Vybrané metody řešení soustavy rovnic. Podmínky rovnováhy či ekvivalence vedou často na soustavu rovnic, např.

Transkript

1 : 4 2 R 1 1 R 2 0,8 R 3 : 8 0 R 1 1 R 2 0,8 R 3 : 2 1 R 1 2 R 2 0 R 3 [2 1 0,8 ] 0 1 0, A Vbrané metod řešení soustav rovnic Podmínk rovnováh či ekvivalence vedou často na soustavu rovnic, např. {R1 R 2 R 3} ={ } b A =b =A 1 b, A 1 A=A A 1 =I, A 1 je inverzní matice Copright (c) Vít Šmilauer Czech Technical Universit in Prague, Facult of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to cop, distribute and/or modif this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or an later version published b the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Tets, and no Back-Cover Tets. A cop of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at 1

2 1. Výpočet A 1 ecel, openoffice, gnumeric, matlab, lepší kalkulačka... }=[ {R R 2 0,5 0,5 1 8 R 3 0,625 1,875 1,25]{ 4 }={ 14 } Gaussova eliminace cílem je horní trojúhelníková matice [2 1 0, , ] {R 1 R 2 R 3}prohodit 2. a 3. řádek [ ,8 4 ] 1 0, ř 2 =[2 4 ] 0 1,5 0, ř 0 1 0,8 8 2 [2 1 0, ,5 0, ,5333 ] 10, ,5 2. ř = výpočtem a dosazováním odspodu obdržíme postupně řešení neznámých 2

3 3. Cramerovo pravidlo (výhodné pro soustav do 3 neznámých včetně) i =D i /D Kde i je neznámá, D determinant matice A, D i determinant matice A po nahrazení jejího i tého sloupce vektorem b b 1 0,8 R 1 = ,8 / , ,8 = [ ,8 2 0, , ,8 1 2 ]/ [ ,8 1 0, , ,8 1 1 ]= 22,4/ 1,6 = 14 kn 4. Metoda dosazovací často chb ve výpočtu, přenos chb při dosazování 3

4 becná soustava sil v rovině Soustavou rozumíme určitou skupinu sil (síl od zatížení, reakce, vbrané síl...) Všechn síl soustav leží v jedné rovině Všechn moment jsou kolmé na tuto rovinu (moment lze nahradit dvojicí sil) Často volíme souřadný sstém, totožný s rovinou sil Platí všechn podmínk pro prostor (výslednice, rovnováha, ekvivalence) Složk F z, M a M z jsou nulové zjednodušení výpočtu Zavěšený most přes dru na D47, foto W. Ullmann 4

5 Výsledný účinek soustav sil a momentů v rovině Před řešením úloh rovnováh či ekvivalence provedeme redukci známých sil F i a momentů M j k danému bodu, obvkle počátku. Tím obdržíme jedinou výslednici a jediný moment M k danému bodu (počátku) F i M j r i M 0 ψ n = i=1 n M = i=1 F i m M F i j=1 n M j = i =1 r i F i M j Bivektorem lze nahradit jakoukoli soustavu sil a momentů z a M bivektor, =90 o 5

6 Složk sil n = i =1 n = i =1 n z = i=1 Fi =F i cos i Fi =F i cos i F iz =F i cos i identita Složk momentů n M = i=1 n M = i=1 n M z = i=1 r i F iz r iz F i r iz F i r i F iz r i F i r i F i j=1 m M j j=1 m M j j=1 m M jz identita identita Velikost síl Velikost momentu = F 2 r F 2 2 r z M = M 2 M 2 M 2 z =M z Úhl cos r = cos r = z Úhel, cos r =sin r = 0 cos = M M z M z M Úhl cos = M, cos = M, cos = M z M M M 6

7 Každý bivektor a každou soustavu sil v rovině lze nahradit jedinou silou (může být nulová rovnováha, čistý otáčivý účinek soustav) Při řešení v prostoru b taková rovinná soustava odpovídala šroubu, kde M C = 0 Rovnice paprsku výslednice Nahrazení rovinné soustav jedinou silou M (z) = = M M z M 0 M 7

8 Kromě obecných případů redukce soustav k mohou nastat tři specifické 0, M 1. výsledným účinkem je síla působící na paprsku procházející počátkem Výslednice zatížení = 0, M 0 2. výsledným účinkem je dvojice sil v rovině otáčející momentem M ' = 0, M 3. soustava sil a momentů je v rovnováze 8

9 becná soustava sil v rovině úloha rovnováh Prostorová soustava sil {F 1,..., F n } a momentů {M 1,..., M m } je v rovnováze se silami {R 1,..., R o } je li výsledný účinek všech sil a všech momentů nulový n i=1 o n F i R j = 0 j=1 silové (směrové) podmínk i =1 : F i R j : M F i M F o i M R m j M k = 0 j=1 k =1 momentové podmínk M R j M k M R j M k : F i R j : M F i : F iz R jz : M F iz M R jz M kz : i F i i F i j R j j R j M kz 9

10 Celkem k dispozici 3 statické podmínk = 3 neznámé, jednoznačné řešení pokud determinant soustav 0 Momentové podmínk rovnováh lze volit k libovolnému bodu Pro úlohu ekvivalence postačí vložit před neznámé člen R a M R a tím je převést na pravou stranu všech rovnic Předpokládejme, že M A = 0 i M B = 0 F i M A = r Ai F i r Aj R j R j r AB r B = r A, r B = r A r AB M B = r Ai r AB F i r Aj r AB R j M B 0 0 =M A r AB F i R j silová podmínka rovnováh obecně splněno pouze pokud r AB F i R j A r A r AB r B B Dvě momentové podmínk k bodu A a B ted nahrazují jednu silovou v kolmém směru k úsečce AB 10

11 Alternativní formulace podmínek rovnováh v rovině 1 silová a 2 momentové A B : F i R j : M F Ai M R Aj M k : M F Bi M R Bj M k Směr nesmí být kolmý na AB 3 momentové A B C : M F Ai M R Aj M k : M F Bi M R Bj M k : M F Ci M Cj R M k Bod ABC nesmí ležet na přímce 11

12 Věta o rovnováze třech sil Tři síl mohou být v rovnováze jen tehd, tvoří li rovinný svazek sil (průsečík v bodě nebo v nekonečnu) Pouze tehd mohou splnit momentovou podmínku rovnováh Kterákoli z nich je výslednicí ostatních dvou s opačnou orientací Zde pro zadanou reakci R 1 a zatížení F 1 vplývá reakce R 2 Složkový obrazec sil R 2 R 2 R 1 F 1 R 1 F 1 12

13 Zredukujte soustavu sil k počátku a nahraďte jedinou silou F F 2 = 150 kn 1 = 100 kn 2 m M 1 = 50 knm 2 m F 1 30 o F 1 : =F 1 F 2 =86,6 150= 64,3 kn : =F 1 F 2 =50 0=50 kn : M =M 1 F M 2 F M 1 = , =276,8 knm = 64, =81,45 kn cos r = = 64,3 81,45 = 0,78944 sin r = = 50 81,45,61387 =142,13 o F 1 =F 1 cos30 o =86,6 kn F 1 =F 1 sin 30 o =50 kn K: 86, =100 kn.k. = 81,45 kn r =142,13 o M = 276,8 knm 13

14 Náhrada jedinou silou M = = M = ,8 = 0,7776 4,305 64,3 64,3 0 =4,305 m 0 = 4,305 0,7776 =5,536 m 3,398 m =4,305 m =5,536 m = 81,45 kn 14

15 Uveďte předchozí soustavu do rovnováh reakcemi R 1 a R 2 R 1 R 2 1,5 m 1 m 3 m R 1 R 1 známé : R 1 R 2 64,3 R 1 0 R 1 =64,3kN : R 1 R 2 50 R 1 R 2 : M M R 1 M R 2 276,8 3 R 1 1 R 1 1,5 R 2 [ }={ ] {R1 64, R ,5 R 2 276,8} řešení: R 1 =64,3 kn, R 1 = 63,89kN, R 2 = 13,89 kn R 1 = 64,3 2 63,89 2 =90,64 kn, =315,18 o 15

16 Rovinná soustava rovnoběžných sil Paprsk všech sil jsou rovnoběžné Násobk jednotkového vektoru f F i F i =F i f f =1 cos ;sin F i Výslednice Zesílení trámu příložkami : = F i = F i cos =cos F i = cos : = F i = F i sin =sin F i = sin M 0 f : M = M i =F i i sin i cos = F 2 r F 2 = r F 2 i cos 2 sin 2 = F i f Náhrada jednou silou, její paprsek určen M = 16

17 Určete reakce na soustavě rovnoběžných sil cos90 o, sin 90 o =1 F 1 =6 kn f = 0 ;1 F 2 =3 kn f =90 o 2 m 2 m 2 m B Možno použít podmínk rovnováh pro a. Lépe je však použít a B, tím je automatick splněna i kolmá silová podmínka. Nemusíme řešit R 1 R 2 soustavu 2 rovnic. B :2 F 1 4 F 2 6 R R 2 R 2 =4 kn :2 F 2 4 F 1 6 R R 1 R 1 =5 kn K: R 1 R 2 F 1 F 2 = K. 17

18 Statický střed rovinné soustav rovnoběžných sil (těžiště) Bod C kterým prochází výslednice této soustav při libovolném natočení f o Velikost výslednice je stejná při libovolném natočení Ab bla splněna momentová podmínka rovnováh, musí výslednice také procházet bodem C[ C ; C ], který leží někde na paprsku výslednice : M = C sin C cos = i F i sin i F i cos sin C i F i =cos C i F i sin C i F i cos C i F i F i F i Rovnice bude splněna pro libovolný úhel, pokud závork budou 0 Výslednice ted prochází stejným bodem C[ C ; C ] při lib. natočení soustav C i F i C = i F i C i F i C = i F i = F i 18

19 Určete vzdálenost statického středu (těžiště) od čepu závor f C F 2,05 kn 0,198 4 m 0,5 m Velikost výslednice F 1,4 kn F 3 =1 kn C f 0,198 = F i,4 0,05 1=1,45 kn : M =2 0,4 0,25 0,05 0,5 1,2875 knm C = i F i = M = 0,2875 1,45 = 0,198 m Pozn. statický střed ve směru leží na ose smetrie závor 19

20 Grafická kontrola řešení soustav sil V historii často používaná metoda (L. Cremona, C. Culmann) Silové podmínk rovnováh znamenají uzavřený vektorový obrazec sil Momentová podmínka rovnováh znamená uzavřenou výslednicovou čáru Postup řešení K soustavě připojíme libovolnou dvojici sil R 1 a R 1 Zvolit lib. pól vektorového obrazce, konstrukce vektorového obrazce sil Konstrukce výslednicové čár. Složíme sílu R 1 s další silou z vektorového obrazce. V obrazci výslednicových čar zjistíme jejich průsečík. Směr a velikost výslednice je dána z vektorového obrazce. Tuto výslednici skládáme s dalšími silami z vektorového obrazce. Nakonec přičteme sílu R 1 20

21 Př. věřte grafick rovnováhu sil F 1, F 2, F 3 R 1 Pólové paprsk R 1, R 2,... R 1 Pól vektorového obrazce Začátek i konec skládání sil F 3 R 2 F 3 R 1 F 2 R 3 R 1 F 1 R 3 F 2 F 1 Výslednicová čára od sil R 1, F 1, F 2 R 2 Zadaná soustava sil obrazec výslednicových čar (vláknový obrazec) Rovnováha momentů Složkový obrazec sil Rovnováha sil R 2 je výslednice R 1 a F 1. Velikost je určena ve složkovém obrazci sil, působiště na paprsku v obrazci výslednicových čar 21

22 tázk Přenesená síla je úměrná ploše drátu. Jaké budou výsledné síl v pramenu a v laně a kde budou jejich působiště? Řez šestipramenným lanem 6 19 drátů, proplenová duše Kolikrát se zmenší nosnost lana, přeruší li se jeden pramen? Kam se posune výslednice lana? 22

23 Přednášk z předmětu SM1, Stavební fakulta ČVUT v Praze Autor Vít Šmilauer Námět, připomínk, úprav, vlepšení zasílejte prosím na vit.smilauer@fsv.cvut.cz Created 10/2007 in penffice 2.3, ubuntu linu 6.06 Last update Feb 21,