f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

Transkript

1 Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor funkce f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x [ π ] a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech 2 ;? a Určete definiční obor funkce f(x) = (sin x) 2x + x 2 [ π ] a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech 2 ;? a Určete definiční obor funkce f(x) = (sin x) x + 2x [ π ] a nalezněte její diferenciál v bodech 2 ;? a Nalezněte rovnice tečen ke grafu funkce v jejích inflexních bodech Určete definiční obor funkce [ ] 6 5 π;? f(x) = ln( + x 2 ) f(x) = (sin x) x2 + x [ ] 2π 3 ;? [ ] 4π 3 ;? [ ] 7 4 π;? Typeset by AMS-TEX

2 [ π ] [ ] 5 a nalezněte její diferenciál v bodech 2 ;? a 3 π;? Určete definiční obor funkce f(x) = ln x x 2 a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech Určete definiční obor funkce f(x) = ln 3 x2 3x 3 [ ] 2 ;? a [ 2 ] ;? a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [;?], [;?] Určete definiční obor funkce f(x) = ln x x 2 a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech Určete definiční obor funkce f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [ ] 2 ;?, [;?] [ π 2,? ], [π,?] Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech [;?] a [π;?] Nalezněte definiční obor funkce f(x) = (e 2 x 2 ) cosh x + e 4x a její diferenciál v bodech x = a x 2 = 3 Určete definiční obor funkce f(x) = (4 x 2 ) sin x a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [ 3;?], [;?]

3 Nalezněte limity v krajních bodech definičního oboru funkce f(x) = ln(4 x) 9 x 2 Nalezněte asymptoty ke grafu funkce f(x) = x ln x Nalezněte limity v krajních bodech definičního oboru funkce f(x) = ln(x + 2) x 2 Dokažte, že derivace sudé funkce je funkce lichá Napište rovnici normály ke grafu funkce f(x) = x ln x rovnoběžné s přímkou p 2x 2y + 3 = Určete rovnici tečen k parabole y = 2 x2 + 2, které prochází bodem B = [2; ] Je dána funkce f(x) = x 2 sin x f (2) (x) Dokažte, že derivace liché funkce je funkce sudá Ve kterých bodech má graf funkce f(x) = x + 3 sin x tečny rovnoběžné s osou y? Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = x 3 + x 2, která je rovnoběžná s přímkou p y = 4x Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = x 2 (2 x) 2, která je rovnoběžná s přímkou p y = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = x 3 + 3x 2 5, která je kolmá k přímce p 2x 6y + = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = x 2 2x + 5, která je kolmá k dané přímce p y = x + 3 Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = ln x, která je kolmá k přímce p y = 2x

4 Napište rovnice tečen hyperboly 7x 2 2y 2 = 4, které jsou kolmé na přímku 2x + 4y 3 = Veďte tečny ke grafu funkce y = 2x 2 tak, aby procházely bodem B = [2; 3] Určete rovnici normály ke grafu funkce y = x 2 4x + 5, která je rovnoběžná s přímkou p x + 4y 4 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = x 2 6x + 6, která je kolmá k dané přímce p y = x Určete rovnici normály ke grafu funkce y = x + 2, která je kolmá k přímce p y = x Veďte tečny ke grafu funkce y = x + 9 x + 5 tak, aby procházely bodem B = [; ] Veďte tečny ke grafu funkce y = x tak, aby procházely bodem B = [ ; ] limitu x arctg x lim x x 3 limitu lim (π 2 arctg x)x x + limitu ( ) lim x + x cotg x limitu lim x + (ex x) limitu ( lim cos ) x 2 x + x limitu lim (cotg x) sin x x +

5 Dokažte, že polynom P s reálnými koeficienty má tuto vlastnost Mezi každými dvěma reálnými kořeny polynomu P leží kořen polynomu P Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí uvedená rovnost arctg x + arccotg x = k Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnosti arctg x + arctg x + x = k Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost 2 arctg x + arcsin 2x + x 2 = k Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost 2 arctg x arccos x2 + x 2 = k limitu limitu limitu limitu limitu sin πx lim x ln x e x e x lim x sin x x sin x lim x x 3 ln(x 2 8) lim x 3 x 2 3x lim x tg x x x sin x

6 limitu πx lim ( x) tg x 2 limitu lim x xe/x limitu ( lim x x ) sin x limitu ( lim x x ) e x limitu ( ) lim x x 2 cotg2 x limitu lim x x/( x) limitu lim ( + x) ln x x + limitu lim (sin x π/2 x)tg x limitu lim x + xe x e x limitu 3 x 2 x lim x x

7 Najděte lim x x cos t 2 dt x Najděte lim x + x (arctg t) 2 dt x2 + Najděte lim x + ( x x ) 2 e t2 dt e 2t2 dt Najděte lim x x + x cos t t 2 dt Najděte lim x + x + t4 dt x 3 Najděte lim x + + x t e t dt ln(/x) Najděte lim x α x + x f(t) dt, tα+ kde α > a f(t) je spojitá funkce na intervalu, Najděte definiční obor funkce f(x) = ( e 2 x 2) cosh x +e 4x a její diferenciály v bodech x = a x = 4

8 ( Najděte definiční obor funkce f(x) = cosh 2x ) 7 3x tgh x a její diferenciály x 3 v bodech x = a x = 3 Najděte definiční obor funkce f(x) = grafu v bodech x = 2 a x = ( ) cosh x x 2 +e 2x a rovnici normál k jejímu Najděte definiční obor funkce f(x) = 3 cos x + ( sin x ) x 2 grafu v bodech x = π 2 a x = π 2 a rovnici normál k jejímu Najděte definiční obor funkce f(x) = ( cos x ) 2x x arctg 3 grafu v bodech x = π a x = a rovnici tečen k jejímu Najděte definiční obor funkce f(x) = 3x + ( cos x ) cosh x a rovnici normál k jejímu grafu v bodech x = π a x = ( ) x x + 2 Nalezněte limity v hraničních bodech definičního oboru funkce f(x) = x 2 Nalezněte rovnice všech asymptot ke grafu funkce f(x) = x ln(6 2x) Nalezněte definiční obor funkce f(x) = x (9 3x) cosh(2x 2) a napište rovnici normál k jejímu grafu v bodech x = a x 2 = 4 Napište rovnice všech asymptot ke grafu funkce f(x) = 2x ln(8 4x) Nalezněte limity v krajních bodech definičního oboru funkce f(x) = [ ] x tgh(4 2x) 2 2x Nalezněte definiční obor funkce f(x) = (4 3x) cosh(x ) x funkce v bodech x = a x 2 = 2 a normálu ke grafu této Nalezněte definiční obor funkce f(x) = a její diferenciály v bodech x = 2 a x 2 = [ arctg( x) ] cosh 4x Nalezněte všechny asymptoty funkce f(x) = x 2 cosh(3x 6)

9 Nalezněte definiční obor funkce f(x) = (sin x) 2x + x 2 a rovnici tečen k jejímu grafu v bodech x = π 2 a x 2 = 4π 3 Nalezněte definiční obor funkce f(x) = (sin x) x2 x = π 2 a x 2 = 3π 2 + x a její diferenciály v bodech Nalezněte definiční obor funkce f(x) = (4 x 2 ) sin x a rovnici tečen k jejímu grafu v bodech x = 3 a x 2 = Nalezněte limity funkce f(x) = ( ) 2 ln π arccos x ln(x + ) v hraničních bodech jejího definičního oboru Určete definiční obor funkce f(x) = ( x 2 ) sin x a nalezněte rovnice normál ke grafu této funkce v bodech x = a x 2 = π Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) 2x arcsin x 3 a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech x = 2π a x 2 = Nalezněte rovnice všech asymptot ke grafu funkce f(x) = x ln(5 2x) Nalezněte limity v krajních bodech definičního oboru funkce f(x) = ln(x + 2) x 2 +

10 Příklad 2 Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = ln 6 2x x + Nalezněte všechny asymptoty funkce f(x) = 3x3 4x x 2 4 Nalezněte všechny asymptoty funkce f(x) = 2x3 2x + x 2 Nalezněte všechny asymptoty funkce f(x) = 2x3 + 5x 2 + 2x x 2 + x 6 Nalezněte všechny asymptoty funkce f(x) = 2x2 + 5x arctg x x + Nalezněte všechny asymptoty funkce f(x) = 2x3 + x 2 2x x 2 Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = ln x 2 x + 3 Nalezněte všechny asymptoty funkce f(x) = 3x3 + 2x 2 2x 8 + e x x 2 4

11 Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = ln x 3 x 5 Nalezněte všechny asymptoty funkce f(x) = x2 + 3x e x2 x + Nalezněte oblasti monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = ln x 2 x 3 Nalezněte obor konvexnosti, konkávnosti a inflexní body funkce f(x) = x x 2 + Nalezněte globální extrémy funkce na intervalu, 2 f(x) = ln(e 2 x 2 ) Nalezněte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní body funkce f(x) = x x 2 Nalezněte globální extrémy fukce f(x) = x 2 arctg x na intervalu, 3 Nalezněte globální extrémy funkce f(x) = ln x

12 na intervalu e, e 2 Nalezněte globální extrémy funkce f(x) = x arctg x, x 3, 3 Na intervalu 3, nalezněte globální extrémy funkce f(x) = ln(8 2x x 2 ) Nalezněte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní body funkce x F (x) = e t sin t dt, x, 2π Nalezněte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní body funkce x F (x) = t 2 e t dt, x, ) Nalezněte inflexní body funkce x F (x) = sin 2 t dt, x, 2π Určete, ve kterých intervalech je funkce f(x) = konkávní a najděte inflexní body x x 2 konvexní a ve kterých je Určete, ve kterých intervalech je funkce f(x) = ln( + x 3 ) konvexní a ve kterých je konkávní a najděte inflexní body Určete inflexní body funkce f(x) = x sin(ln x) Určete všechny asomptoty grafu funkce f(x) = 4x2 x2 ( Určete všechny asymptoty grafu funkce f(x) = x ln e + ) x

13 Určete všechny asymptoty grafu funkce f(x) = 3x + arctg x Určete intervaly, na nichž je funkce f(x) = této funkce x ln x Pro které číslo je součet s jeho druhou mocninou minimální? konvexní, konkávní a inflexní body Určete rozměry kvádru s čtvercovou základnou, který má při daném objemu V nejmenší povrch Na hyperbole dané rovnicí A = [3; ] x 2 2 y2 = nalezněte bod, který je nejblíže bodu Určete intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = x + x Určete intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = x 2 e x Určete intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = ln x + x Určete lokální extrémy funkce f(x) = arcsin x 2 Určete lokální extrémy funkce f(x) = e x sin x Určete lokální extrémy funkce f(x) = x ln 2 x Určete lokální extrémy funkce f(x) = 2x + e x Určete intervaly, ve kterých je funkce f(x) = konvexní, konkávní a inflexní x2 body této funkce Určete intervaly, ve kterých je funkce f(x) = e x2 body této funkce konvexní, konkávní a inflexní Určete intervaly, ve kterých je funkce f(x) = e 3 x konvexní, konkávní a inflexní body této funkce Pro které kladné číslo x je jeho součet s jeho převrácenou hodnotou /x minimální? Pro které kladné číslo x je jeho rozdíl s jeho druhou odmocninou minimální? Do kružnice o poloměru R vepište obdélník, který má největší obsah a tento obsah určete

14 Který obdélník vepsaný do půlkruhu o poloměru R má největší obsah a jaký? Do koule o poloměru R vepište válec, který má největší objem Do rotačního kužele s výškou v a poloměrem podstavy R vepište válec s největším objemem Který kvádr se čtvercovou podstavou má při daném objemu V nejmenší povrch? Který válec má při daném objemu V minimální povrch? Najděte lokální extrémy funkce f(x) = e 6 3x /x Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = 3 x 3 Najděte intervaly, v nichž je funkce f(x) = ln x x + 3 konvexní a konkávní Najděte všechny asymptoty grafu funkce f(x) = sin2 (x 2) ( x2 4 ) 2 Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = ln x 3 x 5 ( Najděte rovnice všech asymptot ke grafu funkce f(x) = x ln e + ) x Najděte globální extrémy funkce f(x) = sin 2x x na intervalu π, π Najděte rovnice všech asymptot ke grafu funkce f(x) = arccos x x x 2 Najděte rovnice tečen ke grafu funkce f(x) = x ln x v jejích inflexních bodech Najděte rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = arctg x2 + x 2 Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = ln x 2 x 3 Najděte rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = 3 x 3 Najděte rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = 3 x 3 + x 2 Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = ln 6 2x x +

15 Najděte rovnice tečen ke grafu funkce f(x) = e 3+x /(x ) v jejích inflexních bodech Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = 3 x 2 + x 3 Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = e 2 x /(x+) Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = arccotg x 2 2x 8 Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = ln 3 x2 x 3 Najděte rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = e 2 x /(x+) Najděte globální extrémy funkce f(x) = ln ( 8 2x x 2) na intervalu 3, Najděte globální extrémy funkce f(x) = x 2 arctg x na intervalu, 3 Najděte rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = x2 + 7 x 3 Najděte globální extrémy funkce f(x) = ln ( e 2 x 2) na intervalu, 2 Najděte rovnice všech tečen ke grafu funkce f(x) = x x 2 v jejích inflexních bodech Najděte lokální extrémy funkce f(x) = (x 3) 2 e x Najděte lokální extrémy funkce f(x) = 3 4 x 2 Najděte rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = e x x 2 x Najděte množinu všech x R, pro která je funkce f(x) = 2x 2 + ln x současně rostoucí a konkávní Najděte množinu všech x R, pro která je funkce f(x) = rostoucí a konvexní 3 x 2 6x současně Do koule o poloměru R vepište válec, který má největší povrch ( ) x Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = exp x Nalezněte lokální a globální extrémy funkce f(x) = (x 3) 2 e x na intervalu I =, 4 Najděte globální extrémy funkce f(x) = sin 2x x na intervalu I =, π

16 Najděte globální extrémy funkce f(x) = sin 2x x na intervalu I =, π 2 Najděte rovnice tečen ke grafu funkce f(x) = e 3+x /(x ) v bodech x = 3 a x 2 = 3 Nalezněte rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = 2x3 + 3x 2 8x 2 arctg x x 2 Nalezněte rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = 3x3 2x 2 + x + sin x x 2 π 2

17 Příklad 3 arcsin x 2 dx 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx ln 2 x dx arccos x 3 dx 2e 3x + 24e x e 2x + 9 dx x 2 2x 4 x 3 4x 2 + 4x dx x + x + 2 dx 2x + x 3 + 2x 2 dx 4e 3x + 42e x e 2x + 9 dx x dx x + 5

18 2x ln 2 x dx 2x 3 x 2 4x + 6 dx 4x + 4 x 3 2x 2 dx x + 2 x 3 + 2x 2 + x dx x 2 e 2x dx x 3 x 3 2x 2 + x dx 3 x 2 x + 7 dx x ln 2 x dx 2x + 6 x 3 + 4x 2 + 4x dx 2 cosh 3 x + 22 cosh x sinh 2 dx x + 9

19 x + x 3 2x 2 dx 2x 3 x 2 4x + 8 dx 5 + x 2 x + 2 dx cosh 3 x + 7 cosh x sinh 2 x + 4 dx sin 2 x cos 2 x dx dx (x ) 2 (x + ) 3x 2 x dx dx x 4 + x 2 x 3 dx x 2 + 2x + 3 sin x cos x sin x + cos x dx

20 x2 dx dx 2 e x e 2x ln x x 2 dx x 2 cos x dx x arctg x dx x dx sin 2 x x dx + x 4 x 2 e x dx e x cos x dx arctg x dx

21 + x2 dx arcsin x dx arctg x dx sin 3 2x dx dx (x 2 + )(x ) 2 x x + 4 dx dx x x + dx sin x cos 2 x cos x cos 3x dx sin 2x cos 5x dx

22 dx ex + e x dx dx e x + e x dx x + 3 x 2 + x + x + dx x 3 x 8 + dx x 2 + x(x 2 ) dx e x x dx ln ( + x 2) dx arcsin x + x dx

23 x arcsin x x 2 dx dx + 2x x 2 dx + x x 5 e x2 dx xe x dx cos 2 x dx x 2 sin x dx dx ( + e x ) 2 dx e 2x + e x 2 x 2 ln 2 x dx

24 ( ) 2 ln x dx x x arctg(x + ) dx x ln ( ) + x dx x x dx (x + )(x + 2)(x + 3) x dx (x + 2)(x ) 2 dx x 4 dx x 3 + x dx x 3 x 3 dx x x dx x 8

25 tg 3 x dx sin 3 x cos 4 x dx cos 2 x sin x dx cotg 2 x dx e 3x + e x + dx dx sin 2 x + 2 cos 2 x 2x 3 x 9 x + 4 x dx sin 3 x dx x 2 3 x dx sin x cos 3 x + cos 2 x dx

26 x ln 2 x dx ln (x + ) + x 2 dx xe x (x + ) 2 dx (x + ) dx x 2 + x + dx 2x x 2 dx 2x2 x x 2 dx x + 2 4x 2 dx x 4 4x + 4 x 3 2x 2 dx 4e x dx ( e 2x + 2e x + )( e x )

27 arccos 4x dx 4x 2 dx x 4 ln 2( 4 2x ) dx x + x + dx 2x 2 8x 8 x 3 dx 4x 6 dx e 2x + 4e x + 3 x 2 2x 4 x 3 4x 2 + 4x dx x 2 9 x 2 dx ( ) arccotg dx 2 x 4x 4 dx x 4

28 arccos x 2 dx ( ) 4 x x ( x2 4x + 8 ) 2 dx

29 3 Příklad 4 x x dx x ( + x) 3 dx e2 ln 2 x + 8 x ln 2 x + 4x dx 2 4 x 2 dx 4 x 9 + x 2 dx x 2 dx x 2 e x dx x e x2 dx

30 4 sinh 2 (x 2 + 6) /2 dx 2 2 x ( x) 3 dx e2 ln 2 x + 8 x ln 2 x + 4x dx x 2 dx x arctg x dx π/4 sin x cos 3 x dx 4 6 x 2 dx π sin 2 x dx

31 3 2 2 x ( x) 3 dx x x 2 dx ln 2 e 3x + 8e x e 2x + 4 dx e /x x 2 dx x2 dx 2 x ln x dx e ln 2 x dx x + x 2 dx

32 e /x x 3 dx 2 (4 x2 ) 3 dx dx 4 x 2 e x dx + e 2x e ln 3 x dx (e x ) 4 e x dx x dx (x 2 + ) dx 2x 2 + 3x 2

33 2π cos x dx x dx + x 8 x dx + x 3 ex dx ex + e x x2 dx ( x2 ) 3 dx x 2 x 2 dx π/4 sin x cos 3 x dx

34 π/2 sin x cos x dx a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x ln 5 e x e x e x + 3 dx arctg x dx π x 2 sin x dx π/2 e 2x cos x dx dx x 2 + 2x x dx x dx x x +

35 dx x 2 + 3x + 2 dx x 2 (x + ) x 3 e x2 dx Dokažte, že pro a > a n N platí x n e ax dx = n! a n+ dx x x 2 e x dx e x sin x dx arctg x x 2 dx

36 x ln x dx e dx x ln x x + 5 x 3 dx dx x /e dx x ln 2 x 3x x 2 dx 2 x dx x dx x 2 x +

37 π x sin x dx 2π x 2 cos x dx e ln x dx /e arccos x dx 3 x arctg x dx 2 x 2 4 x 2 dx ln 2 ex dx x dx x 2 + x +

38 π/2 dx a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x, ab e ( x ln x ) 2 dx 9 x 3 x dx 2 dx x x 2 π x sin 2 x dx + 2 dx x 2 + x 2 + dx + x 3 dx (2 x) x

39 + ln x ( + x) 2 dx Vyšetřujte konvergenci integrálu + x 2 dx x 4 x 2 + Vyšetřujte konvergenci integrálu + dx x 3 x 2 + Vyšetřujte konvergenci integrálu 2 dx ln x V závislosti na parametru p R vyšetřujte konvergenci integrálu + x p e x dx V závislosti na parametrech m, n R, n, vyšetřujte konvergenci integrálu + x m dx + x n V závislosti na parametru n R vyšetřujte konvergenci integrálu + arctg x x n dx

40 V závislosti na n R vyšetřujte konvergenci integrálu + ln( + x) x n dx V závislosti na parametru n R vyšetřujte konvergenci integrálu x n dx x 4 Vyšetřujte konvergenci integrálu + dx x3 + x Vyšetřujte konvergenci integrálu ln x x 2 dx x arctg x 2 dx e x cos 2x dx 4 e 2x 4 dx

41 2 x arctg x 2 dx 4x + 4 x 3 2x 2 dx 2 x 2 dx 4 x 2 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx (4x 2) dx (x 2)(x 2 ) dx x 2 6x x 2 x 4 dx + dx x x

42 2 ln x x dx x 3 e 4x2 dx x arccotg x 2 dx 5 3 x dx 4 x 9 + x 2 dx + 3 ( ) 4x 2 (x 2)(x 2 ) 8 dx x 2 dx 6x + 3

43 Najděte limitu Příklad 5 ( ) lim n + n n Najděte limitu lim n 3 n2 sin n! n + Najděte limitu lim n + a + a a n + b + b 2, a <, b < + + bn Najděte limitu ( lim n n n n ) n 2 Najděte limitu [ lim n 2 + ] n(n + ) Najděte limitu ( lim ) 2 2n 2 n Dokažte, že existuje limita posloupnosti a n = 3 n + 9 2n Dokažte, že existuje limita posloupnosti ( a n = ) ( ) ( ) n Dokažte, že existuje limita posloupnosti a n = sin 2 + sin sin n 2 n

44 Dokažte, že existuje limita posloupnosti a n = cos! 2 + cos 2! cos n! n(n + ) Najděte lim a n a lim a n pro posloupnost n n ( a n = ( ) n ) n Najděte lim a n a lim a n pro posloupnost n n a n = ( )n n + + ( )n 2 Najděte lim a n a lim a n pro posloupnost n n a n = + n n + cos nπ 2 Najděte lim a n a lim a n pro posloupnost n n a n = n n + cos 2nπ 3 Najděte lim a n a lim a n pro posloupnost n n a n = n2 2nπ cos + n2 3 Najděte lim a n a lim a n pro posloupnost n n a n = ( + ) n ( ) n + sin nπ n 4

45 Najděte limitu ( lim n2 + n n) n Najděte limitu ( lim n 2 + ) (n )n Najděte limitu ( lim n 3 + ) (2n )(2n + ) Najděte limitu lim n a n + a n, a > Najděte limitu lim n ( ) n 2n 3 2n + Najděte limitu ( ) n 2n lim n 2n + 3 Najděte limitu ( ) 4n+3 n lim n n + 2 Najděte limitu lim n n 2n (n + 3) 2n Najděte limitu ( n lim n ) n n Dokažte konvergenci řady ( )n 2 n +

46 a najděte její součet Dokažte konvergenci řady a najděte její součet Dokažte konvergenci řady a najděte její součet Dokažte konvergenci řady ( 2 + ) ( ) ( n + ) 3 n (3n 2)(3n + ) + ( ) n n + + n n= a najděte její součet V závislosti na x R zkoumejte konvergenci řady sin nx n= Vyšetřete konvergenci řady n + Vyšetřete konvergenci řady n 2n + Vyšetřete konvergenci řady (2n ) 2 +

47 Vyšetřete konvergenci řady n n + + Vyšetřete konvergenci řady (2n )(2n + ) + V závislosti na x R zkoumejte konvergenci řady sin x 2 + sin 2x sin nx n + V závislosti na x R zkoumejte konvergenci řady cos x cos x2 cos xn n 2 + Vyšetřete konvergenci řady (!) 2 2! + (2!)2 4! + + (n!)2 (2n)! + Vyšetřete konvergenci řady! + 2! ! n! n n + Vyšetřete konvergenci řady 2! ! ! n n! n n + Zkoumejte konvergenci řady 3! ! ! n n! n n +

48 Zkoumejte konvergenci řady (!) 2 + (2!) (3!) (n!)2 2 n2 + Vyšetřete konvergenci řady n= ( ) ( ( 5 2 2) ) 2n+ 2 2 Zkoumejte konvergenci řady n= n 2 (2 + /n) n Vyšetřuje konvergenci řady n=2 n n Zkoumejte konvergenci řady n=2 ( ) n(n ) n n + Zkoumejte konvergenci řady n= n 3 [2 + ( ) n ] n 3 n Vyšetřete konvergenci řady n= ( ) 2n + cos n 2 + cos n Vyšetřete konvergenci řady n + 2 n 2 n n=2

49 Vyšetřete konvergenci řady n= n n (2n 2 + n + ) (n+)/2 Zkoumejte konvergenci řady ( ) n 2 + ( )n n n= Vyšetřujte konvergenci řady n= n sin nπ 4 Vyšetřujte absolutní a neabsolutní konvergenci řady n ( ) n n + n= Vyšetřujte konvergenci řady n= ( ) n n n V závislosti na parametru x R vyšetřujte absolutní a neabsolutní konvergenci řady ( ) n 2n sin 2n x n n= V závislosti na parametru x R zkoumejte absolutní a neabsolutní konvergenci řady ( ) n x + n n= Zkoumejte absolutní a neabsolutní konvergenci řady ( ) n n n + n= n

50 Zkoumejte absolutní a neabsolutní konvergenci řady ( ) n= n(n )/2 n 2 n Zkoumejte absolutní a neabsolutní konvergenci řady n= ( ) n n 2 n Zkoumejte absolutní a neabsolutní konvegrenci řady n=2 sin(nπ/2) ln n V závislosti na parametru x R zkoumejte absolutní a neabsolutní konvergenci řady [ ] 3 5 (2n ) ( ) n x n (2n) n= Návod Použijte nerovnost 3 5 (2n ) (2n) < n Zkoumejte absolutní a neabsolutní konvergenci řady ( ) n sin n 2 n= Vyšetřete absolutní a neabsolutní konvergenci číselné řady n= ( ) n n2 + Vyšetřete konvergenci číselné řady n=2 n ln 2 n

51 Vyšetřete konvergenci číselné řady n=2 ln n n Vyšetřete konvergenci číselné řady n=2 n ln n Vyšetřete konvergenci číselné řady n= n(n + ) Vyšetřete konvergenci číselné řady n= 2 n n 3 Vyšetřete konvergenci číselné řady n=2 ln n n ( n + 5 n ) n 2 Dokažte konvergenci řady a najděte její součet n 2 n + Dokažte konvergenci následující řady a najděte její součet n(n + ) +

52 Dokažte konvergenci následující řady a najděte její součet (3n 2)(3n + ) + Dokažte konvergenci následující řady a najděte její součet n= ( n n + + n ) Dokažte konvergenci řady sin x 2 + sin 2x sin nx n + Dokažte konvergenci řady cos x cos x2 cos xn n 2 + Vyšetřujte konvergenci řady 2! ! ! n n! n n + Vyšetřujte konvergenci řady 3! ! ! n n! n n + Vyšetřujte konvergenci řady n= ( ) ( ( 5 2 2) ) 2n+ 2 2 Dokažte konvergenci řady a najděte její součet ( ) n 2n + 2 n n=

53 Vyšetřujte konvergenci řady ( ) n 2n + ( ) n 3n + n= Vyšetřete absolutní a neabsolutní konvergenci řady v závislosti na p R n= ( ) n n p Vyšetřete absolutní a neabsolutní konvergenci řady sin n 2 n= Určete oblast konvergence (absolutní i neabsolutní) řady funkcí n= n x n Určete oblast konvergence (absolutní i neabsolutní) řady funkcí n= ( ) n 2n ( ) n x + x Určete poloměr a interval konvergence řady v závislosti na p R Vyšetřete konvergenci v hraničních bodech intervalu konvergence n= x n n p Určete poloměr a interval konvergence řady Vyšetřete konvergenci v hraničních bodech intervalu konvergence 3 n + ( 2) n (x + ) n n n=

54 Určete poloměr a interval konvergence řady Vyšetřete konvergenci v hraničních bodech intervalu konvergence n= (n!) 2 (2n)! xn Určete poloměr a interval konvergence řady Vyšetřete konvergenci v hraničních bodech intervalu konvergence n= ( + ) n 2 x n n Určete poloměr a interval konvergence řady Vyšetřete konvergenci v hraničních bodech intervalu konvergence n= [ 3 5 (2n ) (2n) ] ( ) n x 2 Určete poloměr a interval konvergence řady Vyšetřete konvergenci v hraničních bodech intervalu konvergence n= [ ] (2n) x n 3 5 (2n + ) Určete poloměr a interval konvergence řady Vyšetřete konvergenci v hraničních bodech intervalu konvergence ( ) n n= n! ( n e ) n x n Určete oblast konvergence zobecněné mocninné řady n= 2n + ( ) n x + x

55 Najděte rozvoj do mocninné řady v x funkce a určete oblast její konvergence f(x) = sin 2 x Najděte rozvoj do mocninné řady v x funkce a určete oblast její konvergence f(x) = a x, a > Najděte rozvoj funkce v mocninnou řadu se středem v bodě x = f(x) = exp ( x 2) Najděte rozvoj funkce v mocninnou řadu se středem v bodě x = f(x) = cos 2 x Najděte rozvoj funkce v mocninnou řadu se středem v bodě x = f(x) = ( x) 2 Najděte rozvoj funkce v mocninnou řadu se středem v bodě x = f(x) = x 2x Najděte rozvoj funkce v mocninnou řadu se středem v bodě x = f(x) = ln + x x Najděte rozvoj funkce v mocninnou řadu se středem v bodě x = f(x) = 2 5x 6 5x x 2 Najděte rozvoj funkce v mocninnou řadu se středem v bodě x = f(x) = x ( x)( x 2 )

56 Najděte rozvoj funkce v mocninnou řadu se středem v bodě x = f(x) = x 2x 2 Najděte rozvoj funkce do mocninné řady se středem v bodě x = f(x) = arctg x Najděte rozvoj funkce do mocninné řady se středem v bodě x = f(x) = arcsin x Najděte rozvoj funkce do mocninné řady se středem v bodě x = f(x) = ln(x + + x 2 ) Najděte rozvoj funkce do mocninné řady se středem v bodě x = f(x) = ( + x) ln( + x) Najděte rozvoj funkce do mocninné řady se středem v bodě x = f(x) = 4 ln + x x + 2 arctg x Najděte rozvoj funkce do mocninné řady se středem v bodě x = f(x) = x arctg x ln + x 2 Najděte rozvoj funkce do mocninné řady se středem v bodě x = f(x) = x arcsin x + x 2 Najděte rozvoj funkce do mocninné řady v proměnné x f(x) = x

57 Najděte rozvoj funkce f(x) = ln x do mocninné řady v proměnné x x + Najděte mocninnou řadu se středem v bodě x = funkce f(x) = ( + x)e x Najděte mocninnou řadu se středem v bodě x = funkce f(x) = ( x) 2 cosh x Rozložte do mocninné řady v proměnné x funkci x exp( t 2 ) dt Rozložte do mocninné řady v proměnné x funkci x dt t 4 Rozložte do mocninné řady v proměnné x funkci x sin t t dt Rozložte do mocninné řady v proměnné x funkci x arctg t t dt

58 Najděte součet mocninné řady f(x) = n= x 2n+ 2n + Najděte součet mocninné řady f(x) = n= ( ) n x2n+ 2n + Najděte součet mocninné řady f(x) = n= x n n(n + ) Najděte součet řady f(x) = nx n n= Najděte součet řady f(x) = n(n + )x n n= Najděte součet řady n (n + ) (n + 2) Najděte součet řady ( )n+ n (n + ) Najděte součet řady (2n ) 2n (2n + )

59 Najděte součet řady n=2 n 2 Najděte součet řady n= n(2n + ) Najděte součet řady n= n 2 n! Najděte součet řady n= 2 n (n + ) n! Najděte součet řady n= n n n! x n Najděte součet řady n= ( ) n (2n + ) (2n)! x 2n Najděte součet řady n= ( ) n x 2n n(2n ) Najděte součet řady n= x 4n+ 4n + Najděte součet řady n 2 x n n=

60 Najděte součet řady n(n + 2)x n n= Najděte součet řady (2n + )x 2n n= n! Pomocí rozkladu integrované funkce do řady najděte integrál ln x dx Pomocí rozkladu integrované funkce do řady najděte integrál ln( + x) x dx Pomocí rozkladu integrované funkce do řady najděte integrál ln x ln( x) dx Pomocí rozkladu integrované funkce do řady najděte integrál x dx e x +

61 Teoretické otázky Formulujte axiom matematické indukce Co znamená, že množina M R je omezená? Definujte supremum množiny M R Definujte infimum množiny M R Co znamená, že bod x je vnitřním bodem množiny M R? Co znamená, že bod x je vnějším bodem množiny M R? Co znamená, že bod x je hraničním bodem množiny M R? Co znamená, že množina M R je otevřená? Co znamená, že množina M R je uzavřená? Co je vnitřek množiny M R? Co je uzávěr množiny M R? Co je hranice množiny M R? Napište definici hromadného bodu množiny M R Napište definici izolovaného bodu množiny M R Co znamená, že množina M R je kompaktní? Co je aritmetická posloupnost? Co je geometrická posloupnost? Napište definici omezené posloupnosti ( ) a n Co je monotonní posloupnost? Napište definici tvrzení Posloupnost ( ) a n má vlastní limitu A Co znamená, že posloupnost ( ) a n má nevlastní limitu? Co víte o limitě monotonní posloupnosti? Napište Cauchy Bolzanovu podmínku konvergence posloupnosti ( ) a n

62 Co znamená, že bod x je hromadným bodem posloupnosti ( a n )? Co je limes superior posloupnosti ( a n )? Co je limes inferior posloupnosti ( a n )? Co znamená, že řada Co znamená, že je řada Co znamená, že je řada a n = s? n= a n konvergentní? n= a n divergentní? n= Co je geometrická řada a jaký je její součet? Napište Cauchy Bolzanovu podmínku konvergence pro řady Co platí pro limitu posloupnosti členů konvergentní řady? Co je absolutně konvergentní řada? Co je neabsolutně konvergentní řada? Napište srovnávací kritérium pro řady s nezápornými členy Pro jaká p R konverguje řada n= n p? Napište limitní odmocninově kritérium řady Napište limitní podílové kritérium řady a n n= a n n= Napište Leibnizovo kritérium neabsolutní konvergence řady Po jaká p R konverguje řada n= ( ) n+ n p? Co je obraz množiny A D f a obor hodnot funkce?

63 Nechť je f X Y Co je vzor množiny B Y? Co znamená, když řekneme, že je funkce f(x) prostá? Kdy řekneme, že f X Y je funkce na množinu Y? Co znamená, když o funkci f X Y řekneme, že je vzájemně jednoznačná? Nechť je f X Y Co je inverzní funkce k funkci y = f(x)? Kdy řekneme, že je funkce f X R omezená? Kdy je funkce f X R monotonní? Nechť je f X Y, kde Y R Co je maximum funkce f(x) na množině X Nechť je f X Y, kde Y R Co je minimum funkce f(x) na množině X Kdy je funkce f(x) konvexní na intervalu (a, b)? Kdy je funkce f(x) konkávní na intervalu (a, b)? Co je inflexní bod funkce f X R, kde X R? Co znamená, když řekneme, že funkce f(x) je sudá? Co znamená, když řekneme, že funkce f(x) je lichá? Co znamená, když řekneme, že funkce f(x) má periodu L? Co znamená tvrzení Funkce f(x) má v bodě a R vlastní limitu A? Definujte nevlastní limitu funkce f(x) ve vlastním bodě a Definujte vlastní limitu funkce f(x) v nevlastním bodě Definujte nevlastní limitu funkce f(x) v nevlastním bodě Co znamená, když řekneme, že funkce f(x) má v bodě a limitu zprava rovnou A? Co znamená, když řekneme, že funkce f(x) má v bodě a limitu zleva rovnou A? Co znamená, když řekneme, že je funkce f(x) spojitá v bodě a? Co znamená, když řekneme, že je funkce f(x) spojitá na množině M R?

64 Co víte o extrémech spojité funkce na kompaktní množině? Napište definici diferenciálu funkce f(x) v bodě a Napište definici derivace funkce f(x) v bodě a Napište definici derivace zprava funkce f(x) v bodě a Napište definici derivace zleva funkce f(x) v bodě a Co znamená, že funkce f(x) má na množině M R derivaci? Napište Rolleovu větu o střední hodnotě Napište Lagrangeovu větu o střední hodnotě Napište Cauchyovu větu o střední hodnotě Co je l Hospitalovo pravidlo? Co můžete říci o derivaci monotonní diferencovatelné funkce? Kolik je derivace funkce f(x) v bodě a, kde má funkce f(x) lokální extrém? Ve kterých bodech kompaktního intervalu může spojitá funkce f(x) nabývat své největší a nejmenší hodnoty? Jak je definována n tá derivace funkce f(x) v bodě a? Co je n tý diferenciál funkce f(x) v bodě a? Napište Leibnizovo pravidlo pro n tou derivaci součinu dvou funkcí Co znamená, že funkce f(x) je třídy C n (M)? Co je Taylorův polynom T n (x; a) funkce f(x) se středem v bodě a? Napište tvar zbytku Taylorova polynomu T n (x, a) funkce f(x) Jak se používají derivace vyšších řádů funkce při hledání jejich lokálních extrémů? Jak se pomocí derivací zjistí konvexita funkce f(x) na intervalu? Jak se pomocí derivací zjistí konkávnost funkce f(x) na intervalu?

65 Co je svislá asymptota grafu funkce y = f(x)? Co je vodorovná asymptota grafu funkce y = f(x)? Co je šikmá asymptota grafu funkce y = f(x)? Co znamená, že křivky y = f(x) a y = g(x) mají v bodě a dotyk n tého řádu? Co je tečna ke grafu funkce y = f(x) v bodě M = [ a; f(a) ] Co je normála ke grafu funkce y = f(x) v bodě M = [ a; f(a) ] Co je oskulační kružnice ke grafu funkce y = f(x) v bodě M = [ a; f(a) ] Co je poloměr křivosti a křivost křivky K v jejím bodě M Co je evoluta rovinné křivky K? Co je evolventa rovinné křivky K? Co je primitivní funkce k funkci f(x) na množině M? Jak vypadá množina všech primitivních funkcí k funkci f(x) na intervalu? Co je neurčitý integrál funkce f(x)? Napište větu o integraci per partes v neurčitém integrálu Napište větu o substituci pro neurčitý integrál Nechť R(x) je racionální funkce Jakou substitucí převedete integrál na integrál z racionální funkce? R ( e x) dx R(ln x) Nechť R(x) je racionální funkce Jakou substitucí převedete integrál dx x na integrál z racionální funkce? Nechť je R(x, y) racionální funkce proměnných x a y, pro kterou platí R(x, y) = R(x, y) Jakou substitucí převedete integrál R(cos x, sin x) dx na integrál z racionální funkce? Nechť je R(x, y) racionální funkce proměnných x a y, pro kterou platí R( x, y) = R(x, y) Jakou substitucí převedete integrál R(cos x, sin x) dx na integrál z racionální funkce?

66 Nechť je R(x, y) racionální funkce proměnných x a y, pro kterou platí R( x, y) = R(x, y) Jakou substitucí převedete integrál R(cos x, sin x) dx na integrál z racionální funkce? Nechť jer(x, y) racionální funkce proměnných x a y Jakou substitucí převedete integrál R ( x, x 2) dx na integrál z racionální funkce? Nechť jer(x, y) racionální funkce proměnných x a y Jakou substitucí převedete integrál R ( x, + x 2) dx na integrál z racionální funkce? Nechť jer(x, y) racionální funkce proměnných x a y Jakou substitucí převedete integrál R ( x, x 2 ) dx na integrál z racionální funkce? Nechť je D dělení omezeného intervalu a, b Co je horní Riemannův integrální součet funkce f(x) na intervalu a, b odpovídající dělení D? Nechť je D dělení omezeného intervalu a, b Co je dolní Riemannův integrální součet funkce f(x) na intervalu a, b odpovídající dělení D? Co je horní Riemannův integrál funkce f(x) na omezeném intervalu a, b? Co je dolní Riemannův integrál funkce f(x) na omezeném intervalu a, b? Jak je definován Riemannův integrál funkce f(x) na intervalu a, b? Jak je definován Riemannův integrál f(x) dx, kde M je omezená podmnožina R? Co víte o derivaci funkce F (x) = x a M f(t) dt? Jak zní věta o integraci per partes pro Riemannův integrál? Jak zní věta o substituci pro Riemannův integrál? Napište první větu o střední hodnotě integrálního počtu Napište druhou větu o střední hodnotě integrálního počtu Co je Newtonův určitý integrál? Jaký je vztah mezi Newtonovým a Riemannovým určitým integrálem?

67 b Jak je definován nevlastní Riemannův integrál omezená v okolí bodu a R? Jak je definován nevlastní Riemannův integrál a + Co je absolutně konvergentní Riemannův integrál? a f(x) dx funkce f(x), která není f(x) dx? Napište srovnávací kritérium pro absolutně konvergentní integrály Jak zní integrální kritérium konvergence číselných řad? Pro jaká p R konverguje integrál Pro jaká p R konverguje integrál b a + dx (x a) p dx x p Napište Dirichletovo kritérium konvergence pro neabsolutně konvergentní integrály Co znamená, že posloupnost funkcí ( f n (x) ) konverguje bodově k funkci f(x)? Co znamená, že posloupnost funkcí ( f n (x) ) konverguje stejnoměrně k funkci f(x)? Co je střed a poloměr konvergence mocninné řady? Nechť je f(x) = Nechť je f(x) = c n (x a) n Jak najdete f (x)? n= c n (x a) n Jak najdete n= f(x) dx? Je dána funkce f(x) Jak najdete koeficienty c n takové, že f(x) = jestliže řada konverguje? c n (x a) n, Definujte pomocí mocninné řady se středem v bodě a = funkci f(x) = e x Definujte pomocí mocninné řady se středem v bodě a = funkci f(x) = sin x Definujte pomocí mocninné řady se středem v bodě a = funkci f(x) = cos x Definujte pomocí mocninné řady se středem v bodě a = funkci f(x) = x Definujte pomocí mocninné řady se středem v bodě a = funkci f(x) = ln( + x) n=

68 MATICE Urèete AB a BA, pokud tyto souèiny existují A = ; B = Urèete AB a BA, pokud tyto souèiny existují A = ; B = C A Urèete AB a BA, pokud tyto souèiny existují A = C A ; B A Urèete AB a BA, pokud tyto souèiny existují A A ; B A 3 6 Urèete AB Urèete AB BA A BA A A ; B = A ; A 2 3 A A 3 5 Vypoètìte následující A 2 Typeset by AMS-T E X

69 2 Vypoètìte následující Vypoètìte následující Vypoètìte následující Vypoètìte následující matice A A A Vypoètìte následující matice Urèete matice AA T, A T A Urèete matice AA T, A T A A A 3 A = Urèete matice AA T, A T A A 2 A 2

70 3 Urèete matice AA T, A T A A 2 3 A Urèete matice AA T, A T A A 3 2A 2 Ètercová matice A se nazývá nilpotentní, jestli¾e existuje pøirozené èíslo n tak, ¾e A n = Zjistìte, zda následující matice A je nilpotentní 2 A = 4 2 Ètercová matice A se nazývá nilpotentní, jestli¾e existuje pøirozené èíslo n tak, ¾e A n = Zjistìte, zda následující matice A je nilpotentní A A 8 6 Urèete hodnost matice Urèete hodnost matice Urèete hodnost matice C A C A C A 2 2 2

71 4 Urèete hodnost matice Urèete hodnost matice C A Urèete hodnost matice C A Urèete hodnost matice C A Urèete hodnost matice A = C A Urèete hodnost matice Urèete hodnost matice A = C A 3 4 2

72 C A Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje A = C A Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje A A 2 5 Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje A 2 2A 2 Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje A A Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje A 2 2A Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje A 3 A 2 Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje

73 6 A 2 2 2A 2 Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje A = 3 2 C A 3 Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje A = 2 4 C A 7 7 Urèete inverzní matici k matici A pokud existuje A = Urèete matici X tak, aby platila C A A X = Urèete matici X tak, aby platila rovnost A 2 3 A A Urèete matici X tak, aby platila rovnost 2 5 X = Urèete matici X tak, aby platila rovnost

74 C A X = C A Urèete matici X tak, aby platila A X = Urèete matici X tak, aby platila rovnost 4 2 A A A 2 3 A 2 Stanovte plochu trojúhelníka, který má vrcholy A = ( ;5), B = (2; 6), C =(4;) Stanovte plochu trojúhelníka, který má vrcholy A = ( ;8), B = (;8), C =(2;3) Stanovte plochu trojúhelníka, který má vrcholy A =(5;), B =(;2), C = ( 2; ) Vypoèítejte objem rovnobì¾nostìnu, který má vrcholy v následujících bodech A =(3;;4), B =( ; ;7), C =(; 2; 3), D =(6;5;4) Vypoèítejte objem rovnobì¾nostìnu, který má vrcholy v následujících bodech A =(3;4;5), B =( 2; 3; 4), C =(6;;8); D=(3;2;7)

75 DETERMINANTY a 2 sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin y cos y sin x cos x cos x sin x Typeset by AMS-T E X

76 2 tan x tan x f u k k a a a a a a a a a a a a a

77 3 a 2 + ab ac ab b 2 + bc ac bc c 2 + sin x cos x sin y cos y sin z cos z c a b c

78 a 2 2 b c 2 2 d a b c d

79 5 a b a c b c a b a c b c

80

81

82

83

84 Podle denice determinantu zjistìte koecienty u x 3 au x 4 v polynomu x 2 x x x 2 3 x x 2 x Podle denice determinantu zjistìte koecienty u x 3 au x 4 v polynomu 2x x 2 x 3 2 x x Podle denice determinantu zjistìte koecienty u x 3 au x 4 v polynomu 2 x x 2 x 2 x 2 x x

85 Øe¹te rovnici x x 4 = Øe¹te rovnici x x 2 3 = Øe¹te rovnici x x 2 a a 2 b b 2 = Øe¹te rovnici 3 x 3 5 = x 2

86 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2x y z =4; 3x+4y 2z =2; 3x 2y+4z = Øe¹te soustavu lineárních rovnic (i +)x+ ( i)y+( + i)z =; ( i)x+( + 3i)y+(i )z = ; x+ (+ i)y+ iz = Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2x+(2 + 2i)y+ 2iz = ; ( i)x+( + 3i)y+(i )z = ; ( + i)x+ ( i)y+( + i)z = Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+ 2iz = i; ix+(2 i)y+(i +)z=+i; ( i)x+ iy z = Øe¹te soustavu lineárních rovnic 4x+3y+2z =; x+3y+5z =; 3x+6y+9z =2 Typeset by AMS-T E X

87 2 Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2x y+3z =; x+ 3y+2z =; 3x 5y+4z =; x+7y+4z = Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+3y+ z =5; 2x+ y+ z=2; x+ y+5z = 7 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+ y 3z = ; 2x+ y 2z =; x+ y+ z=3; x+2y 3z = Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+ 3y+2z =2; 2x y+3z =7; 3x 5y+4z =2; x+7y+4z = 4 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+ y+ z+ u =; x+2y+3z+ u =; x+3y+5z+ 7u =2; x+4y+7z+u =

88 3 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+2y z+ u =; 2x y+4z+u =2; x+ 3z 5u=5; 2x+5y+2z+ 2u =6 Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2x+3y z+2u =3; 5x+7y 4z+7u =8; x+2y+ z u =; 4x+7y+ z =5 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+2y+3z u =; x+5y+5z 4u = 4 ; x y+ z+2u =4; x+8y+7z 7u =6 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+2y = ; y+z =; x u= ; x+ y z+u=2 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+3y+5z+7u =2; 3x+5y+7z+ u =; 5x+7y+ z+3u =4; 7x+ y+3z+5u =6

89 4 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x 2y+3z 4u =4; y z+ u= 3; x+ 3y 3u=; 7y+3z+ u = 3 Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2y+3z+4u =; x+ 3z+4u = ; x+2y+ 4u = ; x+2y+3z = Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+3y+5z+7u =2; 3x+5y 7z+ u =; 5x+7y+ z+3u =4; 7x+ y+3z+5u = Øe¹te soustavu lineárních rovnic 3x+ y+2z u =2; 2x+3y z+3u = ; 4x+2y+2z+ u =3; x+2y z+ u = Øe¹te soustavu lineárních rovnic x 2y+3z 4u =4; y z+ u= 3; x+3y 3u =; 7y+3z+ u = 3

90 5 Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2x+ y z u =4; x+ y+ z+ u=2; x+2y+3z+4u =7; 3x+2y 7z+2u =3 Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2x+3y+ 5u =2; x+ y+5z+2u =; 2x+ y+3z+2u =3; x+ y+3z+4u =3 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+2y = ; y+z =; x u= ; x+ y z+u=2 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+3y+z u 3v =2; 4x y+z 3u v =4; 7x+5y z+ u v = 5 ; x 5y z u+ vv = 2 Øe¹te soustavu lineárních rovnic 3x+ y 2z+ u v =; 2x y+7z 3u+5v =2; x+3y 2z+5u 7v =3; 3x 2y+7z 5u+8v =3

91 6 Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2x 2y+2z u+ v =; x+ 2y z+ u 2v =; 4x y+5z 5u+ 7v =; 2x+4y+7z 7u+v = Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2x+ y+ z+ u+ v =2; x+2y+ z+ u+ v =; x+ y+3z+ u+ v =; x+ y+ z+4u+ v = 2 ; x+ y+ z+ u+5v =5 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x+2y 3z+4u v = ; 2x y+3z 4u+2v =8; 3x+ y z+2u v =3; 4x+3y+4z+2u+2v = 2 ; x y z+2u 3v = 3 Øe¹te soustavu lineárních rovnic x y+ z+ u 2v =; 2x+ y z u+ v=; 3x+3y 3z 3u+4v =2; 4x+5y 5z 5u+7v =3 Øe¹te soustavu lineárních rovnic y+2z+ 2u+ v =2; x+ z+2t+ u+2v =; 2x+y+ z+ t =2; y+2z =

92 7 Øe¹te soustavu lineárních rovnic y+2z+ 2t+ 2v =; x+2y+ z+ 2t+ u+ =; y+2z+ t+2u =; 2x+2y+ z+t+ v = Øe¹te soustavu lineárních rovnic ix+ y = ; 3x+3y z = ; 2x y 2z = 4+3i Øe¹te soustavu lineárních rovnic 2x+ y+4z+ t =; x+3y+6z+2t =3; 3x+2y+2z+2t =; 2x+ y+2z =4; 4x+5y+ z+4t =4; 5x+5y+3z+2t =4 Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru 4x+ y+ 2z =; x+py z =; 6x+ y+2pz = Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru x+3y+ z =; 2x y 3z=; 3x+ay 2z =3

93 8 Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru 2x+ y+ z =6 r; 2x+3y+2z =+5r; 2x+2y+3z =7+8r Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru ax+ y+ z = m; x+ay+ z = n; x+ y+az = p Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru ax+ by+ z =; x+aby+ z = b; x+ by+az = Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru ax+ y+ z =; (b )by+ z =; 2ax+ 2by+(b +5)z=2b Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru x+ y+rz+ u = r; rx+ y+ z+ u = r; x+ y+ z+ru =; x+ry+ z+ u = Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru

94 9 5x 3y+2z+ 4u =3; 4x 2y+3z+ 7u =; 8x 6y z 5u=9; 7x 3y+7z+7u = q Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru bx+ y+ z+u =; x+by+ z+u = b; x+y+bz+u = b 2 Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametrech a,b,c,d x+y+ =a; y+ z+ =b; bz+u = c; x+ v = d Urèete parametry a, b, c, tak, aby soustava lineárních rovnic mìla právì jediné øe¹ení bx+ay = c; cx+ az = b; cy+ bz = a Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru 2x+3y z =; ax+4y+2z = Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru

95 ax 2y+ z =; 3x+2ay z =; a 2 x+ y+(a )z = Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametrech a, b, k x+ y+ z =; ax+ ay+ bz = k; a 2 x+a 2 y+b 2 z=k 2 Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru (a +)x+ y+ z=a 2 +3a; x+(a +)y+ z=a 3 +3a 2 ; x+ y+(a +)z=a 4 +3a 3 Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametrech a,b,c ax+ y+ z =; x+by+ z =; x+ y+cz =2 Øe¹te soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru x+2iy iz =; ix+ ay+ z =; ix+ 2y+az =