Vzorce a recepty nebeské mechaniky Verze 3.0 Petr Scheirich, 2004 http://nebmech.astronomy.cz Obsah 1 Úvod 1 2 Souřadnice na obloze 1 3 Pohyb po kuželosečce 4 4 Elipsa 6 5 Pohybpoelipse 7 6 Parabola 10 7 Pohyb po parabole 11 8 Hyperbola 13 9 Pohyb po hyperbole 14 10 Převod souřadnic na dráze na rovníkové či ekliptikální souřadnice 16 11 Problém 3 těles 18 12 Geografické a geocentrické souřadnice 19
1 Úvod Tato brožurka nemá být učebnicí nebeské mechaniky. Její první verze vznikla v roce 2001 z autorovy potřeby vytvořit kompaktní seznam vzorců používaných(nebo použitelných) při výpočtech pohybů a poloh vesmírných těles, aby je nebylo nutné neustále hledat v nejrůznější literatuře, či dokonce znovu odvozovat. Od čtenáře se předpokládá, že význam pojmů, které se v ní vyskytují, alespoň zhruba zná. Všem začátečníkům před jejím používáním doporučuji si nastudovat stránky http://nebmech.astronomy.cz, kde je vše srozumitelně vysvětleno. 2 Souřadnice na obloze Označení veličin: α rektascenze(v tomto odstavci vždy v hodinách), t hodinový úhel(v hodinách), δ deklinace, h výška nad obzor, A výška nad obzorem, φ zeměpisná šířka, λ zeměpisná délka, S m místníhvězdnýčas, S g Greenwichskýhvězdnýčas, S 0 Greenwichskýhvězdnýčasv0hUT, JD Juliánskédatumv0hUT, T u časuplynulýodstandardníepochyj2000,0(jd2451545,0)vyjádřený v juliánských stoletích, k poměr středního slunečního dne a středního hvězdného dne, x A, y A, z A pravoúhléazimutálnísouřadnice(osaxmíříkjihu,osazk zenitu), x R, y R, z R pravoúhlérovníkovésouřadnice(osaxmíříkjarnímubodu, osazksev.neb.pólu), l, b ekliptikální souřadnice(délka a šířka), x E, y E, z E pravoúhléekliptikálnísouřadnice(osaxmíříkjarnímubodu, osazksev.póluekliptiky), o sklon ekliptiky k rovníku. 1
Převodní vztahy mezi veličinami: T u =(JD 2451545,0)/36525, k=1,002737909350795+5,9006 10 11 T u 5,9 10 15 Tu,[6] 2 S 0 =24110,54841+8640184,812866T u +0,093104Tu 2 6,2 10 6 Tu,[6] 3 S g = S 0 + kut, S m = S 0 + kut+λ/15. S m = α+t. Obzorníkové souřadnice x A =coshcosa, y A =coshsin A, z A =sin h. z A h=arctan, x 2 A + y2 A x A >0:A=arctan(y A /x A ) x A <0:A=arctan(y A /x A )+180, x A =0ay A >0:A=90, x A =0ay A <0:A=270. Rovníkové souřadnice x R =cosδcos(15α), y R =cosδsin(15α), z R =sin δ. α, δvypočtemezx R, y R a z R obdobnějako A, hzx A, y A, z A. Obzorníkové rovníkové souřadnice x A = x R cos Hsin φ+y R sin Hsin φ z R cosφ, y A = x R sin H y R cosh, 2
z A = x R coshcosφ+y R sin Hcosφ+z R sin φ, x R = x A cos Hsin φ+y A sin H+ z A coshcos φ, y R = x A sin Hsin φ y A cosh+ z A sin Hcos φ, z R = x A cosφ+z A sin φ, kde H=15S m. Ekliptikální souřadnice x E =cosbcosl, y E =cosbsin l, z E =sin b. l, bvypočtemezx E, y E a z E obdobnějako A, hzx A, y A, z A. Ekliptikální rovníkové souřadnice x R = x E, y R = y E coso z E sin o, z R = y E sin o+z E coso, x E = x R, y E = y R coso+z R sin o, z E = z R coso y R sin o, kde o=23 26 21,448 46,8150 T u 0,00059 T 2 u +0,001813 T 3 u =23,43929111 0,013004166 T u 0,1638 10 6 T 2 u+0,5036 10 6 T 3 u[6] 3
3 Pohyb po kuželosečce Označení veličin: v praváanomálie(úhelmezisměremkpericentruasměremkdanému bodu), u úhlová rychlost(= dv/dt), e numerická výstřednost dráhy(excentricita), p parametr dráhy, G univerzální gravitační konstanta, M S hmotnostsoustavy, M hmotnostslunce, r vzdálenost od centra(ohniska), V rychlostnadráze, γ úhelsměrurychlosti V (měřenývestejnémsmyslujakopraváanomálie v). x, y souřadnicevrovinědráhyspočátkemvohniskuaosouxmířícík pericentru, V x, V y složkyrychlostinadrázevsouřadnicíchx,y, V r radiálnísložkarychlostinadráze(vesměruprůvodiče), V t kolmásložkarychlostinadráze(kolmákradiální), E celková energie soustavy, 4
M celkový moment hybnosti soustavy. Velikosti a jednotky konstant: G=6,672 10 11 Nm 2 kg 2 [kg 1 m 3 s 2 ][1] Sluneční soustava: M S =1,9891 10 30 kg, GM S =1,3271244 10 20 m 3 s 2, =2,959122083 10 4 AU 3 d 2, G=2,959122083 10 4 M 1 AU3 d 2, GM Z =398600,44 10 9 m 3 s 2, GM M =4902,8 10 9 m 3 s 2, kde M Z jehmotnostzeměam M jehmotnostměsíce. Převodní vztahy mezi veličinami: Veškeré vzorce v této a následujících kapitolách věnovaných pohybu v poli centrální síly platí pro souřadný systém s počátkem v jednom z těles. Chcemeli spočítané veličiny(s centrem v tělesu A) převést do těžišťového systému, transformujeme je podle vzorců: Prodélkovéveličinyarychlosti: a = a m A /(m A + m B ); proúhly: v = v. (Čárkované veličiny jsou v těžišťovém systému) r= p 1+ecosv (polární rovnice kuželosečky). x=rcosv = p r, e r 2 e 2 (p r) 2 y= rsin v =. e r 2 u= GM S p (Keplerůvzákonploch), GMS V= p (1+2ecosv+ GMS e2 ) = p (2p/r 1+e2 ), ( γ=arctan e+cosv ) +180 pro v (0,180 ), sin v 5
( γ=arctan e+cosv ) pro v (180,360 ), sin v GMS GMS 2pr V r = esin v = e p p 2 p2 1+ = ev r 2 x, GMS GMS p GMS V t = (1+ecosv) = = (1 e 2 )+ev y, p r p ( ) GMS GMS p r 2 V x = sin v = 1 = 1 p p re e V r, V y = GMS p E= Gm A m B e 2 1 2p, M 2 = m2 Am 2 B Gp. M S (e+cos v) = GMS p re 2 + p r re = 1 e V GMS 1 e 2 t. p e 4 Elipsa Označení veličin: a velká(hlavní) poloosa, e numerická výstřednost(excentricita), b malá(vedlejší) poloosa, 6
p parametr, q vzdálenost v pericentru, Q vzdálenost v apocentru, r vzdálenost od ohniska, v praváanomálie(úhelmezisměremkpericentruasměremkdanému bodu). Převodní vztahy mezi veličinami: p r= 1+ecosv e= 1 b2 a 2 = a= b2 p = q 1 e = q+ Q 2 (polární rovnice elipsy). 1 p a = p r rcosv =1 q a = p q 1 = Q a 1, = Q 1+e = p 1 e 2 = q2 2q p, p= b2 a = a(1 e2 ) = q(1+e) = Q(1 e) =2q q2 a = r(1+ecosv), q=a(1 e) = p 1+e, Q=a(1+e) = p 1 e. 5 Pohybpoelipse (Vizobr.vsekci3) Označení veličin: M střední anomálie, E excentrická anomálie, v pravá anomálie, a velká poloosa dráhy, e numerická výstřednost(excentricita) dráhy, n střední denní pohyb, G univerzální gravitační konstanta, k Gaussova gravitační konstanta(pro úhly vyjádřené v radiánech), k S Gaussovagravitačníkonstantaproúhlyvyjádřenévestupních, M S hmotnostsoustavy, r vzdálenost od centra(ohniska), 7
V rychlostnadráze, x, y souřadnicevrovinědráhyspočátkemvohniskuaosouxmířícík pericentru, V x, V y složkyrychlostinadrázevsouřadnicíchx,y, V r radiálnísložkarychlostinadráze(vesměruprůvodiče), V t kolmásložkarychlostinadráze(kolmákradiální). V p rychlostvpericentru, V a rychlostvapocentru, T oběžnádoba, t čas, T 0 okamžikprůchodupericentrem. Velikosti a jednotky konstant: Sluneční soustava: k=0,01720209895 GM S = k 2 AU 3 d 2, k S = k180/π=0.985607614. Ostatní viz kapitola Pohyb po kuželosečce. Převodní vztahy mezi veličinami: a 3 T=2π, GM S k= GM S, n=ka 3/2 [rad] = k S a 3/2 [ ], M= n(t T 0 ), M 0 = n(t 0 T 0 ), M= n(t t 0 )+M 0, E esin E= M E (180/π)esinE= M cosv= cose e, sin v= 1 ecose cose= e+cos v, sin E= ecosv+1 (Keplerovarovnice,proM,Evrad.), (prom,evestupních), 1 e2 sin E 1 ecose, 1 e2 sin v ecosv+1, 8
tan v 2 = 1+e 1 e tan E 2. r=a(1 ecose), x=rcosv = a(cose e), y= rsin v = a 1 e 2 sin E. ( ) 2 V= GM S r 1, a rgm S a= 2GM S V 2 r, GMS 1+e V p = a 1 e, GMS 1 e V a = a 1+e, GMS sin E V x = a 1 ecose = GMS sin v, a(1 e 2 ) GM S (1 e V y = 2 ) cose a 1 ecose = GMS a(1 e 2 ) (e+cosv), GMS V r = a(1 e 2 ) esin v = GM ( ) S 2ar a2 (1 e 2 ) 1 = ev a r 2 x, GMS V t = a(1 e 2 ) (1+ecosv) = GM S a(1 e 2 ) GMS (1 e = 2 ) + ev y. r a 9
6 Parabola Označení veličin: p parametr, q vzdálenost v pericentru, e = 1 numerická výstřednost(excentricita), r vzdálenost od ohniska, v praváanomálie(úhelmezisměremkpericentruasměremkdanému bodu). Převodní vztahy mezi veličinami: r= p 1+ecosv = p 1+cosv = 2q 1+cosv = q cos 2 1 2 v, q= p 2, cosv= 2q r 1. 10
7 Pohyb po parabole (Vizobr.vsekci3) Označení veličin: B, W analogie střední anomálie, v pravá anomálie, G univerzální gravitační konstanta, k Gaussova gravitační konstanta(pro úhly vyjádřené v radiánech), k S Gaussovagravitačníkonstantaproúhlyvyjádřenévestupních, M S hmotnostsoustavy, r vzdálenost od centra(ohniska), V rychlostnadráze, x, y souřadnicevrovinědráhyspočátkemvohniskuaosouxmířícík pericentru, V x, V y složkyrychlostinadrázevsouřadnicíchx,y, V r radiálnísložkarychlostinadráze(vesměruprůvodiče), V t kolmásložkarychlostinadráze(kolmákradiální). V p rychlostvpericentru, T oběžnádoba, t čas, T 0 okamžikprůchodupericentrem. Převodní vztahy mezi veličinami: B= q 3/2 (t T 0 ), tan v ( ) v 2 +1 GMS 3 tan3 = 2 2 Řešení Barkerovy rovnice: B (Barkerova rovnice). tan v=2cotγ = 1 2 tan γ 2 kde tan tan γ = 3 β, 2 2 tan β= 2 2. 3B GM S tan γ 2, 11
Některá literatura(např.[?]) definuje analogii střední anomálie(i Barkerovu rovnici) mírně odlišně, vše se ale liší pouze o konstanty: W= 3 GM S /2 (t T q 3/2 0 ), 3tan v ( ) v 2 +tan3 = W. 2 Řešení Barkerovy rovnice: tan v 2 = 2 tan2γ, kde tan γ= 3 tan β 2, tan β= 2 W. Další možností řešení(viz.[9]) je toto: tan v = Y 1/Y, 2 kde Y= G+ 3 G 2 +1, G=W/2. x=rcosv = q(1 tan 2 v ) =2q r, 2 y= rsin v =2qtan v =2 q(r q). 2 2GMS GMS V= = (1+cosv), r q 2GM S (r q) GMS V x = V r = = r 2q 2GMS q GMS V y = V t = = (1+cosv), r 2q 2GMS V p =. q sin v, 12
8 Hyperbola Označení veličin: a hlavní poloosa, e numerická výstřednost(excentricita), b vedlejší poloosa, p parametr, q vzdálenost v pericentru, r vzdálenost od ohniska, v praváanomálie(úhelmezisměremkpericentruasměremkdanému bodu), v m maximální/minimálníhodnotapravéanomálie, α odchylka asymptot. Převodní vztahy mezi veličinami: p r= 1+ecosv e= 1+ b2 a 2 = = 1 cosv m (polární rovnice hyperboly). 1+ p a = p r rcosv = q a +1 = p q 1 = 1 cos α 2 13
a= b2 p p= b2 a = q e 1 = p e 2 1 = q2 p 2q = a(e 2 1) = q(e+1) = q2 a +2q q=a(e 1) = p e+1 = r(1+ecosv) α+ 2v m =360 ecos α =1 2 cosα= 2 e 1 2 ecosv m = 1 cosv m = cos α 2 9 Pohyb po hyperbole (Vizobr.vsekcích3a8) Označení veličin: M analogie střední anomálie, H analogie excentrické anomálie, v praváanomálie(úhelmezisměremkpericentruasměremkdanému bodu), a velká poloosa dráhy, e numerická výstřednost(excentricita), n analogie středního denního pohybu, G univerzální gravitační konstanta, k Gaussova gravitační konstanta, M S -hmotnostsoustavy, r vzdálenost od centra(ohniska), V rychlostnadráze, x, y souřadnicevrovinědráhyspočátkemvohniskuaosouxmířícík pericentru, V x, V y složkyrychlostinadrázevsouřadnicíchx,y, V r radiálnísložkarychlostinadráze(vesměruprůvodiče), V t kolmásložkarychlostinadráze(kolmákradiální). V p rychlostvpericentru, 14
V rychlostvnekonečnu(příletováneboodletová), t čas, T 0 okamžikprůchodupericentrem, 2θ úhel odchýlení dráhy(odchylka vektorů příletové a odletové rychlosti), v m maximální/minimálníhodnotapravéanomálie, α odchylka asymptot, d impact parameter vzdálenost, ve které by těleso prolétlo okolo centra, kdyby se pohybovalo po přímce bez gravitace. Převodní vztahy mezi veličinami: k= GM S, n=ka 3/2 rad, M= n(t T 0 ), M 0 = n(t 0 T 0 ), M= n(t t 0 )+M 0, esinh H H= M. cosv= cosh H e e2 1sinh H, sin v= 1 ecosh H ecosh H 1, cosh H= e+cosv ecosv+1, v e2 1 sinh H=sin ecosv+1, tan v 2 = 1+e 1 e tanh H 2. r= q (1 ecosh H), 1 e x=rcosv = q (e cosh H), 1 e e+1 y= rsin v = q sinh H, e 1 ( ) ( 2 V= GM S r +1 2 = GM S a r + e 1 ), q a= rgm S 2GM S + V 2 r, 15
e+1 V p = GM S, q GMS (e 1) sinh H GMS V x = = sin v, q ecosh H 1 q(e+1) GMS (1+e) cosh H GMS V y = (1 e) = q ecosh H 1 q(e+1) (e+cosv), ( ) GMS V r = q(e+1) esin v = e 1 2r q(e+1) GM S + = ev q r 2 x, GMS V t = q(e+1) (1+ecosv) = GM S q(e+1) GMS (1+e) = (1 e)+ev y. r q θ=90 α 2, v m =90 + θ. esin θ=1, d= GM S cot θ = q e+1 V 2 e 1 cot θ = q e 1, GMS (e 1) V =, q q= GM S + GM 1 ( ) 2 d V 2 S +, V 4 GM S ( ) dv 2 2 e= 1+. GM S 10 Převod souřadnic na dráze na rovníkové či ekliptikální souřadnice Označení veličin: x, y souřadnicetělesanadrázevyjadřénévsoustavěspočátkemvcentrálnímtěleseaosouxmířícíkpericentru(jejichvýpočetvizsekce5,7a 9), 16
X r, Y r, Z r souřadnicetělesavpravoúhlérovníkovésoustavě.počáteksoustavyjevcentrálnímtělese,osa Xmíříkjarnímubodu,rovina XY je rovnoběžná s rovinou zemského rovníku, X e, Y e, Z e souřadnicetělesavpravoúhléekliptikálnísoustavě.počáteksoustavyjevcentrálnímtělese,osa Xmíříkjarnímubodu,rovina XY je rovnoběžná s rovinou ekliptiky, P r1, P r2, P r3, Q r1, Q r2, Q r3 směrovékosinydráhyvrovníkovésoustavě, P e1, P e2, P e3, Q e1, Q e2, Q e3 směrovékosinydráhyvrovníkovésoustavě, i sklon dráhy k ekliptice, ω argument délky perihelia dráhy, Ω délka výstupného uzlu dráhy, o sklon ekliptiky k rovníku(viz sekce 2). Význam veličin: P i jsousložkyjednotkovéhovektorupmířícíhoodcentradosměrupericentra (směr osy x souřadnic na dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkové souřadnicové soustavě. Q i jsousložkyvektorukolméhonapaležícíhonadráze(směrosy ysouřadnic na dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkové souřadnicové soustavě. Převodní vztahy mezi veličinami: P r1 = A 1 cos ω+ A 2 sin ω, P r2 = B 1 cos ω+ B 2 sin ω, P r3 = C 1 cosω+ C 2 sin ω, Q r1 = A 2 cosω A 1 sin ω, Q r2 = B 2 cosω B 1 sin ω, 17
Q r3 = C 2 cos ω C 1 sin ω, kde A 1 =cosω, A 2 = cosisinω, B 1 =sinωcoso, B 2 =cosicosωcoso sin isin o, C 1 =sinωsin o, C 2 =cos icosωsin o+sin icos o. P e1 =cosωcosω sin ωsinωcos i, P e2 =cosωsinω+sin ωcosωcosi, P e3 =sin ωsin i, Q e1 = sin ωcosω cos ωsinωcosi, Q e2 = sin ωsinω+cosωcosωcos i, Q e3 =cosωsin i. X r = P r1 x+q r1 y, Y r = P r2 x+q r2 y, Z r = P r3 x+q r3 y, X e = P e1 x+q e1 y, Y e = P e2 x+q e2 y, Z e = P e3 x+q e3 y. 11 Problém3těles Označení veličin: R p sféragravitačníhovlivuplanety(vůčislunci), M p hmotnostplanety, D vzdálenost mezi Sluncem a planetou, M hmotnostslunce. 18
Převodní vztahy mezi veličinami: R p = D ( ) 2/5 Mp. M 12 Geografické a geocentrické souřadnice (pro Zemi jako rotační elipsoid)[7],[8] Označení veličin: ϕ geografická šířka, h nadmořská výška, ϕ geocentrickášířka, ρ vzdálenost od středu Země, a rovníkový poloměr Země, b polární poloměr Země, x, z pravoúhlé geocentrické souřadnice, f zploštění zemského elipsoidu, e excentricita zemského elipsoidu. Velikosti konstant: a=6378137m(wgs84),[8] 19
f=1/298.257223563(wgs84), b=6356752m. Převodní vztahy mezi veličinami: b=a(1 f), f= a b a, e 2 =2f f 2, x=ρcosϕ =(ac+ h)cosϕ, z= ρsin ϕ =(as+ h)sin ϕ, kde C= 1 cos 2 ϕ+(1 f) 2 sin 2 ϕ, S=(1 f) 2 C. Geografické(ϕ, h) geocentrické(ϕ, ρ)souřadnice: Pro h=0: tanϕ =(b/a) 2 tan ϕ. Pro h 0: tanu=(b/a)tan ϕ, bsin u+hsin ϕ s=, a c=cosu+ hcosϕ, a tanϕ = s bsin u+hsin ϕ = c acosu+hcosϕ, ρ=a s 2 + c 2. Geocentrické(ϕ, ρ) geografické(ϕ, h)souřadnice: Z ρaϕ spočteme x, z, ϕ počítáme iterační metodou: 20
ϕ 1 =arctan(z/x), ( z+ ace 2 ) sin ϕ n ϕ n+1 =arctan, x kde 1 C=. 1 e 2 sin 2 ϕ n Procesopakujeme,dokudsehodnoty ϕ n+1 a ϕ n odsebenelišíméně,nežje požadovaná přesnost. Pak h= x cosϕ ac. Reference [1] Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, SPN, Praha, 1988 [2] Astronomy on the Personal Computer, O. Montenbruck, T. Pfleger, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1989 [3] Základy nebeské mechaniky, P. Andrle, Academia, Praha, 1971 [4] Malá encyklopedie kosmonautiky, P. Lála, A. Vítek, Mladá fronta, Praha, 1982 [5] Základy astronomie a astrofyziky, V. Vanýsek, Academia, Praha, 1980 [6] Astronomická příručka, M. Wolf a kol., Academia, Praha, 1992 [7] Astronomické algoritmy pro kalkulátory, Zdeněk Pokorný, Hvězdárna a planetárium hl. m. Prahy [8] The Astronomical Almanac for the Year 1995, US Naval Observatory, Royal Greenwich Observatory, 1994 [9] Astronomical algorithms, Jean Meeus, Willmann-Bell, Inc., Richmond, 1991 21