Šesté cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

Transkript

1 Šesté cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Řešení jednoduché separovatelné diferenciální rovnice Diferenciální rovnice průhybové čáry Analytická metoda vedoucí k určení obecné rovnice průhybové čáry a úhlu natočení - příklady

2 ŘEŠENÍ JEDNODUCHÉ SEPAROVATELNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE V této kapitolce si ukážeme, jak řešit jednu z nejjednodušších diferenciálních rovnic separovatelnou diferenciální rovnici druhého řádu, která je ve tvaru: y = f(x) Abychom se zbavili derivace na levé straně rovnice, musíme celou rovnici integrovat podle x: y = f(x) / dx y dx = f(x)dx y = f(x)dx + C 1 Všimněme si, že po neurčité integraci se na jedné straně rovnice musí objevit integrační konstanta, v našem případě C 1. Nyní musíme zopakovat stejný postup, abychom se zbavili i druhé derivace na levé straně rovnice: y = f(x)dx + C 1 / dx y dx = ( f(x)dx ) dx + C 1 dx y = ( f(x)dx ) dx + C 1 x + C 2 Jak můžeme vypozorovat, tak na pravé straně rovnice vznikly dva integrály a pokud je funkce f(x) jednoduše integrovatelná (což v naší probírané problematice bude), tak řešení je poměrně triviální. Nejdůležitější je uvědomit si, že po každé neurčité integraci vznikají integrační konstanty.

3 Pro lepší pochopení uvedu konkrétní příklad diferenciální rovnice: y = 7x + 77x 2 y dx = (7x + 77x 2 )dx y = 7 x2 2 y dx = (7 x x3 3 + C x3 3 ) dx + C 1dx nebo další příklad: y = 7 x x C 1x + C 2 y = F x + M x 2 y dx = (F x + M x 2 )dx y = F x2 2 + M x3 3 + C 1 y dx = (F x2 2 + M x3 3 ) dx + C 1dx y = F x3 6 + M x C 1x + C 2 Je nutné si jen uvědomit, že F a M jsou konstanty a integrujeme stejně, jako by to byla čísla (viz první příklad).

4 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY Diferenciální rovnice průhybové čáry je obecná rovnice, která obecně určuje velikost průhybu v jakékoli části nosníku. A právě obecnost je její velikou výhodou. Matematicky ji lze zapsat takto: w (x) = M(x) EI kde M(x) je ohybový moment (je to jakoby f(x) u diferenciální rovnice v předchozí kapitole), w je průhyb, E je modul pružnosti a I je moment setrvačnosti. Tato rovnice je platná, když budeme dodržovat znaménkovou dohodu:

5 Podle postupu z předcházející kapitoly, můžeme tuto rovnici postupně integrovat a vyjádřit tak natočení w (x)=ρ(x) a průhyb w(x) : w (x) = ρ(x) = 1 EI M(x)dx + C 1 w(x) = 1 EI ( M(x)dx ) dx + C 1x + C 2 C 1 a C 2 jsou integrační konstanty a jejich velikost se určí z okrajových podmínek, které jsou: Vetknutí: w' = 0 a w = 0 Kloubová pevná a posuvná vazba: w = 0 V místě maximální průhybu vždy platí: Ve stejném místě na nosníku je vždy posunutí shodné, čili nezáleží na tom, jestli budu odvozovat zprava či zleva. Toho se využívá při řešení složitějších nosníků, které je potřeba rozdělit na více úseků => mají více zatížení. U natočení platí totéž, akorát s opačným znaménkem. w'=0 w zprava = w zleva w zprava = -w zleva Jestliže chceme určit maximální průhyb na nosníku, musíme provést jeho první derivaci, kterou již máme ve formě rovnice natočení, a položit rovno nule. Čili tam, kde je nulové natočení je maximální průhyb: Více informací ZDE od strany 152. w (x) = 0 => w(x) = maximální

6 ANALYTICKÁ METODA VEDOUCÍ K URČENÍ OBECNÉ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY ÚHLU NATOČENÍ PŘÍKLADY Příklady s jedním úsekem:

7

8

9

10

11

12

13

14 Příklady s více úseky:

15

16