Modelovánía experimentální zjišťovánímechanických vlastností nelineárních materiálů

Transkript

1 Modelovánía experimentální zjišťovánímechanických vlastností nelineárních materiálů Biomechanika a lékařsképřístroje Projekt II LukášHorný Laboratoř biomechaniky člověka Ústavu mechaniky Fakulty strojní ČVUT v Praze

2 Teoretická část Svět nelineárnímechaniky solidů (T) Když se řekne lineární (T) Druhy a zdroje nelinearit (T3) Kdo to byl A.L. Cauchya kdo byl G. Green (T4) Kdo byl R.S. Rivlin

3 Kdyžse řekne lineární A co vlastněznamená, kdyžse řekne lineární? f(u)+ f(v)= f(u+ v) f(tu)= tf(u) Aditivita Homogenita Důsledky příméřešenírovnice f(x) = c jednoznačné řešení rovnice f(x) = c vektorový prostor řešení rovnice superpozice jednoznačná existence ortogonálního doplňku optimalizace

4 Kdyžse řekne lineární Uveďte příklad nějaké lineární závislosti v mechanice Ano, správně jsme tu dnes hlavně kvůli rovnici: σ= Eε Nějaké další návrhy? Co třeba pružina s hmotou? Učenec by řekl: lineární harmonický oscilátor

5 Kdyžse řekne lineární Jak se to más linearitou zjistíte, kdyžse zamyslíte nad některými operátory, které běžně používáme. Čili: kde se vzala derivace(funkce v bodě)? A co je to diferenciál?

6 Kdyžse řekne lineární Jak se to más energiív lineárním světě? Energie je kvadratická forma W= ½m(v v) W= ½Eε Promyslete si sami, pročpotenciálníenergie hmoty v tíhovém poli napíšeme W= mgh Aneb, kam zmizela druhá mocnina?

7 Kdyžse řekne nelineární Mechanická odezva pavoučího vlákna a pavučiny. (a) Tahová odezva vlákna (b) Model sítě ze spojitých vláken (c) Odezva defektní pavučiny (d) Rozdíl odezvy podle místa zatěžování (e) grafika k rozdílu odezvy (radiální vs spirální vlákno) SW Cranford et al. Nature 48, 7-78 (0) doi:0.038/nature0739

8 Druhy a zdroje nelinearit Nelinearita se v problému objevív nějakém okamžiku formulace modelu. Takže, co náš model úloha pružnosti obsahuje? Rovnice rovnováhy Geometrické rovnice Konstitutivní rovnice Okrajové a počáteční podmínky

9 Druhy a zdroje nelinearit Rovnice rovnováhy div(σ )+ b= D(ρv)/Dt Lineární člen Pole objemových sil může být nelineární Obsahuje nelinearitu skrze materiálovou derivaci Dv/Dt= v/ t + vgradv

10 Druhy a zdroje nelinearit Geometrické rovnice Vyjádření tenzoru deformace ε ij = ½( u i / x j + u j / x i ) Kompatibilita deformace ε ij / x k x l + ε kl / x i x j ε ik / x j x l ε jl / x i x k = 0 Týká se pouze úloh řešených přímo v deformacích. Předpokládaný tvar posuvů/deformace Např. konstantnost deformace v prostoru týká se pouze analytických úloh.

11 Geometrickánelinearita Velképosuvy Velkédeformace M o (x) Fw(x)= 0 Velképosuvy nemusínutněznamenat geometrickou nelinearitu Uvažujte deformaci jako poměr poloměrůna konci a na začátku nafukování Obrázek přejat z Interaktivní učebnice pružnosti a pevnosti, kolektiv autorůfsi VUT v Brně Pamplona DC, Gonçalves PB, Lopes SRX (006) Finite deformations of cylindrical membrane under internal pressure. Int J Mech Sci 48(6):

12 Velkédeformace ε ij = ½( u i / x j + u j / x i ) vs ε ij = ½( u i / x j + u j / x i + u k / x i u k / x j ) Smluvní napětí[kpa] Stretch λ= l/l Zdroj: Pryž LRG Treloar(944)

13 Velkédeformace Vycházíme z deformačního gradientu F dx= FdX F= Gradx F ik = x i / X K Musíme rozlišovat mezi počáteční (materiálovou) a průběžnou (prostorovou) konfigurací

14 Velkédeformace Odvozujeme několik měr deformace (a každá je energeticky konjugovaná s nějakou mírou napětí) C = F T F E = ½(F T F I) U F =RU lnu b = FF T e = ½(I F -T F - ) pravý Cauchy-Greenův tenzor deformace Green-Lagrangeův Pravý tenzor strečů Henckyho tenzor deformace levý Cauchy-Greenův Euler-Almansiho

15 Velkédeformace Příklad Homogenní deformace Uvažujme objekt tvaru krychle, který se deformuje do kvádru tak, že x = λ X x = λ X x 3 = λ 3 X 3 X 3 x 3 F ik = x i / X K F = x / X = λ F = x / X = λ F 33 = x 3 / X 3 = λ 3 F λ 0 0 = 0 λ λ 3 λ 3 E e E 3 e 3 F = F 3 = F 3 = F = F 3 = F 3 = 0 X x λ λ E e X x

16 Velkédeformace Příklad Homogenní deformace Tenzory deformace pak mají tvar: F λ 0 0 = 0 λ λ 3 λ 0 0 ε = 0 λ λ 3 C λ 0 0 = 0 λ λ 3 lnu lnλ 0 0 = 0 lnλ ln λ 3 E ( λ ) 0 0 = 0 ( λ ) ( λ 3 ) ( λ ) 0 0 e = 0 ( λ ) ( λ3 )

17 Velkédeformace Pozor! C λ 0 0 = 0 λ λ 3 λ λ 0 b = 0 0 λ 3 Maticová reprezentace totiž neukazuje bázové vektory C b λ 0 0 = 0 λ 0 = λ E E + λ E E + λ E E + 0 E E + E E + E E 0 0 λ 3 ( ) λ 0 0 = 0 λ 0 = λ e e + λ e e + λ e e + 0 e e + e e + e e 0 0 λ 3 ( ) Referenční báze {E,E,E 3 } Průběžná báze {e, e, e 3 }

18 Velkédeformace Pozor také na nesymetrické tenzory! Obecně totiž neplatí u v = v u Uvažujme prostý smyk podle obrázku X x k x = X + kx x = X x 3 = X 3 X x F k 0 = C k 0 = k + k Tenzory obsahující v názvu slovo deformace jsou symetrické. Proč?

19 Velkédeformace Míry deformace při jednoosém tahu True scale C = F T F F Míry deformace E = ½(F T F I) ε lnu e = ½(I F -T F - )

20 Materiálovánelinearita Napětí-deformace při tahovézkoušce pryže DorfmannA., Ogden R.W. (004) A constitutive model for the Mullins effect with permanent set in particle-reinforced rubber.intj Solid Struct 4 (7): Odezva podle množstvíplniva (% vs 60%) umožňující vulkanizaci

21 Materiálovánelinearita Měkké tkáně Napětí-deformace pro šlachu, nosorožčí a kočičí kůži Napětí-deformace pro prasečí cévy: aorta, vena cava, a. iliac, a. carotis Meyers M.A., Chen P.-Y., Lin A.Y.-M., Seki Y. (008) Biological materials: Structure and mechanical properties.progress Mater Sci 53():-06. SnowhillP.B., SilverF.H. (005) A mechanical model ofporcinevasculartissues-part II: Stress-strain and mechanical properties of juvenile porcine blood vessels. Cardiovasc Eng 5(4):57-69.

22 Materiálovánelinearita Jak efektivně popsat nelineární materiál? A. L. Cauchy vs. G. Green Konstitutivnírovnice tvoříme přímo (soustavou algebraických nebo diferenciálních) rovnic Obdobnějako zobecněný Hookeův zákon Předpokládáme existenci elastického potenciálu hyperelasticita Složky tenzoru napětídostaneme jako intenzitu elastického pole

23 Materiálovánelinearita Připomeňme si tíhový a elektrický potenciál Potenciál je měrná energie (v případě tíhy na jednotku hmotnosti). Představuje tedy práci, kterou by mohl vykonat jednotkový hmotný bod dík působení tíhového pole. V = U/m = mgh/m = gh Intenzita tíhového pole je pak dána: V/ h = g Potenciál elektrického pole náboje q je V = /(4πε)q /r když potenciální energie přenesená na částici s nábojem q ve vzdálenosti rje U = /(4πε)q q /r Intenzita elektrického pole je pak dána: E = - V/ r = /(4πε)q /r

24 Materiálovánelinearita Elastická potenciální energie U = ρw Hustota deformačníenergie (elastický potenciál) W = ½σ ij ε ij D formulace Hookeův zákon σ= Eε W= ½Eε W/ ε = Eε = σ

25 Materiálovánelinearita 3D zobecněný Hookeův zákon µ µ µ σ µ µ µ ε σ ε σ µ µ µ E ε 33 = σ 3 ( + µ )( µ ) µ ε σ ε 3 3 σ µ ε µ σ= Cε W = ½Cεε σ ij = W/ ε ij Ověřte si alespoň pro jednu složku

26 Materiálovánelinearita Elastický potenciál: Zajišťuje Implicitní splnění. zákona termodynamiky Zjednodušuje práci s nelineární materiálovou závislostí - mocninná, exponenciální, logaritmická Umožňuje snadnou implementaci anisotropie Ve forměvolnéenergie lze snadno rozšířit pro nevratnéděje (viskoelastický potenciál) Implementováno v MKP balících

27 Materiálovánelinearita Biomechanika V posledních padesáti letech se ukázal jako nejúspěšnější (u měkkých tkání kůže, cévy, srdce, vazy, ) model pro W navržený Y.C. Fungem(967) Elastomery W µ = α ( e αε ) Velice úspěšný model navržen R.W. Ogdenem(97) W n i= µ λ λ λ α ( α α α 3) 3 i i i i = + + i

28 Materiálovánelinearita Objektivita W R. S. Rivlin W = W(ε ij ) Invariance Wvůči transformaci souřadnic bude nejsnáze zajištěna formulací pomocí invariantů tenzoru deformace Důsledná aplikace invariantů Globální vs. Lokální v MKP Dnes existuje algebraická teorie konstitutivních rovnic (čili skalárních funkcí tenzorové proměnné)

29 Materiálovánelinearita Invarianty C Uvažujme homogenní deformaci x = λ X x = λ X x 3 = λ 3 X 3 C λ 0 0 = 0 λ λ 3 I C = λ + λ + λ 3 I C = λ λ + λ λ 3 + λ 3 λ I 3C = λ λ λ 3 = I b = I b = I 3 b

30 Materiálovánelinearita Neo-Hookeovský materiál Nejjednodušší model µ W = I ( ) 3 σ µ= 50 σ = µ λ λ µ= 0 µ= λ

31 Materiálovánelinearita Mooney-Rivlin µ υ W = I + I ( 3) ( 3) σ µ= ν = µ= ν = µ= ν = 0.5 µ= ν = 0. µ= ν = 0 µ= ν = -0.5 σ = µ λ + νλ λ λ µ= ν = 00 σ µ= ν = 0 µ= ν = 5 µ= ν = 0 λ

32 Materiálovánelinearita Gent µ J 3 m ln I W = Jm σ µ= J m = 0.4 µ= J m = 0.7 µ= J m = µ= J m = µ= J m = 0 σ = J µ Jmλ λ λ + 3 λ m λ

33 Materiálovánelinearita Poznámka Výše zmíněné modely W byly všechny: ISOTROPNÍ U všech jsme předpokládali nestlačitelný materiál J = detf= I 3C = I 3b = λ λ λ 3 =

34 Různémíry deformace dávajírůznémíry napětí Referenční konfigurace L A = BH AE x Průběžná konfigurace l a = bh ae x ae x f σ = a ( e e ) ( e e ) xx x x x x Průběžná konfigurace Skutečnénapětí σ = f/a P AE x ( e E ) = ( e E ) xx x X x X f A Smíšená konfigurace Smluvní napětí P = f/a S ( E ) σ ( ) P XX X X xx X X xx ( X X ) AE E = E x λ E = E λ E xx Referenční konfigurace DruhéPiola-KirchhoffovonapětíS= σ/λ x xx

35 Různémíry deformace dávajírůznémíry napětí Ještě jednou! Abychom získali druhépiola-kirchhoffovonapětís, transformuje skutečnénapětí σinverznítransformacík transformaci, která proběhla, když síla deformovala průřez do průběžné konfigurace; čili A a: a=λ x A DruhéPiola-Kirchhoffovonapětí tedy je S XX = (λ x ) - σ xx

36 Napětí Transformace mezi tenzory napětí Znovu připomeňme, že deformační gradient F převádí referenční vektor na zdeformovaný vektor x =FX S = F σf -T J σ = T J FSF P FS = S = F P P = JσF T σ = T J PF

37 Napětía elastický potenciál Míry napětí a deformace jsou konjugovány tak, že práce vnitřních sil (skalár) při deformaci je vždy stejná P = W F ( F) σ = ( ) F J W F F T σ = W J F C ( C) F T S W = = C ( C) W ( E) E

38 Nestlačitelný materiál Deformace elastomerůa měkkých tkáníjsou často modelovány jako isochorické děje dv J = = detf = I = I = λ λ λ = dv C b V takovém případěse na objemových složkách tenzoru deformace nekonána práce vnitřních sil. Takže odpovídajícísložky napětí nelze přímo určit z W. Zavádíme tudíž je jako neurčitý Lagrangeův multiplikátor p a určujeme z okrajových podmínek. W ( F) T ( C) p( J ) W = W + P = pf F W ( F) W T ( C) T σ = F pi = F F pi F C W ( C) S = pc C

39 Nelinearita okrajových podmínek Krom rovnic rovnováhy, kinematiky a materiálu, může nelinearita vniknou i v okrajových podmínkách. To je typické v kontaktních úlohách. Dead loading

40 Vybranépodpůrnézdroje Návrhy na úpravy nebo upozornění na chyby adresujte