Stavební mechanika 1 - K132SM1 Structural mechanics

Transkript

1 Stavební mechanika 1 - K132SM1 Structural mechanics Přednášející Vít Šmilauer, Ing., Ph.D. katedra Mechaniky vit.smilauer@fsv.cvut.cz místnost D2034, konzultační hodiny Út 10:00 11:30 Literatura Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 10, ES ČVUT, 1997 Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 20, ES ČVUT, 2003 Kufner, Kratěnová, Kuklík, Teoretická mechanika, Příklady, ES ČVUT, 1990 Kadlčák, Kytýr: Statika stavebních konstrukcí I., VUT v Brně, VUTIUM, 2001 Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, 2000 Bubeník, Pultar, Pultarová: Matematické vzorce a metody, 1997 Copyright (c) Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at 1

2 Organizace předmětu SM1 stránka předmětu (domácí úkoly, informace, přenášky v pdf) username = rodné číslo bez lomítka 2 testy během semestru (2 x 15 b), neúčast pouze z vážných důvodů (nutno doložit neschopenkou!) domácí úkoly zadání a numerická kontrola na webových stránkách, termíny odevzdání odevzdání v kvalitním zpracování cvičícímu (dle jeho instrukcí) získání zápočtu: odevzdané domácí úkoly do termínu a min. 12 bodů z testů zkouška: nutný zápočet, max. 70 bodů + max. 30 bodů ze dvou testů okruhy: vše z přenášek a cvičení pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka 2

3 Výsledek zkoušky Získané body ze dvou testů a zkoušky (max. 100 bodů) Výsledná známka Body 1 <100;86> 2 (86;70> 3 (70;50> 4 (50;0> Statistika SM1A (2006/2007)Z celkem 273 studentů, prof. Bittnar Statistika 2006/2007 Počet studentů Nemá zápočet Známka 1 Známka 2 Známka 3 Známka 4 3

4 Statistika SM1 (2007/2008)Z celkem 142 studentů, Šmilauer Statistika 2007/2008 Počet studentů Nemá zápočet Známka 1 Známka 2 Známka 3 Známka 4 4

5 Stavební mechanika = mechanika aplikovaná na stavební konstrukce, které jsou vystaveny silovým účinkům Stavební konstrukce = obytné a administrativní budovy, věže, mosty, tunely, inženýrské stavby,... Zákony, principy, axiomy setrvačnost, síla, akce a reakce zachování hmoty a energie rovnováha, sčítání sil stavební mechanika (statika a dynamika) mechanika pevných těles, kapalin, plynů mechanika kontinua mechanika kompozitů geomechanika lomová mechanika mikromechanika biomechanika matematický aparát transportní jevy... 5

6 Proč studovat stavební mechaniku? 1) Zajistit bezpečnost a spolehlivost stavebních konstrukcí životnost stavební konstrukce až stovky let (> životnost projektanta) selhání či kolaps stavební konstrukce má společenské a hmotné následky, snižuje kredit inženýrských profesí 2) Uspokojit vzrůstající nároky a nové typy stavebních konstrukcí výška, zatížení, lehkost, krása, funkce, kvalita, vyjímečnost, ekologie... 3) Ověřit výsledky z počítače (chybné zadání, úskalí numerických metod...) zcela mimořádně lze vybudovat prototyp konstrukce in situ, obyčejně virtuální návrh konstrukce a jedno vyhotovení, proto správné pochopení a vhodné řešení konstrukce jsou klíčové faktory úspěchu 6

7 Most přes Mississippi 14 polí (z toho 3 příhradové oblouky), délka 579 m, návrh 1961, dokončen 1967 pád hlavního oblouku , Minneapolis, Minnesota (USA) National Transportation Safety Board (NTBS) dospěl k závěru: chybný návrh styčníkových plechů, 262 t naskladněného materiálu při rekonstrukci, 51 mm betonu navíc na mostovce, nedostatečné revizní prohlídky 35W_&_Mississippi_River_Bridge 7

8 World Trade Center, podlaží, ~417 m, výstavba příčina: teplota > 600 o C, vybočení sloupů, progresivní kolaps detailní inženýrská analýza 3 roky (NIST) 110 th floor m= t h=3,7 m elementární model C=71 GN/m Z. P. Bažant, Y. Zhou: Why Did the World Trade Centre Collapsed Simple Analysis, Journal of Engineering Mechanics, Jan 2002 mg hp /C = P2 2C P mg = P 2hC =1 1 P stat mg 31 8

9 Základní znalosti z trigonometrie pravoúhlý trojúhelník sin = a b cos= c b obecný trojúhelník sinová věta a b = sin a sin c = sin sin tan = a c b c = sin sin A b c C a B kosinová věta a 2 =b 2 c 2 2bc cos b 2 =a 2 c 2 2accos c 2 =a 2 b 2 2ab cos A b c C a B 9

10 Kartézský souřadnicový systém nejčastěji pravoúhlý a pravotočivý v prostoru (3D) z pravidlo pravé ruky: x palec, y ukazováček, z prostředníček rotace x > y ve směru prstů pravé ruky (palec ve směru osy z), analogicky y >z a z >x v rovině (2D) kladný směr úhlu dle pravé ruky x O y výsledky nikdy nezávisí na volbě systému (kontrola úlohy) y x y y x z x z z 10

11 Síla vektorová veličina definovaná velikostí, orientací, směrem a působištěm (bod přenášení účinku na těleso) označení F, R, v inženýrské praxi často určena jen velikostí F, R síla způsobuje změnu hybnosti hmotného bodu za jednotku času F = d H d t = dm v d t m =konst. d v = m =m a d t jednotka [N] = [m kg s 2 ], v inženýrské praxi častěji násobky [kn], [MN] vlastní tíha určena gravitačním zrychlením g = 9,81 ms 2 operace se silami = operace s vektory 11

12 Skutečné uspořádání zatížení reakce Síly a zatížení spojité zatížení vnitřní síly zatížení reakce zatížení reakce 12

13 Skalár Vektor veličina daná pouze velikostí, nezávisí na volbě souřadnicového systému Vektor (síla) F = (F x ; F y ; F z ) veličina daná velikostí, orientací a působištěm určen lineární kombinací bázových vektorů e 1 = i=1; 0; 0 e 2 = j= 0;1; 0 e 3 =k= 0;0;1 jednotkové velikosti z F z e 3 F F y paprsek síly směrové úhly e 1 e 2 y mezi kladnými poloosami a F cos 2 cos 2 cos 2 =1 x F x 13

14 vyjádření vektoru F ve složkách kolmé průměty vektoru do směrů souřadnicových os z F=F x ; F y ;F z F z velikost (délka) vektoru F paprsek síly F= F =F x 2 F y 2 F z 2 pomocí bázových vektorů e 3 F F=F x e 1 F y e 2 F z e 3 F y složky ze směrových úhlů y e 1 e 2 F x =F cos=f e 1 F y =F cos =F e 2 skalární součin x F x F z =F cos=f e 3 14

15 Skalární součin vektorů výsledkem skalárního součinu je skalár, A B = s s=a B= A B cos=abcos=a x B x + A y B y + A z B z Geometrický význam: průmět vektorů Pokud jsou vektory kolmé, je skalární součin 0 Použití: např. vyjádření složek síly B ϕ A s/a pokud A=1, pak s určuje velikost ve směru A 15

16 značení C = A + B složky vektoru C (ve 3D) Sčítání vektorů C=A x B x ; A y B y ; A z B z komutativnost AB=BA y geometrický význam C y A y A C B y B x A x B x C x 16

17 Axiom o rovnováze sil [A1] Dvě síly F a F, které působí na tuhé těleso v jenom paprsku, mají stejnou velikost a opačnou orientaci se navzájem ruší (jsou v rovnováze) F F= F x F x ; F y F y ; F z F z = (0;0;0)=0 důsledky přidání (odebrání) rovnovážné soustavy sil nemění pohybový stav tuhého tělesa účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posune li se její působiště po paprsku, v němž síla působí F F paprsek síly F F F F = = F paprsek síly 17

18 Axiom o rovnoběžníku sil (sčítání sil) [A2] účinek dvou sil F 1 a, které působí v jednom bodě se rovná účinku síly F r, jejíž vektor je tvořen úhlopříčkou rovnoběžníku sil F 1 a y F r =F 1 = F 1 = F 1x x ; F 1y y velikost výslednice z kosinové věty F r = F r =F F 1 cos cos = cos ϕ F r F r =F F 1 cos směry ze sinové věty ϕ 2 ϕ 1 F 1 x sin 1 sin = F r sin 2 sin =F 1 F r grafické řešení F r = výslednice ϕ 1 ϕ 2 π ϕ F 1 18

19 Důsledky axiomu o rovnoběžníku sil [A2] sčítání více sil je možné v libovolném pořadí libovolnou sílu F r lze nahradit dvěma silami F 1 a, pokud se jejich paprsky protínají na paprsku síly F r a platí F r = F 1 + (rozklad síly) y F r x F 1 svazek sil = paprsky sil se protínají v jednom bodě (rovinný, prostorový svazek) soustava sil = paprsky se neprotínají v jednom bodě 19

20 Výslednice sil v rovině Určete sílu otlačení výztuže v zalomení železobetonové desky schodiště 30 o Rovnoběžník sil F 1 = 20 kn F r osa = 20 kn 75 o 30 o 75 o 75 o = 20 kn F 1 = 20 kn F r F r =F F 1 cos75 o 75 o = cos150 o = ,82=10,35 kn 20

21 Úlohy rovnováhy a ekvivalence svazku sil Dva (prostorové) svazky sil {F 1,..., F n } a {R 1,..., R m } tvoří rovnovážnou soustavu, jestliže je celková výslednice svazku nulová statická podmínka rovnováhy n i=1 i m F i R j =0 j=1 F ix j R jx =0, i při formulaci pomocí bázových vektorů se soustava rozpadne na složky F iy j R jy =0, i F 1 R 1 F iz j R jz =0 Dva (prostorové) svazky sil {F 1,..., F n } a {R 1,..., R m } jsou ekvivalentní, jsouli jejich výslednice shodné n i=1 i m F i = j=1 F ix = j R j R jx, i F iy = j R jy, i F iz = j R jz F 1 úlohy rovnováhy a ekvivalence jsou totožné, pokud změníme orientaci sil jednoho svazku, v rovině k dispozici 2 rovnice, v prostoru 3 rovnice R 1 21

22 Příklad ekvivalence z Určete výsledný účinek svazku sil F 1 a 2 1 F i = R j =R i=1 j=1 ve složkách i cos 1 = 5 F ix = i F i cos i =R x atd =0,577, cos 1 =0,577, cos 1 =0,577 cos 2 = =0,707, cos 2 =0,707, cos 2 =0 F 1 =10 { 0,577; 0,577 ;0,577 }={ 5,77; 5,77; 5,77} kn =5{ 0,707 ;0,707; 0}={3,535 ;3,535;0} kn R=F 1 ={ 9,305; 9,305; 5,77} kn 5 m 5 m F 1 = 10 kn F2 = 5 kn 5 m R=9, , ,77 2 =14,369 kn R=14,369 { 0,648; 0,648; 0,402 } kn Kontrola: 0, , ,402 2 =1,rotace souřadného systému x R y 22

23 Příklad rovnováha Uveďte síly F 1 a z minulého příkladu do rovnováhy silami R 1, R 2, R 3 protože známe výslednici sil F 1 a, použijeme ji přímo F i R j ={9,305 ;9,305;5,77} i=1 j=1 R 1 =R 1 { 0; 0;1} kn R 2 =R 2 {1;0; 0} kn R 3 =R 3 {0,707; 0,707; 0} kn x: 9,3050 R 1 1R 2 0,707 R 3 =0 j=1 R j =0 5 m y: 9,3050 R 1 0R 2 0,707 R 3 =0 R 3 = 13,161 kn z: 5,771R 1 0 R 2 0 R 3 =0 R 1 = 5,77 kn R 2 =0 kn Kontrola: { 9,305; 9,305; 5,77} 2 i=1 { 0;0 ; 5,77 } F i { 0;0 ;0} R 1 5 m x R 2 R 1 z 5 m R 3 { 9,305; 9,305 ;0} = 0 R 2 R 3 23 y

24 Otázky Která ze třech sil musí být nulová, mají li být v rovnováze, které budou stejné velikosti? F 1 je nulová, svislá podmínka rovnováhy F 1 = F 3 F 3 Kde působí na zeď výslednice dvou sil, jaký má směr a velikost? F 1 F 1 24

25 Zatěžovací zkouška piloty dálničního mostu u Trmic na D8 Zatlačování piloty Z1 (průměr 1500 mm, délka 22 m, z toho 11 m vetknutá do slínovců) Zatížení do síly 7,5 MN (sednutí 4 mm), svazek sil Foto: Ing. L. Štěrba 25

26 Přednášky z předmětu SM1, Stavební fakulta ČVUT v Praze Autor Vít Šmilauer Náměty, připomínky, úpravy, vylepšení zasílejte prosím na vit.smilauer@fsv.cvut.cz Created 09/2007 in OpenOffice 2.3, ubuntu linux 6.06 Last update 02/