Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Transkript

1 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice: Nechť f: M R R.Řekneme,žefjekonvexní(ryzekonvexní,konkávní, ryzekonkávní),jestližepro x, x, x 3 M, x < x < x 3 platí: f(x ) f(x ) x x f(x3) f(x) x 3 x konvexní < ryze konvexní > ryze konkávní konkávní x x x 3 Lemma(Jinádefinicekonvexity): fjenaintervalu Ikonvexní,právěkdyž x, x, x 3 I, x < x < x 3 platí: (analogicky pro další 3 případy) f(x ) f(x ) x x f(x 3) f(x ) x 3 x f(x 3) f(x ) x 3 x Důkaz: Plynezobrázku,přesnýdůkazcvičení. Věta IV.9(Konvexita a existence jednostranných derivací): Nechť f je konvexní naintervalui,nechť a IntI.Potomvaexistuje f +(a) Raf (a) R.

2 Poznámka: Nemusíplatit f (a)=f + (a). Důkaz: f + f(x) f(a) (a)= x a+ x a Def: F(x):= f(x) f(a) x a PakFjeneklesajícínanějakém P + (a, δ). Neboťpro x < x, x > a: f(x) f(a) x a f(x) f(a) x a. Tedy x a+ F(x) Jekonečná? Nechť y I, y < a,potom f(a) f(y) a y f(x) f(a) x a x P + (a, δ) tedyfjena P + (a, δ)zdolaomezenáčíslem f(a) f(y) a y. Věta IV.30(Vztah konvexity a spojitosti): Nechť f je konvexní na otevřeném intervalu (a,b).pak fjena(a,b)spojitá. Poznámka: Otevřenost intervalu je podstatná. Konvexní nespojitá: Důkaz: Nechť x I. Ijeotevřený x IntI. V9 ( f +(x) R & f (x) R ) (f(y) f(x)) fjespojitázprava&zlevavx y x+ (f(y) f(x))= y x+ y x (y x)=f (x) 0=0 fjespojitávx x I fjespojitána I. Věta IV.3(Vztah konvexity a druhé derivace): Nechť f má spojitou. derivaci na intervalu I =(a, b).pokud: f (x) > 0 x (a, b),pakfje ryzekonvexní na(a, b) konvexní konkávní < ryze konkávní Důkaz : Nechťnapř. f (x) 0 x (a, b).potom f jeneklesajícína(a, b).zvolíme x < x < x 3 x, x, x 3 (a, b). DleLagrangeovyvětyexistuje ξ (x, x ), ξ (x, x 3 )tak,že f (ξ )= f(x ) f(x ) x x, f (ξ )= f(x 3) f(x ) x 3 x.

3 fjeneklesající f (ξ ) f (ξ ) f(x ) f(x ) x x f(x 3) f(x ) x 3 x f(x )+ f(x ) f(x ) x 3 x (x 3 x ) f(x 3 ) [ (x3 x ) +f(x ) ] [ :(x3 x ) f(x ) ] Ostatní případy analogicky f(x ) f(x )+ f(x ) f(x ) x 3 x (x 3 x ) x 3 x f(x3) f(x) x 3 x cvičení f(x ) f(x ) x x f(x3) f(x) x 3 x IV.7 Průběhy funkce Definice: Řekneme,žefunkce fmáasymptotu ax+bv+ (v ),jestliže fjedefinovaná naokolí+ ( )a f(x) ax b=0. x + ( ) VětaIV.3(Oasymptotě): Funkce fmáv+ asymptotuax+b,právěkdyž f(x) x + x = a R & (f(x) ax)=b R. x + Důkaz: : Předpokládejme,že fmáv+ asymptotu ax+b.potom f(x) = f(x) ax b + ax+b = x x f(x) ax b } {{ x } 0 + a + b }{{} x 0 = a Dále: f(x) ax= f(x) ax b+b= x f(x) ax b } {{ } 0 + b =b : [ ] f(x) ax b= f(x) ax b=b b=0. Poznámka: Příklady: 3

4 . f(x)= +x f(x) = x +x x = a= f(x) ax= +x x= +x x = x x Asymptota: y= x(v+ ). Asymptoty mohou být konstantní: f(x)=arctg x fmáasymptotu π v+.(a=0, b= π ) f(x)=arctg x fmáasymptotu π v.(a=0, b= π ) 3. Asymptota nemusí existovat +x x +x + b=0 x=0 f(x)=e x e, x =+,takže fneníasymptotouv+,ale fmáasymptotu0v (a=0, b=0) Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA. Určíme definiční obor a obor spojitosti.. Určímeprůsečíkysesouřadnýmiosami(f(0)-průsečíksosouy[0, f(0)],najít x: f(x)=0 -průsečíkysosoux). 3. Určíme symetrii funkce(sudost, lichost, periodicita) 4. Dopočítámeityvkrajníchbodechdef.oboru( x f(x), x π + tg x,...). 5. Spočítáme první derivaci, určíme intervaly monotonie, lokální a globální extrémy a obor hodnot. Vbodech,kdeneexistujederivacespočítáme f, f + (pokudexistují).(pokudpoužijuvětu o itě derivací, musím napsat, že funkce je na okolí spojitá) 6. Spočítáme druhou derivaci, určíme intervaly konvexity, určíme inflexní body. 7. Určímeasymptoty ± pokudtamje D(f)apokudexistují. 8. Načrtneme graf funkce. 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení Vyšetřeteprůběhfunkce f(x)= x +arctg x. Definičníobor: D(f)=R,oborspojitosti S(f)=R.. Průsečík s osou: y: f(0)= 0 +arctg 0 =arctg= π 4 x:0= x +arctg x x =arctg x x? =0 0 arctg= π 4 sosouxprůsečíknení. 3. Periodicita:anisudá(f( )? = f() +arctg +arctg0 f( ) f()),anilichá (neprochází počátkem), ani periodická(nebyla utvořena z periodických funkcí) 4

5 4. Limityvkrajníchbodech D(f):v,+. 5. Derivace: x +arctg x = x +arctg x = x x = x x + arctg x } {{ } { x (,0) x (0,+ ) π x + arctg x } {{ } π R=(,0) (0,) (, ) {0} {} (, ): (x+arctg(x )) =+ (0,): (x+arctg( x)) = (,0): ( x+arctg( x)) = Máme f (x)pro x R \ {0,}. =+ =+ ) +(x ) =+(x +(x ) ( x) +( x) = +( x) ( x) +( x) = +( x) Existence f (0), f ():Funkcejespojitána R,takžejsmeoprávněnizdepoužítvětuoitě derivace f + (0)VOLD ( x) = +( x) = f (0)VOLD = f + ()VOLD = f ()VOLD = ( x) +( x) = 3 +(x ) +(x ) = ( x) +( x) =0 Derivace zprava a zleva se nerovnají derivace neexistují. 6. Monotonie: f 0na I fna Ineklesající. (, ):Vždy f (x) >0 rostoucí. (0,):Vždy f (x) >0 rostoucí. (,0):Vždy f (x) <0 klesající. 7. Extrémy: Globálníminimum:0 f(0)= π 4 [(,0),(0,) ] Kandidátinaextrém:0,(místakde f (x)),místakde f (x)=0. 0- globální minimum -neníextrém[(0,),(, ) ] f (x) 0 x R(vizmonotonie). 5

6 8. Oborhodnot:[ π 4,+ ) f jespojitána R, x 0 f(x)= π 4, x f(x)= funkce f jedarbouxovskána (,0]. 9. Druhá derivace: (, ): ( ) ( (+(x + +(x ) = ) ) ) =( ) ( +(x ) ) x (x )= (+(x ) ) Dalšíobdobně Intervaly konvexity: f <0na(,0) fjeryzekonkávní. f <0na(0,) fjeryzekonkávní. f <0na(, ) fjeryzekonkávní.. Inflexní body: f neexistujev0, nejsouinflexníbody.. Asymptoty: f(x) x x = x +arctg x x+arctg( x) x x) = = +arctg( = x x x x x x x Asymptotav :y=-x+ π. [f(x) ax]= [ x+arctg( x)+x]= π x x f(x) = x +arctg x x+arctg(x ) x ) = = +arctg(x = x Asymptotav+ :y=x+ π. [f(x) ax]= [x+arctg(x ) x]= π 3. Informace o funkci: (, 0) (0, ) (, ) 0 f x+arctg( x) x+arctg( x) x+arctg(x ) neexistuje f - + ( x) ( x) +(x ) +( x) +( x) +(x ) f x (+(x ) ) x (+(x ) ) x 3 neexistuje (+(x ) ) (, 0) (0, ) (, ) f x+arctg( x) x+arctg( x) x+arctg(x ) monotonie konvexita 6

7 4. Graf: y π π 4 Globalni minimum 0 x 4 Příkladynadobumezikapremahusou Vyšetřete průběhy funkcí Určete ity funkcí a posloupností ( ) f(x) = arccos +x f(x) = x x () f(x) = x+0 + e x (3) f(x) = 3 x (4) f(x) = e sin x cosx (5) f(x) = ( x x+ ) e x (6) f(x) = x tg x (7) f(x) = 3cosx +cos 3 x (8) () 7

8 n x x π + sinx log x π x x π ( cosx)cotg [ x x log x (x ) x log(cos(π x )) (n n cotg ) n n ( n ) n + n n 3 n [ log ( ) n + ] 3 log n ( ) n 3 ( ) arctg cos 7 n ] (Past na L Hôpitalisty) (9) (0) () () (3) (4) (5) 8