Přibližné řešení úloh mechaniky

Transkript

1 SMA Přednáška 1 Přibližné metody řešení úloh mechaniky Funkcionál energie Metoda konečných prvků Konečněprvkové programy EduBeam Časté problémy při řešení pomocí MKP Příklady Copyright (c) 1 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation icense, Version 1. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation icense" found at 1

2 Přibližné řešení úloh mechaniky Většina úloh pružnosti je popsána diferenciálními rovnicemi. Například prut osově zatížený Rovnováha na diferenciálním elementu prutu x fx= kn/m 4m u E=17 kpa A=,1 m + d u( x ) f x = =, EA u ()=, u ' (4)= u ( x)=,1 x +,8 x [m ] Tzv. silné řešení, rovnice je splněna přesně ve všech průřezech na prutu.,16 m Pro mnoho úloh neexistuje přesné analytické řešení v uzavřeném tvaru. Proto jsou od ~195 masivněji používána přibližná řešení, která za určitých podmínek vedou na řešení přesná. Přibližná řešení na oblasti lze získat například těmito metodami: Variační formulace úlohy s minimalizací funkcionálu potenciální energie Metodou vážených residuí Obě metody vedou na řešení algebraické soustavy rovnic

3 Potenciální energie prutu funkcionál energie Předpokládejme libovolnou funkci u(x) která respektuje kinematické okrajové podmínky. Energii vnitřních sil určíme z hustoty energie deformace pro lineárně elastický materiál 1 1 du 1 du U =W i = V σ ε d V = V E d V = EA ( ) Potenciální energii vnějších sil určíme z posunu působišť zatížení Pro jednoduchost zde vynechány příspěvky osamělých sil. Pro lineárně elastický materiál platí W=U pro libovolnou funkci u(x). Energie vnějších sil by byla Ee=W/=U. W = f u d x ( ) Celková potenciální energie prutu (funkcionál energie) Π=U W = 1 du EA d x f u d x ( ) Věta o minimu potenciální energie: Ze všech kinematicky přípustných stavů u(x) nastane právě ten, který minimalizuje potenciální energii. 3

4 Příklad Určete potenciální energii prutu pro dvě u(x) x fx= kn/m 4m u1 E=17 kpa A=,1 m u + +,16 m,16 m u ( x)=,1 x +,8 x u 1 ( x)=,4 x du Π1=U 1 W 1= EA d x f u1 d x = 1,6 d x,8 x d x=3, 6,4= 3, kj 4 ( ) (, x +,8) d x (,1 x +,8 x )d x= =4,666 8,5333= 4,666 kj... Přesné řešení nejmenší potenciální energie Π=U W = 4

5 Rayleigh Ritzova metoda a variační formulace Zatím jsme uvažovali funkci u(x) v analytickém tvaru. Uvažujme následující aproximaci u(x)=n(x)r, kde r je posun konce prutu. Tím jsme vytvořili diskrétní formulaci úlohy s jednou neznámou. Zapišme aproximace v obecném tvaru pro vektor posunů uzlů r u N r, ε B r, 1 U =W i = V σ =D ε D B r 1 1 T 1 T T σ ε d V = V D B r B r d V = r V B D B d V r= r K r K W = f u d x = f N r d x=r T T T N f d x =r F F Stacionární bod funkcionálu energie nalezneme z podmínky jeho nulové variace. Řešení vede na soustavu lineárních rovnic [ ] dπ dw T du δ Π=δ r =δ r =δ r T [ K r F ] = dr dr dr T K r=f 5

6 Metoda vážených residuí Uvažujme tzv. slabou formulaci diferenciální rovnice prutu, která je splněna pouze v průměru d u( x) EA +,= [ ] d u(x) δ u ( x ) EA +, = Váhová funkce u(x) (pole virtuálních posunů) může být zcela libovolná. Uvažujme však aproximace funkcí u(x), u(x) opět dle Rayleigh Ritzovy metody ve stejném tvaru u N r, [ du =ε B r, ] δ u N δ r, d δu B δ r, v u ' =vu v ' u du(x) d δ u( x) d u ( x) δ u( x) EA EA + δ u ( x), = [ N δ r EA B r ] B δ r EA B r + N δ r, = δr T BT EA B r =δ r T N T, Řešení vede na stejnou soustavu algebraických rovnic Kr=F jako v případě minima funkcionálu potenciální energie 6

7 Metoda konečných prvků (MKP) Geometrický prvek (prut, deska, těleso) je rozdělen na konečný počet prvků (síť prvků). Hledá se řešení, které je vyskládáno z lineární kombinace interpolačních funkcí N1, N a řešením K r=f u1 3 prvky u N1 u3 u prvky x 1 prvek s lineární aproximací u1 N1 N u1 N1 N N3 Pokud lineární kombinace interpolačních funkcí popisuje přesné řešení, MKP toto řešení nalezne. Na deformační metodu lze také pohlížet jako na speciální případ MKP. DM poskytne přesné řešení posunů v uzlech, pokud je správně určené ekvivalentní zatížení do uzlů a správně tuhosti prvku. Průběhy posunů mezi uzly budou rovněž správné, pokud interpolace posunů obsahují přesné řešení. 7

8 Příklad Prut osově zatížený Výsledky z programu EduBeam a přesné řešení Při lineární aproximaci pole posunů na prvku jsme dostali v uzlech správný posun. Hodnoty mezi uzly musíme buď dopočítat, nebo rozdělit prut na více prvků. Řešení s 1 prvkem dá konstantní sílu a konstantní napětí, ačkoliv přesné řešení je jejich lineární průběh. Pro přesné řešení na celém prvku bychom potřebovali kvadratickou aproximaci posunů (prvek se 3 mi uzly). SMA_vlastni_tiha_1.xml 8

9 Programy s implementací metody konečných prvků Akademické otevřené kódy, omezená podpora OOFEM, SIFE, Felt, FreeFEM, YADE,... EduBeam Komerční existuje určitá podpora, manuály, příklady Scia, Esa, Fine, Nexis, Nemetschek, ATENA,... ANSYS, USAS, S DYNA, ABAQUS, Nastran,... Všechny programy mají podobný uživatelský režim Zadání materiálů, průřezů Zadání geometrie (obvykle nejpracnější) Zadání zatížení Vytvoření sítě, výpočet Postprocessing (vykreslení výsledků, dimenzování) V EduBeamu lze tento režim volně vyzkoušet s rozumnou grafickou podporou. EduBeam.3 má 7165 řádků kódu, z toho výpočet a sestavení matic tuhostí ~38 řádků (5% kódu). Nejvíce kódu zabírá grafika. 9

10 Modelování, chyby a nepřesnosti v MKP Elementární chyby v modelu zapomenuté podpory, nulové průřezové charakteristiky, chybějící vazby, dvojité pruty Nepřesnosti jsou dále zavlečeny Předpoklady modelu nedokonalé klouby a vetknutí, teorie 1. řádu versus vzpěr, nelineární materiál, tření Diskretizací prut zatížený tíhou a lineární aproximace pole posunu, příliš jemná nebo hrubá síť, singulární body Numerickými nepřesnostmi omezená přesnost reprezentace čísel, výpočet inverzní matice "Nejlepší cesta k úspěšné analýze pomocí MKP je kombinace znalosti teorie, praktické zkušenosti a zdravého inženýrského úsudku. Jako každý jiný pokročilý a mocný nástroj, tak i tento potřebuje svého zkušeného uživatele, který rozumí jeho výhodám a omezením. Pouze dobře trénovaní jedinci mohou tuto drahou hračku proměnit na produktivní inženýrský nástroj." P. Kurowski, Machine design,

11 EduBeam demonstrace elementárních chyb Nulová tuhost v neznámých stupních volnosti (D úloha) w u Rotaci není bráněno nula na diagonále redukované matice tuhosti. Řešením je zabránit natočení zavedením patřičné podmínky nulové rotace. Komerční programy v mnoha případech udělají tento krok automaticky. Není bráněno posunu konstrukce jako tuhého celku (rigid body motion) Vodorovnému posunu není bráněno. Posun u jako celku je "stochastický". Vnitřní síly se mohou spočítat správně, posun u závisí na řešiči. Při bočním impulzu vede na velký posun. Řešením je zkontrolovat stupně volnosti celku. *pitfall_1.xml 11

12 EduBeam demonstrace elementárních chyb Není bráněno posunu části konstrukce, vznik kinematického mechanismu Deformovaný tvar V pravé části konstrukce chybí diagonála. Při nezatížených pravých uzlech zdánlivě vše funguje. Při svislém zatížení pravé části vede řešení na nadměrný posun. V reálné konstrukci postačí vlastní tíha. Řešením je zkontrolovat části konstrukce, zda se nevyskytuje kinematický mechanismus. *pitfall_.xml 1

13 EduBeam rozdílné předpoklady modelu Rozdílná statická schémata Staticky určitá příhradová konstrukce. Spodní pas je zatížen nerovnoměrnou teplotou 1/1oC. Vznikne deformace bez vzniku vnitřních sil. x staticky neurčitý vyztužený spojitý nosník (věšadlo). Spojitý prut je zatížen nerovnoměrnou teplotou 1/1oC. Vznikne deformace a ohybové momenty. Některé "příhradové konstrukce" mají toto statické schéma s průběžným pasem. *pitfall_3.xml 13

14 EduBeam numerické nepřesnosti Velký rozdíl v tuhostech jednotlivých částí Staticky určitá příhradová konstrukce. Náhrada šikmé podpory prutem se stejnou tuhostí průřezu. Podpora alias kyvný prut je poddajná. Podepření je blízko kinematickému mechanismu. Náhrada šikmé podpory prutem s 117 vyšší tuhostí průřezu v tlaku. Násobení tuhost posun vede k nedefinovaným výsledkům. Není splněna svislá podmínka rovnováhy. *pitfall_4.xml 14

15 EduBeam řešení více konstrukcí naráz Redukovaná matice tuhosti konstrukce se může skládat z redukovaných submatic jednotlivých konstrukcí. *prubehy1.xml 15

16 EduBeam řešení více zatěžovacích stavů Redukovaná matice tuhosti konstrukce je stejná pro libovolné zatížení. Mnoho programů umožňuje řešit více zatěžovacích stavů na jedné konstrukci a vytvářet jejich kombinace. 1. zatěžovací stav s poklesem pravé podpory. zatěžovací stav na stejné konstrukci *loadcase_1.xml 16

17 Edubeam zastřešení atria, mezní stav použitelnosti Orientační schema rámu a maximálního zatížení Sníh 1,8 kn/m 3m 1,5 m 9,6 m 1,5 kn/m 3o,3 kn/m 4m 5, 5,3 kn/m.5.8 7,5 kn/m 9, kn/m 4m 7, kn/m 3m 1,5 kn/m 7, kn/m 7,5 kn/m 9, kn/m 3m Atrium fakulty stavební, foto: autor *atrium.xml Výpočet zatížení Tíha zastřešení Tíha střešní desky Tíha stojek U16+plech Tíha žlb desky stropu Nahodilé sníh Nahodilé ochoz 1*1.5.*4* *4*1.5 1.*1.5 5*1.5 Char. hodnota f 1.5 kn/m 7. kn/m.3 kn/m 9 kn/m 1.8 kn/m 7.5 kn/m Návrhové zatížení U16 profil+plech A=.3 m Iy=1.e 5 m4 1.8 kn/m*cos 3o=1.559 kn/m Předpokládáme: dokonalé klouby a spolupůsobení, teorii 1. řádu (malé deformace), nedojde k vybočení části rámu ani vychýlení z výpočetní roviny, lineárně elastický materiál, zanedbatelné dynamické účinky, symetrické zatížení... 17

18 18

19 Co je třeba kontrolovat v běžném výpočtu Greerův 3. zákon: Počítačový program dělá jen to, co mu řeknete, nikdy však nedělá to, co byste chtěli, aby udělal. Nulové momenty v kloubech Spojitost průhybů a natočení, deformovaný tvar Přibližné ruční ověření Průběhy vnitřních sil, napětí, dosažení pevnosti materiálu Přibližné ruční ověření Rovnováha v každé části konstrukce Statické a kinematické okrajové podmínky (napětí u stěn, podpory) Symetrie konstrukce, zatížení, deformací Stabilita konstrukce, prvky náchylné na vzpěr (teorie 1. řádu), zavětrování Etapy výstavby, změna statického schématu 19

20 Otázky 1. Na jednoduché konstrukci ukažte, co znamená silná a slabá formulace problému. Která formulace umožňuje zavést přibližné řešení?. Proč používáme přibližné řešení úloh, když existují řešení přesná? 3. Jaký je vztah mezi metodou konečných prvků a deformační metodou? 4. Jak vypadají interpolační funkce pro ohýbaný prut? Jakého jsou řádu? Kolik těchto funkcí potřebujeme na jednom prutu, abychom uměli vyřešit přesně libovolně zatížené uzly? 5. Vyjmenujte tři okruhy nepřesností, kterých se lze dopustit při modelování pomocí MKP. Uveďte jeden příklad u každého okruhu. 6. ze řešit více konstrukcí naráz v MKP programech? Zdůvodněte proč. 7. ze řešit více zatěžovacích stavů na jedné konstrukci? Mění se redukovaná globální matice tuhosti konstrukce? 8. Proč je nutné alespoň zhruba kontrolovat výsledky z MKP programů? Jaké veličiny a průběhy kontrolujeme? Vytvořeno 11/1 v OpenOffice 3., Ubuntu 1.4, Vít Šmilauer.