Funkce. Vlastnosti funkcí

Transkript

1 FUNKCE

2 Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční obor množina všech přípustných hodnot argumentu (všechny hodnoty, kterých může proměnná nabývat) značíme H( f ). Obor hodnot množina všech přípustných y (množina všech hodnot, kterých může nabývat funkce f )

3 3. Monotonie určuje, zda je funkce na daném intervalu rostoucí, klesající, neroustoucí, neklesající anebo konstantní nejlépe ji vyčteme z grafu funkce je: a) rostoucí, jestliže f ) f ( ) nebo pokud f '( ) 0 1 ( 1 b) klesající, jestliže f ) f ( ) nebo pokud f '( ) 0 1 ( 1 c) konstantní, jestliže f ) f ( ) 1 ( 1 d) nerostoucí, jestliže f ) f ( ) 1 ( 1 e) neklesající, jestliže f ) f ( ) 1 ( 1

4 4. Parita určuje, zda je funkce sudá nebo lichá - sudá funkce je souměrná podle osy y a platí: f ( ) f ( ) - lichá funkce je souměrná podle počátku a platí: f ( ) f ( ) 5. Prostost funkce se nazývá prostá, jestliže pro dvě různá eistují dvě různá y platí: f ( ) f ( ) 1 1 je-li funkce pouze rostoucí nebo pouze klesající, pak je prostá z grafu: sestrojíme-li rovnoběžku s osou v jakémkoliv bodě, musí nám protnout graf maimálně v jednom bodě

5 6. Omezenost říkáme, že funkce f je: a) shora omezená, pokud eistuje A takové, že D( f ) : f ( ) A b) zdola omezená, pokud eistuje B takové, že D( f ) : f ( ) B c) omezená, pokud je omezená shora i zdola

6 7. Etrémy eistuje-li interval (a,b) takový, že lokální minimum ( a, b) : f ( ) f ( M ), pak M je - platí-li pro celý definiční obor (nejen interval), říkáme mu globální minimum eistuje-li interval (a,b) takový, že lokální maimum ( a, b) : f ( ) f ( N ), pak N je - platí-li pro celý definiční obor (nejen interval), říkáme mu globální maimum etrémy čteme na ose (např. nejvyšší hodnota y = 5 bude pro =, maimum je tedy v bodě ) nalezneme-li nejbližší vodorovnou přímku, která bude celá nad grafem (celý graf se nachází pod ní), nalezli jsme supremum funkce (např. přímka y = 1, supremum je číslo 1) nalezneme-li nejbližší vodorovnou přímku, která bude celá pod grafem (celý graf se nachází nad ní), nalezli jsme infimum funkce (např. přímka y = - 5, infimum je číslo - 5)

7 8. Inverzní funkce je funkce opačná k nějaké funkci eistuje pouze k funkci prosté je souměrná s funkcí f podle osy prvního a třetího kvadrantu (podle přímky y = ) 1 platí: D( f ) H ( f ) H ( f 1 ) D( f ) předpis získáme záměnou proměnných v původní funkci f (místo dosadíme y, místo y dosadíme a vyjádříme ve tvaru y = )

8 ZÁKLADNÍ FUNKCE 1. Lineární funkce y a b, kde a, b R grafem přímka y = + 1 prostá D( f ) = H ( f ) = R spojitá na celém D( f ) nemá globální maimum ani minimum

9 . Lineární lomená funkce, kde grafem rovnoosá hyperbola se středem prostá y a b c d d a D( f ) R, H ( f ) R c c asymptoty procházejí středem a jsou rovnoběžné s osami - rovnice asymptot: d, c y průsečíky s osami: - průsečík s osou : zvolíme y = 0 a, b, c, d R, c 0, ad bc. a c S d c ; a c 5 y 3 - průsečík s osou y zvolíme = 0 nemá globální maimum ani minimum

10 3. Kvadratická funkce y a b c, kde a 0, a, b, c R grafem parabola, osa rovnoběžná s osou y - vrchol paraboly se spočítá doplněním předpisu funkce na čtverec (např. y a b c se převede na čtverec y ( m) n, pak vrchol V m, n ) b b - jiný vzorec pro vrchol: V ; c y 5 a 4a D( f ) = R, H( f ) se liší dle příkladu na polovině D( f ) rostoucí, na zbytku klesající omezená buď shora nebo zdola (dle příkladu) má buď globální maimum nebo minimum není prostá spojitá na celém D( f )

11 neznámá v eponentu 4. Eponenciální funkce y a, kde a 0, a 1 - speciálním druhem je přirozená eponenciální funkce - předpis: y e, kde e je Eulerovo číslo ( e =,7188 ) grafem eponenciální křivka (eponenciála) - prochází bodem - pro 0 < a < 1 klesající - pro a > 1 rostoucí 0,1 prostá D( f ) R; H( f ) 0; y y 1 spojitá na celém D( f ) zdola omezená inverzní funkcí je na funkce log a 0;

12 5. Logaritmická funkce inverzní funkce k funkci eponenciální y log y log, kde a 0, a 1 a grafem logaritmická křivka - pro a > 1 je rostoucí - pro 0 < a < 1 klesající prostá D( f ) 0;, H( f ) = R spojitá na celém D( f ) není omezená inverzní funkcí je a y log 1

13 6. Goniometrické funkce věty pro obecný trojúhelník: a - sinová věta: sin b sin c sin - kosinová věta: a b c bc cos 180 rad jednotková kružnice: - poloměr je 1, střed V

14 a) Funkce sinus y sin grafem sinusoida y sin není prostá periodická s periodou D( f ) R, H ( f ) 1;1 omezená lichá inverzní funkcí na intervalu 1;1 je arcsin (arkus sinus)

15 b) Funkce kosinus y cos y cos grafem kosinusoida není prostá periodická s periodou D( f ) R, H ( f ) 1;1 omezená sudá inverzní funkcí na intervalu 1;1 je arccos (arkus kosinus)

16 c) Funkce tangens y tg grafem tangentoida není prostá y tg periodická s periodou D( f ) R k, H ( f ) R není omezená lichá rostoucí inverzní funkcí je arctg (arkus tangens)

17 d) Funkce kotangens y cotg grafem kotangentoida není prostá periodická s periodou y cotg D( f ) R k, H ( f ) R není omezená lichá klesající inverzní funkcí je arccotg (arkus kotangens)