Grafy a diagramy v ekonomii Graphs and Diagrams in Economics

Transkript

1 MORAVSKÁ VYSOKÁ ŠKOLA OLOMOUC Ústav exaktních věd Jana Schmidová Grafy a diagramy v ekonomii Graphs and Diagrams in Economics Bakalářská práce RNDr. Vladimíra Mádrová, Csc. Olomouc 2013

2 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně a použila jen uvedené informační zdroje. Olomouc vlastnoruční podpis

3 Děkuji RNDr. Vladimíře Mádrové, Csc., za odborné vedení bakalářské práce. Děkuji Mgr. Pavle Heřmánkové, za cenné rady pro správné zpracování bakalářské práce.

4 OBSAH: ÚVOD ZÁKLADNÍ POJMY EKONOMIE: MATEMATIKA: MNOŽINA ZOBRAZENÍ FUNKCE MATEMATICKÉ FUNKCE A JEJICH GRAFY KONSTANTNÍ FUNKCE LINEÁRNÍ FUNKCE PŘÍMÁ ÚMĚRNOST KVADRATICKÁ FUNKCE MOCNINNÉ FUNKCE MOCNINNÉ FUNKCE S PŘIROZENÝM EXPONENTEM MOCNINNÉ FUNKCE S CELÝM ZÁPORNÝM EXPONENTEM FUNKCE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU APLIKACE MATEMATICKÝCH GRAFŮ V EKONOMII CHOVÁNÍ SPOTŘEBITELE UŽITEK A INDIFERENČNÍ KŘIVKY MĚŘENÍ UŽITKU LINIE PŘÍJMU ROVNOVÁHA SPOTŘEBITELE CHOVÁNÍ FIRMY PRODUKČNÍ FUNKCE VÝROBY V KRÁTKÉM OBDOBÍ PRODUKČNÍ FUNKCE VÝROBY V DLOUHÉM OBDOBÍ POPTÁVKA A NABÍDKA, ROVNOVÁHA NA TRHU DIAGRAMY VYTVOŘENÍ GRAFU SLOUPCOVÝ GRAF SPOJNICOVÝ GRAF VÝSEČOVÝ GRAF PRUHOVÝ GRAF TRH PRÁCE ČLOVĚK LIDSKÝ ZDROJ A MZDA VZDĚLÁNÍ NEZAMĚSTNANOST ZÁVĚR

5 ANOTACE LITERATURA A PRAMENY SEZNAM ZKRATEK SEZNAM OBRÁZKŮ

6 ÚVOD Grafy jsou v ekonomii častým jevem a to proto, že na grafech se dá lépe vysvětlit daný problém. Matematika je univerzální jazyk, tudíž je zřejmé, že vysvětlování ekonomie přes matematiku může být srozumitelnější. Matematickými funkcemi se dají popsat závislosti mezi vstupními a výstupními daty a to i bez znalosti složitých matematických disciplín. Tedy používání grafů v ekonomii nám otevírá jednodušší pochopení závislostí mezi vstupními a výstupními hodnotami. V grafech lze pak snadněji nalézt řešení bez složitých rovnic i mezi mnoha současně působícími vstupy. Cílem mé práce je tedy propojení a využití matematických poznatků v problémech ekonomického směru. Diagramy v ekonomii dokáží jednoduše a pochopitelně popsat vývoj veličin v čase, popsat dynamické změny více hodnot a možnost odečíst hodnoty, případně možnost předpovědět další vývoj při dodržení aktuálních podmínek. Téma bakalářské práce jsem si zvolila z důvodu zajímavosti provázání matematiky a ekonomie. Čím lépe se zvládá práce s grafy, tím snadněji lze vyhodnotit situaci. Naučit se číst v grafech je pro výzkum, sledování dat a utváření závěrů usnadnění práce. Naučit se pracovat s grafy je důležité, a proto jsem se chtěla v těchto poznatcích zdokonalit při zhotovovaní bakalářské práce. V úvodní kapitole jsou uvedeny základní pojmy z ekonomie a matematiky, s kterými se v dalších dvou kapitolách setkáváme. Z matematiky jsou to především funkce a jejich vlastnosti. Z ekonomiky jde o termíny z oblasti trhu, který je základem ekonomiky. Druhá kapitola je zaměřena na matematické funkce. Jsou zde představeny základní typy funkcí, které jsou v třetí, ekonomické kapitole, obsaženy. U každé funkce je uveden její předpis, vlastnosti a graf. Třetí část je věnována matematickým grafům v ekonomii. Ekonomie stojí na tržním mechanismu a spjatých tématech - nabídce a poptávce. Formování poptávky je 6

7 zaměřeno na spotřebitele a jeho užitek. Formování nabídky se orientuje na firmu, její výnosy a náklady. Čtvrtá a pátá kapitola se zabývá diagramy v ekonomii. Ve čtvrté části jsou rozebrány pouze ty diagramy, se kterými se v poslední kapitole setkáváme. Téma závěrečné kapitoly se věnuje trhu práce. Pozornost je zaměřena především na nezaměstnanost, jelikož v současné hospodářské krizi je to často zmiňované téma. Základním úkolem mé práce bylo analyzovat grafy v ekonomii a zaznamenat, u kterých témat v ekonomii se grafy vyskytují a se kterými grafy z matematiky se shodují. V současné době je velkým problémem nezaměstnanost, která je přímo spjata s trhem práce a souvisejícími tématy. Toto téma jsem si tedy vybrala především pro jeho aktuálnost. Má práce je zaměřena na sledování dat na trhu práce a popsání těchto sledovaných dat v grafech a diagramech. Jde tedy především o shromažďování a zaznamenávání dat a poté znázornění do grafů a diagramů. 7

8 1 Základní pojmy V úvodní kapitole si objasníme některé základní pojmy z ekonomie a matematiky, se kterými se budeme setkávat v dalším textu. A to: co je ekonomie za vědu, čím se zabývá, dělení ekonomie na makroekonomii a mikroekonomii. Z oblasti matematiky uvedeme pojmy množina, zobrazení, funkce a vlastnosti funkcí. 1.1 Ekonomie: Ekonomie Ekonomie je ve své podstatě věda společenská, protože zkoumá podmínky fungování určitých typu procesů ve společnosti, a to procesů ekonomických. Je mnoho ekonomických disciplín a ani ekonomická teorie není jen jedna. Ekonomie se zabývá zkoumáním alokace vzácných zdrojů mezi různá alternativní užití tak, aby byly uspokojeny lidské potřeby. 1 Matematická větev ekonomické teorie prosazuje názor, že kriteriem pravdivosti a vědeckosti v ekonomické teorii je možnost matematického důkazu. Co nelze dokázat matematicky, nelze dokázat vůbec, a proto je nepoužitelné. Společenská větev ekonomické teorie tento názor principiálně odmítá. Odmítá dokonce matematiku v ekonomické teorii používat vůbec. Argumentuje tím, že ekonomie je věda o chování lidí ve výrobě. A chování lidí nelze směstnat do vzorců. 2 Makroekonomie Makroekonomie se zabývá národním hospodářstvím vcelku a zkoumá problémy, jako jsou inflace, zaměstnanost a nezaměstnanost, ekonomický růst, celková 1 HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s

9 rovnováha v ekonomice a mnohé další. Předmětem jejího zájmu jsou souhrnné ukazatele, údaje a procesy, jejichž zkoumáním připravuje pole pro hospodářskou politiku státu. 3 Mikroekonomie Mikroekonomie zkoumá chování dílčích ekonomických subjektů jednotlivců, domácností a firem. Složitěji, ale přesněji řečeno, studujeme-li mikroekonomii, sledujeme ekonomický systém očima jednotlivého subjektu. Odpovídáme si na všechny otázky, na které si musí odpovědět ekonomický subjekt, aby se mohl rozhodnout, jak se v ekonomickém systému bude chovat. 4 Výrobní faktory Při výrobě ekonomických statků člověk používá vzácné statky, tzv. výrobní faktory. V ekonomické teorii se nejčastěji rozlišují tři základní výrobní faktory: práce, půda a kapitál. 5 1) Půda Půda je produktem přírody, ale není volným statkem. Její množství je totiž omezené. Rozlohu půdy, kterou člověk obdělává či jinak využívá, nelze donekonečna rozšiřovat. Půda je proto vzácným statkem, přestože není výsledkem výroby. Půdu nemůže vlastnit každý. Počet vlastníků půdy je omezen tím, kolik půdy má společnost k dispozici. Ti, kteří vlastní půdu dosahují výhod proti těm, kteří půdu nevlastní. Tyto výhody mají podobu pozemkové renty. Pozemková renta je důchod plynoucí z půdy. 6 3 Dostupné na WWW: < [cit ]. 4 MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s Tamtéž, s Tamtéž, s

10 2) Práce Práce je především lidská činnost; jejím nositelem je člověk. Člověk se ovšem nerodí jako výrobní faktor, důvody jeho příchodu na svět bývají obvykle jiné než ekonomické. Práce jako výrobní faktor je tedy do značné míry limitována mimoekonomicky co do množství i co do kvality. Téměř každý člověk je schopen pracovat, ale kvalita a množství práce každého jednotlivce je ovlivněna jeho fyzickými a duševními vlastnostmi. Množství práce v celé společnosti je navíc podmíněno počtem lidí schopných a ochotných pracovat. Účinnost tohoto výrobního faktoru lze aktivně ovlivnit. 7 3) Kapitál Kapitálem nazýváme statky, které byly vyrobeny, aby se podílely na výrobě jiných statků. Kapitál je na rozdíl od práce a půdy výsledkem předchozí výroby, nebyl však vyroben pro bezprostřední spotřebu, ale proto, aby se stal výrobním faktorem. 8 Výnosy z výrobního faktoru Protože jsou výrobní faktory vzácné statky, člověk velmi zvažuje jejich použití. Snaží se je použít co nejefektivněji. To znamená, že se snaží s určitým objemem výrobních faktorů vyrobit co nejvíce vzácných statků určených ke spotřebě, anebo naopak určité množství užitečných statků vyrobit s co nejmenším množstvím výrobních faktorů. Výnos z výrobního faktoru je kvantitativní vztah mezi vstupem (objemem použitých výrobních faktorů) a výstupem (objemem vyrobených užitečných statků). Výnosy z výrobního faktoru = výstup vstup Čím je vyšší hodnota zlomku, tím vyšší jsou výnosy z výrobního faktoru a tím vyšší je efektivnost výroby. 9 7 MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s Tamtéž, s Tamtéž, s

11 Výnosy z rozsahu Ve skutečnosti výstup obvykle roste při současném růstu všech použitých výrobních faktorů. Ani v tomto případě není ten, kdo výrobní faktory používá, zbaven povinnosti rozhodovat. Jde o to, zda je výhodnější výrobní faktory používat ve větším či menším objemu. Pokud růst objemu použitých výrobních faktorů vede k vyššímu tempu růstu výnosů z nich, hovoříme o rostoucích výnosech z rozsahu. Pokud výnos z výrobních faktorů roste proporcionálně s růstem rozsahu jejich zapojení do výroby, hovoříme o konstantních výnosech z rozsahu. Pokud růst výnosů z výrobních faktorů je nižší než růst těchto faktorů, jde o klesající výnosy z rozsahu. 10 Trh Trh je místo, kde ten, kdo výrobek, resp. zboží vyrobil, se snaží směnit jej za peníze a případně nakoupit od někoho jiného jeho výrobek, resp.zboží. Dokonalá a nedokonalá konkurence Dokonalá konkurence Dokonalá konkurence je jednou z užitečných abstrakcí ekonomické teorie. V reálném ekonomickém světě bychom ji marně hledali. Základním předpokladem dokonalé konkurence jsou naprosto rovné podmínky pro všechny její účastníky. Prvním předpokladem je volný vstup do odvětví, tedy stejná možnost vyrábět kterýkoli výrobek pro všechny vlastníky odpovídajících výrobních faktorů. Dalším předpokladem je stejná míra informovanosti všech ekonomických subjektů na daném trhu. 11 Na trhu dokonalé konkurence jsou všechny výrobky stejně dobré, takže nelze říci, který z výrobků je kvalitnější. 10 MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s Tamtéž, s

12 Nedokonalá konkurence Nedokonalá konkurence se projevuje v reálném ekonomickém životě. Různé druhy výrobků, různá kvalita, různá cena, různí dodavatelé i odběratelé, informovanost není pro všechny stejná, atd. Vše záleží na postavení na trhu. Krátké a dlouhé období Krátké období V krátkodobém období je možno měnit množství pouze některých vstupů (např. najímat další práci), ostatní zůstávají konstantní. Firmy mohou zvětšovat objem produkce, ale jen v rozsahu, který jim dovolí existující výrobní kapacity. V krátkém období tedy existuje alespoň jeden fixní výrobní faktor. Za fixní většinou považujeme kapitál. 12 Dlouhé období V dlouhém období jsou všechny vstupy proměnlivé, firma může rozšiřovat výrobní kapacity. Zvýšení objemu výroby tedy může být výraznější než v období krátkém Matematika: Množina Definice: Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty nazýváme prvky dané množiny. Množiny značíme zpravidla velkým písmenem, např. A, B, C. Je-li objekt x prvkem množiny M, značíme x M, není-li tomu tak, píšeme x M. 12 MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s Tamtéž, s

13 1.2.2 Zobrazení Definice: Nechť M, B jsou libovolné množiny. Zobrazení množiny M do množiny B je taková množina f, kde ke každému x M, existuje právě jedno y B takové, že f(x) = y Funkce Definice: Předpokládejme, že množina M R. Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení, které každému číslu x M, přiřazuje podle určitého pravidla právě jedno číslo y z množiny R. Funkci obvykle zapisujeme y = f(x). Množinu f nazýváme funkce, má-li tyto vlastnosti: 1) Pro každé x M existuje y R, že [x, y] f. 2) Jsou-li [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ] dvojice množiny f a jeli x 1 = x 2, je též y 1 = y 2. Definiční obor Definice: Definiční obor je množina všech x M, pro něž má předpis funkce f(x) smysl. Definiční obor je množina všech přípustných hodnot proměnné x; jsou to všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat. Množina M se nazývá definiční obor funkce f a označujeme ji D(f). D(f) = { x R: y R tak, že f(x) = y} Poznámka: Pokud není u funkce definiční obor zadán, musíme jej určit. Obor hodnot Definice: Obor hodnot funkce f je množina všech hodnot nezávisle proměnné y, na něž se zobrazí nějaké x. Obor hodnot je množina všech prvků y a označujeme ji H(f) R. H(f) = { y R: x R tak, že y = f(x)} 13

14 Monotónnost Definice: Nechť je dána funkce f na množině M, kde M je podmnožina definičního oboru této funkce. Funkci f nazveme na množině M: rostoucí, jestliže pro každé dva libovolné prvky x 1, x 2 M, kde x 1 < x 2, platí f(x 1 ) < f(x 2 ), klesající, jestliže pro každé dva libovolné prvky x 1, x 2 M, kde x 1 < x 2, platí f(x 1 ) > f(x 2 ), neklesající, jestliže pro každé dva libovolné prvky x 1, x 2 M, kde x 1 < x 2, platí f(x 1 ) f(x 2 ), nerostoucí, jestliže pro každé dva libovolné prvky x 1, x 2 M, kde x 1 < x 2, platí f(x 1 ) f(x 2 ). Parita Definice: Funkce f se nazývá sudá, resp. lichá, jestliže: 1) x D(f) - x D(f), 2) pro každé x D(f) platí f(-x) = f(x), resp. f(-x) = - f(x). Prostá funkce Definice: Funkce f se nazývá prostá na množině M D(f), jestliže pro všechny dvojice x 1, x 2 M takové, že x 1 x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ). Funkce se nazývá prostá, je-li prostá na D(f). Množina M, na níž je funkce prostá, se nazývá oborem prostoty. Omezenost Definice: Nechť je dána funkce f na množině M, kde M je podmnožina jejího definičního oboru D(f). Funkce f je zdola omezená na množině M, jestliže existuje takové d R, že pro všechna x M je f (x) d. 14

15 Funkce f je shora omezená na množině M, jestliže existuje takové h R, že pro všechna x M je f (x) h. Funkce f je omezená, je-li omezena shora a zároveň zdola. Číslům d (resp. h) se říká dolní (resp. horní) mez množiny M. Extrémy Definice: Číslo f(c) R nazýváme lokální maximum, resp. lokální minimum funkce f v bodě c, existuje-li okolí bodu c takové, že pro všechny body x z tohoto okolí platí f(x) f(c), resp. f(x) f(c). Definice: Nechť c M. Číslo f(c) nazýváme globální maximum, resp. globální minimum, funkce f na množině M, jestliže pro všechna x M platí f(x) f(c), resp. f(x) f(c). Limita funkce Definice: Nechť bod a je hromadný bod definičního oboru funkce f. Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu b R, jestliže ke každému kladnému číslu ε existuje kladné číslo δ tak, že pro všechna x D(f), pro která je 0 < x - a < δ platí, f(x) - b < ε; píšeme lim x a f(x) = b. Derivace funkce Definice: Nechť funkce f je definována na intervalu (a,b), nechť x 0 (a,b). Funkce f(x) má v bodě x 0 derivaci, existuje-li v bodě x 0 limita lim f(x) - f(x 0 ) x x 0 x x 0. Tuto limitu nazýváme derivace funkce f v bodě x 0 a značíme ji f (x 0 ). 15

16 Definice: Má-li funkce f derivaci v každém bodě x nějaké množiny M, říkáme, že má funkce f derivaci na množině M. Značíme ji f (x). Parciální derivace Definice: Nechť f je funkce dvou proměnných definovaná na množině D(f) R 2 a nechť bod (x 0, y 0 ) je vnitřním bodem D(f). Dosadíme-li za y pevnou hodnotu y 0, dostaneme funkci jedné proměnné g 1 (x) = f(x, y 0 ). Má-li funkce g 1 derivaci v bodě x 0, tzn. existuje-li limita g 1 (x) g 1 (x 0 ) f (x, y 0 ) - f(x 0, y 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 říkáme, že funkce f má v bodě (x 0, y 0 ) parciální derivaci podle proměnné x a značíme ji δf(x 0, y 0 ) δx. Dosadíme-li za x pevnou hodnotu x 0, dostaneme funkci jedné proměnné g 2 (y) = f(x 0, y). Má-li funkce g 2 derivaci v bodě y 0, tzn. existuje-li limita g 2 (y) g 2 (y 0 ) f (x 0, y) - f(x 0, y 0 ) lim = lim y y 0 y y 0 y y 0 y y 0 říkáme, že funkce f má v bodě (x 0, y 0 ) parciální derivaci podle proměnné y a značíme ji δf(x 0, y 0 ) δy. Spojitost Definice: Říkáme, že funkce f je spojitá v bodě x 0, právě když je v bodě x 0 definována, existuje lim x x 0 f(x) a platí lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). 16

17 Konvexní a konkávní funkce Definice: Řekneme, že funkce f je konvexní, resp. konkávní na intervalu (a,b), právě když pro každé tři body x 1, x, x 2 (a,b), kde x 1 < x < x 2, platí k(x 1, x) < k(x, x 2 ) resp. k(x 1, x) > k(x, x 2 ). Poznámka: Označení k(u,v) = f(v) f(u) v u Nechť funkce f je má na intervalu (a,b) derivaci f. Pak funkce f je na (a,b) konvexní resp. konkávní, právě když je f na (a,b) rostoucí, resp. klesající. Inflexní bod Nechť funkce f má v bodě x 0 derivaci. Mění-li se v bodě x 0 funkce f z konkávní na konvexní nebo naopak, nazýváme tento bod inflexní bod. Graf funkce Názornou představu o tom jaký je průběh funkce, poskytuje její graf. Grafy jsou konstruovány v rovině R 2, v tzv. kartézské soustavě souřadnic. V rovině je grafem funkce f v kartézské soustavě souřadnic množina všech bodů X se souřadnicemi [x,f(x)], kde x patří do definičního oboru funkce f. Kartézská soustava souřadnic Soustavou souřadnic rozumíme dvě na sebe kolmé přímky. První osa je přímka vodorovná, značíme ji osa x. Druhá osa je osa značená y a je to přímka svislá. Obě osy rýsujeme vždy tak, aby měly společný průsečík. Průsečík os nazýváme počátek a obvykle jej značíme 0. Průsečík 0 rozděluje osy na dvě polopřímky, z nichž napravo od průsečíku je osa kladných čísel a na levé straně od průsečíku je osa záporných čísel. Polopřímky nazýváme kladná polopřímka a záporná polopřímka. 17

18 Obr. 1 Kartézská soustava souřadnic II. kvadrant + I. kvadrant III. kvadrant 90 + IV. kvadrant zdroj: vlastní Konstrukce grafu Vyšetřujeme funkci f. Zvolíme si pár bodů, na nichž je funkce definována. Pro zvolené hodnoty x z daného definičního oboru vypočteme funkční hodnoty. Jak hodnoty x, tak hodnoty f(x) zapíšeme do tabulky. V kartézské soustavě souřadnic vedeme bodem x na ose x rovnoběžku s osou y a bodem f(x) na ose y rovnoběžku s osou x. Průsečík takto zkonstruovaných rovnoběžek je bodem grafu funkce f. Opakováním této konstrukce několikrát pro různé hodnoty x, dostaneme postupně další body našeho grafu. Proběhne-li x celým definičním oborem dané funkce, proběhne bod X = [x,f(x)] křivkou, kterou nazýváme grafem funkce f. Ekonomie a matematika Používání matematiky v ekonomii má své výhody i nevýhody. Mezi výhody patří skutečnost, že matematika je srozumitelná lidem hovořícím různým národním jazykem; její jazyk je přesnější než verbální vyjádření. Formalizujeme-li určitý ekonomický problém, může matematika umožnit tento problém lépe řešit. Nevýhodou matematiky v ekonomii je nebezpečí převážení matematického pohledu nad ekonomickým. Proto je třeba vždy mít na paměti, že matematika má v ekonomii pouze pomocnou úlohu. Protože je však přesným a kompaktním vyjadřovacím prostředkem, neobejde se ekonomie bez jejího používání HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s

19 2 Matematické funkce a jejich grafy V této kapitole si rozebereme základní vlastnosti jednotlivých funkcí. Uvádíme zde jen ty druhy funkcí, které se budou vyskytovat v následující kapitole (kapitole 3.). 2.1 Konstantní funkce Konstantní funkce je dána předpisem y = b, kde b R. Definiční obor jsou všechna reálná čísla a obor hodnot je jednoprvková množina {b}. Tedy každému reálnému číslu x je možno přiřadit vždycky pouze totéž číslo b. Je to funkce současně nerostoucí i neklesající, je sudá a není prostá. Funkce je omezená shora i zdola. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x. Vzdálenost přímky od osy x je rovna číslu b. Obr. 2 Graf konstantní funkce y b y = b x zdroj: vlastní 2.2 Lineární funkce Definice: Každá funkce f na množině R, která je dána předpisem y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla a a 0, se nazývá lineární funkce. Definiční obor i obor hodnot je množina reálných čísel R. Funkce je rostoucí pokud a > 0 a klesající pokud a< 0. Není ani shora ani zdola omezená. Není ani sudá ani lichá, pokud b 0. Lineární funkce je prostá. Grafem lineární funkce je přímka. Číslo a = tgα je směrnicí přímky, b je úsek přímky na ose y. 19

20 Obr. 3 Graf lineární funkce y y=ax+b a = tgα α b x zdroj: vlastní Speciální případy lineární funkce: Přímá úměrnost Lineární funkce se nazývá přímá úměrnost, jestliže b = 0 a současně a 0. Přímá úměrnost je tedy dána rovnicí y = ax. Definiční obor i obor hodnot je množina reálných čísel R. Funkce je rostoucí pokud a > 0 a klesající pokud a < 0. Není ani shora ani zdola omezená. Funkce přímé úměrnosti je lichá a prostá. Grafem přímé úměrnosti je přímka procházející počátkem. Obr. 4 Graf přímé úměrnosti y y = ax x zdroj: vlastní 20

21 2.3 Kvadratická funkce Definice: Každá funkce f na množině R, která je dána předpisem y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a a 0 se nazývá kvadratická funkce. Grafem kvadratické funkce je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou y. Vrchol paraboly V je určen souřadnicemi [x 0 ;y 0 ], které se vypočítají z rovnic: b b 2 x 0 = - y 0 = c - 2a 4a. V případě, že koeficienty a, b mají stejné znaménko, pak vrchol paraboly leží vlevo od osy y a v případě, že je znaménko těchto koeficientů různé, pak vrchol paraboly leží vpravo od osy y. Pokud je koeficient a < 0 je parabola otevřená dolů, pokud a > 0 je parabola otevřená nahoru. Definiční obor je množina reálných čísel R. Obor hodnot pro a > 0 je y 0 ; ) a pro a< 0 je (- ; y 0. Funkce je vždy na jedné části svého definičního oboru rostoucí a na druhé klesající. Platí tedy, že pro a > 0 je klesající na intervalu (- ; x 0 ) a rostoucí na intervalu (x 0 ; ) a pro a < 0 je klesající na intervalu (x 0 ; ) a rostoucí na intervalu (- ;x 0 ). Kvadratická funkce je omezená y-ovou souřadnicí vrcholu a to buď shora nebo zdola, podle toho zda je parabola otevřená dolů, resp. otevřená nahoru. Kvadratická funkce není lichá a není prostá. Kvadratická funkce je sudá, má-li vrchol V na ose y. Obr. 5 Graf kvadratické funkce a < 0 y y = ax 2 +bx+c a > 0 y y = ax 2 +bx+c V V x x zdroj: vlastní 21

22 2.4 Mocninné funkce Definice: Mocninná funkce s exponentem n je každá funkce f, která je vyjádřena předpisem y = x n, kde x R a n N, n 3. Poznámka: Pro n = 1 dostaneme funkci lineární a pro n = 2 dostaneme funkci kvadratickou. Tyto funkce byly definovány v předchozích podkapitolách. Mocninné funkce dělíme podle toho je-li exponent: přirozené číslo celé záporné číslo převrácená hodnota přirozeného čísla racionální číslo reálné číslo nebudeme. Rozvedeme jen první dva případy, protože ostatní již pro další kapitolu potřebovat Mocninné funkce s přirozeným exponentem Uvažujeme pouze speciální případy této funkce. Funkce je předepsána ve tvaru: y = x n, kde n N. Definičním oborem je množina reálných čísel R. Další vlastnosti se liší podle toho, zda je exponent sudý nebo lichý. Pro n sudé: Obor hodnot je interval 0; ). Funkce je na intervalu (- ;0) klesající a na intervalu (0; ) je rostoucí, je zdola omezená, je sudá a není prostá. 22

23 Grafem funkce je parabola n-tého řádu s vrcholem v počátku, souměrná podle osy y a otevřená směrem nahoru. S rostoucím n je parabola více uzavřená k ose y. Graf leží v I. a II. kvadrantu. Pro n liché: Obor hodnot je množina reálných čísel R. Funkce je rostoucí na celém definičním oboru. Funkce je prostá, je lichá a není omezená. Grafem funkce je parabola n-tého řádu středově souměrná podle počátku. Graf leží v I. a III. kvadrantu. Obr. 6 Graf mocninné funkce s přirozeným exponentem Pro n sudé y y = x 2 y = x 4 Pro n liché y y = x 3 y = x 5 x x zdroj: vlastní Mocninné funkce s celým záporným exponentem Při práci s mocninnými funkcemi s celým záporným exponentem, musíme nejprve uvést pravidla o počítání s mocninami se záporným exponentem. Nechť x R {0} a m, n jsou přirozená čísla, kde m n, pak platí: x n = 1 x m, x n x n = x m - n. Mocninná funkce s celým záporným exponentem je předepsána ve tvaru: y = x n, kde n N. 23

24 Definiční obor je množina reálných čísel R {0}. Další vlastnosti se liší dle sudého a lichého exponentu. Pro n sudé: Obor hodnot je interval (0; ). Funkce je na intervalu (- ;0) rostoucí a na intervalu (0; ) je klesající. Je zdola omezená. Funkce je sudá a není prostá. Grafem funkce je hyperbola, jejíž větve jsou souměrné podle osy y. Graf leží v I. a II. kvadrantu. Pro n liché: Obor hodnot je sjednocení intervalů (- ;0) (0; ). Funkce je klesající na intervalech (- ;0) a (0; ), je prostá, je lichá a není omezená. Grafem funkce je hyperbola, jejíž větve jsou souměrné podle počátku. Graf leží v I. a III. kvadrantu. Obr. 7 Graf mocninné funkce s celým nezáporným exponentem Pro n sudé y y = x -2 Pro n liché y y = x -3 x x zdroj: vlastní 2.5 Funkce s absolutní hodnotou Definice: Absolutní hodnota reálného čísla a, kterou značíme a, je dána přepisem a = a pro a 0 - a pro a < 0. 24

25 Absolutní hodnota je vždy nezáporné číslo. Z geometrického hlediska a udává vzdálenost čísla a od počátku číselné osy. Při konstrukci grafu funkce f(x) nejprve načrtneme graf funkce f(x) a ty části grafu funkce f(x), které se nachází pod osou x překlopíme nad osu x. Obr. 8 Graf lineární funkce s absolutní hodnotou Obr. 9 Graf kvadratické funkce s absolutní hodnotou y f(x) y f(x) f(x) x x f(x) zdroj: vlastní Definičním oborem lineární a kvadratické funkce s absolutní hodnotou je množina reálných čísel R. Obor hodnot je interval 0; ). Funkce jsou zdola omezené číslem 0. Nejsou liché a sudé jsou pouze pokud jsou osově souměrné podle osy y. 25

26 3 Aplikace matematických grafů v ekonomii Zkoumání mikroekonomie stojí na hledání rovnováhy na trhu. Jde o analýzu poptávky a nabídky se závislostí na tržní ceně. V této kapitole se zaměříme na formování nabídky a poptávky. 3.1 Chování spotřebitele užitek a indiferenční křivky Jednotlivec řeší problém kolik statků má nakoupit, aby uspokojil svoje potřeby. V rozhodování bývá omezen příjmem (důchodem). Otázkou tedy je, jak mezi jednotlivé statky rozdělit důchod tak, aby maximalizoval uspokojení svých potřeb. V ekonomické teorii míru uspokojení potřeb měříme pomocí kategorie užitek. Užitek plyne z toho jaké statky spotřebitel preferuje. Užitkem myslíme subjektivní pocit jedince plynoucí ze spotřeby preferovaných statků. Je to tedy analýza toho, jak rozdělit své omezené zdroje mezi jednotlivé statky, abychom dostali maximální užitek. 15 sobě. Zboží musí být užitečné pro nějakého spotřebitele není užitečné jen samo o Spotřebitel vybírá ze souborů statků, z tzv. spotřebních košů. Rozhoduje přitom, který koš mu přinese maximální užitek. Spotřebitel koše porovnává z hlediska preferencí. 16 Uvedeme na příkladě: Mějme například. tyto čtyři spotřební koše: 17 spotřební koš K1: 2 párky a 1 zmrzlina spotřební koš K2: 1 párek a 1 zmrzlina spotřební koš K3: 2 párky a 2 zmrzliny spotřební koš K4: 1 párek a 2 zmrzliny 15 srov. MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s srov. Tamtéž, s

27 Pan Uličný by podle své preference seřadil spotřební koše takto: K3 > K4 = K1 > K2. Znaménko > značí, že koš číslo K3 je pro spotřebitele preferovanější než koš číslo K4 a koš číslo K1 je spotřebitelem preferovanější než koš číslo K2. Koše číslo K4 a K1 jsou pro spotřebitele stejně atraktivní Měření užitku Užitek je veličina ukazující směr preferencí, pokud spotřebitel nalezne nejvíce preferovanou situaci, maximalizuje užitek. Z preferencí tedy můžeme odvodit funkci užitku. Stačí, když více preferovanému spotřebnímu koši přiřadíme vyšší užitek. 18 V našem příkladě by stejný užitek měly koše K1 a K4, a tento užitek musí být vyšší než u K2, ale nižší než u K3. V současné ekonomické teorii existují dva základní přístupy k rovnováze spotřebitele. Rozeznáváme je podle přístupu k měřitelnosti užitku. Kardinalistická verze přepokládá měřitelnost užitku a ordinalistická verze uvažuje případ, kdy užitek není měřitelný. Kardinalistická verze Tato verze považuje užitek za měřitelný. V tomto případě známe konkrétní hodnoty užitku. Celkový užitek (TU) vyjadřuje celkové uspokojení potřeb při spotřebě daného množství statku. Mezní užitek (MU) vyjadřuje změnu celkového užitku vyvolanou změnou spotřebovaného množství statku o jednotku HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s Tamtéž, s

28 Poznámka: Pokud předpokládáme spotřebu jednoho statku, je funkce mezního užitku první derivací funkce celkového užitku. Pokud je celkový užitek rostoucí, je mezní užitek kladný. Protože je však celkový užitek rostoucí v klesající míře, mezní užitek je klesající. 20 Pokud je užitek měřitelný, je možno sestrojit přímo křivku celkového a mezního užitku. Geometricky je mezní užitek směrnice křivky celkového užitku v daném bodě. 21 Obr. 9 Celkový a mezní užitek TU A X MU A X zdroj: Mikroekonomie, Hořejší, Soukupová, Macáková, Soukup 22 Celkový užitek roste s růstem spotřebovávaného množství statku, ale přírůstky užitku se zpomalují; mezní užitek je tedy klesající. Předpoklad zpomalujících se přírůstků celkového užitku je natolik významný, že hovoříme o zákonu klesajícího 20 HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s Tamtéž, s srov. Tamtéž, s

29 mezního užitku. Dále vidíme, že od určitého spotřebovaného množství statku může být jeho celkový užitek klesající a mezní užitek záporný. Bod, ve kterém dojde k tomuto zvratu, se nazývá bodem nasycení (bod A). Zda tento bod existuje a při jakém množství tohoto bodu spotřebitel dosáhne, závisí na preferencích spotřebitele a také na charakteru statku. 23 Celkový užitek je závislý na množství všech statků. Užitek je, za jinak nezměněných podmínek, funkcí množství spotřebovávaných statků: U = f (X 1,X 2,,X n ), kde X 1,X 2,,X n jsou množství jednotlivých statků. Poznámka: Pro jednoduchost budeme v dalším textu předpokládat, že jednotlivec spotřebovává pouze dva statky X, Y, a užitek je funkcí pouze dvou statků. U = f (X,Y) V našem případě se zmrzlinou a párky může mít funkce užitku například tvar U = X 2Y nebo U = X 2 Y 2, kde X a Y je množství statků. Mezní užitky MU X a MU Y jsou parciální derivací funkce užitku. 24 MU X = δu δx a MU Y = δu δy Ordinalistická verze Podle této verze užitek není měřitelný. Spotřebitel je jen schopen seřadit spotřební kombinaci podle toho, jak je preferuje, ale ne jak velký je jejich užitek. Je možno určit, zda celkový užitek s růstem množství spotřebovávaného statku roste a mezní užitek je tedy kladný, nebo zda celkový užitek klesá a mezní užitek je záporný. 23 srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s srov. Tamtéž, s

30 Užitečnost v této teorii není závislá na množství. Spotřebitel porovnává pouze kombinace statků, nedokáže tedy posoudit užitečnost jednoho výrobku jako takového. Posuzuje pouze v závislosti na jiném statku. Spotřebitel dokáže říci, že preferuje určitou kombinaci zmrzliny a párků před jinou kombinací zmrzliny a párků. Neříká však, že preferuje určité množství zmrzliny před určitým množstvím párků nebo naopak. Spotřebitel dokáže jen seřadit různé kombinace statků podle preferencí. 25 Indiferenční křivka Mějme různé kombinace dvou statků. Spotřebitel si určí, které kombinace preferuje před jinými a kombinace se stejnými preferencemi se spojí. Vzniknou tzv. indiferenční křivky. Protože úroveň užitku není podstatná, můžeme indiferenční křivky přenést do dvojrozměrného grafu, neboli budeme znázorňovat pouze kombinace množství statků X a Y. Indiferenční křivky vypadají jako vrstevnice uspokojení. 26 Příklad: Spotřebitel se rozhoduje mezi kombinacemi F (10 párků a 4 zmrzliny), G (2 párky a 12 zmrzliny) a H (6 párků a 10 zmrzliny). Spotřebitel nepreferuje kombinaci F před kombinací G to znamená, že tyto dvě kombinace budou ležet na stejné indiferenční křivce. Kombinace H je pro spotřebitele uspokojující více než kombinace statků F, tudíž kombinace H je preferovanější i než kombinace G. Kombinace H tedy leží na indiferenční křivce vyššího stupně. 25 srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s srov. Tamtéž, s

31 Obr. 10 Indiferenční křivky Y C D E F H G E D C X zdroj: Macáková L., a kol., Mikroekonomie (základní kurs) 27 V tomto případě není možné zakreslit přímo křivku celkového užitku, ale je možno spojit body znázorňující kombinace se stejným užitkem. Jde vlastně o body stejně vzdálené od základny. Tak jsme získali křivky CC, DD a EE. 28 Všechny kombinace křivky DD jsou stejně užitečné. Současně jsou kombinace na křivce DD více užitečné než kombinace na křivce CC a méně užitečné než kombinace na křivce EE. Křivky znázorňující kombinace se stejným užitkem, nazýváme indiferenční křivky. Indiferenční křivka je tedy množina kombinací statku X a Y se stejným celkovým užitkem. Vlastnosti indiferenčních křivek: 1) indiferenční křivky jsou klesající, 2) indiferenční křivky se neprotínají, 3) v každém bodě grafu znázorňujícího spotřební situace se nachází indiferenční křivka, 4) indiferenční křivky jsou konvexní vzhledem k počátku, 5) čím vzdálenější je křivka od počátku, tím jsou kombinace statků pro spotřebitele preferovanější srov. MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s srov. Tamtéž, s

32 3.1.2 Linie příjmu Při rozhodování o koupi statků je spotřebitel omezen svým příjmem a cenami statků. Pořád předpokládáme jen dva statky a dále, že spotřebitel vynakládá celý svůj důchod pouze na tyto dva statky X a Y. Potom pro rovnici příjmu platí: I = P X Q X + P Y Q Y, kde I je důchod spotřebitele, P X je cena statku X a P Y je cena statku Y, Q X a Q Y jsou počty statků. 30 Příklad: Předpokládejme, že pan Uličný má důchod 6500 Kč, cena másla je 26 Kč a cena oleje je 50 Kč. Vypočítejme X, Y (body, ve kterých spotřebitel vynaloží celý svůj důchod na jeden nebo druhý výrobek). I = P X Q X + P Y Q Y 6500 = 26 X + 50 Y X = 6500/26-50/26 Y Y = 6500/50-26/50 X X = 250-1,923 Y Y = 130 0,52 X Spotřebitel vynaloží celý svůj důchod na 250 výrobků másla nebo 130 výrobků oleje. 130 Y Obr. 11 Linie příjmů zdroj: vlastní 250 Graficky je rovnice I = P X Q X + P Y Q Y, znázorněna přímkou, kterou nazýváme linie příjmu. 30 srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s

33 Plocha pod přímkou znázorňuje všechny dostupné kombinace. Průsečík s osou x představuje situaci, kdy spotřebitel vynaloží celý svůj důchod na nákup statku X a průsečík s osou y představuje situaci, kdy spotřebitel vynaloží celý svůj důchod na nákup statku Y Rovnováha spotřebitele Kardinalistická verze: Spotřebitel volí optimální kombinaci statků v závislosti na jeho preferencích a v závislosti na tržní ceně statku a důchodu. 32 Optimální množství spotřebitel nakoupí, pokud se mezní užitek rovná ceně (MU = P). A dále optimální kombinace dvou statků je taková, když platí: MU X P X = MU Y P Y. Optimální kombinace je taková, při níž spotřebitel, v rámci svého rozpočtu, nakoupí při úbytku jednoho množství zboží větší množství jiného zboží. Podmínkou rovnováhy spotřebitele je rovnost mezních užitků všech spotřebovávaných zboží ve vztahu k jejich cenám. Spotřebitel porovnává, jaký užitek mu přinesou vynaložené peněžní prostředky na nákup jednotlivých statků. Racionálně jednající spotřebitel tedy zvyšuje objem nákupu určitého zboží až do bodu, kdy se mezní užitek poslední peněžní jednotky vynaložené na jeho nákup, rovná meznímu užitku poslední peněžní jednotky vynaložené na nákup všech ostatních statků. Přitom platí, že mezní užitek každého statku se rovná meznímu užitku poslední jednotky peněz vynaložené na jeho nákup HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s Tamtéž, s srov. MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s

34 Příklad: Pan Uličný chodí do kina (M) za 90 Kč, v kině si kupuje Kofolu 0,5l (K) za 30 Kč. Pan Uličný má na týden 1080 Kč a vyhodnotil funkci užitku jako U = K 2 M. Jaké jsou hodnoty mezních užitků? MU k = δ (K 2 M) δ (K 2 M) = 2KM MU M = δ K δ M = K 2 I = P X Q X + P Y Q Y 1080 = 30 K + 90 M Optimum: MU K P K = MU M P M 2KM K 2 = KM = 30K 2 K = 6M Do rovnice 1080 = 30K + 90M za K dosadíme 6M a dostaneme 1080 = 180 M + 90M 1080 = 270 M, odtud M = 4. Toto M dosadíme do K = 6M, odtud tedy K = 24. Hodnotu mezních užitků zjistíme po dosazení K a M do MU K a MU M. Tedy MU K = 2KM = = 192 MU M = K 2 = 24 2 = 576 Mezní užitek z Kofoly je 192 a z kina 576. Ordinalistická verze Propojení linie příjmů a indiferenčních křivek vyjadřuje rovnováhu spotřebitele v ordinalistické verzi. Rovnováha spotřebitele je určena při určitých cenách statků a daném důchodu. 34

35 Obr. 12 Rovnováha spotřebitele Y A E B E C D3 D2 D1 X zdroj: Macáková L., a kol., Mikroekonomie (základní kurs) 34 V bodě E se nachází rovnováha spotřebitele. Je to bod, ve kterém se linie příjmů dotýká indiferenční křivky. Indiferenční křivky, které se nedotýkají linie příjmů, jsou pro spotřebitele lákavější, ale jsou mu z hlediska rozpočtu nedostupné a indiferenční křivky, které protínají linii příjmů, jsou kombinace statků při nichž by spotřebitel nevyužil celý svůj důchod. 35 Příklad: Indiferenční křivky odráží rozložení spotřebitele mezi dvěma statky. Spotřebitel je omezen cenami statků a důchodem. Úkolem je najít bod dotyku linie příjmu a indiferenční křivky. Linie příjmů AB vynese spotřebitele na indiferenční křivku D1. Sníží-li se cena výrobku X a ostatní podmínky zůstanou. Spotřebitel tak poptává větší množství výrobku X a tím se změní linie spotřebitele na přímku AC, která spotřebitele dostane do bodu E. Posune tak spotřebitele z indiferenční křivky D1 na křivku D2, tedy na křivku s vyšším užitkem. 3.2 Chování firmy Tak jako u spotřebitele jsme zjišťovali maximální užitek, tak u chování firmy zjišťujeme, kdy firma dosahuje maximálního zisku. Hlavní činností firmy je výroba, tedy proměna vstupů na výstupy a s tímto následně spojená minimalizace nákladů. 34 srov. MACÁKOVÁ L., a KOL:, Mikroekonomie (základní kurs), s srov. Tamtéž, s

36 Modelem pro zachycení optimálního a co nejjednoduššího vztahu vstupů a výstupů je produkční funkce. Produkční funkci charakterizujeme jako vztah mezi množstvím vstupů, které byly použity ve výrobě v daném období, a maximálním objemem výstupu, které vstupy svým fungováním v daném období vytvořily. 36 Předpokládáme opět zjednodušení. Firma vyrábí pouze jeden statek, na jehož výrobu potřebuje pouze dva vstupy kapitál a lidské zdroje. Ceny se s kupovaným množstvím nemění. Pro firmy je důležitá časová doba, za kterou firmu analyzujeme. Je tedy třeba rozlišit krátké a dlouhé období Produkční funkce výroby v krátkém období Při analyzování výroby v krátkém období vycházíme z předpokladu, že používané množství kapitálu je konstantní a mění se objem použité práce a velikost výstupu. Produkční funkce výroby má tedy vztah: Q = f (K 1, L), kde K 1 je konstantní kapitál a L je práce. 37 Pojmy které chceme analyzovat jsou celkový, průměrný a mezní produkt. Celkový produkt představuje celkový objem produkce vyrobený určitým množstvím vstupů. (TP = Q). Průměrný produkt je objem produkce připadající na jednotku vstupu. (AP = Q/L) Mezní produkt představuje změnu celkového produktu v důsledku změny vstupu o jednotku za předpokladu konstantního množství ostatních vstupů. (MP = δq/δl) HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s Tamtéž, s srov. Tamtéž, s

37 TP Obr. 13 Celkový, průměrný a mezní produkt C B A A L MP AP B C L zdroj: Mikroekonomie, Hořejší, Soukupová, Macáková, Soukup 39 Typická produkční funkce je nejdříve s rostoucími a od jistého bodu A klesajícími výnosy z variabilního vstupu. Teoreticky i v realitě mohou existovat i jiné produkční funkce. Podle Soukupové a kol. jsou výnosy z variabilního vstupu tyto 40 : 1. Rostoucí výnosy z variabilního vstupu. Znamená situaci, kdy je každá další jednotka práce efektivnější než předcházející jednotka. To se projevuje v tom, že výstup roste rychleji než variabilní vstup, což lze formálně vyjádřit jako Q = a + bl + cl 2 kde Q je objem vstupu, L je variabilní vstup práce, a, b, c jsou konstanty. 39 srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s srov. Tamtéž, s

38 Za předpokladu, že výstup nemůže vzniknout, aniž by bylo zapojeno minimální množství jednotek L a že a = 0, potom dostaneme upravenou produkční funkci Q = bl + cl 2. Průměrný produkt práce je potom AP = Q bl + cl 2 = L L = b + cl. Mezní produkt práce lze vyjádřit MP = δq δl = b + 2cL. Růst MP je dvakrát větší než růst AP. Rostoucí MP vytahuje i AP. Tento případ se nevyskytuje v realitě často a pokud nastane, tak je to zpravidla při malém počtu jednotek variabilního výstupu. Obr. 14 Rostoucí výnosy z variabilního vstupu Q Q = bl + cl 2 MP L AP L MP L = b + 2cL AP L = b + cl L L zdroj: Mikroekonomie, Hořejší, Soukupová, Macáková, Soukup srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s

39 2. Klesající výnosy z variabilního vstupu. Zaznamenává situace, kdy výstup v důsledku dodatečného zapojování práce sice roste, ale pomalejším tempem než variabilní vstup. Situaci vyjadřujeme rovnicí: Q = a + bl cl 2. Jestliže a = 0, potom dostaneme upravenou produkční funkci Q = bl cl 2. Průměrný produkt práce je potom AP = Q bl cl 2 = L L = b cl. Mezní produkt práce lze vyjádřit MP = δq δl = b - 2cL. MP klesá dvakrát rychleji než AP. Pokles MP stahuje i AP. Obr. 15 Klesající výnosy z variabilního vstupu Q Q = bl - cl 2 MP L AP L AP L = b - cl L MP L = b - 2cL L zdroj: Mikroekonomie, Hořejší, Soukupová, Macáková, Soukup srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s

40 3. Další alternativou jsou konstantní výnosy z variabilního vstupu, znamenající to, že s růstem variabilního vstupu roste výstup konstantním tempem. Takovou produkční funkci lze vyjádřit: Q = a + bl jestliže je a = 0 dostáváme Q = bl. Průměrný produkt je AP = Q δq L = b a mezní produkt je MP = δl = b. Každá další dodatečná jednotka L přispívá k růstu výstupu stejně jako každá předchozí jednotka L, všechny jednotky L jsou tedy stejně produktivní, tzn. že mezní produkt i průměrný produkt práce jsou konstantní a stejně velké. Obr. 16 Konstantní výnosy z variabilního vstupu Q Q = bl MP L AP L MP L = AP L = b L L zdroj: Mikroekonomie, Hořejší, Soukupová, Macáková, Soukup Většina analýz však předpokládá, že se ve výrobním procesu nejprve, při relativně malém zapojení variabilního vstupu, prosazuje rostoucí mezní produktivita tohoto vstupu. Při zapojení většího počtu jednotek variabilního vstupu práce se však fixní zásoba kapitálu stává brzdou dalšího zvyšování mezní produktivity práce. Výnosy v podobě mezního produktu práce klesají. Produkční funkci vyjadřující takovýto charakter výroby bychom mohli vyjádřit jako Q = a + bl + cl 2 dl srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s

41 Je-li a = 0 je Q = bl + cl 2 dl 3. Průměrný produkt práce je potom AP = Q bl + cl 2 dl 3 = L L = b + cl dl 2. Mezní produkt práce lze vyjádřit MP = δq δl = b + 2cL 3dL 2. Uvedeme příklad na poslední případ výnosů z variabilního vstupu. Příklady na předchozí případy by vypadaly obdobně. Příklad: Předpokládejme produkční funkci Q = 36KL + 6KL 2 KL 3. Jestliže jednotka kapitálu K je fixní na úrovni 2 jednotek, jaký je MP a AP? (TP = Q) Q = 72L + 12L 2 2L 3 AP = Q L = L 2L 2 δq MP = δl = L 6L 2 Kdybychom dosadili za jednotku práce L např. L = 4, dostali bychom průměrný produkt výroby na čtyři pracovníky. Při jakém objemu variabilního faktoru firma dosahuje maximálního celkového produktu a jaká je jeho výše? Hledáme extrém (tedy 1. derivaci TP položíme rovnu 0) TP = 72L + 12L 2 + 2L 3 ; 1. derivace: L 6L 2 = 0 Nejprve vydělíme 6, dostaneme rovnici L L 2 = 0-4 ± (4 2 4 ( 1) 12) 4 ± 8 L 1 = 2 L 1,2 = = 2 ( 1) 2 L 2 = 6 41

42 Záporné číslo nemůže být ekonomickým řešením. Řešením je L = 6 a výše produkce je Q = = 432. Dále při jakém objemu variabilního faktoru a při jaké výši produkce začne působit zákon klesajících mezních výnosů? V tomto případě hledáme inflexní bod, ve kterém se křivka TP začne měnit z konvexní na konkávní. V grafu (viz obr. 13) je značen jako bod A. Konvexní křivka značí, že produkt roste rychleji než vstupy a konkávní značí, že produkt roste pomaleji než vstupy. Pro tento výpočet položíme 1. derivaci průměrného produktu rovnu 0. MP = L 6L 2 MP = 24 12L 24 12L = 0 L = 2 Výše produkce v tomto bodě je Q = = Produkční funkce výroby v dlouhém období 44 Izokvanta V dlouhém období uvažujeme produkční funkci se dvěma proměnlivými vstupy, kapitálu a práce. 45 Q = f (K,L) Ke grafickému znázornění používáme tzv. izokvantové mapy. Izokvanta je křivka, která znázorňuje různé kombinace dvou vstupů, které vedou ke stejnému objemu produkce. Izokvanta je graficky znázorněna v prostoru. Avšak stejně jako indiferenční křivky je můžeme znázornit v dvojrozměrném prostoru. 44 srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s

43 Vlastnosti izokvanty: 1) čím dál je izokvanta od počátku tím vyšší je objem produkce, 2) izokvanty se neprotínají, 3) izokvanty jsou klesající a konvexní k počátku. K Obr. 17 Izokvanta K 2 A C Q 3 K 1 B Q 2 Q 1 L 1 L 2 L zdroj: vlastní Izokosta 46 Izokosta je linie stejných celkových nákladů. Udává různé kombinace vstupů (K, L), které může firma koupit při daných celkových nákladech. Rovnice vyjadřující izokostu je: TC = wl + rk, kde TC jsou celkové náklady, w je cena jednotky práce, r je cena jednotky kapitálu, L je objem použité práce, K je objem použitého kapitálu. Graficky je tato rovnice znázorněna přímkou, kterou nazýváme izokosta. Izokosta je analogický případ linie příjmů z analýzy spotřebitele. 46 srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s

44 Obr. 18 Izokosta K zdroj: Mikroekonomie, Hořejší, Soukupová, Macáková, Soukup 47 TC 0 TC 1 TC 2 L Nákladové optimum 48 Nákladové optimum leží v bodě dotyku izokosty a izokvanty. Může být představeno: 1) takovou optimální kombinací vstupů, při které firma minimalizuje své náklady spojené s výrobou daného výstupu nebo 2) optimální kombinací vstupů, které firmě umožňuje vyrábět s danými náklady maximální výstup. Obr. 19 Nákladové optimum K a) K b) E E L L zdroj: Mikroekonomie, Hořejší, Soukupová, Macáková, Soukup srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s srov. Tamtéž, s srov. Tamtéž, s

45 Výnosy z rozsahu 50 Vyjadřují vztah mezi proporcionální změnou vstupu a jeho vyvolanou změnou výstupu. Předpokládáme tedy produkční funkci Q = f(k, L) a oba vstupy vynásobíme stejnou kladnou konstantou t, t > 1. Podle Soukupové a kol. mohou nastat tři situace: Růst objemu každého ze vstupů o t-procent způsobí růst výstupu rovněž o t-procent. V tomto případě platí: f(tk, tl) = tf(k, L) = tq. Tyto výnosy z rozsahu se nazývají konstantní výnosy z rozsahu. Projevují se tím, že vzdálenosti mezi izokvantami se nemění. 2. Zvýšení objemu každého z používaných vstupů o t-procent povede ke zvýšení výstupu o více než t-procent. Tedy f(tk, tl) > tf(k, L) = tq. V tomto případě hovoříme o rostoucích výnosech z rozsahu, izokvanty se vzájemně k sobě přibližují. 3. V důsledku růstu každého ze vstupů o t-procent dojde k růstu výstupu o méně než t-procent. Tedy platí f(tk, tl) < tf(k, L) = tq. V takovém případě hovoříme o klesajících výnosech z rozsahu, izokvanty se od sebe navzájem vzdalují. 50 srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s srov. Tamtéž, s

46 Obr. 20 Výnosy z rozsahu a vzdálenosti mezi izokvantami K K K L L L zdroj: Mikroekonomie, Hořejší, Soukupová, Macáková, Soukup 52 Náklady firmy 53 Při analýze nákladů vycházíme ze zjednodušení: firma vyrábí jen jeden statek X a při výrobě používá pouze dva vstupy, jejich ceny se s množstvím kupovaného zboží nemění. Podstatným zjednodušením je předpoklad zcela homogenní práce a zcela homogenního kapitálu. 54 Cenou práce myslíme mzdovou sazbu a cenou kapitálu je nájemné odpovídající částce za jednotku strojového času. Nákladovou funkci můžeme vyjádřit jako funkci tří proměnných Q, w, r TC = f (Q, w, r). Nákladová funkce vyjadřuje minimální náklady firmy při výrobě různých velkostí výstupu a při použití různých kombinací práce a kapitálu. 55 dlouhého. Analýzu nákladů ve firmě musíme znova rozdělit do období krátkého a období 52 srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s srov. Tamtéž, s Tamtéž, s Tamtéž, s

47 Náklady v krátkém období 56 V krátkodobém období je situace jednoduchá. Množství vstupů potřebných při výrobě jednotlivého objemu produkce se vynásobí cenou za jednotku vstupu, tak získáme náklady na jednotku vstupu. K nim se přičtou náklady na ostatní vstupy, tyto vstupy jsou konstantní. Získali jsme celkové náklady. TC = VC + FC VC (variabilní náklady) jsou takové náklady, které rostou s množstvím objemu výroby. FC (fixní náklady) jsou takové náklady, které se s množstvím objemu výroby nemění. Firma je sice hradí, ale objem výroby je nulový. 57 V grafickém znázornění mají fixní náklady tvar přímky rovnoběžné s osou x. Průběh křivky variabilního nákladu v sobě odráží výnosy z variabilního vstupu. Obr. 21 Celkové náklady v krátkém období Kč TC VC FC Q zdroj: Mikroekonomie, Hořejší, Soukupová, Macáková, Soukup 58 Tvar křivky TC je takový, protože výnosy z variabilního vstupu jsou nejprve rostoucí a pak klesající. Dalšími druhy nákladů jsou průměrné a mezní náklady. Průměrné náklady získáme, vydělíme-li celkové náklady velikostí objemu výroby. 56 srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s MACÁKOVÁ, L., a KOL., Mikroekonomie (základní kurs), s srov. HOŘEJŠÍ, B., SOUKUPOVÁ, J., MACÁKOVÁ, L., SOUKUP, J., Mikroekonomie, s