DYNAMIKA. Ing. Lubomír Houfek, Ph.D. Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky. Brno, 2011

Transkript

1 DYNAMIKA Přednášky Ing. Lubomír Houfek, Ph.D. Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky Fakulta strojního inženýrsví VUT v Brně Brno, 2011 Podklady ještě neprošly finální korekturou, mohou se v ní proto vyskytovat chyby. Pro kontrolu viz skripta Mechanika těles - Dynamika, Prof. Kratochvíl, Prof. Slavík.

2 Obsah 1 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Hybnost hmotného bodu Pohybová rovnice impulsová věta Práce, Výkon d Alembertův princip Zákon zachování energie Kinetická energie Potenciální silové pole, potenciální energie Zákon zachování energie Zákon o změně hybnosti Moment hybnosti Pohybová rovnice pro rotační pohyb impulsová věta Zákon o změně momentu hybnosti Vázaný pohyb hmotného bodu Složený pohyb, dynamika složeného pohybu Řešení dynamiky hmotného bodu v přirozených souřadnicích DYNAMIKA SOUSTAV HMOTNÝCH BODŮ Analýza pohybu jednotlivých těles Analýza pohybu jako celku MOMENTY SETRVAČNOSTI Momenty setrvačnosti Tenzor setrvačnosti Souřadnicové systémy Steinerova věta DYNAMIKA TRANSLAČNÍHO POHYBU TĚLESA Hybnost Moment hybnosti Pohybová rovnice Kinetická energie ROTAČNÍ POHYB TĚLESA Hybnost a moment hybnosti Pohybové rovnice Kinetická energie Detailní rozbor rotačního pohybu Vyvažování tuhých těles Eliminace silových účinků - statické vyvažování Eliminace momentových účinků - dynamické vyvažování

3 6 OBECNÝ ROVINNÝ POHYB Hybnost a moment hybnosti Pohybové rovnice Pro obecný referenční bod Pro referenční bod těžiště Kinetická energie obecného rovinného pohybu Analýza chování válečku SFÉRICKÝ POHYB Hybnost a moment hybnosti Pohybové rovnice Kinetická energie Technicky využitelné případy sférického pohybu Regulární precese Těžký setrvačník Lehký setrvačník DYNAMIKA SOUSTAV TĚLES Metoda uvolňovací Metoda redukce Metoda obecné rovnice dynamiky Lagrangeovy rovnice 2. druhu ÚVOD DO ANALYTICKÉ MECHANIKY Druhy vazeb Druhy posunutí Zobecněné souřadnice Zobecněné síly Princip virtuálních prací Lagrangeovy rovnice 2. druhu LINEÁRNÍ KMITÁNÍ S 1 VOLNOSTI Pohybová rovnice Homogenní řešení Volné netlumené kmitání Volné tlumené kmitání Partikulární řešení Vzorový příklad KMITÁNÍ S VÍCE STUPNI VOLNOSTI Volné netlumené kmitání Vybuzené kmitání ÚVOD DO NELINEÁRNÍHO KMITÁNÍ Přibližné metody řešení nelineárních pohybových rovnic Rozvoj do Taylorovy řady Metoda přímé linearizace Metoda ekvivalentní linearizace Přechodové charakteristiky

4 13 RÁZ TĚLES Přímý centrální ráz Nepřímý ráz Střed rázu EXPERIMENT Měřící řetězec Snímače Typy snímačů

5 1 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Hmotný bod: (Bodové těleso) - jedná se o model reálného objektu, u kterého předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech působících sil do jednoho bodu. Neuvažujeme tedy prostorové uspořádání reálného objektu. Hmotný bod má z hlediska pohybového stavu 3 stupně volnosti - translace ve všech souřadnicových směrech (translace ve třech na sobě kolmých směrech). Neuvažuje se rotace okolo sebe sama, hmotný bod může rotovat okolo jiného bodu. 1.1 Hybnost hmotného bodu Pohybový stav hmotného bodu je dán fyzikální veličinou hybnost, definovanou dle vztahu H = m v H 1 = mv Pohybová rovnice Dle 2. Newtonova zákona platí F = d H dt F 1 = dh 1 dt Pohybuje-li se hmotný bod normální rychlostí, tj. nedosahuje-li ani třetiny rychlosti světla ve vakuu (což většina technických objektů splňuje), tak platí F = dm v dt = m d v dt = m a F = m a F 1 = ma 1 Pozn.: Uvedený zápis je soustavou tří rovnic, protože každý vektor lze rozložit do tří složek na sebe kolmých, takže dostaneme: F x = ma x F x a x F y = ma y F y = m a y F z = ma z F z 1 a z 1

6 Příklad: Pohybové rovnice: x : F 1 = ma y : F 2 = 0 V reálných aplikacích lze dosáhnout vhodnou volbou souřadného systému snížení počtu pohybových rovnic na 2 nebo dokonce na jednu impulsová věta Vyjdeme z 2. Newtonova zákona: F = d H dt F dt = d H integrujeme od 1. časového okamžiku do 2. Hybnost je veličina energetická, zajímají nás jen rozdíly stavů a ne jak se měnil její průběh. 2 1 F dt = H 2 H 1 1. impulsovou větu lze definovat takto: Časová změna síly (impuls) způsobí změnu hybnosti tělesa (bud hmotnost nebo rychlost) F dt = H 2 H 1 1 F 1 dt = H 12 H 11 2

7 1.4 Práce, Výkon Pohybuje-li se těleso po nějaké dráze d r za působení nějaké síly F, pak vykoná mechanickou práci časová změna práce je výkon P = da dt P = d F d r dt da = F d r da = F T 1 dr 1 = = d F v dp = F d v dp = F T dv 1.5 d Alembertův princip Je založen na statických předpokladech. Zavádí novou sílu do silového zatížení - d Alembertovu nebo také setrvačnou sílu. d Alembertův princip lze formulovat: Součet všech sil působících na těleso se rovná síle setrvačné F = F s F1 = F s 1 Rozdíl oproti Newtonovu pojetí Newtonova metodika pracuje s reálnými silami a řeší kinematiku pohybu, d Alembertův princip zavádí fiktivní setrvačnou sílu. Tato síla působí proti předpokládanému pohybu a je možné ji definovat F s = m a F 1 = ma 1 3

8 Příklad: 1.6 Zákon zachování energie Kinetická energie Vyjdeme-li z Newtonova 2. pohybového zákona, můžeme obě strany vynásobit elementem dráhy d r F d r = m d v dt F = d H dt ( ) mv 2 d r = m d v v = d = de k 2 da = de k E k = 1 2 mv2... kinetická energie Platí: 2 1 F d r = mv2 1 2 mv2 0 2 A = E k1 E k0 Změna kinetické energie je rovna práci působících sil. 4

9 1.6.2 Potenciální silové pole, potenciální energie Jestliže síla F, která působí na těleso, je v nějakém prostoru funkcí polohy, pak je tento prostor nazýván silové pole. Toto silové pole je potenciální, jestliže platí následující předpoklady: a) Síly, které v tomto poli působí, mají potenciál jsou funkcí pouze polohy Př.: 1. Zemské tíhové pole: F G = m g 2. Síla v pružině b) Práce, kterou vykonávají síly, závisí na počátečním a koncovém stavu a nezávisí na průběhu, jak se z počátečního stavu dostane do stavu koncového. Z tohoto předpokladu vyplývá, že síly musí být konzervativní, tj. soustava bez pasivních odporů. Pak práce vykonaná těmito silami po uzavřené křivce je nulová. F d r = 0 Za těchto předpokladů můžeme práci po nějaké křivce vyjádřit vztahem 2 A = du(x, y, z) kde U(x, y, z) je potenciální silová funkce. Platí pro ni: 1 du = U x dx + U y dy + U z dz = F x dx + F y dy + F z dz Z tohoto zápisu lze odvodit F = grad U 5

10 Místo silové potenciální funkce lze zavést její zápornou hodnotu - potenciální energii U(x, y, z) = E p Potenciální energie je skalární funkce, která závisí na poloze. Lze pro ni psát da = de p Platí 2 F d r = E p0 E p1 1 Rozdíl potenciální energie mezi polohou 0 a 1 je roven práci potřebné k přemístění tělesa z 0 do Zákon zachování energie Porovnáním dvou předchozích výsledků lze psát A = F d r = E k1 E k0 = E p0 E p1 a odtud pak platí E k1 + E p1 = E k0 + E p0 = konst. konají-li při pohybu tělesa práci pouze konzervativní síly, je součet kinetické a potenciální energie konstatní Příklad: Potenciální energie pružiny F = kx da = de p E p0 = 0 6

11 2 F d r = E p0 E p1 1 7

12 x 0 [ x 2 kx dx = E p k 2 ] x 0 = E p E p = 1 2 kx2 Potenciální energie tíhového pole F G = mg 2 1 F G dx = E p1 mgh = E p mg[x] h 0 = E p Pozn: Maticový zápis energií se provádí v tzv. kvadratické formě proměnných ve tvaru: E = 1 2 at /Aa symbolicky Např. kinetická energie E k = 1 2 vt /Mv Potenciální energie pružiny E k = 1 2 xt /kx 8

13 1.7 Zákon o změně hybnosti Opět vyjdeme z 2. Newtonova zákona m a = F a rozepíšeme a = d v dt m d v dt = F md v = F dt Zintegrujeme m( v 2 v 1 ) = 2 F dt H 2 H 1 = F dt H 12 H 11 = F 1 dt 1 Změna hybnosti je dána integrálem časového průběhu působící síly. Je-li součet sil působících na hmotný bod nulový, hybnost se nemění Moment hybnosti Koná-li hmotný bod rotační pohyb kolem pevného bodu, platí: v = ω R a = α R + ω v M o = R F H = m v Potom moment hybnosti je definován bo = R H b o1 = r 1 H 1 Moment hybnosti popisuje pohybový stav tělesa, které vykonává rotační pohyb. 1.9 Pohybová rovnice pro rotační pohyb Analogicky k 2. Newtonovu zákonu lze psát: M = d b o dt 9

14 impulsová věta Vyjdeme z pohybové rovnice pro rotační pohyb zintegrujeme M o = d b o dt Mo dt = d b o M dt = b o2 b o1 1 M 1 dt = b o21 b o11 Platí: Časová změna momentu způsobí změnu momentu hybnosti Zákon o změně momentu hybnosti Vyjdeme ze vztahu M o = d b o dt a převedeme do tvaru M o dt = d b o a zintegrujeme M dt = b o2 b o1 1 M 1 dt = b o21 b o11 Změna momentu hybnosti je dána integrálem časového průběhu působícího momentu. Je-li součet momentů k nějakému bodu nebo ose nulový, moment hybnosti se nezmění Vázaný pohyb hmotného bodu a) Newtonův princip Každá z vazeb odebírá stupně volnosti volnému tělesu. každou z vazeb můžeme uvolnit a nahradit vazebnými silami. Dostaneme: F + F vaz = m a F 1 + F vaz1 = ma 1 10

15 b) Lagrangeovy rovnice 1. druhu Tento přístup k řešení vázaného pohybu vychází z analytické mechaniky (spíše orientované na energetický přístup). Lagrangeova rovnice 1. druhu je definována F + λ grad f = m a kde λ... Lagrangeián f... rovnice vazby ve tvaru f(x, y, z) = 0 Lagrangeián je definován: λ = ( f x F N ) 2 ( ) 2 ( ) 2 + f y + f z Pozn.: Řešení pomocí Lagrangeovy rovnice 1. druhu předpokládá, že ve vazbách nedochází k disipaci energie, tj. že nedochází ke tření. Příklad: a) Pohyb po přímce Přímka je popsána rovnicí: y = kx + q rovnice vazby je pak: f = y kx q = 0 f x = k λ = f y = 1 F N k f z = 0 b) Pohyb po kružnici x 2 + y 2 = r 2 f = x 2 + y 2 r 2 = 0 f x = 2x f y = 2y f z = 0 λ = F N 4(x2 + y 2 ) 11

16 1.13 Složený pohyb, dynamika složeného pohybu Složený pohyb se skládá z pohybu unášivého a pohybu relativního. Z kinematiky platí: x a = x u + x r v a = v u + v r a a = a u + a r + a cor Potom pro pohybovou rovnici platí: F = m a a = m( a u + a r + a cor ) F 1 = m(a u1 + a r1 + a cor1 ) Pozn.1: Pokud by se řešil složený pohyb pomocí d Alembertova principu, bylo by nutné zavést tři setrvačné síly setrvačnou sílu unášivou setrvačnou sílu relativní Coriolisovu setrvačnou sílu Pozn.2: Kinetická energie složeného pohybu E k = 1 2 m v a 2 = 1 2 m ( v u + v r ) 2 tzn. je třeba přepočítat vektorově velikost absolutní rychlosti. 12

17 1.14 Řešení dynamiky hmotného bodu v přirozených souřadnicích Přirozené souřadnice jsou: - normála... n - tečna... τ - binormála... b Z těchto tří jednotlivých vektorů se skládá průvodní trojhran: platí b = n τ. Pohybové rovnice jsou pak následující n : τ : b : a n... normálové zrychlení: a n = v2 R a τ... tečné zrychlení: a τ = dv dt a b... tečné zrychlení: a b = 0 ma n = F n ma τ = F τ ma b = F b (R.. poloměr trajektorie) Celkové zrychlení je pak a = a 2 n = a 2 τ + a 2 b 13

18 Příklad: 1) Kinematický rozbor: těleso koná složený pohyb 14

19 2) Silový rozbor n : N 1 = m(a 32n +a cor +a 21n sin ϕ a 21τ cos ϕ 32 2 ) τ : T 1 T 2 = m( a 21n cos ϕ a 21τ sin ϕ a 32τ) a cor = 2ω 21 v 32 b : N 2 F G = 0 a 32n = ϕ 2 32R ( ω 32 R) a 21n = ω 2 21a T 1 = f 1 N 1 a 32τ = ϕ 32 R (α 32 R) a 21τ = α 21 a T 2 = f 2 N 2 a 2 = R 2 + R 2 + 2R 2 cos ϕ 32 15

20 2 DYNAMIKA SOUSTAV HMOTNÝCH BODŮ Model hmotného bodu není až na malé výjimky použitelný obecně pro řešení úloh dynamiky pro reálné soustavy. Daleko lepším přístupem k řešení se jeví použití více bodů. Reálnou součást pak modelujeme jako soustavu hmotných bodů spojených navzájem tuhými vazbami. Provádíme tzv. diskretizaci, kdy hmotnost daného tělesa vhodně soustředíme do několika hmotných bodů tak, aby zůstaly zachovány vlastnosti původního tělesa (těžiště,..) Existují dva přístupy k řešení dynamiky soustav hmotných bodů 1. Analýza pohybu samostatných těles (uvolnění) 2. Analýza pohybu jako celku 2.1 Analýza pohybu jednotlivých těles Tento přístup spočívá v uvolnění jednotlivých hmotných bodů, zavedení vazebních sil a sepsání pro každý takto uvolněný hmotný bod pohybovou rovnici. Dostáváme soustavu n rovnic. Tuto soustavu musíme doplnit doplňkovými rovnicemi, kinematickými vazbami a vazebnými podmínkami. Celou tuto soustavu dále řešíme. 16

21 Pohybová rovnice i-tého tělesa: F i + n 1 j=1 n 1 F ij = m a i F i1 + F ij1 = ma i1 Nevýhoda tohoto přístupu: Soustava rovnic může být velmi rozsáhlá a její řešení může být značně komplikované. Výhoda: Získáme komplexní řešení, tj. všechny kinematické i silové parametry soustavy hmotných bodů. j=1 2.2 Analýza pohybu jako celku Z geometrie platí: r T = r i + r it v T = v i + v it a T = a i + r at Pro těžiště platí: r T = mi r i mi Z toho derivací dostaneme r T mi = m i r i v T mi = m i v i a T mi = m i a i 17

22 a) Hybnost a moment hybnosti Hybnost a moment hybnosti určují pohybový stav soustavy hmotných bodů. Hybnost: H = mi v i dosazením H = m i v T a za předpokladu m i = m dostaneme H = m v T H 1 = mv T1 Moment hybnosti: bo = boi = r i m i v i Platí Dosazením dostaneme r i = r T r it v i = v T v it bo = [( r T r it ) m i ( v T v it )] = = [ ] r T m i v T r } T {{ m i v it} r } it {{ m i v T} + r it m i v it =0 =0 bo = r T m i v T + r it m i v it bo = r T m v T + r it m i v it b o1 = r T1 mv T1 + r it 1 m i v it 1 b) Pohybové rovnice Pohybové rovnice dostaneme jako totální diferenciál podle času hybnosti, resp. momentu hybnosti F = d H dt M o = d b o dt 18

23 dostaneme F = d H dt = md v T dt = m a T F = m a T F 1 = ma T1 M o = d b o dt = d ( r T m v T + rit m i v it ) dt Potom M o = v } T {{ m v T} + r T m a T + v it m i v it + r it m i a it }{{} =0 =0 M o = r T m a T + r it m i a it M o1 = r T1 ma T1 + r it 1 m i a it 1 Poznámky: 1) Rovnice jsou navzájem vázané, v obou se vyskytuje a T. Toto není ideální z hlediska řešení. Mnohem jednodušší je řešit dvě nezávislé rovnice. Do tohoto stavu lze rovnice převést vhodnou volbou souřadného systému. Zvolíme-li počátek souřadného systému do těžiště, bude vektor r T = 0 a momentová pohybová rovnice přejde do tvaru M o = r it m i a it 2) Rovnice řeší translační i rotační pohyb (natáčení soustavy hmotných bodů) obecný rovinný pohyb. Je-li počátek souřadného systému v těžišti, pak silová pohybová rovnice řeší translační pohyb a momentová pohybová rovnice řeší rotační pohyb. c) Kinetická energie Kinetická energie soustavy hmotných bodů je dána vztahem E k = 1 2 mi v 2 i 19

24 Dosadíme-li za v i, dostaneme E k = 1 mi ( v T v it ) 2 = 1 mi (vt 2 2v T v it + vit 2 ) = 2 2 Dostáváme = 1 ( mi vt 2 2m i v T v it + m i vit 2 2 }{{} =0 ) E k = 1 2 mv2 T mi v 2 it Tomuto vztahu se říká Königova věta. Výsledná kinetická energie se skládá ze dvou částí. První část má souvislost s translačním pohybem a udává rychlost těžiště, druhá část má souvislost s rotačním pohybem a jedná se o rychlosti jednotlivých hmotných bodů okolo těžiště. 3 MOMENTY SETRVAČNOSTI Moment setrvačnosti udává míru setrvačných účinků při rotačním pohybu tělesa. Lze definovat následující momenty setrvačnosti (všechny [kgm 2 ]): 1. Osové 2. Rovinné 3. Polární 4. Deviační 20

25 3.1 Momenty setrvačnosti Osové momenty setrvačnosti I x = (y 2 + z 2 ) dm I y = (x 2 + z 2 ) dm m I z = m m (x 2 + y 2 ) dm Rovinné momenty setrvačnosti I xy = z 2 dm I xz = y 2 dm I yz = x 2 dm m m m Polární moment setrvačnosti I p = m (x 2 + y 2 + z 2 ) dm Deviační momenty setrvačnosti D xy = xy dm D xz = xz dm D yz = yz dm m m m 3.2 Tenzor setrvačnosti I = I x D xy D xz D xy I y D yz D xz D yz I z Vykazuje tenzorové vlastnosti. Lze jím rotovat (rotace souřadnicového systému) a tím dosahovat zvláštních stavů. 21

26 3.3 Souřadnicové systémy Hlavní souřadnicový systém Je to takové natočení tenzoru setrvačnosti, kdy jsou mimodiagonální prvky nulové (deviační momenty). Souřadnicový systém odpovídající tomuto natočení je hlavní souřadnicový systém. Tenzor setrvačnosti má pro hlavní souřadnicový systém tvar I = Určení hlavního souřadnicového systému: I x I y I z 1) Má-li těleso osu symetrie, pak na této ose leží jedna z os hlavního souřadnicového systému. 2) Má-li těleso rovinu symetrie, pak v této rovině leží dvě na sebe kolmé osy, které jsou součástí hlavního souřadnicového systému. 3) Má-li těleso dvě roviny symetrie, pak jejich průsečnice je osou hlavního souřadnicového systému. Centrální souřadnicový systém Je to takový souřadnicový systém, který probíhá těžištěm tělesa. Hlavní centrální souřadnicový systém Je to takový souřadnicový systém, který je hlavní, tzn. (D xy = D yz = D xz = 0) a probíhá těžištěm. 3.4 Steinerova věta Slouží k určování momentů setrvačnosti pro souřadné systémy, které neleží v těžišti, známe-li hodnotu momentu setrvačnosti v těžišti tělesa. Je obecně pro všechny momenty setrvačnosti možné ji definovat ve tvaru I p = I T + m (pos) 2 I p... moment setrvačnosti posunutého bodu I T... moment setrvačnosti v těžišti pos... vzdálenost mezi těžištěm a posunutým bodem 22

27 Příklad Určete moment setrvačnosti tenkého disku k ose procházející těžištěm I z = m (x 2 + y 2 ) dm dm = ρdv = 2πRdRLρ x 2 + y 2 = R 2 R R I z = R 2 2πρLR dr = 2πρLR 3 dr = 0 0 = 2πρL R4 4 = 1 2 πρlr4 Víme, že m = ρv = ρπr 2 L tudíž po dosazení vychází, že platí: I z = 1 2 mr2 23

28 4 DYNAMIKA TRANSLAČNÍHO POHYBU TĚLESA Translační pohyb tělesa je definován tak, že spojnice dvou libovolných bodů má při pohybu stále stejný směr. Platí tedy, že všechny body mají stejné dráhy, stejné rychlosti a stejná zrychlení. Proto je pohyb tělesa při translačním pohybu určen pohybem jednoho bodu. Tímto bodem necht je těžiště. Dynamika translačního pohybu tělesa je tak totožná s translačním pohybem hmotného bodu. 4.1 Hybnost H = m v H 1 = mv Moment hybnosti Moment hybnosti k těžišti je nulový, protože ω = 0 b0 = 0 b o1 = 0 1 Moment hybnosti k libovolnému jinému bodu je b0 = r H b o1 = R 1 h 1 24

29 4.3 Pohybová rovnice Je definována jako derivace hybnosti, eventuálně momentu hybnosti za čas. F = d H dt = md v dt = m a F 1 = ma 1 M o = d b o d t = Kinetická energie Kinetická energie je definována pro translační pohyb: E k = 1 2 mv2 5 ROTAČNÍ POHYB TĚLESA Těleso vykonává rotační pohyb, jestliže v něm existuje přímka, pro kterou platí, že všechny její body mají nulovou rychlost. Tato přímka se jmenuje osa rotace. 5.1 Hybnost a moment hybnosti Zvolíme-li počátek souřadného systému na osu rotace, je hybnost nulová H = 0 Moment hybnosti lze odvodit z definičního vztahu bo = r H Převedeme-li si jej do diferenční podoby, bude pak d b o = r d H d H = v dm v = ω r d b o = r ( ω r) dm 25

30 Maticově lze tento vztah možné vyjádřit kde pak R 1 = 0 z y z 0 x y x 0 d b x d b y d b z = db o1 = R 1 Ω 1 r 1 dm Ω 1 = 0 z y z 0 x y x 0 0 ω 0 ω ω 0 ω r 1 = x y z dm x y z d b x d b y d b z = 0 z y z 0 x y x 0 ωy ωx 0 dm = ωxz ωyz ω(x 2 + y 2 ) dm b0 = m ωxz ωyz ω(x 2 + y 2 ) dm = m ωxz dm ωyz dm ω(x 2 + y 2 ) dm = = m m m ωxz dm ωyz dm ω(x 2 + y 2 ) dm = ω xz dm m ω yz dm m ω (x 2 + y 2 ) dm m ωd xz = ωd yz ωi z b o1 = I 1 ω 1 kde ω = ω x ω y ω z = 0 0 ω 26

31 Jestliže je souřadnicový systém hlavní centrální, pak platí, že D xy,d yz,d xz = 0 a pak je moment hybnosti bo = I o ω 5.2 Pohybové rovnice F = d H dt M o = d b o dt F = 0 M = d I o ω dt = I o d ω dt = I o α M = I o α M 1 = I o1 α Kinetická energie Kinetická energie je pro rotační pohyb definovaná ve tvaru E k = 1 2 I oω 2 a maticově E k = 1 2 ωt I o ω 5.4 Detailní rozbor rotačního pohybu Rotační pohyb je jeden z technicky nejdůležitějších pohybů, který je ve velké míře používán v technických aplikacích. Je proto důležité si jej podrobněji rozebrat. 27

32 Jako model si vybereme těleso dle obrázku Pohybové rovnice jsou následující: kde F1 = ma 1 Mo1 = I 1 α 1 a M = αr M + Ωv M = a τ + a n v M = Ωr M r M = x y z Ω = 0 ω 0 ω a = 0 α 0 α

33 pak v M = 0 ω 0 ω x y z = ωy ωx 0 α M = 0 α 0 α α M = x y z + αy ω 2 x αx ω 2 y 0 0 ω 0 ω ωy ωx 0 Momentovou rovnici lze rozepsat na tvar M = r a dm Pak je výhodné si vyřešit i vektorový součin r a m kde pak Ra M = 0 z y z 0 x y x 0 R = r a = Ra M 0 z y z 0 x y x 0 αy ω 2 x αx ω 2 y 0 = αxz + ω 2 yz αyz ω 2 xz α(x 2 + y 2 ) Potom lze sepsat pohybové rovnice v následujícím tvaru: F x : F Ax + F Bx + F V x = α m y dm ω 2 m x dm 29

34 F y : F Ay + F By + F V y = α x dm ω 2 y dm m m F z : F Az F G + F V z = 0 M x : F By L + F G y T + M V x = α m xz dm + ω 2 m yz dm M x : F Bx L + F G x T + M V y = α m yz dm ω 2 m xz dm M z : M V z = α m (x 2 + y 2 ) dm Platí: y dm = y T m xz dm = D xz m x dm = x T m m yz dm = D yz m m (x 2 + y 2 ) dm = I z m Pak lze rovnice přepsat do tvaru Fx = ( αy T ω 2 x T )m Fy = (αx T ω 2 y T )m Fz = 0 Mx = αd xz + ω 2 D yz My = αd yz ω 2 D xz Mz = I z α V maticové podobě F2 = m(α 2 + Ω 2 2)r T 2 M2 = I 2 α 2 + Ω 2 I 2 ω 2 kde pro jednoduchost jsou použity spolurotující souřadnice. 30

35 Pozn.: Odvození vzthau pro momentovou rovnici M o = d b o dt b = r H H = m v b = r v m d b = r v dm M = d( r v dm) dt = ( d r dt ) d v v + r dm dt ( v }{{ v } + r a)dm M = =0 m r a dm Poznámka k dosaženým pohybovým rovnicím Prvních 5 pohybových rovnic (3F + 2M) představuje silovou a momentovou rovnováhu. Jediná pohybová rovnice je poslední momentová. K výpočtu sil v ložiscích je zapotřebí prvních pět rovnic. Z nich se ukazuje, že síly v ložiscích nejsou závislé jen od vnějšího zatížení, reprezentované silovou a momentovou výslednicí, ale zavisí i od úhlové rychlosti ω a od úhlového zrychlení α. To je poměrně nepříjemná situace, protože tyto mohou nabývat relativně vysokých hodnot, často přesahují i hodnoty vnějšího silového působení. Je tedy snaha eliminovat tyto silové a momentové účinky. Snižovat ω a α není technicky realizovatelné. Jedinou cestou, jak dosáhnout, aby tyto účinky byly nulové, je docílit stavu, kdy x T = y T = D xy = D yz = 0 a nebo se tomuto budou blížit. Uvedenému postupu se říká vyvažování tuhých těles. 5.5 Vyvažování tuhých těles Cílem vyvažování tuhých těles je eliminovat přidané silové a momentové účinky. Tyto přidané účinky jsou závislé na úhlové rychlosti ω a na úhlovém zrychlení α Eliminace silových účinků - statické vyvažování Při statickém vyvažování se snažíme odstranit přidané zatěžující účinky, které se nacházejí v silových pohybových rovnicích. Tyto účinky se budou blížit nule, budeli 31

36 x T 0 y T 0 32

37 Snahou i cílem statického vyvažování je dosáhnout toho, aby těžiště leželo v ose rotace. Při statickém vyvažování eliminujeme vliv tíhové síly. Tato síla má charakter volného vektoru a proto si ji můžeme vhodně posouvat na tělese. Stačí nám tedy vyvažovat v jedné vyvažované rovině. Technické provedení a) Lehký stroj - jedná se o vyvažování za klidu. Stroj umístíme na vyvažovací trny a nastaví se tak, že těžiště je pod osou rotace. Na protilehlou stranu přidáme hmotu tak, abychom dosáhli toho, že se motor po novém usazení nebude otáčet. Veličina, která charakterizuje míru nevyváženosti, se nazývá nevývaha a je vyjádřena vztahem N = me [kgm] e je excentrita - udává, o kolik je těžiště vychýleno z osy rotace. Musí platit me = m p p p je většinou jasně dána bud konstrukčně nebo technologicky. b) Těžký stroj - jedná se o vyvažování za rotace. Většina těles je poměrně hmotná a tak není možné je vyvažovat na vyvažovacích trnech. Proto jsou za tímto účelem konstruovány speciální stroje - vyvažovačky, které mají v ložiscích zabudované měřící prvky, které jsou schopny zjišt ovat parametry, které jsou nezbytné pro správné vyvážení, jako jsou excentrita, poloha excentrity, poloha těžiště, působící síly v ložiscích apod. 33

38 5.5.2 Eliminace momentových účinků - dynamické vyvažování Při dynamickém vyvažování se snažíme odstranit přidané zatěžující účinky, které se nacházejí v momentových pohybových rovnicích. Tyto účinky se budou blížit nule, pokud bude D xz 0 D yz 0 Snahou i cílem při dynamickém vyvažování je dosáhnout stavu, kdy osa rotace je hlavní osou setrvačnosti Při dynamickém vyvažování eliminujeme vliv momentu. Moment lze modelovat jako silovou dvojici, je proto nutné vyvažovat minimálně ve dvou vyvažovacích rovinách. Technické řešení je možné pouze za rotace. Za klidu se tento vliv vůbec neprojeví. Provádí se opět na speciálních strojích jako v případě statického vyvažování. 34

39 6 OBECNÝ ROVINNÝ POHYB Jedná se o takový pohyb tělesa, jehož body opisují křivky v rovnoběžných rovinách. Obecný rovinný pohyb se skládá z pohybu translačního, reprezentovaného referenčním bodem a pohybu rotačního okolo tohoto referenčního bodu. Těleso, které koná obecný rovinný pohyb, má 3 stupně volnosti - traslace ve dvou na sebe kolmých směrech a rotace okolo osy, která je kolmá na směry translace. 6.1 Hybnost a moment hybnosti r M = r T + r MT v M = v T + v MT a M = a T + a MT Statický moment: r MT dm = 0 v MT = ω r MT m Hybnost tělesa při obecném rovinném pohybu je definovaná následovně dh = v M dm = ( v T + ω r MT ) dm = v T dm + ( ω r MT ) dm H = v T dm + ( ω r MT ) dm m m } {{ } =0 35

40 H = m v T H 1 = mv T 1 Pro moment hybnosti vyjdeme ze vztahu d b o = r M v M dm = ( r T + r T M ) ( v T + v T M ) dm = = r T v T dm + r } T v {{ T M dm } + r } T M {{ v T dm } + r T M v T M dm =0 =0 bo = ( r T v T ) dm + ( r T M v T M ) dm m m v T M = ω r T M bo = ( r T v T )m + ( r T M ω r T M ) dm m ( r T M ω r T M ) dm R 1 Ω 1 r 1 dm pak R 1 = m 0 z y z 0 x y x 0 m T M 0 z y z 0 x y x 0 Ω 1 = m 0 ω 0 ω ω 0 ω r 1 = x y z dm x y z T M m 0 z y z 0 x y x 0 ωy ωx 0 dm = m ωxy ωyz ω(x 2 + y 2 ) dm = = ω xy dm yz dm (x 2 + y 2 ) dm = ω D xy D yz I z 36

41 bo = I o ω b o1 = I o ω Pohybové rovnice Pro obecný referenční bod Vyjdeme z hybnosti a momentu hybnosti F = d H dt M o = d b o dt F = dm v T dt = m d v T dt = m a T F = m a T F 1 = ma T 1 M o = d b o dt = di o ω dt + d( r T v T )m dt ( d ω = I o dt + m d rt dt v T + r T d v ) T = dt = I o α + m( v } T {{ v T} + r T a T ) = I o α + ( r T a T )m =0 M o = I o α + ( r T a T )m M o1 = I o α 1 + (R 1 a 1 )m V momentové pohybové rovnici se vyskytuje zrychlení a silová a momentová rovnice jsou spolu svázány. Tuto vazbu je možné změnit tak, že opět zvolíme za referenční bod těžiště Pro referenční bod těžiště Silová pohybová rovnice se nezmění F = m a T F 1 = ma 1 V momentové rovnici se druhý člen stane nulovým, takže pohybová rovnice má tvar M o = I o α M 1 = I o α 1 37

42 K této soustavě pohybových rovnic je nutné doplnit soustavu doplňkových rovnic, které udávají vazbu mezi translačním a rotačním pohybem. Doplňkové rovnice jsou pro řešení nutné. Poznámka z kinematiky Úhlová rychlost kolem pólu rychlosti a kteréhokoliv dalšího bodu tělesa jsou stejné. 6.3 Kinetická energie obecného rovinného pohybu Kinetická energie je dána součtem kinetických energií pro translační pohyb a kinetické energie pro rotační pohyb. Jako referenční bod se předpokládá, že je zvoleno těžiště. E k = 1 2 mv2 T I oω Analýza chování válečku a) Váleček koná translační pohyb - dochází ke smýkání Těleso má jeden stupeň volnosti, pohyb je translační. Pohybová rovnice má tvar: F T = ma Statická rovnice: Doplňková rovnice: F G = N T = f N 38

43 b) Váleček koná rotační pohyb Těleso má jeden stupeň volnosti, pohyb je rotace. Pohybová rovnice má tvar: F R T R = I o α Statická rovnice: Doplňková rovnice: F G = N T = f N c) Váleček se valí Těleso má dva stupně volnosti, pohyb je obecný rovinný. Pohybové rovnice jsou F F τ = m a F R Ne + F τ R = Iα Statická rovnice: F G = N Doplňková vazební rovnice: Kontrola předpokladu valení: a = Rα F τ < fn 39

44 7 SFÉRICKÝ POHYB Těleso koná sférický pohyb, jestliže existuje jeden bod tělesa, který je trvale v klidu. Trajektorie jsou křivky, které leží na kulové ploše. Jedná se o prostorové křivky. Těleso, které koná sférický pohyb, má 3 stupně volnosti a jedná se o 3 rotace kolem navzájem kolmých směrů. Z historického hlediska jsou vypracovány dva přístupy, které řeší kinematiku sférického pohybu. První přístup je řešení pomocí Cardanových úhlů. Jde o pootočení kolem jednoho směru, čímž se vytvoří nová poloha a následné pootočení kolem této nové polohy a další pootočení kolem takto vzniklé polohy. Přístup je poměrně speciální a složitý. Druhý přístup definoval Euler a pomocí tohoto přístupu definoval 3 úhly: - rotace ϕ - precese ψ - nutace ϑ a jim odpovídající úhlové rychlosti ϕ, ψ, ϑ Pro řešení sférického pohybu je výchozím bodem d Alembertův teorém: Sférický pohyb lze nahradit pohybem rotačním okolo okamžité osy otáčení. Na základě tohoto teorému definujeme okamžitou úhlovou rychlost ω = ϕ + ψ + ϑ 40

45 Vztah mezi složkami okamžité úhlové rychlosti a Eulerovými úhly nám definují Eulerovy vzorce ω y1 = ϕ sin ϑ cos ψ + ϑ sin ψ ω z1 = ϕ cos ϑ + ψ pro pevný souřadný systém a ω y2 = ψ sin ϑ cos ϕ + ϑ sin ϕ ω z2 = ψ cos ϑ + ϕ pro spolurotující systém souřadnic ω x1 = ϕ sin ϑ sin ψ + ϑ cos ψ ω x2 = ψ sin ϑ sin ϕ + ϑ cos ϕ Technicky zajímavými jsou případy, kdy je některý z Eulerových úhlů konstantní. Vezmeme-li jako konstantní úhel nutace, platí: ϑ = konst. ϑ = 0 Potom pro okamžitou úhlovou rychlost musí platit ω = ϕ + ψ α = d ω dt = dω e ω dt = dω dt e ω + ω d e ω dt = = e ω ω + ω ω ω změna velikosti + změna polohy dále platí ω ω = ψ 41

46 pro změnu polohy platí: ψ ( ϕ + ψ) a tato změna definuje Resalovo zrychlení α Res = ψ ( ϕ + ψ) = ψ ϕ + ψ ψ }{{} =0 α Res = ψ ϕ Podle vzájemné rotace rozeznáváme dva případy pohybu - precesí Souběžná precese Protiběžná precese 7.1 Hybnost a moment hybnosti r M = r T + r T M v M = v T + v T M a M = a T + a T M v M = ω r M Pro hybnost sférického pohybu platí stejné zákonitosti jako pro pohyb rotační s tím rozdílem, že při sférickém pohybu jsou všechny veličiny okamžité, tj. mění svůj směr i svou velikost. 42

47 dh = v M dm = ( ω r M ) dm = ω ( r T + r T M ) dm = ( ω r T + } ω {{ r T M} ) dm =0 dh = ( ω r T ) dm = v T dm H = v T dm = mv T H = m v T H 1 = mv T 1 v T je okamžitá rychlost, tj. opět mění svůj směr i velikost. Moment hybnosti je definován jako: d b o = r M d H = r M ( ω r M ) dm = R 1 Ω 1 r 1 dm R 1 = 0 z y z 0 x y x 0 Ω 1 = 0 ω z ω y ω z 0 ω x ω y ω x 0 r 1 = x y z pak 0 z y z 0 x y x 0 0 ω z ω y ω z 0 ω x ω y ω x 0 x y z = = 0 z y z 0 x y x 0 ω z y + ω y z ω z x ω x z ω y x + ω x y = ω z yz + ω y yz ω z xz + ω x xz ω y xy + ω x xy potom d b o = m ω z yz + ω y yz ω z xz + ω x xz ω y xy + ω x xy dm = I 1 ω 1 = b o1 b o1 = I 1 ω 1 43

48 Další, mnohem delší způsob odvození momentu hybnosti je následující. Vyjdeme ze spolurotujícího souřadného systému d b o2 = r 2 ( ω 2 r 2 ) dm a provedeme vektorové součiny, např. pomocí rozvoje determinantu ω 2 r 2 = r 2 ( ω 2 r 2 ) = i 2 j 2 k2 ω x ω y ω z x y z = i 2 (ω y z ω z y) }{{} i 2 j 2 k2 x y z a b c a = i 2 (yc zb) }{{} A + j 2 (ω z x ω x z) }{{} b + j 2 (za xc) }{{} B + k 2 (ω x y ω y x) }{{} c + k 2 (xb ya) }{{} C A = y(ω x y ω y x) z(ω z x ω x z) = ω x y 2 ω y xy ω z xz + ω x z 2 = = ω x (y 2 + z 2 ) ω y xy ω z xz B = z(ω y z ω z y) x(ω x y ω y x) = ω y z 2 ω z yz ω x xy + ω y x 2 = = ω x xy + ω y (x 2 + z 2 ) ω z yz C = x(ω z x ω x z) y(ω y z ω z y) = ω z x 2 ω x xz ω y yz + ω z y 2 = = ω x xz ω y yz + ω z (x 2 + y 2 ) Pak d b o2 = A B dm = (ω x (y 2 + z 2 ) ω y xy ω z xz) dm ( ω x xy + ω y (x 2 + z 2 ) ω z yz) dm = m C m ( ω x xz ω y yz + ω z (x 2 + y 2 )) dm = b o2 = ω x I x ω y D xy ω z D xz ω x D xy + ω y I y ω z D yz ω x D xz ω y D yz + ω z I z 44

49 b o2 = I 2 ω 2 Pomocí transformačních vztahů mezi souřadnými systémy lze tento vztah převést do pevného souřadného systému. b o1 = I 1 ω 1 Opět se zde jedná o okamžité veličiny, které mění svoji velikost i směr. 7.2 Pohybové rovnice Pohybové rovnice se odvodí ze své definice jako časové derivace hybnosti, resp. momentu hybnosti. Při derivování je potřeba dodržovat, že se v obou případech jedná o okamžité veličiny, tj. je potřeba provádět derivaci jako totální diferenciál. Pohybové rovnice lze v základním tvaru napsat v následující podobě F = H t + ω H H Mo = b o t + ω b o b o F 1 = H 1 t + Ω H1 H 1 M o1 = b o 1 t + Ω bo1 b o1 je úhlová rychlost, s jakou rotuje vektor hybnosti okolo okamžité osy ro- kde: ω H tace ω bo je úhlová rychlost, s jakou rotuje vektor momentu hybnosti okolo okamžité osy rotace První člen v obou rovnicích vyjadřuje časovou změnu, druhý změnu prostorovou. V případě, že souřadnicové osy budou hlavními osami setrvačnosti, pak jsou pohybové rovnice pouze momentové a lze je napsat v následujícím tvaru, rovnice se nazávají Eulerovy rovnice M x = I x α x + (I z I y ) ω y ω z M y = I y α y + (I x I z ) ω x ω z M z = I z α z + (I y I x ) ω y ω x 45

50 7.3 Kinetická energie Kinetická energie tělesa, které vykonává sférický pohyb lze napsat ve tvaru E k = 1 2 I oω 2 kde I o je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k okamžité ose otáčení. Lze ho vyjádřit jako součet momentů setrvačnosti k jednotlivým osám a dostaneme tvar E k = 1 2 I xω 2 x I yω 2 y I zω 2 z D xy ω x ω y D xz ω x ω z D yz ω y ω z což lze napsat v maticové podobě E k = 1 2 ωt 1 I 1 ω Technicky využitelné případy sférického pohybu Regulární precese Vychází ze skutečnosti, že úhel nutace je konstantní a tím pádem je úhlová rychlost nutace nulová. Vyskytuje se Resalovo úhlové zrychlení α Res α Res = ψ ϕ na základě tohoto Resalova zrychlení se v soustavě objeví přidaný moment, gyroskopický moment, který je definován M G = I α Res Tento gyroskopický moment nám může významně ovlivnit zatížení působící v uložení tělesa Těžký setrvačník Jedná se o model tělesa, které je zatíženo pouze jednou vnější silou a to tíhovou a je vázáno mimo těžiště. Tohoto setrvačníku se využívá hlavně ke stabilizaci pohybu. 46

51 7.4.3 Lehký setrvačník Jde o model tělesa, na které působí jedna vnější síla a těleso je vázáno v těžišti. Takto vázáný setrvačník má tendenci zachovávat po roztočení svoji polohu v prostoru a využívá se jako např. navigační zařízení. Příklad LETADLO Určit α Res, M G ϕ...rotace ψ...precese α Res = ψ ϕ Gyroskopický moment M G M G = I α Res 47

52 8 DYNAMIKA SOUSTAV TĚLES Stroje a technické objekty jsou zpravidla složeny z více těles. Jejich množství a složitost jsou dány složitostí daného problému. Cílem řešení problematiky je sestavit soustavu pohybových rovnic tak, abychom jejím řešením získali požadované veličiny. 8.1 Metoda uvolňovací Metoda převádí vyšetřování soustavy těles na řešení pohybu jednoduchých jednotlivých těles. Jedná se o univerzální metodu, umožňující celkové dynamické řešení soustavy. K pohybovým rovnicím je většinou nutno připojit kinematické rovnice a rovnice vazeb tak, aby počet rovnic byl roven počtu neznámých. Pokud se podaří vyloučit všechny závislé veličiny, budeme mít soustavu n rovnic pro soustavu s n stupni volnosti. Velkou výhodou metody je to, že jsme schopni získat všechny neznámé parametry soustavy. Příklad Tělesa konají následující pohyb: 1 - ORP 2 - RP 3 - TP Soustava má jeden stupeň volnosti. 48

53 Uvolnění: Těleso 3: F G3 F L1 = m 3 a 3 v 3 = ω 2 R 2 a 3 = α 2 R 2 Těleso 2: F Bx F L2 sin β = 0 F G2 + F By F L1 F L2 cos(90 β) = 0 M 2 + F L1 R 2 F L2 R 2 = I 2 α 2 ω 2 R 2 = ω 1 (R 1 + r 1 ) α 2 R 2 = α 1 (R 1 + r 1 ) v 1T = ω 1 R 1 a 1T = α 1 R 1 Těleso 1: F L2 F τ F G1 sin β = m 1 a 1 F v1 F G1 cos β = 0 M 1 + F L2 R 1 + F τ r 1 F N1 e = I 1 α 1 49

54 8.2 Metoda redukce Metoda vznikla z poznatku, že pro soustavu s jedním stupněm volnosti lze napsat pohybovou rovnici ve tvaru shodném s pohybovou rovnicí jediného tělesa, na které byly redukovány všechny momentové a silové charakteristiky soustavy. Jedná se tedy o nahrazení skutečné soustavy soustavou jednodušší, kde však nejsou všechny dynamické vlastnosti shodné se soustavou původní. Metoda je výhodná především pro soustavy, u kterých neuvažujeme tření. Řešením je právě jeden kinematický nebo silový parametr zkoumané soustavy. Nelze pomocí této metody vypočítat vnitřní silové účinky. Redukci provádíme zásadně bud na těleso, které koná translační nebo rotační pohyb. Redukovat těleso, které koná obecný rovinný pohyb, by bylo příliš složité. Při určování redukovaných hodnot vycházíme z rovnosti kinematických energií původní a redukované soustavy a z rovnosti prací nebo výkonů původní a redukované soustavy. Musí platit: E k,red = E k,skut A red = A skut nebo W red = W skut Příklad Zadání: Zjistěte zrychlení α 3 Redukujeme na třetí těleso, potřebujeme M red a I red, kinetické energie a výkony soustavy před a po redukci jsou stejné. 50

55 M red = I red α 3 E k,red = 1 2 I redω 2 3 = 1 2 I 3ω I 2ω I 1ω m 1v 2 1 T = E k,skut W red = M red ω 3 = M 3 ω 3 F G3 L 3 2 ω 3 + F G1 v 1T F 1 v 1T = W skut potřebujeme ω 2, ω 1 a v 1T v závislosti na ω 3, utvoříme tedy dané kinematické rovnice ω 3 L 3 = ω 2 R 2 ω 2 R 2 = ω 2 2R 1 v 1T = ω 1 R Metoda obecné rovnice dynamiky Metoda obecné rovnice dynamiky vychází z d Alembertova principu, pracuje se tedy se setrvačnými silami. K odvození obecné rovnice dynamiky se přistupuje přes princip virtuálních prací a princip virtuálních výkonů. Metoda je vhodná, chceme-li stanovit pouze jeden silový nebo kinematický parametr. Nefigurují v ní vnitřní silové účinky. Obecnou rovnici dynamiky si můžeme definovat ve tvaru ( Qi + Q ) si δ q i = 0 kde: Qi... zobecněný vnější silový účinek Q si... zobecněný setrvačný účinek δ q i... virtuální posuv i 51

56 8.4 Lagrangeovy rovnice 2. druhu Lagrangeovy rovnice 2. druhu jsou v současnosti nejužívanější metodou analytické mechaniky pro sestavování pohybových rovnic pro modelová tělesa a soustavy těles. Postup při sestavování pohybových rovnic je nezávislý na volbě souřadného systému. Další výhodou je skutečnost, že jedinými veličinami, které je třeba odvodit, jsou energie, což jsou veličiny skalární. Z odvozených rovnic jsou již od počátku vyřešeny vazbové síly, což dále zjednodušuje sestavování rovnic. Nevýhodou je to, že lze určit jen tolik nezávislých silových nebo kinematických parametrů, kolik je stupňů volnosti soustavy. Lagrangeovu rovnice 2. druhu je možné uvést ve tvaru ( ) d Ek E k + E p + E D = A = W dt q i q i q i q i q i q i kde: E k... kinetická energie soustavy E p... potenciální energie soustavy E D... disipativní energie soustavy A... práce vnějších sil W... výkon vnějších sil Pozn.: Gravitační síla F G - lze ji do pohybových rovnic zahrnout dvojím způsobem. Bud ve formě potenciální energie, nebo jako sílu vnější a tím do práce nebo do výkonu. Je však nutné, aby byla zahrnuta bud jedním nebo druhým způsobem, každopádně ne oběma, jinak se navzájem odečte. 9 ÚVOD DO ANALYTICKÉ MECHANIKY Vektorová mechanika vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi veškerými veličinami. V tom případě je nutno respektovat směr jejich pohybu a s ohledem na něj repsektovat smysl všech sil. Analytická mechanika vyjadřuje zákony mechaniky pomocí skalárních veličin. 9.1 Druhy vazeb Tvar geometrického vektoru, který omezuje volný pohyb bodového tělesa, určují podmínkové rovnice, které se nazývají rovnice vazby. Každá vazba snižuje určitý počet stupňů volnosti dle svého charakteru. 52

57 Rovnice každé vazby může být zobecněna do tvaru f(x, y, z, t) = 0 Takováto vazba se nazývá holonomní (zcela zákonitá). Vazby, které tuto podmínku nesplňují, se nazývají neholonomní. Příkladem je například tvar f(x, y, z, t) 0 Každá neholonomní vazba, která nezávisí explicitně na čase se nazývá skleronomní (tuhá), závisí-li na čase, nazývá se rheonomní (proměnlivá). v úlohách, kde se pracuje s pojmy jako práce, se musí rozlišovat, zda složky reakcí konají nebo nekonají práci. Pokud práci nekonají, mluvíme o vazbách konzervativních (ideálních). 9.2 Druhy posunutí Z hlediska analytické mechaniky je zcela jedno, zda se jedná o posunutí podélné nebo o úhlové natočení. Existují tři druhy posunutí a) Skutečné - je takové posunutí, které vyhovuje pohybové rovnici, okrajovým a počátečním podmínkám. Jeho posuv, který skutečně nastane. b) Možné - je takové posunutí, které vyhovuje pouze počátečním podmínkám. Možných posunutí bývá neskutečně mnoho, jsou omezeny jen rovnicí vazby a časovou závislostí. c) Virtuální - je to rozdíl mezi skutečným a možným posunutím δ r = r s r m Vztah mezi jednotlivými posunutími ukazuje následující obrázek: 53

58 9.3 Zobecněné souřadnice V klasické mechanice se pro výklad a i pro řešení problému používá celá řada typů souřadnic, jejichž volba je závislá na vhodnosti pro konkrétní problém. Obecně lze ale zvolit kterýkoliv (kartézský, polární,...) Splňují-li tyto souřadnice podmínku, že jsou navzájem nezávislé a že jejich počet je roven počtu stupňů volnosti (pak se takovéto souřadnice nazývají zobecněnými a označujeme je q j, (j = 1..n), kde n je počet stupňů volnosti 9.4 Zobecněné síly r j = r j (q 1, q 2,.., q n ) Každé zobecněné souřadnici q j odpovídá zobecněná síla Q j, kterou můžeme určit z rovnice pro elementární práci, tzv. pracovních sil na virtuálních posuvech: δa j = Q j δq j V analytické mechanice rozdělujeme síly na síly vazbové V F a síly pracovní P F Proti skutečným, v realitě probíhajícím elementárním posunutím d r, se v analytické mechanice pracuje především se virtuálním posunutím δ r. Pak skalární součin virtuálního posunutí a pracovní síly se nazývá virtuální práce. Virtuální posuv je možný, ale nepředpokládá se, že by se musel nutně realizovat. Jde o okamžitá posunutí při přechodu z jednoho stavu do druhého. Z matematického hlediska představují skutečné změny d r diferenciály souřadnic, zatímco virtuální posuvy δ r jsou variace souřadnic. Určení zobecněných sil: Virtuální práce pro N bodů a n stupních volnosti je δa j = N j=1 F j δ r j kde virtuální posuvy jsou dány δ r j = n i=1 r j q i δq i 54

59 Dosazením dostaneme δa = N j=1 F j n i=1 r j q i δq i = N j=1 n i=1 F j r j q i δq i což porovnáním s rovnicí je kde Q i = δa j = Q j δq j δa = N j=1 n Q i δq i i=1 F j r j q i = A q i Zobecněná síla nemusí mít vždy rozměr síly. Pro lineární souřadnici má rozměr síly, pro úhlovou souřadnici má rozměr momentu, atd. Důležité je, aby součin zobecněné souřadnice a zobecněné síly měl vždy rozměr práce. 9.5 Princip virtuálních prací V předchozím odstavci byla definována zobecněná síla Q i Q i = N j=1 F j r j q i Stejným způsobem můžeme definovat i zobecněnou setrvačnou sílu kde Q s i = n j=1 F s j F s j = m j r j r j q i Potom lze princip virtuálních prací definovat n j=1 ( Fj + F s j ) δ r j = 0 55

60 anebo n j=1 ( Fj m j r j ) δ r j = 0 Tento základní princip analytické mechaniky říká, že virtuální práce vnějších a setrvačných sil při virtuálním posunutí je nulová. Rovnice principu virtuálních prací se také nazývá obecnou rovnicí dynamiky. Princip virtuálních prací tak není nic jiného, než formalizovaný zákon o rovnováze těles. 9.6 Lagrangeovy rovnice 2. druhu Při odvozování vyjdeme z principu virtuálních prací pro soustavu N těles (bodů) n ( Fj + F ) j s δ r j = 0 j=1 r j = r j (q 1,.., q n, t) Variace δ r j určíme pomocí výrazu δ r j = n i=1 r j q i δq i Princip virtuálních prací lze přepsat formálně do tvaru N j=1 F j δ r j = N m j r j δ r j j=1 Levou stranu rovnice pak můžeme upravit do tohoto tvaru N j=1 F j δ r j = N j=1 n i=1 F j r j q i δq i = N Q i δq i j=1 a stejně tak lze upravovat i pravou stranu ( N n N m j r j δ r j = j=1 i=1 j=1 m j r j r j q i ) δq i 56

61 a dále lze závorku upravovat m j r j r j q i = d dt ( m j d r j dt Pro rychlost každého j-tého tělesa platí ) r j d r j m j ṙ j q i dt ( ) rj q i ṙ j = d r j dt = r j t + N i=1 r j q i q i Z teorie parciálních diferenciálních rovnic lze odvodit Z výše uvedeného můžeme dostat m j r j r j q i = d dt r j q i = ṙ j q i = v j q i ( ) v j v j m j v j m j v j = q i q i [ d dt q i ( mj v 2 j 2 )] ( ) mj vj 2 q i 2 Výraz m jvj 2 2 je kinetická energie j-tého tělesa. Kinematická energie soustavy je pak rovna N m j vj 2 E k = 2 j=1 Dosadíme-li všechny tyto závěry do počáteční upravené rovnice pro princip virtuálních prací, dostaneme n i=1 [ d dt E k q i E ] k δq i = q i n Q i δq i Vzhledem k tomu, že zobecněné souřadnice jsou navzájem nezávislé, musí platit d E k dt q i i=1 E k q i = Q i i = 1, 2,..., n Tento tvar představuje základní tvar Lagrangeových rovnic 2. druhu pro soustavu těles s n stupni volnosti a s holonomními vazbami. Jedná se defacto o soustavu n diferenciálních rovnic 2. řádu. 57

62 Síly, které na soustavu těles (bodů) působí, jsou obecně dvojího druhu - potenciální a nepotenciální Q i = Q in + Q ip Potenciální síly pro konzervativní soustavy lze vyjádřit ve tvaru Nepotenciální síly lze dále vyjádřit Q ip = E p q i Q in = A q i = W q i Potom lze Lagrangeovy rovnice napsat v rozšířeném tvaru: ( ) d Ek E k + E p + E D = A = W dt q i q i q i q i q i q i 10 LINEÁRNÍ KMITÁNÍ S 1 VOLNOSTI Většina mechanických soustav vykonává kmitavý pohyb, zkráceně kmitá. Teorie kmitání patří k nejdůležitějším částem mechaniky. Mechanické kmitání se rozděluje z mnoha hledisek. Podle toho, jaké jsou povahy jeho vzniku, je dělíme na buzené nebo nebuzené, podle typu matematického modelu na kmitání lineární nebo nelineární atd. Hledisek je celá řada. Nejjednodušší je teorie lineárního kmitání s jedním stupňem volnosti. Tato teorie má několik omezení, je však ve své podstatě dobře použitelná na vysvětlení takových jevů, které vznikají v mnoha mechanických soustavách. Lineární kmitání je omezeno zásadní podmínkou: Jedná se o malé kmity okolo rovnovážné polohy. Obecně platí, že úhly, které při kmitání vznikají, musí být menší jak 5. 58

63 10.1 Pohybová rovnice Nejjednodušší model Odvození pohybových rovnic je nejlepší pomocí Lagrangeových rovnic 2. druhu. E k = 1 2 m q2 E D = 1 2 b q2 E p = 1 2 kq2 W = Q q E k q = m q E k q = 0 d dt ( ) Ek = m q q E p q = kq E D q = b q W q = Q Pohybová rovnice je pak m q + b q + kq = Q Toto je pohybová rovnice pro tento jeden konkrétní příklad. Obecně platí, že každá pohybová rovnice, která má tvar m q + b q + k q = Q kde m, b, k, Q jsou konstanty, vykonává mechanické kmity. Jedná se o diferenciální rovnici druhého řádu s pravou stranou. Řešení této rovnice se předpokládá ve tvaru q = q h + q p kde homogenní řešení předpokládá nulovou pravou stranu. 59

64 10.2 Homogenní řešení Pohybovou rovnici, kterou řešíme, máme ve tvaru m q + b q + k q = 0 Pro další řešení si vytvoříme dva modely. Obecně se homogenním řešením říká volné kmitání. Obsahuje-li pohybová rovnice volného (a obecně jakéhokoliv) kmitání člen b q, jedná se o tlumené kmity, není-li tento člen přítomen, jedná se o netlumené kmity Volné netlumené kmitání Pohybová rovnice je ve tvaru m q + k q = 0 Rovnici normalizujeme do tvaru q + k m q = 0 a zavedeme novou proměnnou, nazvanou vlastní úhlová frekvence a definovanou k Ω 0 = čímž rovnice přejde do tvaru m q + Ω 2 0q = 0 Řešení této diferenciální rovnice je např. pomocí charakteristické rovnice λ 2 + Ω 2 0 = 0 λ 1,2 = ±iω 0 Řešení se předpokládá ve tvaru q = Ce λt 60

65 dosazením dostaneme řešení q = C 1 e iω 0t + C 2 e iω 0t nebo pomocí Eulerových vztahů se dá převést anebo do tvaru q = A cos Ω 0 t + B sin Ω 0 t q = C sin(ω 0 t + ϕ 0 ) Všechny tři předchozí zápisy představují harmonický pohyb T 0 - perioda harmonického pohyb, udává, za jak dlouho se daný periodický děj opakuje. Převrácená hodnota [ ] 1 1 = f 0 T 0 s ; Hz je vlastní frekvence. Ta udává, kolik opakování se provede za 1 sekundu. Vztahy mezi vlastní úhlovou frekvencí, periodou a vlastní frekvencí jsou následující: T 0 = 2π Ω 0 [s] f 0 = 1 T 0 = Ω 0 2π [Hz] Ω 0 = 2π T 0 Ω 0 = 2πf 61

66 Konstanty C 1 a C 2, resp. A,B nebo C,c f0 se měří z počátečních podmínek, kdy musíme znát, jak se soustava chovala v čase t 0, jakou měla výchylku q 0 a jakou rychlost q 0. Vztahy mezi konstantami jsou následující: A = C 1 + C 2 B = i(c 1 C 2 ) C = A 2 + B 2 ϕ 0 = arctan A B Rychlost pohybu se obdrží derivací výchylky q = AΩ 0 sin Ω 0 t + BΩ 0 cos Ω 0 t q = CΩ 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) Další derivací dostaneme zrychlení q = AΩ 2 0 cos Ω 0 t BΩ 2 0 sin Ω 0 t q = CΩ 2 0 sin(ω 0 t + ϕ 0 ) Porovnáním vztahů pro výchylku a zrychlení lze dospět ze vztahu mezi těmito veličinami q = Ω 2 0q Příklad - Zjistěte Ω 0 q = ϕ q = ω q = α 62