Funkce. y = x + 4 [x; x + 4] Vynásob číslo 2 x 2 * x
|
|
- Andrea Bláhová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Funkce Definice funkce: Funkce je zobrazení z množiny A reálných čísel do množiny B reálných čísel a to takové, že každému prvku z množiny A je přiřazen právě jeden prvek z množiny B. Toto zobrazení můžeme zapisovat různě: Pravidlo Symbolické zápisy Množina dvojic Přičti číslo x x + y = x + [x; x + ] Vynásob číslo x * x y = * x [x; * x] Urči číslo převrácené x / x y = / x [x; /x] Zápisu y = f(x) říkáme funkční předpis. Proměnná x je nezávisle proměnná z množiny A, množině A říkáme definiční obor funkce (a značíme Df). Proměnná y je závisle proměnná z množiny B (její hodnota závisí na konkrétním čísle x), množině B říkáme obor hodnot funkce (a značíme Hf). Grafické znázornění funkce Kromě předpisu se dá funkce znázornit tabulkou, kde jeden řádek představuje libovolné hodnoty z definičního oboru a druhý řádek vypočítané hodnoty podle funkčního předpisu. Stejně tak se dá funkce znázornit množinou uspořádaných dvojic (první je x-ová hodnota, druhá y-ová hodnota). Kartézská soustava souřadnic Abychom se dorozuměli, používáme takovou soustavu souřadnic, která splňuje několik kritérií:. přímky, kterým říkáme osy, jsou na sebe kolmé vodorovnou označujeme x, svislou y;protínají se v počátku soustavy souřadnic, ten označujeme O. mají stejné měřítko, jednotky stejné délky 3. počátkem je každá osa rozdělena na dvě polopřímky, jedním směrem (doprava nebo nahoru) kladnou, počínaje nulou, druhým směrem (doleva nebo dolů) zápornou, počínaje nulou Vynesení konkrétního bodu odpovídajícího funkci znamená najít jeho obraz na ose x, jeho obraz na ose y a průsečík rovnoběžek s těmito osami procházejícími těmito obrazy. Průsečíky grafu funkce s osami Průsečíky grafu s osami jsou velmi významné body. Všeobecně mají body na ose x y-ovou souřadnici a x-ovou libovolnou X[x; ].Body na ose y x-ovou souřadnici a y-ovou libovolnou Y[; y]. A nyní se na některé funkce podíváme podrobněji.
2 Vlastnosti funkcí Monotónnost průběhu funkcí Funkce je rostoucí, pokud s rostoucím x roste i y. x D f : x x f x f x Funkce je klesající, pokud s rostoucím x roste i y. x D f : x x f x f x Funkce je nerostoucí, pokud s rostoucím x roste i y. x D f : x x f x f x Funkce je neklesající, pokud s rostoucím x roste i y. x D f : x x f x f x Extrémy funkce Extrémem funkce je hodnota, která je menší (nebo větší) než všechny ostatní hodnoty funkce. Funkce má v bodě x min mimimum, pokud x D f :f xf x min Funkce má v bodě x max maximum, pokud x D f :f xf x max Souměrnost funkce Funkce, která je souměrná podle osy y, se nazývá sudá funkce. x D f : x D f f x=f x Funkce, která je souměrná podle počátku soustavy souřadnic, se nazývá lichá funkce. x D f : x D f f x= f x Funkce, funkční hodnoty Podle grafu Funkci poznáme podle toho, že se nikde nestane, že by jednomu x odpovídaly dvě (a více ) hodnoty y. Graf funkce je množina bodů, které mají x-ové souřadnice, y-ové souřadnice. Tyto souřadnice odpovídají dvojicím čísel, které souhlasí s výpočtem pomocí předpisu funkce. Dosadím-li za x, dostanu funkční hodnotu f(x)=y. Dosadím-li za y, dostanu, pro které x vychází taková funkční hodnota. Podle předpisu Mám-li na straně předpisu výraz, který nenabývá jednoznačného výsledku, pak se nemůže jednat o funkci. x je nezávisle proměnná, dosazuji hodnoty z definičního oboru, y je závisle proměnná, její výsledek závisí na předpisu a dosazeném x. Množinu všech y (funkčních hodnot) nazýváme oborem hodnot. Definiční obory a obory hodnot Podle grafu Definiční obor přečteme na ose x (promítnutím bodů grafu na osu x) a obor hodnot na ose y (promítnutím bodů grafu na osu y). Podle předpisu Definiční obor je vlastně množina x, pro které má předpis smysl. Obor hodnot dost často (neznáme-li vlastní funkci a její vlastnosti) nejsme schopni určit. Monotónnost funkce, maxima a minima, omezenost Podle grafu Funkce rostoucí v celém definičním oboru roste, tedy pro zvětšující se x se zvyšuje i hodnota y (funkční hodnota). Pro neklesající funkci platí, že pro některá x vychází funkční hodnota stejná, jinak je ale rostoucí. Funkce klesající v celém definičním oboru klesá, tedy pro zvětšující se x se snižuje hodnota y (funkční hodnota). Pro nerostoucí funkci platí, že pro některá x vychází funkční hodnota stejná, jinak je ale klesající. Maxima, minima a omezenost funkce poznáváme podle osy y a funkčních hodnot funkce má-li funkce maximum, je omezená shora, má-li minimum, je omezená zdola. A obráceně je-li nějak omezená, pak má i maximum nebo minimum.
3 Podle předpisu Znám-li vlastnosti funkce podle předpisu, mohu určit její maxima a minima (má-li je). Obecně zatím žádné nástroje ke zjištění zatím neznáme. Můžeme se pokusit na konkrétním předpisu zjistit pomocí rovnic/nerovnic a jejich úprav. Sudost, lichost Podle grafu Stačí rozpoznat, zda je graf souměrný podle osy y (funkce je sudá) nebo podle počátku soustavy souřadnic (funkce je lichá). Podle předpisu Obecně zatím žádné nástroje ke zjištění zatím neznáme. Můžeme se pokusit na konkrétním předpisu zjistit pomocí rovnic/nerovnic a jejich úprav. Konstantní funkce y=k, kde k je libovolné reálné číslo Definičním oborem této funkce může být celá množina reálných čísel (nebo její libovolná podmnožina), protože ať zvolím x jakékoliv, předpis přiřadí y jedno konkrétní reálné číslo k, které je samo oborem hodnot této funkce. Grafem je přímka, rovnoběžná s osou x, kde y = k (podle funkčního předpisu) Lineární funkce y=a xb, kde a je libovolné reálné číslo kromě nuly (protože pro a= se jedná o konstatní funkci) a b je libovolné reálné číslo Definičním oborem této funkce může být celá množina reálných čísel (nebo její libovolná podmnožina), protože v předpisu mohu zvolit za x jakékoliv číslo a předpis přiřadí y jeho a-násobek zvětšený o číslo b. Oborem hodnot je množina reálných čísel (nebo její podmnožina v závislosti na definičním oboru). Vlastnosti lineárních funkcí Vlastnosti lineárních funkcí, vliv parametrů a a b v předpisu y=a xb se dá nejlépe vyzkoušet na následujícím příkladu: Parametr b má vliv na posun funkce na ose y, jeho hodnota přímo udává průsečík grafu funkce s osou y. Parametr a má vliv na sklon grafu funkce, pro kladné a je y (funkční hodnota) se zvyšujícím se (rostoucím) x také zvyšující se (rostoucí) a pro záporné a je y se zvyšujícím se x zmenšující se (klesající). Závěr: Pro kladné a říkáme, že funkce je rostoucí, a pro záporné a říkáme, že funkce je klesající. Průsečíky grafu lineární funkce s osami Průsečíky grafu s osami jsou velmi významné body. Všeobecně mají body na ose x y-ovou souřadnici a x-ovou libovolnou X[x; ], v předpisu y = a * x + b bude y =, tedy = a* x + b, průsečík s osou x je X[-b/a; ]. Body na ose y x-ovou souřadnici a y-ovou libovolnou Y[; y], v předpisu y = a * x + b bude x =, tedy y = b, průsečík s osou y je Y[; b].
4 Kvadratická funkce Kvadratická funkce je funkce daná předpisem y=a x b xc. Jejím definičním oborem je R, protože za nezávisle proměnnou x mohu dosadit jakékoliv reálné číslo. Její obor hodnot je omezený, protože umocněním x nedostaneme jakékoliv reálné číslo, ale pouze reálné číslo nezáporné k oboru hodnot se proto ještě vrátíme. Její průsečíky s osami jsou body, kdy se x=, tedy y=c nebo kdy se y=, tedy kořeny rovnice a x b xc=. Tato rovnice ale řešení mít nemusí, proto ani průsečíky s osou x nemusí existovat. Závěr: Průsečík s osou y Y [ ;c] ; průsečík s osou x, existuje-li, je X [ x ;] ; X [x ;]. Podívejme se na graf základní funkce y=x, případně co s ním dělají parametry a, b,c. x y Z grafu je vidět, že funkce y=x je pro záporné x klesající a po kladné x rostoucí, pro x= má ze všech hodnot y tu nejmenší hodnotu, tedy minimum a směrem nahoru je otevřená. Změny grafu podle y= p x Kdybychom všechny hodnoty y=x vynásobili kladným číslem ( y= p x, p ), zvětší se hodnoty p-krát. Kdybychom všechny hodnoty y=x vynásobili záporným číslem ( y= p x, p ), zvětší se hodnoty p- krát, ale na opačnou stranu osy y. x y=x y= x y= x Grafy kvadratických funkcí 6
5 Změny grafu podle y=x p To by sice mělo být jednoduché, číslo p posouvá graf funkce nahoru nebo dolů (kladné p nahoru, záporné p dolů), ale raději si to zase ukážeme na tabulce a grafu. Prakticky jde o to, že každou hodnotu zvýšíme/snížíme o p: y= f x změníme na y= f x p x y=x y=x y=x Změny grafu podle y= x p To už je trochu těžší. Každou hodnotu změníme: y= f x na y= f x p. Znamená to, že se hodnoty y pro x budou shodovat s hodnotami pro x odpovídající x p. Zase si spočítáme tabulku a načrtneme graf. 5 x y=x y= x 3 y= x Z grafů je patrné, že se výchozí graf funkce y=x posunul o p doprava (když je p kladné a odečítáme) a o p doleva (když je p kladné a přičítíme nebo, což je totéž, když je p záporné a odečítáme). Tento posun říká také, kam se posune minimum nebo maximum dané funkce. Shrnutí Grafem kvadratické funkce y=a x b xc je křivka, které říkáme parabola. Je-li a, má minimum (je otevřená směrem nahoru), je-li a, má maximum (je otevřená směrem dolů). Extrém (minimum/maximum) zjistíme úpravou předpisu do tvaru y= x m n. y=a x b xc y=a x b a y=a xc x x b a b b c a a y=a a x b a c b a
6 Hodnoty m= b a a n= a c b a [ b a ; a c b a ]. jsou souřadnice extrému ;, pokud je a, je obor hodnot a c b ; a Pokud je a, je obor hodnot a c b a Funkce je pro a klesající do extrému, od extrému rostoucí, pro a je rostoucí do extrému, od extrému klesající.
7 Mocninné funkce Všechny funkce tvaru y=x n, kde n N, nazýváme mocninné funkce. všechny mají D f =R. Je-li n sudé číslo, jsou funkce sudé, mají H f = ;. Jsou pro x ; klesající, pro x ;. Je-li n liché číslo, jsou funkce liché, mají H f =R. Jsou v celém definičním oboru rostoucí. A co se bude dít, když se funkce změní na y=a x n b? Parametr a znamená rostoucí funkci (liché n) nebo vrchol dole (sudé n), pro a bude graf užší, pro a bude graf širší. Parametr a znamená klesající funkci (liché n) nebo vrchol nahoře (sudé n), pro a bude graf užší, pro a bude graf širší.
8 Nepřímá úměrnost Funkce s předpisem má D f =R {}. Pro x= hodnota není definována, budou-li x kladná, blízká nule, y= x funkční hodnota roste, pro x záporná, blízká nule, funkční hodnota klesá. Z tabulky můžeme odhadnout graf: x y Graf se nazývá hyperbola. Skládá se ze dvou větví, obě klesají. Obor hodnot je R {}, hodnoty y= není možné dosáhnout. Průsečíky tím pádem tato funkce nemá. 3 Jak bude vypadat funkce y= k x? Pro k větve budou ve stejných částech soustavy souřadnic (první a třetí kvadrant), pro k se větve (protože předchozí hodnoty budou mít opačné znamínko) prohodí do druhého a čtvrtého kvadrantu. Pro k nebo k se větve oddálí od os, pro se větve přiblíží k osám. Jak bude vypadat funkce y= x q? Celý graf se posune o q, je-li q, pak se posune nahoru, je-li q, posune se dolů, obor hodnot bude R {q}. Jak bude vypadat funkce y= x p? Bude mít D f =R {p}. To znamená, že je-li p, posouvá se původní graf doprava, je-li p, posouvá se graf doleva. A jak obecně funkce y= a xb c xd? Takovou funkci musíme (a umíme) převést na tvar y= k x p q jmenovatele a číselný zbytek. a a xb c xd = c c xd b a d a d b c c xd c xd = a b c c c xd = a c c a d c x d c p= d c, q= a c Konkrétně: Příklad : y= x x 3 D f =R {3} ; Y [ ; 3 ] ; X [ ;] y= x x 3 = x 33 = x 3 x 3 x 3 7 x 3 = 7 x 3 Je to funkce y= 7 x posunutá o nahoru a 3 doprava. Je klesající pro ; 3 3 ;, což znamená obecně rozložit čitatel na násobek, což znamená, že univerzálně k= b c a d c,
9 Exponenciální funkce Mocninné funkce y=x n měly nezávisle proměnnou v základu mocniny, za n jsme dosazovali přirozená čísla (a -). Tentokrát bude základ pevný, reálné číslo a exponentem bude nezávisle proměnná. Exponenciální funkce: y=a x, kde a R + {}. Kdyby a bylo číslo záporné, funkce by byla divná - pro sudá x kladná, pro záporná x záporná, zkrátka by skákala. Kladná mocnina umocněná na se rovná, takže všechny funkce budou procházet bodem [; ]. Pro další seznámení si budeme muset nakreslit nějaký konkrétní graf. Zvolme y= x : x y Zvolme 6 y= x : x y 6 Grafy funkce vyneseme do jedné soustavy souřadnic. Pro základ a= je funkce rostoucí, pro základ je funkce klesající. Pro a= je pro kladná x funkční hodnota větší než a pro záporná x menší než ; u funkce se základem a=. To se dá zobecnit a platí: Vlastnosti exponenciálních funkcí a : funkce je rostoucí; x : f x x=: f x= x : f x Poznámka: všechny hodnoty jsou kladné, funkce je omezená zdola hodnotou ; D f =R ; H f =; a : funkce je klesající; x : f x x=: f x= x: f x Poznámka: všechny hodnoty jsou kladné, funkce je omezená zdola hodnotou ; D f =R ; H f =;
10 Prostá funkce Pro funkci platí, že pro všechna x z definičního oboru existuje právě jedno y z oboru hodnot, každému x je přiřazeno právě jedno y. Kdybychom v předpisu prohodili x a y, dostaneme jiný předpis. U něj ale toto pravidlo všeobecně neplatí. Prostá funkce je taková, že každé y z oboru hodnot odpovídá právě jednomu x z definičního oboru. Funkce f je prostá, jestliže x D f : x x f x =f x. Zároveň platí, je-li funkce rostoucí nebo klesající, pak je i prostá (obráceně to neplatí). Příklad: Rozhodněte u následujících funkcí, zda jsou prosté: a) y=5 x 7 b) y= x 6 x 9 c) y=x x d) y=x 3 e) y= x 3 f) y=3 x Řešení: a) grafem je přímka, každé y odpovídá právě jednomu x, funkce je prostá b) grafem je parabola, kromě vrcholu [ 3 ; 9 ] všechna ostatní y ; 9 odpovídají dvěma různým hodnotám x, funkce není prostá c) grafem funkce jsou polopřímky: x ; : y= x ; x ; : y=, už samotná druhá přímka (rovnoběžná s osou x) říká, že pro různá x dostaneme stejné y, funkce není prostá d) funkce je rostoucí a lichá, z grafu víme, že různá y odpovídají vždy jednomu x, funkce je prostá f) grafem je exponenciála, každé y odpovídá právě jednomu x, funkce je prostá Inverzní funkce Podle osy. a. kvadrantu (grafu funkce y=x ) je soustava souřadnic souměrná sama se sebou, osa x přejde na osu y a obráceně. Všechny dvojice funkcí, které jsou takto souměrné, nazýváme inverzní funkce. Protože dochází k prohození hodnot x a y, mají tyto funkce prohozený předpis předpis jedné získáme z druhé tak, že upravíme předpis tak, že vyjádříme x pomocí y a získáme (záměnou x za y ) tak předpis druhé funkce. Funkce inverzní k prosté funkci f je f, pro kterou platí:. Df =H f. Každému y Df je přiřazeno právě to x D f, pro které platí y=f x. Příklad 3: Funkce f : y=3 x má Df =R ; H f =;. Funkce k ní inverzní bude mít Df =; ; H f =R.
11 Funkce logaritmus Mějme a kladné reálné číslo, různé od nuly a funkci f exponenciální funkci o základu a ( f : y=a x ). Pak logaritmická funkce o základu a je taková funkce g, pro kterou platí: pro všechna reálná čísla c, d je g d =c právě tehdy, když f c=d. Funkci g(x) zapisujeme g : y=log a x, čteme funkce g: y = logaritmus x o základu a. Jednodušeji: Funkce y=log a x (čteme: logaritmus x o základu a) je inverzní funkcí k funkci y=a x. Platí podmínky, že a R + ;a. funkce definiční obor obor hodnot průsečík y=a x R R + [;] y=log a x R + R [ ; ] Logaritmus kladného reálného čísla x o základu a se rovná reálnému číslu y právě tehdy, když a umocněné na y se rovná x. <==> y=log a x a y = x Vlastnosti funkce logaritmus f(x): y = logax; a>, a ; Df=R + ; Hf=R; průsečík s osou x je vždy Px[;] pro <a< funkce je klesající v celém definičním oboru pro <x< jsou funkční hodnoty kladné; pro x> jsou funkční hodnoty záporné pro a> funkce je rostoucí v celém definičním oboru pro <x< jsou funkční hodnoty záporné; pro x> jsou funkční hodnoty kladné
12 Příklady: a) určení definičního oboru: x l o g x ; x x ; ; x l og 3 x 3 x ; 3 x 3 x x ;3 b) určení souřadnic z grafu, z počítání log u příkladu log x : x= y= 3 ; x = y= ; y= x= ; y=3 y= z grafu, z počítání log u příkladu log x : x= y=3; x= y= ; y= x=; y=3 y= c) určení vlastností x log 7 x x ; ; pro základ 7 je funkce rostoucí; dále viz obrázek a vlastnosti nahoře log,3 x x ; log x x ; 5 log 5 x x ; log 9 x x ; x x ; log 76 log 5 x x ; log 5 x x ; z wikipedie: Desítkový logaritmus U logaritmu o základu (nazývaného desítkový či dekadický logaritmus, příp. Briggsův podle Henryho Briggse) se ve značení vynechává základ a píše se jen prostě log x, někdy se používá také speciální značení lg x. Přirozený logaritmus Logaritmus o základu e se označuje jako přirozený logaritmus (někdy také Napierův podle Johna Napiera) a značí se ln x (logaritmus naturalis, latinsky přirozený logaritmus). Je odvozen od exponenciální funkce s přirozeným exponentem, což je funkce, která pro x= má tečnu y=x. Číslo e,7 Binární logaritmus Hlavně v informatice se objevuje logaritmus o základu dva (binární logaritmus), který je v příslušném kontextu někdy značen lg x, případně ld x.
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Funkce, funkční závislosti Lineární funkce
Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na
Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
Exponenciální a logaritmická funkce
Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.
Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení
KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
Funkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Funkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Funkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit
P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto
Exponenciální funkce Exponenciální funkce je taková funkce, která má neznámou na místě exponentu. Symbolický zápis by tedy vypadal takto: f:y = a x, kde a > 0 a zároveň a 1 (pokud by se a mohlo rovnat
7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE
KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Matematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
Matematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Mocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí
Funkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme
Sbírka úloh z matematiky
Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
Definiční obor funkce
Vlastnosti funkcí Definiční obor funkce Konstantní funkce D f = R Lineární funkce D f = R Kvadratická funkce D f = R Exponenciální funkce D f = R Logaritmická funkce D f = 0, + Nepřímá úměrnost D f = R
KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE
Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
Variace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika
O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,
a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.
@121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může
Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady:
.. Opakování vlastností funkcí Předpoklad: Pedagogická poznámka: Tato hodina je zamýšlená jako první, druhá ve třetím ročníku. Podle toho, které úkol necháte student řešit, může trvat jednu až dvě vučovací
6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25
6. F U N K C E 6.1 F U N K C E Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) 181/1 190/24 25 80/1 2 82/3 6.2 D E F I N I Č N Í O B O R, O B O R H O D N
Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:
Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru
Graf elementárních funkcí v posunutém tvaru Vsvětlíme si, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkční předpis základní elementární funkce Všechn změn původního grafu budou demonstrován
Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.
Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina
Funkce. Obsah. Stránka 799
Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Mocninné funkce Autor: Pomykalová Eva
Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště
Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento
CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky
Funkce Zavedení pojmu unkce, vlastnosti unkcí,lineární, kvadratické a mocninné unkce Repetitorium z matematik Podzim 01 Ivana Medková A Zavedení pojmu unkce V odorných a přírodovědných předmětech se často
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr.
Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí y = a x Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Definičním oborem exponenciální funkce je tedy množina
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.
Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška
Nepřímá úměrnost I
.. Nepřímá úměrnost I Předpoklady: 000 Př. : Která z následujících slovních úloh popisuje nepřímou úměrnost? Zapiš nepřímou úměrnost jako funkci. a) 7 rohlíků stojí Kč. Kolik bude stát rohlíků? b) Pokud
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření