Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1
|
|
- Vlasta Matoušková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení, uvádím zde na některých typech úloh, co vše by mělo správné řešení obsahovat Jsou-li tu kvůli zjednodušení přípravy textu pro tisk některé kroky vynechány, máte připsáno, že ve vašem řešení mají být uvedeny Poznámky, které nejsou součástí řešení úlohy, jsou psány kurzívou POLYNOMY PŘÍKLAD : Polynom P (x = x +x 9 +x 8 65x 5x 5 rozložte v reálném oboru na součin dále nerozložitelných činitelů, víte-li, že jedním z kořenů tohoto polynomu je číslo x = + j Řešení: Protože polynom P (x má reálné koeficienty, musí být jeho kořenem také číslo x = x = j Tedy P (x = (x + j(x + + j Q(x = (x + x + Q(x, kde Q(x je polynom osmého stupně s reálnými koeficienty Dělením polynomu P (x polynomem x + x + dostaneme Q(x = x 8 65 (Uveďte postup dělení! Rozklad polynomu Q(x: x 8 65 = (x 4 5(x = (x 5(x + 5(x 4 + x x + 5 = (x 5(x + 5 ((x + 5 x = (x 5(x + 5(x + 5(x x + 5(x + x + 5 Dále v reálném oboru rozkládat nelze, neboť kvadratické činitele nemají reálné kořeny Hledaný rozklad polynomu P (x tedy je: P (x = (x + x + (x 5(x + 5(x + 5(x x + 5(x + x + 5 PŘÍKLAD : Najděte kořeny polynomu P (x = x 8x 9 + 7x 8 48x x 6 + 8x 5 3x 4 + 4x 3 5x a určete jejich násobnost, víte-li, že číslo x = j je vícenásobným kořenem polynomu P Řešení: Protože polynom P (x nemá lineární ani absolutní člen, je zřejmě nula jeho dvojnásobným kořenem Můžeme psát P (x = x Q(x Číslo x není kořenem polynomu x, a tedy musí být kořenem polynomu Q(x (násobnost se nemění Protože polynom Q(x má reálné koeficienty, je jeho kořenem také číslo x = + j (násobnost je stejná jako u x Máme tedy Q(x = (x + j k (x j k R(x = (x 4x + 5 k R(x, kde polynom R(x již nemá kořeny ± j Několikerým dělením polynomu Q(x polynomem x 4x + 5 (postup dělení uveďte! zjistíme, že k = a R(x = x 4 + x 6 (Proces dělení si můžeme zjednodušit, jestliže využijeme toho, že x je vícenásobný kořen V prvním dělení pak můžeme polynom Q(x dělit rovnou polynomem (x 4x + 5 = x 4 8x 3 + 6x 4x + 5 Zbývá rozložit polynom R(x: R(x = x 4 + x 6 = (x + 3(x = (x 3j(x + 3j(x (x + Polynom P (x má tedy tři dvojnásobné kořeny, j, + j a čtyři jednoduché kořeny 3j, 3j,, (Za uvedení kořenů s násobnostmi lze považavot též zápis: x, = j; x 3,4 = + j; x 5,6 = ; x 7 = 3j; x 8 = 3j; x 9 = ; x = Tento materiál byl původně určen studentům FEL ČVUT, kterým jsem ve školních letech 999/ /3 přednášela předmět Úvod do algebry Tomu také odpovídají úvodní poznámka a kurzívou psané komentáře
2 LINEÁRNÍ PROSTORY PŘÍKLAD : V lineárním prostoru L jsou dány lineárně nezávislé vektory u, v, w Určete, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé vektory: a a = u + 3 v w, b = 3 u + v + 4 w, c = u v + 3 w, b a = u + 3 v w, b = 3 u + v + 4 w, c = u v 3 w Řešení: a Máme určit, zda z rovnosti α a + β b + γ c = o vyplývá α = β = γ = Nechť tedy čísla α, β, γ splňují uvedenou rovnost Potom o = α( u + 3 v w + β( 3 u + v + 4 w + γ( u v + 3 w = = (α 3β + γ u + (3α + β γ v + ( α + 4β + 3γ w Protože jsou vektory u, v, w lineárně nezávislé (a tedy pouze jejich triviální lineární kombinace je nulová, musí být všechny závorky v posledním výrazu rovny nule Dostáváme tak pro α, β, γ soustavu tří lineárních rovnic: α 3β + γ =, 3α + β γ =, α + 4β + 3γ = Koeficienty této homogenní soustavy zapíšeme do matice a matici upravujeme pomocí Gaussovy eliminační metody Dostáváme:, 3,, 3,, 3,, 3, 3,,,, 5,,,,, 4, 3,, 5,, 5,, 4 (Napište, jaké úpravy s maticí provádíte! Hodnost matice soustavy je 3 a je rovna počtu neznámých Soustava má tedy právě jedno řešení α = β = γ = a vektory a, b, c jsou lineárně nezávislé b Máme opět zjistit, zda z rovnosti α a + β b + γ c = o vyplývá α = β = γ = Nechť tedy čísla α, β, γ splňují uvedenou rovnost Potom o = α( u + 3 v w + β( 3 u + v + 4 w + γ( u v w = = (α 3β + γ u + (3α + β γ v + ( α + 4β γ w Protože jsou vektory u, v, w lineárně nezávislé (a tedy pouze jejich triviální lineární kombinace je nulová, musí být všechny závorky v posledním výrazu rovny nule Dostáváme tak pro α, β, γ soustavu tří lineárních rovnic (z důvodu nedostatku místa ji zde nevypisuji Koeficienty této homogenní soustavy zapíšeme do matice a matici upravujeme pomocí Gaussovy eliminační metody Dostáváme:, 3, 3,,, 4,, 3,,, 5,,, 3,,,,, (Napište, jaké úpravy s maticí provádíte! Hodnost matice soustavy je a je menší než počet neznámých Soustava má tedy i netriviální řešení a vektory a, b, c jsou lineárně závislé Najdeme ještě nějakou netriviální nulovou lineární kombinaci vektorů a, b, c Zvolíme např γ = ( abychom se vyhnuli zlomkům; jinak můžeme volit jakkoliv kromě nuly Potom z druhé
3 rovnice máme β =, tj β =, a z první rovnice α 3 + =, tj α = Platí tedy a + b + c = o Poznámka: Upozorňuji, že u úloh takovéhoto typu nebude úloha považována za vyřešenou, pokud její řešení začne sestavením matice soustavy bez jakéhokoliv zdůvodnění, jak se k této matici došlo PŘÍKLAD : V a W jsou podprostory lineárního prostoru R 3 Určete bázi a dimenzi prostorů V, W, V W a V W, víte-li, že V = (, 3,, (,, 3, (, 4,, W = (, 4, 3, (,, 4, (,,, ( 3,, 9 Řešení: Prostor V: Vektory generující V napíšeme jako řádky matice Hodnost takto vzniklé matice bude rovna dimenzi podprostoru V Upravujeme:, 3,,, 3, 4,, 3,, 5, 5,, (, 3,,, Hodnost matice je, a tedy také dimv = Jedna z bazí prostoru V je { (, 3,, (,, } Prostor W: Vektory generující W napíšeme opět jako řádky matice Hodnost takto vzniklé matice bude rovna dimenzi podprostoru W Po úpravě dostaneme (uveďte celý postup:, 4, 3,, 4,, 3,, 9, 4, 3,,,, 5 Hodnost matice je 3, a tedy také dimw = 3 Jedna z bazí prostoru W je { (, 4, 3, (,,, (,, 5 } Spojení prostorů V a W: možnost (ne příliš vhodná: Vektory generující (podprostory V a W napíšeme jako řádky matice Hodnost takto vzniklé matice bude rovna dimenzi V W Upravujeme:, 3,,, 3, 4,, 4, 3,, 4,, 3,, 9, 3,, 5, 5,,, 7,, 5, 5,,,,, 3,,,,, Hodnost matice je 3, a tedy také dim V W = 3 Jedna z bazí prostoru V W je { (, 3,, (,,, (,, } možnost (vhodná v obecném případě: Vektory bazí podprostorů V a W generující V W napíšeme jako řádky matice (Každý vektor z V (resp W lze napsat jako lineární kombinaci vektorů báze V (resp W Proto každý vektor ze spojení podprostorů V a W lze zapsat jako lineární kombice vektorů obou bazí Hodnost takto vzniklé matice bude rovna dimenzi V W Upravujeme:, 3,,,, 4, 3,,,, 5, 3,,,,,,,,, 5 3, 3,,,,,
4 Hodnost matice je 3, a tedy také dim V W = 3 Jedna z bazí prostoru V W je { (, 3,, (,,, (,, } (Nevadí, že nám vyšla jiná báze než v první možnosti, protože báze lineárního prostoru není určena jednoznačně 3 možnost (použitelná jen ve speciálních případech, jako je tento: Protože spojení podprostorů V a W je podprostor prostoru R 3 a dimr 3 = 3, musí být dim V W 3 Na druhou stranu, protože W je podprostor V W a dimw = 3, musí platit 3 dim V W Odtud už ale vyplývá, že dim V W = 3, W = V W = R 3 a bazí prostoru V W je libovolná báze prostoru R 3, např { (,,, (,,, (,, } (Všimněte si, že stejným způsobem jsme mohli zvolit bázi i u W Průnik prostorů V a W: K určení dimenze V W použijeme vztah Z něj dostáváme dimv + dimw = dim V W + dim(v W dim(v W = dimv + dimw dim V W = = Nalezení báze už je složitější Označme nejdříve u, u, u 3 vektory generující V a v, v, v 3, v 4 vektory generující W Dále máme opět několik možností: možnost (ne příliš vhodná: Vektor u R 3 leží v V W právě tehdy, když existují čísla a, a, a 3 a b, b, b 3, b 4 taková, že u = a u + a u + a 3 u 3 = b v + b v + b 3 v 3 + b 4 v 4 Odečteme-li nyní od výše uvedené lineární kombinace vektorů u i lineární kombinaci vektorů v j, získáme nulový vektor Porovnáním jednotlivých složek vektorů tak dostaneme pro a i, b j homogenní soustavu tří lineárních rovnic a a a 3 b + b b 3 + 3b 4 = 3a + a + 4a 3 + 4b + b + b 3 + b 4 = a + 3a a 3 3b 4b + b 3 9b 4 = Úpravami matice této soustavy (uveďte postup! zjistíme, že soustava je ekvivalentní se soustavou a a a 3 b + b b 3 + 3b 4 = 5a + a 3 + b + 5b b 3 + b 4 = b + b 3 b 4 = Můžeme tedy libovolně volit například hodnoty b 4 = r, b 3 = s, b = t a a 3 = z Pak dopočítáme (uveďte postup b = s r, a = /5z + r + t, a = 7/5z + t + s Nyní stačí dosadit a i do vyjádření vektoru u na začátku našich úvah Dostaneme u = (7/5z + t + s(, 3, + (/5z + r + t(,, 3 + z(, 4, = = ( t + s 4r, t 6s + r, 4t + s + 6r = t(,, 4 + s(, 6, + r( 4,, 6 (Pro kontrolu je vhodné dosadit též b j do vyjádření vektoru u Musíme dostat totéž, co při dosazení a i Je tedy vidět, že V W = (,, 4, (, 6,, ( 4,, 6 Protože už víme, že dim(v W =, dostaneme bázi průniku podprostorů tak, že z vektorů generujících V W vybereme jakékoliv dva lineárně nezávislé Báze je tedy například {(,, 4, (, 6, } možnost (vhodná v obecném případě: (K vyjádření vektoru ležícího v průniku V W použijeme báze { x, x } a { y, y, y 3 } prostorů V a W Vektor u R 3 leží v V W právě tehdy, když existují čísla a, a a b, b, b 3 taková, že u = a x + a x = b y + b y + b 3 y 3 Odečteme-li nyní od výše uvedené lineární kombinace vektorů x i lineární kombinaci vektorů 4
5 y j, získáme nulový vektor Porovnáním jednotlivých složek vektorů tak dostaneme pro a i, b j homogenní soustavu tří lineárních rovnic a b = 3a + a + 4b b = a a 3b + b + 5b 3 = Úpravami matice této soustavy (uveďte postup! zjistíme, že soustava je ekvivalentní se soustavou a b = a + b b = b + b + 5b 3 = Můžeme tedy libovolně volit například hodnoty b 3 = t, b = s Pak dopočítáme (uveďte postup b = s + 5t, a = 5t, a = s + 5t Nyní stačí dosadit a i do vyjádření vektoru u na začátku našich úvah Dostaneme u = (s + 5t(, 3, 5t(,, = (s + 5t, 3s t, s + t = s(, 3, + t(5,, (Pro kontrolu je opět vhodné dosadit též b j do vyjádření vektoru u Je tedy vidět, že V W = (, 3,, (5,, Protože už víme, že dim(v W =, tvoří dva vektory generující V W také bázi tohoto prostoru (Místo vektoru (5,, můžeme vzít vektor (, 4, 3 možnost (použitelná jen ve speciálních případech, jako je tento: Protože průnik V W je podprostorem prostoru V a dimv = dim(v W =, musí platit V W = V Bazí průniku prostorů V a W je tedy libovolná báze prostoru V, tj např {(, 3,, (,, } (viz výše PŘÍKLAD 3: Nechť B = ( u, u a C = ( v, v jsou uspořádané báze lineárního prostoru L a u, v L Určete v B, u C, víte-li, že v = u u, v = 3 u 5 u a v C = ( 4, 3, u B = (, 3 Řešení: a První část úlohy je velmi jednoduchá: Protože v C = ( 4, 3, máme v = 4 v + 3 v = 4( u u + 3(3 u 5 u = 5 u 7 u Platí tedy v B = (5, 7 b Druhá část úlohy je trochu složitější Potřebujeme vektor u vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů v a v Předpokládejme tedy, že u = α v + β v Protože u B = (, 3, musí platit u 3 u = u = α v + β v = α( u u + β(3 u 5 u = (α + 3β u + ( α 5β u Protože vektory u, u tvoří bázi lineárního prostoru L, lze každý vektor z L (tedy i u vyjádřit právě jedním způsobem jako jejich lineární kombinaci Porovnáme-li tedy koeficienty ve dvou výše uvedených vyjádřeních vektoru u jako lineární kombinace vektorů u, u, dostaneme α + 3β = α 5β = 3 Řešením této soustavy (rozepište! je dvojice (α, β = (,, a tedy u C = (, 5
6 3 Soustavy lineárních rovnic PŘÍKLAD 3: V závislosti na a R řešte soustavu lineárních rovnic x + x x 3 + 4x 4 = x x + x 3 + x 4 = x + 7x 4x 3 + x 4 = a Pokud má soustava řešení, nalezněte také prostor M všech řešení přidružené homogenní soustavy, jeho bázi a dimenzi Řešení: Sestavíme rozšířenou matici soustavy a upravujeme ji pomocí Gaussovy eliminační metody: (A b T =,,, 4,,,, 7, 4, a,,, 4, 5, 3, 7,,,,,, 4, 5, 3, 7, 5, 3, 7 3 a 5 3 a Hodnost matice soustavy h(a je vždy rovna dvěma (a přidružená homogenní soustava má tedy 4 (počet neznámých - (hodnost matice soustavy = lineárně nezávislá řešení Hodnost rozšířené matice soustavy závisí na a: h(a b T = pro a = 5, h(a b T = 3 pro a 5 Podle Frobeniovy věty má soustava řešení pouze pro a = 5 Nechť tedy dále a = 5 V druhé rovnici upravené soustavy můžeme hodnoty dvou neznámých volit Nechť tedy x 4 = s, x 3 = t, kde s, t jsou libovolná reálná čísla Pro x tak máme: 5x + 3t 7s = 3, tj x = t 7 5 s Dosadíme-li nyní do první rovnice za x, x 3, x 4, dostaneme x + ( t 7 5 s t + 4s, tj x = t s + t 4s = 4 5 t s Každé řešení soustavy lze tedy zapsat ve tvaru x = ( 4 5 t s, t 7 5 s, t, s = (4 5, 3 5,, + t( 5, 3 5,, + s( 6 5, 7,, = 5 = x + t x + s x, s, t R (Abychom neměli tolik zlomků, můžeme označit t = t 5, s = s 5 Potom což zapsáno vektorově dává x = 4 5 t 6s, x = t 7s, x 3 = 5t, x 4 = 5s, x = ( 4 5 t 6s, t 7s, 5t, 5s = ( 4 5, 3 5,, + t (, 3, 5, + s ( 6, 7,, 5 6
7 Protože vektor x je řešením zadané soustavy (ověřte dosazením nuly za s a t a dvě řešení nehomogenní soustavy se liší právě o řešení přidružené homogenní soustavy, musí být vektor t x + s x obecným řešením přidružené homogenní soustavy Proto M = x, x = ( 5, 3 5,,, ( 6 5, 7 5,, Protože jsou vektory x a x lineárně nezávislé, je množina { x, x } bazí prostoru M všech řešení soustavy A x T = o T a dimm = (srovnejte s poznámkou u hodnosti matice A PŘÍKLAD 3: V závislosti na a R řešete soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy (A a,, a b T =, a,,, a a Řešení: Abychom zjistili, kdy lze k řešení zadané soustvy rovnic použít Cramerovo pravidlo, spočítáme nejdříve determinant matice A: D = deta = a a a a = a 3 3a + = (a (a + Determinant je nenulový právě tehdy, když a / {; } Uvažujme proto dále tři možnosti: a a / {, }: V tomto případě má soustava právě jedno řešení a k jeho nalezení lze použít Cramerovo pravidlo Počítáme: D = a,,, a, a,, a = a3 + a + a a a = a 3 a a + = (a (a + Poznámka: Determinant D je také možné počítat tak, že od prvního sloupce matice odečteme třetí sloupec a pak použijeme rozvoj determinantu podle prvního sloupce (v kterém už je jen jeden nenulový prvek (Tento postup budu používat často v případech, kdy je v matici málo nul a některé její řádky nebo sloupce jsou velmi podobné : D = a,,, a, a,, a = a,,, a,,, a = (a ( (a = (a (a + (Všimněte si, že při tomto způsobu výpočtu determinantu je jednodušší najít jeho rozklad na součin Podobně spočítáme a D = D 3 = Odtud dostáváme a, a,,,, a, a a,, a, a,,, a = = a,,,,, a, a a,,, a,,, a x = D D = (a (a + (a (a + = a + a +, x = D D = (a ( 5 (a = (a = (a ( 6 (a = (a (a + 7 = (a (a (a + = a +,
8 Řešením soustavy je tedy vektor x 3 = D 3 D = (a (a + (a (a + = a + a + x = ( a + a +, a +, a + a + b a = : V tomto případě Cramerovo pravidlo použít nelze Dosadíme proto a do soustavy a tu pak vyřešíme Gaussovou eliminační metodou Máme,,,, (,,,, Hodnost matice soustavy i hodnost rozšířené matice soustavy jsou rovny jedné Řešení tedy existuje a závisí na dvou parametrech ( počet parametrů = počet neznámých - hodnost matice soustavy Máme: x + x + x 3 =, tj x = x x 3, x, x 3 mohou být libovolná reálná čísla Řešením soustavy jsou tak všechny vektory x = ( x x 3, x, x 3 = (,, + x (,, + x 3 (,,, x, x 3 R Vektor (,, je partikulárním řešením nehomogenní soustavy, vektor x (,, +x 3 (,, představuje obecné řešení přidružené homogenní soustavy c a = : Ani v tomto případě nelze použít Cramerovo pravidlo Opět dosadíme a do soustavy a řešíme Gaussovou eliminací:,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3 3 6,,, 3, 3,, 3 3 Tentokrát je h(a = h(a b T = 3 Podle Frobeniovy věty soustava nemá řešení 8
9 4 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ PŘÍKLAD 4: Je dáno lineární zobrazení A : R 3 R takové, že pro vektory u = (,,, u = ( 3, 4,, u 3 = (,, platí A( u = (, 3, A( u = (,, A( u 3 = ( 3, 5 Najděte a A(-,,, b jádro, defekt, obraz a hodnost zobrazení A, c všechny vektory v, pro které platí A( v = (, 4, d matici zobrazení A vzhledem k uspořádaným bazím B = ( u, u, u 3 a C = ( v, v, kde v = (,, v = (, Řešení: Nejdříve ověříme, že vektory u, u, u 3 jsou lineárně nezávislé Protože hodnost matice je rovna maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků, budou u, u, u 3 jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když hodnost matice s řádky tvořenými těmito vektory bude rovna třem Upravujeme,, 3, 4,,,,,, 4, 4,,,,, 4, 4,, Hodnost matice je 3, a tedy vektory u, u, u 3 jsou lineárně nezávislé a B je uspořádaná báze v R 3 To znamená, že zobrazení je určeno dostatečně a Potřebujeme vyjádřit vektor u = (,, jako lineární kombinaci vektorů u, u, u 3 (Takovéto vyjádření existuje a je právě jedno, protože u, u, u 3 tvoří bázi R 3 Hledáme tedy čísla α, α, α 3 taková, že u = α u + α u + α 3 u 3 neboli (,, = α (,, + α ( 3, 4, + α 3 (,, = (α 3α, 4α + α 3, α α + α 3 Porovnáním jednotlivých složek vektorů dostáváme pro α, α, α 3 soustavu lineárních rovnic α 3α = 4α + α 3 = α α + α 3 = Řešením této soustavy dostaneme (uveďte postup řešení α =, α =, α 3 = Tedy při využití linearity zobrazení A máme A( u = A( u + u u 3 = A( u + A( u A( u 3 = (, 3 + (, ( 3, 5 = (7, b Podle definice jádra platí v KerA právě tehdy, když A( v = (, Nechť tedy v KerA Protože B je báze R 3, existují čísla β, β, β 3 taková, že v = β u +β u +β 3 u 3 Vzhledem k linearitě A musí platit: (, = A( v = β A( u + β A( u + β 3 A( u 3 = β (, 3 + β (, + β 3 ( 3, 5 = = (β + β 3β 3, 3β β + 5β 3 neboli β + β 3β 3 = a 3β β + 5β 3 = Dostali jseme tak pro β, β, β 3 soustavu dvou lineárních rovnic, kterou jednoduše vyřešíme pomocí Gaussovy eliminační metody: (,, 3 3,, 5 (,, 3, 7, 4 9
10 Odtud β 3 = t R je libovolné, β = t, β = 3t 4t = t Dosadíme-li nyní do vyjádření v, máme v = β u + β u + β 3 u 3 = t(,, + t( 3, 4, + t(,, = t( 7,, 5, t R Tedy KerA = ( 7,, 5 a defa = dim(kera = Protože každý vektor z R 3 lze zapsat jako lineární kombinaci vektorů u, u, u 3, a tudíž jeho obraz jako lineární kombinaci vektorů A( u, A( u, A( u 3, stačí zjistit, jak vypadá lineární obal vektorů A( u, A( u, A( u 3 Nejdříve zjistíme dimenzi tohoto lineárního obalu Protože hodnost matice je taká rovna dimenzi lineárního obalu jejích řádkových vektorů, stačí najít hodnost matice s řádky tvořenými vektory A( u, A( u, A( u 3 Upravujeme:, 3, 3, 5, 3, 7, 4 (, 3, 7 Hodnost zkoumané matice je rovna dvěma, a proto je i dima(r 3 = Tedy A(R 3 je podprostorem R stejné dimenze jako R, což znamená, že A(R 3 = R c Hledáme všechny vektory w R 3, pro které platí A( w = (, 4 Můžeme postupovat stejně jako při hledání jádra Je-li A( w = (, 4 a w = γ u + γ u + γ 3 u 3, musí platit (, 4 = A( w = γ A( u + γ A( u + γ 3 A( u 3 = = γ (, 3 + γ (, + γ 3 (3, 5 = (γ + γ 3γ 3, 3γ γ + 5γ 3 Řešením takto získané soustavy rovnic γ + γ 3γ 3 = 3γ γ + 5γ 3 = 4 dostáváme: γ 3 = t R je libovolné, γ = t, γ = (t + 3t = t + (Porovnejte se soustavou a jejím řešením v předchozí části Tedy A( w = (, 4 právě tehdy, když w = ( t + (,, + (t ( 3, 4, + t(,, = t( 7,, 5 + (, 4,, kde t R d Označíme A = [A; B, C] Pro každý vektor x = (x, x, x 3 R 3 má platit Speciálně pro u, u, u 3 : A u T B = A A x T B = A( x T C = A( u T C = (, 3 T C (tedy (, 3 T C je první sloupec matice A, A u T B = A = A( u T C = (, T C
11 (tedy (, T C je druhý sloupec matice A, A u 3 T B = A = A( u 3 T C = ( 3, 5 T C (tedy ( 3, 5 T C je třetí sloupec matice A Snadno ověříme (uveďte postup!, že (, 3 = 3 v 4 v tj (, 3 C = ( 3, 4, (, = v v tj (, C = (, 5 4, Celkem tak dostáváme ( 3, 5 = 5 v 4 v tj ( 3, 5 C = ( 5, 4 A = [A; B, C] = 3,, 5 4, 5 4, 4 PŘÍKLAD 4: Ověřte, že zobrazení f : R R 3 dané předpisem f(x, x = (x + x, 3x + x, x x je lineární Najděte matici zobrazení f vzhledem k uspopřádaným bazím B = ( u, u, C = ( v, v, v 3, kde u = (,, u = (, a v = (,,, v = (,,, v 3 = (,, Dále nalezněte jádro zobrazení f Řešení: Ověříme, že f je lineární: Nechť x = (x, x a y = (y, y jsou dva libovolné vektory z R Pak f( x+ y = f(x +y, x +y = ((x +y +(x +y, 3(x +y +(x +y, (x +y (x +y = = (x + x, 3x + x, x x + (y + y, 3y + y, y y = f( x + f( y Je-li dále α libovolné reálné číslo, máme: f(α x = f(αx, αx = (αx + αx, 3αx + αx, αx αx = = α(x + x, 3x + x, x x = αf( x Zobrazení f je tedy lineární Nyní najdeme požadovanou matici zobrazení f vzhledem k uspořádaným bazím B a C Matice A = [f; B, C] je typu (3, a má pro ní platit (mimo jiné ( A = A u T B = f( u T C, A ( = A u T B = f( u T C Tedy f( u T C je první sloupec matice A a f( u T C je druhý sloupec matice A
12 Snadno ověříme (uveďte postup!, že f( u = (4, 5, 3 = 3 v 8 v + 9 v 3, tj f( u C = (3, 8, 9 a Celkem tak dostáváme f( u = (5,, = v + 6 v 3, tj f( u C = (,, 6 A = 3, 8, 9, 6 Jádro f tvoří všechny vektory x = (x, x, pro které platí f( x = (,, neboli A x T B = Potřebujeme tedy najít všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic, jejíž maticí je matice A Upravujeme: 3, 8, 9 6 3,, 3, 6 ( 3,, 3 Protože hodnost matice soustavy je rovna počtu neznámých, má soustava pouze triviální řešení, a tedy Kerf = { o R } PŘÍKLAD 43: Lineární zobrazení h : R R má vzhledem ke standardní uspořádané bázi E = ((,, (, matici (, 4 [h; E, E] =, 3 Najděte matici tohoto zobrazení vzhledem k uspořádaným bázím B = ( u, u, C = ( v, v, kde u = (,, u = (, a v = (,, v = (, Řešení: Označme A = [h; B, C] Pak a h( u T E = A u T E = h( u T E = A u T E = (, 4, 3 (, 4, 3 ( ( = = ( ( 6 4 Tedy h( u = (, + (, = (, a h( u = 6(, + 4(, = ( 6, 4 Nyní najdeme souřadnice h( u a h( u v uspořádané bázi C Hledáme tedy čísla α, α a β, β tak, aby platilo (, = α (, + α (, a ( 6, 4 = β (, + β (, Standardním způsobem (uveďte postup! dostaneme, že α =, α = a β =, β = 3, čili h( u C = (, a h( u C = (, 3
13 a Označíme-li nyní B = [h; B, C] (B je typu(,, zjišťujeme, že má platit ( ( B u T E = B = h( u T C = Tedy první sloupec matice B je ( B u T E = B = h( u T C = ( ( 3, druhý sloupec matice B je B = (,, 3 ( 3 a PŘÍKLAD 44: Je dáno lineární zobrazení f : R R 3 takové, že, A = [f; B, C] =,,, kde B = ( b, b = ((,, (, a C = ( c, c, c 3 = ((,,, (,,, (,, jsou uspořádané báze v R resp R 3 Dále je dáno zobrazení g : R 3 R takové, že pro každé x = (x, x, x 3 R 3 platí g( x = g(x, x, x 3 = (x x 3, x 3 x Najděte matici H složeného zobrazení g f vzhledem k uspořádaným bazím B a D, kde D = ( d, d = ((,, (, Řešení: a Ověříme, že g je lineární: Nechť x, y R, α, β R jsou libovolné Potom g(α x + β y = g(αx + βy, αx + βy, αx 3 + βy 3 = = ((αx + βy (αx 3 + βy 3, (αx 3 + βy 3 (αx + βy = = (αx αx 3 + βy βy 3, αx 3 αx + βy 3 βy = = α(x x 3, x 3 x + β(y y 3, y 3 y = αg( x + βg( y Zobrazení g je tedy lineární b Nalezení matice H možnost: Matice H je taková matice, že pro všechna x R platí Matice H je tedy typu (,, H x T B = (g f( x T D ( h, h H = h, h Pro vektory b, b zřejmě platí b B = (,, b B = (, Tedy, dosadíme-li do výše uvedeného vztahu za x postupně vektory b, b, dostaneme: ( ( h = H = H b T B = (g f( b T D h 3
14 a ( h h = H ( Nalezneme nejprve (g f( b T D Máme, f( b T C = A b T B =,, = H b T B = (g f( b T D ( =, tedy f( b = c c + c 3 = (,, (,, = ( 3,, Z definice g pak dostáváme Hledáme nyní α, β tak, aby (g f( b = g( 3,, = (( 3, ( = ( 7, 3 ( 7, 3 = α d + β d = α(, + β(, = (β, α + β Snadno zjistíme, že α = 5, β = 7 (Rozepište! Tedy (g f( b D = ( 5, 7 Podobně dostaneme, že (g f( b D = g(,, D = (4, D = ( 3, 4 (Rozepište! Máme tak ( 5, 3 H = 7, 4 možnost: Protože platí H = [g f; B, D] = [g; C, D] [f; B, C] a [f; B, C] = A známe, stačí nalézt matici B = [g; C, D] Pro B a bázové vektory c i (i =,, 3 musí platit Máme B c i T C = g( c i T D g( c = g(,, = (,, g( c = g(,, = (4,, g( c 3 = g(,, = (, Snadno zjistíme (rozepište!, že tedy (, = d + d, (4, = 5 d + 4 d, (, = d + d, g( c D = (,, g( c D = ( 5, 4, g( c 3 D = (, Stejnou úvahou jako u možnosti tak dostáváme, že (, 5 B =,, 4, Odtud už snadno spočítáme H: (, 5 H = B A =,, 4,,,, = ( 5, 3 7, 4 Maticí složeného zobrazení g f vzhledem k uspořádaným bazím B, D je tedy matice ( 5, 3 H = 7, 4 4
15 5 MATICE A DETERMINANTY PŘÍKLAD 5: Je dána matice B = (,, 4 Ukažte, že množina M všech matic X typu (,, pro které platí BX + XB = O (O je nulová matice, je podprostorem prostoru R (, Najděte M, jeho bázi a dimenzi Řešení: a Nejdříve ukážeme, že M je podprostor prostoru R (,, tedy že pro všechny matice X, Y M a všechna reálná čísla α, β platí αx+βy M, tj B(αX+βY+(αX+βYB = O Máme B(αX + βy + (αx + βyb = (αbx + βby + (αxb + βyb = = α(bx + XB + β(by + YB = αo + βo = (α + βo = O Tedy αx + βy ( M a M je podprostor prostoru R (, a, b b Označme X = Pak c, d BX = (,, 4 ( a, b c, d ( a + c, b + d = a + 4c, b + 4d ( ( ( a, b, a + b, a + 4b XB = c, d, 4 c + d, c + 4d ( a + b + c, a + 5b + d BX + XB = a + 5c + d, b + c + 8d Má-li platit BX + XB =, musí být a + b + c =, a + 5b + d =, a + 5c + d =, b + c + 8d = Řešením této soustavy dostáváme (rozepište! a = 4d, b = d, c = d, d R Všechny hledané matice X jsou tak tvaru ( ( 4d, d 4, X = = d d, d,,,, d R ( 4, Tedy M = Protože lineární obal jakékoliv podmnožiny lineárního prostoru je vždy podprostorem tohoto prostoru, je M podprostor prostoru R (, (Uvedete-li toto, zdůvodnění, nemusíte provádět část a {( } 4, Bází M je například jednoprvková množina, a tedy dimm =, 5
16 PŘÍKLAD 5: Řešte maticovou rovnici AXB + AX = B s neznámou maticí X, kde,, 5, 4, A =,,, B = 4,,,,,, Řešení: Upravujeme rovnici Protože a deta = det(b + E = AXB + AX = B AXB + AXE = B AX(B + E = B,,,,,, 6, 4, 4,,,, = = 8, existují matice A a (B+E Můžeme proto v úpravách rovnice pokračovat dále Dostáváme: A AX(B + E(B + E = A B(B + E EXE = A B(B + E X = A B(B + E Inverzní matice k A a (B + E nalezneme pomocí řádkových úprav Máme,,,,,,,,,, (A E =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (Nejdříve jsme prohodili druhý a třetí řádek, pak od prvního odečetli druhý a nakonec od druhého odečetli třetí 6, 4,,,,,,,,, (B + E E = 4,,,,, 4,,,,,,,,,, 6, 4,,,,,,,,,,,,,,, 4,,,, 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (Nejdříve jsme prohodili první a třetí řádek, pak odečetli od druhého dvojnásobek prvního a od třetího trojnásobek prvního, dále jsme od třetího řádku odečetli dvojnásobek řádku druhého a nakonec jsme všechny řádky vydělili dvěma 6
17 Dostali jsme tak, že platí,, A =,, a (B + E =,, To znamená, že X = A B(B + E = = 3, 4, 3,, 4,, Řešením rovnice je tedy matice,,,,,, X = PŘÍKLAD 53: Je dána matice A =,,,,,,,,,,,, 5, 4, 4,,,, 3,,,,,,, a, a, 4, a, a, = =,,,,,,,,,,,, 3,,,,,, Zjistěte, pro jaká a R neexistuje inverzní matice k matici A Pro jaká a R je matice transponovaná k matici A regulární? Řešení: a Inverzní matice k A existuje právě tehdy, když deta Máme deta =, a, a, 4, a, a, = 6a = 6( a Tedy inverzní matice k matici A neexistuje (a A není regulární právě tehdy, když a =, tj a { ; } b Matice A T je regulární právě tehdy, když A je regulární, tedy pro a { ; } PŘÍKLAD 54: Vypočtěte determinant matice C, kde C = A B, a,,,,,,,,,,,, A =,,,,,,,,, B =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Zjistěte, zda existuje matice C, a pokud ano, vypočtěte její determinant = 7
18 Řešení: a Protože hodně prvků matic A a B je nulových, použijeme k výpočtu vztah detc = deta detb Stačí tedy spočítat determinanty matic A a B:,,,,,,,, deta =,,,, =,,,,,,,,,,,,,,,, =,,,, =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = = ( 5 = (Nejdřív jsme prohodili a 3 řádek, pak 3 a 5 řádek, nakonec a 4 řádek,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, detb =,,,, =,,,, =,,,, = 5 = 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (Nejdříve jsme prohodili a 3 sloupec, pak 3 a 5 sloupec Máme tedy detc = 3 = 3 b Protože detc, existuje matice C a pro její determinant platí det(c = detc = 3 PŘÍKLAD 55: Najděte inverzní matice k maticím C = AB a D = BA, kde A a B jsou matice z příkladu 54 Řešení: Vzhledem k tvaru matic A, B bude poměrně snadné najít matice k nim inverzní Matice C, D proto určíme ze vztahů C = (AB = B A, D = (BA = A B Matice A a B budeme hledat pomocí řádkových úprav a V případě matice A v prvním kroku pouze přerovnáme řádky, ve druhém budeme směrem zdola nahoru přičítat k řádku řádek, který je nad ním, nakonec všechny řádky vydělíme číslem (POZOR! Řádky upravujeme až tehdy, když už je nebudeme potřebovat k úpravě jiných řádků - mohli bychom se totiž zacyklit : (A E =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 8
19 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, b V případě matice B začneme prohozením, 3 a 5řádku, v dalším kroku nejdříve odečteme od řádku 4řádek, pak od 3řádku 5řádek a nakonec od 5řádku řádek V posledním kroku každý řádek vydělíme dvěma: Tedy A = (B E =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, B =,,,,,,,, 9
20 Nyní už snadno spočítáme, jak vypadají matice C, D :,,,,,,,, C =,,,,,,,,,,,, D = =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, =,,,,,,,, =,,,,,,,, =,,,,,,,,,,,,,,,,
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Víceα 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceŘešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
VíceJedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceObsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Vícea + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceVýběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Vícetěchto písemek (bez řešení) najdete na (odkazy v posledních dvou odstavcích před sekcí Literatura ).
Vážení studenti, předkládám vám zde vzorová řešení písemek, které proběhly letos v semestru, a také řešení vzorové písemky. Zadání těchto písemek (bez řešení) najdete na http://math.feld.cvut.cz/0educ/pozad/y01alg.htm
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceCvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceTransformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceMatice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceVÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta R 1.Nechť p, q, rjsoupolynomy,všechnymajístupeňroven n.pakpolynom má stupeň: a)vždyroven n 2, b)vždyroven2n, c)vždyroven n, d)nejvýšeroven
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Více7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceVÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R. + c)det A= 3det B, d)det A= 6det B, e)det A=6detB.
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(14. 4. 2010), varianta R 1. Které z následujících tvrzení je pravdivé? a) Každý polynom má aspoň jeden komplexní kořen. + b) Existují polynomy, které nemají žádný
VícePřednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Více8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
VíceMatematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více