Lineární a adaptivní zpracování dat

Transkript

1 Daniel Schwarz Lineární a adaptivní zpracování dat Leden Příprava a vydání této publikace byly podporovány proektem ESF č. CZ..7/../7.38 Víceoborová inovace studia atematické biologie a státním rozpočtem České republiky.

2 Předmluva Učební text Lineární a adaptivní zpracování dat vznikl v souvislosti s řešením proektu ESF č. CZ..7/../7.38 Víceoborová inovace studia matematické biologie. Cíle této publikace sou dva. Prvním cílem e ukázat studentům matematické biologie a dalším laskavým čtenářům analýzu a zpracování dat z pohledu teorie lineárních systémů, které zde vystupuí ednak v roli generátorů dat a dále také v roli prostředků pro analýzu a zpracování dat. Druhým cílem e pak ukázat, ak lze efektivně řešit vybrané úlohy z této oblasti pomocí výpočetních nástroů v prostředí ATLAB. Data, o eichž analýzu a zpracování se ve všech kapitolách tohoto učebního textu usilue, maí povahu ednorozměrných diskrétních signálů a pro účely nevíce možného přiblížení se studentům neinženýrských disciplín sou zde tato data označována ako časové řady. Toto pomenování však nemění nic na skutečnosti, že většina z uvedených metod a postupů e využitelná také ako základ pro zpracování a analýzu obecných diskrétních signálů a posloupností, ako sou obrazová, prostorová nebo sekvenční data. Zcela záměrně e zde vynechána problematika zpracování a analýzy v čase nebo prostoru spoitých dat včetně eich vzorkování záemci o tuto oblast nechť využií iné dostupné literární prameny. Systémy nebo také filtry, o nichž e napříč tímto textem zhusta vedena řeč, si tak může student díky zaměření výhradně na diskrétní případy představit ako algoritmy realizované pomocí programů na počítači. Témata, kterým se tento učební text věnue, sou strukturována tak, že čtenáři na samém začátku neudou základní vlastnosti systémů, aby následně rozeznal lineární časově invariantní systémy a způsoby eich popisu v časové i frekvenční doméně. Ve druhé kapitole e pak představen základní koncept lineární filtrace, sou obasněny rozdíly mezi různými přístupy ke klasifikaci typů filtrů a sou také ukázány některé návrhové metody. Třetí kapitola se věnue kumulačním technikám pro zvýrazňování užitečné složky dat a potlačení složky rušivé. Někdy bývaí tyto techniky označovány ako metody průměrování nebo obecněi metody pro zlepšování poměru signálu k šumu. Následuící dvě kapitoly sou pak věnovány modelování vzniku náhodných časových řad a eich predikce, a to nedříve s využitím teorie podle statistiků George Boxe a Gwilyma Jenkinse a v poslední kapitole pak pomocí základních technik optimální a adaptivní filtrace. Na konci každé kapitoly sou kromě řešených úloh také stručně shrnuty klíčové znalosti, které by si měl čtenář při studiu tohoto textu osvoit. Kéž e ich dost a sou čtenářům k užitku. Na tomto místě bych rád poděkoval prof. Ing. Jiřímu Holčíkovi, CSc. za cenné rady a postřehy ke mně vyslané během práce na učebním textu a dále oběma recenzentům prof. Ing. Ivo Provazníkovi, Ph.D. a Ing. Zoltánovi Szabó, Ph.D. za důkladné pročtení, odstranění produktů autorské slepoty a podnětné připomínky. V Brně 5. ledna Daniel Schwarz Daniel Schwarz, ISBN

3 Systémy, signály a časové řady Za systém se obvykle považue soustava entit a eich vzáemné vztahy. V reálném světě sou systémy příliš složité, a ty živé obzvlášť, na to, aby e bylo možné ednoznačně popsat nebo analyzovat v celé eich komplexnosti. Využívaí se proto často matematické modely, které vznikaí abstrakcí reálných systémů. odel by měl být ednoduchý a měl by vykazovat takové chování, aké e pozorováno u systému, enž e předmětem zámu. Abstrakcí e myšleno vymezení důležitých veličin reálného systému a eich vzáemných vztahů, přičemž ostatní veličiny tvoří okolí systému a mohou být ignorovány, či mohou ovlivňovat vstupy systému nebo mohou být ovlivňovány eho výstupy. Systém mnohdy vysílá spontánně či vynuceně různé signály a mění svoe stavy mňouká, štěká, přibírá na váze, stárne, umírá, nebo v případě populace třeba i vymírá či se nestabilně množí. Pokud pozorovatel tyto signály a stavy měří, t. neznámý systém pozorue, pak vlastně získává o neznámém systému experimentální data, viz obr... Obr.. Identifikace systémů e disciplína zabývaící se tvorbou matematických modelů systémů. Identifikace začíná pozorováním či měřením modelovaného systému sou tak získána experimentální data, která se pak využívaí pro identifikaci struktury a pro odhad parametrů modelu. Data mohou být m. reprezentována časovými řadami neboli -D diskrétními signály. Systémy nebo procesy mohou signály vysílat ednak spontánně nebo ako odezvu na buzení vstupním signálem. Popisem systému se vysvětluí souvislosti mezi signály či časovými řadami na výstupu a na vstupu. Na ilustračním schématu e znázorněn diskrétní systém, který e realizován pomocí zpožďovacích členů z -, dále pomocí operací násobení koeficienty c..q a také pomocí operace sčítání. Systém zpracovává vstupní časovou řadu x(n) a na výstup vrací časovou řadu y(n). 3

4 Pro poem signál existue v literatuře celá řada definic. Pro účely tohoto textu bude podle [] signál definován ako ev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či iné materiální povahy, který nese nehmotnou informaci o stavu a dynamice systému či procesu, který e generue. Je-li zdroem informace živý organismus, pak hovoříme o biosignálech, a to bez ohledu na podstatu nosiče informace. Z pohledu matematika e možno se dívat na signál ako na funkci v čase nebo v prostoru proměnných a měřitelných veličin. Signály se dělí podle nezávislých veličin na spoité nebo diskrétní. Rozlišuí se také podle počtu dimenzí nezávislých veličin na ednorozměrné -D, dvourozměrné -D, třírozměrné 3-D, čtyřrozměrné 4-D a vícerozměrné N-D. U vícerozměrných signálů de většinou o statické nebo dynamické obrazy definované pomocí dvou až čtyř časoprostorových souřadnic, zatímco ednorozměrné signály zpravidla reprezentuí časové průběhy veličin. V případě ednorozměrných diskrétních signálů s ekvidistantním vzorkováním se pak hovoří o časových řadách. Identifikací systému se rozumí sestavení modelu reálného systému a odhadnutí eho parametrů tak, aby chování modelu odpovídalo tomu, co e v reálném světě pozorováno. Častou aplikací e konstrukce modelu za účelem předpovědi budoucího chování systému, který e modelován. Systémy nebo eich modely se často popisuí soustavami diferenciálních nebo diferenčních rovnic. V teorii systémů a signálů se velmi často používaí také neparametrické způsoby popisu, a to prostřednictvím charakteristik v originální časové či prostorové doméně, nebo po vhodných transformacích ve frekvenční doméně. Z hlediska zpracování a analýzy časových řad e možno definovat systém ako akoukoli sadu procesů, které náhodně nebo systematicky ovlivňuí povahu časové řady, viz příklad na obr.... Vlastnosti systémů Existuí určité důležité vlastnosti systémů, které má smysl vždy vyšetřovat, neboť zištění, že systém oplývá danou vlastností, může usnadnit eho modelování, identifikaci či popis. U systémů tedy sledueme následuící vlastnosti. Kauzální / nekazuzální. Systém e kauzální, pokud eho výstup závisí pouze na minulých a současných vstupních hodnotách v azyce českém se hovoří také o příčinnosti a následku. Kauzalitu nevyšetřueme u systémů s prostorově závislými proměnnými např. zpracování -D obrazu probíhá v daném systému s použitím vzorků obrazu ve všech směrech souřadného systému. Naproti tomu v reálném čase sou všechny systémy, které má smysl uvažovat, kauzální, neboť čas běží pouze dopředu např. představa nekauzálního finančního systému, ehož výkonnost závisí na zítřeší hodnotě cenných papírů, e nesmyslná. Z uvedených příkladů se zdá, že se potencionální nekauzalitou není ani třeba zabývat, ovšem při analýze systémů na základě časových řad se často využívá nahraných dat do paměti, a zavádí se tak přirozeně nekauzální operace, ako e např. výpočet diference časové řady, viz příklad systému pro detekci bodů zlomu na obr... Časově invariantní / časově proměnné. Systém e časově invariantní, pokud eho odezva y(t) na vstupní časovou řadu x(t) e vždy stená bez závislosti na prodlevách mezi buzeními. Jinými slovy e odezva časově invariantního systému na posloupnost posunutou v čase x(t t ) odezvou v čase steně posunutou: y(t t ). Biologické systémy nebo procesy nesou ovšem kvůli své adaptabilitě či stárnutí časově invariantní. Použití časově invariantního systému pro zpracování časových řad generovaných biologickými procesy e možné en tehdy, lze-li v omezeném časovém intervalu, který e dostatečný pro danou aplikaci, zavést omezuící předpoklady. Robustněším řešením pro zpracování 4

5 časových řad generovaných z biologických procesů e nasazení systémů adaptivních, t. časově proměnných, o kterých e v této učebnici skriptech rovněž poednáno. Lineární / nelineární. Lineární systémy sou popsány lineárními diferenciálními nebo diferenčními rovnicemi. Vzhledem k tomu, že takové systémy lze poměrně snadno řešit, e často snahou vyšetřovat reálné nelineární systémy v určitých oblastech ako systémy lineární, a to pokud lze dosáhnout dostatečné přesnosti takovéto aproximace. Lineární systém e takový systém, ve kterém lze uplatnit princip superpozice. Ten se matematicky popisue takto: xk n yk n ak xk n ak k k ; y k n, (.) což e rovnice vyadřuící odezvu na buzení pomocí kombinace k časových řad x k (n), která odpovídá kombinaci výstupních časových řad y k (n) získaných při individuálním, nezávislém působení oněch k vstupních časových řad na lineární systém. Symbolem n e v rovnicích vyádřen bezrozměrný diskrétní čas. x(n) x(n) y(n) y(n) n n Obr.. Příklad systému pracuícího s diskrétními -D signály neboli časovými řadami. Vstupní časové řady x(n) sou zpracovány hranovým detektorem tak, že lze výstupní časové řady y(n) použít pro detekci bodu zlomu v původních časových řadách. Hranový detektor lze popsat následuící diferenční rovnicí: y(n)=x(n+)-x(n)+x(n-). Jedná se tedy o nekauzální systém.. Lineární časově invariantní systémy, konvoluce Lineární časově invariantní (LTI linear time invariant) systémy disponuí matematickými vztahy mezi eich vstupními a výstupními signály či časovými řadami. Pomocí nich lze určit výstupní odezvu LTI systému na akýkoli vstup a lze také určit vstup systému při pozorování eho výstupu. Operaci, která určue vztah mezi časovými řadami na 5

6 vstupu a výstupu LTI systému, se říká konvoluce. Pro eí odvození pomocí základních matematických operací e třeba přimout následuící poučku, kterou lze selským rozumem vyvodit z vlastností LTI systémů. PRVNÍ POUČKA ODVOZENÁ SELSKÝ ROZUE: Známe-li odezvu LTI systému na velmi krátkou časovou řadu, můžeme pomocí těchto velmi krátkých řad seskládat libovolně dlouhou časovou řadu, a odezvu LTI systému na ni pak seskládat pomocí známé odezvy na velmi krátkou řadu. Nekratší časovou řadou, kterou e možno pro tento účel použít, e ednotkový impuls δ(n), kterému ve spoité časové doméně odpovídá Diracova distribuce. Kombinací posunutých ednotkových impulsů lze sestroit libovolnou časovou řadu, viz obr..3, což e možno také vyádřit následuící rovnicí: x n... x n x n x n x n k x k n k.... (.) Za předpokladu, že odezvou LTI systému na ednotkový impuls δ(n-k) e posloupnost h k (n), lze při aplikaci výše uvedené poučky, odvozené selským rozumem, vyádřit odezvu LTI systému na časovou řadu x(n) takto: n xk n k yn xk h n k x. (.3) k k Protože pro časově invariantní systém můžeme istě říci, že eho odezvy na časově posunuté ednotkové impulsy budou mít všechny stený průběh a budou se lišit pouze právě časovým posunem. ůžeme tedy psát, že: x n hn n k hn k n xk n k yn xn hn xk hn k. k k (.4) Poslední výraz v rovnici (.4) se označue ako konvoluční suma a operátor konvoluce * představue matematický způsob výpočtu odezvy LTI systému y(n) na libovolnou časovou řadu x(n) při znalosti odezvy h(n) tohoto systému na ednotkový impuls δ(n). Tato odezva h(n) se nazývá impulsní charakteristika systému a představue eden ze základních způsobů neparametrického popisu systému v časové nebo prostorové doméně. 6

7 x(n) x()δ(n) x()δ(n-) x()δ(n+) x()δ(n-) x() x() x(-) x() Obr..3 Sestroení časové řady x(n) pomocí ednotkových impulsů (n)..3 Lineární časově invariantní systémy a periodické signály, Fourierova řada Při zkoumání odezvy LTI systému na ednotkový impuls byl v předchozí podkapitole odvozen operátor konvoluce a definován poem impulsní charakteristika. Tato podkapitola se zabývá odezvou LTI systému na harmonickou časovou řadu, kterou lze vyádřit v goniometrickém a exponenciálním tvaru následuícími funkcemi: 7

8 f f n Asin n n f, f n Ae, (.5) kde A e amplituda signálu, f e normalizovaná úhlová frekvence a e počáteční fázový posuv. Průběh harmonické časové řady si lze představit ako rotuící fázor v komplexní rovině, přičemž rychlost eho rotace e dána právě normalizovanou úhlovou frekvencí f =/N f, kde N f představue počet vzorků harmonické časové řady v eí edné periodě. Harmonická časová řada e nekonečně dlouhá a ve frekvenční oblasti e eí amplitudové spektrum reprezentováno v edné půlperiodě čarou na ediné frekvenci, viz obr..4. Zatímco v rovnicích (.) až (.4) byla libovolná časová řada vyádřena pomocí kombinace ednotkových impulsů, e v následuící rovnici (.6) provedeno vyádření libovolné periodické časové řady pomocí harmonických složek. k n k n ake yn H e kn x ake k N k N (.6) Takovýto rozklad se označue ako Fourierova řada a kromě eího exponenciálního tvaru (.6) e Fourierova řada známa v matematické analýze také ve tvaru goniometrickém, kde de o rozklad periodické funkce do kombinace goniometrických funkcí. V rovnici (.6) e vyádřena libovolná časová řada x(n) ako lineární kombinace harmonických časových řad, přičemž úhlová frekvence ednotlivých harmonických složek e vyádřena ako k-násobek základní harmonické složky s úhlovou frekvencí =/N. Počet vzorků N v edné periodě časové řady x(n) zároveň určue maximální počet harmonických složek ve Fourierově řadě. Je zřemé, že Fourierova řada z diskrétního signálu e řada s konečným počtem koeficientů a k. Je-li směs harmonických složek x(n) přivedena na vstup LTI systému, pak eho výstup e podle rovnice (.6) opět směsí harmonických složek se stenými úhlovými frekvencemi. Jednotlivé harmonické složky sou násobeny komplexními čísly H(e k ), čímž dode buď k zesílení, nebo k zeslabení dané složky a dále může vlivem tohoto násobení doít také k posunu fáze dané složky. Na základě rovnice (.6) lze tedy usuzovat, že LTI systém nevytváří nové frekvenční složky, ale pouze zesilue nebo potlačue frekvenční komponenty iž existuící ve zpracovávané časové řadě. Zesilování, zeslabování a fázový posuv harmonických složek zpracovávaných časových řad lze pro systém vyádřit pomocí frekvenční charakteristiky G(), která e dána ako: Normalizovaná úhlová frekvence e mírou rychlosti změny v časové řadě. Zatímco běžná frekvence udává rychlost změny pomocí počtu cyklů za ednotku času ( Hertz = eden cyklus za sekundu), úhlová frekvence udává rychlost změny pomocí počtu radiánů za ednotku času. Normalizovaná frekvence f udává rychlost změny pomocí počtů cyklů za vzorek a v případě normalizované úhlové frekvence = f de o počet radiánů za vzorek. Výpočet normalizované frekvence (cykly za vzorek) se provádí prostým vydělením frekvence udávané v Hertzích (cykly za sekundu) vzorkovací frekvencí (vzorky za sekundu). Normalizovaná frekvence f a normalizovaná úhlová frekvence sou tedy bezrozměrné veličiny a eich hodnoty sou v intervalu f<;>, respektive <;>. Vzhledem k zaměření tohoto učebního textu výhradně na časové řady a nikoli na spoité signály, sou zde rychlosti změny vyadřované pouze pomocí normalizovaných bezrozměrných frekvencí a čas n zde vystupue pouze ve své diskrétní podobě - rovněž bezrozměrně. 8

9 n H e hn e. n G (.7) Z rovnice (.7) lze usuzovat, že frekvenční charakteristika diskrétního systému e spoitou periodickou funkcí úhlové frekvence. Tato funkce e dána Fourierovou řadou s koeficienty, které odpovídaí vzorkům impulsní charakteristiky h(n) popisovaného systému. Obr..4 Grafická znázornění harmonické časové řady a veličin, které určuí eí průběh. a) Harmonická časová řada. b) Rotuící fázor v komplexní rovině. c) První půlperioda amplitudového frekvenčního spektra harmonické časové řady. Perioda frekvenční charakteristiky s nezávislou bezrozměrnou proměnnou e, pro bezrozměrnou normalizovanou frekvenci f e perioda a pro nezávislou proměnnou F, kterou e frekvence v Hertzích, odpovídá perioda frekvenční charakteristiky hodnotě vzorkovací frekvence signálu F s, který e systémem zpracováván, viz příklad idealizované dolní propusti na obr..5. Způsob, akým systém preferenčně zesilue či zeslabue určité frekvenční komponenty zpracovávané časové řady a akým způsobem tyto složky fázově zpožďue, lze istě považovat za důležitou součást popisu systému. Frekvenční charakteristika tedy vlastně tvoří popis systému ve frekvenční oblasti. Pro doplnění e vhodné dodat, že Fourierova řada diskrétní posloupnosti e totéž co Fourierova transformace s diskrétním časem (DTFT Discrete Time Fourier Transform) této 9

10 posloupnosti, a e tedy možné říci, že frekvenční charakteristika systému odpovídá impulsní charakteristice tohoto systému transformované do frekvenční domény pomocí DTFT. G() 4 [-] f [-] F s F s F [Hz] Obr..5 Frekvenční charakteristika systému modulová část. Jedná se zřemě o systém, který představue ideální dolní propust. Systém propouští harmonické komponenty v dolní části frekvenčního spektra (zesílení e ) a utlumue frekvenční komponenty v horní části frekvenčního spektra (zesílení e ) viz také obr... Frekvenční charakteristika e symetrická okolo normalizované úhlové frekvence a periodická s periodou. Obrázek zároveň ukazue vztah mezi normalizovanou úhlovou frekvencí [-], normalizovanou frekvencí f=/=f/fs [-] a mezi frekvencí F [Hz]. Fourierova transformace s diskrétním časem DTFT by se však neměla zaměňovat nebo plést s diskrétní Fourierovou transformací (DFT Discrete Fourier Transform). Zatímco DTFT produkue z diskrétních posloupností spoité periodické funkce frekvence, viz (.8), výsledkem DFT e posloupnost konečného počtu vzorků DTFT, viz definice N-bodové DFT (.9). DTFT n h n H hn e, n (.8) DFT N n kn N h n H k hn e,, k,,,..., N. k k N (.9)

11 .4 Z-transformace, přenosová funkce diskrétního systému Transformace Z e důležitým matematickým nástroem pro reprezentaci a manipulaci s diskrétními posloupnostmi. ůžeme i považovat za zevšeobecnění Fourierovy transformace pro diskrétní systémy a signály. Obraz diskrétní posloupnosti v Z-transformaci e dán mocninnou řadou: x n X n z x z n, n Ζ (.) přičemž nečastěi uvažueme tzv. ednostrannou Z-transformaci pro nezáporné indexy n. Jak ukazue rovnice (.8), není samoúčelné se Z-transformací zabývat, neboť obraz konvoluce vykazue zaímavé vlastnosti: Ζ yn Ζxn hn Ζ xk hn k n k subst : m n k, Ζ x n k hn k z xk hn k m yn xk hm z X z H z. k m k k n z n, (.) Z rovnice (.) vyplývá, že násobení obrazů v Z-transformaci odpovídá konvoluce původních posloupností v časové nebo prostorové doméně. Tato vlastnost Z-transformace se označue ako konvoluční teorém 3 a obraz impulsní charakteristiky diskrétního systému H(z) se označue ako přenosová funkce diskrétního systému: H z z z subst : z e H Y X Z z H e G., h n hn n z n, (.) Z rovnice (.) vyplývá, že přenosová funkce vyadřue na ednotkové kružnici z = frekvenční charakteristiku diskrétního systému, což může lépe osvětlit periodicitu frekvenční charakteristiky, a to zeména při srovnání obr..5 a obr..6. Pokud se vyádří přenosová funkce ve tvaru racionálně lomené funkce a provedou se úpravy obou polynomů v čitateli a ve menovateli tak, aby se ednalo o polynomy s kladnými mocninami z, e pak možné vyádřit čitatel a menovatel přenosové funkce H(z) pomocí součinu kořenových činitelů: Z-transformace nemá nic společného s tzv. z-score transformací, která se aplikue ve statistické matematice pro převod libovolné normální distribuce na standardní normální distribuci. 3 Konvoluční teorém platí také pro speciální případy Z transformace, a sice pro DTFT a DFT.

12 i bi z z ni Y z i L i H z A z. L L (.3) X z i a z z p i i i i Kořeny polynomu v čitateli se označuí ako nulové body přenosové funkce a kořeny polynomu ve menovateli se označuí ako póly přenosové funkce. Obr..6 Přenosová funkce na ednotkové kružnici z = vyadřue frekvenční charakteristiku systému zde se edná o idealizovanou dolní propust z obr..5. Rozložení nul a pólů v rovině z e dalším typem popisu diskrétního systému. Využívá se zeména v situacích, kdy e cílem u systému nebo eho modelu vyšetřit eho stabilitu 4. Jedno ze dvou kritérií stability stanovue, že diskrétní systém e stabilní, pokud sou všechny póly eho přenosové funkce umístěny uvnitř ednotkové kružnice. Toto kritérium se označue také ako kritérium stability v obrazové doméně. Druhé kritérium stability diskrétního systému e definováno v časové doméně. Podle ně e systém stabilní, pokud součet absolutních hodnot vzorků eho impulsní charakteristiky e konečné číslo. Přímou souvislost konfigurace nulových bodů a pólů přenosové funkce systému s frekvenční charakteristikou systému ukazuí následuící rovnice a obr Stabilitu systému e možno vysvětlit ako eho tendenci přiměřeně reagovat na trvaící podnět a vracet se do výchozího stavu po té, co podnět zanikne.

13 3 L i i i i L L i i i i L L i i i i L L A p e n e G q q q d d d A p e n e e A G p e n e e A e H G arg arg arg arg,......, (.4) Re{z} Im{z} d d q q Obr..7 Rozložení nulových bodů a pólů přenosové funkce systému v rovině z může být využito pro sestavení odhadu průběhu frekvenční charakteristiky, viz rovnice (.4). Průběh modulové frekvenční charakteristiky lze z konfigurace nulových bodů a pólů přenosové funkce odhadnout tak, že se pro každou úhlovou frekvenci, které odpovídá bod na ednotkové kružnici z, určí vzdálenosti tohoto bodu od všech nulových bodů d.. a dále vzdálenosti tohoto bodu od všech pólů q..l. Podíl součinů těchto vzdáleností, viz rovnice (.4), pak určue hodnotu modulové frekvenční charakteristiky pro danou úhlovou frekvenci. Obdobně se postupue také u odhadu průběhu fázové frekvenční charakteristiky, přičemž se zde pracue nikoli se vzdálenostmi, ale s úhly, které svíraí průvodce vyšetřovaných bodů s reálnou osou.

14 V úvodu této kapitoly bylo uvedeno, že edním ze základních způsobů popisu diskrétního systému e diferenční rovnice. Souvislost diferenční rovnice s popisem systému pomocí přenosové funkce sice není na první pohled zřemá, ale pokud roznásobíme zlomky v rovnici (.3): L i i z a z X z b z, i i Y (.5) i i koeficienty a i a b i se normalizuí tak, aby a, a aplikue se inverzní z-transformace včetně vět o linearitě a posunu (zde bez důkazu, podrobně viz např. []), získá se diferenční rovnice systému: y n b xn i a yn i i i L i i (.6).5 Úlohy ÚLOHA. Vyšetřete kauzalitu, linearitu a časovou invariantnost systémů uvedených v tabulce.. y Tab.. Příkladové rovnice různých systémů a eich vlastnosti. Rovnice systému Kauzální? Časově invariantní? Lineární? y n x n ANO ANO NE y n xn NE ANO ANO n 3 ANO NE NE yn n xn NE NE ANO n x n 9 ÚLOHA. Určete diferenční rovnici systému s přenosovou funkcí: H(z)=,9z / (z,9) Po dlouhém vydělení polynomu polynomem dodeme k výrazu se zápornými mocninami z a inverzní Z transformací získáme požadovanou diferenční rovnici. H Y y z,9z,9,8z z,9,79z z,9x z,8z X z,79z X z i n,9xn,8xn,79xn...,9 xn i... i...,9 i i z i Y ( z) X ( z) 4

15 Jiný způsob řešení, který nevyžadue obtížné dělení polynomu polynomem: H Y Y y z,9z Y ( z) z,9 X ( z) zz,9,9 X z z,9z,9x z n,9 yn,9xn z z ÚLOHA.3 Vypočtěte a nakreslete frekvenční charakteristiku ednoduchého systému, který počítá diference dvou posledních vzorků časové řady a má rovnici: y(n),5x(n)5x(n) Frekvenční charakteristiku e možno vypočítat např. DTFT impulsní charakteristiky a využít Eulerových vztahů mezi komplexními exponenciálami a goniometrickými funkcemi. Amplitudovou frekvenční charakteristiku ukazue obr..8. h G n, DTFT{ h e e n } e e e e sin e G() [rad] Arg (G()) [rad] [rad] Obr..8 Úloha.3 odulová (vlevo) a fázová (vpravo) frekvenční charakteristika systému, který počítá diference z posledních dvou vzorků časové řady na vstupu. 5

16 ÚLOHA.4 Vypočtěte a nakreslete frekvenční charakteristiku ednoduchého systému, který počítá průměr dvou posledních vzorků časové řady a má rovnici: y(n),5x(n),5x(n) Frekvenční charakteristiku e možno vypočítat např. DTFT impulsní charakteristiky a využít Eulerových vztahů mezi komplexními exponenciálami a goniometrickými funkcemi. Amplitudovou frekvenční charakteristiku ukazue obr..9. hn, G DTFT{ hn} e e e e e e e cos G() [rad] Arg (G()) [rad] [rad] Obr..9 Úloha.4 odulová (vlevo) a fázová (vpravo) frekvenční charakteristika systému, který počítá průměry z posledních dvou vzorků časové řady na vstupu..6 Shrnutí V úvodní první kapitole bylo ukázáno, že diskrétní systém lze ednoznačně popsat neen diferenční rovnicí, ale také eho impulsní charakteristikou h(n), eho frekvenční charakteristikou G(), eho přenosovou funkcí H(z) nebo konfigurací nulových bodů n i a pólů p i eho přenosové funkce. Dále byly také ukázány souvislosti a transformace mezi ednotlivými způsoby popisu. Ze znalosti diferenční rovnice by tedy nemělo čtenáři činit problém sestavit přenosovou funkci systému, k ní určit rozložení nulových bodů a pólů v komplexní rovině z a zistit, zda e systém stabilní. 6

17 Lineární filtrace Filtrací se označuí takové operace, které vedou k oddělení užitečné a rušivé složky nebo také ke zvýraznění důležitých složek časových řad, ež sou předmětem zpracování či analýzy. Termín filtrace sám o sobě upozorňue na fakt, že cílem e určité složky propustit či zesílit a zároveň utlumit ty ostatní. V předchozí kapitole bylo uvedeno, že LTI systém může požadovaným způsobem měnit frekvenční složení zpracovávaných časových řad. Takovýto systém, algoritmus nebo program, může být označen také ako filtr a eden z mnoha způsobů eho realizace pomocí operací sčítání, násobení a pomocí zpožďovacích členů z - e ukázán na obr... Je vidět, že koeficienty realizace diskrétního systému souviseí přímo s koeficienty v eho diferenční rovnici (.6). Vyšší z čísel a L udává vyšší stupeň z obou polynomů v rovnici (.3) a označue se ako řád filtru. x(n) z z z b b b b b y(n) a L a L a z z z z Obr.. Realizace filtru/programu/systému přímou formou. Realizační schéma i rovnici (.6) e možno interpretovat tak, že LTI systém (nebo LTI filtr) uchovává v paměti starší vzorky časových řad na vstupu i na výstupu a eich lineární kombinací počítá vzorky časové řady na výstupu. ohlo by se na první pohled zdát, že filtrování ve frekvenční doméně umožňue libovolně tlumit nežádoucí harmonické složky časových řad. Pro tyto operace ve frekvenční doméně však existuí určitá omezení, protože mohou ednak způsobovat podstatné oscilace v přenosové funkci filtru a dále mohou být příčinou nežádoucích přechodových děů v časové doméně. Filtrování harmonických složek proto nelze ani v digitálním světě řešit ideálními filtry. Stanovení typu ideálního filtru e však výchozím bodem pro sestavení reálného filtru, ehož frekvenční charakteristika se obvykle blíží ideálnímu tvaru. Na obr..5 a obr.. sou frekvenční charakteristiky ideálního filtru typu dolní propust, ehož účelem e zbavit časové řady rušivých složek o vysokých frekvencích. Filtrace horní propustí se využívá, pokud rušivé složky časových řad vykazuí nižší frekvence než složky užitečné. Pokud užitečné složky časové řady leží v určitém frekvenčním pásmu, použie se 7

18 pro eich výběr filtr typu pásmová propust. Pro odstranění úzkopásmového rušení pak slouží filtr typu pásmová zádrž, viz obr..3. a) b) Ideální filtr c) d) e) х = časová doména frekvenční doména Obr.. Ideální filtr typu dolní propust by v případě své existence kompletně odstraňoval vysokofrekvenční složky a ponechával by beze změny nízkofrekvenční složky zpracovávaných časových řad. Takové chování odpovídá obdélníkové frekvenční charakteristice d), a to včetně záporných frekvencí. Výstup filtru ve frekvenční oblasti e dán součinem obrazu časové řady a frekvenční charakteristiky filtru e). Odezva takového systému v časové oblasti impulsní charakteristika b) na ednotkový impuls a) brání v existenci takového systému, neboť odezva e nenulová pro časy t<. V analogovém světě nelze ideální filtr realizovat, poněvadž de o nekauzální systém. V digitálním světě nelze ideální filtr realizovat, poněvadž impulsní charakteristika pro svů rozsah od - do + vyžadue nekonečnou paměť a frekvenční charakteristika obsahue nekonečně strmé náběžné a sestupné hrany. Na obrázku sou frekvenční charakteristiky a spektra znázorněna en ilustrativně, bez fázových částí.. Klasifikace filtrů podle algoritmu (AR, A, ARA) Horní část schématu na obr.. představue nerekurzivní část realizace filtru, t. část, ve které e pro výpočet vzorku časové řady y(n) na výstupu potřeba pouze zpožděných hodnot vstupní časové řady x(n). Na opačné straně realizačního schématu se ve výpočtu výstupní časové řady y(n) uplatňuí eí předchozí vzorky edná se tedy o rekurzivní část filtru se zpětnými vazbami. Budou-li koeficienty a i v rovnici (.6) nulové pro všechna i, filtr bude nerekurzivní a bude reprezentován pouze koeficienty b i. Takový filtr bez zpětné vazby dává na výstup 8

19 vážený průměr z konečného počtu posledních vzorků časové řady na vstupu, a proto se často označue ako A filtr (moving average) 5. Budou-li koeficienty b i nulové pro všechna i, filtr bude rekurzivní a bude reprezentován pouze koeficienty b a a i. Takový filtr se označue ako AR filtr (autoregressive). Výstup autoregresního filtru závisí pouze na aktuální hodnotě vstupní časové řady a dále na konečném počtu L starších vzorků časové řady na výstupu. G() a) G() c) G() b) G() d) Obr..3 Amplitudové frekvenční charakteristiky a) ideální dolní propusti, b) ideální pásmové propusti, c) ideální horní propusti a d) ideální pásmové zádrže. Pokud filtr obsahue ve svém algoritmu rekurzivní i nerekurzivní část, t. alespoň eden z koeficientů b i pro i e nenulový a současně alespoň eden z koeficientů a i pro i e nenulový, pak se hovoří o filtru ARA (autoregressive moving average). Pro úplnost e nutné dodat, že i ARA filtr e vždy rekurzivní obsahue zpětnou vazbu. Přenosová funkce filtru ARA má tvar racionálně lomené funkce, viz (.3). Lze-li tuto přenosovou funkci zednodušit krácením zlomků tak, že výsledkem dělení e přenosová funkce ve tvaru s polynomy nižšího řádu, pak lze říci, že obě verze přenosové funkce před krácením a po krácení popisuí dva filtry s podobnými vlastnostmi, avšak s různými realizačními algoritmy. Prostým vydělením racionálně lomené přenosové funkce filtru ARA lze ve vybraných případech dospět k přenosové funkci filtru AR nebo i k přenosové funkci filtru A. Z tohoto lze usuzovat, že filtry s velmi podobnými vlastnostmi lze realizovat zcela rozdílnými algoritmy např. filtr ARA se zpětnými vazbami a filtr A bez zpětných vazeb v úloze.. 5 Přestože A filtr pracue s vzorky, eho řád e, neboť řád neurčue počet koeficientů filtru, ale počet eho zpožďovacích členů. 9

20 . Klasifikace filtrů podle impulsní charakteristiky (FIR, IIR) V literatuře zabývaící se zpracováním a analýzou diskrétních signálů se obvykle využívá iné třídící terminologie než AR, A, ARA. Systémy nebo filtry se zde nedělí podle toho, zda využívaí rekurzivní či nerekurzivní algoritmus, nýbrž podle charakteru eich impulsní charakteristiky. Rozeznávaí se ednak filtry typu FIR (finite impulse response) s konečnou impulsní charakteristikou a dále filtry typu IIR (infinite impulse response), eichž impulsní charakteristika e nekonečná, t. odezva filtru na ednotkový impuls e nenulová pro n. Pro FIR filtry platí stená pravidla ako pro výše uvedené systémy A. Pod označení IIR se pak řadí většinou systémy AR i systémy ARA, neboť pokud časová řada na výstupu filtru závisí na svých předcházeících vzorcích, bude zřemě odezva na ednotkový impuls nekonečná, i když tomu tak ve zvláštních případech být nemusí. Přestože e zde patrný překryv klasifikací AR, A, ARA a IIR, FIR, není tento překryv úplný, neboť lze navrhnout filtr či systém, který sice bude mít svou rekurzivní část, a přesto bude mít eho impulsní charakteristika konečný počet vzorků 6. V literatuře věnuící se oblastem identifikace, návrhu i realizace filtrů či iných diskrétních systémů převažue klasifikace filtrů na FIR a IIR, zatímco pro modely procesů generuících data náhodné povahy e v literatuře zavedené využití klasifikace na AR, A, ARA, která e spoována se mény statistiků George Boxe a Gwilyma Jenkinse..3 Filtry s konečnou impulsní charakteristikou Filtry s konečnou impulsní charakteristikou se realizuí obvykle nerekurzivním algoritmem. Tyto filtry svou diferenční rovnicí odpovídaí A systémům a bývaí často označovány také ako nerekurzivní filtry nebo konvoluční filtry. Poem moving average vcelku asně osvětlue funkci A nebo FIR filtru, neboť na výstup dává vážený průměr posledních vzorků časové řady na vstupu. Rovnice (.) ukazue, že realizační koeficienty b i FIR filtrů, které vlastně tvoří váhy výsledného váženého průměru, odpovídaí přímo hodnotám impulsní charakteristiky h(n). y n b. xn b. xn b. xn... b. xn k b. x k n k subst : b hn hn xn. k (.) Přenosová funkce FIR systémů má polynomiální tvar, viz rovnice (.), z čehož lze usuzovat, že nulových bodů bude rozmístěno kdekoli v rovině z (obvykle přímo na ednotkové kružnici z ) a -násobný pól bude v počátku roviny z, t. ve středu ednotkové kružnice. FIR filtry sou tedy vždy stabilní. H z Y X z z k b z A k k k. z n z k. (.) 6 Filtr s rekurzivním algoritmem může ve zvláštních případech vykazovat konečný počet vzorků impulsní charakteristiky, a to tehdy, e-li zaištěno, aby se v určitých taktech vzáemně vyrušily příspěvky zpětnovazební smyčky s příspěvky z nerekurzivní části filtru.

21 Kromě zaručené stability e další výhodou FIR filtrů také možnost dosažení přesně lineární fázové frekvenční charakteristiky, což e často požadovaná vlastnost. Vykazue-li totiž filtr lineární fázovou charakteristiku, dochází při zpracování časové řady takovým filtrem ke shodnému tzv. skupinovému zpoždění 7 ednotlivých harmonických komponent, a tvar časové řady tak není zkreslen. Lineární fázová charakteristika e zaručena v případě symetrické nebo antisymetrické impulsní charakteristiky, t. pokud e splněna podmínka osové nebo bodové souměrnosti podle rovnice (.3). h n h n, n,,,...,. (.3) Filtry s lineární fázovou charakteristikou vykazuí specifické rozložení nulových bodů, neboť e-li H(n k ), pak i H(/n k ). Pokud se edná navíc o systém s reálnými koeficienty, pak platí také, že komplexně sdružené n k * a /n k * sou rovněž nulovými body přenosové funkce, a tedy nulové body takového filtru se vyskytuí hned ve čtveřicích, viz obr..4. Pro návrhy filtrů FIR se užívá celá řada metod, eichž přehled včetně detailních postupů lze nalézt např. v [] a [4]. Základní a přímočarou metodou e návrh zadáním průběhu modulové frekvenční charakteristiky. Po ekvidistantním vzorkování požadované frekvenční charakteristiky G d ( k ) v N bodech 8 se aplikue inverzní DFT, kterou e vypočtena impulsní charakteristika h(n): h N / d (.4) N k N nk N n G k e. odulová frekvenční charakteristika výsledného filtru G() interpolue přesně všech N zadaných vzorků, nicméně eí průběh mezi nimi nelze niak ovlivnit. Jsou-li požadovány strmé přechody mezi propustným a nepropustným pásmem, sou ve výsledné frekvenční charakteristice patrné významné oscilace, viz obr..5. Právě těmito oscilacemi se odlišue výsledná frekvenční charakteristika od eího požadovaného ideálního průběhu. Aby byla impulsní charakteristika navrhovaného filtru h(n) reálná a kauzální, e třeba při vzorkování pamatovat na symetrii amplitudové i fázové frekvenční charakteristiky. Pro sudé a liché počty vzorků a dále pro symetrickou a antisymetrickou h(n) e možno z rovnice (.4) odvodit čtyři typy FIR filtrů s lineární fází, viz tab... Alternativně lze při návrhu zadat výpočetnímu programu (např. atlab, Signal processing toolbox) pouze vzorky reálné modulové frekvenční charakteristiky a fázovou charakteristiku ponechat nulovou ve všech vzorcích. Výslednou impulsní charakteristiku e pak nutno kauzalizovat, t. přeuspořádat pořadí eich vzorků, ak bude ukázáno v řešené úloze na konci kapitoly. 7 Záporná derivace fázové frekvenční charakteristiky filtru podle úhlové frekvence se nazývá skupinové zpoždění filtru. Při lineární fázové charakteristice e skupinové zpoždění konstantní nezávislé na frekvenci ednotlivých harmonických složek. FIR filtr řádu s lineární fází má skupinové zpoždění /, a zpozdí tedy filtrovanou časovou řadu o / vzorků. 8 Vzhledem k periodicitě frekvenční charakteristiky sou hodnoty G d ( k ) totožné pro k a pro kn. Řád výsledného FIR filtru získaného po N-bodové inverzní DFT bude N.

22 Im{z} x Im{z} x - - Re{z} - - Re{z} Im{z} x Im{z} x - - Re{z} - - Re{z} Obr..4 Příklady rozložení nulových bodů a pólů čtyř různých reálných FIR filtrů. U nulových bodů lze pozorovat specifické rozložení, neboť se vyskytuí v komplexně sdružených a recipročních párech..4. G() Obr..5 odulová frekvenční charakteristika FIR filtru typu dolní propust metodou vzorkování frekvenční charakteristiky. Čáry a tečky v grafu představuí 5 vzorků ideální horní propusti a tlustá čára představue amplitudovou charakteristiku výsledného filtru.

23 3 Tab.. Čtyři typy FIR filtrů s lineární fázovou frekvenční charakteristikou. Impulsní charakteristika počet vzorků N G() Typ h(n) = h(nn) Lichý 3 cos N k N k k N h N h e h(n) = h(nn) Sudý 3 cos N k N k k N h e h(n) = h(nn) Lichý sin N k N k k N h e 3 h(n) = h(nn) Sudý sin N k N k k N h e 4.4 Filtry s nekonečnou impulsní charakteristikou Filtry s nekonečnou impulsní charakteristikou se realizuí vždy rekurzivním algoritmem. Tyto filtry svou diferenční rovnicí odpovídaí AR nebo ARA systémům. Přenosová funkce IIR filtrů má tvar racionální lomené funkce, viz rovnice (.3), z čehož lze usuzovat, že u těchto systémů bude vždy nutné vyšetřovat eich stabilitu. Filtry IIR nemaí lineární průběh fázové frekvenční charakteristiky, a tak mohou zkreslovat zpracovávané časové řady i v propustných pásmech. Návrh IIR filtrů e méně intuitivní a složitěší než v případě návrhu FIR filtrů. Provádí se buď interaktivním rozmísťováním nulových bodů a pólů, nebo se používaí optimalizační metody podle požadované frekvenční charakteristiky, které vedou na řešení soustavy nelineárních rovnic. Při dostupnosti potřebného softwarového vybavení (např. atlab a Signal processing toolbox) lze pro nerychleší návrh IIR filtru využít přístupu založeného na podobnosti s analogovými filtry 9, pro které existuí tabulkové definice normovaných dolních propustí. Výhodou IIR filtrů oproti FIR filtrům e možnost dosažení mnohem strměších přechodů mezi propustným a nepropustným pásmem při steném řádu filtru, viz obr... Tuto výhodu e možné vyádřit také ako schopnost dosahovat menších zpoždění IIR filtry než FIR filtry při stených požadavcích na tvar frekvenční charakteristiky. 9 V minulosti, kdy se většina součástek realizovala analogovými obvody, bylo standardizováno několik typů filtrů pomenovaných podle svých obevitelů: Čebyševův filtr, Butterworthův filtr, Besselův filtr, eliptický Caurerův filtr a. Převod analogového filtru na digitální může být založen na a) nalezení ekvivalence mezi diferenciálem a konečně malým přírůstkem, b) impulzně invarianční transformací, c) bilineární transformací (Skalický, 995). Dále se eště aplikuí frekvenční transformace, aby mohly být z normovaných dolních propustí odvozeny i filtry s inou konfigurací propustného a nepropustného pásma.

24 .5 Úlohy ÚLOHA. Pan Josef Vdoleček se přistěhoval do obce, eíž zastupitelstvo před časem schválilo budoucím sousedům pana Josefa vystavět a provozovat autolakovnu přímo v uliční zástavbě (realitní kancelář na tento fakt pana Josefa pro istotu neupozornila). Odbor životního prostředí obce s vyšší působností na četné stížnosti kvůli zápachu linoucímu se pravidelně z lakovny sice reagoval provedením místního šetření, avšak opožděnými kontrolami nebyly nikdy zištěny nadlimitní koncentrace zapáchaících látek v okolním ovzduší, neboť provozovatelé lakovny stihli vždy v pravý včas uvést veškerou nákladnou filtraci do chodu. Pan Josef Vdoleček se proto rozhodl vzít vše do svých rukou, pořídil si certifikovaný chemický plynový analyzátor a ovzduší na svém dvorku průběžně monitoroval a to tak, že každou hodinu změřil koncentrace zapáchaících látek a zapsal si e do sešitu v programu S Excel pro pozděší analýzu. Jev, který sledoval, se však skládal z více komponent, neboť zápach vypouštěla v krátkých intervalech s průměrnou periodou 4 hodiny (opravy karosářských dílů) ednak lakovna a dále ke koncentracím zapáchaících látek přispívaly i pozvolné děe s průměrnou periodou hodin (provoz továren) od vzdáleněších producentů zápachu. Úkoly: a) Navrhněte FIR filtr pro odstranění rušivé složky v časové řadě reprezentuící monitoring údaů o koncentraci zapáchaících látek na dvorku pana Josefa. Volte filtr s polynomem takového řádu, aby zpoždění filtru bylo maximálně hodin. b) Navržený filtr popište impulsní charakteristikou a diferenční rovnicí. c) Vykreslete frekvenční charakteristiku navrženého filtru. d) Zkontrolute linearitu fázové charakteristiky a určete skupinové zpoždění filtru. e) Je nutné u tohoto typu filtru kontrolovat stabilitu? Příslušný program pro atlab e na obr... a) Volíme filtr s nevyšším možným řádem, který nám eště umožní požadované skupinové zpoždění: = =. Počet vzorků frekvenční charakteristiky: N = + =. Rušivá složka časové řady určené k filtraci má delší periodu než složka užitečná filtr tedy bude typu horní propust. Rozvahu ve frekvenční doméně a návrh filtru ukazuí komentované obrázky.6 a.7. b) Viz obr..8. c) Viz obr..9. d) Fázová charakteristika e dle očekávání lineární impulsní charakteristika vykazue sudou/lichou symetrii. Body zlomu odpovídaí nulovým bodům přenosové funkce. Odečtení skupinového zpoždění z grafu e na obr..9. e) FIR filtry sou vždy stabilní, neboť obsahuí pouze násobné póly v počátku. Pro zaímavost e rozložení nulových bodů ukázáno na obr... 4

25 G d () T h T s h T 8 h T 4 h /4 / [rad] Obr..6 Úloha. rozvaha ve frekvenční doméně. Normované úhlové frekvenci odpovídá vzorkovací frekvence zde vyádřeno pomocí vzorkovací periody. Dalším dělením frekvenční osy (přerušované čáry) sou orientačně vyznačeny periody evů a nakonec tenkou tlustou čarou naznačen ideální průběh amplitudové frekvenční charakteristiky.. G d (). (N-).=().. = N [rad] Obr..7 Úloha. návrh horní propusti vzorkováním frekvenční charakteristiky. Požadovaná modulová frekvenční charakteristika e symetrická podle. vzorku. 5

26 h(n) n Obr..8 Úloha. impulsní charakteristika navrženého FIR filtru. Jeho diferenční rovnice: y(n)=h x()+h x()+ +h x(), G() Arg (G()) [rad] Obr..9 Úloha. modulová (nahoře) a fázová (dole) frekvenční charakteristika navrženého FIR filtru. Z grafu fázové charakteristiky lze odečíst eí směrnici, a určit tak skupinové zpoždění, které e v tomto případě deset vzorkovacích intervalů, t. hodin. 6

27 Im{z} - - Re{z} Obr.. Úloha. rozložení nulových bodů a pólů navrženého filtru FIR. %%% ULOHA. %%% Ts = ; % vzorkovaci perioda e edna hodina % nekratsi perioda ve sledovanem dei % ma tedy hodiny % prumerna perioda sledovaneho dee e 4 h % prumerna perioda rusiveho dee e h Gd = zeros(,); % rad filtru =, delka char-stik N= % F() odpovida pi rad/s - misto symetrie % a dee s periodou h % F(5) odpovida deum s periodou 4 h % F(5/) odpovida deum s periodou 8 h % F(5/3) odpovida deum s periodou h Gd(5:8) = ones(,4); % vynulovane sou: (=),,,3 a,9,8 % t. 4 vzorky z kazde strany edne periody % frekvencni char-ky h = ifft(gd); % inverzni DFT 7

28 % kauzalizace imp. char-ky % prehoz. leve a prave poloviny posloupnosti h = [h(ceil(length(h)/)+:end) h(:ceil(length(h)/))]; figure; % vykresleni impulsni char-ky stem([:length(h)-],h); xlabel('n'); ylabel('h(n)'); [G,w]=freqz(h,,'whole',4); % vypocet spoite frekv. charakteristiky % komplexni frekv. char-ka G bude definovana % na 4 vzorcich a intervalu omega=..pi figure, % vykresleni frekvencni charakteristiky plot(w,abs(g),'k'); wk = linspace(,*pi-(*pi)/,); % uhlove frekvence, na kterych byla G vzorkovana % neboli uhlove frekvence, % na kterých e definovana Gd hold on; % vykresleni vzorku Gd do steného grafu ako G stem(wk,gd); xlabel('w'); ylabel(' G(w) '); figure; % vykresleni fazove frekv. char-ky plot(w,angle(g),'k'); xlabel('w'); ylabel('arg(g(w))'); sys = filt(h,); % definice obektu typu LTI filtr figure, pzmap(sys); % vykresleni nulovych bodu a polu Obr.. Úloha. řešení v atlabu. ÚLOHA. Je dán filtr s přenosovou funkcí H(z)=(z z 6 )/(z ). Otázky: a) Jedná se o filtr FIR nebo IIR? b) Je tento filtr stabilní? H H 6 4 z z z z z z z z z z z z 6 z z z z z 4 z z z. z z z Po krácení polynomů byla získána přenosová funkce ve tvaru ediného polynomu. Jedná se tedy o filtr FIR, který e vždy stabilní. Zaručenou stabilitu lze odvodit také z krácené přenosové funkce ve tvaru součinu kořenových činitelů, která má dva nulové body (n, n ) a čtyřnásobný pól v počátku (p..4 ). Pokud by byl filtr realizován podle původní nekrácené přenosové funkce, t. s algoritmem ARA, nešlo by zaručit stabilitu takového filtru, neboť vzhledem k pólům (p 5, p 6 ) by se takto realizovaný filtr nacházel na mezi stability. z 4. 8

29 ÚLOHA.3 Navrhněte pro pana Josefa Vdolečka, se kterým ste se seznámili v úloze., IIR filtr. řádu a porovnete eho vlastnosti s FIR filtrem. Upozorněte pana Josefa na eventuální obtíže vyplývaící z použití IIR filtru. Příslušný program pro atlab e na obr..3. Frekvenční charakteristika Butterworthova IIR filtru. řádu e na obr.. a rozložení nulových bodů a pólů e na obr... Pana Josefa Vdolečka e třeba upozornit na nelinearitu fázové frekvenční charakteristiky, díky které se ednotlivé harmonické složky zpracovávané časové řady dostanou na výstup s různým skupinovým zpožděním, a dode tak ke tvarovému zkreslení výstupní časové řady..4. G() Arg (G()) [rad] - Nelineární průběh Obr.. Úloha.3 modulová (nahoře) a fázová (dole) frekvenční charakteristika IIR Butterworthova filtru typu horní propust. řádu. V grafu fázové charakteristiky lze sledovat eí nelineární průběh. 9

30 Im{z} - - Re{z} Obr.. Úloha.3 rozložení nulových bodů a pólů IIR Butterworthova filtru typu horní propust. řádu. %%% ULOHA.3 %%%%%% IIR BUTTERWORTHUV FILTR - HORNI PROPUST wcutoff =.968/pi; % cut-off se zadava v intervalu.., % kde odpovida polovina vzorkovaci frekvence [b,a] = butter(,wcutoff,'high'); % koeficienty Butterworthova % filtru. radu, horni propust sys = filt(b,a); % definice obektu typu LTI filtr figure, pzmap(sys); % vykresleni nulovych bodu a polu [G,w]=freqz(b,a,'whole',4); % komplexni frekvencni char-ka figure, plot(w,abs(g),'k'); xlabel('w'); ylabel(' G(w) '); figure, plot(w,angle(g),'k'); xlabel('w'); ylabel('arg(g(w))'); Obr..3 Úloha.4 řešení v atlabu. 3

31 .6 Shrnutí Ve druhé kapitole byl představen koncept lineární filtrace pomocí LTI systémů, které se označuí ako filtry, neboť selektivně vybíraí ze zpracovávaných časových řad požadované frekvenční složky a iné tlumí. Každý filtr e ednoznačně popsán svou impulsní charakteristikou h(n). Odezvu filtru na libovolnou časovou řadu x(n) e možno vypočítat pomocí diskrétní konvoluce: y(n) = x(n) * h(n) a dále také pomocí diskrétní Fourierovy transformace: y(n) = DFT - {X() H()}= DFT - { DFT{x(n)} DFT{h(n)} }. Pokud má impulsní charakteristika filtru konečný počet vzorků, označue se filtr zkratkou FIR, e vždy stabilní a může být navržen tak, aby eho fázová frekvenční charakteristika byla lineární. Filtry s nekonečnou impulsní charakteristikou pak označueme ako filtry IIR a tyto nemaí lineární fázovou frekvenční charakteristiku, avšak poskytuí strměší přechod mezi propustným a nepropustným pásmem, než e tomu v případě FIR filtrů steného řádu. Podle realizačního algoritmu dělíme filtry na A, AR a ARA. Filtry A neobsahuí žádné zpětnovazební smyčky se zpožďovacími členy - na rozdíl od filtrů AR a ARA. Zatímco přenosová funkce filtru A má ryze polynomiální tvar, u filtrů AR a ARA e přenosová funkce popsána racionální lomenou funkcí. Obsahue-li realizační algoritmus akéhokoli filtru zpětné vazby se zpožďovacími členy, e vždy nutné kontrolovat eich stabilitu. 3

32 3 Kumulační zvýrazňování užitečné složky časových řad v šumu V této kapitole sou probrány techniky pro analýzu časových řad v časové doméně, které slouží pro zvýrazňování užitečné složky dat skryté v šumu. Tyto techniky se označuí také ako zvyšování poměru signálu k šumu, metoda kumulačních součtů nebo ednoduše kumulace či průměrování (signal averaging). Jeich použití e obvykle svázáno s následuícími předpoklady:. Užitečná a rušivá složka (šum) nesou navzáem korelovány.. Časové řady maí buď repetiční povahu, anebo se edná o opakovaná měření s konzistentní užitečnou složkou. 3. Rušivá složka e aditivní šum. 4. Šum e generován náhodným procesem s nulovou střední hodnotou. Zirconium: měření Zirconium: průměr 3 měření Relativní abundance [%] Relativní abundance [%] m/z m/z Zirconium: průměr měření Zirconium: průměr 5 měření Relativní abundance [%] Relativní abundance [%] m/z m/z Obr. 3. Příkladová aplikace kumulačního zvýrazňování užitečné složky časové řady skryté v šumu hmotnostní spektrometrie při identifikaci neznámých látek v analytické chemii. Proměření hmotnostního spektra iontů se opakue obvykle krát a výsledná posloupnost spektrálních čar e počítána ako průměr ze všech získaných měření. 3

33 Každý z těchto předpokladů bývá v reálných aplikacích do isté míry nesplněn, avšak i v takových případech se kumulační techniky pro zvýraznění užitečné složky časových řad v šumu díky své robustnosti obvykle osvědčuí. Příkladové aplikace sou ukázány na obr. 3. a na obr. 3.. průměr 3 měření VEP [uv] čas [s] Obr. 3. Příkladová aplikace kumulačního zvýrazňování užitečné složky časové řady skryté v šumu zrakové evokované potenciály v neurologii. Podíl amplitudy evokované odpovědi k amplitudě bazální aktivity centrálního nervového systému se odhadue na desetiny až ednotky procent. nohočetným vybavením steného zrakového, sluchového, motorického nebo somatosenzorického podnětu e možno díky kumulačním technikám oddělit evokované odpovědi od náhodné EEG a EG aktivity. Jako doporučený počet repetic se uvádí čísla řádově od desítek do tisíců []. V příkladu na obrázku odpovídá záporný čas době před stimulem a kladný čas odpovídá době po stimulu. 3. Poměr signálu k šumu SNR Kvantifikované hodnocení poměru užitečné složky časových řad (signálu) a složky rušivé (šumu) se obvykle označue ako poměr signálu k šumu (SNR signal-to-noise ratio) a vychází se přitom z amplitudy nebo výkonu každé z těchto složek. Průměrný výkon časové řady lze vyádřit ako časový průměr čtverců amplitud (ms mean squared amplitude): N ms x xn. (3.) N i 33

34 Po odmocnění výkonu získáme tzv. efektivní amplitudu (rms root of the mean squared amplitude): N rms x xn. (3.) N i Poměr signálu k šumu SNR se obvykle uvádí pomocí logaritmické decibelové stupnice: mssignál SNR log db (3.3) ms šum a alternativně lze pomocí substituce ms = rms používat také tento vztah: rmssignál rmssignál SNR log log db. (3.4) rmsšum rmsšum 3. Repetiční časové řady Kumulační techniky se nečastěi uplatňuí u tzv. repetičních časových řad. Ty sou charakteristické tím, že se v nich po nekonstantní době opakue stená, časově omezená posloupnost hodnot, která se označue ako edna repetice. Prakticky se lze setkat se dvěma různými typy repetičních časových řad:. časové řady s repetiční povahou, které nelze považovat za perfektně periodické kvůli mezirepetiční variabilitě a nekonstantnímu zpoždění mezi ednotlivými repeticemi např. diskrétní signály získané při měření aktivity srdce (signály EKG);. časové řady získané opakovaným měřením steného evu např. evokované potenciály v neurologii, viz obr. 3.. U repetičních časových řad prvního typu, které se někdy označuí ako quasi-periodické, e nutno zaistit koherenci ednotlivých repetic neboli lícování navzáem si odpovídaících vzorků ednotlivých repetic, viz obr 3.3. Stanovení referenčních souřadnic na časové ose lze provést např. edním z těchto postupů (nebo pomocí eich kombinace). A. Prahování. Za referenční časovou souřadnici se stanoví ta, na které hodnota posloupnosti v repetici poprvé přesáhne předdefinovaný práh. B. Detekce podle strmosti. Za referenční časovou souřadnici se stanoví ta, která e ve středu intervalu, přes který dochází v posloupnosti k požadované změně. Vyhledávaí se obvykle souřadnice s maximální strmostí (náběžné nebo sestupné hrany impulsů či vln rychlé změny) nebo s minimální strmostí (plató vln velmi pomalé nebo žádné změny). C. Detekce podle vzoru. Za referenční časovou souřadnici se stanoví ta, od které e posloupnost svými hodnotami neblíže hodnotám předdefinované vzorové posloupnosti. Vzorem může být např. vybraná reprezentativní repetice nebo i uměle sestroená posloupnost, která má svým průběhem odpovídat užitečné složce časové řady v edné repetici. Pro výpočet podobnosti lze použít celou řadu metrik v neednodušším případě 34

35 půde zřemě o nalezení minima sumy čtverců rozdílů mezi vzorovou posloupností a odpovídaícími vzorky ze zpracovávané časové řady. repetice repetice repetice repetice x (k) k- k- k k+ k+ N Obr. 3.3 Sada repetic časové řady obsahuící užitečnou a rušivou složku. Každá repetice e dána posloupností navzáem si odpovídaících vzorků x (k), kde k,,,n. 3.3 Repetiční časové řady s náhodným rušením Repetiční časovou řadu lze v případě aditivního rušení vyádřit ako součet užitečné složky s a rušivé složky, které sou navzáem nezávislé (takový byl předpoklad stanovený na začátku této kapitoly). Při splnění podmínky časové koherence repetic lze k-tý vzorek -té repetice vyádřit součtem (viz také obr. 3.3): k s k k, k,, N x..., (3.5) 35

36 a posloupnost kumulovaných (či váženě zprůměrovaných) vzorků v edné repetici se vyádří ako lineární kombinace repetic: xk a x k a s k k, (3.6) kde a, a, a sou váhy ednotlivých repetic např. pro prosté průměrování platí, že a / pro,,. Pro stanovení, ak se zlepší poměr užitečné složky ke složce rušivé, t. zlepšení SNR, lze rovnici (3.6) přepsat do tvaru: k s k a a k. x (3.7) Z prvního členu pravé strany rovnice (3.7) lze vyčíst změnu užitečné složky s (k), a sice na a - násobky původních hodnot eich vzorků. Druhý člen v rovnici (3.7) pak vyadřue lineární kombinaci realizací náhodného šumu konkrétní změnu v zastoupení rušivé složky v kumulované časové řadě tedy nelze z rovnice (3.7) přímo vyádřit. Za předpokladu, že šum e generován náhodným procesem s nulovou střední hodnotou, lze očekávat, že pro nekonečně velký počet navzáem nekorelovaných repetic (k), =,,, bude rušivá složka ve výsledné kumulované repetici redukována tak že x(k) s(k). V reálných podmínkách e však a zbytková rušivá složka může být nelépe charakterizována svým rozptylem. Pro rozptyl lineární kombinace náhodných veličin z druhého členu rovnice (3.7) platí: Var a a aiai, (3.8) i kde σ sou rozptyly ednotlivých náhodných veličin a σ i sou kovariance dvoic členů kombinace []. Za předpokladu, že e šum generován stacionárním procesem, bude eho rozptyl stený ve všech repeticích σ σ,,,,. V takovém případě lze pro rozptyl zbytkové rušivé složky σ po kumulaci přepsat vztah (3.8) na: a a a. (3.9) i i i Je-li splněn úvodní předpoklad, že realizace šumu v ednotlivých repeticích sou na sobě nezávislé, pak druhý člen v rovnici (3.9) bude nulový a po kumulaci se změní rozptyl rušivé složky na a - násobek původního rozptylu. Pokud tento předpoklad splněný není, rozptyl Kumulace s rovnoměrnými vahami. 36

37 zbytkové rušivé složky e vyšší, a zhoršue se tak výsledek kumulačního zvýrazňování užitečné složky časové řady. Z rovnic (3.), (3.), (3.7) a (3.9) lze odvodit výsledné výkonové zlepšení poměru signálu k šumu K ms : a K ms, (3.) a a amplitudové zlepšení poměru signálu k šumu K rms : K rms. (3.) a a Z rovnic (3.) a (3.) e evidentní, že zlepšení poměru signálu k šumu s využitím kumulačních technik e závislé pouze na počtu repetic a na konfiguraci váhových koeficientů a. Je důležité poznamenat, že zlepšení K ms a K rms sou zlepšení průměrná, která budou dosažitelná pouze při velkém počtu repetic, t. při velkém počtu realizací náhodného šumu. Pro nízký počet repetic e nutné počítat s tím, že některé vzorky ve výsledné repetici po kumulaci mohou být zatíženy třeba i větší chybou než před aplikací kumulačního zvýrazňování užitečné složky časových řad []. 3.3 Odhad zbytkové rušivé složky ± průměrováním Základním cílem kumulačního zpracování e sice zvýraznění užitečné složky časových řad ztracených v šumu, ale v některých případech může být hlavní idea této metody využita i pro odhad zbytkové rušivé složky a eí oddělení od složky užitečné např. za účelem stanovení statistických vlastností náhodného šumu. Lze k tomu využít tzv. ± průměrování, což e zvláštní kumulační metoda, při které sou váhové koeficienty a v (3.6) nastaveny na aritmetické průměrování a hodnoty vzorků každé druhé repetice sou do kumulačního součtu přičítány s opačným znaménkem: a a,,,,,,, 4, , 5,..., 4, , 5,... pro sudé, pro liché. (3.) 37

38 Zatímco konzistentní užitečná složka bude střídavým přičítáním a odečítáním potlačena, zbytková rušivá složka bude mít stenou efektivní amplitudu rms, ako by měla po běžném zprůměrování, poněvadž náhodný šum má v invertovaných repeticích stené rozdělení ako v repeticích neinvertovaných, viz ukázka (nikoli důkaz) na obr. 3.4 [6]. 3.4 Repetiční časové řady s nenáhodným rušením Zlepšení poměru signálu k šumu odvozené v předchozí kapitole bylo založeno na předpokladech, že rušivá složka zpracovávaných časových řad e realizací náhodného procesu s nulovou střední hodnotou a e nezávislá na užitečné složce. V některých případech, které však nesou niak neobvyklé, nemusí být rušivá složka realizací náhodného procesu. Nečastěším příkladem takového nenáhodného rušení e nežádoucí výskyt tzv. síťového rušení, což e harmonický signál o frekvenci 5 Hz nebo 6 Hz (v závislosti na regionu) pronikaící do naměřených dat ze zdroů napáení při měření..5.5 X Y X + Y.5 X - Y četnost 5 četnost X + Y X - Y Obr. 3.4 Realizace náhodného šumu X a Y, eich součet X Y a rozdíl X Y Histogramy dole sou pro součet a pro rozdíl podobné, což může ukazovat na to, že sou obě tyto náhodné časové řady charakterizovány steným rozdělením pravděpodobnosti. V případě náhodného šumu sice operace sčítání a odečítání vytvářeí rozdílné časové řady (co do amplitud), ale nezpůsobuí změnu statistických vlastností šumu [6]. 38

39 U časových řad získaných opakovaným měřením steného evu, kterým e odpověď na stimul určitého senzorického systému, e důležité si uvědomit, že kumulováním naměřených odpovědí z ednotlivých repetic bude zvýrazněna neen užitečná složka, ale také akékoli periodické komponenty s přímým vztahem k frekvenci stimulů [6]. Je-li např. experiment nastaven na frekvenci stimulů 5 Hz, pak bude istě aplikací kumulačního zpracování naměřených repetic zvýrazněna rušivá složka o frekvenci 5 Hz, i když třeba byla v původních repeticích zanedbatelná. Problém s frekvencí stimulů e však eště horší, neboť akákoli frekvence, která beze zbytku dělí 5, vyústí při kumulačním zpracování ve zvýraznění rušivé složky o frekvenci 5 Hz (viz např. Hz frekvence stimulů na obr. 3.5). Tento nepříemný ev se bude uplatňovat přirozeně i u iných harmonických rušivých složek a e možné mu zabránit buď použitím neceločíselné frekvence stimulů, viz např. 9. Hz na obr. 3.5, nebo randomizací intervalů mezi stimuly. Náhodné mezirepetiční intervaly vedou k náhodné fázi rušivé složky vzhledem k počátkům repetic, a tak i k potlačení harmonických rušivých složek kumulačním zpracováním..5 o F stimul = Hz x F stimul = 9. Hz n 5Hz (t) t Obr. 3.5 Nevhodně zvolená frekvence stimulů může při výskytu periodické rušivé složky (např. 5 Hz síťové rušení) způsobit při kumulačním zpracování nechtěný efekt. Při kumulaci repetic získaných s frekvencí stimulů Hz bude výsledek obsahovat výraznou rušivou komponentu odvozenou z 5 Hz síťového rušení a při kumulaci repetic s frekvencí stimulů 9. Hz tento nechtěný ev nenastane. Rozdíl tkví v tom, že při aplikaci frekvence stimulů Hz sou začátky rušivých složek v ednotlivých repeticích ve stené fázi, zatímco při použití frekvence stimulů 9. Hz se fáze rušivé složky pro každý stimul liší [6]. 3.5 Kumulační zvýrazňování s rovnoměrnými vahami Zlepšení poměru signálu k šumu e podle rovnic (3.) a (3.) závislé na počtu repetic a na nastavení váhových koeficientů a. V případě kumulačního zvýrazňování s rovnoměrnými váhami bývaí koeficienty a nastaveny tak, aby kumulační zpracování nevedlo ke změně efektivní amplitudy rms: a,,,..., (3.3) 39

40 Po dosazení rovnoměrných vah do vztahu pro výpočet zlepšení poměru signálu k šumu (3.) a (3.): K ms, (3.4) K rms (3.5) e zřemé, že výkonové zlepšení K ms roste lineárně s počtem repetic a amplitudové zlepšení K rms roste s odmocninou počtu repetic. Dynamické vlastnosti kumulačního zpracování s rovnoměrnými vahami se liší podle způsobu implementace, přičemž v literatuře [] se lze setkat s kumulačními algoritmy využívaícími pevného nebo klouzavého okna. Algoritmus kumulace s pevným oknem se hodí pro případy, kdy e třeba ednorázově zvýraznit užitečnou složku časových řad ztracených v šumu. Celkem N akumulačních proměnných x(k) se díky pevně nastavenému oknu vynulue vždy po repeticích a kumulační zpracování začíná akoby znovu. Pro kontinuální sledování repetičních časových řad e lepší použít algoritmus s klouzavým oknem, který e sice náročněší na paměť, avšak tento fakt v době počítačového zpracování dat nepředstavue výrazněší bariéru. Je vhodné si uvědomit, že u algoritmu s klouzavým oknem se musí v paměti uchovávat repetic, což představue paměťové pole o N proměnných (pro posloupností o délce N). Po té, co se během kumulačního zpracování naplní paměťové pole pro repetic, dochází s každou další repeticí k odstranění nestarší repetice z pole, k posunu všech zbylých - repetic v poli směrem dozadu a k nahrazení repetice na prvním místě v paměťovém poli právě repeticí neaktuálněší. 3.6 Kumulační zvýrazňování s exponenciálními vahami Oba diskutované algoritmy kumulačního zvýrazňování s rovnoměrnými vahami pracuí tak, že se ve výsledné kumulované repetici uplatňue každá zpracovávaná repetice se stenou vahou po dobu trvání repetic, po té e zcela zapomenuta a více se s ní iž nepracue. Při kumulačním zvýrazňování s exponenciálními vahami se ve výsledku uplatňue každá zpracovaná repetice, a to s klesaící váhou do minulosti []: a,,,,..., (3.6) 4

41 4 =3 K ms 4 K rms K ms 4 K rms a) b) =3 Obr. 3.6 Dynamické vlastnosti kumulačního zvýrazňování s rovnoměrnými vahami pro =3: a) s pevným oknem, b) s klouzavým oknem. Po dosazení exponenciálních vah do vztahu pro výpočet zlepšení poměru signálu k šumu (3.) a (3.) lze při znalosti vzorce pro výpočet součtu geometrické řady dospět k:, pro, ms ms K a a K (3.7), pro, rms rms K K (3.8)

42 kde zednodušené vztahy pro výkonové zlepšení poměru signálu k šumu K ms a pro amplitudové zlepšení poměru signálu k šumu K rms lze aplikovat při vysokých počtech zpracovaných repetic. Lze tedy usoudit, že pro velké počty repetic bude výsledek exponenciálního kumulačního zvýrazňování závislý pouze na koeficientu.za účelem dosažení co nevětšího průměrného zlepšení poměru signálu k šumu bude snahou nastavit koeficient na číslo blížící se k, avšak e nutné si uvědomit, že v takových případech se na výsledné kumulaci nezanedbatelně podílí mnohem více repetic, a tedy i mnohem více starších repetic, než v případě, kdy e nižší, a kdy tedy vliv starších repetic vlivem geometrické řady v (3.6) rychle klesá. Volba koeficientu bude proto vždy kompromisem mezi dosažitelným zlepšením poměru signálu k šumu a schopností exponenciálního kumulačního zvýrazňování reagovat na eventuální změny probíhaící v užitečné složce zpracovávaných časových řad. Volbu hodnoty koeficientu lze např. podmínit požadavkem na stené průměrné zlepšení poměru signálu k šumu, ako e dosažitelné v případě kumulační metody s rovnoměrnými vahami a předvoleným počtem repetic :. (3.9) Jiným východiskem pro volbu hodnoty koeficientu může být i posouzení eho vlivu na vlastnosti kumulačního zpracování ve frekvenční doméně. Pro konečný počet repetic odpovídá posloupnost vah a podle (3.6) hodnotám impulsní charakteristiky FIR filtru řádu, kterým e v rámci kumulačního zpracování vlastně filtrováno N posloupností k-tých vzorků x k z ednotlivých repetic. Obr. 3.7 ukazue vliv hodnoty na tvar modulové frekvenční charakteristiky takového filtru. Z obrázku e patrné, že uvedený filtr vykazue vlastnosti dolní propusti, u které hodnota ovlivňue šířku propustného pásma. Při zvyšuícím se počtu repetic se prodlužue impulsní charakteristika filtru. Pokud roste počet repetic do nekonečna, e možné filtraci N posloupností k-tých vzorků x k z ednotlivých repetic zaistit rekurzivním algoritmem, kterému odpovídá filtr IIR s přenosovou funkcí Hzz Frekvenční charakteristiky takového filtru sou zobrazeny pro různé hodnoty koeficientu v další kapitole na obr Pro vyšší hodnoty filtr lépe potlačue složky, které představuí mezirepetiční variabilitu a má tendenci propustit pouze ty složky, které se mezi repeticemi nemění vůbec nebo en velmi pozvolna. Na obr. 3.8 sou znázorněny dynamické vlastnosti kumulačního zvýrazňování s exponenciálními vahami přímé srovnání s dynamickými vlastnostmi kumulačního zvýrazňování s rovnoměrnými vahami e předmětem řešené úlohy 3.. Porovnáním obr. 3.6 a obr. 3.8 lze doít k závěru, že se exponenciální kumulace svými vlastnostmi více podobá rovnoměrné kumulaci s klouzavým oknem a má přitom velmi ednoduchý algoritmus, který nevyžadue složité operace posunu v paměťovém poli repetic, ako e tomu u algoritmu rovnoměrné kumulace s klouzavým oknem a přitom umožňue, steně ako rovnoměrná kumulace s klouzavým oknem, sledování pomalých změn v užitečné složce zpracovávaných časových řad. Při kumulačním zvýrazňování užitečné složky repetičních časových řad se obvykle předpokládá, že se užitečná složka mezi repeticemi nemění, nicméně v reálných aplikacích lze pomalé změny v užitečné složce očekávat, a na tyto trendy by mělo proto reagovat i kumulační zpracování. 4

43 =.5 =.5.3 G().. G() =.75 =.95 3 G() G() Obr. 3.7 odulové frekvenční charakteristiky FIR filtru řádu = s impulsní charakteristikou h = -+ pro různé hodnoty. K ms 6 K rms Obr. 3.8 Dynamické vlastnosti kumulačního zvýrazňování s exponenciálními vahami pro =,8. 43

44 3.7 Úlohy ÚLOHA 3. Simulute měření časových řad představuících směsi užitečné a rušivé složky. Naměřené hodnoty následně použite při kumulačním zpracování s rovnoměrnými i exponenciálními vahami. Pro generátor repetic měřené časové řady vytvořte funkci, eímž výstupem bude směs užitečné složky a náhodné rušivé složky a dále i obě složky separátně. Užitečná složka má sinusový průběh s lineárně narůstaící frekvencí tzv. chirp signál. Rušivou složkou bude šum s uniformním rozdělením pravděpodobnosti a nulovou střední hodnotou. Poměr šumu ve směsi definute pomocí SNR v decibelech. Simulovaná data využite pro ověření teoretických poznatků z 3. kapitoly v následuících dílčích úkolech: a) Vykreslete výslednou repetici po kumulaci s rovnoměrnými vahami a porovnete s průběhy repetic před kumulací. b) Vykreslete výslednou repetici po kumulaci s exponenciálními vahami nastavenými tak, aby výsledné zlepšení poměru signál šum bylo stené ako v případě rovnoměrné kumulace. c) Vykreslete dynamické vlastnosti obou kumulačních metod a popište, ak se obě metody liší. U rovnoměrné kumulace zvažute obě varianty s pevným a s plovoucím oknem. d) Pro případ rovnoměrné kumulace odhadněte zbytkovou rušivou složku a zistěte, zda vypočtené průměrné zlepšení poměru signálu k šumu odpovídá zlepšení vypočtenému z experimentálních dat. Kód funkce pro generování časových řad s lineárně rostoucí frekvencí e na obr Amplituda šumu generovaného funkcí rand() e odvozena z rovnice (3.3) pro SNR: ms šum mssignál, rms ms SNR[ db] šum šum. %%% ULOHA 3. %%%%%% GENERÁTOR CHIRP SIGNÁLU function [x,t,s,n]=chirpandnoise(tstart,tend,fstart,fend,fs,as,snr) % % [x,t,s,n]=chirpandnoise(tstart,tend,fstart,fend,fs,a) % % generator sinusove casove rady s linearne narustaici % frekvenci a s nahodnym aditivnim rusenim % tstart - zacatek casove rady [s] % tend - konec casove rady [s] % fstart - okamzita frekvence v case tstart % fend - okamzita frekvence v case tend % Fs - vzorkovaci frekvence % As - amplituda uzitecne sinusovky % snr - pomer signalu k sumu v db % x - vysledna smes uzitecne slozky a ruseni % t - casova osa % s - uzitecna slozka % n - ruseni t = tstart:/fs:tend; N = length(t); f = linspace(fstart,fend,n); w = *pi*f; s = As*sin(w.*t); 44

45 ms_s = sum(s.*s,)/n; ms_n = ms_s/(^(snr/)); n = sqrt(ms_n)*(rand(,n)-.5); x = s+n; Obr. 3.9 Úloha 3. funkce pro generování časových řad s lineárně rostoucí frekvencí a aditivním šumem s nulovou střední hodnotou a uniformním rozdělením pravděpodobnosti. Obr. 3. Úloha 3. slabou tečkovanou čarou sou vykresleny vybrané ednotlivé repetice před kumulací a silnou plnou černou čarou e vykreslena zvýrazněná užitečná složka: vlevo pomocí kumulace s rovnoměrnými vahami, a vpravo pomocí kumulace s exponenciálními vahami,, ()/()). Nahoře sou průběhy celé repetice, dole sou pak vybrané detaily pro ilustraci, že výsledky obou metod se okometricky neliší. Kód programu v atlabu, realizuící řešení všech dílčích úkolů, e na obr Simulovaná data představuí opakovaná měření steného evu, a tak není třeba se zabývat stanovováním referenčních časových souřadnic všechny repetice vygenerované funkcí chirpandnoise() sou v časové koherenci. Obr. 3. ukazue ednak vybrané repetice, u nichž 45

46 lze pozorovat pro zvolené SNR db překrytí užitečné složky šumem a dále ukazue zvýrazněnou užitečnou složku pomocí rovnoměrné i exponenciální kumulace. Dynamické vlastnosti sou na obr. 3. vykresleny pro repetic, a to pro případ, že by se u kumulace s rovnoměrnými vahami pokračovalo od. repetice s klouzavým oknem. U rovnoměrné kumulace lze pozorovat rychleší dosažení nevyššího možného průměrného zlepšení poměru signálu k šumu, než e tomu u exponenciální kumulace. Výsledek ± průměrování pro odhad zbytkové rušivé složky e na obr. 3., a to společně s výsledkem výpočtu průměrných výkonů rušivé složky v edné vybrané repetici před kumulací ms(n (t)) a reziduální rušivé složky po kumulaci. Z výsledků e patrné, že vlivem kumulace došlo k -násobnému utlumení průměrného výkonu rušivé složky, což při zachování výkonu užitečné složky repetiční časové řady vede na -násobné zlepšení výkonového poměru signálu k šumu a cca 3-násobné zlepšení amplitudového poměru signálu k šumu, což e v souladu s výsledkem na obr. 3. a s teoretickými poznatky třetí kapitoly rovnoměrné exponenciální 5 K rms Obr. 3. Úloha 3. porovnání dynamických vlastností kumulace s rovnoměrnými a exponenciálními vahami. V případě rovnoměrné kumulace e od. repetice použit algoritmus s klouzaícím oknem. 46

47 Obr. 3. Úloha 3. ukázka edné realizace rušivé složky (slabou tečkovanou čarou) a výstup z ± průměrování (silnou plnou čarou), ehož výsledkem e zbytková rušivá složka po rovnoměrné kumulaci. Dále sou zde vypočítané průměrné výkony obou náhodných časových řad, ze kterých e vidět, že vlivem kumulace směsí užitečné a náhodné rušivé složky došlo ke snížení průměrného výkonu rušivé složky přibližně -krát. %%% ULOHA 3. %%%%%% ROVNOĚRNÉ A EXPONENCIÁLNÍ KUULACE [x,t,s,n] = chirpandnoise(,,.,.5,5,,-); = ; % repetic N = length(t); % delka edne repetice XX = zeros(,n); SS = zeros(,n); NN = zeros(,n); for = : % vygenerovani repetic do radku matic pro smesi, % pro uzitecnou a pro rusivou slozku [XX(,:),t,SS(,:),NN(,:)]=chirpandnoise(,,.,.5,5,,-); end xrov = sum(xx)/; % kumulace s rovnomernymi vahami a pevnym oknem figure, hold on, plot(t,xx(,:),'b:'); plot(t,xrov,'k'); title('rovnoměrná kumulace') xlabel('t [s]'); ylabel('x(t),x(t)'); 47

48 q = (-)/(+); % vypocet koeficientu q tak, aby vlastnosti % exponenc. kumulace byly stene ako vlastnosti % rovnomerne kumulace xexp = zeros(,n); xdif = zeros(,n); gain = ; for =:-: % od neaktualnesi po nestarsi repetici xexp = XX(,:)+q*xexp; % exponencialni kumulace gain = +q*gain; % celkove zesileni uzitecne slozky if mod(,)== xdif = xdif+(/)*xx(,:); % plus/minus prumerovani else xdif = xdif-(/)*xx(,:); end end xexp = xexp/gain; % zachovani urovne uzitecne slozky figure, hold on, plot(t,xx(,:),'b:'); plot(t,xexp,'k'); title('exponenciální kumulace'); xlabel('t [s]'); ylabel('x(t),x(t)'); Krov=ones(,*)*sqrt(); % dynamicke vlastnosti rovnomerne kumulace Krov(:)=sqrt(:); for =:* % dynamicke vlastnosti exponenc. kumulace Kexp()=sqrt((-q^)/(+q^))*sqrt((+q)/(-q)); end figure, hold on, plot(krov,'k'), plot(kexp,'b:'); legend({'rovnoměrné','exponenciální'}); xlabel(''); ylabel('krms'); figure, hold on % vykresleni vysledku plus/minus prumerovani % a vypocet prumernych vykonu rusive slozky % pred a po rovnomerne kumulaci plot(t,nn(,:),'b:'); plot(t,xdif,'k'); ms_n=sum(nn(,:).*nn(,:),)/n; ms_xdif=sum(xdif.*xdif,)/n; xlabel('t [s]'); ylabel('n(t),xdif(t)'); title('± průměrování'); Obr. 3.3 Úloha 3. řešení v atlabu. 3.8 Shrnutí Ve třetí kapitole byly představeny metody pro kumulační zvýrazňování užitečné složky repetičních časových řad ztracených v šumu. Byly vysvětleny různé typy repetičních časových řad a stručně probrána problematika určování referenčních časových souřadnic pro zaištění časové koherence užitečné složky v ednotlivých repeticích. Úspěch kumulačního zvýrazňování e možno vyádřit průměrným amplitudovým nebo výkonovým zlepšením poměru signálu k šumu. V rovnicích bylo ukázáno, že toto zlepšení závisí pouze na počtu repetic a na nastavení váhových koeficientů. Z rovnic dále vyplynulo, že úspěch kumulačního zvýrazňování e podmíněn charakterem rušivé složky, která by měla být nezávislá na složce 48

49 užitečné, generována náhodným procesem s nulovou střední hodnotou a eíž příspěvky v ednotlivých repeticích by měly být navzáem nezávislé. Dále byly ukázány tři kumulační metody, které se liší nastavením váhových koeficientů: kumulace s rovnoměrnými vahami, kumulace s exponenciálními vahami a tzv. ± průměrování, které lze využít pro odhad zbytkové rušivé složky po rovnoměrné kumulaci. Vlivem různého natavení vah se různí i dynamické vlastnosti kumulace, t. závislosti průměrného zlepšení poměru signálu k šumu na počtu použitých repetic. Tyto vlastnosti se u rovnoměrné kumulace liší také podle implementačního algoritmu, přičemž diskutovány byly algoritmy s pevným a s klouzavým oknem. V řešené úloze byly všechny teoretické poznatky ověřeny na simulovaných datech. 49

50 4 Náhodné procesy a modely časových řad Experimentální data v podobě časových řad získaných pozorováním reálných dynamických systémů mohou být využita pro konstrukci matematických modelů těchto systémů. odely sou z naměřených dat zpravidla vytvářeny za účelem hlubšího porozumění operacím a vazbám, které ovlivňuí vznik hodnot časových řad, viz obr... Dílčími změnami těchto operací nebo vazeb, prováděnými nad modelem, lze simulovat eich vliv na změny hodnot časové řady. atematický aparát modelování umožňue nalézt v časových řadách ty komponenty, které nesou užitečnou informaci a které maí přímou interpretaci, popsat e ve formě deterministických funkcí času a separovat e od náhodné složky rušení. Analýzou časových řad ve formě modelování procesů eich vzniku a s využitím simulací nad zkonstruovanými modely lze od prostého pozorování dospět až k možnostem ovlivnění či řízení systémů, které časové řady generuí. Při modelování vzniku časových řad se naměřené posloupnosti obvykle považuí za realizace náhodných procesů. Poem náhodný e používán vzhledem k časté nepravidelnosti či komplikovanosti děů reprezentovaných naměřenými průběhy, což však nutně neznamená, že by takové časové řady byly nepredikovatelné. Příkladem uváděným v [4] e elektrokardiogram, ehož hodnotu e sice možno vypočítat z elektrických potenciálů všech srdečních svalových buněk, avšak získávat takto složitá data pro rozhodování, zda pacient potřebue kardiostimulátor, by bylo příliš náročné. Není tedy chybou považovat časovou řadu pro určitý účel za realizaci náhodného procesu a pro tutéž časovou řadu konstruovat kompletní deterministický model, vyžadue-li to iný účel. Postup modelování časových řad vyžadue obvykle následuící kroky. Změření dat. Konstrukce dobrého modelu závisí na tom, zda naměřená data reflektuí chování modelovaného systému či náhodného procesu. Správné nastavení experimentu zahrnue neen sledování těch správných proměnných s dostatečnou přesností, ale de také o to, aby záznam byl dostatečně dlouhý a pořizovaný s vhodnou vzorkovací frekvencí tak, aby byly zachyceny veškeré důležité dynamické evy. Volba struktury modelu. Strukturou se myslí matematický vztah mezi vstupními a výstupními proměnnými, přičemž tento vztah obsahue neznámé parametry. Příkladem struktury lineárního modelu může být přenosová funkce H(z) s nastavitelnými póly a nulovými body. Za strukturu lineárního modelu lze považovat např. i tuto ednoduchou diferenční rovnici: yn ayn = bxn, kde a a b sou volitelné parametry modelu. Struktura modelu často souvisí s matematicko-fyzikálními principy, kterými se řídí pozorované evy. Je-li struktura modelu dána známými zákony a závislostmi, pak e cílem modelování pouze odhad numerických hodnot parametrů modelu z dostupných dat a takové úlohy se označuí ako modelování šedé skřínky (gray-box modelling). Pokud struktura modelu není předem známá, potom se hovoří o modelování černé skřínky (black-box modelling). Odhad parametrů modelu podle zvolené struktury. Výpočet numerických hodnot parametrů modelu vede na minimalizaci rozdílu mezi naměřenými daty xn a výstupem xˆ n. Tento rozdíl: modelu Poem "dostatečně dlouhý" e nutno vnímat s ohledem na to, ak rychlé sou změny v naměřených průbězích nebo s ohledem na periody opakuících se evů. 5

51 n xn xˆ n (4.) se označue ako chyba predikce a z vážené l normy posloupnosti n se odvozue minimalizační kritérium označované také ako střední kvadratická chyba (SE mean squared error). Hodnocení kvality modelu. V závěrečném kroku e nutné posoudit kvalitu modelu a prověřit tak, zda e chování modelu adekvátní k zadané aplikaci. Hodnocení může být provedeno např. prostým srovnáním časových řad xn a xˆ n(např. graficky), nebo pomocí analýzy n, která se často označue ako analýza residuí. Residua reprezentuí tu část dat, která není vysvětlena modelem. 4. Vybrané statistické momenty náhodných procesů Jak bylo uvedeno v úvodu této kapitoly, vyčerpávaící matematický popis sledovaných dynamických systémů ve formě diferenčních rovnic se známými parametry a počátečními podmínkami e k dispozici en velmi zřídka. Časové průběhy sledovaných procesů sou často tak složité, že se mohou evit vněšímu pozorovateli ako náhodné [9], a tak en obtížně popsatelné matematickými funkcemi. Náhodné časové řady sou charakterizovány pomocí statistických momentů, za kterými si lze představit eich průměrné vlastnosti. Poněvadž takové charakteristiky (t. statistické momenty) nemohou definovat časové průběhy sledovaných procesů kompletně, budou zřemě platit pro širší soubor časových řad, které vykazuí společné vlastnosti [4]. 4.. Časové průměry Časový průměr posloupnosti nebo časové řady x(n) e definován ako: N x n lim xn. (4.) N N n Časovými průměry se má smysl zaobírat pouze pro takové časové řady, pro které limita (4.) existue. Jedná se např. o periodické časové řady. U těchto e časový průměr roven nultému koeficientu a Fourierovy řady (.6). Pro monotónně rostoucí časové řady (např. řady s lineárním nebo exponenciálním trendem) nebo časově ohraničené řady nelze tyto časové průměry definovat vůbec. Časové průměry e užitečné zavádět zeména pro časové řady, které se označuí ako stacionární, t. řady, eichž statistické momenty se v čase nemění 3. Toto omezení není tak restriktivní, ak se může na první pohled zdát, protože v mnoha případech lze nestacionární časové řady považovat v určitých intervalech za stacionární. Dvě vlastnosti časových průměrů, které sou důležité pro další odvozování, sou:. Linearita. Časový průměr lineární kombinace časových řad x(n) a y(n) e roven lineární kombinaci časových průměrů pro libovolné konstanty a, b: 3 Poem stacionarita bude definován exaktně v kapitole 4.. 5

52 ax n byn a xn b yn. (4.3). Časová invariantnost. Jakékoli zpoždění časové řady o n vzorků nemění eí časový průměr a ten e vždy stený ako eí střední hodnota x : x N n N x N nn n n lim xn. (4.4) Notaci časových průměrů lze zobecnit i na funkce časových řad: N g x( n) lim gx( n). (4.5) N N n Příkladem může být průměrný výkon časové řady msdefinovaný v (3.). Souvislost průměrného výkonu časové řady s eím rozptylem ukazuí následuící dvě rovnice: x xn, (4.6) x msx, (4.7) x x kde x e směrodatná odchylka. 4.. Pravděpodobnost a Čebyševova nerovnost Časové průměry sou velmi úzce provázané s pravděpodobností, což lze ukázat na následuících rovnicích, ve kterých se pracue s časovými průměry uxn, kde ux e tzv. ednotkový skok: N u xn lim uxn. (4.8) N N n Funkce uxn nabývá hodnoty, pokud xn a inak nabývá hodnoty. Suma v (4.8) vlastně vyadřue počet vzorků, pro které xn, a časový průměr <uxn tedy vyadřue pravděpodobnost, že xn e nezáporné, tedy Pxn (4.9) 5

53 Rovnice (4.8) a (4.9) lze zobecnit pro libovolnou prahovou hodnotu X a pomocí časových průměrů vyádřit pravděpodobnost, že xn e větší nebo rovno X : P xn X uxn. (4.) X Z výše uvedeného vyplývá, že pravděpodobnosti lze považovat za speciální případy časových průměrů. Rozptyly a pravděpodobnosti sou mezi sebou vázány důležitou nerovností pomenovanou podle ruského matematika Čebyševa. Tato nerovnost udává horní mez pro pravděpodobnost, že se hodnota časové řady xn liší od eí střední hodnoty více než o libovolnou hodnotu : P (4.) x x xn. Důkaz Čebyševovy nerovnosti lze naít např. v [4]. Je pozoruhodné, že tato nerovnost platí pro libovolné náhodné časové řady, přičemž pro konkrétní typy náhodných časových řad, vymezené např. konkrétní pravděpodobnostní funkcí, lze dospět eště k těsněším mezím. Čebyševova nerovnost e důležitá, neboť odůvodňue běžnou matematickou praxi odhadů založených na minimalizaci kvadratické chyby. Např. minimalizace rozptylu chyby predikce n definované ve (4.), dává podle Čebyševovy nerovnosti smysl, neboť e nepravděpodobné, že by hodnoty v chybové posloupnosti nbyly velké, pokud e eí rozptyl malý Korelační a kovarianční funkce Pokud časová řada xn nabude pro konkrétní n hodnoty X, e pravděpodobné, že eště alespoň krátkou dobu po n zůstanou i další hodnoty časové řady xnv okolí X. Vzorky časové řady s krátkým vzorkovacím intervalem obecně nesou na sobě nezávislé. Je proto třeba znát časové průměry charakterizuící tyto závislosti (nebo korelace) mezi vzorky v různých časech. Jedním z takových časových průměrů e autokorelační funkce. R k xnxn k. (4.) Díky stacionaritě časových průměrů nezávisí autokorelační funkce R k na absolutním času daným indexem vzorku n, ale en na zpoždění mezi vzorky k. Z uvedeného vztahu lze intuitivně usoudit, že autokorelační funkce měří podobnost mezi po sobě doucími vzorky časové řady. Pokud sou změny v časové řadě pomalé, budou mít vzorky v n a n často stené znaménko, a tak bude průměrná hodnota eich součinů R velká. Naopak, pokud se časová řada s nulovou střední hodnotou mění velmi rychle a pro vzorky oddělené krátkými intervaly e steně pravděpodobné, že maí shodná i různá znaménka, bude se průměrná hodnota eich součinů R nespíš blížit nule [4]. Dalším časovým průměrem, který charakterizue závislosti mezi vzorky v různých časech, se nazývá autokovarianční funkce. 53

54 C k xn xn k R k. (4.3) x x x Jedná se o autokorelační funkci časové řady s odečtenou střední hodnotou. Protože de o autokorelační funkci, budou mít C a R stené matematické vlastnosti. Autokorelační funkce sou sudé funkce zpoždění: R k xnxn k xnxn k R k. (4.4) Autokorelační funkce časové řady xnvyčíslená v počátku odpovídá střednímu výkonu xn a autokovarianční funkce časové řady xnv počátku odpovídá rozptylu xn: C R xn. (4.5) ms x xn. (4.6) x x Autokorelační funkce nabývá maxima vždy v počátku: k R, k. R (4.7) Pro veliká zpoždění k se autokovarianční funkce časové řady xn, e-li xnbez periodických komponent, blíží nule: k. lim C k (4.8) Předchozímu tvrzení odpovídá intuitivní představa o tom, že vzorky, které sou v náhodné časové řadě oddělené velkým zpožďovacím intervalem k, sou nekorelované. Toto odpovídá případům, kdy e časový průběh sledovaného náhodného procesu velmi nepravidelný a nepředvídatelný. Pro veliká zpoždění k se autokorelační funkce časové řady xnblíží kvadrátu střední hodnoty xn: k. lim R x (4.9) k Autokorelační koeficient k lze vyádřit ako hodnotu autokovarianční funkce vztaženou k rozptylu: 54

55 k C k. (4.) x O náhodné časové řadě n se říká, že e bílá, když e eí autokovarianční funkce C váženým ednotkovým impulsem v počátku: C pro k (4.) pro k k k. Pro autokorelační funkci bílé časové řady potom platí: k k. R (4.) Poem bílá pochází z fyziky světelného záření, o němž se říká, že e bílým světlem, pokud eho zdro vyzařue energii rovnoměrně na všech vlnových délkách vnímaných lidským okem. Tato fyzikální představa má i svů matematický základ, neboť se dá ukázat, že spektrum ednotkového impulsu e rovnoměrné, což znamená, že eho harmonické složky sou na všech frekvencích zastoupeny steně. Při modelování časových řad hrae zásadní roli bílý šum, ak bude ukázáno pozděi v této kapitole. V mnoha úlohách se nevystačí pouze s analýzou ediné náhodné časové řady, ale e třeba se zabývat kombinací více časových řad. Například pro biosignál snímaný z lidské hrudi můžeme pozorovanou časovou řadu xn chápat ako aditivní směs užitečné složky, t. elektrokardiogramu sn a rušivé složky nzpůsobené aktivitou iných svalů a šumem snímací elektroniky: x n sn n. (4.3) Autokorelační funkce časové řady xn e dána: R k xn x n k sn n sn k n k (4.4A) a s využitím (4.) lze (4.4) přepsat na: R k R k R k sn k nsn k. ss (4.4B) S využitím křížové korelační funkce 4 dvou náhodných časových řad xn a ynkterá e definována ako[4] 4 Křížová korelační funkce e v české odborné literatuře uváděná také ako vzáemná korelační funkce. 55

56 R xy k xn yn k xn kyn, (4.5) lze (4.3) a (4.4) přepsat na: R k R k R k R k R k. (4.6) ss s s Podobně ako autokorelační funkce určue míru závislosti mezi následuícími vzorky ediné časové řady, vyadřue křížová korelační funkce R xy k podobnost mezi časovou řadou xn a zpožděnou časovou řadou yn Křížová korelační funkce centrovaných časových řad xn x a yn y se označue ako křížová kovarianční funkce [4]: C xy k xn yn k x R k. (4.7) y xy x y Na rozdíl od autokorelačních funkcí nesou křížové korelační funkce sudé: R xy k xnyn k xn k yn R k. (4.8) yx Korelační koeficient xy k lze vyádřit ako křížovou kovarianční funkci normovanou součinem směrodatných odchylek: x k. Cxy xy k (4.9) y O časových řadách xn a ynse říká, že sou nekorelované, e-li eich křížová kovarianční funkce C xy k nulová pro všechna zpoždění k. Taková situace často ukazue na to, že časové řady xn a yn sou realizace dvou na sobě nezávislých náhodných procesů. Z (4.7) vyplývá, že pokud e alespoň eden z náhodných procesů charakterizován nulovou střední hodnotou, potom i křížová korelační funkce R xy k e nulová pro všechna zpoždění k. Křížové korelační a autokorelační funkce sou užitečné pro detekci periodických komponent v časových řadách postižených aditivním rušením. Obr. 4. ukazue tuto detekci ve směsi užitečné harmonické složky sna cos n a aditivního rušení n s nulovou střední hodnotou Předpokládá se, že užitečná složka a rušivá složka sou nekorelované. Křížová korelační funkce mezi aditivní směsí a ednotkovou kosinovou vlnou yn cos n se stenou úhlovou frekvencí ako s(n) e: C yx k yns n k n k C k C k. (4.3) ys y Druhý člen v rovnici (4.3) e nulový, neboť yn a n sou nekorelované (viz výše uvedený předpoklad), a tak se křížová korelační funkce zednoduší tak, že e až na amplitudu stená ako užitečná složka: 56

57 A C yx k C ys k cosn. (4.3) V případech, kdy není perioda užitečné složky předem známá, lze pro určení periody využít autokorelační funkci směsi xn R k R k R k R k R k, (4.3) ss s s kde poslední dva členy budou nulové za předpokladu, že rušení n a užitečná složka sn sou nekorelované. Autokorelační funkce náhodné rušivé složky R k bude pro velká zpoždění mezi vzorky zanedbatelná, a tak bude istě snazší určovat periodu užitečné periodické složky z R k než z průběhu xn viz obr. 4.D Pravděpodobnostní funkce V kapitole 4.. bylo ukázáno, že pravděpodobnosti lze považovat za speciální případy časových průměrů. Ze vztahu (4.) lze odvodit pravděpodobnost, že časová řada xn nabude hodnoty mezi X a XX, a to pomocí časového průměru obdélníkové funkce s šířkou X [4]: P X xn X X xn kde X X když x X x. inak X, (4.33) Pravděpodobnostní funkce f x X e dána podílem této pravděpodobnosti a šířkou intervalu X, což při X blížící se v limitě nule dává: f x X X X lim PX xn X X lim xn X. X X X (4.34) Plocha pod normalizovanou obdélníkovou funkcí v (4.34) bude ednotková pro akoukoli šířku intervalu X. Pro X blížící se k nule bude tato funkce ednotkovým impulsem X To znamená, že pravděpodobnostní funkci lze formálně zapsat ako časový průměr funkce [4]: f x X xn X. (4.35) Pravděpodobnostní funkce f x X vyadřue pravděpodobnost, že hodnota časové řady xn leží ve velmi úzkém intervalu se středem v xnx, normovanou šířkou tohoto intervalu. alé písmeno x v f x X reprezentue náhodnou časovou řadu xn a velké písmeno X reprezentue konkrétní střed intervalu, pro který e pravděpodobnost počítána. Tato dvě písmena tedy spolu přímo nesouvisí. Např. f y XX vyadřue pravděpodobnost, že hodnota časové řady yn e v intervalu o šířce X centrovaném v X. 57

58 A) B) C) D) E) R (k) R (k) C y (k) y(n) x(n) n k Obr. 4. Detekce sinusové vlny skryté v šumu. Amplitudy autokorelačních a křížových korelačních funkcí sou normované tak, aby nabývaly edné v počátku. Odhady sou vypočítané z průběhů dlouhých vzorků. A) Časová řada x(n) e aditivní směsí užitečné složky s(n) harmonická časová řada a rušivé složky (n) bílý šum. B) Pomocná časová řada y(n) e harmonická časová řada bez rušení. C) Odhad křížové korelační funkce C y (k) ukazue, že y(n) a (n) sou mezi sebou nekorelované. D) Z odhadu autokorelační funkce R (k) časové řady x(n) lze vyčíst asně periodu užitečné složky ve směsi x(n). E) Odhad autokorelační funkce bílého šumu. 58

59 Pomocí pravděpodobnostní funkce lze vyádřit střední hodnotu časové řady xn alternativně k (4.), ako: x n X f X dx, (4.36) x přičemž se někdy uvádí, že pomocí (4.36) e definovaná tzv. očekávaná hodnota (expected value), což e v tomto kontextu en iný název pro střední hodnotu náhodné časové řady. Intuitivní důkaz k (4.36) lze ukázat, pokud se v rovnici (4.) pro časový průměr provede sčítání nikoli přes indexy n, ale přes narůstaící amplitudy časové řady xn Rozdělením rozsahu všech hodnot xn na navazuící malé intervaly s šířkou X centrované v X i ix lze sumu v rovnici (4.) vyádřit ako: N x n xn. (4.37) X X i x n X i n i X Za předpokladu dostatečně úzkých intervalů X lze všechny hodnoty xn v ednotlivých intervalech aproximovat pomocí středu intervalu X i, a sumu pak lze vyádřit ako: (4.38) Vydělením N a zavedením limity pro velká N se iž vyádří časový průměr: X X x n X ip X i xn X i, (4.39) i který za předpokladu velmi úzkých intervalů X lze vyádřit pomocí pravděpodobnostní funkce: n X f X X, i x (4.4) i x i neboť pravděpodobnost, že xn leží v intervalu o šířce X centrovaném v X i lze vyádřit součinem f x (X i )X. V limitě se suma přes indexy i přibližue integrálu uvedeném v (4.36) Souborové průměry, stacionarita, ergodicita odely založené na časových průměrech zanedbávaí veškeré informace o časové variabilitě statistických momentů náhodných procesů, a proto sou užitečné pouze 59

60 v případech, kdy lze zavést předpoklad stacionarity náhodných procesů a imi generovaných časových řad. Stacionarita e vlastnost náhodného procesu, která mu přisuzue časovou invariantnost eho statistických momentů. O stacionárním náhodném procesu lze říci, že eho pravděpodobnostní funkce e nezávislá na čase. V důsledku toho e eho autokorelační funkce závislá pouze na zpoždění mezi vzorky a nikoli na absolutním čase. V literatuře se lze setkat s mnoha různými definicemi stacionarity, včetně slabé a silné stacionarity, autokorelační stacionarity atd. DRUHÁ POUČKA ODVOZENÁ SELSKÝ ROZUE: Předpoklad stacionarity splňuí ty časové řady či náhodné procesy, které sou bez trendu, maí s měnícím se časem stený rozptyl a stený průběh autokorelační funkce. U modelů živých systémů, které stárnou a adaptuí se na měnící se podmínky prostředí, bude předpoklad stacionarity do isté míry vždy omezuící. V mnoha případech vykazuí statistické momenty časových řad tak rychlé změny, že předpoklad stacionarity nelze zavést ani v omezených časových intervalech. Pro taková data e pak lepší volit abstraktněší model založený na souborových průměrech. Vysvětlení rozdílu mezi časovými a souborovými průměry e ukázkově vysvětleno v [4] na příkladu plynových částic pohybuících se v uzavřeném prostoru. Každá částice vykonává neustále tzv. Brownův pohyb. Je-li zaznamenána traektorie pohybu částic, může z ní být pro každou částici určena průměrná poloha, která se vypočítá způsobem odpovídaícím výše zavedenému časovému průměru. Alternativně lze však v různých časových okamžicích určit také průměrnou polohu všech částic, a to výpočtem, který se označue ako souborový průměr. Pozici plynových částic lze tedy považovat za funkci dvou proměnných: času a souborové proměnné identifikuící ednotlivé částice. Pro každý časový index n e možné vypočítat podíl částic, které leží mezi pozicemi X a XX podél edné z os. V limitním případě, když se X blíží k nule, definue tento podíl časově závislou pravděpodobnostní funkci f x X, n Souborová průměrná pozice EXn neboli očekávaná hodnota pozice podél edné z os se vypočítá: E xn X f X, n dx, (4.4) x což e rovnice, která e sice podobná na rovnici (4.36) pro výpočet časového průměru náhodné časové řady z pravděpodobnostní funkce, avšak obě rovnice maí zcela odlišnou interpretaci. V rovnici (4.34) byla pravděpodobnostní funkce definována ako časový průměr, takže (4.36) vyadřue vlastně vzáemný vztah mezi dvěma časovými průměry. Rovnice (4.4) definue očekávanou hodnotu na základě souborové pravděpodobnostní funkce f x X, n, která e a priori dána pro každé n. Tedy zatímco v (4.34) pravděpodobnostní funkce nenese informaci o tom, ak se pozice ednotlivých částic mění v čase, tak v rovnici (4.4) e tato informace v pravděpodobnostní funkci obsažena. Podobně ako na pohybuící se plynové částice lze nahlížet také na mnohé časové řady. Seme-li se např. vícekrát elektroencefalogram z povrchu hlavy steného pacienta za identických experimentálních podmínek, není pochyb, že ednotlivé časové řady se budou 6

61 mezi sebou lišit, i když budou vykazovat velmi podobné statistické momenty. Na každý záznam elektroencefalogramu lze pohlížet ako na eden prvek souboru časových řad, které by eventuálně mohly být naměřeny. V uvedeném příkladu není soubor přímo pozorovatelný edná se o abstrakci či model charakterizuící neistotu o časové řadě elektroencefalogramu. Teorie o pravděpodobnosti zavádí poem stacionární ergodický proces, což e náhodný proces, který vykazue stacionaritu i ergodicitu. Ergodicita e vlastnost náhodného procesu, která mu přisuzue shodu mezi eho souborovými a časovými průměry. V praxi to znamená, že stacionární ergodický náhodný proces ednak nemění své statistické momenty v čase a dále, že tyto eho statistické momenty mohou být zištěny z ediné dostatečně dlouhé realizace náhodného procesu. 4. Dekompozice časových řad a Boxovy-Jenkinsovy modely Na problém modelování časových řad e možno pohlížet ako na analýzu směsí užitečných a rušivých komponent. Cílem modelování e oddělit užitečnou složku od náhodného rušení, přičemž užitečná (nebo také systematická) složka se v literatuře často eště dělí na tzv. trendovou, sezónní a cyklickou složku. Je-li na směs užitečných a rušivých komponent pohlíženo ako na směs aditivní, pak lze časovou řadu xn zapsat ve tvaru: x n sn n T n Cn n, (4.4) kde n e náhodná chyba nebo rušení, Tn e trendová složka vyadřuící dlouhodobý nárůst nebo pokles hodnot časové řady, Cn zastupue sezónní i cyklickou složku, neboť obě tyto komponenty lze považovat společně za periodické kolísání hodnot časové řady. Detailněší rozklad Cn na složku sezónní a cyklickou lze naít zeména v literatuře věnuící se chování ekonomických systémů a autoři rozlišuí periodické složky na sezónní a cyklické podle délky periody: e-li perioda dlouhá den, týden, měsíc, kvartál nebo rok, bývá taková složka označovaná ako sezónní; nevykazue-li perioda kalendářní charakter nebo e delší než eden rok, pak se hovoří o složce cyklické. S ohledem na znalosti získané v kapitole.3, o rozkladu periodických signálů nebo časových řad na harmonické komponenty pomocí Fourierovy řady, není třeba v tomto textu dále komplikovat názvosloví a složka Cn zde bude označována ako periodická. Kromě dekompozice aditivních směsí se někdy využívá také multiplikativní dekompozice. Zatímco v případě aditivního modelu sou všechny složky vyádřeny ve stených ednotkách ako pozorovaná časová řada, v případě multiplikativního modelu e ve stených ednotkách ako pozorovaná řada pouze trendová složka a ostatní (periodická složka a složka rušení) vyadřuí součinem relativní, okamžitý nárůst nebo pokles hodnot časové řady. ultiplikativní dekompozice e nad rámec tohoto učebního textu dekompozice časových řad e zde probrána en pro aditivní směsi. Trendová složka e obvykle po grafické rozvaze vypočítána regresní analýzou, kdy e aplikací metody nemenších čtverců proložen obecný polynom předem daného stupně nebo i iná předem daná funkce (např. exponenciála, sigmoida a.). Detekce periodické složky může být provedena rozkladem na harmonické složky Fourierovou řadou (viz kapitola.3) nebo pomocí autokorelačních a křížových korelačních funkcí (viz kapitola 4..3). 6

62 x(n) - T(n) - x(n)-t(n) - C(n) - - x(n)-t(n)-c(n) n Obr. 4. Dekompozice časové řady x(n) na trendovou složku T(n), periodickou složku C(n) a náhodné rušení (n). 6

63 Obr. 4. ukazue aditivní dekompozici časové řady xn na trendovou, periodickou složku a složku rušení. V ilustračním ednoduchém příkladu byla použita časová řada obsahuící lineární trend a periodická složka obsahovala edinou harmonickou. V praxi může být aditivní dekompozice časové řady ztížena komplexněší trendovou funkcí (např. lineární trend s několika body zlomu, lokální polynomické trendy apod.) a/nebo více nezanedbatelnými harmonickými komponentami v periodické složce. Pokud složka rušení n získaná očištěním časové řady od trendu a periodické složky, odpovídá realizaci bílého šumu, pak výsledek dekompozice dostatečně vysvětlue veškeré dynamické evy zachycené v analyzované časové řadě. Pokud tomu tak není, což e v praxi velmi častý případ, znamená to, že složka rušení obsahue eště nezanedbatelné závislosti mezi vzorky a ty mohou být vysvětleny s využitím Boxových-Jenkinsových modelů stacionárních náhodných procesů. Tato metodika, pomenovaná podle statistiků George Boxe a Gwilyma Jenkinse, m. říká, že akoukoli stacionární časovou řadu generue náhodný proces, kterému lze přiřadit eden z těchto modelů: čistě rekurzivní autoregresní model AR, nerekurzivní model s klouzavým průměrem A, kombinovaný model ARA, a bílý šum. Bílý šum e náhodný proces nebo časová řada n, která e bílá a eí střední hodnota e nulová. Potom podle rovnic (4.) a (4.) bude autokorelační funkce bílého šumu váženým ednotkovým impulsem 5 : R pro k (4.43) pro k k k. Ukázka empirické autokorelační funkce bílého šumu e na obr. 4.E. Označení empirická e zde použito proto, že se edná o odhad teoretické autokorelační funkce náhodného procesu z edné eho realizace. Box-Jenkinsova metodika zahrnue postup pro konstrukci modelů, který obsahue tři základní kroky a který odpovídá obecnému postupu uvedenému v úvodu čtvrté kapitoly. Tři základní kroky sou pomenovány ako [3]:. Identifikace modelu. Kromě volby struktury modelu zahrnue tato fáze také zaištění stacionarity časové řady. Detekue se trendová a periodická složka a případně se aplikue diferencování časové řady, které e pak zpětně zahrnuto do struktury modelu.. Odhad parametrů modelu. Fáze, ve které se vypočítaí numerické hodnoty parametrů modelu. Podle typu struktury se využívaí lineární nebo nelineární metody nemenších čtverců a metoda odhadu maximální věrohodnosti. 3. Validace modelu. Fáze, ve které se analýzou residuí (neboli analýzou posloupnosti chyb predikce) ověřue, zda model dobře vystihue pozorované dynamické děe popsané časovou řadou. 5 Autokorelační funkce bývaí často prezentovány v normované formě tak, aby měly pro nulové zpoždění ednotkovou hodnotu. 63

64 5 x(n) 5 A) B) n T(n)n n5 3 T(n) x(n)t(n) 5 n n x(n) x(n) - - n n Obr. 4.3 Stacionarizace časové řady x(n): A) odečtením proloženého polynomu, B) ednoduchým a dvoitým diferencováním. V případě nestacionárních časových řad začíná identifikace modelu předzpracováním časové řady na stacionární posloupnost. Tato fáze e velmi obdobná výše popsané dekompozici časových řad s následným očištěním časové řady od vlivů zištěného trendu a případně i očištění od vlivů periodického kolísání. Odstranění trendu může být provedeno odečtením proložené trendové funkce, ak e to naznačeno např. na obr. 4.3A. Jinou možností pro stacionarizaci časové řady e eí diferencování, ak e to naznačeno např. na obr. 4.3B. Jednoduché diferencování vede k potlačení lineárního trendu, dvoité diferencování pak očistí časovou řadu od trendu kvadratického. Očištěná posloupnost xn vznikne diferencováním posloupnosti xn a po konstrukci stacionárního modelu na očištěných datech xn e pro výpočet n xˆ n. xˆ do modelu eště zahrnuta postupná sumace (integrace) posloupnosti 64

65 Obecný stacionární model ARA se tak změní na nestacionární model ARIA (autoregressive integrated moving average). Jednoduché diferencování posloupnosti lze v Z-transformaci popsat přenosovou funkcí Hz z. Sumaci (integraci) posloupnosti lze v Z-transformaci popsat přenosovou funkcí Hz(z ), což e přenosová funkce integrační soustavy na mezi stability [9], viz také kap..3. Jednoduché diferencování s výše uvedenou přenosovou funkcí lze považovat za lineární filtraci s frekvenční charakteristikou odpovídaící filtru typu horní propust, která byla vypočítána v řešené úloze.3, viz obr..8. Na obr..8 i na obr. 4.3B e vidět, že tato horní propust utlumue neen nízkofrekvenční složky odpovídaící pozvolným změnám neboli trendu, ale že navíc částečně utlumue i periodické složky na vyšších frekvencích, které v původní časové řadě xn mohou nést užitečnou informaci. Je-li stacionární model ARA konstruován na takto nevhodně předzpracovaných datech, nebude ani výsledný model ARIA modelovat dobře všechny dynamické evy. Tento nedostatek však odborná literatura věnuící se Boxovým-Jenkinsovým modelům nezmiňue a diferencování uvádí ako doporučenou metodu.. Je časová řada stacionární?. Obsahue časová řada periodickou složku? ANO ANO NE NE Zištění periody N, zahrnutí členu AR(N) nebo A(N) do modelu, nebo diference s celistvým násobkem N. Analýza trendu, diference nebo odečtení trendové funkce. 3A) Identifikace, odhad, validace ARA modelu na původních datech. 3B) Identifikace, odhad, validace ARA modelu na očištěných datech. 4. Úprava modelu ARA na model ARIA nebo SARIA KONEC Obr. 4.4 Úprava modelu ARA na model ARIA nebo SARIA v případech konstrukce modelu na diferencovaných datech. Diferencování časové řady e doporučeno podle Box-Jenkinsovy metodiky v případech, kdy e časová řada nestacionární nebo se v ní vyskytue významná periodická složka [3]. Diferencování s celistvým násobkem periody, neboli tzv. sezónní diferencování (seasonal difference, seasonal adustment) e rovněž součástí fáze identifikace modelu podle Boxovy a Jenkinsovy metodiky, a to v případě, kdy e z něakého důvodu třeba očistit modelovanou časovou řadu od periodického kolísání eich hodnot. Je-li sezónní diferencování aplikováno před konstrukcí modelu ARA, pak e steně ako v případě 65

66 ednoduchého nebo dvoitého diferencování pro potlačení trendu nutno tuto operaci zpětně zahrnout do výsledného modelu, který pak bývá označován ako model SARIA (seasonal ARIA). A).8 G() B).5.5 Im{z} Re{z} Obr. 4.5 odulová frekvenční charakteristika (A) a rozložení nulových bodů a pólů (B) diskrétní soustavy realizuící tzv. sezónní diferencování pro potlačení periodického kolísání na uvedeném příkladu se edná o diferenci s periodou vzorků: x(n)=x(n)-x(n-). Tato sezónní diference utlumue děe neen s periodou vzorků, ale také vyšší harmonické, t. děe s periodou 6,4,3,.5 a vzorky. Tvar přenosové funkce diskrétní soustavy, která realizue sezónní diferencování, e závislý na délce periody. Např. e-li časová řada xn vzorkována s intervalem eden měsíc, pak ednomu roku odpovídá N vzorků. Je-li cílem analytika dat očistit xn od vlivu roční sezóny na sledované evy a využie-li k tomu sezónní diferencování xd nxnxnprovádí vlastně lineární filtraci, a to s filtrem s přenosovou funkcí Hz z, viz frekvenční charakteristiku a rozložení nul a pólů na obr Jedná se o tzv. 66

67 hřebenový filtr 6, který si své pomenování zasloužil podle typicky hřebenového tvaru modulové frekvenční charakteristiky vlivem rovnoměrného rozložení nulových bodů na ednotkové kružnici. Obr. 4.5 ukazue, že kromě utlumení základních děů s periodou měsíců sou hřebenovým filtrem utlumeny i vyšší harmonické složky a částečný útlum nastává také pro frekvenční složky mezi body nulového a ednotkového přenosu. Analytik by si měl tedy klást před použitím sezónního diferencování otázku, zda zkreslení, které hřebenovým filtrem do očištěné verze časové řady zavede, skutečně nevadí při dalších krocích konstrukce modelu. Alternativou k sezónnímu diferencování e zahrnutí členu ARN nebo AN do modelu, což e ednak ukázáno ve schématu na obr. 4.4 a což také vyplyne z dalšího textu o určování řádů p a q u členů AR(p) a A(q) v modelu ARA(p,q). Struktura modelu AR(p) pro stacionární časovou řadu se střední hodnotou e vyádřena na obr. 4.6 a v následuící rovnici: n a xn a xn... a xn p. x p (4.44) n x n v n z z z a a a p Obr. 4.6 odel vzniku časové řady x(n) realizací náhodného procesu AR(p) si lze představit ako IIR filtr řádu p buzený bílým šumem (n). Diferenční rovnici (4.44) lze interpretovat ako lineární regresi aktuální hodnoty posloupnosti xnproti edné a více eím předchozím hodnotám. Jinými slovy lze rovnici popsat tak, že aktuální hodnota časové řady generované náhodným procesem AR(p) e dána lineární kombinací eich p předchozích hodnot a náhodným přírůstkem nkterý v čase s indexem vzorku n tvoří v procesu edinou novou informaci. Struktura modelu A(q) pro stacionární časovou řadu se střední hodnotu e vyádřena na obr. 4.7 a v následuící rovnici (4.45). Jde opět o lineární regresi aktuálního 6 Neednoduššímu hřebenovému filtru odpovídá diferencování s přenosovou funkcí Hz z. 67

68 vzorku časové řady xn, ovšem tentokrát ne oproti eím zpožděným hodnotám, ale oproti hodnotám bílého šumu n: n n c n c n... c n. x q (4.45) q v n z z z z c c c q c q x n Obr. 4.7 odel vzniku časové řady x(n) realizací náhodného procesu A(q) si lze představit ako FIR filtr řádu q buzený bílým šumem (n). Kombinovaný model ARA(p, q) pro stacionární časovou řadu se střední hodnotou v sobě zahrnue (4.44) i (4.45): x n axn axn... a pxn p n c n c n... c n q. q (4.46) Pro určení struktury a složitosti modelu se využívá zkušeností, experimentování a srovnávání empirické autokorelační funkce pozorované časové řady s teoretickými tvary autokorelačních funkcí vybraných náhodných procesů. Autokorelační funkce stacionárního náhodného procesu e závislá na zpoždění mezi vzorky k a dále na parametrech procesu. Autokorelační funkce autoregresních náhodných procesů maí tvar klesaící exponenciály nebo exponenciálně tlumené vlny. U náhodných procesů s klouzavým průměrem autokorelační funkce klesá náhle k nule od určitého konečného zpoždění. Kombinované náhodné procesy ARA se vyznačuí tím, že eich autokorelace sou pro úvodní zpoždění k=,,,q komplikovaně závislé na parametrech členů AR i A, avšak pro zpoždění kq sou iž závislé pouze na parametrech autoregresního členu, a eich průběh tedy opět vykazue tvar klesaící exponenciály nebo tlumené vlny. Jednoduchým příkladem e teoretická autokorelační funkce stacionárního náhodného procesu AR(): R k k Ex nxn k a, (4.47) což e vlastně geometrická řada, která monotónně klesá, pokud e parametr a kladný a která má tvar tlumené vlny, pokud e parametr a záporný, viz obr Tab. 4. sumarizue heuristická pravidla pro určení struktury modelu na základě srovnávání empirických a teoretických autokorelačních funkcí. Pravidla zahrnuí také 68

69 určování řádů p a q, a to na základě parciální autokorelační funkce. Hodnota parciální autokorelační funkce časové řady xn pro zpoždění k představue závislost mezi dvěma vzorky časové řady xn a xnk, přičemž do této závislosti se nezapočítává lineární vliv vzorků ležících mezi nimi. Jinými slovy se edná o autokorelační koeficient pro zpoždění k, očištěný od vlivu hodnot vzorků x(n), x(n),, x(nk). Podle [8] e parciální autokorelační funkce definována ako: R * k korelace xn xn xn... xn k, xn k, (4.48) k kde =[,, k- ] e vektor regresních koeficientů. Průběh parciální autokorelační funkce e využíván pro určování řádu p autoregresního modelu: sledue se zpoždění, pro které parciální autokorelační funkce nabývá nulové nebo zanedbatelné hodnoty, a hodnota zpoždění předchozího e pak dosazena za p, viz také tab a =+.9 a = R (k) k Obr. 4.8 Teoretické průběhy normované autokorelační funkce pro různé parametry stacionárního náhodného procesu AR(). Jednou z metod pro odhad numerických hodnot parametrů ve zvolené struktuře modelu e řešení Yuleho-Walkerových rovnic. V této metodě se rovněž uplatňuí autokorelační a autokovarianční funkce náhodných procesů. Autoregresní model řádu p stacionární časové řady s nulovou střední hodnotou lze podle (4.44) zapsat také touto rovnicí: x p n a xn n. (4.49) 69

70 Pro zavedení autokorelací do rovnice (4.49) se každá strana této rovnice znásobí xn a aplikue se operátor očekávané hodnoty (neboli souborového průměru): E p E xn n xn xn a Exn xn. (4.5) Parametry a sou vytknuty před operátor E, neboť se edná o deterministické a nikoli náhodné proměnné. Náhodné přírůstky n+ nesou niak závislé na předchozích hodnotách xn a tak bude druhý člen na pravé straně rovnice (4.5) nulový. Vzhledem k tomu, že autokorelační funkce sou sudé funkce, lze (4.5) přepsat na: p R a R. (4.5) Pokud se obě strany rovnice (4.49) vynásobí xn lze stenými úpravami ako v rovnicích (4.5)-(4.5) dospět k rovnici autokorelační funkce pro zpoždění k: p R a R. (4.5) Obdobně lze odvodit rovnici autokorelační funkce pro maximální zpoždění mezi vzorky kp: p R p a R p. (4.53) Pro všechna možná zpoždění k,,, p lze sestroit následuící soustavu Yuleho-Walkerových rovnic: R R... R R ar ar a3r... a pr p a pr p, a R a R a R... a R p 3 a R p p ar p ar p 3 a3r p 4... a pr a pr, p a R p a R p a R p 3... a R a R. 3 3 p p p p, (4.54) Soustavu lze přepsat do maticové podoby: 7

71 R R... Rp Rp R... R p 3 R p R a R R a. R p Rp Rp 3 Rp 4 R a p 3 R p R p R p R p R a p r R a (4.55) Stručněší podoba Yuleho-Walkerových rovnic pro autoregresní stacionární náhodné procesy má tvar: Ra r. (4.56) atice R se označue také ako autokorelační matice. Jedná se o symetrickou čtvercovou matici s tzv. Toeplitzovou strukturou, která má ve všech klesaících diagonálách shodné prvky. Výpočtem inverzní matice k autokorelační matici R lze vypočítat nebo odhadnout 7 numerické hodnoty parametrů modelu ve vektoru a: aˆ R r. (4.58) Yuleho-Walkerovy rovnice pro další typy stacionárních procesů A(q) a ARA(p,q) lze odvodit obdobně ako pro procesy ARp. Soustava Yuleho-Walkerových rovnic e soustavou lineárních rovnic, ovšem pouze v případě ryze autoregresních náhodných procesů. Odhad parametrů u A(q) a ARA(p,q) procesů vede na řešení soustavy nelineárních rovnic, což e přirozeně obtížněší úloha, než e tomu v případě lineárních rovnic. Výsledné rovnice pro všechny typy náhodných procesů lze naít např. v [8]. Řešení rovnic se v dnešní době ponechává v režii výpočetních programů, ako e např. atlab, kde e tato metoda implementována v balíčku funkcí System Identification Toolbox. Důležitou součástí návrhu modelu časové řady e na závěr eho validace, a to formou kontroly reziduí mezi časovou řadou a eí predikovanou verzí. Rezidua by měla v ideálním případě představovat realizaci bílého šumu. V časovém průběhu se sledue, zda rozdělení reziduí vykazue konstantně nulovou střední hodnotu a konstantní rozptyl. Pomocí autokorelační funkce posloupnosti reziduí se vyšetřue eich vzáemná nezávislost 8. Při nesplnění těchto kritérií e třeba hledat iný, vhodněší model. To pak znamená provést znovu krok identifikace modelu, přičemž pro nové určení řádů modelu p a q mohou poskytnout 7 Jsou-li autokorelační koeficienty v matici R odhadnuty z pozorovaných časových řad pomocí časových průměrů, nelze hovořit přímo o výpočtu numerických hodnot parametrů modelu, ale raděi en o odhadu parametrů modelu. Pokud sou k danému náhodnému procesu k dispozici přesné hodnoty autokorelačních koeficientů, nebo e lze vypočítat pomocí souborových průměrů, pak lze hovořit přímo o výpočtu a ne o odhadu parametrů modelu. 8 Někteří autoři [3] doporučuí ověřovat u residuí eich normální rozdělení. Definice bílého šumu, viz (4.43), se však neopírá o určité rozdělení pravděpodobnosti. Požadavek na normální rozdělení e tedy dodatečný. Jestliže e rozdělení bílého šumu normální, pak se takový náhodný proces nazývá gaussovský bílý šum [9]. 7

72 určité vodítko právě výsledky z analýzy reziduí. Až po té, co e nalezen vhodný model ve smyslu zpětného ověření předpokladů kladených na náhodná rezidua, e možné stanovit kvalitu předpovídání modelu pomocí chyby predikce ve stanoveném horizontu predikce. Tab. 4. Volba struktury modelu na základě srovnávání empirické autokorelační funkce vyšetřované časové řady s teoretickými tvary autokorelačních funkcí náhodných procesů. Heuristická pravidla pro tato srovnávání zahrnuí také tvar parciální autokorelační funkce. Tvar autokorelační funkce Exponenciála klesaící k nule. Změny kladných a záporných hodnot, postupný pokles k nule. Jeden nebo několik vrcholů, zbytek zanedbatelný, nulový. Průběh klesaící až po několika zpožděních. Všechny hodnoty kromě počátku zanedbatelné, nulové. Vysoké hodnoty opakuící se ve stených intervalech. Neklesá k nule. Identifikace modelu odel AR(p). Pro určení p se vychází z parciální autokorelační funkce, která e pro AR(p) proces nulová od zpoždění p+. odel A(q). Řád q odpovídá hodnotě zpoždění, od kterého e autokorelační funkce nulová nebo zanedbatelná. Kombinovaný model ARA. Data sou náhodná, generue e bílý šum. Zahrnout AR člen s řádem odpovídaícím periodě. Needná se o stacionární časovou řadu. Zvyšování řádů p a q nemusí vždy vést k modelům s lepšími výsledky (věrněi odpovídaícím modelovaným časovým řadám). Nadměrné zvyšování složitosti modelu vede nutně k větším neistotám, neboť odhady parametrů modelu sou navázány na znalost statistických momentů a ty sou zpravidla k dispozici pouze v eich empirické podobě (edná se o výběrové statistické momenty získané z pozorovaných časových řad) a nikoli v podobě teoretické. Cílem konstrukce modelu by mělo být vždy nalezení neednoduššího možného modelu, který eště dobře popisue dynamiku systému. 4.3 Exponenciální vyhlazování a predikce Exponenciální vyhlazování e postup pro kontinuální revizi predikce s využitím nenověších hodnot modelované časové řady. Starším vzorkům se přiřazuí exponenciálně klesaící váhy, a tak se na výpočtu predikované hodnoty pozorované časové řady podíleí eí nověší vzorky větší vahou než ty starší. Kromě modelování či predikce se využívá exponenciální vyhlazování také za účelem potlačení náhodného rušení ve zpracovávané časové řadě. Výpočet krátkodobé predikce časové řady pomocí exponenciálního vyhlazování e dán rekurentní rovnicí [3]: n xn xˆ n,, x ˆ (4.59) ve které představue n xˆ hodnotu vyhlazené časové řady a zároveň e i predikcí pro eí příští vzorek xn+parametr, který se označue také ako koeficient zapomínání, má vliv na exponenciální pokles vah, pomocí kterých e vlastně realizován vážený průměr ze všech předchozích vzorků, neboť (4.59) lze přepsat také na [3]: 7

73 xˆ n x x n xˆ n xn xn xˆ n n xn xn xˆ n 3 n k k n xn k xˆ. (4.6) Za iniciální hodnotu ˆx se dosazue první hodnota časové řady x nebo někdy také průměr několika prvních pozorovaných vzorků časové řady.3.5 =.5.8 =.5..6 G().5..5 G() =.75 = G().5.5 G() Obr. 4.9 odulové frekvenční charakteristiky filtrů IIR pro realizaci exponenciálního vyhlazování s různými hodnotami koeficientu zapomínání. Volba hodnoty koeficientu zapomínání může být ponechána na optimalizační proceduře, která nade hodnotu minimalizuící střední kvadratickou chybu predikce pro konkrétní pozorovanou časovou řadu. Alternativně může být rozvaha nad hodnotou parametru provedena ve frekvenční doméně. Exponenciální vyhlazování lze realizovat pomocí diskrétní soustavy se strukturou odpovídaící filtru IIR s přenosovou funkcí Hz z br. 4.9 ukazue modulové frekvenční charakteristiky exponenciálního vyhlazování pro různé hodnoty. Jde o dolní propusti lišící se mezi sebou šířkou propustného 73

74 pásma. Je-li pro konkrétní aplikaci důležité předpovídat pouze pozvolné změny v trendu časové řady, pak bude pro predikční model zvolen koeficient co neblíže číslu. Pokud naopak bude v iné aplikaci důležité předpovídat i děe s rychlou dynamikou, bude zřemě zvolena nižší hodnota koeficientu. á-li být rozvaha ve frekvenční doméně smysluplná, e nutno do ní zahrnout také frekvenční spektrum pozorované časové řady. Exponenciální vyhlazování se označue někdy také ako model EWA (exponentially weighted moving average). Výše v textu však bylo ukázáno, že exponenciální vyhlazování ve své originální podobě podle rovnice (4.59) se realizue IIR filtrem, a podobá se tak více autoregresním modelům než modelům s klouzavým průměrem. Pokud se rovnice (4.59) přepíše do tvaru pro předpovídání formou korekce chyby predikce: n xn xˆ n xn xˆ n xˆ ˆ xn, xˆ (4.6) n n e evidentní, že exponenciální vyhlazování svou strukturou odpovídá modelu ARIA(,,). Označovat exponenciální vyhlazování ako model EWA e tedy nevhodné Úlohy ÚLOHA 4. Sestavte model pro časovou řadu pozorovanou při měřeních koncentrace CO v ovzduší. Soubor dat, který e dostupný na: obsahue měsíční průměrné koncentrace CO na observatoři auna Loa v letech Koncentrace sou udávány v bezrozměrných ednotkách, ako molární zlomek (mole fraction). Při konstrukci modelu využite aditivní dekompozici společně s Boxovou-Jenkinsovou metodikou. Tab. 4. Ukázka datového souboru pro modelovanou časovou řadu v úloze 4.. Soubor obsahue celkem 6 řádků, kde každý řádek reprezentue edno měření průměrné měsíční koncentrace CO. CO Rok a měsíc Rok ěsíc odel EWA může být podle definice v kapitole A model s řádem, který odpovídá konečnému počtu exponenciálně klesaících vah podíleících se na výpočtu váženého průměru. U originálního exponenciálního vyhlazování e však počet vah vzhledem k rekurentní rovnici (4.59) teoreticky nekonečný, což odpovídá realizaci pomocí filtru IIR. 74

75 Data, která sou na uvedené adrese k dispozici v textovém formátu, e třeba nedříve převést běžnými softwarovými prostředky do souboru ve formátu CSV (comma separated values), kde sou na každém řádku k dispozici všechny numerické hodnoty k ednomu měření oddělené čárkou, tabulátorem nebo středníkem. Každé měření e reprezentováno čtyřmi parametry, z toho tři reprezentuí údae na časové ose, ak ukazue tab. 4.. Kód skriptu, který v atlabu realizue načtení dat, eich vykreslení, analýzu trendu a periodických komponent e na obr. 4.. Na obr. 4. e časová řada vykreslena spolu s vypočítanou lineární trendovou funkcí. Obr. 4. ukazue grafickou analýzu čar v diskrétním spektru vypočteném z časové řady očištěné od lineárního trendu. Výsledkem analýzy sou dvě významné harmonické komponenty s periodou a 6 měsíců. Sezónní diferencování s periodou vzorků utlumí obě tyto komponenty (i další vyšší harmonické), ak bylo vysvětleno výše v textu a na obr %%% ULOHA 4.A ODELOVANI CASOVE RADY S KONC. CO V OVZDUSI %%% PRVNI CAST: ANALYZA TRENDU A PERIODICKYCH SLOZEK %%%%% nahrani dat a vykresleni casove rady DATA = dlmread('co.csv',';'); % csv soubor = hodnoty oddelene strednikem x = DATA(:,); % koncentrace sou v prvnim sloupci t = DATA(:,); % casove udae ve druhem sloupci figure, hold on; plot(t,x,'k'); % kreslime puvodni data xlabel('čas'); ylabel('co_'); %%%%% ocisteni od trendu c = polyfit(t,x,); % prolozeni polynomem prvniho radu trend = c()*t+c(); % trendova posloupnost h = line([min(t) max(t)],[trend() trend(end)]); set(h,'linewidth',,'color','red'); % trend vykreslime tlustou carou xd = x - trend; % ocisteni od linearniho trendu %%%%% zisteni periody sezonnich/cyklickych evu spektrum = fft(xd); % vypocet diskretniho spektra faxis = linspace(,,length(spektrum)); % normovana frekvencni osa figure, stem(faxis,abs(spektrum),'.'); % vykresleni modulu spektra xlabel('normovana frekvence (fs...)'); ylabel(' DFT(xd) '); xd = xd(3:end)-ddata(:end-); spektrum = fft(xd); % vypocet diskretniho spektra faxis = linspace(,,length(spektrum)); % normovana frekvencni osa figure, stem(faxis,abs(spektrum),'.'); xlabel('normovana frekvence (fs...)'); ylabel(' DFT(xd) '); Obr. 4. Úloha 4. modelování časové řady s měsíčními koncentracemi CO. První část: dekompozice. 75

76 x(t) t xd(n) n Obr. 4. Nahoře: časová řada x(t) s měsíčními koncentracemi CO v ovzduší a lineární trendová funkce T(t) vypočítaná z x(t) pomocí metody nemenších čtverců. Dole: časová řada x(t) očištěná od lineárního trendu a s indexem vzorku n ako nezávisle proměnnou. 76

77 Pro následuící konstrukci stacionárního modelu budou zvažovány obě varianty nesystematické složky časové řady x(n):. posloupnost xdnkterá se od původní časové řady liší pouze odečteným trendem a. posloupnost xd n, kterou od původní x(n) odlišue navíc i sezónní diferencování o vzorků. DFT{xd} f s =.85 N= f s =.6875 N=6 DFT{xd } f s f s Obr. 4. Zišťování periody významných cyklických/sezónních evů. Amplitudová část diskrétního spektra: vlevo - časové řady očištěné od lineárního trendu dx(n)=x(n)-t(n), vpravo - časové řady očištěné od lineárního trendu a po sezónním diferencování s periodou vzorků. Při zišťování periody ve frekvenční doméně e nutno mít na paměti, že spektrum e diskrétní a frekvenční osa e vzorkována podle počtu vzorků časové řady, viz (.9) pro definici DFT. V časové řadě xd(n) e 6 vzorků a v časové řadě xd (n) e po sezónním diferencování 49 vzorků. %%% ULOHA 4.B ODELOVANI CASOVE RADY S KONC. CO V OVZDUSI %%% DRUHA CAST: KONSTRUKCE ODELU %%%%% ZJISTOVANI DALSICH ZAVISLOSTI V NESYST. SLOZCE CASOVE RADY figure, [Rxd,Cxd]=acfpacf(xd,5,5,,.5,.5,'xd'); figure, [Rxd,Cxd]=acfpacf(xd,5,5,,.5,.5,'xd'); y = iddata(xd(:),[]); % datova struktura pro Sys. Ident. Toolbox model = ar(y,,'yw'); % reseni Yulovych-Walkerovych rovnic % vysledny model e typu idpoly: A(q)y(t) = e(t) %%%%% VALIDACE ODELU xpred = zeros(length(t),); %do xpred ulozime predikovane hodnoty a=abs(model.a()); a=abs(model.a(3)); for n = 5:length(t) xpred(n) = a*x(n-)+a*x(n-)+x(n-)-a*x(n-3)-a*x(n-4); end figure, subplot(3,,), stem(e,'.'); ylabel('residua e(n)') subplot(3,,), stem(acf_e(start:end),'.'); ylabel('acf_e(k)'); %%%%% JAK ODEL PREDPOVIDA A JAKA JE SKUTECNOST subplot(3,,3), plot(t(5:end),x(5:end),'k'), hold on subplot(3,,3), plot(t(5:end),xpred(5:end),'b'); 77

78 %%%%% ROZLOZENI NULOVYCH BODU A POLU PRENOSOVE FUNKCE a = [ a a -a -a]; sys = filt(,a); % definice citatele a men. prenosove funkce figure, pzmap(sys); % rozlozeni nulovych bodu a polu Obr. 4.3 Úloha 4. modelování časové řady s měsíčními koncentracemi CO. Druhá část: konstrukce modelu a eho validace s využitím balíčku funkcí System Identification Toolbox pro atlab. Ve druhé části skriptu, ehož programový kód e na obr. 4.3, se zišťuí závislosti v nesystematické složce časové řady xn, a to pomocí autokorelační a parciální autokorelační funkce, viz obr Obě funkce zároveň slouží k určení řádů p, q členů ARp a Aq ve stacionárním modelu ARA. Autokorelační funkce posloupnosti xdn potvrzue výskyt periodické složky s periodou vzorků o posloupnosti xdn tedy nelze hovořit ako o náhodné, nesystematické časové řadě. Autokorelační funkce posloupnosti xd n vykazue tvar tlumené vlny, a tak lze tuto posloupnost modelovat pomocí autoregresní soustavy. Řád této soustavy lze vyčíst z bodu useknutí v parciální autokorelační funkci, který nastává pro zpoždění k. 5 xd(n) xd (n) n 5-5 n 5 R xd (k) k R xd (k) k R * xd(k) R * xd(k).5 k = k k Obr. 4.4 Zišťování závislosti mezi vzorky v nesystematické složce pomoci autokorelační funkce R(k) a parciální autokorelační funkce R * (k). 78

79 Odhad parametrů modelu AR(), provedený pomocí Yulových-Walkerových rovnic, vede na konstrukci stacionárního modelu: xd n n a xd n a xd n, a,45543 a,3384. Stacionární model e třeba upravit na nestacionární, a to zpětným promítnutím všech úprav, které byly provedeny při stacionarizaci původní časové řady xn viz dále. xd( n xd x( n) ) x( n) n, n xd( n) xd( n ) x( n) n x( n ) n x( n ) n a xn x( n 3) a xn x( n x( n) x( n ), 4). Rovnice výsledného AR(4) modelu má tvar: x n n a xn a xn xn a xn 3 a xn 4, a,45543 a,3384. Na obr. 4.5 sou znázorněny tři kroky validace modelu formou grafické analýzy reziduí neboli chyb predikce. Autokorelační funkce chybové posloupnosti R k se přibližue autokorelační funkci bílého šumu. Část variability dat, kterou nebylo možné postihnout modelem, e tedy velmi náhodná. 79

80 (n) n 5 R (k) n x(t), (t) t Obr. 4.5 Validace výsledného modelu zahrnue a) grafickou analýzu residuí (neboli chyb predikce), b) včetně eich autokorelační funkce a c) posouzení kvality předpovídání xˆ n. vybrán detail, plná čára: x(n), přerušovaná čára: Obr. 4.6 ukazue rozložení nulových bodů a pólů výsledného modelu AR(4) několik pólů e vně ednotkové kružnice, a edná se tedy o nestabilní soustavu. Tomu také odpovídá xˆ n, která e modelem generována. neustálý nárůst hodnot v časové řadě 8

81 .5.5 Im{z} Re{z} Obr. 4.6 Rozložení nulových bodů a pólů výsledného nestacionárního modelu AR(4). 4.5 Shrnutí Čtvrtá kapitola představue eden z možných pohledů na problematiku konstrukce modelů časových řad generovaných náhodnými procesy. V úvodu byly představeny vybrané statistické momenty, které se využívaí pro popis vlastností náhodných časových řad. Byly vysvětleny základní rozdíly mezi časovými a souborovými průměry a dále byl čtenář seznámen s pomy stacionarita a ergodicita, což sou vlastnosti, které vymezuí určité podmnožiny náhodných procesů. Jádro kapitoly tvoří metodika pro konstrukci stacionárních ARA modelů náhodných časových řad podle Boxe a Jenkinse: probrány sou zde všechny tři základní kroky od identifikace modelu přes odhad numerických hodnot parametrů modelu až po eho validaci. Detailně byly rozebrány také možnosti a důsledky doporučených postupů pro předzpracování nestacionárních časových řad při konstrukcích modelů typu ARIA nebo SARIA. Byla ukázána důležitá role speciálního náhodného procesu, který se označue ako 8

82 bílý šum. Jedna podkapitola se věnue také ednoduchému exponenciálnímu vyhlazování pro predikcí časových řad, přičemž e zde ukázáno, že se edná vlastně o speciální model typu ARIA. V závěru kapitoly e čtenář detailně proveden edním z mnoha možných postupů při konstrukci modelu reálně naměřené nestacionární časové řady představuící měsíční monitoring koncentrace CO v ovzduší. 8

83 5 Lineární predikce optimálními a adaptivními filtry Konstrukce matematických modelů reálných systémů nebo procesů na základě pozorovaných časových řad pomocí postupů uvedených ve čtvrté kapitole vede ke stacionárním modelům. V případě nestacionárních časových řad e nutné v diskutovaných postupech takové posloupnosti nedříve předzpracovat s cílem očistit e od trendu a/nebo od periodického kolísání, poté zkonstruovat model pro takto změněná data a nakonec do modelu zahrnout operace inverzní k předzpracování. Pro takovýto postup e ovšem nutné mít k dispozici apriorní znalosti o průměrných vlastnostech modelovaných časových řad a dále musí charakter nestacionární složky umožňovat eí oddělené modelování. V mnoha případech nelze takové znalosti a podmínky při modelování časových řad přepokládat, což platí zeména při skokových změnách podmínek vzniku časových řad a e-li cílovou aplikací modelu predikce budoucích hodnot časové řady. Koncept lineární predikce byl naznačen iž v první kapitole tohoto učebního textu, a to v diferenční rovnici LTI systému (.6). Tento vztah lze interpretovat tak, že LTI systém uchovává v paměti starší vzorky vstupní i výstupní časové řady x(n), respektive y(n) a že aktuální výstup diskrétního LTI systému lze predikovat výpočtem eich lineární kombinace. Cílem lineární predikce e nalezení hodnot parametrů a i a b v rovnici (.6) steně ako tomu bylo v případě modelování náhodných procesů ve čtvrté kapitole. etodika, kterou se zabývá tato kapitola, zahrnue optimální filtraci pro identifikaci neznámých, časově invariantních systémů, u kterých sou hodnoty parametrů a i a b v čase konstantní. Dále pak představue také adaptivní filtraci pro identifikaci neznámých dynamických (neboli časově proměnných) systémů, u kterých sou parametry a i n a b n na čase závislé. Změnami hodnot těchto parametrů v čase e možné dosáhnout adaptivní přizpůsobení charakteristik filtru podle měnících se průměrných vlastností pozorovaných časových řad. 5. Optimální filtrace a identifikace Jednou z aplikačních oblastí lineární predikce e identifikace systémů, eíž obecný princip ukazue obr. 5.. Cílem identifikace e u predikčního filtru nastavit váhy w k tak, aby vstupně výstupní chování obou systémů bylo pokud možno shodné. Protože sou identifikovaný systém i predikční model buzeny shodnou posloupností xn, de tedy o minimalizaci rozdílu mezi výstupním signálem z identifikovaného systému dn a výstupním signálem z predikčního filtru dˆ n. Posloupnost residuí mezi těmito výstupy nse označue ako chyba predikce. inimalizační kritérium se odvozue od kvadrátu chyby predikce, aby byly zohledněny stenou měrou kladné a záporné odchylky mezi výstupními signály dn a dˆ n. Posloupnost chyb predikce n lze považovat za realizaci náhodného procesu. Do kritéria minimalizace se proto zavádí eště operátor očekávané hodnoty E (souborový průměr) a celé kritérium se pak označue známým pomem střední kvadratická chyba (SE mean squared error). n. n E dn dˆ n E (5.) Je-li střední kvadratická chyba uváděna s časovým indexem n, edná se o časové sledování vývoe predikční chyby, např. v průběhu hledání vah optimálního filtru. Zápis 83

84 střední kvadratické odchylky bez časového indexu se využívá pro označení ustálené chyby predikce. Obr. 5. Základní schéma identifikace systémů pomocí optimální filtrace. Identifikovaný systém (černá skříňka) má neznámou impulsní charakteristiku h k. odel identifikovaného systému v paralelní větvi e predikční filtr FIR s impulsní charakteristikou, které odpovídaí váhy w k. Z obr. 5. e zřemé, že pro různé vektory vah predikčního filtru w budou výsledkem různé hodnoty střední kvadratické chyby predikce. Za předpokladu, že predikční filtr FIR e řádu, uplatní se při výpočtu eho aktuální výstupní hodnoty dˆ n pouze posledních vzorků z časové řady xn. Operaci konvoluce lze zapsat pomocí vektorového součinu ako: dˆ w x T n w nxn i w nx n T T i i n w n,..., w n, n [ xn,..., xn ]., (5.) Dosazením (5.) do (5.) lze získat funkční vztah mezi vahami w a chybou : T w E n E dn n w x, (5.3) který e v následuících odstavcích předmětem podrobného zkoumání. Při identifikaci systémů pomocí optimální filtrace e cílem naít ediné, optimální nastavení predikčního filtru. Jedná se tedy o LTI soustavu s fixními parametry, a proto byl u vektoru vah w v rovnici (5.3) záměrně vypuštěn časový index n. Zároveň e však nutno v takovém případě doplnit přirozený 84

85 požadavek na stacionaritu časových řad dn a xn. Jak bude ukázáno dále, v případě použití adaptivních predikčních filtrů tento omezuící předpoklad není třeba zavádět. dˆ n lze rozepsat ako: Kvadrát rozdílu mezi časovými řadami dn a T T T T d n w x n d n w dnx n w x nx n w. (5.4) Po aplikaci operátoru očekávané hodnoty na obě strany rovnice (5.4) e na levé straně získán opět výraz pro střední kvadratickou chybu: w E d n T w E dnx n w. T T w E x nx n (5.5) Na pravé straně rovnice (5.5), která e alternativou k rovnici (5.3) pro vyádření funkčního vztahu mezi střední kvadratickou chybou a vektorem vah predikčního filtru, byly před operátory očekávané hodnoty vytknuty konstantní parametry časově invariantního predikčního filtru w N. Zbývaící tři souborové průměry na pravé straně rovnice (5.5) odpovídaí statistickým momentům, eichž výčet následue []. Střední výkon výstupní časové řady σ d E{d n}, který lze pro stacionární časovou řadu považovat za konstantní. Pro časové řady s nulovou střední hodnotou platí, že eich střední výkon e roven eich rozptylu. Vektor křížových korelací mezi vstupním a výstupním signálem identifikovaného systému p N E{dnx n}, který e pro stacionární časové řady nezávislý na čase. Autokorelační matice části vstupní časové řady R E{x nx T n}, která e pro stacionární časové řady nezávislá na čase. Vzhledem k časové nezávislosti všech tří statistických momentů e minimalizační kritérium závislé pouze na nastavení vah predikčního filtru w : T T w w p w R w. (5.6) d Vektor křížových korelací e v následuící rovnici (5.7) rozepsán na ednotlivé hodnoty korelací R xd k, které sou v případě stacionárních časových řad závislé pouze na časovém zpoždění k mezi vzorky a nikoli na absolutním času daným indexem vzorku n: Ed nxn d nxn R xd p E R xd. (5.7) E d n x n R xd Skutečné hodnoty křížových korelací mezi vstupním signálem xn a výstupním signálem dn nesou v případě neznámého systému k dispozici, a tak e nutné odhadnout e z dostupných dat. V případech, kdy e možné zavést další omezuící předpoklad ergodicity 85

86 náhodných procesů, které generuí vyšetřované časové řady, e možné odhady korelací vypočítat pomocí časových průměrů z ediné realizace časové řady: Rˆ xd k N k i R ˆ xd k xn id n k i, (5.8) N kde N e počet vzorků v časovém okně, ze kterého sou odhady korelací počítány. Je třeba mít na paměti, že při porušení podmínky ergodicity e do výpočtu vah optimálního predikčního filtru vnesena chyba. Obdobně se postupue při vyádření ednotlivých prvků autokorelační matice, která prostřednictvím hodnot autokorelační funkce popisue závislosti mezi vzorky xn. Skládání prvků autokorelační matice iž bylo probráno v kapitole 4. autokorelační matice svou strukturou odpovídá struktuře Toeplitzovy matice : R E x R R R R T nx n R R... R R R R... R 3 R R 3 R 4 R R R R 3 R R. (5.9) Při předpokladu ergodicity náhodného procesu, který generue časovou řadu xn, lze odhady hodnot autokorelační funkce R ˆ k získat z časových průměrů ediné realizace procesu: N k ˆ R k xn ixn k i. (5.) N i Existuí istě i aplikace, při kterých sou dostupné i teoretické statistické momenty náhodného procesu, který generue časovou řadu xn. V takových případech e samozřemě lepší nepracovat s výběrovými momenty, ale dosadit do korelací v matici (5.9) hodnoty teoretické autokorelační funkce. Pro funkci w popsanou rovnicí (5.6) byly výše vyádřeny všechny eí komponenty a na obr. 5. e průběh této funkce znázorněn konkrétně pro predikční filtr se dvěma vahami. Délka kolmice vztyčené z bodu w, w k povrchu, který reprezentue průběh kriteriální funkce, odpovídá střednímu výkonu chybové posloupnosti E{n }. Selským úsudkem, ale i podle rovnice (5.6) e tento výkon shodný se středním výkonem výstupní časové řady dn Tento výkon bude dosahovat nenižších hodnot při optimálním nastavení obou vah w w * a w w *. Podmínka ergodicity e striktněší než podmínka stacionarity, viz kap. 4.. Při identifikaci neznámého systému e možné splnění podmínky ergodicity ověřit edině pokusem. Toeplitzova matice má strukturu, ve které sou zaručeny konstantní prvky na všech sestupných diagonálách. 86

87 Střední kvadratická chyba e funkce s ediným extrémem, pro ehož lokalizaci se vyádří eí první derivace a ta se položí rovna nule. Druhá derivace této funkce musí být v minimu kladná. Pro má střední kvadratická chyba predikce tvar: w w, w w w w w w w x x x xd xd d (5.) Obr. 5. Průběh kriteriální funkce (w,w ) pro optimalizaci vah predikčního filtru FIR. řádu při identifikaci neznámého systému. Tvar funkce (w,w ) ovlivňuí statistické momenty uvedené v rovnici (5.6), t. rozptyl časové řady na výstupu systému σ d, vektor vzáemných korelací mezi časovými řadami na vstupu a na výstupu systému a dále autokorelační matice náhodného procesu, který generue časovou řadu přiváděnou na vstup identifikovaného systému. Body w* a w* označuí optimální váhy odpovídaící minimu kriteriální funkce min, t. minimu střední kvadratické chyby predikce []. 87