Obrázek 2.1: Rovnoměrně tažený prut.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obrázek 2.1: Rovnoměrně tažený prut."

Transkript

1 Kapitola 2 Osový tah nebo tlak 2.1 Rovnoměrně tažený nebo tlačený prut Vztah mezi protažením prutu a působící silou Nejjednodušším způsobem namáhání prutu je osový (dostředný, centrický) tah nebo tlak. Uvažujme nejprve prizmatický prut (tj. přímý prut konstantního průřezu), jehož levý koncový průřez je pevně připojen k nehybné podpoře, zatímco na pravý koncový průřez působí vnější síla F na paprsku procházejícím střednicí prutu, viz obr Prut je přitom protahován, nebo stlačován, v závislosti na tom, zda je vnější síla působící na pravý konec orientována doprava (tj. ven z prutu ), nebo doleva (tj. do prutu ). Původní délku prutu (měřenou podél střednice v nezatíženém stavu) označíme L a změnu délky v důsledku protažení či stlačení prutu označíme L (řecké písmeno se často používá v souvislosti s přírůstkem nebo rozdílem). Výchozí stav Deformovaný stav F F Obrázek 2.1: Rovnoměrně tažený prut. L ΔL Síla F v tomto případě charakterizuje zatížení prutu a protažení L popisuje jeho odezvu na dané zatížení. Obě veličiny jsou poměrně snadno měřitelné. Vztah mezi nimi lze pro konkrétní prut určit pokusem a graficky zobrazit v podobě pracovního diagramu jednoosé zkoušky. V takovém diagramu je na vodorovné ose vyneseno protažení prutu (které v popsaném případě odpovídá podélnému posunu pravého konce prutu, tedy posunu působiště síly F ve směru jejího paprsku) a na svislé ose odpovídající síla. Pro většinu běžných materiálů je aspoň část pracovního diagramu v okolí jeho počátku velmi blízká přímce, což svědčí o lineárně pružném chování materiálu v této oblasti. Skutečný pracovní diagram pak můžeme nahradit přímkou, která představuje idealizovaný pracovní diagram. Její směrnice n = F L (2.1)

2 16 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK tj. konstanta úměrnosti mezi silou F a protažením L, se nazývá normálová tuhost prutu, případně tuhost prutu v tahu/tlaku. Jde o sílu vztaženou na jednotkové protažení, a proto se vyjadřuje v jednotkách N/m (samozřejmě lze použít i kn/m nebo MN/m). Pod pojmem tuhost obecně rozumíme schopnost přenášet namáhání a přitom se jen málo deformovat. Opačná vlastnost, tj. schopnost se deformovat i při malém namáhání, se nazývá poddajnost. Obecně tedy platí, že velká tuhost odpovídá malé poddajnosti a malá tuhost odpovídá velké poddajnosti. Extrémním případem je dokonale tuhé těleso, které se nedeformuje vůbec, jeho tuhost je tudíž nekonečná a poddajnost nulová. Normálová tuhost prutu definovaná vztahem (2.1) zřejmě závisí na rozměrech prutu i na použitém materiálu. Pro daný konkrétní prut je možné ji určit měřením, ale je nepraktické takové měření opakovat pro každý jednotlivý prut zkoumané konstrukce. Proto je užitečné oddělit vliv geometrie prutu od vlivu materiálu a odvodit vzorec, který umožní tuhost prutu zjistit i bez měření. 1. Nejprve si představme, že zdvojnásobíme obsah průřezové plochy prutu a přitom zachováme jeho délku (i materiál, ze kterého je vyroben). Síla potřebná k danému protažení pak vzroste také na dvojnásobek oproti původnímu prutu. Prut o dvojnásobném průřezu si totiž při tahovém nebo tlakovém namáhání můžeme představit jako dva původní pruty vedle sebe (paralelně). Zobecněním této úvahy dospějeme k závěru, že normálová tuhost prutu je přímo úměrná obsahu průřezové plochy A. 2. Nyní si představme, že zdvojnásobíme délku prutu a přitom ponecháme jeho průřez (i materiál, ze kterého je vyroben) beze změny. Při působení stejné síly se dvakrát delší prut protáhne dvakrát více než prut původní, protože si jej můžeme představit jako dva původní pruty spojené za sebou (sériově). Tentokrát se tedy na dvojnásobek zvýší normálová poddajnost prutu a jeho normálová tuhost klesne na polovinu. Zobecněním této úvahy dospějeme k závěru, že normálová tuhost prutu je nepřímo úměrná jeho délce L. Právě provedené úvahy motivují přechod od popisu přetváření prutu k popisu přetváření materiálu. V prutu s průřezem o obsahu A a zatíženém osově působící silou F je materiál namáhán stejně jako v prutu s průřezem o obsahu 2A a zatíženém silou 2F. Silové účinky na samotný materiál jsou tudíž popsány poměrem F/A, tedy silou vztaženou na jednotkovou plochu. Výsledná veličina se nazývá napětí a vyjadřuje se v pascalech [Pa = N/m 2 ]; ve stavební praxi je obvyklou jednotkou megapascal [MPa = 10 6 Pa], případně kilopascal [kpa = 10 3 Pa]. Ve II. části tohoto učebního textu si ukážeme, že při obecném namáhání je napětí charakterizováno šesti nezávislými složkami. V I. části budeme pracovat pouze s jedinou složkou, která působí kolmo na průřez prutu a přesněji se jí říká normálové napětí, my však budeme pro jednoduchost mluvit pouze o napětí. Napětí se značí řeckým písmenem σ a jeho přesná definice vyžaduje limitní přechod k nekonečně malé plošce. V případě osově taženého nebo tlačeného prutu je napětí v celém průřezu konstantní (je po průřezu rozloženo rovnoměrně) a lze je prozatím vyjádřit vztahem σ = F (2.2) A Ukázali jsme, že přechodem od síly k napětí můžeme vyloučit vliv obsahu průřezu a sestrojit veličinu, která charakterizuje silové účinky přímo na úrovni materiálu. Podobně lze postupovat i pro přetvoření (deformaci). Na úrovni celého prutu je deformace charakterizovaná protažením L, tedy změnou délky prutu. Jestliže dva stejné

3 2.1. ROVNOMĚRNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 17 pruty o počáteční délce L a protažené o L spojíme za sebe, získáme prut o počáteční délce 2L a protažený o 2 L. Je však zřejmé, že samotný materiál je v obou případech deformován stejným způsobem. Proto zavedeme poměrné přetvoření ε = L (2.3) L které popisuje deformaci na úrovni materiálu. Ve II. části si ukážeme, že při obecném přetváření je deformace charakterizována šesti nezávislými složkami. V I. části budeme pracovat pouze s jedinou složkou, která představuje relativní změnu délky ve směru osy x (tedy rovnoběžně se střednicí prutu) a přesněji se jí říká normálová deformace, případně poměrné (relativní) protažení. Pro jednoduchost budeme někdy mluvit pouze o deformaci. Abychom vyloučili záměnu, budeme o protažení prutu, tedy o veličině L, hovořit jako o celkovém nebo absolutním protažení, na rozdíl od poměrného nebo relativního protažení ε. V případě lineárně pružného chování je síla působící na prut přímo úměrná jeho absolutnímu protažení a konstantou úměrnosti je zde normálová tuhost prutu n, viz vzorec (2.1). Namáhání materiálu lze však bez ohledu na rozměry prutu charakterizovat pomocí napětí σ a deformace ε. V případě lineárně pružného chování mezi těmito veličinami opět platí přímá úměra a příslušná konstanta úměrnosti E = σ ε (2.4) závisí pouze na samotném materiálu, nikoli na rozměrech prutu. Jde o známý Youngův modul pružnosti, který má stejný fyzikální rozměr jako napětí (protože poměrné protažení ε je bezrozměrná veličina) a pro materiály obvykle používané ve stavební praxi se nejpohodlněji vyjadřuje v gigapascalech [GPa = 10 9 Pa]. Vztah (2.4) lze přepsat do tradiční podoby Hookeova zákona σ = Eε (2.5) Přímá úměra mezi napětím a deformací je charakteristická pro lineárně pružný materiál. ΔL F ε F = Aσ ε σ = E ε σ Obrázek 2.2: Základní veličiny a rovnice pro rovnoměrně tažený prut. Abychom se ve struktuře dosud uvedených rovnic lépe orientovali, uspořádáme je do schématu na obr V jeho horní části jsou uvedeny veličiny vztahující se k celému prutu (celkové protažení a odpovídající vnější síla), v dolní části pak jsou veličiny vztahující se k materiálu (poměrné přetvoření a napětí). Šipky pak spojují dvojice veličin, které jsou svázány jednou z uvedených rovnic. Ze schématu lze vyčíst, že vztah mezi silou a protažením můžeme buď zapsat buď přímo, ve tvaru nebo jej odvodit kombinací ostatních tří rovnic: F = n L (2.6) F = Aσ = AEε = AE L L = EA L (2.7) L

4 18 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK Porovnáním pravých stran rovnic (2.6) a (2.7) zjistíme, že normálovou tuhost prutu lze vyjádřit jako n = EA (2.8) L Výsledek odpovídá předchozím úvahám, podle kterých by normálová tuhost prutu n měla být přímo úměrná obsahu průřezové plochy A a nepřímo úměrná délce prutu L. Zároveň vidíme, že je přímo úměrná modulu pružnosti materiálu. Chceme-li tedy zvýšit normálovou tuhost prutu (a tím snížit jeho protažení při dané působící síle), můžeme použít materiál s vyšším modulem pružnosti, zvětšit průřezovou plochu, nebo prut zkrátit, případně tyto úpravy kombinovat. Vztah (2.8) umožňuje stanovit tuhost prutu výpočtem, aniž bychom museli provádět měření. Stačí znát modul pružnosti materiálu a rozměry prutu. Naopak pokud modul pružnosti pro některý materiál neznáme (nebo jeho hodnotu chceme ověřit), můžeme tohoto vztahu v upravené podobě E = L A n (2.9) využít při přepočtu změřené tuhosti prutu n na modul pružnosti E Pracovní diagramy materiálů Pro experimentální stanovení Youngova modulu pružnosti, pevnosti, tažnosti a dalších mechanických vlastností materiálů se často používá jednoosá tahová či tlaková zkouška. Obr. 2.3 ukazuje tahovou zkoušku ocelového vzorku v trhačce, kde se měří vzájemný posun čelistí a celková síla. Na obr. 2.4 je tlaková zkouška betonu v lisu, kde se v tomto případě použily extenzometry pro určení relativní vzdálenosti dvou bodů přímo na povrchu vzorku. Obrázek 2.3: Trhačka pro kovy. Obrázek 2.4: Lis pro betonové vzorky. Výsledkem tahové nebo tlakové zkoušky je pracovní diagram materiálu, který zobrazuje vztah mezi poměrným protažením ε a normálovým napětím σ. Na obr. 2.5 je srovnání pracovních diagramů konstrukčních ocelí, které se používají ve stavebnictví. Pro ocel Weldox 1100 jsou označeny charakteristické body pracovního diagramu, které platí i pro ostatní oceli nižších tříd:

5 2.1. ROVNOMĚRNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 19 E - mez úměrnosti. V oblasti OE platí Hookeův zákon a experimentálně lze stanovit Youngův modul pružnosti. P - mez pružnosti. Vymezuje počátek vzniku trvalých deformací. Při odtížení ze stavu za bodem P se stav materiálu nevrací do bodu O. f y - mez kluzu (yield stress, yield strength). Dochází k plastickým dislokacím na hranách polykrystalů, při odtížení vzniká trvalá plastická deformace. Mez kluzu se používá pro stanovení maximálního přípustného napětí na ocelové konstrukci. Většina ocelových konstrukcí je namáhána napětím do 50% charakteristické meze kluzu. Charakteristická mez kluzu odpovídá statisticky 5% dolnímu kvantilu pro více vzorků (to znamená, že ze 100 vzorků má jen 5 mez kluzu pod charakteristickou hodnotou). f u - mez pevnosti (ultimate strength). Odpovídá největšímu napětí, které materiál přenese. Této meze je dosaženo až po plastickém přetváření s velkými dislokacemi. F - porušení (failure). Před tímto stavem se deformace koncentruje do krátkého úseku tyče, ve kterém výrazně roste protažení v podélném směru a zároveň se zmenšuje průřezová plocha, což vede ke vzniku tzv. krčku (necking). Protože napětí tradičně vyjadřujeme jako sílu dělenou původní průřezovou plochou, dochází ke zdánlivému poklesu napětí. Lze ovšem definovat také skutečné (Cauchyho) napětí, chápané jako síla dělená skutečnou průřezovou plochou. Skutečné napětí může pomalu růst nebo zůstávat zhruba konstantní, ale v důsledku zmenšení plochy průřezu přenášená síla klesá. Bod F pracovního diagramu odpovídá přetržení tyče. Maximální dosažená deformace charakterizuje tažnost materiálu. σ (MPa) O f y -mez kluzu f u -mez pevnosti P-mez pružnosti E-mez úměrnosti S690 WELDOX 1100 F-porušení S ε (10-3 ) S355 S235 Obrázek 2.5: Pracovní diagramy konstrukčních ocelí. ε (10-3 ) f t 2 Tlak f c -tlaková pevnost Obrázek 2.6: Pracovní diagram pro beton třídy C25/30. σ (MPa) Pracovní diagram pro beton je na obr Obvykle se zobrazuje jen jeho tlaková část, neboť pevnost betonu v tahu f t je 8-12 menší než pevnost v tlaku f c a ve výpočtech se někdy zanedbává. Hookeův zákon je při namáhání tlakem dostatečně výstižný do přibližně 50% f c, poté již v betonu dochází k šíření mikrotrhlin a k zakřivení pracovního diagramu. Běžné hodnoty napětí v betonu obvykle nepřekračují 50% charakteristické pevnosti v tlaku. Rozšíření materiálových rovnic pro případ plastického přetváření je předmětem kapitoly 6. Při namáhání materiálu jednoosým tahem dochází k jeho příčné kontrakci, tzv. Poissonovu efektu. Tento jev bude podrobně popsán v článku 7.1, kde bude také definován

6 20 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK bezrozměrný Poissonův součinitel ν, představující vedle Youngova modulu pružnosti E další důležitou charakteristiku pružného materiálu. Tab. 2.1 shrnuje základní parametry materiálů, které se vyskytují ve stavební praxi. Materiál Modul Poissonův Charakteristická Součinitel teplotní pružnosti součinitel pevnost, mez kluzu délkové roztažnosti E ν f c, f Y α T [GPa] [-] [MPa] [10 6 K 1 ] Beton C25/30, 28 dní 30 0,1-0, Beton C60/75, stáří 28 dní 35 0,1-0, Beton C90/105, 28 dní 40 0,1-0, Cihla plná 5 0, Dřevo smrkové, po vláknech 10 0,35-0, Dřevo tvrdé, po vláknech 12,5 0,35-0, Epoxidová pryskyřice 2-7 0, Guma 15 0, Hliník 70 0, Měď 117 0, Ocel běžná konstrukční , Ocel lanová , Plynosilikátová tvárnice 1,5-3 0, Polyethylén HDPE 0,8 0, Polystyren expandovaný 3-4 0,1-0, PVC 0,3-4 0,4-0, Sklo , Uhlíková vlákna , Zdivo cihelné 3-6 0, ,5 Zeminy soudržné 0,01-0,2 0,25-0,5 0, Zeminy nesoudržné 0,1-0,2 0,15-0,35 0-0, Žula 52 0,2-0, Tabulka 2.1: Základní parametry běžných stavebních materiálů Vliv teplotních změn Zatím jsme uvažovali pouze protahování nebo stlačování prutu způsobené silovým zatížením. Ke změně délky však dochází i při ohřívání nebo ochlazování prutu. Pokud se prut může volně deformovat, je jeho protažení přímo úměrné změně teploty T a vypočte se jako ε T = α T T (2.10) kde α T je součinitel teplotní roztažnosti daného materiálu. Změnou teploty rozumíme rozdíl mezi teplotou ve zkoumaném stavu a teplotou ve výchozím stavu, ve kterém měl prut původní délku L. Tuto změnu můžeme vyjádřit ve stupních Celsia, ale stejně tak v kelvinech, přičemž číselná hodnota zůstává stejná. Kelviny se někdy používají pro zjednodušení zápisu, protože u nich není třeba psát symbol pro stupeň (takže místo T = 20 C napíšeme T = 20 K). To je výhodné zejména při zápisu součinitele teplotní roztažnosti, například α T = K 1 místo α T = ( C) 1. Kladné hodnoty T odpovídají ohřátí, při kterém se obvyklé materiály roztahují, zatímco záporné hodnoty T odpovídají ochlazení, které vede ke zkrácení prutu (tedy záporné hodnotě ε T ). Prozatím předpokládáme, že změna teploty je ve všech bodech

7 2.1. ROVNOMĚRNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 21 prutu stejná, takže ji lze popsat jedinou hodnotou a prut se roztahuje nebo zkracuje rovnoměrně. Veličina ε T z rovnice (2.10) odpovídá skutečnému poměrnému protažení ε pouze za nulového napětí. Pokud je prut zatížen a v materiálu vznikne nenulové napětí, vypočte se poměrné protažení ε = σ E + ε T = σ E + α T T (2.11) jako součet příspěvku od napětí podle Hookeova zákona (2.5) a příspěvku od teploty podle (2.10). Vztah (2.11) můžeme invertovat a vyjádřit napětí v závislosti na poměrném protažení a změně teploty: σ = E(ε ε T ) = E(ε α T T ) (2.12) PŘÍKLAD 2.1 Jaké napětí by vzniklo v kolejnici osazené za teploty 20 C, kdyby teplota klesla na 30 C a kolejnice nemohla volně dilatovat? Řešení: Pokud by dlouhý úsek kolejnice nemohl dilatovat, bylo by poměrné protažení nulové (přinejmenším ve střední části tohoto úseku) a vzniklé napětí by se po dosazení ε = 0 do (2.12) vyjádřilo jako σ = Eα T T (2.13) Pro ocel je E = 210 GPa a α T = K 1. Uvažovaná změna teploty je T = 50 K, takže konkrétní hodnotu napětí vypočteme jako σ = Pa K 1 ( 50 K) = Pa = 126 MPa (2.14) Vidíme, že pokud je deformaci bráněno, může od teplotních změn vzniknout obrovské napětí, které je v tomto případě řádově srovnatelné s pevností materiálu. Stejně velké napětí bychom ale dostali i pro betonový prvek, který se nemůže zkracovat a je ochlazen o padesát stupňů. Součinitel teplotní roztažnosti má totiž i pro beton podobnou hodnotu jako pro ocel. Takto vypočtené napětí je samozřejmě zcela fiktivní, protože beton má tahovou pevnost řádově jen několik MPa a při uvažovaném typu zatížení by došlo ke vzniku trhlin, takže výpočet podle pružnosti není realistický. Rovnice (2.11) a (2.12) popisují vliv teplotních změn na vztah mezi napětím a deformací, podávají tedy popis chování na úrovni materiálu. Snadno je můžeme přepsat pomocí veličin popisujících chování celého prutu, tedy pomocí síly F a absolutního protažení L. Stačí využít vztahy (2.2) a (2.3) v kombinaci s (2.11): Výsledek můžeme zapsat jako L = Lε = L ( σ E + ε T kde n = EA/L je normálová tuhost prutu a ) = LF EA + Lα T T (2.15) L = F n + L T (2.16) L T = Lε T = Lα T T (2.17) je protažení prutu od teplotní změny. Pro dané protažení a změnu teploty můžeme z (2.16) vypočítat sílu F = n ( L L T ) = EA L ( L Lα T T ) (2.18)

8 22 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK PŘÍKLAD 2.2 Na železobetonovém sloupu vykreslete průběhy normálové síly N, napětí σ a poměrného protažení ε a určete posun horního konce sloupu u c. Sloup je zatížen třemi osamělými silami a jeho dolní část se ohřála o T = +10 C. Uvažujte modul pružnosti E = 30 GPa a součinitel teplotní roztažnosti α T = K 1. 1,8 m c 2 b 200 kn 100 kn 0,4x0,2 m 200 kn N [kn] ,25 σ [MPa] -4, ε [-] 3,6 m 1 ΔT=10 o C x 0,8x0,6 m , , a Obrázek 2.7: Sloup zatížený osamělými silami a změnou teploty. Řešení: Jelikož je tato úloha staticky určitá, můžeme určit průběh normálové síly postupem známým z 1. ročníku. Postupujeme od volného konce (tj. horního) a postupně sčítáme veškeré podélné síly působící na sloup. Jeho horní část je namáhána normálovou silou N II = 100 kn. Záporné znaménko zde označuje tlak. V dolní části sloupu vzniká normálová síla N I = 500 kn. Odpovídající hodnoty napětí snadno určíme jako σ I = 500 kn = 1041,6 kpa = 1,0416 MPa 0,8 0,6 m2 (2.19) σ II = 100 kn = 1250 kpa = 1,25 MPa 0,4 0,2 m2 (2.20) Nyní můžeme přejít k výpočtu přetvoření. V horní části sloupu způsobí napětí σ I deformaci ε II = σ II E = 1,25 MPa 30 GPa = 41, (2.21) Počítali jsme zde podle Hookeova zákona v jeho nejjednodušší podobě (2.5). V dolní části však musíme uplatnit obecnější vztah (2.11), protože zde došlo i ke změně teploty: ε I = σ I E +α T T = 1,0416 MPa 30 GPa K 1 10 K = 34, = 85, (2.22) Jakmile známe poměrná protažení (pro horní část sloupu jde o zkrácení, protože ε II je záporné), můžeme snadno spočítat absolutní protažení jednotlivých částí podle vztahu (2.3): L I = L I ε I = 3,6 m 85, = m (2.23) L II = L II ε II = 1,8 m ( 41, ) = m (2.24) Celkové protažení sloupu je součtem protažení jeho částí a zároveň odpovídá posunu horního konce sloupu u c = L = L I + L II = m m = m = 0,232 mm (2.25)

9 2.2. OBECNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 23 Uvedený příklad ukazuje, že vliv ohřátí na deformaci může převýšit účinek tlakových sil. U staticky určitých konstrukcí nemá teplota vliv na průběh vnitřních sil (alespoň při výpočtu vnitřních sil na původní nedeformované konstrukci, tj. dle teorie 1. řádu). Naopak u staticky neurčitých konstrukcí je teplota často dominantním zatížením, které nelze ignorovat (viz např. vybočení bezstykového kolejového pásu v letních měsících). Při řešení příkladu jsme postupně využívali jednotlivých základních rovnic, např. Hookeova zákona a vztahu mezi absolutním a poměrným protažením. Kdyby nás nezajímalo napětí a poměrné protažení a chtěli bychom od normálových sil přejít rovnou k absolutním protažením jednotlivých částí, bylo by výhodné dosadit do vztahu (2.16). Dolní část sloupu se chová jako rovnoměrně tlačený prut zatížený silou F I = 500 kn a horní část jako rovnoměrně tlačený prut zatížený silou F II = 100 kn. Normálové tuhosti jednotlivých částí sloupu vypočteme jako n I = EA I L I = n II = EA II L II = Dále stanovíme protažení od teplotní změny na dolní části: 30 0,8 0,6 GPa m 2 = 4 GN/m 3,6 m (2.26) 30 0,4 0,2 GPa m 2 = 1,3 GN/m 1,8 m (2.27) L I,T = L I α T T = 3,6 m K 1 10 K = m (2.28) Na horní části se teplota nezměnila a L II,T je tedy nulové. Jakmile známe tuhosti prutů a protažení od teploty, můžeme podle (2.16) pohodlně určit L I = F I + L I,T = 500 kn n I 4 GN/m m = m (2.29) L II = F II + L II,T = 100 kn n II 1,3 GN/m = m (2.30) Výsledky samozřejmě souhlasí s (2.23)(2.24). 2.2 Obecně tažený nebo tlačený prut Základní rovnice Od rovnoměrného tahu nebo tlaku, popsaného v předchozím článku, nyní postoupíme k obecnému případu, kdy se normálová síla nebo průřezová plocha (případně i obě tyto veličiny) mění po délce prutu. V případě nerovnoměrného namáhání je vhodné zkoumaný prut myšleně rozložit na tzv. elementární segmenty. Každý z nich představuje část prutu nacházející se mezi dvěma nekonečně blízkými průřezy. Elementární segment má tedy nekonečně malý rozměr dx ve směru osy x, ale jeho rozměry kolmo na osu x jsou konečné a odpovídají danému průřezu. Jelikož představa nekonečně malé délky je poněkud abstraktní, můžeme zprvu vycházet z představy malé, ale konečné délky segmentu x, a teprve následně provést limitní přechod, při kterém se x blíží nule. Vztahy původně zapsané pro celý prut můžeme v obecném případě uplatnit alespoň na úrovni jednotlivých elementárních segmentů prutu. Například můžeme pro každý segment definovat poměrné protažení jako podíl mezi přírůstkem délky segmentu a jeho původní délkou. Změnu délky segmentu pak můžeme dát do souvislosti s posuny jednotlivých průřezů ve směru střednice prutu (tj. ve směru osy x).

10 24 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK f x (x) Výchozí stav Deformovaný stav x x+δx Δx u(x) u(x+δx) Obrázek 2.8: Tažený prut a jeho elementární segment. Pokud je prut osově tažený nebo tlačený, jednotlivé průřezy se při deformaci prutu posouvají pouze ve směru střednice, ale neotáčejí se ani neztrácejí rovinnost. Každý bod se tedy posouvá ve směru osy x a hodnota tohoto posunu u je společná pro celý průřez, takže závisí pouze na souřadnici x. Změna polohy všech bodů je proto jednoznačně popsána funkcí u(x). Na obr. 2.8 je znázorněn jistý segment prutu, ohraničený průřezy o souřadnicích x a x + x. Segment má původní délku x, která po deformaci vzroste o rozdíl posunů pravého a levého okraje segmentu, tedy o u = u(x + x) u(x). Poměrné protažení segmentu lze definovat jako podíl u/ x. Protože však teoreticky pracujeme s nekonečně krátkým segmentem, přejdeme v limitě k nulové délce segmentu a napíšeme u(x + x) u(x) ε(x) = lim (2.31) x 0 x Výraz na pravé straně z matematického hlediska odpovídá derivaci funkce u podle proměnné x, takže můžeme (2.31) přepsat jako ε(x) = du(x) dx = u (x) (2.32) Čárka zde označuje derivaci podle prostorové proměnné x. Výraz du/dx bychom mohli chápat jako podíl mezi nekonečně malým přírůstkem délky du a původní nekonečně malou délkou segmentu dx. Rovnice (2.32) popisuje souvislost mezi funkcí u(x), která charakterizuje posuny jednotlivých průřezů, a funkcí ε(x), která charakterizuje poměrné protažení jednotlivých elementárních segmentů. Z obecného hlediska jde o vztah mezi přemístěním prutu a jeho přetvořením. Pod pojmem přemístění obecně rozumíme změnu polohy jednotlivých bodů zkoumaného tělesa. Přetvoření pak odpovídá změně tvaru a velikosti jednotlivých elementárních dílků, na které toto těleso myšleně rozkládáme. Rovnice popisující vztah mezi přemístěním a přetvořením se obecně nazývá geometrická rovnice. Vztah (2.32) je tedy geometrickou rovnicí pro tažený/tlačený prut. Hookeův zákon popisuje chování materiálu a má stejnou podobu (2.5) jako v případě rovnoměrného tahu nebo tlaku. S jeho využitím z poměrného přetvoření ε snadno vypočteme odpovídající napětí σ a následně normálovou sílu N, která je v případě osového namáhání součinem napětí a obsahu průřezové plochy: N(x) = A(x)σ(x) = EA(x)ε(x) (2.33) Jak je ze zápisu vidět, připouštíme i prut proměnného průřezu, pro který se obsah A mění po délce prutu. Modul pružnosti E považujeme za konstantu, i když zobecnění na

11 2.2. OBECNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 25 případ proměnného modulu pružnosti by nebylo obtížné. Rovnice (2.33) popisuje vztah mezi vnitřní silou (konkrétně normálovou silou N) a veličinou charakterizující přetvoření (konkrétně poměrným protažením ε). Vztah tohoto typu budeme označovat za průřezovou rovnici, případně za zobecněnou materiálovou rovnici. Konstanta úměrnosti EA je v tomto případě normálová tuhost průřezu. f x (x+δx/2)δx N(x) N(x+Δx) Obrázek 2.9: Síly působící na elementární segment prutu. K úplnému popisu osově namáhaného prutu zbývá doplnit podmínku rovnováhy mezi vnitřními a vnějšími silami. Ve stavu statické rovnováhy musí podmínku rovnováhy splňovat nejen celé zkoumané těleso, ale také každá jeho část. Můžeme proto takovou podmínku zapsat pro libovolný elementární segment prutu. Je však třeba správně popsat všechny síly, které na uvažovaný segment působí. Jestliže segment myšleně vyřízneme z prutu a zkoumáme jeho rovnováhu, je třeba vzít v úvahu nejen vnější síly, kterými je tento segment zatížen, ale také síly, kterými na něj působí jeho bezprostřední sousedé. To jsou síly vnitřní, vznikající v jednotlivých průřezech. Na obr. 2.9 je znázorněn segment omezený průřezy o souřadnicích x a x + x. V průřezu o souřadnici x vzniká normálová síla N(x). Pokud je kladná (tj. tahová), působí na uvažovaný segment směrem ven, tedy v tomto případě doleva. Naopak pro normálovou sílu N(x + x), vznikající v průřezu o souřadnici x + x, je kladná orientace doprava. Uvedené dvě hodnoty normálové síly jsou si obvykle velmi blízké, ale nejsou zcela totožné, protože vznikají ve dvou rozdílných průřezech. Kdyby byly stejné, segment by byl v rovnováze bez uvážení vnějších sil. Musíme však připustit, že přímo na segment působí silové zatížení, které je třeba do podmínky rovnováhy zahrnout. Působí-li na prut podélné spojité zatížení o intenzitě f x (x) (chápané jako síla na jednotku délky prutu a vyjádřené v N/m), musíme do podmínky rovnováhy zahrnout jeho výslednici na daném segmentu, která se spočítá jako součin intenzity zatížení a délky segmentu. Při vyhodnocení intenzity dosadíme hodnotu souřadnice uprostřed segmentu, tedy x + x/2. Výslednou podmínku rovnováhy lze zapsat jako N(x) + N(x + x) + f x (x + x/2) x = 0 (2.34) Po vydělení celé rovnice veličinou x odtud plyne N(x + x) N(x) x a limitní přechod x 0 pak vede k rovnici + f x (x + x/2) = 0 (2.35) N (x) + f x (x) = 0 (2.36) Jedná se o diferenciální podmínku rovnováhy, popisující nekonečně malý segment. Z obecného hlediska o ní mluvíme jako o statické rovnici, protože popisuje statickou rovnováhu.

12 26 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK Kromě spojitého zatížení mohou na prut působit i osamělé síly, které se v rovnici (2.36) neobjevují. Osamělou sílu působící na krajní průřez prutu postihneme v okrajových podmínkách, o kterých bude řeč v článku V případě, že osamělá síla působí v některém mezilehlém průřezu, je třeba popis rovnováhy poněkud upravit. Při odvození diferenciální podmínky (2.36) jsme s takovým případem nepočítali. Pokud na jistý průřez o souřadnici x = x i působí podélná osamělá síla o velikosti F i, je třeba ji zahrnout do rovnice (2.34). Pak ale nemůžeme levou stranu vydělit x a použít limitní přechod, protože podíl F i / x by neměl konečnou limitu. Místo toho uvážíme segment vycentrovaný kolem průřezu x i a limitní přechod provedeme, aniž bychom předtím rovnici dělili x. Podmínku rovnováhy napíšeme jako N(x i x/2) + N(x i + x/2) + f x (x i ) x + F i = 0 (2.37) a po limitním přechodu, při kterém se x blíží k nule zprava, dostaneme N i + N + i + F i = 0 (2.38) Přitom Ni označuje limitní hodnotu funkce N(x), pokud se k průřezu x i blížíme zleva, zatímco N i + odpovídá limitě zprava. Rovnice (2.38) znamená, že v průřezu x i je funkce N(x) nespojitá, jinými slovy, dochází zde ke skoku v normálové síle. Velikost tohoto skoku odpovídá působící síle F i, ale je třeba dát pozor na znaménko. Vztah (2.38) můžeme přepsat jako Ni N i + = F i (2.39) a interpretovat následovně: Jestliže v jistém průřezu působí osamělá síla ve směru střednice prutu, dochází při přechodu přes tento průřez ke skokové změně normálové síly. Velikost tohoto skoku odpovídá velikosti působící síly. Pokud vnější síla působí doprava, je normálová síla těsně vpravo od zmíněného průřezu algebraicky menší než těsně vlevo od něj. To odpovídá základním pravidlům pro výpočet průběhu normálové síly, známým ze stavební mechaniky Diferenciální rovnice taženého/tlačeného prutu V předchozím článku jsme odvodili tři základní rovnice popisující osově tažený nebo tlačený prut. Patří mezi ně geometrická rovnice (2.32) průřezová rovnice (2.33) statická rovnice (2.36) u(x) f x f x (x) ε f x N = E A ε ε(x) N(x) Obrázek 2.10: Struktura základních rovnic pro tažený nebo tlačený prut.

13 2.2. OBECNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 27 Pro lepší orientaci je struktura těchto rovnic znázorněna v diagramu na obr Funkce u(x), ε(x) a N(x) jsou zpravidla předem neznámé a naším úkolem je tyto funkce vypočítat ze základních rovnic. Funkce f x (x) popisující podélné spojité zatížení prutu je zadaná (někdy jako nulová). 1 Tři výše zmíněné základní rovnice není třeba řešit jako soustavu rovnic. Díky jejich jednoduchému tvaru je možné z matematického popisu úlohy vyloučit neznámé funkce ε(x) a N(x) a sestavit jedinou rovnici s jedinou neznámou funkcí u(x). Nejprve pomocí geometrické rovnice (2.32) vyloučíme z průřezové rovnice (2.33) poměrné protažení: N(x) = EA(x)ε(x) = EA(x)u (x) (2.40) Toto vyjádření normálové síly pomocí posunové funkce pak dosadíme do podmínky rovnováhy (2.36). Získáme tak tzv. diferenciální rovnici taženého/tlačeného prutu [ EA(x)u (x) ] + fx (x) = 0 (2.41) Neznámou je zde funkce u(x), zatímco ostatní funkce jsou známé. Proto se tato rovnice často přepisuje do tvaru [ EA(x)u (x) ] = fx (x) (2.42) kde pravá strana odpovídá danému zatížení (ovšem se záporným znaménkem) a na levé straně je na neznámou funkci u(x) aplikován diferenciální operátor 2. řádu (dvakrát se derivuje podle x). Pro prut konstantního průřezu lze konstantu EA vytknout před závorku a (2.42) přepsat jako EA u (x) = f x (x) (2.43) Z matematického hlediska představuje (2.42) obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu. Pokud má speciální tvar (2.43), je to navíc rovnice s konstantními koeficienty. I v obecnějším tvaru (2.42) jde o rovnici velmi jednoduchou, protože levá strana obsahuje pouze jeden člen. V tomto členu se dvakrát derivuje, ale žádnou nižší derivaci neznámé funkce už rovnice neobsahuje. Řešení takové rovnice je proto snadné a spočívá v podstatě ve dvojnásobné integraci. Jak je známo z matematiky, diferenciální rovnice mají jednoznačné řešení jen v kombinaci se vhodnými počátečními nebo okrajovými podmínkami. Zároveň jsou takové podmínky nepostradatelné i z fyzikálního hlediska, protože popisují důležité okolnosti, které by jinak nebyly zohledněny. V našem případě řešíme obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu, pro kterou je třeba předepsat dvě další podmínky. Počáteční podmínky by přicházely v úvahu, kdybychom řešili vývoj nějakého systému v čase (takže by se derivovalo podle časové proměnné t) a specifikovali bychom počáteční stav tohoto systému (například výchylku a rychlost při analýze kmitání soustavy s jedním stupněm volnosti). V našem případě má však nezávisle proměnná x charakter prostorové souřadnice a úloha se řeší na intervalu [0,L], kde L je délka prutu. Proto je na místě předepsat okrajové podmínky na hranici tohoto intervalu. Hranicí je v tomto případě dvoubodová množina obsahující body 0 a L, které odpovídají levému a pravému koncovému průřezu prutu. V každém z nich je třeba specifikovat jednu okrajovou podmínku. Její konkrétní podoba souvisí se způsobem uložení či zatížení příslušného koncového průřezu: 1 V diagramu se pro jednoduchost neobjevují osamělé vnější síly, které nelze (s tradiční matematickou výbavou studentů stavební fakulty) do diferenciální podmínky (2.36) zahrnout. Pokud jsou takové síly předepsány, je třeba celý prut rozdělit na intervaly tak, aby osamělé síly působily jen na hranici mezi dvěma sousedními intervaly. Uvnitř každého intervalu pak lze použít diferenciální podmínku (2.36). Na rozhraní mezi sousedními intervaly, tedy v průřezech zatížených osamělými silami, je třeba zapsat podmínku pro skok normálové síly ve tvaru (2.38).

14 28 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK Pokud je v koncovém průřezu vazba zabraňující podélnému posunu, okrajová podmínka předepisuje hodnotu posunu u (zpravidla nulovou). Ve vazbě vzniká reakce, jejíž hodnota není předem známa, a tudíž je neznámá i hodnota normálové síly N. Podmínku tohoto typu označujeme za geometrickou, případně kinematickou, protože je předepsán pohyb koncového průřezu. Pokud naopak v koncovém průřezu vazba není, je jeho posun neznámý, ale normálovou sílu lze určit podle zatížení. Nepůsobí-li přímo na krajní průřez předepsaná osamělá síla, je zde normálová síla nulová. Podmínku tohoto typu označujeme za statickou, protože je předepsána statická veličina, konkrétně normálová síla. Z výše uvedeného rozboru vyplývá, že v každém koncovém průřezu lze zapsat právě jednu okrajovou podmínku, buď geometrickou, nebo statickou. Tím je zajištěno, že celkově budou okrajové podmínky vždy dvě, bez ohledu na to, jak jsou či nejsou konce prutu podepřeny. Diferenciální rovnici s okrajovými podmínkami se v matematice říká okrajová úloha. Zmiňme se ještě o tom, jak správně zapsat statickou okrajovou podmínku. Osamělá síla působící na koncový průřez prutu patří mezi vnější síly a její znaménko se řídí její orientací vzhledem k soustavě souřadnic. Tato síla je považována za kladnou, pokud je souhlasně orientovaná s kladnou poloosou x. Při obvyklém umístění souřadnicové osy je kladná orientace doprava. Působí-li kladná vnější síla F na pravý konec prutu, způsobuje v koncovém průřezu tah a odpovídající normálová síla je jí rovna. Statickou okrajovou podmínku v takovém případě zapíšeme jako N(L) = F (2.44) Naopak na levém konci působí kladná vnější síla do průřezu a vyvolá tlak. Normálová síla je pak záporná a okrajovou podmínku zapíšeme jako N(0) = F (2.45) Podmínky (2.44) a (2.45) jsou zapsány pomocí normálové síly, ale základní neznámou v diferenciální rovnici (2.42) je posunová funkce u(x). Z matematického hlediska by okrajové podmínky měly být zapsány pomocí hledané funkce nebo jejích derivací až do řádu o jedničku nižšího, než je řád příslušné diferenciální rovnice. V našem případě pracujeme s rovnicí 2. řádu a v okrajových podmínkách se může vyskytovat u nebo jeho první derivace. S využitím vztahu (2.40) je možné podmínky (2.44) a (2.45) přepsat do tvaru, který předepisuje hodnoty první derivace hledané funkce. Například místo (2.44) lze napsat u (L) = F (2.46) EA(L) Ve jmenovateli zlomku na pravé straně je normálová tuhost pravého koncového průřezu. PŘÍKLAD 2.3 Určete průběhy normálové síly N, napětí σ, poměrného protažení ε a posunutí u na oboustranně vetknutém sloupu z obr Sloup je zatížen pouze vlastní tíhou. Uvažujte modul pružnosti E = 30 GPa a objemovou tíhu materiálu γ = 25 kn/m 3. Řešení: Při výpočtu vyjdeme z diferenciální rovnice pro tažený-tlačený prut, kterou můžeme při konstantním průřezu uvažovat ve tvaru (2.43). Na její pravé straně je podélné zatížení f x, které v daném případě pochází od vlastní tíhy sloupu. Intenzita f x představuje sílu na jednotku délky prutu, takže ji vyjádříme jako f x = γa, kde γ je objemová

15 2.2. OBECNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 29 L = 4,0 m γ=25 kn/m 3 b x a 0,8 m 0,6 N σ ε u [kn] [kpa] [-] [m] , Obrázek 2.11: Staticky neurčitý sloup zatížený pouze vlastní tíhou , , tíha (tedy tíha vztažená na jednotku objemu) a A je průřezová plocha. Zatížení samo bude mít kladné znaménko, protože osu x jsme zavedli kladně orientovanou dolů (viz obr. 2.11), takže vlastní tíha působí souhlasně s osou. Na pravé straně rovnice (2.43) je však f x (x), v našem případě to bude záporná konstanta γa. Po vydělení obou stran rovnice normálovou tuhostí průřezu EA (což je také daná konstanta) můžeme (2.43) přepsat jako u (x) = γ (2.47) E Všimněte si, že průřezová plocha A z rovnice zmizela (krácením zlomku) a výsledné posuny ani poměrná protažení na ní při zatížení sloupu pouze vlastní tíhou nebudou záviset. Podle rovnice (2.47) je druhá derivace funkce u konstantní, takže samotná funkce u bude kvadratická a získáme ji dvojnásobnou integrací: u (x) = γ E x + C 1 (2.48) u(x) = γ E x C 1x + C 2 (2.49) Integrační konstanty C 1 a C 2 pak určíme z okrajových podmínek. Oba konce jsou vetknuté, takže se nemohou posouvat a okrajové podmínky předepisují nulové posuny pro x = 0 a x = L. Po dosazení obecného řešení (2.49) dostaneme u(0) = 0... C 2 = 0 (2.50) u(l) = 0... γ L 2 E 2 + C 1L = 0... C 1 = γl (2.51) 2E a výsledné řešení splňující diferenciální rovnici i okrajové podmínky je u(x) = γ E x γl 2E x = γ ( Lx x 2) (2.52) 2E Jde o kvadratickou funkci, jejíž hodnota je pro x = 0 a x = L nulová. Jejím grafem je parabola vykreslená na obr zcela vpravo. Maximální hodnoty ( ) L u max = u = γ ( L L ) 2 2E 2 L2 = γl2 (2.53) 4 8E

16 30 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK nabývá posun uprostřed prutu, tedy pro x = L/2. Základní neznámou v diferenciální rovnici (2.43) je funkce u popisující posuny, ale z praktického hlediska nás zajímá rozložení napětí, případně normálové síly. Napětí snadno vyhodnotíme dosazením nejprve do geometrické rovnice (2.32), podle které určíme poměrné protažení, a poté do Hookeova zákona (2.5): ε(x) = u (x) = γ (L 2x) (2.54) 2E σ(x) = Eε(x) = γ (L 2x) (2.55) 2 Obě funkce jsou lineární a nabývají nulové hodnoty uprostřed prutu, viz grafy na obr Maximálního kladného napětí je dosaženo na horním konci prutu, tedy pro x = 0, a extrémního tlakového napětí naopak na dolním konci prutu, pro x = L: σ max = σ(0) = γl 2 σ min = σ(l) = γl 2 (2.56) (2.57) Normálovou sílu pak snadno určíme jako napětí přenásobené průřezovou plochou: N(x) = Aσ(x) = γa 2 (L 2x) (2.58) Předveďme ještě výpočet konkrétních hodnot významných veličin: u max = γl kn m 3 m 2 = = 1, m 8E 8 30 GPa (2.59) ε max = γl 2E = 25 4 kn m 3 m = 1, GPa (2.60) σ max = γl 2 = 25 4 kn m 3 m = 50 kpa 2 (2.61) N max = γla ,8 0,6 = kn m 3 m m 2 = 24 kn 2 2 (2.62) Podobně by se spočítaly i extrémní záporné hodnoty poměrného protažení, napětí a normálové síly, ale není to nutné, protože ve zkoumaném případě mají stejnou absolutní hodnotu jako extrémní kladné hodnoty. Na závěr je vhodné se zamyslet nad názorným významem výsledků vykreslených na obr a zkontrolovat je. V horní polovině sloupu vzniká tah, který se postupně zmenšuje od horního okraje směrem dolů a zmizí v průřezu uprostřed sloupu. Níže pak postupně narůstá tlak, který dosahuje maximální hodnoty v patě sloupu. Můžeme si tedy představit, že horní polovina sloupu visí z horního konce a dolní polovina stojí na dolním konci. Jelikož jsou obě poloviny ze stejného materiálu, deformují se stejně, jen s opačným znaménkem, tj. horní polovina se protahuje a dolní zkracuje. Kdybychom sloup rozřízli vodorovným řezem uprostřed jeho výšky, vznikly by dvě staticky určité části, na kterých by průběh normálové síly bylo možné určit elementárním postupem z 1. ročníku a přesně by odpovídal průběhu vykreslenému na obrázku. Vzhledem ke stejným vlastnostem obou částí sloupu by posun dolního konce horní části (která visí a protahuje se) vyšel stejně jako posun horního konce dolní části (která stojí a zkracuje se) a spojitost prutu by zůstala zachována. Tato úvaha ukazuje, že při šikovném využití symetrie bychom vlastně nemuseli řešit úlohu jako staticky neurčitou.

17 2.2. OBECNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 31 Zamysleme se ještě nad tím, proč napětí ani posuny v této úloze nezávisejí na průřezové ploše. Kdybychom sloup rozřízli svislým řezem, vznikly by dva sloupy, které by se při zatížení vlastní tíhou chovaly zcela stejně jako původní jeden. Napětí i posuny by tedy zůstaly stejné, jen normálová síla by se rozdělila na dvě části v poměru průřezových ploch. Alternativní způsob řešení: Staticky neurčitou konstrukci můžeme vždy převést na libovolnou staticky určitou konstrukci a vynutit kinematické okrajové podmínky, jejichž počet odpovídá stupni statické neurčitosti. Namísto dolní podpory zavedeme neznámou tahovou reakci R a a budeme hledat její hodnotu takovou, aby posun u(4) = 0. Funkci posunutí určíme z funkce spojitého zatížení f x = γa postupnou integrací N x = f x dx = γax + γal + R }{{ a = γa(l x) + R } a (2.63) Okr. p. σ x = N x A = γ(l x) + R a A, u(x) = ε x = σ x E = γ E (L x) + R a EA ε x dx = γ E (Lx 1 2 x2 ) + R ax EA + 0 }{{} Okr. p. Neznámou reakci R a určíme z přetvárné podmínky u(4) = 0: u(4) = 0 = γ E (Lx 1 2 x2 ) + R ax EA R a = γa L 2 (2.64) (2.65) = 24 kn (2.66) Vlastní tíha sloupu se tedy rovnoměrně rozdělí mezi horní a dolní podporu. PŘÍKLAD 2.4 Určete napětí v betonu a v oceli pro centricky tlačený železobetonový sloup na obr Vlastní tíhu sloupu zanedbejte. Modul pružnosti uvažujte pro beton jako E c =30 GPa a pro ocel E s =210 GPa (indexy c a s odpovídají anglickým slovům concrete a steel ). Určete také průběh normálové síly N, napětí v betonu σ c a v oceli σ s, poměrného protažení ε x a posunutí u kn N σ c σ s [kn] [MPa] [MPa] ε u [-] [mm] -1,49 L = 5,0 m x ,941-62,59-0, ,3 m 0,5 m 6Ø32 Obrázek 2.12: Železobetonový sloup zatížený osamělou silou. Řešení: Normálovou sílu lze určit jednoduše z podmínky rovnováhy, je konstantní po délce prutu a její hodnota je N = 1600 kn. Vzhledem k použití dvou různých mate-

18 32 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK riálů je však úloha vnitřně staticky neurčitá, neboť v betonu vznikne jiné napětí než v oceli. Při výpočtu napětí tedy nelze jednoduše vydělit normálovou sílu průřezovou plochou. Stále však platí, že normálová síla je výslednicí napětí v průřezu. Pokud v betonové části průřezu o ploše A c vznikne napětí σ c a ve výztuži o ploše A s vznikne napětí σ s, můžeme odpovídající normálovou sílu zapsat jako N = A c σ c + A s σ s (2.67) Abychom mohli určit, jak se namáhání rozloží mezi betonovou a ocelovou část průřezu, potřebujeme ještě jednu rovnici. Stačí si uvědomit, že poměrné protažení (zde spíš zkrácení) betonu a výztuže bude stejné. Podle Hookeova zákona vyjádříme poměrné protažení pro beton jako σ c /E c a pro ocel jako σ s /E s a zapíšeme podmínku jejich rovnosti σ c = σ s (2.68) E c E s V rovnicích (2.67)(2.68) jsou neznámými pouze napětí, ostatní veličiny jsou známé. Z rovnice (2.68) nejprve vyjádříme σ s = E s E c σ c = mσ c (2.69) Pro pohodlí jsme zavedli tzv. pracovní součinitel m, což je poměr modulů pružnosti oceli a betonu. V našem případě je jeho hodnota m = E s = 210 MPa E c 30 MPa = 7 (2.70) Pomocí vztahu (2.69) můžeme z rovnice (2.67) vyloučit neznámou σ s : Odtud už snadno vyjádříme napětí v betonu N = A c σ c + A s mσ c = (A c + ma s ) σ c (2.71) σ c = a po zpětném dosazení do (2.69) také napětí v oceli σ s = mσ c = N A c + ma s (2.72) mn A c + ma s (2.73) Při dosazování konkrétních hodnot zadaných veličin nejprve vyjádříme plochu oceli (6 prutů kruhového průřezu o průměru 32 mm) a celkovou plochu průřezu (obdélník 0,5 0,3 m 2 ): A s = 6 π 322 mm 2 = 4825 mm 2 = 4, m 2 (2.74) 4 A = 0,3 0,5 m 2 = 0,15 m 2 (2.75) Pracovní součinitel m = 7 jsme již určili, takže nyní snadno získáme tzv. ideální plochu průřezu 2 A c + ma s = A + (m 1)A s = 0,15 m , m 2 = 0,1790 m 2 (2.76) 2 Všimněte si drobné úpravy abychom nemuseli počítat plochu betonové části průřezu A c = A A s, přepsali jsme A c + ma s jako A c + A s + (m 1)A s = A + (m 1)A s a do takto upraveného výrazu dosadili celkovou plochu A a plochu výztuže A s.

19 2.2. OBECNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 33 a vypočteme napětí σ c = N = 1600 kn = 8941 kpa = 8,941 MPa A c + ma s 0,1790 m2 (2.77) σ s = m σ c = 7 ( 8,941) MPa = 62,59 MPa (2.78) Můžeme také vyčíslit poměrná protažení betonu a výztuže a ověřit, že jsou stejná: ε c = σ c = 8,941 MPa E c 30 GPa = 0, (2.79) ε s = σ s = 62,59 MPa E s 210 GPa = 0, (2.80) Jelikož je poměrné protažení konstantní po délce prutu, absolutní protažení se vypočte jednoduše jako L = εl = 0, m = 1, m = 1,49 mm (2.81) Záporné znaménko vypovídá o tom, že se jedná o zkrácení. Vzhledem k tomu, že poměrné protažení ε je po délce prutu konstantní, dochází k rovnoměrnému stlačení prutu a posunutí je popsáno lineární funkcí, kterou získáme integrací vztahu u (x) = ε (2.82) s uplatněním okrajové podmínky u(0) = 0. Výsledná funkce posunutí je u(x) = ε x x = 0, x (2.83) Výsledky jsou vykresleny na obr Je poučné se na závěr zamyslet nad názorným významem odvozených vztahů. Výraz v rovnici (2.76) jsme označili za ideální plochu průřezu. Je to plocha betonu zvětšená o m-násobek plochy oceli, kde m je poměr modulů pružnosti. Za stejného poměrného protažení vzniká v oceli m-krát větší napětí než v betonu. Vyztužený průřez se tedy při osovém tlaku chová podobně jako průřez z prostého betonu zvětšený o m-násobek plochy výztuže. Takto definovanou ideální plochu pak můžeme použít při výpočtu napětí v betonu pomocí obvyklého pravidla síla dělená plochou. Přestože plocha výztuže obvykle představuje jen několik procent plochy průřezu, její příspěvek k ploše ideálního průřezu je díky vyššímu modulu pružnosti mnohem významnější Vliv teplotních změn Při odvození průřezové rovnice (2.33) a následně diferenciální rovnice (2.42) jsme vycházeli ze základního tvaru Hookeova zákona (2.5), který nezahrnuje vliv teplotních změn. Není však obtížné celý postup zobecnit a vzít v úvahu vliv oteplení či ochlazení prutu. Pro jednoduchost předpokládáme, že se celý prut ohřeje či ochladí rovnoměrně, takže změnu teploty popíšeme konstantou T a odpovídající poměrné protažení od teploty ε T je také konstantní po celém prutu. Napětí lze vyjádřit podle upraveného Hookeova zákona (2.12) a pro normálovou sílu dostaneme N(x) = A(x)σ(x) = EA(x) [ε(x) ε T ] = EA(x) [ε(x) α T T ] (2.84)

20 34 KAPITOLA 2. OSOVÝ TAH NEBO TLAK Obrázek 2.13: Struktura základních rovnic pro tažený nebo tlačený prut se zahrnutím vlivu teplotních změn. Takto upravenou průřezovou rovnici pak můžeme zařadit do diagramu základních rovnic na obr Jak je vidět, změna teploty se projeví v průřezové rovnici, tedy ve vztahu mezi vnitřní silou a přetvořením segmentu, ale neovlivní tvar geometrické ani statické rovnice. Spojení základních rovnic a eliminace neznámých ε a N vede k zobecněné variantě diferenciální rovnice taženého/tlačeného prutu, která bere v úvahu vliv teplotních změn: [EA(x)(u (x) ε T )] = f x (x) (2.85) Připomeňme, že ε T = α T T je poměrné protažení prutu, ke kterému by došlo pod vlivem teplotní změny, pokud by deformaci prutu nebylo ničím bráněno a prut se mohl volně roztahovat či zkracovat. PŘÍKLAD 2.5 Proveďte analýzu oboustranně vetknutého prutu, na který nepůsobí žádné silové zatížení, ale je vystaven rovnoměrné změně teploty. Uvažujte nejprve prut konstantního průřezu a poté prut obdélníkového průřezu o konstantní šířce a lineárně proměnné výšce, obr x x Obrázek 2.14: Oboustranně vetknutý prut zatížený rovnoměrnou změnou teploty. Řešení: V rovnici (2.85) je pro zadaný případ pravá strana nulová a okrajové podmínky na obou koncích odpovídají nulovému posunu. Řešíme tedy diferenciální rovnici s okrajovými podmínkami [EA(x)(u (x) ε T )] = 0 (2.86) u(0) = 0 (2.87) u(l) = 0 (2.88) Podle rovnice (2.86) je derivace výrazu v hranaté závorce rovna nule, tento výraz proto musí mít konstantní hodnotu. Integrací (2.86) dostaneme EA(x)(u (x) ε T ) = C 1 (2.89)

21 2.2. OBECNĚ TAŽENÝ NEBO TLAČENÝ PRUT 35 kde C 1 je libovolná konstanta. Vztah (2.89) snadno upravíme do tvaru u (x) = C 1 EA(x) + ε T (2.90) Další postup závisí na konkrétní podobě funkce A(x), popisující proměnu obsahu průřezu po délce prutu. A. Prut konstantního průřezu V případě konstantního průřezu je prut namáhán rovnoměrně a velmi podobná úloha už byla vyřešena v Příkladu 2.1 na základě jednoduchých vztahů platných pro rovnoměrný tah nebo tlak. Zde si ukážeme, jak by se ke stejnému výsledku dospělo formálním řešením příslušné okrajové úlohy. Jestliže je normálová tuhost EA konstantní, má podle rovnice (2.90) neznámá funkce u konstantní derivaci. Tato funkce tedy musí být lineární a lze ji zapsat jako u(x) = ( C1 EA + ε T ) x + C 2 (2.91) kde C 2 je další libovolná konstanta. Vztahem (2.91) je popsáno obecné řešení původní rovnice (2.86), které obsahuje dvě zatím zcela libovolné konstanty C 1 a C 2. Rovnice (2.86) má tedy sama o sobě nekonečně mnoho řešení. Nás však zajímá pouze to partikulární řešení, které splňuje okrajové podmínky (2.87)(2.88). Je jasné, že lineární funkce, která má mít nulovou hodnotu ve dvou různých bodech, musí být identicky nulová. Proto bychom mohli rovnou napsat výsledné řešení jako u(x) = 0. Formálně se k tomuto výsledku dospěje dosazením obecného řešení (2.91) do okrajových podmínek (2.87)(2.88), což vede na soustavu dvou lineárních rovnic C 2 = 0 (2.92) ( ) C1 EA + ε T L + C 2 = 0 (2.93) pro neznámé C 1 a C 2. Jejím řešením je C 2 = 0 a C 1 = EAε T, takže po zpětném dosazení do (2.91) dostaneme očekávaný výsledek u(x) = 0. Výsledek můžeme interpretovat tak, že oboustranně vetknutý prut konstantního průřezu se při rovnoměrné změně teploty nijak nezdeformuje. Vznikne v něm však normálová síla N = EA(u ε T ) = EAε T (2.94) která je úměrná změně teploty, ale má opačné znaménko. Při ohřátí by se materiál chtěl roztahovat, ale je tomu zabráněno podporami a v prutu vznikne tlaková normálová síla. Při ochlazení by se naopak materiál chtěl smrštit a je-li tomu zabráněno, vznikne tahová normálová síla. B. Prut s lineárně proměnným obsahem průřezu Výše uvedené řešení platí pro prut konstantního průřezu. Pokud se průřez po délce prutu mění, zůstává rovnice (2.90) v platnosti, ale další postup je třeba upravit. Uvažujme konkrétně prut obdélníkového průřezu o konstantní šířce b a lineárně proměnné výšce h, která se mění od hodnoty h 1 na levém konci po hodnotu h 2 na pravém konci. Proměnu obsahu průřezu lze popsat funkcí A(x) = A 1 + (A 2 A 1 ) x (2.95) L kde A 1 = bh 1 a A 2 = bh 2. Pro zjednodušení zápisu zavedeme pomocnou veličinu B = (A 2 A 1 )/L a přepíšeme (2.95) jako A(x) = A 1 + Bx (2.96) To můžeme dosadit do (2.90): u (x) = C 1 E(A 1 + Bx) + ε T (2.97)

Pružnost, pevnost, plasticita

Pružnost, pevnost, plasticita Pružnost, pevnost, plasticita Pracovní verze výukového skripta 3. října 2016 c Milan Jirásek, Vít Šmilauer, Jan Zeman České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra mechaniky Thákurova 7

Více

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14 Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1). Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled

Více

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59 Autoři:. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek 1.3 Řešené příklady Příklad 1: U prutu čtvercového průřezu o straně h vyrobeného zedvoumateriálů,kterýjezatížensilou azměnou teploty T (viz obr. 1) vyšetřete a

Více

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška 1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební

Více

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění )

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1 Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1. Rozšířený Hookeův zákon pro jednoosou napjatost Základním materiálovým vztahem lineární teorie pružnosti

Více

Téma 2 Napětí a přetvoření

Téma 2 Napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia Téma 2 Napětí a přetvoření Deformace a posun v tělese Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi, Hookeův zákon, fzikální konstant a pracovní diagram

Více

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov 3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov 23.5.2018 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA PRUŽNOST A PLASTICITA Ing. Vladimíra Michalcová LPH 407/1 tel. 59 732 1348 vladimira.michalcova@vsb.cz http://fast10.vsb.cz/michalcova Povinná literatura http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita Doporučená

Více

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Název školy Název projektu Registrační číslo projektu Autor Název šablony Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Modernizace výuky

Více

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016 Pružnost a pevnost 2. přednáška, 10. října 2016 Prut namáhaný jednoduchým ohybem: rovnoměrně ohýbaný prut nerovnoměrně ohýbaný prut příklad výpočet napětí a ohybu vliv teplotních měn příklad nerovnoměrné

Více

Téma 12, modely podloží

Téma 12, modely podloží Téma 1, modely podloží Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Úvod Winklerův model podloží Pasternakův model podloží Pružný poloprostor Nosník na pružném Winklerově podloží, řešení

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA I

PRUŽNOST A PLASTICITA I Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA PRUŽNOST A PLASTICITA Ing. Petr Konečný LPH 407/3 tel. 59 732 1384 petr.konecny@vsb.cz http://fast10.vsb.cz/konecny Povinná literatura http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita Doporučená literatura

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Reologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku

Reologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku . lekce Reologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku Obsah. Základní pojmy Vnitřní síly napětí. Základní reologické modely technických materiálů 3.3 Elementární reologické modely creepu

Více

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku 1. Úlohy a cíle teorie plasticity chopnost tuhých těles deformovat se působením vnějších sil a po odnětí těchto sil nabývat původního tvaru a rozměrů se nazývá pružnost. 1.1 Plasticita, pracovní diagram

Více

A x A y. α = 30. B y. A x =... kn A y =... kn B y =... kn. Vykreslení N, V, M. q = 2kN/m M = 5kNm. F = 10 kn A c a b d ,5 2,5 L = 10

A x A y. α = 30. B y. A x =... kn A y =... kn B y =... kn. Vykreslení N, V, M. q = 2kN/m M = 5kNm. F = 10 kn A c a b d ,5 2,5 L = 10 Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Prostý nosník Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A y y q = kn/m M = 5kNm F = 10 kn A c a b d 1 1 3,5,5 L = 10 α B B y x α = 30

Více

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Vzpěr,

Více

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2 3. kapitola Stavební mechanika Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku Teoretická část: Naším úkolem je v tomto příkladu vyšetřit průběh vnitřních sil na lomeném rovinném nosníku

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

α = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm

α = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Konzola Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A M A y y q = kn/m M = - 5kNm A α B c a b d F = 10 kn 1 1 3,5,5 L = 10 x α = 10 A

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Mezní stavy únosnosti - zásady výpočtu, předpoklady řešení. Navrhování ohýbaných železobetonových prvků - modelování, chování a způsob porušení. Dimenzování

Více

1. Úvod do pružnosti a pevnosti

1. Úvod do pružnosti a pevnosti 1. Úvod do pružnosti a pevnosti Mechanika je nejstarší vědní obor a její nedílnou součástí je nauka o pružnosti a pevnosti. Pružností nazýváme schopnost pevných těles získat po odstranění vnějších účinků

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Mezní stavy únosnosti - zásady výpočtu, předpoklady řešení. Navrhování ohýbaných železobetonových prvků - modelování, chování a způsob porušení. Dimenzování

Více

Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník

Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky

Více

Pružnost a pevnost I

Pružnost a pevnost I Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

Zjednodušená deformační metoda (2):

Zjednodušená deformační metoda (2): Stavební mechanika 1SM Přednášky Zjednodušená deformační metoda () Prut s kloubově připojeným koncem (statická kondenzace). Řešení rovinných rámů s posuvnými patry/sloupy. Prut s kloubově připojeným koncem

Více

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici)

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici) Kapitola 8 Vnitřní síly rovinně zakřiveného prutu V této kapitole bude na příkladech vysvětleno řešení vnitřních sil rovinně zakřivených nosníků, jejichž střednici tvoří oblouk ve tvaru kvadratické paraboly[1].

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Výpočet přetvoření a dimenzování pilotové skupiny

Výpočet přetvoření a dimenzování pilotové skupiny Inženýrský manuál č. 18 Aktualizace: 08/2018 Výpočet přetvoření a dimenzování pilotové skupiny Program: Soubor: Skupina pilot Demo_manual_18.gsp Cílem tohoto inženýrského manuálu je vysvětlit použití programu

Více

1/7. Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012

1/7. Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012 Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012 Úkol řešte ve skupince 2-3 studentů. Den narození zvolte dle jednoho člena skupiny. Řešení odevzdejte svému cvičícímu. Na symetrické prosté krokevní

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ

Více

Pružnost, pevnost, plasticita

Pružnost, pevnost, plasticita Pružnost, pevnost, plasticita Pracovní verze výukového skripta. února 018 c Milan Jirásek, Vít Šmilauer, Jan Zeman České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra mechaniky Thákurova 7 166

Více

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ 7. cvičení ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ V této kapitole se probírají výpočty únosnosti průřezů (neboli posouzení prvků na prostou pevnost). K porušení materiálu v tlačených částech průřezu dochází: mezní

Více

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory Výfučtení: Vektory Abychom zcela vyjádřili veličiny jako hmotnost, teplo či náboj, stačí nám k tomu jediné číslo (s příslušnou jednotkou). Říkáme jim skalární veličiny. Běžně se však setkáváme i s veličinami,

Více

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY . cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu,

Více

VYHODNOCENÍ LABORATORNÍCH ZKOUŠEK

VYHODNOCENÍ LABORATORNÍCH ZKOUŠEK VYHODNOCENÍ LABORATORNÍCH ZKOUŠEK Deformace elastomerových ložisek při zatížení Z hodnot naměřených deformací elastomerových ložisek v jednotlivých měřících místech (jednotlivé snímače deformace) byly

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 11 přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 11 přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 11 přednáška Mezní stavy použitelnosti (MSP) Použitelnost a trvanlivost Obecně Kombinace zatížení pro MSP Stádia působení ŽB prvků Mezní stav omezení napětí Mezní stav

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Nelineární problémy a MKP

Nelineární problémy a MKP Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)

Více

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury. ocelových 5. přednáška Vybrané partie z plasticity Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 2. prosince 2015 Pracovní diagram ideálně pružného materiálu ocelových σ

Více

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Přednáška 0 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Diferenciální rovnice ohybu prutu Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Vliv teploty na průhyb a křivost prutu Příklady

Více

Příklad oboustranně vetknutý nosník

Příklad oboustranně vetknutý nosník Příklad oboustranně vetknutý nosník výpočet podle viskoelasticity: 4 L fˆ L w, t J t, t 384I 0 průhyb uprostřed co se změní v případě, fˆ že se zatížení M mění x t v čase? x Lx L H t t0 1 fl ˆ M fˆ 0,

Více

Přednáška 01 PRPE + PPA Organizace výuky

Přednáška 01 PRPE + PPA Organizace výuky Přednáška 01 PRPE + PPA Organizace výuky Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny Út 8.30 9.45 St 14.00 15.45, B286, PRPE (Stav. Inženýrství) + PPA (Arch. a stavitelství) přednáška

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

Namáhání na tah, tlak

Namáhání na tah, tlak Namáhání na tah, tlak Pro namáhání na tah i tlak platí stejné vztahy a rovnice. Velikost normálového napětí v tahu, resp. tlaku vypočítáme ze vztahu: resp. kde je napětí v tahu, je napětí v tlaku (dále

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

3.2.2 Navierova-Bernoulliho hypotéza

3.2.2 Navierova-Bernoulliho hypotéza 3.. JEDNODUCHÝ OHYB 57 3.. Navierova-Bernoulliho hypotéza V předchozím článku jsme vyslovili hypotézu o zachování rovinnosti průřezu, která umožnila pracovat s představou pootočení průřezu a definovat

Více

Statika soustavy těles.

Statika soustavy těles. Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho

Více

TLUSTOSTĚNNÉ ROTAČNĚ SYMETRICKÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY. Autoři: M. Zajíček, V. Adámek

TLUSTOSTĚNNÉ ROTAČNĚ SYMETRICKÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY. Autoři: M. Zajíček, V. Adámek 1.3 Řešené příklady Příklad 1: Vyšetřete a v měřítku zakreslete napjatost v silnostěnné otevřené válcové nádobě zatížené vnitřním a vnějším přetlakem, viz obr. 1. Na nebezpečném poloměru, z hlediska pevnosti

Více

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M.

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Definování 4. přednáška prutech iroslav okáč miroslav.vokac@cvut.cz ČUT v Praze, Fakulta architektury 11. dubna 2016 prutech nitřní síly síly působící uvnitř tělesa (desky, prutu), které vznikají působením

Více

Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP

Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Obsah přednášky Lineární a nelineární úlohy Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..) Příklady nelineárních problémů Teorie kontaktu,

Více

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 12. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Nejdůleţitější konstrukční prvek pro ohyb je nosník.

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Nespojitá vlákna. Technická univerzita v Liberci kompozitní materiály 5. MI Doc. Ing. Karel Daďourek 2008

Nespojitá vlákna. Technická univerzita v Liberci kompozitní materiály 5. MI Doc. Ing. Karel Daďourek 2008 Nespojitá vlákna Technická univerzita v Liberci kompozitní materiály 5. MI Doc. Ing. Karel Daďourek 2008 Vliv nespojitých vláken Zabývejme se nyní uspořádanými nespojitými vlákny ( 1D systém) s tahovým

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Více

BEZSTYKOVÁ KOLEJ NA MOSTECH

BEZSTYKOVÁ KOLEJ NA MOSTECH Ústav železničních konstrukcí a staveb 1 BEZSTYKOVÁ KOLEJ NA MOSTECH Otto Plášek Bezstyková kolej na mostech 2 Obsah Vysvětlení rozdílů mezi předpisem SŽDC S3 a ČSN EN 1991-2 Teoretický základ interakce

Více

Libor Kasl 1, Alois Materna 2

Libor Kasl 1, Alois Materna 2 SROVNÁNÍ VÝPOČETNÍCH MODELŮ DESKY VYZTUŽENÉ TRÁMEM Libor Kasl 1, Alois Materna 2 Abstrakt Příspěvek se zabývá modelováním desky vyztužené trámem. Jsou zde srovnány různé výpočetní modely model s prostorovými

Více

Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost

Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni

Více

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Skládání a rozklad sil Skládání a rozklad sil v rovině

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 6 přednáška. Dimenzování průřezů namáhaných posouvající silou prvky se smykovou výztuží, Podélný smyk,

Prvky betonových konstrukcí BL01 6 přednáška. Dimenzování průřezů namáhaných posouvající silou prvky se smykovou výztuží, Podélný smyk, Prvky betonových konstrukcí BL01 6 přednáška Dimenzování průřezů namáhaných posouvající silou prvky se smykovou výztuží, Podélný smyk, Způsoby porušení prvků se smykovou výztuží Smyková výztuž přispívá

Více

Úvod do soustav sil. 1. Axiom o rovnováze sil F 1 F 2. tuhém tělese na stejném paprsku jsou v rovnováze. Axiomy statiky. Statika 1. M. Vokáč.

Úvod do soustav sil. 1. Axiom o rovnováze sil F 1 F 2. tuhém tělese na stejném paprsku jsou v rovnováze. Axiomy statiky. Statika 1. M. Vokáč. 1. cvičení Svazek sil & tlak Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 14. února 2018 do soustav sil Síla je vektor y tuhé těleso F & tlak působiště paprsek [0,0] α A[x A,y

Více

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Přednáška 03 Diferenciální rovnice ohybu prutu Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer

Více

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.

Více

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy

Více

Voigtův model kompozitu

Voigtův model kompozitu Voigtův model kompozitu Osnova přednášky Směšovací pravidlo použitelnost Princip Voigtova modelu Důsledky Voigtova modelu Specifika vláknových kompozitů Směšovací pravidlo Nejjednoduší vztah pro vlastnost

Více

LOGO. Struktura a vlastnosti pevných látek

LOGO. Struktura a vlastnosti pevných látek Struktura a vlastnosti pevných látek Rozdělení pevných látek (PL): monokrystalické krystalické Pevné látky polykrystalické amorfní Pevné látky Krystalické látky jsou charakterizovány pravidelným uspořádáním

Více

Pilotové základy úvod

Pilotové základy úvod Inženýrský manuál č. 12 Aktualizace: 04/2016 Pilotové základy úvod Program: Pilota, Pilota CPT, Skupina pilot Cílem tohoto inženýrského manuálu je vysvětlit praktické použití programů GEO 5 pro výpočet

Více

K výsečovým souřadnicím

K výsečovým souřadnicím 3. cvičení K výsečovým souřadnicím Jak již bylo řečeno, výsečové souřadnice přiřazujeme bodům na střednici otevřeného průřezu, jejich soustava je dána pólem B a výsečovým počátkem M 0. Velikost výsečové

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Cvičební texty 2003 programu celoživotního vzdělávání MŠMT ČR Požární odolnost stavebních konstrukcí podle evropských norem

Cvičební texty 2003 programu celoživotního vzdělávání MŠMT ČR Požární odolnost stavebních konstrukcí podle evropských norem 2.5 Příklady 2.5. Desky Příklad : Deska prostě uložená Zadání Posuďte prostě uloženou desku tl. 200 mm na rozpětí 5 m v suchém prostředí. Stálé zatížení je g 7 knm -2, nahodilé q 5 knm -2. Požaduje se

Více

Pružnost a plasticita CD03

Pružnost a plasticita CD03 Pružnost a plasticita CD03 Luděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

Statika. fn,n+1 F = N n,n+1

Statika. fn,n+1 F = N n,n+1 Statika Zkoumá síly a momenty působící na robota v klidu. Uvažuje tíhu jednotlivých ramen a břemene. Uvažuje sílu a moment, kterou působí robot na okolí. Uvažuje konečné tuhosti ramen a kloubů. V našem

Více