) jsou ekorelovaé (po dvou ezávslé) b) mají koečou středí hodotu: c) pro jejch rozptyly D platí: Pak posloupost,,,, E lm 0,,,, splňuje slabý záko velkých čísel. Pokud místo c) je : c) pro jejch rozptyly platí: D c, pak je splěo c) a posloupost,,,, splňuje slabý záko velkých čísel.

5 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Platí: (Beroulova věta) Nechť posloupost áhodých proměých a) jsou po dvou ezávslé b) mají Alteratví rozděleí s parametrem p: : ~ A( p) Pak posloupost,,,,, kde koverguje podle pravděpodobost k číslu p.,,,,

6 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Platí: Nechť posloupost áhodých proměých a) jsou po dvou ezávslé b) mají stejé rozděleí c) mají koečé středí hodoty a rozptyly: Pak posloupost,,,,,,,, : E splňuje slabý záko velkých čísel. : D Modfkace: Pak posloupost,,,,, kde koverguje podle pravděpodobost k číslu. lm P

7 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Platí: (Markova věta) Nechť posloupost áhodých proměých lm D 0 Pak posloupost,,,, (eí potřeba ezávslost).,,,, splňuje slabý záko velkých čísel Platí: (Chčova věta) Nechť posloupost áhodých proměých,,,, a) jsou po dvou ezávslé b) mají stejé rozděleí c) mají koečé středí hodoty: : E Pak posloupost,,,, splňuje slabý záko velkých čísel. Tedy: lm P. Neí potřeba zát formace o rozptylu.

8 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece skoro jstě Posloupost áhodých proměých skoro jstě k číslu a R, jestlže platí: P,,,, koverguje : lm ( ) a ebo symbolcky zapsaé P lm a Posloupost áhodých proměých,,,, skoro jstě k áhodé velčě, jestlže platí: koverguje P : lm ( ) ( ) ebo symbolcky zapsaé P lm Tato kovergece se také azývá slá kovergece.

9 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece skoro jstě Posloupost áhodých proměých,,,, záko velkých čísel, když posloupost Y,, Y, Y, Y E koverguje skoro jstě k číslu 0. Tedy P : lmy ( ) 0 splňuje slý, kde

10 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece skoro jstě Platí: (Kolmogorova věta) Nechť posloupost áhodých proměých,,,, a) jsou po dvou ezávslé b) mají stejé rozděleí c) mají koečé středí hodoty: : E Pak posloupost,,,, splňuje slý záko velkých čísel. Tedy posloupost,,,, koverguje skoro jstě k číslu. P : lm ( )

11 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece v dstrbuc Posloupost áhodých proměých,,,, s dstrbučím fukcem F x ) koverguje v dstrbuc k číslu a R, jestlže platí: ( x R : lm F kde F a (x) je dstrbučí fukce kostatí áhodé proměé. ( x) F a ( x) Posloupost áhodých proměých s,, dstrbučím,, fukcem F ( x ) koverguje v dstrbuc áhodé velčě s dstrbučí fukcí F(x) jestlže platí: kde C * ( F) I F x C( F) : lm F ( x) F( x) je moža bodů spojtost dstrbučí fukce F(x) Dstrbučí fukce F se azývá asymptotcká dstrbučí fukce.

12 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece v dstrbuc Platí (cetrálí lmtí věta): Nechť posloupost áhodých proměých a) jsou po dvou ezávslé b) mají stejé rozděleí c) mají koečé středí hodoty a rozptyly: : E : D Pak posloupost stadardzovaých průměrů Y koverguje v dstrbuc k ormovaému ormálímu rozděleí. y C( ) : lm F ( y) ( y) Y,,,, y C( ) : lm P t y e dt y

13 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece v dstrbuc Platí (cetrálí lmtí věta - modfkace): Nechť posloupost áhodých proměých a) jsou po dvou ezávslé b) mají stejé rozděleí c) mají koečé středí hodoty a rozptyly: : E Pak platí: y C( ) : lm P y ( y) a posloupost průměrů,,,, koverguje v dstrbuc k ormálímu rozděleí N,. y C( F) : lm P y F( y ),,,, : D

14 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece v dstrbuc Platí (Ljapuovova věta): Nechť posloupost áhodých proměých a) jsou po dvou ezávslé b) c) E S 3 3, D 0, E h,,,, K K h h lm 0 S Pak posloupost stadardzovaých průměrů Y koverguje v dstrbuc k ormovaému ormálímu rozděleí. y C( ) : lm F ( y) ( y) Y

15 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece v dstrbuc Platí (Itegrálí Movre-Laplaceova věta): Nechť posloupost áhodých proměých Y,, Y, Y, udává počet úspěchů v ezávslých pokusech s pravděpodobostí úspěchu v. pokuse p. Pak posloupost Z p p( p) koverguje v dstrbuc k ormovaému ormálímu rozděleí. Y y C( ) : lm F ( y) ( y) Pozámka: Movre-Laplaceova věta se používá k aproxmac bomckého rozděleí. Praktcké použtí pro: p( p) 9, p Z

16 SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece v dstrbuc Příklad: Zaměstaec pravdelě cestuje do zaměstá ze zaměstá tramvaj, která jezd každých pět mut. Jeho příchod a zastávku vzhledem k odjezdu tramvaje je zcela áhodý. S jakou pravděpodobost pročeká a cestě tam zpět během 0 pracovích dů méě ež 0 mut? Příklad: Nalezěte přblžou hodotu pravděpodobost toho, že počet šestek, které padou ve 000 hodech homogeí hrací kostkou, bude mez 900 a 00. Příklad: Chceme odhadout ezámy podíl p osob s kreví skupou A v daé velké populac. U kolka osob musíme zjstt skupu, abychom s pravděpodobostí 0,9 odhadl ezámou pravděpodobost s chybou ejvýše 0,05?