Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Nashovo ekvilibrium. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Tomáš Marada Nashovo ekvilibrium Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Michal Červinka Studijní program: Matematika Studijní obor: Obecná matematika 2006

2 Chtěl bych poděkovat svému vedoucímu Mgr. Michalu Červinkovi, který mě po celý čas psaní práce poskytoval velice cenné konstruktivní rady a hledal chyby nejen matematické, ale i stylistické a gramatické. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 13. července 2006 Tomáš Marada

3 Obsah 1 Definice základních pojmů Základní definice Nashovo ekvilibrium Diskrétní hry Diskrétní hry dvou hráčů Vězňovo dilema Křižovatka Bitva pohlaví Problém kooperace Hra bez Nashova ekvilibria v čistých strategiích Diskrétní hry n hráčů Ekologická hra Spojité hry Cournotův model duopolu Cournotův model oligopolu Stackelbergův model oligopolu

4 Název práce: Nashovo ekvilibrium Autor: Tomáš Marada Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Michal Červinka vedoucího: cervinka@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci studujeme koncept Nashova ekvilibria. Popisujeme základní principy nekooperativních her a hledání rovnovážných bodů na základě preferenčních relací. Bez důkazů zde uvádíme základní důležité věty. Na důkazy odkazujeme do literatury. Jako příklady diskrétních her dvou až tří hráčů uvádíme známé úlohy jako Vězňovo dilema, Křižovatka, Bitva pohlaví, Problém kooperace a Ekologická hra. V poslední kapitole představujeme Cournotův a Stackelbergův model oligopolu jako příklady spojitých her. Klíčová slova: Nashovo ekvilibrium, nekooperativní hry, vězňovo dilema, křižovatka, bitva pohlaví, problém kooperace, ekologická hra, Cournotův model, Stackelbergův model Title: Nash equilibrium Author: Tomáš Marada Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Michal Červinka Supervisor s address: cervinka@karlin.mff.cuni.cz Abstract: In the presented work we study Nash Equilibrium and some parts of the Game theory that are based on it. We describe fundamentals of the noncooperative games and finding Nash Equilibrium in them according to player s preferences. We present some important lemmas without proving them. The proofs can be found in literature. We describe some discrete games such as Prisoner s Dilemma, Crossroads Game, Battle of the Sexes, Coordination Game and Ecology Game. In the last chapter we explain Cournot s and Stackelberg s model of oligopoly as examples of continuous games. Keywords: Nash Equilibrium, Non-cooperative Games, Prisoner s Dilemma, Crossroads Game, Battle of the Sexes, Coordination Game, Ecology Game, Cournot s Model, Stackelberg s Model

5 Úvod Jak již název napovídá, ekvilibrium, neboli rovnovážný bod, je stav vzájemné rovnováhy všech částí nějakého celku. V této práci se budeme zabývat statickými ekvilibrii. Dynamická ekvilibria jsou nad rámec této práce. Jak hledat rovnovážný bod ukázal jako první již v roce 1838 francouzský matematik Antoine Augustin Cournot. Cournot hledal ekvilibrium v úloze, která je nyní známá jako Cournotův model duopolu. Nashovo ekvilibrium se nazývá po americkém matematikovi Johnu Forbes Nashovi. Nash navázal na práci matematika Johna Von Neumanna, který stál u zrodu teorie her, a ekonoma Oskara Morgensterna. Tito dva američané již před Nashem dokázali existenci rovnovážného bodu v každé konečné hře pro dva hráče. Nash v roce 1950 v pouhých jedenadvaceti letech sepsal svou disertační práci Nekooperativní hry [4]. V této práci dokázal existenci rovnovážného bodu v nekooperativních hrách n hráčů a jeho nalezení na základě preferencí hráčů. Později uplatnil tyto výsledky v kooperativních hrách. Za zavedení rozlišení mezi kooperativními a nekooperativními hrami dostal v roce 1994 Nobelovu cenu. O teorii her můžeme mluvit od 40. let minulého století. Pod pojmem hráči můžeme uvažovat lidi, firmy, zvířata, státy, téměř jakýkoliv subjekt, který o něčem rozhoduje. Pod pojmem hra si můžeme představit hru pockeru, obchodní jednání, studenou válku, nebo třeba namlouvání samiček mezi zvířaty. Teorie her se snaží analyzovat a předpovídat racionální chování hráčů. Přestože předpoklad ryzí racionality není v běžném životě vždy splněn, z dlouhodobého hlediska se ve hře udrží právě racionálně se chovající hráči. Nashovo ekvilibrium mělo velký význam pro rozvoj ekonomie a proto je nejčastěji s ekonomií spojováno. Má však mnohem širší využití, například v již zmiňované biologii nebo politice. Toto téma jsem si pro svou bakalářskou práci vybral mírně ovlivněn filmem Čistá duše, kde jsem o Nashovi slyšel poprvé. V základním kurzu ekonomie mě velice zaujala úloha Vězňovo dilema. Překvapilo mě jak na první pohled složitější úlohu lze tak jednoduše analyzovat a řešit. Dle mého názoru je teorie nekooperativních her velice užitečná v každodenním životě, nejen v teoretické rovině. Proto, když jsem viděl témata bakalářských prací, má volba byla jednoznačná. Tato práce by měla poskytnout lehký úvod do problematiky nekooperativních her a nastínit postup při jejich řešení. Zaměříme se na základní popis a hledání Nashova ekvilibria. Tento bod budeme hledat na základě preferencí jednotlivých hráčů. Práce

6 je členěna do tří kapitol. V první kapitole si zavedeme základní pojmy a definice. Kapitolu zakončíme několika důležitými větami, které uvedeme bez důkazu. Na důkazy odkážeme do literatury. V druhé kapitole se podíváme na diskrétní hry, kde hráči mají pouze dvě možnosti jak se rozhodnout. Základní principy hledání rovnováhy budeme ilustrovat nejprve na hrách dvou hráčů. Představíme si úlohy Vězňovo dilema, Křižovatka, Bitva pohlaví a Problém spolupráce. Na konci kapitoly uvedeme příklad hry tří hráčů s názvem Ekologická hra. Ve třetí kapitole se zaměříme na spojité hry. Začneme Cournotovým modelem duopolu, který poté zobecníme na oligopol. Pokračovat budeme Stackelbergovým modelem oligopolu. Další ekonomické modely zmíníme pouze okrajově. 6

7 1 Definice základních pojmů 1.1 Základní definice Definice 1.1. Hru v normálním tvaru definujeme jako trojici (P ; S; f), kde P je n-prvková množina hráčů, S = S 1 S 2... S n je n-rozměrný prostor strategií (rozhodnutí) a f je vektorová funkce f : S R n. Označíme i-tého hráče p i H, množinu všech jeho možných strategií S i a konkrétní strategii v dané hře s i S i. Funkci f i : S R, která bodu z S přiřadí výplatu i-tého hráče, nazveme účelová funkce i-tého hráče. Definice 1.2. Nekooperativní hra je taková hra, kde se hráči mezi sebou nedomlouvají. Každý hráč sleduje pouze svůj vlastní zájem, který může kolidovat se zájmy ostatních hráčů. Každý z hráčů si zvolí strategii, kterou bude hrát, a poté ji v jednom momentě všichni hráči zahrají. Podle charakteru množin S i mluvíme o konečných (diskrétních) nebo o spojitých hrách. Definice 1.3. Smíšenou strategii i-tého hráče µ i definujeme, jako pravděpodobnostní míru na S i. Účelovou funkci i-tého hráče f i ve smíšených strategiích lze vyjádřit ve tvaru f i (µ 1,..., µ n ) = f i (s 1,..., s n ) dµ 1 (s 1 )... dµ n (s n ). S V případě, že množiny strategií S i jsou nejvýše spočetné (speciálně konečně prvkové), je účelová funkce i-tého hráče f i rovna f i (µ 1,..., µ n ) = ( n ) µ j (s j ) f i (s 1,..., s n ). s S j=1 Poznámka 1.4. Smíšenou strategii i-tého hráče lze také definovat jako pravděpodobnostní rozdělení na S i pomocí distribuční funkce. Jelikož pravděpodobnostní míra jednoznačně určuje distribuční funkci a naopak, jsou tyto definice ekvivalentní. My používáme definici s pravděpodobnostní mírou pro její větší intuitivnost. Definice 1.5. Pokud µ i (s i ) je Diracova míra, potom říkáme, že i-tý hráč hraje čistou strategii.

8 1.1 Základní definice 8 2. hráč 1. hráč 1 2 I ( 1, 3) (5, 0) II (2, 5) (1, 1) Tabulka 1.1: Bimaticová hra. Poznámka 1.6. Je zřejmé, že hra v čistých strategiích je speciální případ hry ve smíšených strategiích, kdy hráči volí jednu strategii z množiny S i s pravděpodobností 1 a ostatní s pravděpodobností 0. Pokud nebude uvedeno jinak, budeme v následujícím mluvit o strategiích ve smyslu smíšených strategií. Dopustíme se určité nepřesnosti a budeme značit strategie pouze (s 1,..., s n ) S namísto (µ 1 (s 1 ),..., µ n (s n )) pro s S a účelovou funkci značme pouze f i namísto f i. Pro zjednodušení zápisu použijeme značení s i pro vektor strategií s vynechanou i-tou složkou. Po přeznačení budeme používat zkrácený zápis účelové funkce f i (s i, s i ) na místo f i (µ 1 (s 1 ),..., µ n (s n )). V případě diskrétních her budeme výplaty hráčů zapisovat do tabulky. Každý z hráčů má svou výplatu zapsánu v matici. Pokud budeme uvažovat hru dvou hráčů, budeme zapisovat obě dvě matice do jedné tabulky. Těmto hrám se říká bimaticové hry. Do buněk tabulky budeme zapisovat uspořádané dvojice, kde na prvním místě bude výplata prvního hráče a na druhém místě výplata druhého hráče, jak vidíme v tabulce 1.1. Pokud první hráč zahraje strategii 1 a druhý hráč strategii II, první hráč obdrží výplatu ve výši 2 a druhý hráč výplatu ve výši 5. Definice 1.7. Definujeme funkci f M i : S i R a funkci f N i : S i R pro všechna i = 1,..., n následovně f M i (s i ) = sup s i S i f i (s i, s i ), Dále si označme pro všechna i = 1,..., n f N i (s i ) = inf s i S i f i (s i, s i ). vi M = sup f i (s i, s i ), s S vi N = sup inf f i (s i, s i ). s i S i s i S i Funkce fi M udává, jaké největší výplaty může dosáhnout i-tý hráč, jestliže ostatní hráči zvolí strategie s i. Maximální možnou výplatu i-tého hráče jsme označili jako

9 1.1 Základní definice 9 vi N. Funkce fi N naopak udává jaké nejmenší výplaty může i-tý hráč dosáhnout, pokud zvolí strategii s i. Nejlepší z těchto nejhorších případů jsme označili vi N. Poznámka 1.8. Výplaty ze zahraných strategií mezi sebou budeme porovnávat. Zápisem f(s 1,..., s n ) f(t 1,..., t n ) myslíme i = 1,..., n, f i (s 1,..., s n ) f i (t 1,..., t n ). Obdobně f(s 1,..., s n ) > f(t 1,..., t n ) i = 1,..., n, f i (s 1,..., s n ) f i (t 1,..., t n ), j {1,..., n}, f j (s 1,..., s n ) > f j (t 1,..., t n ) Definice 1.9. Strategii (t 1,..., t n ) preferujeme před strategií (s 1,..., s n ) pokud Definice Vektor nazveme virtuální maximum hry. Definice Vektor f(t 1,..., t n ) > f(s 1,..., s n ). v M = (v M 1,..., v M n ) v N = (v N 1,..., v N n ) nazveme konzervativní vektor hry, a strategii, která přináší tuto výplatu, nazvěme konzervativní strategie. Poznámka V celé práci předpokládáme, že hráči se chovají racionálně a snaží se maximalizovat svou výplatu. Každý optimálně se chovající hráč dosáhne minimálně výplaty v N i a maximálně výplaty v M i, tudíž se zajímáme jen o n-tice strategií, které splňují v N f(s 1,..., s n ) v M, přičemž druhá nerovnost je pouze formální a je splněna vždy. Definice Zobrazení R i : S i S i, takové, že R i (s i ) = {s i S i f i (s i, s i ) = f M i (s i )} (1.1) nazveme optimální odpověd i-tého hráče na s i (strategie ostatních hráčů). Pokud toto zobrazení bude jednoznačné a spojité, nazveme ho reakční křivka i-tého hráče. Poznámka Optimální odpověd (1.1) popisuje racionální chování i-tého hráče, za předpokladu, že ví, jaké strategie zvolí ostatní hráči. Optimální odpověd přiřazuje k výběru strategií ostatních hráčů množinu nejlepších možných odpovědí i-tého hráče.

10 1.2 Nashovo ekvilibrium hráč 1. hráč 1 2 I (2, 3) (5, 4) II (8, 5) ( 3, 2) Tabulka 1.2: Hra s více rovnovážnými body. 1.2 Nashovo ekvilibrium Definice 1.15 (Nashovo ekvilibrium). Vektor ( s 1,..., s n ) je Nashovo ekvilibrium (rovnovážný bod), pokud platí f i ( s i, s i ) = f M i ( s i ) = sup s i S i f i (s i, s i ) i = 1,..., n. Nashovo ekvilibrium je bod, ve kterém všichni hráči optimalizují svoji výplatu za předpokladu, že volba ostatních hráčů je pevně daná a známá. Jakákoliv změna strategie i-tého hráče, by mu přinesla menší výplatu. Hráči jsou ve vzájemné statické rovnováze. Poznámka Z definice 1.13 a 1.15 je zřejmé, že Nashovo ekvilibrium lze hledat jako průsečík reakčních křivek hráčů. Tento průsečík reakčních křivek může být jeden (pak říkáme, že Nashovo ekvilibrium je jednoznačné), konečně mnoho, nekonečně mnoho, nebo žádný (pouze v případě čistých strategií). V případě existence více průsečíků může nastat situace, kdy se hráči budou snažit hrát strategie vedoucí k různým Nashovým ekvilibriím a výsledný bod nebude Nashovo ekvilibrium, jak vidíme v příkladu Příklad Máme hru dvou hráčů, kde výplaty hráčů jsou zapsány v tabulce 1.2. Optimální odpovědi hráčů jsou R 1 (I) = {2}, R 1 (II) = {1}, R 2 (1) = {II}, R 2 (2) = {I}. Optimální odpovědi si odpovídají v bodech (1, II) a (2, I). Tyto body jsou Nashova ekvilibria v této hře. Pokud však první hráč bude chtít zahrát strategii 2 vedoucí k jednomu Nashovu ekvilibriu a druhý hráč strategii II vedoucí k druhému Nashovu ekvilibriu, výsledná dvojice (2, II) vede k nejhorší možné výplatě u obou hráčů. Lemma 1.18 (Browerovo lemma o pevném bodě). Necht S je kompaktní, konvexní podmnožina konečnědimenzionálního prostoru a zobrazení R : S S je spojité, potom R má pevný bod, tj. existuje s S, pro které platí R(s) = s.

11 1.2 Nashovo ekvilibrium 11 Věta 1.19 (Nash). V každé konečné hře existuje Nashovo ekvilibrium ve smíšených strategiích. Důkaz. Dokázal Nash ve své práci z Browerova lemmatu o pevném bodě, viz [4]. Věta Necht množiny strategií všech hráčů jsou kompaktní a výplatní funkce jsou spojité, potom v každé hře existuje Nashovo ekvilibrium. Důkaz. Důkaz plyne z Helliových lemmat, viz [5]. Věta Necht množiny strategií všech hráčů jsou kompaktní, konvexní podmnožiny konečnědimenzionálního vektorového prostoru a reakční křivky všech hráčů jsou prosté spojité zobrazení, potom existuje alespoň jedno Nashovo ekvilibrium v čistých strategiích. Důkaz. Důsledek Browerova lemmatu o pevném bodě, viz [1]. Poznámka Uvědomme si, že při hledání Nashova ekvilibria hledáme lokální maximum účelové funkce i-tého hráče, jako funkci proměnné s i. Ostatní proměnné s i do úlohy vstupují jako parametry. Nehledáme maximum účelové funkce jako funkce n proměnných! Toto maximum hledáme pro všechny i = 1,..., n. Pokud jsou účelové funkce spojité na otevřené množině ω, S ω, a S je kompaktní, potom existuje maximum na S. Jestliže na otevřeném okolí bodu Nashova ekvilibria existují parciální derivace účelových funkcí druhého řádu 2 f i (s i, s i ), můžeme použít základní s 2 i prostředky matematické analýzy pro hledání extrémů f i (s i, s i ) s i = 0, (1.2) 2 f i (s i, s i ) s 2 i 0, i = 1,..., n. (1.3) Výraz na levé straně (1.2) obecně závisí na s i a s i. Vyjádřením s i získáváme reakční křivku i-tého hráče. Pokud nenajdeme maximum touto cestou, budeme muset použít jiné techniky matematické analýzy. Nashovo ekvilibrium nemusí vést k nejlepšímu výsledku pro všechny hráče, který lze zahrát. Pokud hráčům dovolíme se mezi sebou domlouvat (hrají tzv. kooperativní hru), lze nalézt n-tici strategií, která může přinést všem hráčům větší výplatu. Příklad Výplaty hráčů vidíme na tabulce 1.3. Dvojice (2, II) vede k jedinému Nashovu ekvilibrium v této hře. V případě kooperativní hry se však hráči mohou domluvit a zahrát dvojici (1, I) a výplata bude pro oba dva hráče větší.

12 1.2 Nashovo ekvilibrium hráč 1. hráč 1 2 I (3, 3) (0, 5) II (5, 0) (1, 1) Tabulka 1.3: Příklad kooperativní hry. Definice 1.24 (Optimalita v Paretově smyslu). Necht neexistuje žádná n-tice (s 1,..., s n ) různá od (ŝ 1,..., ŝ n ), pro kterou by platilo f(s 1,..., s n ) > f(ŝ 1,..., ŝ n ), potom n-tice (ŝ 1,..., ŝ n ) je optimální v Paretově smyslu. Optimalita v Paretově smyslu je důležitá v kooperativních hrách. Více můžeme nalézt v [1], [2] nebo [6].

13 2 Diskrétní hry V této kapitole se zaměříme na situaci, kdy prostor strategií je konečná množina. Speciálně hráči mají na výběr ze dvou strategií. V celé kapitole budeme ke každé úloze hledat nejprve ekvilibria v čistých a poté ve smíšených strategiích. Protože uvažujeme, že každý hráč má na výběr dvě strategie, tak máme pravděpodobnostní míru rozdělenou mezi tyto dvě strategie jako p a 1 p. Pokud p {0, 1}, tak jde o čistou strategii. Proto budeme napřed vyšetřovat čisté strategie a poté při hledání dalších smíšených strategií se můžeme zaměřit pouze na vnitřek intervalu [0,1]. V celé kapitole budeme vyšetřovat symetrické úlohy, proto nenastane situace, kdy jeden hráč hraje smíšenou strategii, druhý hráč čistou strategií a výsledný bod je rovnovážný bod. V případě nesymetrických her by se musela provést podrobnější analýza krajních bodů množiny strategií. 2.1 Diskrétní hry dvou hráčů Máme situaci, kde proti sobě hrají dva hráči. Tyto dva hráče si pro přehlednost pojmenujeme Karla a Lenku. Množinu strategií Karla budeme značit K, množinu strategii Lenky L. Strategie Karla označíme x, strategie Lenky y. Uspořádanou dvojici (x, y) K L chápeme jako situaci, kdy Karel vybral strategii x a Lenka strategii y. Účelové funkce značíme f K : (x, y) R f L : (x, y) R f : (x, y) (f K (x, y), f L (x, y)) Ukážeme si nyní čtyři základní úlohy, kde najdeme Nashovo ekvilibrium v čistých i smíšených strategiích. Tyto úlohy jsou známé a více o nich můžeme najít například v [1] nebo [6]. Poté si ukážeme hru, kde neexistuje Nashovo ekvilibrium v čistých strategiích Vězňovo dilema Tato základní úloha je velice známá a má mnoho podob. Uved me si například následující. Dva zloději (Karel s Lenkou) vyloupili banku, ale protože po sobě zanechali stopy, policie je našla a zatkla. Policie však proti nim nemá dostatek důkazů a ví, že pokud

14 2.1 Diskrétní hry dvou hráčů 14 Lenka Karel 1 2 I ( a, a) ( c, 0) II (0, c) ( b, b) Tabulka 2.1: Vězňovo dilema. se ani jeden z nich nepřizná, bude je možno odsoudit do vězení jen na velmi krátkou dobu (a let). Pokud by se však oba přiznali, půjdou do vězení na delší dobu (b let, b > a). Jestliže se přizná jeden a udá toho druhého, přiznají mu polehčující okolnost a bude propuštěn na svobodu, zatímco druhý půjde do vězení na delší dobu (c let, c > b). Tuto situaci můžeme zapsat pomocí tabulky 2.1, kde strategie mlčet značíme 1, I a strategie přiznat se značíme 2, II. Dvojice v buňce (1, II) udávají, že pokud Karel zvolí strategii 1 a Lenka strategii II, Karlova výplata bude 0 a výplata Lenky bude c. Vyjádřeme si optimální odpovědi hráčů R K (I) = {2}, R K (II) = {2}, R L (1) = {II}, R L (2) = {II}. At zahraje Lenka cokoliv, pro Karla je optimální odpověd zahrát strategii 2. Obdobně pro Lenku je vždy optimální zahrát II. Optimální odpovědi si odpovídají v jediném bodě (2, II), který je jediným Nashovým ekvilibriem (dokonce v čistých strategiích) a zároveň konzervativní strategií této hry. Dvojice (1, I), (1, II) a (2, I) jsou optimální v Paretově smyslu. Pokud by se mezi sebou Karel s Lenkou domluvili a ani jeden z nich se nepřiznal, utrpí oba minimální ztrátu a. Avšak když se domluví a budou zapírat, stále je zde pokušení toho druhého podvést a tím vyváznout beztrestně, proto je tento bod nestabilní Křižovatka Následující úloha popisuje situaci, kdy Karel s Lenkou přijíždějí na křižovatku bez označení přednosti v jízdě. Každý přijíždí v jiném autě a má na výběr bud zastavit a dát přednost v jízdě (strategie 1, I), nebo projet křižovatkou (strategie 2, II). Když oba pojedou, srazí se a utrpí velkou ztrátu (c). Pokud jeden zastaví a druhý projede, ten kdo zastavil utrpí ztrátu (b, b < c) a druhý projede s nulovou ztrátou. Když oba zastaví, tak utrpí ztrátu (a, a < b). Situaci popisuje tabulka 2.2.

15 2.1 Diskrétní hry dvou hráčů 15 Lenka Karel 1 2 I ( a, a) ( b, 0) q II (0, b) ( c, c) 1-q p 1-p Tabulka 2.2: Křižovatka. V čistých strategiích máme optimální odpovědi hráčů ve tvaru R K (I) = {2}, R K (II) = {1}, R L (1) = {II}, R L (2) = {I}. Optimální odpověd na strategii I je zahrát strategii 2 a naopak. Obdobně pro strategie II a 1. Dvojice (1, II) a (2, I) jsou Nashova ekvilibria (v čistých strategiích). Dvojice (1, I) je konzervativní strategie hry a dvojice (1, I), (1, II), (2, I) jsou optimální v Paretově smyslu. Tato úloha je obecný příklad hry 1.17, kde Karel a Lenka mohou mít v úmyslu zahrát strategie vedoucí k jinému Nashovu ekvilibriu a výsledný bod Nashovým ekvilibriem být nemusí. Například Karlova volba 2 a Lenčina II vede k nejhorší možné výplatě. Zjistíme ještě, zda neexistuje další Nashovo ekvilibrium ve smíšených strategiích. Uvažujme smíšené strategii s K, kde Karel zahraje strategii 1 s pravděpodobností p a strategii 2 s pravděpodobností 1 p, a strategii s L, kde Lenka zahraje strategii I s pravděpodobností q a strategii II s pravděpodobností 1 q. Účelové funkce Karla a Lenky budou ve tvaru f K (s K (p), s L (q)) = apq bp(1 q) c(1 p)(1 q), f L (s K (p), s L (q)) = apq b(1 p)q c(1 q)(1 p). Z definice Nashova ekvilibria hledáme takové p, q [0, 1], pro které platí f K (s K (p ), s L (q )) f K (s K (p), s L (q )), f L (s K (p ), s L (q )) f L (s K (p ), s L (q)). Jak jsme již v úvodu kapitoly naznačili, Nashovo ekvilibrium v čistých strategiích je případ, kdy p, q nabývají pouze hodnoty 0 nebo 1 (jsou z hranice intervalu [0,1]). Nashova ekvilibria v čistých strategiích máme již určena a proto se nyní můžeme zúžit na otevřený interval (0, 1). Funkce f K i f L jsou dvakrát spojitě diferencovatelné na intervalu (0, 1), proto maxima těchto funkcí hledáme standardní metodou matematické analýzy.

16 2.1 Diskrétní hry dvou hráčů 16 Po derivování dostáváme f K p (s K, s L ) = aq b(1 q) + c(1 q) = 0, (2.1) f L q (s K, s L ) = ap b(1 p) + c(1 p) = 0, (2.2) 2 f K p (s K, s 2 L ) = 0, 2 f L q (s K, s 2 L ) = 0. Řešením rovnic (2.1) a (2.2) dostáváme p = q = b + c a b + c [0, 1]. Reakční křivky v této úloze znázorňuje obrázek 2.1. Dvojice strategii s K (Karel b+c zahraje 1 s pravděpodobností a 2 s pravděpodobností a ) a s a b+c a b+c L (Lenka b+c zahraje I s pravděpodobností a II s pravděpodobností a ) je Nashovo a b+c a b+c ekvilibrium ve smíšených strategiích v této úloze Bitva pohlaví Karel s Lenkou plánují jak stráví odpoledne. Karel by chtěl zajít na fotbalový zápas (strategie 1, I), Lenka by zase ráda šla nakupovat (strategie 2, II). Oba by však chtěli L 1 R L q R K 0 p 1 K Obrázek 2.1: Reakční křivky v úloze Křižovatka

17 2.1 Diskrétní hry dvou hráčů 17 Lenka Karel 1 2 I ( a, 0) ( b, b) q II ( b, b) (0, a) 1-q p 1-p Tabulka 2.3: Bitva pohlaví. strávit odpoledne spolu. Když jeden stráví odpoledne jak nechce, ale s tím druhým, utrpí malou ztrátu a. Pokud stráví odpoledne odděleně, utrpí ztrátu (b, b > a). Úlohu máme zapsanou v tabulce 2.3. V čistých strategiích máme optimální odpovědi ve tvaru R K (I) = {1}, R K (II) = {2}, R L (1) = {I}, R L (2) = {II}. Dvojice (1, I) a (2, II) jsou Nashova ekvilibria v čistých strategiích a jsou optimální v Paretově smyslu. Dvojice (1, II) a (2, I) jsou konzervativní strategie hry. Reakční křivky ve smíšených strategiích ukazuje obrázek 2.2. Ve smíšených strategiích existuje ještě jedno Nashovo ekvilibrium, kde Karel hraje strategii 1 s pravděpodobností a strategii 2 s pravděpodobností b a b a Lenka hraje strategii I 2b a 2b a L 1 R L q R K 0 p 1 K Obrázek 2.2: Reakční křivky v úloze Bitva Pohlaví

18 2.1 Diskrétní hry dvou hráčů 18 Lenka Karel 1 2 I ( b, b) ( a, 0) II (0, a) ( c, c) Tabulka 2.4: Problém kooperace. s pravděpodobností b a 2b a Problém kooperace a strategii II s pravděpodobností b. 2b a Karel a Lenka se ocitli uprostřed pokoje, kde vypukl požár. Oba se snaží utéci dveřmi. Každý z nich má dvě možnosti. Otevřít dveře, které jsou v daný moment zavřené (strategie 1, I), nebo se snažit projít (strategie 2, II). Když jeden otevře dveře a druhý projde, ten kdo otvíral, utrpí ztrátu (a) způsobenou malým popálením a druhý projde dveřmi beze ztráty. Pokud se oba budou snažit otevřít dveře, tak se srazí a oba utrpí větší ztrátu (b, b > a), ale nakonec dveře otevřou a dostanou se pryč. Jestliže však oba budou chtít projít a nikdo neotevře dveře, oba uhoří, což znamená ztrátu (c, c > b). Úlohu popisuje tabulka 2.4. Optimální odpovědi v čistých strategiích jsou ve tvaru R K (I) = {2}, (2.3) R K (II) = {1}, (2.4) R L (1) = {II}, (2.5) R L (2) = {I}. (2.6) Dvojice (2, I) a (1, I) jsou Nashova ekvilibria této úlohy v čistých strategiích. Obrázek 2.3 ukazuje reakční křivky v této úloze. Ve smíšených strategiích existuje ještě a c dvojice strategii, kde Karel hraje strategii 1 s pravděpodobností a strategii 2 a b c b a c s pravděpodobností a Lenka hraje strategii I s pravděpodobností a strategii II s pravděpodobností. Dvojice (2, I) a (1, I) jsou optimální v Paretově a b c a b c b a b c smyslu a (1, I) je konzervativní strategie hry Hra bez Nashova ekvilibria v čistých strategiích Uvedeme si pro zajímavost hru dvou hráčů, ve které neexistuje Nashovo ekvilibrium v čistých strategiích. Výplaty v této hře máme zapsány v tabulce 2.5, kde a > 0, b > 0. Optimální odpovědi hráčů této hry v čistých strategiích jsou ve tvaru

19 2.1 Diskrétní hry dvou hráčů 19 L 1 R L q R K 0 p 1 K Obrázek 2.3: Reakční křivky v úloze Problém kooperace Lenka Karel 1 2 I ( a, b) (a, b) q II (a, b) ( a, b) 1-q p 1-p Tabulka 2.5: Hra bez Nashova ekvilibria v čistých strategiích.

20 2.2 Diskrétní hry n hráčů 20 R K (I) = {1}, R K (II) = {2}, R L (1) = {II}, R L (2) = {I}. Vidíme, že neexistuje žádná dvojice strategií, které by byly vzájemně nejlepší odpovědí a tudíž neexistuje žádné Nashovo ekvilibrium v čistých strategiích. Všechny dvojice jsou optimální v Paretově smyslu. Reakční křivky ve smíšených strategiích nám ukazuje obrázek 2.4. Jediné Nashovo ekvilibrium této hry je tedy dvojice strategií, kdy Karel vybere strategii 1 nebo 2 (Lenka I nebo II) s pravděpodobností Diskrétní hry n hráčů Diskrétní hry n hráčů se principem nijak neliší od her dvou hráčů, pouze je obtížnější je zapsat a řešit. Proto příklady budeme demonstrovat pro případ n = 3, kde hráči mají na výběr ze dvou strategií a zapisovat budeme do trojrozměrné matice, kterou rozdělíme do dvou tabulek podle volby strategie třetího hráče Ekologická hra Tato asi nejznámější hra více hráčů popisuje situaci tří firem, které mají továrny u jezera. Z tohoto jezera berou vodu a po použití ji zpět vypouští. Každá z těchto firem se rozhoduje, zda vodu před zpětným vypuštěním čistit (strategie C, náklady L 1 R L 1 2 R K K Obrázek 2.4: Reakční křivky ve hře bez Nashova ekvilibria v čistých strategiích

21 2.2 Diskrétní hry n hráčů 21 II I C N C ( a, a, a) (0, a, a) y N ( a, 0, a) ( b, b, a b) 1-y x 1-x Tabulka 2.6: Ekologická hra - firma III vybere C s pravděpodobností z. I C N C ( a, a, 0) ( b, a b, b) y II N ( a b, b, b) ( b, b, b) 1-y x 1-x Tabulka 2.7: Ekologická hra - firma III vybere N s pravděpodobností 1 z. a > 0) nebo nečistit (strategie N). Pokud nejvýše jedna firma nečistí, voda v jezeře je dostatečně kvalitní a může se používat pro výrobu. Pokud nečistí dvě nebo tři firmy, voda z jezera se nedá použít a musí se dovážet s náklady b > a. Situaci popisují tabulky 2.6 a 2.7. Optimální odpovědi hráčů v této úloze jsou ve tvaru R 1 (C, C) = {N}, R 2 (C, C) = {N}, R 3 (C, C) = {N}, R 1 (C, N) = {C}, R 2 (C, N) = {C}, R 3 (C, N) = {C}, R 1 (N, C) = {C}, R 2 (N, C) = {C}, R 3 (N, C) = {C}, R 1 (N, N) = {N}, R 2 (N, N) = {N}, R 3 (N, N) = {N}. Trojice (C,C,N),(C,N,C),(N,C,C),(N,N,N) jsou Nashova ekvilibria této hry v čistých strategiích. Hledejme ještě ekvilibrium ve smíšených strategiích. Účelové funkce hráčů jsou po úpravě ve tvaru f 1 (s 1 (x), s 2 (y), s 3 (z)) = 2bxyz + bxy + bxz b + byz ax, f 2 (s 1 (x), s 2 (y), s 3 (z)) = 2bxyz + bxy + bxz b + byz ay, f 3 (s 1 (x), s 2 (y), s 3 (z)) = 2bxyz + bxy + bxz b + byz az. Protože máme již všechny čisté strategie v této úloze, můžeme se zaměřit pouze na otevřený interval (0, 1) (0, 1) (0, 1). Účelové funkce jsou hladké na tomto intervalu. Jejich derivováním dostáváme soustavu rovnic f 1 x f 2 y f 3 z = 2byz + by + bz a = 0, = 2bxz + bx + bz a = 0, = 2bxy + bx + by a = 0.

22 2.2 Diskrétní hry n hráčů 22 Pokud a (0, 1 ), potom existují dvě řešení b 2 x = y = z = a b 2 x = y = z = a b 2 Pokud a = 1, potom existuje jedno řešení b 2,. x = y = z = 1 2. Pro a b > 1 2 neexistuje další Nashovo ekvilibrium ve smíšených strategiích v této hře. Další zajímavé a složitější příklady her n hráčů můžeme nalézt v [6].

23 3 Spojité hry V této kapitole se zaměříme na ekonomické modely, kde jsou na trhu hráči (firmy), vyrábějící stejný výrobek a rozhodující se, kolik kusů mají vyrobit. Budeme hledat pouze čisté strategie. Budeme také předpokládat, že firmy svým chováním na trhu ovlivňují cenu výrobku. Popíšeme si Cournotův a Stackelbergův model, kde firmy mezi sebou soupeří pomocí objemu výroby a prodávají za stejnou cenu. Cournotův model se jmenuje po francouzském matematikovi A. A. Cournotovi, který jako první řešil úlohu dvou hráčů hrajících hru nyní známou jako Cournotův model duopolu. Stackelbergův model se nazývá podle německého ekonoma H. F. von Stackelberga, který vyšel s Cournotova modelu. Existují i další modely, které jsou však nad rámec této práce. Například Bertrandův model podle francouzského matematika J. L. F. Bertranda, který považoval Cournotův model za nereálný a navrhl model, kde mezi sebou firmy nesoupeří objemem produkce, který je daný poptávkovou funkcí, ale cenou. Další známý model je Edgeworthův model po irském matematikovi F. Y. Edgeworthovi. Tento model je znám také pod pojmem Edgeworthova kostka. Firmy si mezi sebou dělí předem daný objem vstupních komodit. Více o těchto modelech lze nalézt v [3]. Nejprve si představíme Cournotův model duopolu, který poté zobecníme. 3.1 Cournotův model duopolu Uvažujeme znovu Karla a Lenku. Opět budeme indexovat K, L stejně, jako v předchozí kapitole. Snažíme se maximalizovat zisk, tedy maximalizujeme účelové funkce f K (x, y) = xp(x, y) C K (x), f L (x, y) = yp(x, y) C L (y), kde x 0, y 0 jsou objemy produkce, p(x, y) je inverzní poptávková funkce, která objemu produkce, který se dostane na trh, přiřazuje cenu, ze kterou je na trhu poptáván. C K (x) a C L (y) jsou nákladové funkce. Pro snadnější ilustraci problému se dopustíme zjednodušení a budeme předpokládat, že nákladové funkce hráčů jsou lineárně závislé na vyrobeném množství a inverzní poptávková funkce je lineárně závislá na celkové produkci. Inverzní poptávková funkce bude ve tvaru { α β(x + y) pro x + y < α β p(x, y) =, 0 pro x + y α, β

24 3.1 Cournotův model duopolu 24 kde α, β jsou kladné konstanty, x K = [0, α ) je Karlův objem produkce a y β L = [0, α) je Lenčin objem produkce. V dalším budeme uvažovat x + y < α, protože β β firmy nebudou ochotné vyrábět bez kladného zisku. Nákladové funkce Karla a Lenky uvažujeme C K (x) = γ K x + δ K, C L (y) = γ L x + δ L, kde γ K > 0, γ L > 0 jsou variabilní a δ K 0, δ L 0 jsou fixní náklady. Zisk Karla a Lenky určují účelové funkce f K (x, y) = xp(x, y) C K (x) = αx βx 2 βxy γ K x δ K, f L (x, y) = yp(x, y) C L (y) = αy βy 2 βxy γ L y δ L. Hledáme dvojici strategií (x, y ), x 0, y 0, x + y < α, pro kterou platí β f K (x, y ) f K (x, y ), x [0, α β ) f L (x, y ) f L (x, y), y [0, α β ). Účelové funkce jsou dvakrát spojitě diferencovatelné, proto je zderivujeme a budeme hledat maxima f K x (x, y) = α 2βx βy γ K = 0, (3.1) f L y (x, y) = α 2βy βx γ L = 0, (3.2) 2 f K (x, y) x2 = 2β 0, 2 f L (x, y) y2 = 2β 0. Ze spojitosti a ryzí konkávnosti funkcí f K i f L plyne, že pokud najdeme maximum uvnitř intervalu (0, α) (0, α ), jiné lokální maximum neexistuje. Pokud by účelové β β funkce Karel nebo Lenka měli maximum v 0, musela by mít derivaci v 0 nekladnou. V případě, že α γ K, optimální odpověd Karla na jakékoliv množství Lenky bude nevyrábět. Obdobně pro Lenku, pokud platí α γ L, nevyplatí se jí vyrábět. V dalším budeme předpokládat, že α > γ K, α > γ L. Vyjádřením neznámých x z (3.1) a y z (3.2) dostáváme reakční křivky hráčů ( α βy γk ) +, R(y) = x = 2β ( α βx γl ) +, R(x) = y = 2β

25 3.1 Cournotův model duopolu 25 kde ( ) + značí kladnou část. Po vzájemném dosazení máme x = y = ( ( α β α βx γl ) + ) + 2β γk, 2β ( ( α β α βy γk ) + ) + 2β γl. 2β Po úpravách získáváme podmínky pro kladnost x a y. α > 2γ K γ L x > 0, α > 2γ L γ K y > 0. Nyní vše shrneme. Máme čtyři případy v závislosti na α, γ K a γ L. Analyzujeme každý zvlášt. 1) Pokud α min{γ K, γ L }, potom x = 0, y = 0. 2) Pokud γ K < γ L a γ K < α 2γ L γ K, potom x = α γ K, 2β y = 0. 3) Pokud γ L < γ K a γ L < α 2γ K γ L, potom x = 0, y = α γ L 2β. 4) Pokud α > max{2γ K γ L, 2γ L γ K }, potom x = α 2γ K + γ L, 3β y = α 2γ L + γ K. 3β Ve všech čtyřech případech vyrobí dohromady méně než α β, proto cena, za kterou se bude výsledný objem produkce prodávat na trhu, bude kladná.

26 3.2 Cournotův model oligopolu Cournotův model oligopolu Pokusme se nyní rozšířit a zobecnit Cournotův model duopolu na oligopol. Uvažujeme n firem na trhu. Počet firem však musí být dostatečně malý, aby hráči svým chováním stále ovlivňovali cenu na trhu. V literatuře se obecně udává, že při n > 5 lze již chování firem popsat jako dokonalou konkurenci, viz [3]. Objem výroby (strategii) i-tého hráče označíme s i 0. Každá firma maximalizuje svou účelovou funkci f i (s i, s i ) = s i p(s i, s i ) C i (s i ), i = 1,..., n. Předpokládáme, že účelové funkce jsou dvakrát spojitě diferencovatelné na celém intervalu, kde jsou nenulové. Po zderivování položíme derivace prvního řádu rovny 0 a derivace druhého řádu položíme menší nebo rovny 0. Pro i-tého hráče dostáváme f i p (s i, s i ) = p(s i, s i ) + s i (s i, s i ) C i (s i ) = 0, (3.3) s i s i s i 2 f i (s s 2 i, s i ) = 2 p 2 p (s i, s i ) + s i (s i s i s 2 i, s i ) 2 C i (s i s 2 i ) 0. (3.4) i Máme n rovnic (3.3) a n podmínek (3.4), které řešení musí splňovat. Obecně vyjádřením s i z (3.3) dostaneme reakční křivku i-tého hráče. Řešením této soustavy dostáváme Nashova ekvilibria na otevřeném intervalu. Zvlášt budeme muset analyzovat kraj tohoto intervalu, tedy případ, kdy bude mít některá firma lokální maximum v 0. Tento případ nastane právě tehdy, když bude derivace účelové funkce v 0 nekladná. Uvedeme si příklad. Opět se omezíme pro snadnější ilustraci na lineární inverzní poptávkovou funkci a lineární nákladové funkce. Budeme vycházet z modelu duopolu. Inverzní poptávková funkce bude ve tvaru { α β n i=1 p(s i, s i ) = s i pro 0 pro n i=1 s i < α, β n i=1 s i α, β kde α, β jsou kladné konstanty a s i S i = [0, α ) objem produkce i-tého hráče. β Uvažujeme n i=1 s i < α, protože opět firmy nebudou vyrábět bez zisku. Nákladovou β funkci i-tého hráče uvažujeme a účelovou funkci C i (s i ) = γ i s i + δ i, f i (s i, s i ) = s i p(s i, s i ) C i (s i ) = αs i βs i n s j γ i s i δ i. j=1

27 3.2 Cournotův model oligopolu 27 Po zderivování dostáváme pro i = 1,..., n f i s i (s i, s i ) = α β n s j βs i γ i = 0 (3.5) j=1 2 f i (s s 2 i, s i ) = 2β 0 i Vyjádřením s i z (3.5) dostáváme reakční křivku i-tého hráče. ( α γ i R i (s i ) = s i = 1 2β 2 1 j n j i s j ) + (3.6) Z ryzí konkávnosti účelové funkce plyne, že existuje pouze jedno lokální maximum. Pokud toto maximum leží uvnitř n-rozměrného intervalu (0, α)... (0, α ), nemusíme již nic dalšího řešit. Pokud tímto postupem nedostaneme rovnovážný bod, β β budeme muset samostatně vyšetřit derivace účelových funkcí v 0. Pokud α γ i, nejlepší možná odpověd i-tého hráče v jakékoliv situaci je nevyrábět nic. Proto v dalším předpokládáme α > γ i pro všechna i = 1,..., n. Dále budeme předpokládat, že soustava n rovnic (3.6) má řešení s i > 0 pro všechna i = 1,..., n. Případ, kdy toto nebude splněno vyřešíme později. 2s 1 + s s n = α γ 1 β s 1 + 2s s n = α γ 2 β s 1 + s s n = α γn β (3.7) Řešením soustavy (3.7) je n-tice strategií, kde s i = α (n + 1)γ i + n (n + 1)β a firmy společně vyrobí produkci o objemu n i=1 j=1 γ j α (n + 1)γ i + n j=1 γ j (n + 1)β, i = 1,..., n, (3.8) = nα n i=1 γ i (n + 1)β < α β. Proto cena, za kterou se výsledný objem produkce prodá na trhu, bude kladná. Je zřejmé, že kladné řešení (3.8) bude existovat právě tehdy, když bude platit α > (n + 1)γ i n γ j, i = 1,..., n. (3.9) j=1

28 3.2 Cournotův model oligopolu 28 Zaměříme se nyní na případ, kdy bude existovat právě jedno i {1,..., n}, pro které nebude splněno (3.9). Neplatnost podmínky pouze pro tohoto hráče můžeme interpretovat jako fakt, že má největší variabilní náklady. Bez úhonu na obecnosti předpokládáme i = 1. Zamysleme se nad tím, zda neplatnost podmínky (3.9) pro prvního hráče implikuje nulovost jeho produkce. Reakční křivka prvního hráče je ( ) α γ 1 R 1 (s 1 ) = s 1 = 1 + n s j, 2β 2 kde předpokládáme s i > 0 pro i = 2,..., n. Pokud by s 1 bylo nenulové, muselo by být řešením (3.7) a muselo by splňovat podmínku (3.9). Proto s i je rovno 0 a reakční křivky ostatních hráčů se změní následovně R i (s i ) = s i = ( α γ i 1 2β 2 j=2 2 j n j i s j ) + Soustava rovnic bude mít řešení s 1 = 0 2s s n = α γ 2 β s s n = α γn β s 1 = 0, s i = α nγ i + n nβ Firmy společně vyrobí produkci o objemu n i=1 j=2 γ j s i = (n 1)α n i=2 γ i nβ která bude na trhu prodána za kladnou cenu. Kladné řešení (3.10) bude existovat, právě když α > nγ i, i = 2,..., n. (3.10) < α β, n γ j, i = 2,..., n, j=2 což je však slabší podmínka než (3.9). Zbylých n 1 hráčů splňují (3.9), proto kladné řešení (3.10) existuje.

29 3.3 Stackelbergův model oligopolu 29 Podívejme se na případ, kdy p (1 < p < n) hráčů nesplňuje (3.9). Přerovnáme si hráče podle výše variabilních nákladů od největších po nejmenší. Máme situaci, kdy prvních p hráčů nesplňuje (3.9). Jdeme nyní po řadě. Hráč s největšími variabilními náklady bude mít produkci nulovou. Pokud hráčů s největšími variabilními náklady bude víc, všichni budou mít nulovou produkci. Počet hráčů s největšími variabilními náklady označíme t. s i = 0, i = 1,..., t Pro zbylých n t hráčů s nižšími variabilními náklady řešíme problém podobně jako při nesplnění podmínky (3.9) jedním hráčem. Vyjde nám Společná produkce firem s i = α (n t + 1)γ i + n (n t + 1)β n i=1 bude na trhu prodána za kladnou cenu. Kladné řešení (3.11) existuje pokud α > (n t + 1)γ i j=t+1 γ j s i = (n t)α n i=t+1 γ i (n t + 1)β n j=t+1, i = t + 1,..., n. (3.11) < α β γ j, i = t + 1,..., n. (3.12) Podmínka (3.12) je již slabší než podmínka (3.9). Pokud ji stále někteří hráči nesplňují, aplikujeme stejný postup znovu. Výsledná podmínka bude opět slabší. Protože je hráčů konečný počet, tak po konečně mnoha opakování tohoto postupu nalezneme řešení. Ještě dodejme, že pokud (3.9) nesplňuje ani jeden hráč, platí { α < min (n + 1)γi i=1,...,n n } γ j j=1 což je případ, který jsme již vyřešili na začátku. α < min i=1,...,n γ i, s i = 0, i = 1,..., n. 3.3 Stackelbergův model oligopolu Stackelbergův model oligopolu popisuje situaci, kdy na trhu je jeden hráč s určitou dočasnou výhodou. Tento hráč jako první zveřejní výši své produkce. Ostatní hráči

30 3.3 Stackelbergův model oligopolu 30 zareagují tak, že mezi sebou zahrají Cournotův model. První hráč ví, že se tak zachovají. Za těchto předpokladů se firmy snaží maximalizovat svou účelovou funkci f i (s i, s i ) = s i p(s i, s i ) C i (s i ) 0. Rozdíl oproti Cournotovu modelu je ten, že pro i = 2,..., n jsou s i 0 závislé na parametru s 1 0. Předpokládáme, že účelové funkce jsou dvakrát spojitě diferencovatelné na celém definičním oboru. Derivujeme a pokládáme rovno 0 zvlášt pro i = 2,..., n f i p (s i, s i ) = p(s i, s i ) + s i (s i, s i ) C i (s i ) = 0, (3.13) s i s i s i 2 f i (s s 2 i, s i ) = 2 p 2 p (s i, s i ) + s i (s i s i s 2 i, s i ) 2 C i (s i s 2 i ) 0, (3.14) i a speciálně pro i = 1 f 1 s 1 (s 1, s 1 ) = p(s 1, s 1 ) + s 1 2 f 1 (s s 2 1, s 1 ) = 2 1 n j=1 + s 1 n n j=1 p s j s j s 1 (s 1, s 1 ) C 1 s 1 (s 1 ) = 0, (3.15) p s j (s 1, s 1 ) + s j s 1 ( n 2 p s k s j + p ) 2 s j (s s k s j s 1 s 1 s j s 2 1, s 1 ) 1 j=1 k=1 2 C 1 (s s 2 1 ) 0. (3.16) 1 Nyní máme opět n rovnic (3.13) a (3.15) a n nerovnic (3.14) a (3.16), jejichž řešením (pokud existuje) je Nashovo ekvilibrium. Zvlášt budeme muset vyšetřit případ, kdy účelové funkce některých firem nabývají maxima v 0 jakožto krajním bodě definičního oboru. Tento případ nastane pravě tehdy, když bude derivace účelové funkce v 0 nekladná. Obecně se v případě trhu, který lze popsat Stackelbergovým modelem, dostane na trh menší objem produkce, který se prodá za vyšší cenu, viz [3].

31 Závěr V této práci jsme se pokusili čtenáře zasvětit do základní problematiky nekooperativních her. Představili jsme koncept Nashova ekvilibria a jeho hledání na základě preferencí jednotlivých hráčů. Hledání rovnovážných bodů bylo bohatě demonstrováno na konkrétních příkladech. Některé příklady byly ilustrovány obrázky. Uvedli jsme si několik známých diskrétních her, ve kterých jsme našli Nashova ekvilibria v čistých i ve smíšených strategiích. Popsali jsme si i základní ekonomické oligopolistické modely. Cournotův model jsme podrobně ilustrovali na příkladu lineární inverzní poptávkové funkce a lineárních nákladových funkcí. Na tomto příkladu jsme provedli podrobnou analýzu krajních řešení a nastínili obecný postup. Čtenář by nyní měl rozumět základním principům a měl by být schopen hledat rovnovážné body v některých jednoduchých úlohách. Zájemce o hlubší porozumění problematiky teorie her odkazujeme na literaturu.

32 Literatura [1] Aubin, J. P.: Optima and Equilibria, Springer-Verlag, Berlin, [2] Başar, T., Olsder, G. J.: Dynamic Noncooperative Game Theory, Academic Press, New York, [3] Gravelle, H., Rees, R.: Microeconomics, 2nd edition, Longman, New York, [4] Nash, J.: Non-cooperative games, Annals of Mathematics, vol. 54, no. 2, 1951, str [5] Owen, G.: Existence of equilibrium pairs in continuous games, International Journal of Game Theory, vol. 5, no. 2 3, 1976, str [6] Vorobjev, N. N.: Game theory, Lectures for economists and System Scientists, Springer-Verlag, New York, 1985.