Periodicky pracující tepelný stroj využívá pi své innosti uzavený (kruhový) termodynamický proces (cyklus).

Transkript

1 eeé stroje a. vta termodynamiky zorec ro ráci lynu a.vta termodynamiky jasn ukazují možnost konstrukce tzv. teeého stroje, který by využíval dodávané teeé energie ke konání mechanické ráce. Práce stroje je obecn cháána ne jako jednorázový akt, ale jako (libovo) dlouho trvající sojitý roces, složený z uritých, ravide se oakujících (racovních a omocných) dj tzv. eriodicky (cyklicky) racující stroj. Jestliže takový teeý stroj racuje s njakou lynovou náí, ak ožadavek oakujících se, eriodických termodynamických roces vede k tomu, že o urité dob eriod oakování se lyn musí nutn dostat do stejného stavu tzn. že kivka takového rocesu (na. v - diagramu) musí být uzavená. Periodicky racující teeý stroj využívá i své innosti uzavený (kruhový) termodynamický roces (cyklus). ato odmínka nám velmi zjednoduší alikaci.vty termodynamiky, nebo oužijeme-li její diferenciáí tvar : d d du a integrujeme-li ho es uzavenou integraní cestu : d d du Pak oslední výraz bude nulový (stavová veliina) a dostáváme : vykonaná ráce a dodané telo i kruhovém rocesu Práce vykonaná lynem i kruhovém termodynamickém rocesu se tak ímo rovná dodanému telu. Zdálo se, že tento vztah otevírá nadjnou možnost raktické konstrukce teeého stroje, racujícího na základ kruhového dje, ádn odle zákona zachování energie (žádné eretuum mobile), s úžasnou 00% - ní úinností emny dodaného tela na mechanickou ráci. O to vtší bylo zklamání tvrc rvních arních stroj, jejichž využití teeé energie dosahovalo ouze neatrné ásti této hodnoty a zásadní zvýšení úinnosti neinášelo ani další zdokonalování konstrukce stroj. Nco odivného stále bránilo dokonalé emn teeé energie na mechanickou ráci a další vývoj ukázal, že jde o ekážky velmi rinciiáí a že teeý stroj s úinností 00% je stejn nereáý jako stroj, který by konal ráci z nieho tj. odoroval by zákonu zachování energie (eretuum mobile). Jádro roblému bylo v tom, že.vta termodynamiky zákon zachování energie se ukázala být ouze nutnou odmínkou existence (realizace) termodynamických roces, nikoliv však odmínkou ostaující, nebo lze osat velké množství roces slujících tento zákon, které však nikdy reá nerobhnou. yickými nikdy nerobíhajícími rocesy jsou neexistující ztné dje nevratných roces, které jsme oznali v minulé kaitole. Mezi všemi možnými nevratnými dji se ak ovažuje za rinciiá nejvýznamnjší skuina samovoých (irozených) roces, které bhem konené relaxaní doby ivedou každou izolovanou nerovnovážnou soustavu do stavu termodynamické rovnováhy :

2 ) Pechod tela z tlesa telejšího na tleso chladnjší. ) Exanze lynu do místa nižšího tlaku (do vakua). ) Difúze lynu. ) Pemna mechanické energie makroskoických tles na telo. šechny tyto dje jsou zsobeny i sojeny s teeým ohybem ástic hmoty, roto byl roces enosu tela ovažován za teoreticky nejdležitjší, zejména když se také ukázalo, že ráv smr echodu tela omezuje úinnost ráce teeého stroje. Proto fyzikové v olovin 9.století usilovn hledali kritéria, kterými by doili.vtu termodynamiky, a uesnili tak odmínky realizace termodynamických roces tak vznikla.vta termodynamiky..vta termodynamiky existuje v nkolika variantách (které se od sebe ješt mohou lišit v rzných uebnicích) od formulace technické týkající se innosti teeého stroje až o formulaci velmi teoretickou : ) Není možno sestrojit eriodicky racující stroj, který by nezsoboval nic jiného, než že by ochlazoval teeou láze a konal rovnocennou ráci. (William homson lord Kelvin 85, Max Planck) ) Není možno sestrojit eretum mobile druhého druhu. (Friedrich Wilhelm Ostwald) ) elo nemže samovo echázet ze studenjšího tlesa na telejší. (udolf Julius Emanuel Clausius - 850) ) každém libovoém okolí libovoého oáteního stavu termicky homogenního systému existují stavy, k nimž se není možno libovo iblížit adiabatickou zmnou stavových arametr. (Constantin Carathéodory, ecký matematik - 909) Neexistující teeý stroj, který by dokonale emoval teeou energii na ráci, je tedy nazván eretum mobile druhého druhu (eretum mobile rvního druhu je neexistující stroj, který nedodržuje zákon zachování energie) Souvislost takového stroje se smrem echodu teeé energie dobe oznáme, jestliže rostudujeme innost ideáího vzorového teeého stroje, racujícího na rinciu Carnotova vratného kruhového dje (cyklu), který je sestaven ze ty jednoduchých vratných roces ideáího lynu (viz obrázek).

3 Poišme nyní odrobn jednotlivé vtve tohoto cyklu, odmínky jejich realizace a vzájemnou emnu energií (viz také minulá kaitola) :. Izotermická exanze Pi telot konst. dochází k izotermické exanzi lynu ze stavu (,, ) do stavu (,, ) odle stavové rovnice : Podmínkou realizace tohoto izotermického rocesu, která zaruí jeho konstantní telotu, je dokonalý teeý styk lynu se zdrojem tela, tzv. ohívaem : Konstantní telota ak znamená, že se nemní vnitní energie lynu a odle.vty se tedy dodané telo ímo emuje na ráci stejné velikosti : d d du d Potom celková ráce vykonaná lynem a telo dodané lynu i celé exanzi bude (viz minulá kaitola) : d d > 0. diabatická exanze diabatická exanze lynu ze stavu (,, ) do stavu (,, ) robíhá odle stavové rovnice : ento roces musí robíhat i dokonalé teeé izolaci, která zaruí nulovou výmnu tela s okolím : Plyn tedy koná ráci ouze na úkor své vnitní energie :

4 d d du du Celková vykonaná ráce lynem se otom rojeví snížením vnitní energie lynu, tj. oklesem teloty lynu z na : ( ) 0 U C d C >. Izotermická komrese Pi telot konst. dochází k izotermické komresi lynu ze stavu (,, ) do stavu (,, ) odle stavové rovnice : Konstantní telotu lynu musí ot zaruit dokonalý teeý styk s jímaem tela, tzv. chladiem : Konstantní telota lynu ot znamená, že vnitní energie lynu se nemní a odle.vty se ot ráce lynu rovná dodanému telu : d d du d Ob tyto veliiny jsou ovšem nyní i stlaování lynu záorné. Práci tedy konají vnjší síly a je dodávána do lynu a záorné telo znamená, že teeá energie je lynu odebírána a echází z lynu do okolí do chladie. Pi celé komresi vykonaná ráce a dodané telo budou : d d < 0 (Dodané telo je oznaeno v oadí jako druhé v Carnotov cyklu, rovnž i druhé telot). diabatická komrese diabatická komrese lynu ze stavu (,, ) do oáteního stavu (,, ) robíhá odle stavové rovnice :

5 Plyn je ot dokonale tee izolován od okolí : Matematický záis ro vykonanou ráci odle.vty je stejný jako i adiabatické exanzi : d d du du Nyní je ovšem ráce lynu záorná, rotože i komresi ji konají vnjší síly ráce je dodávána do lynu a za celou komresi se rojeví zvýšením vnitní energie a zvýšením teloty z na vodní hodnotu : ( ) 0 U C d C < ykonaná ráce i adiabatické komresi je tedy esn oaná než i exanzi zvýšení vnitní energie je tak esn stejné, jako bylo její snížení a celková zmna vnitní energie je nulová, jako u každého kruhového termodynamického rocesu. Plyn se navrátil do oáteního stavu, kivka dje se uzavela a ráce teeého stroje mže dále okraovat libovoým otem oakování tohoto cyklu. Nyní rovedeme celkovou bilanci energií : a) Celkem nezajímavý je ohled na vnitní energii lynu, která z vodní hodnoty odovídající oátení telot : U C oklesla i adiabatické exanzi na hodnotu : U C i adiabatické komresi do oáteního stavu lynu se vnitní energie ot vrátila na vodní hodnotu, jak se sluší na stavovou veliinu. b) Celkovou ráci lynem vykonanou i celém kruhovém Carnotov cyklu dostaneme jako souet všech dílích rací : 5

6 6 ( ) ( ) C C Práce i adiabatických djích (, ) se vyruší, otom : K úrav tohoto vztahu oužijeme stavové rovnice jednotlivých dj Carnotova cyklu : šechny rovnice vynásobíme : Po vykrácení všech tlak vydlíme rovnici souinem všech objem (... ), a dostaneme tak : ( ) ( ) Po odstranní exonent mžeme stanovit omr objem : který dosadíme do vztahu ro celkovou ráci : ( ) c) Celkové telo dodané lynu i Carnotov cyklu se skládá ouze ze dvou len dodaných teel i izotermických djích, nebo i adiabatických rocesech k teeým výmnám nedochází : Pi výotu ulatníme rovnost tela a ráce i izotermickém dji a ak mžeme oužít výsledek edchozí rovnice :

7 ( ) Na konkrétním kruhovém termodynamickém dji jsme si tak ovili obecn latný vztah ro kruhové cykly o rovnosti celkové vykonané ráce a celkového ijatého tela : em ale otom soívá onen roblém nedokonalé emny dodaného tela na ráci? Práce vykonaná teeým strojem se sice rovná celkovému ijatému telu : le toto celkové telo je složeno ze dvou ástí (, ) a ouze rvn uvedené je kladné, neboli je to telo skuten ijaté strojem z teeého zdroje o telot z ohívae (kde se vytváí teeá energie, na. salováním aliva nebo emnou z jiné energie). Druhá ást celkového tela je záorná, tedy je to telo odevzdané strojem do chladie, ro využití strojem emnu na ráci je to ovšem energie ztracená. Naíšeme-li skuten ijaté telo na jednu stranu rovnice : vidíme názorn, jak stroj s touto dodanou energií naložil : emnil ji sice na mechanickou ráci, ale uritou ást dodaného tela odevzdal bez užitku do chladie (viz obrázek). ohíva eeý stroj chladi Je zejmé, že ro dokonalou emnu dodaného tela na mechanickou ráci by telo vydané chladii mlo být nulové, tj. teeý stroj by ml ouze odebírat telo z ohívae a neml by žádné telo vydávat, neoteboval by ak solusobení tlesa nižší teloty chladie (o této možnosti mluví rvní formulace.vty). 7

8 Ukázalo se však, že z odmínky uzavenosti racovního cyklu ( samozejm energetický zisk) vylývá nutnost, aby lyn vždy ást dodaného tela odevzdal do okolí (viz Clausiv integrál v další otázce) itom je nutné solusobení tlesa nižší teloty, tj. chladie. Dokonalé emny tela v ráci by samozejm bylo dosaženo, kdyby telo ztracené v chladii mohlo samovo ejít do ohívae, a tak by se vrátilo do racovního cyklu. o by ovšem vyžadovalo echod tela z tlesa chladnjšího na telejší (a o tomto nesmyslu hovoí další formulace.vty). eeý stroj tedy nebude nikdy dokonale emovat teeou energii na mechanickou ráci a bude vždy vyžadovat existenci (minimá) dvou solusobících tles ohívae vyšší teloty a chladie nižší teloty. eoretická úinnost teeého stroje je ak definována v souladu s bžným chááním jako omr strojem vydávané energie celkové mechanické ráce (neuvažují se ztráty) a energie stroji dodávané ve form tela : η úinnost teeého stroje Pro Carnotv cyklus dosadíme získané výrazy ro celkovou ráci a telo skuten ijaté od ohívae : η ( ) a dostaneme tak známý vztah : η úinnost vratného Carnotova cyklu Je vidt, že úinnost je vždy menší než 00% a že je dána ouze telotami ohívae a chladie a vbec nezávisí na druhu lynu, ani na detaiím rbhu Carnotova cyklu (na délce jeho jednotlivých vtví). Další rozbory ukazují (viz oznámku za Carnotovou vtou a Clausiv integrál ro vratné cykly v íští kaitole), že vratný Carnotv cyklus má ze všech možných vratných kruhových roces nejvyšší možnou úinnost. Podmínka vratnosti je dležitá, nevratné dje v racovních cyklech teeých stroj vždy snižují jejich úinnost (staí si edstavit nevratnou exanzi lynu, na. i velmi rychlém ohybu ístu - lyn nestaí exandovat a tlak na íst bude menší než v rovnovážném stavu a zmenší se tedy i vykonaná ráce). 8

9 Pednosti Carnotova cyklu shrnuje Carnotova vta : Úinnost všech vratných Carnotových cykl (racujících se stejnými telotami) je stejná a závisí ouze na tchto telotách : η úinnost libovoého uzaveného nevratného cyklu racujícího s týmiž telotami je vždy menší : η < Pozn. : Carnotovu vtu je možno ješt doit zhodnocením úinnosti libovoého uzaveného vratného cyklu, který by racoval také se stejnými dvma telotami, ale lišil by se od Carnotova cyklu mohl by být vytvoen naíklad kombinací libovoého otu známých vratných (izo)dj, nebo v rinciu jakoukoliv uzavenou kivkou kvazistatického dje v - diagramu. (Jednoduchý íklad dostaneme, když dv izotermy sojíme ne dvma adiabatami, ale se dvma izochorami.) Základní odlišnost obecných uzavených vratných cykl od cyklu Carnotova tkví v tom, že zatímco realizace Carnotova kruhového dje vyžaduje ouze jeden ohíva teloty a jeden chladi teloty, ak ro vytvoení libovoého jiného dje otebujeme další teeé rezervoáry tedy další chladie a ohívae, nutné ro realizaci neadiabatických roces - asto seciáích vlastností (naíklad ožadujeme teeé rezervoáry s omalu se mnící telotou, abychom zajistili izochorický kvazistatický ohev a ochlazení lynu). Pracovní telota lynu je tedy obecn sojit romnná veliina. yto vratné obecné cykly vlastn neracují se dvma telotami a, ale mezi telotou maximáí ( ) a minimáí ( ). Pro kvalifikovaný odhad ak staí uvážit, že jakýkoliv další ohíva znamená další telo dodané lynu (i stejné vykonané ráci, viz také -S diagram v další kaitole) a tedy nižší úinnost cyklu. Pesný dkaz je možno rovést omocí Clausiova integrálu ro vratné cykly ot v íští kaitole konec kaitoly K. usák, verze 0/005 ást. rev. 0/007 9