Úvod do teorie informace

Transkript

1 Úvod do teorie informace Matematické základy komprese a digitální komunikace Tomáš Kroupa 1 Ústav teorie informace a automatizace AV ČR 2 Katedra matematiky FEL ČVUT

2 1. Úvod 2. Charakteristiky informace 3. Asymptotická rovnočetnost typických zpráv 4. Kódování a komprese 5. Univerzální komprese 6. Informační kanály 7. Dodatek Obsah

3 Část I Úvod Teorie informace je matematicka disciplína, ktera zkouma mozňosti komprese informace, metody rychle ho a kvalitního prěnosu informace. Teorie informace je založena na pravděpodobnostním modelu zpráv a komunikace. Tato myšlenka umožnila Shannonovi v r.1948 ukázat převratný fakt: zvyšování výkonu přenosového zařízení není jediná cesta k potlačení chyb při přenosu informace, neboť existuje určitá přenosová rychlost, od níž lze přenášet s libovolně malou pravděpodobností chyby.

4 Suppose we have a set of possible events whose probabilities of occurence are p 1, p 2,..., p n. These probabilities are known but that is all we know concerning which event will occur. Can we find a measure of how much choice is involved in the selection of the event or how uncertain we are of the outcome? Počátky teorie informace C. E. Shannon. A mathematical theory of communication. Bell System Tech. J., 27: , , C.E. Shannon ( )

5 Model komunikace podle Shannona

6 Dualita komprese a spolehlivé komunikace při kompresi informačního zdroje odstraňujeme redundantní informaci větší redundance informace naopak zaručuje menší chybovost při přenosu Podle toho rozlišujeme 2 třídy kódování:.1. zdrojové.2. kanálové

7 Co je informační zdroj? Informační zdroj je matematický model zařízení, které produkuje zprávy. Podle druhu produkovaných zpráv rozeznáváme 3 základní typy informačních zdrojů, které generují znaky konečné abecedy X:.1. náhodná veličina X s výběrovým prostorem X.2. náhodný vektor (X 1,..., X n ) s výběrovým prostorem X n.3. náhodný proces (X n ) n N s výběrovým prostorem X N Tyto modely umožňují popsat zařízení, která generují zprávy obsahující 1 znak n znaků libovolný počet znaků

8 .1. symbol z množiny {0, 1} Dva významy slova bit.2. jednotka informace při dvojkovém základu logaritmu podle Shannona zavedl termín bit známý statistik John W.Tukey již v roce 1947 díky zvolené jednotce informace používáme logaritmus log := log 2

9 Příklad Příklady informačních zdrojů Uvažujme sekvenci znaků tuto větu chceme zakódovat Informační zdroj je náhodná veličina X s výběrovým prostorem X = {t, u, o, v, ě, c, h, e, m, z, a, k, ó, d, _}. Pravděpodobnosti p X (x), x X odhadneme z realizované sekvence. Příklad Výskyty znaků ve zprávě x 1... x n jsou nezávislé. Rozdělení zdroje (X 1,..., X n ) je potom popsáno pravděpodobnostní funkcí q(x 1,..., x n ) = n p X (x i ), x i X. i=1

10 Příklad X = {A,..., Z, _}. Příklady informačních zdrojů (pokr.) Markovův řetězec (X n ) n N se stavovým prostorem X popisuje generování slov z anglické abecedy, kde pravděpodobnost dvojic písmen odpovídá typickému anglickému textu. Shannon uvádí tento příklad realizace: ON IE ANTSOUTINYS ARE T INCTORE ST BE S DEAMY ACHIN D ILONASIVE TUCOOWE AT TEASONARE FUSO TIZIN ANDY TOBE SEACE CTISBE

11 Jedna úloha komprese Chceme poslat příjemci co nejkratší zprávu o vítězi závodu, kterého se zúčastní 8 závodníků majících následující pravděpodobnosti výhry: ( 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 6, 2 6, 2 6, 2 6) je možno použít zprávu mající 3 bity pro každého závodníka lepší je však využít uvedené pravděpodobnosti ke konstrukci kódu kratší střední délky

12 Jedna úloha komprese (pokr.) Řešení střední délka kódu s 3-bitovými délkami kódových slov je 3 uvažujme následující kód s délkami slov l i = log p i střední délka tohoto kódu je 2 kód kratší střední délky nelze nalézt!

13 Jedna úloha komunikace Chceme přenést zprávu složenou z bitů informačním kanálem, v němž dochází ke každé bitové inverzi s pravděpodobností q < 1 2. Vstup: informační zdroj (X n ) n N, kde X n Bi(1, 1 2 ) jsou nezávislé. Lze předzpracovat zdroj tak, že pravděpodobnost chyba/bit Možné řešení p e < q? zopakujme každý bit při přenosu (2n + 1)-krát, dekódujme podle většiny při n = 1 to dává p e = 3q 2 (1 q) + q 3 < q je-li n, potom p e 0 ale R 0, kde R je rychlost (bit/použití kanálu)!

14 Jedna úloha komunikace (pokr.) Shannon ukázal, že lze zachovat R > 0 při p e 0. Přesněji: existuje R > 0 takové, že chybu p e lze učinit libovolně malou největší R s touto vlastností je tzv. kapacita kanálu V našem příkladě: kapacita kanálu je 1 ( q log q (1 q) log(1 q) ) lze ukázat, že pokud je rychlost R = 1, potom neexistuje předpracování zdroje, které by umožnilo p e < q pro R = 1 je tedy optimální připojit zdroj přímo ke kanálu!

15 Pilíře teorie informace Shannonova věta (1948) asymptotická rovnočetnost typických zpráv existence dolní meze bezeztrátové komprese existence optimální kompresní metody (Huffman, 1952) metoda typů (Csiszár, Körner, 1981) existence univerzálních kódů (Lempel, Ziv, 1977)

16 Teorie informace je jen teorie? I am very seldom interested in applications. I am more interested in the elegance of a problem. Is it a good problem, an interesting problem? C. E. Shannon

17 Aplikace teorie informace Algoritmy pro efektivní ukládání a komunikaci informace v digitálních (i analogových) systémech. Namátkou: Huffmanovo kódování, aritmetické kódování, LZW zpracování formátů JPEG, MP3, TIFF kódy pro detekci a opravu chyb statistické aplikace: odhad pravděpodobnostních modelů princip minimální deskripční délky (MDL)

18 Část II Charakteristiky informace Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie

19 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Hartleyho míra informace Definice (Hartley, 1928) Hartleyho míra informace I je funkce I(n) = log n, n N. platí-li X = 2 n pro nějaké n 1, potom I(2 n ) = n udává počet bitů, kterými lze reprezentovat prvek z X pokud neexistuje n 1 takové, že X = 2 n, potom potřebujeme k reprezentaci X právě I( X ) bitů

20 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta (Rényi) Axiomy Hartleyho míry Hartleyho míra informace je jediná funkce I : N R následujících vlastností:.1. I(ab) = I(a) + I(b).2. I je rostoucí.3. I(2) = 1 Intepretace k vyjádření prvku z 2 m+n -prvkové množiny stačí zřetězit původní bitová slova délek m a n míra informace s počtem reprezentovaných prvků roste informaci měříme v bitech

21 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Entropie: motivace Nechť A 1,..., A k Ω je úplný soubor jevů, kde Ω = n a A j má pravděpodobnost p j = A j n. pro popis každého z n výsledků potřebujeme informaci I(n) pokud se dozvíme, že výsledek patří do A j, stačí nám k jeho určení informace I( A j ) příslušnost do j-té třídy nám tak poskytla informaci I(n) I( A j ) = log p j Průměrnou informaci, kterou nám přináší znalost zařazení prvku do třídy, tedy dostaneme jako k p j log p j. j=1

22 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Definice Entropie Nechť X je náhodná veličina s konečným výběrovým prostorem X a pravděpodobnostní funkcí p X. Entropie náhodné veličiny X je H(X) = x X p X (x) log p X (x), kde užíváme konvenci 0 log 0 = Funkce t log t, t (0, 1 Funkce t t log t, t (0, 1

23 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Entropie jako střední hodnota Definujme pro každé x X, { log p g(x) = X (x), 0 < p X (x) 1, 0, p X (x) = 0. Potom střední hodnota funkce g(x) náhodné veličiny X je E(g(X)) = x X g(x)p X (x) = H(X). Interpretace (pomocí Hartleyho míry informace I) Předpokládejme p X (x) = 2 n x, x X, kde n x N. Potom g(x) = n x a platí tak H(X) = x X p X (x)i(2 n x ).

24 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Entropie jako funkce Nechť X = n + 1. Entropii H lze chápat jako reálnou funkci H : n R, kde n je pravděpodobnostní n-simplex Entropie na Entropie na 2 0.0

25 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Axiomy entropie Entropie H(p 1,..., p n ) je jediná funkce n 1 0, ) následujících vlastností:.1. H nezávisí na pořadí argumentů p 1,..., p n.2. Funkce (p, 1 p) 1 H(p, 1 p) je spojitá.3. H( 1 2, 1 2 ) = 1.4. H(p 1,..., p n ) = H(p 1 + p 2, p 3,..., p n ) + (p 1 + p 2 )H ( p1 p 1 +p 2, ) p 2 p 1 +p 2 První tři axiomy mají velmi přirozenou interpretaci. A co čtvrtý?

26 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Příklad Interpretace 4.axiomu Úkolem je uhodnout zvolené číslo z množiny {1,..., 5}. Lze použít např. tyto dvě strategie: náhodně vybereme číslo z množiny {1,..., 5}, náhodný pokus je tak popsán rovnoměrným rozdělením p i = 1 5, i = 1,..., 5 nejprve volíme prvek množiny { {1, 2}, 3, 4, 5 } ( podle rozdělení 2 5, 1 5, 1 5, 1 ) 5, potom případně náhodně volíme číslo z {1, 2} Dostaneme: H ( 1 5, 1 5, 1 5, 1 5, 1 5) = log 5 ) H( 1 2, 1 2 H ( 2 5, 1 5, 1 5, 1 5 ) = 2 5 log log = log 5

27 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Nechť d > 0 a H d (X) = x X Entropie o základu d p X (x) log d p X (x). Pak H d (X) = log d 2 H(X). Důkaz. Pro každé t > 0 platí rovnost t = 2 log t. Jejím logaritmováním získáme vztah log d t = log d 2 log t, ze kterého tvrzení plyne.

28 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Minimální entropie Platí H(X) 0. Rovnost H(X) = 0 nastane právě tehdy, když je rozdělení X Diracovo. Důkaz. nerovnost plyne přímo z definice entropie pokud má X Diracovo rozdělení, potom H(X) = log 1 = 0 obráceně, z existence x X s vlastností 1 > p X (x) > 0 plyne p X (x) log p X (x) > 0, a tudíž H(X) > 0 Poznámka. Maximum entropie snadno nalezneme až po zavedení tzv. informační divergence.

29 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Definice Sdružená a podmíněná entropie Nechť (X, Y) je náhodný vektor s konečným výběrovým prostorem X Y. Sdružená entropie (X, Y) je H(X, Y) = p XY (x, y) log p XY (x, y). (x,y) X Y Pro dané x X, p X (x) > 0 je podmíněná entropie dána jako H(Y X = x) = y Y p Y X (y x) log p Y X (y x) a střední podmíněná entropie je H(Y X) = p X (x)h(y X = x), x X kde H(Y X = x) definujeme libovolně, pokud p X (x) = 0.

30 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Platí H(X, Y) = H(X) + H(Y X). Důkaz. Jelikož p XY (x, y) = p X (x)p Y X (y x),dostaneme H(X, Y) = p XY (x, y) log p X (x)p Y X (y x) (x,y) X Y Řetězcové pravidlo = p XY (x, y) log p X (x) + p XY (x, y) log p Y X (y x) (x,y) X Y = p X (x) log p X (x) + H(Y X = x)p X (x). x X x X

31 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Sdružená entropie nezávislých veličin Věta Jsou-li X, Y nezávislé, pak H(Y X) = H(Y) a H(X, Y) = H(X) + H(Y). Důkaz. Důsledek řetězcového pravidla, vztahu p Y X (y x) = p Y (y) pro nezávislé veličiny X, Y a H(Y X = x) = H(Y).

32 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Není entropie jako entropie! -What are you thinking? -Entropy. -Entropy? Yeah, entropy. Boris explained it. It s why you can t get the toothpaste back in the tube. -You mean, once something happens, it s difficult to put it back the way it was? Woody Allen, Whatever Works (2009) Termín entropie zavedl do fyziky Rudolf Clausius v r. 1865: entropie termodynamického systému je určena prostřednictvím 2. zákona termodynamiky.

33 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Není entropie jako entropie! (pokr.) My greatest concern was what to call it. I thought of calling it information, but the word was overly used, so I decided to call it uncertainty. When I discussed it with John von Neumann, he had a better idea. Von Neumann told me, You should call it entropy, for two reasons. In the first place your uncertainty function has been used in statistical mechanics under that name, so it already has a name. In the second place, and more important, nobody knows what entropy really is, so in a debate you will always have the advantage. C. Shannon M. Tribus, E.C. McIrvine. Energy and information. Scientific American 224, 1971.

34 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie

35 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Definice Informační divergence Informační divergence pravděpodobnostních funkcí p a q na X je D(p q) = x X p(x) log p(x) q(x), při využití konvence 0 log 0 t = 0, t 0, 1 a r log r 0 =, r (0, 1. Jiná terminologie relativní entropie Kullback-Leiblerova divergence

36 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Informační nerovnost Vždy platí D(p q) 0. Rovnost D(p q) = 0 nastane právě tehdy, když p = q. Důkaz. Nechť A = {x X p(x) > 0}. Použijeme Jensenovu nerovnost: D(p q) = x A p(x) log q(x) (1) log p(x) q(x) (2) log q(x) = 0. p(x) p(x) x A x X Pokud D(p q) = 0, pak rovnost v (1) dává díky ryzí konkávnosti funkce log t a Jensenově nerovnosti q(x) p(x) = c > 0. Tudíž x A q(x) = c x A p(x) = c. Rovnost v (2) znamená c = x A q(x) = x X q(x) = 1.

37 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Maximální entropie Platí H(X) log X. Rovnost H(X) = log X nastane právě tehdy, když má X rovnoměrné rozdělení. Důkaz. Nechť q(x) = X 1, x X. Potom D(p q) = x X p(x) log p(x) = log X H(X). q(x) Tvrzení tudíž plyne z informační nerovnosti.

38 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie

39 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Definice Vzájemná informace Nechť (X, Y) je náhodný vektor s konečným výběrovým prostorem X Y. Vzájemná informace I(X; Y) je definována jako I(X; Y) = D(p XY p X p Y ) = p XY (x, y) log p XY(x, y) p X (x)p Y (y). (x,y) X Y Interpretace I(X; Y) měří odlišnost sdruženého rozdělení náhodného vektoru (X, Y) od součinového rozdělení jeho marginálů, kterým by se vektor (X, Y) řídil, pokud by X a Y byly nezávislé.

40 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Vzájemná informace měří pokles entropie Věta Platí I(X; Y) = H(X) H(X Y) = H(Y) H(Y X). Důkaz. Protože p XY = p X Y p Y, dostaneme I(X; Y) = p XY (x, y) log p X Y(x y) p (x,y) X Y X (x) = p XY (x, y) log p X (x) + p XY (x, y) log p X Y (x y) (x,y) X Y = p X (x) log p X (x) H(X Y = y)p Y (y). x X y Y

41 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Příklad Vzájemná informace: hod mincí Náhodný pokus: 1 hod 1 symetrickou mincí. Definujeme: { { 1, padl líc, 1, padl rub, X = Y = 0, padl rub, 0, padl líc. Potom H(X) = log 2 = 1 a H(X Y) = 0, neboť X = 1 Y. Proto I(X; Y) = H(X) = 1. Jiná intepretace. Zdroj X je přenesen informačním kanálem, který provede bitovou inverzi. Původní informace o zdroji X je tak zcela zachována veličinou Y.

42 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Příklad Vzájemná informace: informační kanál Zdroj X s výběr.prostorem {1,..., 6} a rovnoměrným rozdělením má být přenesen informačním kanálem. Každá podmíněná pravděpodobnostní funkce p X Y je nenulová a rovnoměrná na 4-prvkové množině.tedy I(X; Y) = H(X) H(X Y) = log 6 log 4 = log 3 1. = 0.58, přičemž H(X). = 2.58.

43 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta 0 I(X; Y) = I(Y; X) H(X) I(X; Y) = 0 X a Y jsou nezávislé Vlastnosti vzájemné informace I(X; Y) = H(X) pro každé y Y s p Y (y) > 0 je podmíněná pravděpodobnostní funkce p X Y (. y) Diracova

44 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Důkaz. Vlastnosti vzájemné informace (pokr.) Nezápornost a symetrie I(X, Y) plyne přímo z definice, druhá nerovnost je důsledkem vztahu I(X; Y) = H(X) H(X Y) Charakterizace rovnosti I(X; Y) = 0 je důsledkem definice I a vlastností inf. divergence. I(X; Y) = H(X) H(X Y) = 0 H(X Y = y) = 0 pro každé y Y, p Y (y) > 0 p X Y (. y) je Diracova.

45 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Platí: I(X; Y) min { H(X), H(Y) } H(X Y) H(X) Důležité (ne)rovnosti H(X Y) = 0 existuje f : Y X splňující p X Y (f(y) y) = 1 pro každé y Y, p Y (y) > 0 H(X Y) = H(X) X, Y nezávislé I(X; X) = H(X) I(X; Y) = H(X) + H(Y) H(X, Y) H(X, Y) H(X) + H(Y), přičemž rovnost nastává X, Y nezávislé

46 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie

47 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Motivace zdroj (X 1,..., X n ) má sdruženou entropii H(X 1,..., X n ) jsou-li X i nezávislé, potom H(X 1,..., X n ) = n H(X i ) i=1 jsou-li X i nezávislé a stejně rozdělené, potom H(X 1,..., X n ) = nh(x 1 ) Jak popíšeme informaci obsaženou ve zdroji (X n ) n N?

48 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Markovův řetězec (X n ) n N stavový prostor X = {1, 2} α, β 0, 1, α + β > 0 Příklad.1 α.α β.β ( ) 1 α α Matice přechodu je P =. β 1 β

49 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Rychlost entropie pro n není entropie zdroje (X 1,..., X n ) shora omezena, neboť H(X 1,..., X n ) log X n hledejme entropii na jeden znak zprávy! Definice Rychlost entropie náhodného procesu (X n ) n N je pokud tato limita existuje. 1 H ((X n ) n N ) = lim n n H(X 1..., X n ),

50 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Příklad Rychlost entropie: příklady Je-li zdroj zpráv X 1, X 2,... takový, že X i jsou nezávislé a stejně rozdělené, potom 1 H ((X n ) n N ) = lim n n nh(x 1) = H(X 1 ). Ovšem lze nalézt i bezpaměťový zdroj (tj. nezávislý proces (X n ) n N ), pro nějž limita neexistuje! 1 lim n n n H(X i ) i=1

51 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Definice Mezní podmíněná entropie Mezní podmíněná entropie H ((X n ) n N ) náhodného procesu (X n ) n N je limita posloupnosti pokud tato limita existuje. Dostáváme tak 2 pojmy: H(X 1 ), H(X 2 X 1 ), H(X 3 X 2, X 1 ),... H ((X n ) n N ) je entropie na znak vyslané zprávy H ((Xn ) n N ) je entropie rozdělení podmíněného minulými pozorováními Oba pojmy splývají pro stacionární informační zdroje.

52 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Definice Zdroj (X n ) n N je stacionární, pokud platí Stacionární informační zdroj P [ X 1 = x 1,..., X n = x n ] = P [ X1+l = x 1,..., X n+l = x n ] pro každé n N, každý časový posun l a každé x 1,..., x n X. Příklad Bezpaměťový zdroj X 1, X 2,..., kde X i jsou stejně rozdělené. Zajímavější příklad Homogenní Markovův řetězec s maticí přechodu P a počátečním rozdělením p(0), které je stacionární: p(0) = p(0)p.

53 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Stacionarita a mezní podmíněná entropie Je-li zdroj (X n ) n N stacionární, potom je posloupnost H(X 2 X 1 ), H(X 3 X 2, X 1 ),... nerostoucí a její limita H((X n ) n N ) existuje. Důkaz. Pro n 2 platí kde H(X n+1 X n,..., X 1 ) H(X n+1 X n,..., X 2 ), H(X n+1 X n,..., X 2 ) = H(X n X n 1,..., X 1 ). díky stacionaritě. Dostaneme tak nerostoucí posloupnost nezáporných reálných čísel, jejíž limita H((X n ) n N ) existuje.

54 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Stacionarita a rychlost entropie Je-li zdroj (X n ) n N stacionární, potom rychlost entropie H((X n ) n N ) existuje a platí H((X n ) n N ) = H((X n ) n N ). Důkaz. Podle řetězcového pravidla pro sdruženou entropii platí H(X 1..., X n ) n = n i=2 H(X i X i 1,..., X 1 ) + H(X 1 ). n Vpravo je průměr posloupnosti, která konverguje k H((X n ) N). Tudíž musí konvergovat k H((X n ) N) i posloupnost průměrů.

55 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Markovský zdroj Definice Markovský zdroj informace je stacionární Markovův řetězec. Příklad (pokr.).1 α.α..1.2.β.1 β Řetězec uvažujeme s počátečním rozdělením p(0) = ( β to splňuje p(0) = p(0)p. α+β, α α+β ),

56 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Věta Rychlost entropie markovského zdroje Pokud je zdroj informace (X n ) n N markovský, potom je jeho rychlost entropie H((X n ) n N ) = H(X 2 X 1 ). Důkaz. H((X n ) n N ) = H((X n ) n N ) = lim n H(X n+1 X n,..., X 1 ) = lim n H(X n+1 X n ) = H(X 2 X 1 ).

57 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Příklad (pokr.) Příklad markovského zdroje.1 α.α..1.2.β.1 β Počáteční rozdělení p(0) = ( β α+β, α α+β ). Rychlost entropie je H((X n ) n N ) = H(X 2 X 1 ) = β α+βh(α, 1 α) + α α+βh(β, 1 β).

58 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Příklad markovského zdroje: α = β = 1 2 Příklad: H((X n ) n N ) = Počáteční rozdělení p(0) = ( 1 2, 1 2 ) Jde o bezpaměťový zdroj informace: ve zprávě x 1 x 2..., x i {1, 2} má každý řetězec stejnou pravděpodobnost 2 l 1. x m x m+1... x m+l

59 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Příklad: H((X n ) n N ) = 0 Příklad markovského zdroje: α = β.1 β Počáteční rozdělení p(0) = (1, 0) Jde o deterministický zdroj informace: zpráva vznikne s pravděpodobností 1.

60 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Příklad: H((X n ) n N ) = 0 Příklad markovského zdroje: β = 0.1 α.α Počáteční rozdělení p(0) = (0, 1) Jde o deterministický zdroj informace: zpráva vznikne s pravděpodobností 1.

61 Entropie Divergence Vzájemná informace Rychlost entropie Příklad markovského zdroje: α = β = 1 Příklad: H((X n ) n N ) = Počáteční rozdělení p(0) = ( 1 2, 1 2 ) Jde o nedeterministický zdroj informace, ale každá zpráva je jednoznačně určena prvním znakem: zprávy mají pravděpodobnost a

62 Část III Asymptotická rovnočetnost typických zpráv Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy

63 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Motivace Příklad Bezpaměťový zdroj generuje 100 bitů s pravděpodobnostmi p(0) = 0.995, p(1) = Máme zakódovat každou zprávu x 1... x 100, která obsahuje nejvýše tři bity 1. počet typických zpráv (nejvýše tři bity 1) je ( ) ( ) ( ) ( ) = tudíž stačí kódová slova délky log = 18 tak zakódujeme zprávy z množiny, jejíž pravděpodobnost je 3 ( ) i i = i i=0

64 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Motivace (pokr.) Příklad (pokr.) tím ovšem dosáhneme jen ztrátové komprese atypické zprávy (více než tři 1) můžeme zakódovat pomocí 100 log 2 = 100 bitů přidáním počátečního příznakového bitu odlišíme kódová slova pro typické a atypické zprávy střední délka kódového slova je tak =

65 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Jak poznáme typické zprávy? pravděpodobnost typické zprávy (0, }. {{.., 0 } ) je 100 Motivace (pokr.) p 100 = = povšimněme si, že existuje ε > 0 takové, že ( ) p H(0.005,0.995) ε pravděpodobnost typické zprávy x 1... x 100 je tedy přibližně 2 100H(0.005,0.995)

66 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Obecná úloha Uvažujme tyto informační zdroje: X s pravděpodobnostní funkcí p na množině X (X 1,..., X n ), n N, popsaný pomocí sdružené pravděpodobnostní funkce p n (x n ) = na množině X n n p(x i ), i=1 x n = (x 1,..., x n ) X n Interpretace zdroj (X 1,..., X n ) je bezpaměťový pravděpodobnost výskytu znaku x X je vždy p(x)

67 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Obecná úloha (pokr.) Pro dlouhé zprávy řešme tuto úlohu bezeztrátové komprese: hledáme binární blokový kód pro (X 1,..., X n ): kódujeme celé bloky zpráv x 1... x n, nikoli jednotlivé znaky x i! tento kód musí umožňovat jednoznačnou rekonstrukci původních zpráv z X n cílem je minimalizovat střední délku tohoto kódu AEP (Asymptotic Equipartition Property) využití slabého zákona velkých čísel v teorii informace efektivní komprese zpráv z typické množiny

68 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Typičnost Definice Nechť ε > 0. Množina ε-typických zpráv zdroje (X 1,..., X n ) je { } A (n) ε = x n X n 2 n(h(x)+ε) p n (x n ) 2 n(h(x) ε). Ekvivalentně: zpráva x n X n je ε-typická H(X) ε 1 n log p n(x n ) H(X) + ε. Typické zprávy umožňují dobrý odhad entropie H(X).

69 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy AEP Věta Nechť ε > Pro každé n N platí A (n) ε 2 n(h(x)+ε)..2. Existuje n ε takové, že P(A (n) ε ) > 1 ε, pro n > n ε...3 A (n) ε (1 ε)2 n(h(x) ε), pro n > n ε.

70 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Důkaz AEP Důkaz. První tvrzení: 1 = p n (x n ) x n X n x n A (n) ε x n A (n) ε p n (x n ) 2 n(h(x)+ε) = 2 n(h(x)+ε) A (n) ε. Druhé tvrzení: položme Y i = log p Xi (x i ). Pak E(Y i ) = H(X) a P(A (n) ε ) = P [ Ȳ n H(X) ε ] = P [ Ȳ n E(Y i ) ε ]. Nerovnost tak plyne přímo ze slabého ZVČ.

71 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Důkaz AEP (pokr.) Důkaz. Třetí tvrzení: pro n > n ε platí 1 ε < P(A (n) ε ) = x n A (n) ε x n A (n) ε p n (x n ) 2 n(h(x) ε) = 2 n(h(x) ε) A (n) ε.

72 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Využití AEP.1. Horní odhad velikosti A ε (n).2. Množina typických zpráv má pravděpodobnost 1 pro n.3. Dolní odhad velikosti A (n) ε (závislý na n > n ε ) Kódování pomocí AEP přednostní pozornost budeme věnovat typickým zprávám takový přístup ale bude stačit k výhodné kompresi všech zpráv!

73 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Kódování pomocí AEP.1. každou zprávu z A (n) ε lze zakódovat pomocí nejvýše n(h(x) + ε) + 1 bitů, přidáním počátečního příznakového bitu 0 je horní mez n(h(x) + ε) + 2 bitů.2. každou zprávu z X n \ A (n) ε zakódujeme pomocí nejvýše n log X + 2 bitů Vlastnosti kód umožňuje dékodování ihned po obdržení kódového slova dosáhneme efektivní komprese: každé kódové slovo je v průměru vyjádřeno pomocí nh(x) bitů

74 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Efektivita kódování pomocí AEP Věta Nechť l(x n ) značí délku kódového slova pro zprávu X n. Pro každé ˆε > 0 platí ( ) 1 E n l(xn ) H(X) < ˆε, pro n. uvedená věta platí pro nezávislé a stejně rozdělené veličiny X 1, X 2,..., ale existuje zobecnění pro jisté stacionární zdroje střední délku kódového slova na jeden znak lze tak libovolně přiblížit k entropii původního zdroje

75 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Důkaz. Efektivita kódování pomocí AEP (pokr.) Díky 2.tvrzení AEP platí pro n > n 0 a ε > 0: E ( 1 n l(xn ) ) = 1 n p n (x n )l(x n ) x n X n = p n (x n ) ( H(X) + ε + 2 ) n + p n (x n ) ( log X + 2 ) n x n A (n) ε ) P(A (n) ε x n X n \A (n) ε = ( H(X) + ε + 2 n ) + ( log X + 2 n H(X) + ε + 2 n + ε ( log X + 2 ) n }{{} ˆε ) ( ) 1 P(A (n) ε )

76 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Ilustrace AEP Příklad Bezpaměťový zdroj generuje n = 25 bitů s pravděpodobnostmi p(0) = 0.4, p(1) = 0.6. Pro ε = 0.1 určíme.1. A (n) ε.2. P(A (n) ε ).3. A (n) ε Stačí vyhodnotit počet jednotkových bitů ve zprávě délky 25.

77 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Ilustrace AEP (pokr.) Pravděpodobnostní funkce Bi(25,0.6)

78 Prolog k bezeztrátové kompresi Typické zprávy Ilustrace AEP (pokr.) Příklad (pokr.).1. A (n) ε =.2. P(A (n).3. A (n) ε { (x 1,..., x 25 ) {0, 1} ε ) = 19 = 19 i=11 i=11 ( 25 i ( 25 i i=1 } x i 19 ) 0.6 i i = > 1 ε = 0.9 ) = Odhad velikosti A (n) ε pomocí AEP je ) (1 ε)2 n ( H(0.6,0.4) ε A (n) ε 2 n ( H(0.6,0.4)+ε )

79 Část IV Kódování a komprese Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód

80 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Definice Kódování Nechť X je náhodná veličina s výběrovým prostorem X. Nechť D je konečná abeceda a D = D n. Kód pro X je zobrazení n=1 C : X D. Poznámka. Pro D = {0,..., d 1}, d 2 hovoříme o d-znakovém kódu. Fyzikální principy přenosu a uchování dat vedou k využití zejména binárních kódů (d = 2). Definice Střední délka kódu C je L(C) = značí délku řetězce C(x). x X p X (x)l(c(x)), kde l(c(x))

81 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Příklad 1 Příklady kódů Nechť p X (i) = 1 3, i = 1, 2, 3. Mějme tento binární kód: C(1) = 0, C(2) = 10, C(3) = 11. Zřejmě L(C) = 5 3 = 1. 6, přičemž H(X) = log 3. = Příklad 2 Nechť p X (i) = 2 i, i = 1, 2, 3 a p X (4) = 1 8, i = 4. Mějme tento binární kód: C(1) = 0, C(2) = 10, C(3) = 110, C(4) = 111. Zřejmě L(C) = H(X) = 1.75.

82 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Definice Kód C je Třídy kódů nesingulární, pokud je C : X D prosté zobrazení. jednoznačně dekódovatelný, pokud je jeho rozšíření C nesingulární, kde C : X D je definováno pomocí C (x 1... x n ) = C(x 1 )... C(x n ), x 1... x n X. instantní, pokud žádné kódové slovo C(x) není počátečním úsekem kódového slova C(x ) pro x, x X, x x.

83 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Věta (Vztahy mezi kódy) Třídy kódů (pokr.).1. Každý instantní kód je jednoznačně dekódovatelný..2. Každý jednoznačně dekódovatelný kód je nesingulární. Důkaz. Druhé tvrzení plyne příme z definice rozšíření C. Nechť C není jednoznačně dekódovatelný. Potom C je singulární, tedy C (x 1... x m ) = C (y 1... y n ) pro nějaké dvě zprávy x 1... x m, y 1... y n X, kde x 1... x m y 1... y n. Kratší ze slov C(x 1 ), C(y 1 ) musí být tudíž prefixem delšího z nich.

84 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Třídy kódů (pokr.) x singulární nesingulární jedn. dekódovatelný instantní pro nesingulární kód může být kódové slovo 010 dekódováno jako 2, 14 nebo 31 kód ve 4. sloupci je jednoznačně dekódovatelný:.1. pokud jsou první dva bity 00 nebo 10, lze je dekódovat.2. pokud jsou první dva bity 11, potom 2-1 je-li další bit 1, pak je první znak zprávy je-li délka řetězce nulových bitů za 11 lichá, pak je první znak zprávy je-li délka řetězce nulových bitů za 11 sudá, pak je první znak zprávy 3.3. na další znaky kódového slova použijeme stejný postup

85 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Instantní kódy neinstantní jednoznačně dekódovatelný kód obecně umožňuje dekódovaní až po přečtení celého rozšířeného kódového slova C(x 1... x n ) instantní kód umožňuje dekódování ihned po obdržení kódového slova, které je v kódové knize Příklad X = {1, 2, 3, 4}, C(1) = 0, C(2) = 10, C(3) = 110, C(4) = 111 Potom rozšířené kódové slovo kóduje zprávu 12432, tedy C (12432) =

86 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Jak konstruovat kódy? Úloha. Pro náhodnou veličinu X hledáme kód C, jehož střední délka L(C) je minimální ukážeme, že při hledání minima se lze omezit na množinu instantních kódů při konstrukci instantního kódu nelze přiřazovat krátká kódová slova všem znakům zdrojové abecedy X, neboť to by vedlo k porušení instantnosti existuje dolní mez pro střední délku libovolného kódu, kterou nelze překročit existuje užitečná charakterizace libovolného instantního kódu pomocí délek jeho kódových slov (Kraftova nerovnost)

87 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód

88 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Věta (Kraft, 1949) Kraftova nerovnost Délky slov l 1,..., l m libovolného instantního d-znakového kódu splňují nerovnost m d l i 1. i=1 Obráceně, splňují-li l 1,..., l m N tuto nerovnost, potom existuje instantní d-znakový kód s délkami slov l 1,..., l m. Příklad Kraftova nerovnost je splněna pro koeficienty l 1,..., l m každé dyadické pravděpodobnostní funkce p, tedy p splňující p(x i ) = 2 l i, i = 1,..., m. Např. pro m = 3 jsou takové koeficienty pouze 1, 2, 2.

89 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód 1.důkaz Kraftovy nerovnosti Větu dokážeme dvěma různými způsoby pro binární kódy (d = 2). Důkaz. K instantnímu kódu zkonstruujeme kódovací strom: V kódovacím stromě jsou kódová slova vyznačena žlutě. Jelikož je kód instantní, žádné kódové slovo není následníkem jiného kódového slova.

90 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Pokračování důkazu. 1.důkaz Kraftovy nerovnosti (pokr.) Nechť l je délka nejdelšího kódového slova. Potom: každé kódové slovo v úrovni l i má právě 2 l l i následníků v úrovni l tyto množiny následníků jsou vzájemně disjunktní pro všechna kódová slova díky instantnosti kódu počet uzlů v úrovni l je 2 l, tedy dostáváme m 2 l l i 2 l, což dává i=1 m 2 l i 1 i=1

91 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Pokračování důkazu. 1.důkaz Kraftovy nerovnosti (pokr.) Obráceně, nechť platí Kraftova nerovnost a l 1 l m. Mějme binární strom hloubky l m : v úrovni l 1 vyznačme libovolný uzel a vyjměme jeho následníky v úrovni l 2 existuje alespoň jeden uzel, neboť počet uzlů je zde nyní 2 l 2 2 l 2 l 1 v úrovni l 2 vyznačme libovolný uzel a vyjměme jeho následníky v posledním kroku musí na poslední úrovni l m zbýt alespoň jeden uzel, jelikož díky Kraftově nerovnosti platí 2 l m 2 l m l 1 2 l m l m 1 1

92 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Příklad Ilustrace Kraftovy nerovnosti Nalezneme binární kód s délkami kódových slov 1,2,3,

93 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Příklad Ilustrace Kraftovy nerovnosti Nalezneme binární kód s délkami kódových slov 1,2,3,

94 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Příklad Ilustrace Kraftovy nerovnosti Nalezneme binární kód s délkami kódových slov 1,2,3,

95 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Příklad Ilustrace Kraftovy nerovnosti Nalezneme binární kód s délkami kódových slov 1,2,3,

96 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Příklad Ilustrace Kraftovy nerovnosti Nalezneme binární kód s délkami kódových slov 1,2,3,

97 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Příklad Ilustrace Kraftovy nerovnosti Nalezneme binární kód s délkami kódových slov 1,2,3,

98 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Důkaz. 2.důkaz Kraftovy nerovnosti Každému kódovému slovu y 1... y li {0, 1} lze v dvojkové číselné soustavě přiřadit číslo l i 0.y 1... y li = y j 2 j z intervalu [0, 1], přičemž toto zobrazení je prosté. Každé kódové slovo tak můžeme ztotožnit s intervalem 0.y1... y li, 0.y 1... y li + 2 l i ) j=1 čísel z 0, 1, jejichž dvojkový rozvoj začíná jako 0.y 1... y li.

99 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Pokračování důkazu. 2.důkaz Kraftovy nerovnosti (pokr.) Všechny takové intervaly jsou po dvou disjunktní, jelikož kód je instantní, a tudíž m 2 l i 1. i=1 Obráceně, nechť je pro l 1,..., l m splněna Kraftova nerovnost. Volme libovolné 0.y 1... y l1 0, 1 a označme I 1 = 0, 1, I(l 1 ) = 0.y 1... y l1, 0.y 1... y l1 + 2 l 1 ), I 2 = I 1 \ I(l 1 ). Uvedenou konstrukci použijeme pro l 2 na I 2 atd. Kraftova nerovnost spolu s disjunktností všech intervalů I j zaručuje neprázdnost množin I j = I j 1 \ I(l j 1 ) a instantnost kódu se slovy y 1... y l1,..., y 1... y lm.

100 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Věta (McMillan, 1956) Kraftova nerovnost pro jednoznačně dekódovatelné kódy Délky slov l 1,..., l m libovolného jednoznačně dekódovatelného d-znakového kódu splňují nerovnost m d l i 1. i=1 Obráceně, splňují-li l 1,..., l m N tuto nerovnost, potom existuje jednoznačně dekódovatelný d-znakový kód s délkami slov l 1,..., l m.

101 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód

102 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Hledáme optimální kód Kraftova nerovnost umožňuje konstrukci kódu pomocí zadaných délek kódových slov l 1,..., l m hledání kódu minimální střední délky tak lze formulovat jako optimalizační úlohu pro pravděpodobnostní funkci p X na m-prvkové množině X a d N tak hledáme minimum funkce L(l 1,..., l m ) = m p X (x i )l i i=1 na množině { m } (l 1,..., l m ) N m d l i 1 i=1

103 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Hledáme optimální kód (pokr.) zanedbejme celočíselné omezení kladené na (l 1,..., l m ) a předpokládejme v Kraftově nerovnosti rovnost: m d l i = 1 i=1 potom snadno nalezneme vázaný extrém funkce L metodou Lagrangeových multiplikátorů: l i = log d p(x i ), i = 1,..., m v bodě (l 1,..., l m) je hodnota minima rovna Shannonově entropii: L(l 1,..., l m) = m p X (x i )l i = H d (X) i=1

104 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Hledáme optimální kód (pokr.) nalezli jsme pouze vektor (l 1,..., l m) R m! ovšem pro každou d-adickou p X platí (l 1,..., l m) N m můžeme se pokusit najít instantní kód, jehož délky slov by se příliš nelišily od (l 1,..., l m), tato úloha je však obtížně řešitelná Některé konstrukce kódů:.1. Shannonova.2. Huffmanova.3. Shannon-Fano-Eliasova Žádný způsob kódování nepřekoná mez danou entropií!

105 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Věta Dolní mez komprese Střední délka L(C) libovolného instantního d-znakového kódu C pro náhodnou veličinu X splňuje nerovnost Rovnost L(C) H d (X). L(C) = H d (X) platí právě tehdy, když p X (x) = d l(c(x)).

106 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Důkaz. Důkaz L H d (X) = x X Položme c = x X L H d (X) = x X p X (x) log d d l(c(x)) + x X p X (x) log d p X (x) d l(c(x)), r(x) = d l(c(x)) c. Potom p X (x) log d p X (x) r(x) log d c = D d (p X r) + log d c 1. Ovšem D d (p X r) 0 a c 1 díky Kraftově nerovnosti. Druhá část tvrzení platí, neboť D(p X r) = 0 p X = r.

107 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Shannonovo kódování Vstup: inf. zdroj (X, p), kde X = {x 1,..., x n }, p = (p 1,..., p n ) Výstup: kód C S : X {0, 1,..., d 1} bez újmy na obecnosti předpokládáme p i > 0 položme l i = log d p 1 i, tato čísla splňují Kraftovu nerovnost: n i=1 d log d p 1 i n i=1 d log d p 1 i = n p i = 1 slova kódu C S nalezneme pomocí konstrukce instantního kódu se zadanými délkami l i i=1

108 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Věta Platí H d (X) L(C S ) < H d (X) + 1. Meze Shannonova kódování Důkaz. Snadno plyne z dolní meze komprese a nerovnosti log d p 1 i l i = log d p 1 i < logd p 1 i + 1. Poznámka. Střední délka optimálního kódu C tedy splňuje H d (X) L(C ) < H d (X) + 1.

109 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Nevhodné kódování Věta (Divergence je cena za nevhodné kódování) Je-li X náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí p a C q S je Shannonův kód zkonstruovaný na základě rozdělení q, potom platí: H(X) + D(p q) L p (C q S ) < H(X) + D(p q) + 1. Důkaz. Odvodíme horní mez, dolní mez se odvodí analogicky: L p (C q S ) = p(x) log q 1 (x) < p(x) ( log q 1 (x) + 1 ) x X x X = ( ) p(x) 1 p(x) log + p(x) = D(p q) + H(X) + 1. q(x) p(x) x X

110 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód

111 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Úvod Huffman nalezl v r.1951 optimální kód C H, tedy instantní kód minimalizující střední délku na množině všech jednoznačně dekódovatelných kódů výsledný kód není určen jednoznačně (např. bitovou inverzí získáme jiný optimální kód) jednoznačně není zadána ani délka kódových slov aplikace závěrečné zpracování formátů JPEG, MP3, DEFLATE, PKZIP předzpracování souboru pro aritmetické kódování

112 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Algoritmus Vstup: inf. zdroj (X, p), kde X = {x 1,..., x n }, p = (p 1,..., p n ) Výstup: kód C H : X {0, 1}.1. Z prvků množiny X vytvoř množiny S 1 = {x 1 },..., S n = {x n }, S = {S 1,..., S n } a uvažuj informační zdroj (S, p).2. Dokud S není jednoprvková: 2-1 najdi množiny S i, S j, i j s nejnižšími pravděpodobnostmi p i, p j 2-2 prvkům z S i připiš bit 0, prvkům z S j připiš bit 1 (bity připisujeme na začátek kódového slova) 2-3 polož S := S \ {S i, S j } 2-4 polož S := S {S i S j } a p(s i S j ) := p(s i ) + p(s j )..3 Každému x i X přiřaď slovo C H (x i ), které vzniklo postupným připisováním bitů

113 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Příklad x p(x) x p(x) x p(x) x p(x) kód (4, 5) 0.30 (2, 3) 0.45 (1, 4, 5) (4,5) 0.30 (2,3)

114 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Huffmanův vs. Shannonův kód Vždy platí: L(C S ) L(C H ) < 1. Srovnání délek kód. slov: Příklad Informační zdroj: X = {x 1, x 2 }, p(x 1 ) = , p(x 2 ) = Shannonův kód obsahuje slova délky 1 a 14 Huffmanův kód obsahuje slova délky 1 a 1 Příklad Informační zdroj: X = {x 1, x 2, x 3, x 4 }, p(x 1 ) = p(x 2 ) = 3 1, p(x 3 ) = 4 1, p(x 4 ) = Huffmanův kód má slova délek (2, 2, 2, 2) nebo (1, 2, 3, 3) Shannonův kód dává pro x 3 slovo délky 2

115 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Věta Vlastnosti optimálního kódu Nechť C je instantní binární kód pro X se zdrojovou abecedou X = {1,..., n} takovou, že Je-li C optimální, potom: p X (1) p X (n). je-li p X (x) > p X (y), pak l(c(x)) l(c(y)) kódová slova C(n 1) a C(n) mají stejnou délku a liší se pouze v posledním bitu

116 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Věta Optimalita Huffmanova kódování Nechť C H je Huffmanův kód a C je libovolný jednoznačně dekódovatelný kód pro náhodnou veličinu X. Potom L(C H ) L(C).

117 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Výhody minimální střední délka snadná implementace není patentová ochrana Nevýhody Vlastnosti Huffmanova kódování vstupem je informační zdroj, což vyžaduje načtení celého souboru dat kvůli výpočtu četností jednotlivých symbolů pro zdroje s entropií 1 bit může být neefektivní

118 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód

119 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód (Shannon-Fano-)Eliasův kód využívá dvojkový rozvoj p X (x) (0, 1) k zakódování znaku x X algoritmus je významnou částí aritmetického kódování předpoklad: vstup je zdroj X s výběrovým prostorem X = {1,..., m}, p X (x) > 0 Definice Modifikovaná distribuční funkce je funkce G : X [0, 1] definovaná jako G(x) = y<x p X (y) p X(x), x X.

120 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Dvojkový rozvoj pravděpodobností zřejmě platí: x 1 x 2 G(x 1 ) G(x 2 ) lze využít dvojkový rozvoj G(x) jako binární kód pro x X? Příklad X = {1, 2, 3}, p X (1) = 2 1, p X (2) = p X (3) = = , x = 1 G(x) = = , x = = , x = 3 Dostaneme kód: 01, 101, 111 ale Huffmanův kód: 0, 10, 11! Uvedený postup je možno zobecnit.

121 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód uvažujme délku kódových slov l(x) := log p X (x) + 1 Aproximace je-li G(x) = a n 2 n pro a n {0, 1}, definujeme n=1 l(x) G(x) l(x) := a n 2 n n=1 Věta Pro každé x X platí G(x) G(x) l(x) < 2 l(x) G(x) F X (x 1).

122 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód určíme funkce l(x) a G(x) l(x) Algoritmus zdrojový symbol x X zakódujeme pomocí l(x) bitů z rozvoje G(x) l(x) předchozí věta zaručuje, že tento kód je nesingulární a dokonce instantní! Věta Eliasův kód C je instantní a pro jeho střední délku platí L(C) > H(X) + 2.

123 Kódy Kraftova nerovnost Konstrukce kódů Huffmanův kód Eliasův kód Vlastnosti Eliasova kódování Algoritmus lze aplikovat též na celé bloky zdrojových symbolů délky n: to ovšem vyžaduje velmi přesnou aritmetiku bitové reprezentace reálných čísel navíc složitost roste exponenciálně s délkou bloku n řešení nabízí aritmetické kódování

124 Část V Univerzální komprese

125 O čem to bude? Not only does God play dice, sometimes he throws them where we can t see them. Stephen Hawking specifická komprese: všechny doposud uvedené kompresní algoritmy vyžadují znalost pravděpodobnostní funkce p X určující rozdělení zdroje X univerzální komprese nevyžaduje znalost rozdělení zdroje, kódování probíhá on the fly

126 LZ algoritmy autoři Lempel a Ziv publikovali 2 základní varianty algoritmu LZ77 a LZ78 algoritmus má mnoho různých variací, jako je např. Lempel-Ziv-Welsch LZW jde o třídu adaptivních kompresních algoritmů se slovníkem LZ77 a LZ78 asymptoticky dosahují rychlosti entropie pro tzv. stacionární ergodické zdroje

127 LZ78 (stromová verze LZ) řetězec x 1... x n X n délky n je sekvenčně testován na výskyt nejkratších řetězců, které se nevyskytly v předchozím kroku každý takový řetězec je označen a uložen do slovníku díky minimalitě ukládaného řetězce jsou jeho prefixy již ve slovníku zvláště řetězec x i... x k musel být uložen do slovníku před řetězcem x i... x k x k+1 Kód tvoří posloupnost dvojic (U k, x k ), kde U k je ukazatel na odpovídající prefix x i... x l, x k je poslední znak řetězce x i... x l x k.

128 Příklad X = {A, B}, řetězec ABBABBABBBAABABAA Dostaneme následující řetězce: Posloupnost dvojic: A, B, BA, BB, AB, BBA, ABA, BAA Ilustrace LZ78 (0, A), (0, B), (2, A), (2, B), (1, B), (4, A), (5, A), (3, A)

129 Příklad X = {0, 1}, řetězec Dostaneme následující řetězce: Ilustrace LZ78 (pokr.) 1, 0, 11, 01, 010, 00, 10 Postupně rozšiřujeme délku bitových slov pro vyjádření ukazatelů. Posloupnost dvojic: (, 1), (0, 0), (01, 1), (10, 1), (100, 0), (010, 0), (001, 0) Výsledný kód může tvořit pouze řetězec

130 Lempel-Ziv-Welschův algoritmus (LZW) ukládání posledního bitu v LZ78 není efektivní lze ukládat pouze ukazatele do budovaného slovníku LZW je základem většiny aplikací (např. compress v Unixu, ZIP, RAR, komprese v některých modemech, GIF, PDF)

131 Efektivita LZ78 Nechť c(n) je počet řetězců ve slovníku pro x 1... x n {0, 1} n. kód se skládá z c(n) dvojic (ukazatel,poslední bit) potřebujeme tedy celkem nejvýše c(n)(log c(n) + 1) bitů lze ukázat, že pro tzv. stacionární ergodický zdroj (X n ) n N je možno docílit asymptoticky optimální komprese, neboť platí c(n)(log c(n) + 1) n H((X n ) n N ) s pravděpodobností 1

132 Část VI Informační kanály

133 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Příklad (Vajda,2004) Motivace Holub má přepravit 1 bit informace (výhra/prohra bitvy) na místo určení. Jaká je kapacita použitého informačního kanálu v případě, že.1. bude holub sežrán sokolem s pravděpodobností holub se vyhne sokolům, ale s pravděpodobností 0.2 je odchycen špiónem, který mu zprávu změní na opačnou

134 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Informační kanál Definice Informační kanál je trojice K = X, P, Y, kde X je m-prvková vstupní abeceda Y je n-prvková výstupní abeceda P je matice m n podmíněných pravděpodobností: p Y X (y 1 x 1 ) p Y X (y 2 x 1 )... p Y X (y n x 1 ) P = p Y X (y 1 x 2 ) p Y X (y 2 x 2 )... p Y X (y n x 2 ) p Y X (y 1 x m ) p Y X (y 2 x m )... p Y X (y n x m )

135 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Informační kapacita Definice Informační kapacita kanálu K = X, P, Y je kde I(X; Y) = x X y Y C(K) = sup I(X; Y), p X m 1 p X (x)p Y X (y x) log p X(x)p Y X (y x) p X (x)p Y (y). jelikož I(X; Y) je spojitou funkcí p X (x) na kompaktní množině m 1, supréma se nabývá pro nějaké p X m 1 výpočetně výhodnější jsou vztahy I(X; Y) = H(X) H(X Y) = H(Y) H(Y X)

136 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Vlastnosti kapacity Věta Nechť K = X, P, Y je informační kanál. Potom: C(K) 0 C(K) log m C(K) log n I(X; Y) je spojitá konkávní funkce na množině m 1

137 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Výpočet kapacity hledáme maximum rozdílu H(Y) H(Y X) v proměnné p X m 1 lze využít optimalizačních metod výpočet je ovšem snadný pro kanály, v nichž se pravděpodobnostní funkce p Y X ( x i ), p Y X ( x j ) liší pouze permutací odpovídajících pravděpodobností v nich totiž H(Y X) nezávisí na p X, neboť pro každé x X platí H(Y X) = H(Y x)

138 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě X = Y = {0, 1} Binární bezšumový kanál Kapacita C(K) = 1

139 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě X = Y = {0, 1} Binární symetrický kanál.1 p.0..0.p.p.1.1 p.1 Kapacita C(K) = 1 H(p, 1 p)

140 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Šumovy kanaĺ s disjunktniḿi prěchody X = {0, 1}, Y = {00, 01, 10, 11} Kapacita C(K) = 1

141 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě X = Y = {a, b,..., z} Zmatená klávesnice.a a. 1 2.b..b c z.z Kapacita C(K) = log 13

142 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě X = {0, 1}, Y = {0, 1, z} Binární kanál se zámlkou.0..1 p.p.p.0.z Kapacita C(K) = 1 p.1.1 p.1

143 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Zámlka lepší než záměna Věta Kapacita binárního kanálu s pravděpodobností zámlky 2p (0 < p < 1 2 ) je větší než kapacita binárního symetrického kanálu s pravděpodobností záměny p.

144 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě

145 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Bezpaměťové rozšíření kanálu Definice Nechť K = X, ( p Y X (y x) ) y Y x X, Y je informační kanál. Bezpaměťové rozšíření kanálu K je kanál K n = X n, ( p n Y X (y x)) y Y n x X n, Y n, kde p n Y X (y x) = n p Yi X i (y i x i ). i=1

146 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Kanálové kódování kodér funguje na vstupu kanálu jako zobrazení κ : W X n zdroje W s abecedou W = {1,..., M} kanál přijímá pouze slova tvaru κ(i) = x(i) dekodér funguje na výstupu kanálu jako zobrazení δ : Y n W Definice (M, n)-kód kodéru κ na vstupu kanálu K je množina {x(1),..., x(m)} X n M vstupních slov délky n.

147 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Pravděpodobnosti chyb Definice Pro libovolný (M, n)-kód na vstupu kanálu K definujeme: podmíněná pravděpodobnost chyby slova i W je λ i = y Y n δ(y) i p n ( ) Y X y x(i) maximální pravděpodobnost chyby je λ (n) = max i W λ i průměrná pravděpodobnost chyby je p (n) = 1 M M λ i i=1

148 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Rychlost kódu a dosažitelnost Definice Rychlost (M, n)-kódu na vstupu kanálu K je R = log M n bit/kanálový znak. Definice Rychlost R 0 je v kanálu K dosažitelná, existuje-li posloupnost (2 nr, n)-kódů takových, že lim n λ(n) = 0.

149 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Operační kapacita kanálu Definice Operační kapacita kanálu C op (K) je suprémum rychlostí R, které jsou v kanálu dosažitelné.

150 Kapacita kanálu Shannonova věta o kapacitě Věta (Shannon, 1948) Shannonova věta Pro libovolný informační kanál K platí C op (K) = C(K). důkaz je konstruktivní! ovšem je nutno prohledat všechny možné kodéry, těch je X n2nr pro praktické použití se tedy nehodí

151 Část VII Dodatek