Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Transkript

1 Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x) Množinu D nazýváme definiční obor funkce Množinu funkčních hodnot značíme H a nazýváme obor funkčních hodnot Graf funkce množina bodů v pravoúhlé soustavě souřadnic 1

2 Na kterém z obrázků je graf funkce? f Určete: D(f)= H(f)= f(2)= f( 1)= f(3)= f(x)= 3 2

3 Monotónnost funkce Definice: Říkáme, že funkce f se nazývá rostoucí na množině M D f, jestliže pro každé x 1, x 2 M platí: je li x 1 < x 2 potom f(x 1 ) < f(x 2 ) Definice: Říkáme, že funkce f se nazývá klesající na množině M D f, jestliže pro každé x 1, x 2 M platí: je li x 1 < x 2 potom f(x 1 ) > f(x 2 ) Na celém definičním oboru rostoucí fce klesající fce neklesající fce nerostoucí fce 3

4 h Prostá funkce Definice: Funkce f se nazývá prostá právě tehdy když pro každé x 1, x 2 D f platí: je li x 1 x 2 potom f(x 1 ) f(x 2 ) 4

5 Sudá a lichá funkce Funkce f (x) se nazývá sudá, právě když najednou platí: 1) je li x D(f ) je také x D (f) 2) pro každé x D(f ) platí f (x) = f ( x) Funkce f (x) se nazývá lichá, právě když najednou platí: 1) je li x D(f ) je také x D (f) 2) pro každé x D(f ) platí f (x) = f ( x) Omezenost funkce, extrémy funkce Funkce je zdola omezená právě když existuje takové číslo d R, že pro všechna x D( f ) platí f (x) d. Funkce je shora omezená právě když existuje takové číslo h R, že pro všechna x D( f ) platí f (x) h. Funkce se nazývá omezená právě tehdy když je omezená shora i zdola. 5

6 Periodická funkce Funkci f nazýváme periodickou, jestliže existuje nenulové reálné číslo p takové, že pro každé x D(f) platí: Periodické jsou například všechny goniometrické funkce Funkce Složená funkce se nazývá funkce složená z funkcí g a f Funkce g se nazývá vnější funkce a f se nazývá vnitřní funkce složené funkce g f. 6

7 Lineární funkce Funkce daná předpisem f: y = ax + b Význam koeficientů: a určuje směr přímky směrnice přímky a =tg φ b určuje průsečík s osou y 7

8 Kvadratická funkce Kvadratická funkce každá funkce na množině reálných čísel daná předpisem: f: y= ax 2 +bx+c, kde a,b,c R a 0 tzv. OBECNÝ TVAR y f: y= x 2 x 8

9 f: y=ax 2 +bx+c??? význam koeficientů a,c??? PRŮSEČÍK S OSOU Y KOEFICIENT a tvar paraboly y 2x 2 x 2 0,5x 2 x x 2 Kvadratická funkce úprava na vrcholový tvar Sestrojte graf funkce f: y= x 2 4x

10 Lineární lomená funkce Lineární lomená funkce je každá funkce na množině R\{ d/c} vyjádřená ve tvaru: ax + b y =, cx + d kde a,b,c,d R, c 0, ad bc 0. Grafem je hyperbola, získaná posunutím hyperboly Načrtněte graf funkce: 10

11 Mocninná funkce s celým exponentem n Z + n sudé f(x) = x n n liché n = 1 y = x lineární funkce n = 0 y = x 0 = 1 konstantní funkce n Z f(x) = x n n sudé n liché Funkce n tá odmocnina Inverní funkce k n té mocnině Sestrojte graf funkce 11

12 Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce je každá funkce definovaná na množině reálných čísel předpisem y=a x, kde a (0; ) {1} společné vlastnosti f g klesající fce rostoucí fce zdola omezená prostá nemá extrémy ani sudá ani lichá Logaritmická funkce Definice: Každá funkce definovaná na R+ předpisem y společné vlastnosti x prostá klesající fce rostoucí fce nemá extrémy ani sudá ani lichá 12

13 Goniometrické funkce rostoucí klesající omezená, lichá, periodická s nejmenší periodou 2 maximum v bodech minimum v bodech π rostoucí klesající omezená, sudá, periodická s nejmenší periodou 2 maximum v bodech minimum v bodech π 13

14 rostoucí není omezená, lichá, periodická s nejmenší periodou π klesající není omezená, lichá, periodická s nejmenší periodou π 14