Okruhy k bakalářské státní závěrečné zkoušce (2015) Matematická analýza

Transkript

1 Okruhy k bakalářské státní závěrečné zkoušce (2015) Matematická analýza 1. Funkce, graf funkce, inverzní funkce, operace s funkcemi, trigonometrické funkce, mocninná funkce, exponenciální funkce, logaritmická funkce, limita a spojitost funkce, jednostranná limita, definice limity, existence limity, limita v nevlastních bodech, ve ty pro výpoc et limit, pravostranná a levostranná spojitost, operace se spojitými funkcemi, spojitost složené funkce, ve ta o nabývání maxima a minima. 2. Derivace funkce, tec na ke grafu funkce, pravidla pro poc ítání derivací, derivace souc tu, souc inu, podílu, složené funkce, mocninné funkce, trigonometrických funkcí, derivace implicitne definovaných funkcí, derivace vyšších r ádu. 3. Aplikace derivace, funkce klesající a rostoucí, konvexní a konkávní, inflexní bod, lokální extrém, nutné a postac ující podmínky pro lokální extrém, asymptoty, ve ta o str ední hodnote, L'Hospitalovo pravidlo, Newtonova metoda pr ibližného r ešení rovnic. 4. Definice primitivní funkce, základní vlastnosti, substituc ní metoda, metoda per partes, integrace racionálních, trigonometrických a iracionálních funkcí, Riemannu v integrál, definice, základní vlastnosti, podmínky existence Riemannova integrálu, metody integrace - integrace per partes a substituc ní metoda, vztah mezi primitivní funkcí a Riemannovým integrálem. 5. Geometrické aplikace Riemannova integrálu - obsah rovinného obrazce, objem rotac ního te lesa, obsah povrchu rotac ního te lesa, délka oblouku, fyzikální aplikace Riemannova integrálu hmotnost rovinné desky, statické momenty rovinné desky, te žište rovinné desky, hmotnost tenkého rovinného drátu atd.

2 6. Funkce více prome nných limita a spojitost, derivace ve sme ru, parciální derivace, totální diferenciál, derivace složené funkce, aplikace diferenciálního poc tu funkcí více prome nných - tec ná nadrovina, lokální extrémy, vázané extrémy, globální extrémy, vektorové funkce více prome nných - definice, základní vlastnosti, spojitost, limita, derivace, gradient, Jacobiho matice. 7. Posloupnosti, definice, základní vlastnosti posloupností, ve ty o posloupnostech, definice limsup a liminf posloupnosti, r ady, definice konvergence, absolutní a relativní konvergence, vlastnosti c íselných r ad, ve ty o konvergenci limitní a podílové kritérium, integrální kritérium, r ady alternující, kritérium konvergence, odhad souc tu r ady, funkc ní r ady, bodová a stejnome rná konvergence, Weierstrassovo kritérium, urc ení oboru konvergence, mocninné r ady, základní vlastnosti. 8. Dvojný Riemannu v integrál definice, základní vlastnosti, Fubiniova ve ta, základní transformace - posunutí, transformace do polárních sour adnic, ve ta o substituci, geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu. 9. Diferenciální rovnice rovnice se separovanými prome nnými, lineární diferenciální rovnice n-tého r ádu, homogenní a nehomogenní úloha, prostor r ešení 10. Soustavy diferenciálních rovnic - prostor r ešení homogenní úlohy, diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, pevný bod a jeho stabilita. Geometrie 1. Vektorové prostory a podprostory, lineární kombinace vektoru, lineárne závislé a nezávislé vektory, generování, báze a dimenze vektorového prostoru a podprostoru, sour adnice, pru nik, souc et

3 a pr ímý souc et podprostoru, podprostory vektorového prostoru R n a jejich souvislost s r ešením homogenních soustav lineárních rovnic. 2. Afinní prostory a podprostory, zame r ení afinního (pod)prostoru a jeho dimenze, afinní repér a sour adnice, transformace sour adnic pr i zme ne afinního repéru, afinní kombinace bodu, pru nik, souc et a pr ímý souc et podprostoru, podprostory standardního afinního prostoru R n a souvislost s r ešením nehomogenních soustav lineárních rovnic. 3. Parametrický a implicitní sour adnicový popis afinního podprostoru, vzájemná poloha afinních podprostoru v afinním a Euklidovském bodovém prostoru, metody zjišt ování vzájemné polohy. Pr íc ky mimobe žek v R Lineární zobrazení (homomorfismus) vektorových prostoru, jádro a obraz lineárního zobrazení, matice lineárního zobrazení v ru zných bázích, matice pr echodu od báze k bázi a transformace sour adnic. Skládání zobrazení. Lineární formy, duální prostor a duální báze, duální zobrazení a jeho matice vzhledem k duální bázi. 5. Bilineární a kvadratické formy, matice bilineární formy vzhledem k bázi a její zme na pr i zme ne báze, singulární a regulární formy, symetrické a antisymetrické formy, polární báze symetrické bilineární formy, kvadratické formy, polární báze kvadratické formy, definitnost a signatura, zákon setrvac nosti. 6. Vektorové prostory se skalárním souc inem, ortogonální doplne k a ne které vlastnosti, norma vektoru, ortogonální báze, Rieszova ve ta, projektor a jeho vlastnosti, Gramm-Schmidtu v ortogonalizac ní process, Cauchyova a trojúhelníková nerovnost. 7. Vlastní c ísla a vlastní vektory matice/lineárního zobrazení, Jordanu v kanonický tvar a pr íme metody pro jejich nalezení.

4 Aplikace pro r ešení systému diferenciálních rovnic. Výpoc ty vlastních c ísel pomocí mocninné metody, Rayleighu v podíl. 8. Euklidovské bodové prostory, kartézská sour adnicová soustava a kartézské sour adnice, parametrické a implicitní zadání podprostoru a ortogonální doplne k zame r ení, kolmost podprostoru, vzdálenosti a odchylky podprostoru. Algebra 1. Výroková logika, matematické du kazy, Booleova algebra, minimalizace výrokové formy, normální formy, predikátová logika. Množiny a relace na množine, kartézský souc in množin, vlastnosti relací, tolerance, ekvivalence, rozklad množiny na tr ídy, uspor ádání, význac né prvky v uspor ádaných množinách, svazy, mohutnost množiny. 2. Matice, operace s maticemi a jejich vlastnosti. Pr evod matice na schodovitý tvar a její hodnost. Regulární a singulární matice, determinanty. Inverzní matice. Algebraické struktury matic. LU rozklad matice a jeho užití. Metody r ešení systému lineárních rovnic (Gaussova eliminac ní metoda, iterac ní metody). 3. Binární operace na množine a jejich vlastnosti (asociativita, komutativita, existence jednotkového prvku, inverze). Algebraické struktury s jednou operací grupoidy, pologrupy, grupy. Algebraické struktury se dve ma operacemi okruhy, obory integrity, te lesa. Jejich vlastnosti a pr íklady. 4. Permutace množiny a jejich popis. Cykly a transpozice. Rozklady permutací na nezávislé cykly a transpozice. Skládání permutací a jejich grupa. Parita permutace. Popis libovolné grupy pomocí permutací. Dihedrální grupy. 5. De litelnost celých c ísel. Nejve tší spolec ný de litel, Euklidu v algoritmus, korektnost Euklidova algoritmu a jeho du sledky. Kongruence,

5 grupa/okruh zbytkových tr íd. Prvoc ísla, faktorizace pr irozených c ísel na prvoc ísla. Kongruenc ní rovnice. 6. Eulerova funkce, její základní vlastnosti a metody výpoc tu, Eulerova ve ta, Fermatova ve ta. Testování prvoc íselnosti Fermatu v test. Základy asymetrické kryptografie algoritmus RSA. 7. Polynomy nad obecným okruhem/te lesem, operace s polynomy a okruh polynomu. Kor eny polynomu. Ireducibilní polynomy, rozklad polynomu nad Q, R a C na ireducibilní polynomy. Základní ve ta algebry. Interpolace Lagrangeu v a Newtonu v tvar interpolac ního polynomu. 8. Matematická indukce, binomická a multinomická ve ta, princip inkluze a exkluze, graf a jeho vlastnosti, matice sousednosti, skóre grafu, hledání nejkratší cesty, Eulerovský graf, hledání minimální kostry grafu. Diferenciální rovnice 1. Lineární diferenciální rovnice n-tého r ádu, fundamentální systém r ešení, prostor r ešení jako lineární vektorový prostor, metoda variace konstant. 2. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic, fundamentální systém r ešení, prostor r ešení jako lineární vektorový prostor, metoda variace konstant. 3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. R ešení, exponenciální matice. 4. Nelineární diferenciální rovnice. Equilibrium, isokliny. Vyšetr ování lokální stability pevného bodu linearizací soustavy. Ljapunovská funkce. 5. Okrajová úloha pro obyc ejné diferenciální rovnice druhého r ádu.

6 Pojem klasického r ešení. Pojem diferenciálního operátoru a samoadjungovaného diferenciálního operátoru. Typy okrajových úloh pro obyc ejné diferenciální rovnice druhého r ádu. 6. Symetrický diferenciální operátor. Sturm-Liouvillova úloha pro obyc ejné diferenciální rovnice druhého r ádu. Fourierova metoda r ešení okrajové úlohy pro obyc ejnou diferenciální rovnici druhého r ádu. 7. Existence a jednoznac nost klasického r ešení. Sobolevovy prostory a slabé r ešení Dirichletovy úlohy. 8. Základní typy lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého r ádu. Typy okrajových a poc átec ních podmínek. Difuzní rovnice v jedné prostorové prome nné Fourierova metoda r ešení poc átec ne okrajové úlohy pro difuzní rovnici. Aplikovaná matematika 1. Základy teorie her a jejích aplikací. Hry v maticovém tvaru, r ešení her metodou eliminace dominovaných strategií. Nashovo equilibrium, evoluc ne stabilní strategie. Hra jestr áb-hrdlic ka. Replikátorová dynamika. 2. Aplikace v ekologii. Jednodruhové modely ru stu populace (obecný model a jeho vlastnosti, exponenciální ru st, logistický ru st, Alleeho efekt). Lotka-Volterrovy modely typu dravec-kor ist, funkc ní odpove ď, Rosenzweig-MacArthuru v model dravce a kor isti. 3. Difuzní rovnice odvození, okrajové úlohy pro difuzní rovnici, existence a vlastnosti r ešení. 4. Matematická teorie pružných te les tenzor nape tí a deformace,

7 Hooku v zákon, formulace okrajových úloh teorie pružnosti. 5. Eulerova rovnice, rotace, Navier-Stokesovy rovnice. 6. R ešení nelineárních rovnic, metoda bisekce, rychlost bisekce, metoda regula falsi, Newtonova metoda, kvadratická konvergence. 7. R ešení soustav lineárních rovnic, LU rozklad matice a jeho užití, iterac ní metody, výpoc ty vlastních c ísel pomocí mocninné metody, Rayleighu v podíl. 8. Princip r ešení poc átec ních úloh, r ád metody, jednokrokové metody, Eulerova metoda a její modifikace, jednokrokové metody vyšších r ádu, metody Runge-Kutta. 9. Pravde podobnost - definice pravde podobnosti, náhodný jev, nezávislost jevu, podmíne ná pravde podobnost, Bayesova formule. Náhodná velic ina, pr íklady spojitých a diskrétních náhodných velic in. Princip testování hypotéz.